Sedmé cvičení – opakování
Úloha 1. Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte navíc vysvětlení):
a) homotetie v A3, která není stejnolehlostí;
b) elace v A3;
c) afinního zobrazení f : A2 → A2, ke kterému neexistuje inverzní zobrazení;
d) základní afinity v A3;
e) podgrupy v grupě všech homotetií A2;
f) afinní transformace v A3, která nemá žádná reálná vlastní čísla;
g) afinity v A3 s právě jednou silně samodružnou přímkou;
h) afinního zobrazení v A3 s vlastními čísly 3, 1 + i a 3 − i;
i) základní afinity v A2 s charakteristikou 2;
j) základní afinity v A2 bez charakteristiky;
k) afinity v A3 s právě jednou slabě samodružnou přímkou.
Úloha 2. Afinita f v A3 je zadána rovnicemi:
f : x = 2x − y − z − 1
y = + 2y − 1
z = − y + z + 3
(a) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(b) Vyšetřete samodružné body afinity f.
(c) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice afinity vůči tomuto repéru.
Úloha 3. Afinita f v A3 má přímku samodružných bodů p : X = [1, 1, 0] + t(2, 1, 0). Dále
víme, že (1, 0, 1), resp. (0, 1, −1), je vlastním vektorem f s vlastním číslem 2, resp. −2.
(a) Určete rovnice afinity f.
(b) Nalezněte alespoň jednu přímku, která je vůči afinitě f slabě samodružná.
Úloha 4. Je dána stejnolehlost s : A3 → A3, která zobrazuje bod A[2, −1, 3] na bod
A [−2
3
, 13
3
, −1] a bod B[−3, 3, −6] na B [1, 3, 2]. Určete střed stejnolehlosti S a její koeficient
κ.
Řešení
1. f) Neexistuje, protože v A3 musí mít alespoň jedno reálné vlastní číslo (komplexní
vlastní čísla se mohou vyskytovat jen po dvojicích).
h) Neexistuje, protože s každým komplexním vlastním číslem musí být vlastní číslo
i komplexně sdružené číslo (celkem by mělo afinní zobrazení pět vlastních čísel).
2. λ3
− 5λ2
+ 8λ − 4
λ1,2 = 2, u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, −1, 1)
λ3 = 1, u3 = (1, 0, 1)
Bez samodružných bodů.
Repér tvoří lib. bod (např. [0, 0, 0]) a vektory u1, u2, u3.

x
y
z

 =


2 0 0
0 2 0
0 0 1




x
y
z

 +


1
−3
2


3. Slabě samodružná je např. přímka q : X = [1, 1, 0] + t(1, 0, 1) (obecně libovolný samodružný
bod + libovolný vlastní vektor příslušný jinému vlastnímu číslu než 1).

x
y
z

 =


0 2 2
3 −5 −3
−4 8 6




x
y
z

 +


−1
3
−4


4. S[0, 3, 0]; κ = −1
3