Páté cvičení – afinity, rozklad afinit na základní afinity, homotetie
Úloha 1. Určete samodružné body a směry afinních zobrazení f, g, h z A3 do A3 zadaných
rovnicemi vzhledem ke standardní bázi. Nalezněte repér, ve které bude mít rovnice „co
možná nejjednodušší“ tvar a rovnici ztransformujte.
f :


x
y
z

 =


−1 −2 0
−3 −2 0
2 2 1




x
y
z


g :


x
y
z

 =


3 1 −1
0 1 0
2 1 0




x
y
z

 +


2
0
2


h :


x
y
z

 =


1 −1 2
0 1 1
1 −2 1




x
y
z

 +


−7
−5
−6


Úloha 2. Rozložte afinitu f na co možná nejmenší počet základních afinit.
f :


x
y
z

 =


−1 −2 4
−4 1 4
−4 −2 7




x
y
z

 +


−1
0
−1


Úloha 3. Napište analytické vyjádření translace t prostoru A3 o vektor (−1, −2, 3) a stejnolehlosti
s téhož prostoru se středem [1, 1, 1] a koeficientem −2.
Úloha 4. Napište rovnice stejnolehlosti v A3 s koeficientem 3, která zobrazí bod A[2, 0, 3]
do bodu A [0, −1, −3], a najděte její střed.
Úloha 5. V A3 je dána stejnolehlost s se středem [1, 2, 1] a koeficientem −3 a posunutí t
o vektor (−1, 1, 1). Nalezněte rovnice zobrazení s, t, s−1
, t−1
, s◦t, t◦s a s−1
◦t◦s. Určete,
o jaký druh homotetie se v jednotlivých případech jedná, a určete její prvky.
Řešení
1. f : X : x + y = 0
λ3
+ 2λ2
− 7λ + 4
λ1,2 = 1, u1 = (−1, 1, 0), u2 = (0, 0, 1)
λ3 = −4, u3 = (−2, −3, 2)
Repér tvoří lib. bod z X (např. [0, 0, 0]) a vektory u1, u2, u3.

x
y
z

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 −4




x
y
z


g : X : 2x + y − z + 2 = 0
λ3
− 4λ2
+ 5λ − 2
λ1,2 = 1, u1 = (1, −2, 0), u2 = (0, 1, 1)
λ3 = 2, u3 = (1, 0, 1)
Repér tvoří lib. bod z X (např. [0, −2, 0]) a vektory u1, u2, u3.

x
y
z

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 2




x
y
z


h : X = [12, 3, 5]
λ3
− 3λ2
+ 3λ
λ1 = 0, u1 = (−3, −1, 1)
λ2,3 = 3
2
±
√
3
2
i, w1,2 = v1 ± iv2 = (3, 2, 1) ± i(
√
3, 0,
√
3)
Repér tvoří bod X a vektory u1, v1, v2.

x
y
z

 =


0 0 0
0 3
2
√
3
2
0 −
√
3
2
3
2




x
y
z


2. Množina samodružných bodů je přímka p : X = [0, −1
2
, 0] + t(1, 1, 1), tedy se dá f
rozložit na dvě záladní afinity.
3. t : x = x − 1, y = y − 2, z = z + 3;
s : x = −2x + 3, y = −2y + 3, z = −2z + 3
4. s : x = 3x − 6, y = 3y − 1, z = 3z − 12; S[3, 1
2
, 6]
5. t : x = x − 1, y = y + 1, z = z + 1;
s : x = −3x + 4, y = −3y + 8, z = −3z + 4;
s−1
: x = −1
3
x + 4
3
, y = −1
3
y + 8
3
, z = −1
3
z + 4
3
; střed [1, 2, 1];
t−1
: x = x + 1, y = y − 1, z = z − 1; vektor (1, −1, −1);
s ◦ t : x = −3x + 7, y = −3y + 5, z = −3z + 1; střed [7
4
, 5
4
, 1
4
];
t ◦ s : x = −3x + 3, y = −3y + 9, z = −3z + 5; střed [3
4
, 9
4
, 5
4
];
s−1
◦ t ◦ s : x = x + 1
3
, y = y − 1
3
, z = z − 1
3
; vektor (1
3
, −1
3
, −1
3
).