Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta E
Datum: 11. 4. 2017
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má vlastní čísla 3, 5 a −1;
(b) je elací;
(c) zobrazuje přímku p : X = [0, 0, 1] + t(1, 1, 0) na q : X = [0, 0, −1] + t(2, −1, 0).
2) Afinní zobrazení f z A3 do A3 je zadáno rovnicemi:
f : x = −3x + 2y − 2z − 2
y = y
z = 6x − 3y + 4z + 3
(a) (2 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory zobrazení f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(c) (1 b.) Geometricky interpretujte zobrazení f.
(d) (2 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice zobrazení f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice f vůči tomuto repéru.
3) (4 b.) Základní afinita v A3 je dána rovinou samodružných bodů α : x + 2y − z − 2 = 0 a
párem odpovídajících si bodů P[−1, 1, 0] a P [−2, 0, −1]. Určete rovnice této základní afinity a
zdůvodněte, proč je/není tato základní afinita elací.
Řešení E
2. (a) λ1 = 0, u1 = (2, 0, −3);
λ2,3 = 1, u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 2, 0);
(b) X : 2x − y + z + 1 = 0
(c) Jedná se o rovnoběžnou projekci do roviny X ve směru (2, 0, −3).
(d) Počátek je libovolný samodružný bod – např. [0, 1, 0] – a bází jsou vektory (2, 0, −3),
(0, 1, 1) a (1, 2, 0). Odpovídající rovnice jsou ve tvaru:
f : x = 0
y = y
z = z
3.
f : x = 2x + 2y − z − 2
y = x + 3y − z − 2
z = x + 2y − 2
Zadaná základní afinita není elací, neboť vektor
−−→
PP nepatří do zaměření roviny α.