Cvičení 8.: Příklady na systémy M/M/n/∞/FIFO, M/M/1/1 a M/M/n/m/FIFO
1. Systém M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový
režim je „první vstupuje, první je obsloužen“.
Označme
µ
λ
=β . Podíl
n
β
=ρ se nazývá intenzita provozu. Systém se může stabilizovat,
pokud 1<ρ .
Stacionární rozložení:







++=
β
=
β
=
−
K
K
,2n,1njproa
n!n
n,,2,1jproa
!j
a
0nj
j
0
j
j , kde
( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
= ∑
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě:
( )ρ−
β
=
1!n
aP
n
0Q
Charakteristiky stabilizovaného systému:
( ) ρ+
ρ−
ρ
= n
1
PNE Q , ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ , ( ) ρ= nNE S .
( )
( ) µ
+
ρ−λ
ρ
=
1
1
PWE Q , ( )
( )ρ−λ
ρ
=
1
PWE QQ , ( )
µ
=
1
WE S .
Využití systému: ρ=κ .
Příklad 1.: K benzínové stanici se dvěma čerpadly přijíždí každých 80 sekund jedno auto,
přičemž průměrná doba čerpání je 2 min 30 s. Za předpokladu, že příjezdy aut tvoří Poissonův
proces, doba čerpání se řídí exponenciálním rozložením a systém se může stabilizovat
(ověřte!), vypočtěte
a) pravděpodobnost, že u čerpací stanice budou právě dvě auta
b) střední hodnotu počtu obsazených stojanů
c) střední hodnotu doby, kterou řidič stráví u čerpací stanice.
Výsledky: ad a) 0,0567, ad b) 1,875, ad c) 20 min 38 s
Příklad 2.: V laboratoři pracují 3 laborantky. V průměru přichází do laboratoře 15 požadavků
za 1 h. Zpracování 1 požadavku trvá v průměru 10 min. Předpokládáme, že vstupní proud
požadavků je Poissonův proces a doba zpracování jednoho požadavku se řídí exponenciálním
rozložením.
a) Může se systém stabilizovat?
b) Jaký je průměrný počet požadavků čekajících na zpracování?
c) Jaká je průměrná doba, která uplyne od předání požadavku po jeho zpracování?
Výsledky: ad a) ano, ad b) 3,51, ad c) 24 min
2. Systém M/M/1/1
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je 1 linka obsluhy, kapacita systému je 1 (zákazník nemůže
čekat ve frontě a je-li systém obsazený, odchází bez obsloužení).
Stacionární rozložení: 





µ+λ
λ
µ+λ
µ
=a .
Charakteristiky stabilizovaného systému:
1Z aP = , λP = λa0, λZ = λa1, 00 aa
µ
λ
=ρ=κ , ( )
µ+λ
λ
== 1aNE , ( )
µ+λ
=
1
WE
Příklad 3.: Pracovnice v informačním středisku přijme v průměru jedno volání každých 12
minut. Hovor trvá v průměru 6 minut. Pokud je linka obsazena, volající nečeká a zavěsí. Za
předpokladu, že vstupní proud požadavků je Poissonův proces a doba trvání hovoru se řídí
exponenciálním rozložením, najděte odpovědi na následující otázky:
a) Jaké procento volání bude odbaveno?
b) Kolik hovorů se uskuteční za 1 h?
c) Jaká je pravděpodobnost odmítnutí?
Výsledky: ad a) 0,67, ad b) 3,3, ad c) 0,33
3. Systém M/M/n/m/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je omezená (je rovna m) a
frontový režim je „první vstupuje, první je obsloužen“.
Označme
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ . Systém se může stabilizovat vždy.
Stacionární rozložení:







+=ρ
=
β
=
m,1,njproa
n!
n
n,1,2,jproa
!j
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde
∑ ∑
−
= =
ρ+
β
= 1n
0j
m
nj
j
nj0
!n
n
!j
1
a .
Charakteristiky stabilizovaného systému:
0
m
n
Z a
!n
n
P ρ= ,
( )




=ρ−
≠ρ
ρ−
ρ−
=
−
1pronma
1pro
1
1
a
P
n
nm
n
Q , ( )ZP P1−λ=λ , ZZ Pλ=λ , ( ) ( )∑+=
−=
m
1nj
jQ anjNE ,
( ) ( )ZS P1NE −β= , ( )ZP1−ρ=κ .
Příklad 4.: V autoservisu jsou 3 mycí rampy a jeden pracovník, jemuž mytí auta trvá
v průměru 12 min. Za 1 h přijedou průměrně 3 auta. Jsou-li však v okamžiku příjezdu auta
všechny rampy obsazeny, auto nečeká a vrací se později.
a) Jaká je pravděpodobnost, že v autoservisu budou 0, 1, 2, 3 auta?
b) Vypočtěte střední hodnotu počtu zákazníků v autoservisu a ve frontě.
c) Vypočtěte střední hodnotu doby čekání ve frontě.
d) Jaká je pravděpodobnost, že bude volná aspoň jedna rampa?
e) Vypočtěte využití systému.
Výsledky: ad a) 0993,0
272
27
a,1654,0
272
45
a,2757,0
272
75
a,4596,0
272
125
a 3210 ========
ad b) ( ) ( ) ( ) 9044,0
272
246
NE,5404,0
272
147
NE,364,0
272
99
NE SQ ======
ad c) ( ) s18min7
272
33
WE Q == , ad d) 9,0
272
245
a1 3 ==−
ad e) 54,0
272
147
==κ