Jedenácté a dvanácté cvičení – planimetrické úlohy na shodnosti a
podobnosti
Úloha 1. Sestrojte kružnici k, která se dotýká kružnice l a přímky p v daném bodě P ∈ p.
Předpokládejte přitom, že bod P neleží ve vnitřní oblasti kružnice l ani na jejím obvodu.
(Druh Pappovy úlohy typu kpT .)
Úloha 2. Je dána přímka p a mimo ni bod C. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který známe
velikost úhlu γ, velikost úsečky AB a pro který platí A ∈ p, B ∈ p.
Úloha 3. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímek p, q a kružnice l,
kde l protíná každou z přímek p, q ve dvou různých bodech. (Druh Apolloniovy úlohy typu
ppk.)
Úloha 4. Sestrojte všechny společné tečny dvou různých kružnic k, l a proveďte úplnou
diskuzi vzhledem k jejich poloze a velikosti (nenulového) poloměru.
Úloha 5. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jsou-li dány
velikosti tb a c.
Úloha 6. Je dána kružnice k o poloměru r, přímka p a délka a ≤ 2r. Sestrojte čtverec
ABCD o straně délky a, pro který platí A ∈ k, B ∈ k, C ∈ p.
Úloha 7. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímek p, q, přičemž
přímky p se dotýká v daném bodě P. (Druh Pappovy úlohy typu ppT .)
Úloha 8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod a velikosti dvou vnitřních úhlů.
Úloha 9. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různých kružnic l, m, přičemž kružnice
l se dotýká v daném bodě P. Předpokládejte přitom, že bod P neleží ve vnitřní oblasti
kružnice m ani na jejím obvodu. (Druh Pappovy úlohy typu kkT .)
Úloha 10. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímek p, q a prochází
bodem P, kde P /∈ p a P /∈ q. (Druh Apolloniovy úlohy typu Bpp.)
Úloha 11. Sestrojte lichoběžník ABCD, jsou-li dány velikosti obou základen a obou úhlo-
příček.
Úloha 12. Je dána přímka p a na ní bod C. Dále jsou dány dvě různoběžné přímky a, b,
obě různé od p. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou AB, pro
které platí A ∈ a, B ∈ b a SAB ∈ p.
Úloha 13. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímek p, q a kružnice l,
kde p ∩ l = ∅ a q ∩ l = ∅. (Druh Apolloniovy úlohy typu ppk.)
Úloha 14. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány velikosti tc, α a β.
Úloha 15. Je dán čtverec ABCD. Vepište do tohoto čtverce rovnostranný trojúhelník,
jehož jeden vrchol je bod A.
Řešení
1. Stejnolehlost kružnic k, l. 1 nebo 2 řešení.
2. Posunutí úsečky AB po přímce p. 0,1 nebo 2 řešení.
3. Stejnolehlost kružnic k, l. 8 řešení.
4. Stejnolehlost obou kružnic. 0,1,2,3 nebo 4 řešení.
5. Středová souměrnost se středem SAC. 1 řešení.
6. Otočení tětivy AB kolem středu kružnice k. Až 4 řešení.
7. Stejnolehlost v bodě P. 2 řešení.
8. Dvě osové souměrnosti nebo stejnolehlost se středem v C. 1 řešení.
9. Stejnolehlost kružnic k, m. 1 nebo 2 řešení.
10. Stejnolehlost se středem v průsečíku přímek p, q. 2 řešení.
11. Posunutí o velikost strany CD. 1 řešení.
12. Osová souměrnost podle přímky p. 1 řešení.
13. Stejnolehlost kružnic k, l. 4 řešení.
14. Středová souměrnost se středem SAB. 1 řešení.
15. Otočení kolem bodu A o π
3
. 1 řešení.