Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta A
Datum: 19. 4. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) nemá žádné samodružné body;
(b) má jako vlastní čísla 3, 2 a 2 + i;
(c) zobrazuje přímku p : X = [0, 0, 0] + t(1, 0, 0) na přímku p : X = [0, 0, 0] + t(1, 1, 0).
2) Afinita f v A3 je zadána rovnicemi:
f : x = 2x − y − z − 1
y = + 2y − 3
z = − y + z + 3
(a) (2 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(c) (1 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice afinity vůči tomuto repéru.
(d) (2 b.) Vyjádřete rovnice afinity f vzhledem k bázi tvořené po řadě vektory (1, 0, 2), (1, 2, 0)
a (2, 1, 2).
3) Afinní zobrazení f prostoru A3 do sebe zobrazuje bod A[0, 1, 0] na A [2, 3, −1], bod B[1, −2, 0]
na B [0, 2, −5] a má přímku p : X = [1, −2, 1] + t(2, −3, 1) jako množinu samodružných bodů.
(a) (3 b.) Určete rovnice afinního zobrazení f.
(b) (1 b.) Určete obraz přímky q : X = [−1, 1, −1] + t(−2, 3, −1) v afinním zobrazení f.
Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta B
Datum: 19. 4. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má právě tři různé samodružné body;
(b) má jako vlastní čísla 1 a 2;
(c) zobrazuje vektor (0, 0, 1) na vektor (1, 1, 0) a bod [0, 0, 0] je samodružný.
2) Afinita f v A3 je zadána rovnicemi:
f : x = 6x + 3y + z − 3
y = −2x + y − z − 3
z = −2x − 2y + 2z + 3
(a) (4 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(c) (1 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice vůči tomuto repéru.
3) Afinní zobrazení f prostoru A3 do sebe zobrazuje bod A[1, 1, −1] na A [3, 1, −2], bod B[1, −2, 0]
na B [−5, 0, 0] a má přímku p : X = [3, 1, −2] + t(3, −1, −1) jako množinu samodružných bodů.
(a) (3 b.) Určete rovnice afinního zobrazení f.
(b) (1 b.) Určete obraz přímky q : X = [4, −3, −1] + t(−3, 1, 1) v afinním zobrazení f.
Řešení A
1. (b) Neexistuje, protože vlastním číslem musí být také 2 − i a charakteristický polynom
stupně 3 nemůže mít v C čtyři různé kořeny.
2. (a) λ1 = 1, u1 = (1, 0, 1);
λ2,3 = 2, u2 = (1, 0, 0), u3 = (0, −1, 1);
(b) p : X = [4, 3, 0] + t(1, 0, 1)
(c) Libovolný samodružný bod a vektory u1, u2, u3. Matice asociovaného lineárního zobrazení
je diagonální a obsahuje po řadě čísla 1,2,2; matice absolutních členů je tvořena
nulami.
(d)
f : x = 3x + y +
3
2
z +
7
2
y = x + 3y +
3
2
z −
1
2
z = −2x − 2y − z − 2
3. (a)
f : x = 3x +
5
3
y + z +
1
3
y = 2x + y − 4z + 2
z = −x + y + 6z − 2
(b) q : X = [0, 2, −5] + t(−2, 3, −1)
Řešení B
1. (a) Neexistuje, protože množinou samodružných bodů musí být afinní podprostor.
2. (a) λ1 = 2, u1 = (−1, 1, 1);
λ2 = 3, u2 = (−1, 1, 0);
λ3 = 4, u3 = (−2, 1, 1);
(b) X = [−2, 4, 1]
(c) Počátkem je bod X a vektory u1, u2, u3. Matice asociovaného lineárního zobrazení je
diagonální a obsahuje po řadě čísla 2,3,4; matice absolutních členů je tvořena nulami.
3. (a)
f : x = 17x + 14y + 34z + 6
y = −2x − y − 4z
z = −5x − 4y − 10z − 3
(b) q : X = [−5, 0, 0] + t(−3, 1, 1)