Druhé cvičení – invariantní podprostory lineární transformace
Úloha 1. Určete charakteristický polynom a nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory příslušné
lineární transformaci ϕ : V3 → V3 zadané maticí Aϕ (vzhledem ke standardní bázi).
Nalezněte bázi, ve které bude mít matice „co možná nejjednodušší“ (tj. horní trojúhelníkový,
nebo diagonální tvar) a matici ztransformujte.
(a) Aϕ =


4 −12 −5
1 −9 −5
−2 12 7


(b) Aϕ =


−4 2 2
−6 4 2
−6 2 4


(c) Aϕ =


2 −6 3
6 −13 6
12 −24 11


(d) Aϕ =


−2 0 1
−6 −3 4
−8 −10 9


(e) Aϕ =


−10 4 5
−8 3 4
−13 6 6


Řešení
(a) λ3
− 2λ2
− 9λ + 18
λ1 = −3, u1 = (1, 1, −1)
λ2 = 2, u2 = (1, 1, −2)
λ3 = 3, u3 = (2, 1, −2)
Bázi tvoří vektory u1, u2, u3, matice má pak tvar

−3 0 0
0 2 0
0 0 3


(b) λ3
− 4λ2
+ 4λ
λ1,2 = 2, u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, −1, 1)
λ3 = 0, u3 = (1, 1, 1)
Bázi tvoří vektory u1, u2, u3, matice má pak tvar

2 0 0
0 2 0
0 0 0


(c) λ3
− 3λ − 2
λ1,2 = −1, u1 = (−1, 0, 1), u2 = (2, 1, 0)
λ3 = 2, u3 = (1, 2, 4)
Bázi tvoří vektory u1, u2, u3, matice má pak tvar

−1 0 0
0 −1 0
0 0 2


(d) λ3
− 4λ2
+ 9λ − 10
λ1,2 = 1 ± 2i, w1,2 = v1 ± iv2 = (1, 2, 3) ± i(0, 1, 2)
λ3 = 2, u1 = (1, 2, 4)
Bázi tvoří vektory u1, v1, v2, matice má pak tvar

2 0 0
0 1 2
0 −2 1


(e) λ3
+ λ2
+ λ + 1
λ1,2 = ±i, w1,2 = v1 ± iv2 = (5, 4, 7) ± i(−1, 0, −1)
λ3 = −1, u1 = (1, 1, 1)
Bázi tvoří vektory u1, v1, v2, matice má pak tvar

−1 0 0
0 0 1
0 −1 0

