Čtvrté cvičení – afinní transformace
Úloha 1. Jsou dána afinní zobrazení f, g:
• f :


x
y
z

 =


3 1 −2
−3 1 3
−1 0 1




x
y
z

 +


1
−1
0

;
• g :


x
y
z

 =


−1 2 1
1 0 1
3 0 4




x
y
z

 +


4
0
1

;
Dokažte, že jsou f a g afinní transformace. Určete rovnice zobrazení f ◦g, g ◦f, f−1
a g−1
.
U všech zobrazení spočítejte modul a určete, zda se jedná o přímou nebo nepřímou afinitu.
Úloha 2. Určete samodružné body, vlastní čísla a vlastní vektory následujících afinit. Určete,
zda se v jednotlivých případech jedná o základní afinitu nebo involuci:
(a) f :


x
y
z

 =


−1 −2 4
−4 1 4
−4 −2 7




x
y
z

 +


−1
0
−1


(b) g :


x
y
z

 =


1
3
−2
3
−2
3
−2
3
1
3
−2
3
−2
3
−2
3
1
3




x
y
z

 +


4
4
4


(c) h :


x
y
z

 =


−2 −1 −2
−9 −2 −6
−3 −1 −1




x
y
z

 +


−1
−3
−1


Úloha 3. Určete rovnice základní afinity f : A2 → A2 (resp. g : A3 → A3) dané přímkou p
(resp. rovinou ) a dvojicí bodů A, A .
f : A[1, 3];
A [−5, 3];
p : X = [t, −7 + 4t]
g : A[2, 1, 1];
A [0, 0, 0];
: y − 2 = 0
Řešení
1. • m(f) = 1 (přímá afinita); m(g) = −2 (nepřímá afinita).
• f ◦ g :


x
y
z

 =


−8 6 −4
13 −6 10
4 −2 3




x
y
z

 +


11
−10
−3

, m(f ◦ g) = −2 (nepřímá
afinita)
• g ◦ f :


x
y
z

 =


−10 1 9
2 1 −1
5 3 −2




x
y
z

 +


1
1
4

, m(g ◦ f) = −2 (nepřímá
afinita)
• f−1
:


x
y
z

 =


1 −1 5
0 1 −3
1 −1 6




x
y
z

 +


−2
1
−2

; m(f) = 1 (přímá afinita)
• g−1
:


x
y
z

 =


0 4 −1
1
2
7
2
−1
0 −3 1




x
y
z

 +


1
−1
−1

; m(g) = −1
2
(nepřímá
afinita)
2. (a) X = [t, −1
2
+ t, t]
λ3
− 7λ2
+ 15λ − 9
λ1,2 = 3, u1 = (0, 2, 1), u2 = (1, −2, 0)
λ3 = 1, u3 = (1, 1, 1)
není involucí ani zákl. afinitou
(b) X : x + y + z − 6 = 0
λ3
− λ2
− λ + 1
λ1,2 = 1, u1 = (−1, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1)
λ3 = −1, u3 = (1, 1, 1)
je involucí a zákl. afinitou
(c) X : 3x + y + 2z + 3 = 0
λ3
+ 5λ2
− 13λ + 7
λ1,2 = 1, u1 = (1, −3, 0), u2 = (0, −2, 1)
λ3 = −7, u3 = (1, 3, 1)
není involucí, je zákl. afinitou
3. f :
x
y
=
5 −1
0 1
x
y
+
−7
0
g :


x
y
z

 =


1 2 0
0 2 0
0 1 1




x
y
z

 +


−4
−2
−2

