Šesté cvičení – projekce do nadroviny, elace
Úloha 1. Určete rovnice rovnoběžné projekce p prostoru A3 do roviny : x−3y−z +2 = 0
ve směru vektoru (2, 1, 0).
Úloha 2. Určete rovnice základní afinity f prostoru A2 danou přímkou samodružných bodů
X : x + 2y + 3 = 0 a dvojicí bodů A[−1, 0] a A [3, −2]. Jedná se o elaci?
Úloha 3. Geometricky interpretujte afinní zobrazení f, g, h:
f :


x
y
z

 =


−1 6 12
−3 10 18
3 −9 −17




x
y
z

 +


14
21
−21


g :


x
y
z

 =


5 8 2
−2 −3 −1
0 0 1




x
y
z

 +


−10
5
0


h :


x
y
z

 =


2 1 −1
−4 −3 4
−2 −2 3




x
y
z

 +


−1
4
2


Řešení
1. p :


x
y
z

 =


3 −6 −2
1 −2 −1
0 0 1




x
y
z

 +


4
2
0


2. Jedná se o elaci (vektor
−−→
AA patří do zaměření podprostoru samodružných bodů).
f :
x
y
=
3 4
−1 −1
x
y
+
6
−3
3. f : X : x − 3y − 6z − 7 = 0
λ3
+ 8λ2
− 19λ + 10
λ1,2 = 1, u1 = (3, 1, 0), u2 = (6, 0, 1)
λ3 = −10, u3 = (2, 3, −3)
Jedná se o základní afinitu danou samodružnou rovinou X a např. dvojicí bodů
A[2, 2, −2] a A [0, −1, 1].
g : X : 2x + 4y + z − 5 = 0
λ3
− 3λ2
+ 3λ − 1
λ1,2,3 = 1, u1 = (0, 1, −4), u2 = (1, 0, −2)
Jedná se o elaci danou samodružnou rovinou X a např. dvojicí bodů A[1, 1, 0]
a A [3, 0, 0].
h : X : x + y − z − 1 = 0
λ3
− 2λ2
+ λ
λ1 = 0, u1 = (−1, 4, 2)
λ2,3 = 1, u2 = (1, 0, 1), u3 = (−1, 1, 0)
Jedná se o rovnoběžnou projekci ve směru (−1, 4, 2) do roviny X.