Cvičení 4
Příklady na využití Poissonova rozložení
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
[0,8647]
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě jeden hovor, b) aspoň dva
hovory?
[ad a) 0,368, ad b) 0,264]
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
[Nikoliv, pravděpodobnost, že při správné obsluze stroje se vyrobí aspoň 11 zmetků, je pouze
0,0137.]
Příklad 4.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele.
Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
[ad a) 0,0183, ad b) 0,4335, ad c) 0,32]
Příklad 5.: V prodejně posunuli zavírací dobu ve všední dny z 18 na 19 hodin. Sestrojte 90%
asymptotický empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu zákazníků v této
době, navštívilo-li prodejnu ve 30 náhodně zvolených dnech ve sledované době celkem 225
zákazníků. Přitom předpokládáme, že počet zákazníků v určitém časovém intervalu má
Poissonovo rozložení.
[Střední hodnota počtu zákazníků se s pravděpodobností přibližně 90 % nachází v mezích od
6,68 do 8,32.]
Příklad 6.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,3,2,1x =∀ platí: ( ) ( )1xxx −λπ=π .
Pravděpodobnostní funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
( ) ( )1x
x
x −π
λ
=π pro x = 1, 2, 3, …, ( ) λ−
=π e0
Příklad 7.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,2,1,0x =∀ platí: ( ) ( )
( )1x
,1x
x
+Γ
λ+Γ
=Φ , kde
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1a
dteta , ( ) ∫
∞
λ
−−
=λΓ dtet,a t1a
,
pro přirozené a: ( ) ( )!1aa −=Γ , ( ) ( ) ( ) λ−−λ−−λ−
−++λ−+λ=λΓ e!1ae1ae,a 2a1a
K
Práce se systémem MATLAB
Úkol 1.: Na výrobní lince se zhruba každé dvě hodiny vyskytne porucha. Sestrojte tabulku
uvádějící, s jakou pravděpodobností se na této lince během osmihodinové pracovní směny
nevyskytne žádná porucha, vyskytne jedna porucha, vyskytnou dvě poruchy atd. až vyskytne
deset poruch. S jakou pravděpodobností nastane více než deset poruch? Určete
nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny.
Výsledná tabulka:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π(n) 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053
Φ(n) 0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972
Pravděpodobnost, že počet poruch je větší než deset, je 0,0028.
Nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny je tři až čtyři.
Návod pro MATLAB:
x=[0:10]';
pf=poisspdf(x,4);
df=poisscdf(x,4);
[x pf df]
Grafické znázornění:
plot(x,pf,'o')
figure
stairs(x,df)
Nepovinný úkol: Jak nakreslit graf distribuční funkce bez svislých čar?
Jedno z možných řešení:
hold on
for i=1:(length(x)-2) plot([i,i],[0,1],'w'); end
Úkol 2.: Pro n = 30 a ϑ = 0,1 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n, ϑ )
Poissonovým rozložením Po(nϑ ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí
v bodech x = 0, 1, …, 30 zapište do tabulky a znázorněte graficky.
Návod:
x=[0:1:30]';
pf1=binopdf(x,30,0.1);
pf2=poisspdf(x,3);
[x pf1 pf2]
plot(x,pf1,'o',x,pf2,'*')
Úkol 3.: Vygenerujte 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Po(2) a nakreslete jejich
histogram.
Návod:
r=poissrnd(2,100,1);
hist(r,x)
Úkol 4.: Odhadněte střední hodnotu a vypočtěte meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední
hodnotu na základě proměnné r z předešlého úkolu. (Hodnoty uložené v proměnné r
považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z rozložení Po(2).)
Návod:
[m,meze]=poissfit(r)
Upozornění: MATLAB počítá meze intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ podle
vzorce:
( )nm2
n2
1
d 2/
2
αχ= , ( )( )1nm2
n2
1
h 2/1
2
+χ= α− ,
nikoliv podle vzorce 2/12/1 u
n
m
n2
1
mh,u
n
m
n2
1
md α−α− ++=−−= , který využívá
aproximaci Poissonova rozložení normálním rozložením.
Úkol 5.: U 32 náhodně vybraných tabulí hliníkového plechu určeného k pokrývání střech
byly zjištěny tyto počty povrchových závad:
Počet tabulí 0 1 2 3 4 5 6
Počet závad 10 8 6 4 2 1 1
Předpokládáme, že počet povrchových závad připadajících na jednu tabuli hliníkového plechu
se řídí Poissonovým rozložením
a) Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybrané tabule se vyskytnou aspoň 3 povrchové
závady?
b) Vypočtěte meze 95% asymptotického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu počtu
povrchových závad připadajících na jednu tabuli hliníkového plechu.
Návod: Parametr λ odhadneme pomocí váženého průměru.
Zadáme varianty veličiny X, jejich absolutní četnosti, vypočítáme celkový rozsah výběru a
vážený průměr:
x=[0:6]’; nj=[10 8 6 4 2 1 1]’; n=sum(nj); m=x’*nj/n
Dostaneme m = 1,5938.
Ad a ) ( ) ( ) 215,0)5938.1,2(poisscdf12XP13XP =−=≤−=≥
Ad b) 1407,196,1
32
5938,1
64
1
5938,1u
n
m
n2
1
md 21 =⋅−−=−−= α− , h = 2,0468
d=m-0,5*n-sqrt(m/n)*norminv(0.975,0,1) = 1,1407
h=m+0,5*n+sqrt(m/n)*norminv(0.975,0,1) = 2,0468
Nepovinný úkol: Stanovte meze 95% intervalu spolehlivosti pro λ pomocí funkce poissfit.
Výsledek: 1,1867 < λ < 2,0955 s pravděpodobností aspoň 0,95.