Deterministické modely Lenka Přibylová 23. dubna 2015 Model a jeho tvorba Definice: Model je zjednodušená reprezentace reálného objektu nebo systému reálných objektů zapsaná rovnicemi nebo počítačovým programem. Definice: Deterministickým modelem rozumíme model, který spontánně nemění svůj stav. Determinismus je přesvědčení, že vývoj světa je předem dán jeho současným stavem (případně jeho stavem v kterémkoliv bodě v minulosti či na počátku) a absolutně platnými přírodními zákony. Dle tohoto přesvědčení neexistují skutečně náhodné (stochastické) jevy, pocit náhodnosti je dán pouze naší neznalostí příčin. Determinismus dle některých interpretací vylučuje existenci svobodné vůle (inkompatibilismus), jejich slučitelnost je ale možná v podobě dualismu (kompatibilismus). Deterministické přesvědčení bylo silné v 18. a 19. století po objevech mnohých přírodních, zvláště fyzikálních, zákonů. Po objevu kvantové fyziky vliv determinismu mezi vědci zeslábl, přestože ve vědě zesláblo i přesvědčení o svobodné vůli. Tolik z Wikipedie... Většina vzdělaných lidí determinismus chápe právě tímto způsobem. Mou snahou bude předložit poněkud komplexnější pohled. Determinismus v moderním pojetí není v rozporu se stochastickými jevy, může je dokonce vysvětlovat. Myšlenky tohoto pojetí světa vyslovil poprvé Ilya Prigogine v 70. letech minulého století a ovlivnil tak celou moderní vědu, zvláště oblasti chemické a biochemické, fyzikální, např. právě kvantovou mechaniku, ale ovlivnil i sociální vědy. V pozadí jeho úvah stojí nelineární dynamické jevy, bifurkace a nerovnovážná dynamika. Tento pohled na dynamické chování systémů je novou vědou 21. století. Jedním z úžasných důsledků takového pojetí světa je vysvětlení vzniku řádu z chaosu, vzniku složitých struktur v případě, že je systém vzdálen od své rovnováhy. Takový systém je možný pouze v případě, že si vyměňuje energii nebo informace s okolím, tedy není izolovaný. Izolované systémy spějí nenávratně k rovnováze, stavu s maximální entropií. Věci se rozpadají, káva chladne. Interakce s okolím a výměna energie způsobuje vznik složitých struktur, nerovnovážných avšak organizovaných dějů. Život. ©Lenka Přibylová, 2015 Tvorba modelu: Účel modelu J Účel modelu Je realizovatelný? Konstrukce modelu J Zhodnocení modelu Akceptovat model Revidovat model —1 Zamítnout model a začít znovu ■ Praktické modely: Teoretické modely: Hlavní účel: management, tvorba plánu, predikce. Hlavní účel: porozumění principům, rozvoj teorie. Důležitá je numerická přesnost i na úkor jednoduchosti. Numerická přesnost není podstatná, model popisuje princip a má být co nejjednodušší. Některé procesy můžeme ignorovat, pokud nejsou numericky podstatné. Některé procesy můžeme ignorovat, pokud nejsou principielně podstatné. Předpoklady jsou kvantitativní. Předpoklady jsou kvalitativní. Model je tvořen "na míru". Model je aplikovatelný na širokou oblast. Je model realizovatelný? Nejčastější omezující podmínky jsou • čas - náročnost odhadujte spíše pesimisticky, je lépe začít s jednoduchým modelem a ten pak rozšiřovat • data - zde naopak uvažujte spíše optimisticky, mnohdy nejsou některé parametry modelu třeba, lze je obejít nebo nejsou podstatné • kapacita a výkon počítače - pokud nezpracováváte zrovna kvantitativní model počasí nebo množství hmoty ve Vesmíru můžete být klidní 2 Konstrukce modelu: 1 koncepce diagram rovnice počítačová realizace Koncepce modelu ] Které proměnné jsou pro model podstatné? Které z nich budou stavové proměnné a které exogénni proměnné a parametry. Stavovou proměnnou je proměnná, která určuje stav popisovaného systému, exogénni proměnnou je obecně funkce nezávislá na stavu systému, parametrem je konstanta nezávislá na stavu systému. Obecně je lépe začít s mnoha stavovými proměnnými, které během tvory modelu přesouváme mezi exogénni proměnné a parametry. Jak detailní bude model? Je třeba rozhodnout, které jednotky budeme považovat za identické. Při volbě velké agregace může dojít k chybám, pokud se jednotky chovají odlišným způsobem, pak je třeba jednotku rozdělit, tzv. strukturovat (druhově, věkově apod.), mluvíme pak o strukturovaném modelu. Mnohdy i přes velkou agregaci je nestrukturovaný model vzhledem jeho účelu vhodný. Stejně tak přílišný detail vede k přílišné složitosti modelu a mnoha parametrům, které je třeba odhadovat z mnoha dat - a ta nemusí být k dispozici. Musíme vhodně volit mezi chybou danou modelem a chybou danou parametry. Diagram ] • Zvolené (pro model podstatné) proměnné "uložíme do krabiček". • Zakreslíme vzájemné vztahy, které nám pomohou rozhodnout, zda je daná proměnná stavová nebo exogénni, nebo ji můžeme považovat za parametr. • Zakreslení vztahů je první kontrolou vhodné volby agregace. V prvé řadě volíme mezi statickým a dynamickým modelem. Pokud je účelem modelu najít rovnováhu systému bez ohledu na to, jakým způsobem (a zda vůbec!) se tato rovnováha ustanoví, volíme model statický. V opačném případě je nutné použít dynamické rovnice. Je třeba rozhodnout o typu dynamických rovnic. Základním vodítkem je diskrétní resp. spojitý běh času. V diskrétním případě je vhodné použít diferenční rovnice, ve spojitém diferenciální rovnice. Můžeme pak použít ODE, PDE, rovnice se zpožděním apod. 3 • Je třeba rozhodnout o linearitě nebo nelinearitě modelu. V prvé řadě tedy, zda budou procesy mezi stavovými proměnnými záviset na jedné nebo více proměnných a zda můžeme míry těchto procesů považovat za parametry a exogénni proměnné (tedy konstanty nebo funkce nezávislé na stavových proměnných) nebo zda závisí na stavových proměnných. V druhém případě je třeba volit model nelineární. Nelinearita v modelu může být dána jednak samotnými principy nebo také nelineárními odhady naměřených dat. • Rovnice v modelu musí "sedět" jednotkově. V okamžiku, kdy máme sestaveny rovnice, můžeme je zjednodušit co se týče počtu parametrů vhodnou transformací času a stavových proměnných (nondimensionalization - zbavení se jednotek). Počítačová realizace • Maple - vhodný spíše pro teoretické modely • Matlab - vhodný pro maticové zápisy • R - freeware;-) • Matcont - kontinuační balík pod placený Matlab • XppAut - freeware, vhodný pro parametrickou analýzu • Tabulkové procesory - vhodné pro diskrétní modely Zhodnocení modelu: Bylo by jednoduché říct, že zhodnotíme vhodnost modelu nakreslením reálných a simulovaných dat do jednoho grafu a porovnáme je. Není to tak, protože záleží na účelu modelu, krátkodobosti nebo dlouhodobosti predikce, možnostech dobrého odhadu parametrů apod. Žádný model nemůže být realitou, proto zhodnocení modelu nutně v některém okamžiku selže. Je na nás rozhodnout, zda je model už "dostatečně blízko ". Daleko jednodušší je porovnávat více modelů mezi sebou. Proč tak složitě, když známe lineární regresní model? • lineární regresní model prokládá naměřenými daty křivku a slouží k predikci, JENŽE • je použitelný většinou jen pro krátkodobou predikci • neřekne nic o principu chování systému a vztazích v popisovaném systému • je použitelný jen na konkrétní situaci, výsledky nelze zobecnit • popisuje pouze trend nebo naopak detail, ne obojí • nemůže odhalit, které parametry jsou pro systém podstatné a použitelné např. pro jeho kontrolu NAROZDÍL OD DETERMINISTICKÉHO MODELU!!! 4 Tři základní rady NEBOJTE SE LHÁT PODVÁDĚT a KRÁST Dobrý model obsahuje nekorektní předpoklady. Praktické modely musí být tak zjednodušené, aby množství jejich parametrů nepřesáhlo dostupná data. Teoretické modely musí být tak jednoduché, aby bylo vidět co dělají a proč. Reálný svět takový, bohužel a bohudík, není. Proto musí modely ignorovat některá fakta nebo procesy a nahradit je jednoduššími, jistojistě nepravdivými... Přesněji, dělejte věci, které budou statistiky znervózňovat, jako například použijte data závislá na jedné proměnné k odhadu parametrů rovnice závislé na mnoha proměnných, používejte znalosti z jiných oborů a používejte intuici. Data jsou pouze jeden z faktorů, které ovlivňují tvorbu modelu, další jsou zkušenost a znalost modelované problematiky. Nápady si berte odkudkoliv, nezáleží na vědním oboru. Nové vědecké objevy jsou mnohdy výsledkem konvenčních modelů s použitím konvenčních funkčních tvarů v rovnicích - jen v jiném vědeckém oboru. Jestliže již někdo vytvořil rozumný model pro proces, který se objevuje ve vašem modelu, vyzkoušejte ho. Když už někdo věnoval čas a úsilí k odhadu parametrů, použijte ho. Buďte však kritičtí a neváhejte zahodit, co jste si ukradli, pokud to nebude fungovat. Zkuste to spravit a přizpůsobit, třeba to fungovat bude ... Podvádět 5 Statické modely a komparativní statika Definice: Statickým modelem rozumíme model nezávislý na běhu času. Popisuje strukturu reálného objektu v rovnovážném stavu. Definice: Komparativní analýzou statického modelu rozumíme analýzu stavových proměnných statického modelu v závisloti na exogenních proměnných a parametrech modelu. Poznámka 1. Rovnice statického modelu nezávisí na čase. Rovnovážný stav je jejich řešením, tedy nalezením stavových proměnných jako funkcí proměnných exogenních a parametrů. Komparativní statiku popisují parciální derivace stavových proměnných podle exogenních proměnných a parametrů. Třísektorový model uzavřené ekonomiky. Chceme zjistit zda a jak ovlivňují vládní výdaje hrubý národní produkt. Budeme tedy vytvářet teoretický model, jistě realizovatelný. Koncepce: Proměnnými budou jistě vládní výdaje G a hrubý národní produkt (důchod) Y. Vládní výdaje jsou hrazeny z daní T, to bude další proměnná. Na celkovou národní produkci můžeme nahlížet také jako na celkovou sumu peněz za tento produkt, ty jsou rozděleny na tři základní části - investice I, spotřebu C a vládní výdaje G. Uvědomme si jak hrubou agregaci jsme provedli a také jaké předpoklady jsou v pozadí. Tím nejpodstatnějším je, že vše, co je vytvořeno danou ekonomikou, zde je také koupeno. Neexistuje import a export, jde o uzavřenou ekonomiku. Diagram: Do diagramu doplníme další vztahy. Spotřeba C je závisí zčásti na disponibilním důchodu (Y — T) a zčásti ne - tzv. autonomní výdaje a. Daně T jsou podobně tvořeny daněmi z příjmu Y a jinými typy daní 7. Vzhledem k účelu modelu předpokládáme, že jsou vztahy mezi proměnnými lineární. Vidíme, že proměnné Gal můžeme přesunout mezi exogénni proměnné. Stavovými proměnnými budou Y, C a T. Rovnice: Y = I + C + G, C = a + J6(Y-T), T = 7 + SY, 6 kde a>0, 0OaO<* 0. 1-/5(1-*) Relevantními parametry jsou tedy /5 a*, které lze odhadnout z naměřených dat. Vyhodnocení: Model je teoretický a těžko porovnatelný s reálnými daty, vzhledem k předpokladu uzavřené ekonomiky. Slouží k pochopení principů a tento účel splnil. Vhodnou revizí by bylo zavedení nových proměnných: exportu a importu. l: Nechť x = (xi,...,xn) je vektor stavových proměnných, a = (cti,..., ccm) je vektor exogenních proměnných a parametrů a funkce F = (F1,..., F") : ]R"+m —> ]R" je hladká. Nechťx(a) : ]Rm —>■ IR" je řešení rovnic modelu F(x, a.) = 0, tedy F(x(a), a.) = 0. Je-li jacobián F v x nenulový, tj. \DF(x)\ = F1 F" F1 xn F" 1 r.. pak je řešení úlohy závislosti rovnovážné stavové proměnné x na některé exogénni proměnné a, řešením soustavy DF(x) ■ f = -F,. (1) Důkaz. Vzhledem k předpokladu hladkosti funkce F, můžeme rovnice modelu F1(x(ol),ol) = 0, Fn{x{cc),cc) = 0 derivovat podle proměnné a,, dostáváme tedy = 0, rn i i pn 3^n , pn _ n r*l 3«; "l h r^n 3«,- T ŕ«; — u 7 což je maticově F" 1 v.. 3«; V 3«; / -F" □ Poznámka 2. Parciální derivace vektoru stavových proměnných podle zvoleného parametru _ _ ■ T dx _ / čbfi _ _ _ dx„ často nemusíme hledat všechny. Vzhledem k tomu, že |DF(x)| 7^ 0, je úloha (1) 3*7 \Dji\ jednoznačně řešitelná a řešení můžeme hledat pomocí Cramerova pravidla: ^ = , ,, kde D,( je °ai \DF{x)\ ' Jacobiho matice F v x s /-tým sloupcem nahrazeným vektorem —Fa; = (—F\,..., —F^.)T. Model trhu. Chceme zjistit zda a jak ovlivňuje spotřebitelský důchod cenu výrobku a jeho množství. Koncepce: Proměnnými budou spotřebitelský důchod Y, cena P a množství Q výrobku. Rovnováha trhu se ustanoví, pokud se nabídka S vyrovná poptávce D. Diagram: Do diagramu doplníme další vztahy. Cena P ovlivňuje nabídku S i poptávku D, poptávku ovlivňuje také spotřebitelský důchod Y. Vidíme, že proměnná Y je exogénni. Stavovými proměnnými budou PaQ. Navíc předpokládejme, že platí Rovnice: §>0, f <0 a §>o. F^PrQrY) = S(P)-Q = 0r F2(P,Q,Y) = D(P,Y)-Q = 0. Předpokládejme, že (P, Q) je tržní rovnováha. Derivací rovnic modelu podle Y dostaneme = 0, dY dF2(P,Q,Y) dY 3P dY dY dD (P,Y) dP _ 3Q , dP (P,Y) _ n 3P dY dY "T" dY ~ u- Maticově můžeme rovnice zapsat takto: 0_ dP(P,Y) ar , Jacobiho matice DF(P, Q, Y) je regulární, protože dp dP (P,Y) äp dP(P,Y) dP 3S(P) dP < 0. Parciální derivace můžeme tedy jednoznačně vyjádřit pomocí Cramerova pravidla jako dP dY 0 -1 dP(P,Y) dY -1 3S(P) dP dD(P,Y) dP -1 -1 dD(P,Y) dY 3S(P) dP dD(P,Y) dP > 0 3Q dY dp dD (P,Y) dP dD(P,Y) dY dS(P) dP dP (P,Y) dP dS(P) dP(P,Y) dP dY 3S(P) dP dP(P,Y) dP > 0 Zvýšení příjmů tedy vede ke zvýšení ceny i množství. Relevantními parametry jsou tedy |p, jjp a |y, které lze odhadnout z naměřených dat. Vyhodnocení: Model je teoretický odpovídá očekávanému výsledku, můžeme jej srovnat s reálnými daty. Simulovat 9 Statické modely interakcí a teorie her Pokud model slouží k popisu interakcí subjektů, zvlášťpokud jde o model rozhodovacího procesu v situaci, kdy dochází ke střetu zájmů, je modelem tzv. hra. Teorie her se zabývá analýzou širokého spektra konfliktních i kooperativních rozhodovacích procesů, od aukcí, přes tržní konkurenci, volby, rodinné konflikty až po evoluci a chování zvířat. Teorie her slouží především pro nalezení svým způsobem optimálního řešení konfliktu. Teorie her se zabývá jak statickými, tak dynamickými modely, modely s úplnou informací (deterministickými), tak s neúplnou informací (stochastickými). V této kapitole uvedeme některé statické modely s úplnou informací. Výběrové řízení. I Dvě firmy se zajímají o dva trhy zakázek brněnského magistrátu za 18 a 12 mil. korun. Každá z firem má finanční prostředky buď na velký úplatek jednoho úředníka, nebo na menší úplatky obou úředníků rozhodujících o přidělení zakázek. Předpokládejme, že účinnost úplatků obou firem je stejná a úředníci rozdělují podle těchto pravidel: • Dá-li úplatek jen jedna firma, dostane všechny zakázky trhu. • Dají-li úplatky téhož typu obě firmy, dělí se zakázky na polovinu. • Dá-li jedna firma velký a druhá malý úplatek získá prvně jmenovaná 2/3 zakázek a druhá 1/3 zakázek. Jaké jsou optimální strategie firem? Strategie obou firem jsou buď velký úplatek VI prvnímu úředníkovi, velký úplatek V2 druhému úředníkovi nebo dva malé úplatky oběma M (neuplácení ponechme prozatím stranou zájmu). Představme si, že jsme v pozici modré firmy. Pokud by hrála strategii V2 (2. řádek), při jakékoliv volbě strategie červené firmy, získala by méně než při volbě strategie M. Takovouto strategii nazýváme striktně dominovanou jinou strategií, V2 -< M. Stejně tak VI -< M. Striktně dominované strategie modrá firma nebude hrát, stejně se zachová i červená firma. Obě zvolí strategii dvou malých úplatků. Toto řešení má tu vlastnost, že při jednostranném odchýlení od této strategie si ani jedna firma nepolepší, říkáme mu rovnovážné řešení. Definice: Hra v normálním tvaru pro n hráčů je tvořena prostory strategií jednotlivých hráčů Si,..., Sn a jejich výplatními funkcemi U\,... un , kde každé zobrazuje Si x ■ ■ ■ x S„ do R. Označením «,(s,-,s_,) budeme rozumět w,(si,...,s„), kde s,- E Si. Definice: Nechť s'ir s" £ S, jsou dvě možné strategie z-tého hráče. Řekneme, že strategie s\ je striktně dominovaná strategií s( , s( -< s( , jestliže pro každou kombinaci strategií ostatních hráčů je výplata z-tého hráče při strategii menší než při strategii s", tj. strategie VI V2 M VI V2 M (15,15) (18,12) (12,18) (12,18) (15,15) (8,22) (18,12) (22,8) (15,15) Ui(s'ir s_,-) < «<(s", s_,-), pro libovolné strategie protihráčů s_,. 10 1. příklad: Ukažte, že strategie nedávat úplatek nebo dát jen jeden malý úplatek je striktně dominovaná strategií uplatit oba. Definice: Strategie s*,..., s* tvoří Nashovu rovnováhu, jestliže pro každého hráče je s* nejlepší odpovědí na strategie s*_j ostatních, tedy ui(s*,s*_i) > ui(si,s*_i) pro libovolné s, e Si. Jinak řečeno, s* je řešením extremální úlohy max «,(s(, s*_j). s;es; Pokud při eliminaci striktně dominovaných strategií zůstane jediná kombinace strategií, je jedinou Nashovou rovnováhou. Eliminací striktně dominovaných strategií obecně zmenšíme hru a pokud existuje Nashova rovnováha, zůstává mezi zbylými strategiemi menší hry. Obecně Nashova rovnováha v ryzích strategiích nemusí existovat. Navíc pokud existuje nemusí být pareto-optimální, tj. může existovat strategie s lepší výplatou pro daného hráče přičemž ostatní si nepohorší. Tato strategie ale není rovnovážná, protože vychýlení z této strategie by bylo pro některého hráče výhodnější. Cournotův model trhu. Chceme nalézt optimální množství výrobků, jež budou ochotny na trh dodávat firmy. Koncepce: Exogenními proměnnými budou poptávané množství M a mezní náklady c na výrobu jednoho výrobku, endogenní proměnné jsou množství q,- výrobků od jednotlivých firem. Model bude statický - firmy se v daném okamžiku rozhodnou a nezávisle na sobě volí optimální strategii. Volme tyto zjednodušující předpoklady: • poptávková funkce je lineární tvaru P(Q) = M — Q, kde Q je celkové množství dodávané na trh(proQ>M je P(Q) = 0) • postavení firem je rovnocenné a jejich produkt je homogenní, tj- Q = 0a Ylx) = ^• ) Veta (Nashova): Konečná hra n hráčů má v prostoru smíšených strategií alespoň jednu Nashovu rovnováhu. ] 13 Dynamické modely Definice: Dynamickým modelem rozumíme model závislý na běhu času. Popisuje chovaní reálného objektu v průběhu času. Dynamický model je popsán dynamickým systémem (rovnicí, soustavou rovnic, formulí). Definice: Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, 0, Vř g T. Nejmenší takové Tq nazýváme periodou cyklu Lq. Poznámka4. V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v X. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly. Definice: Invariantní množinou s rozumíme podmnožinu X splňující i0éS ^ cp řx0 e S Vř e T. Poznámka 5. Rovnovážný bod i cyklus jsou invariantní množiny. Definice: Invariantní množina s se nazývá stabilní, jestliže • Vři d s libovolně malé okolí invariantní množiny existuje okolí v d s takové, že Vx g v a Vř > 0 platí A i\? 0 rv \J -0.4 Uveďme jako příklad neviditelnou ruku trhu, která má za každých okolností přivést ekonomický systém k makroekonomické rovnováze. V biochemii uveďme například Michaelisův-Mentenové model enzymatické reakce, který si později podrobně rozebereme. Celá klasická termodynamika předpokládá postupné směřování systému k rovnováze (vyrovnání teplot a postupné dosažení maximální entropie). Tato stabilní dynamická rovnováha je ve skutečnosti právě tou statickou rovnováhou, kterou jsme studovali v předchozích modelech. Základním principem takovýchto modelů je následující úvaha. Čím více se systém odchýlí od své rovnováhy, tím větší má tendenci k ní směřovat. Tato úvaha je v mnohých případech velmi racionální a aplikovatelná na velké množství situací. Tato úvaha v sobě ale implictně zahrnuje existenci dynamické rovnováhy a její asymptotickou (dokonce exponenciální) stabilitu. Takovýto předpoklad nutně vede k rovnovážné dynamice. • Uveďme jako základní příklad Newtonův zákon ochlazování, kdy teplota tělesa se mění tím rychleji, čím větší je rozdíl teplot tělesa a jeho okolí. • Stejně tak bychom ale mohli použít lineární makroekonomický model nabídky a poptávky, kdy růst nabídky je tím větší, čím větší je převis poptávky nad nabídkou atd. • Stáda antilop migrují společně a pokud se některá dostane mimo stádo, má tím větší tendenci se k němu připojit, čím dál od něj je. 16 Dokonce i chování lidí je možné tímto způsobem modelovat. Většina lidí má tendenci nevybočovat z davu a své chování měnit tím více, čím větší je jeho odlišnost od běžné normy. Můžeme tím vysvětlit např. to, že i ateisté zmlknou v kostele nebo že si i přísný abstinent dá na Silvestra skleničku sektu, byťji nevypije. Newtonův model ochlazování. ] Koncepce: Představme si kelímek kávy právě vytažené z automatu (o teplotě Tq) a postavené do místnosti s teplotou T*. Stavová proměnná bude teplota kávy T, parametrem bude říR, které bude záviset ostatních fyzikálních veličinách (měrná tepelná kapacita kávy tvar a plast kelímku apod.). Diagram: Rovnice: dr(r) = k(T* - T(t)). (2) 5. příklad: Vyřešte rovnici s počáteční podmínkou T(0) = Tq. Odhadněte k pro konkrétní hrnek kafe. 6. příklad: Najděte rovnovážný bod rovnice a určete jeho stabilitu. Odhadněte, za jak dlouho káva "vystydne". Vyhodnocení: Teoretické výsledky srovnejte s měřením. Pokud neodpovídají, vysvětlete a navrhněte revizi. 17 Věta: Uvažujme dostatečně hladké zobrazení / : Rm —»■ Rm a rovnici x' = f(x). (3) Rovnovážný bod x* spojitého systému (3) splňuje /(**) = 0. Uvažujme nejprve případ m = 1 a Taylorův rozvoj / v rovnovážném bodě x*. Pro x ~ x* platí /(x) řa/(x*) + D/(x*)(x-x*) + --- = Df(x*)(x-x*) + .... V dostatečně blízkém okolí x* tedy platí x' k, Df(x*)(x-x*). Věta: Mějme rovnici (3) pro m = 1 a / hladkou v okolí rovnovážného bodu x*. Jestliže Df(x*) < 0, pak je rovnovážný bod x* stabilní (atraktor). V opačném případě, když Df(x*) > 0, je x* nestabilní (repeler). £>/(£*) <0 Df(x*)>0 18 Základní spojité modely růstu Spojitý exponenciální růst. Uvažujme populaci, kterou můžeme modelovat spojitě - např. množství sinic na přehradě budeme měřit v g/ m3, nebudeme je počítat. Stejně tak budeme spojitý přístup používat u populace, která nemá daná období rozmnožování (jako má mnoho druhů zvířat - narozdíl od člověka). Zajímá nás, jak se bude populace vyvíjet v čase. Označíme-li x(t) velikost populace v čase t, b okamžitou míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci popsat diferenciální rovnicí x' = bx — dx = rx, kde r je konstantní míra růstu populace a x' představuje okamžitou změnu velikosti populace. Připomeňme zde definici derivace: x(t + Ar) - x(t) , . v ;-^ = rx(t), pro Ar -> 0. Řešením je exponenciální funkce x{t) = XQert. Pokud je r < 0, tj. d > b, populace vymře (rovnovážný stav x(t) =0 je stabilní), pokud je r > 0, tj. d < b, populace bude růst nade všechny meze (rovnovážný stav x(t) = 0 je nestabilní). 7. příklad: Kdy je třeba vyhlásit zákaz koupání v přehradě, jestliže jsme minulé 4 dny v 8:00 ráno naměřili v odběrné nádobě hodnoty 2, 3, 5 a 7 mikrogramů. Hranice toxicity je 30 }ig. Simulovat v Maplu Vyhodnocení: Model lze použít v případech, kdy nám stačí krátkodobá předpověď, nebo je-li dynamika populace vzhledem k jiné modelované proměnné daleko pomalejší. Takovým příkladem může být například dynamika trhu práce a kapitálu v ekonomii, kdy dynamiku trhu práce můžeme popsat rovnicí s konstantní mírou růstu práce (odpovídající míře růstu populace). Spojitý logistický růst. ] Uvažujme nyní tuto modifikaci předchozího modelu: x' = r(t,x)x, kde míra růstu populace r(t,x) je funkcí času a velikosti populace. Volbou r(t,x) dostáváme následující rovnice populačního růstu: r(t,x) = Tq (l — —^ logistická Verhulstova rovnice, r(í,*) = r0(l-(|)/5), /3 > 0 Richardsova rovnice, 1 - - r(t,x) = r n-c > 0 Smithova rovnice, v ; ul + cf r{t,x) = 7"om ( — ) Gompertzova rovnice atd. x 19 Všechny uvedené rovnice jsou autonomní, r nezávisí na čase explicitně, pouze v závislosti na velikosti populace. K > 0 je tzv. kapacita prostředí. 8. příklad: S pomocí Maplu pro uvedené rovnice nakreslete řešení počáteční úlohy Xq = 3, pro Tq = 2, K = 100 a vhodně volené případné další parametry, nakreslete také funkce r(t,x). Najděte obecná řešení rovnic a zkoumejte jejich tvar. Najděte inflexní body řešení a vysvětlete, co znamenají. Řešení v Maplu 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := r q (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Df(x) = r0 í 1 K" Df(0) = Tq > 0, x = 0 je nestabilní s.b. Df(K) = -r0 < 0, x = K je stabilní s.b. Harrodův-Domarův model ekonomického růstu Modelujme růst hrubého domácího produktu. ] Koncepce: Uvažujme uzavřenou ekonomiku a předpokládejme, že jsou splněny následující podmínky. Kapitál ÍC vzniká investicemi I, přitom dochází k jeho amortizaci. Spotřeba a úspory S jsou pevným podílem produktu Y, zbytek produktu investujeme do tvorby kapitálu. Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce. Diagram: Je zřejmé, že amortizaci, spotřebu a úspory lze odvodit z produktu, máme tedy pouze tři stavové proměnné: produkt Y(ř) > 0, kapitál K(t) > 0 a investice I(t) > 0. Míra úspor a spotřeby je označena s (mezní sklon k úsporám a spotřebě), míra amortizace ó. Zřejmě s 6 (0,1) a 5 E (0,1). 20 Rovnice: K' = I — 3K, I = (l-s)Y, EĹ - ÍL K ~ Y ' Y' _ K'Y-Y'K Y _ í K\' Y Všimněme si nyní, že platí 0=T~T~ yž K ~ \Y) K- Odtud ($J =0. Existuje tedy konstanta r G R, taková že y = r. Toto číslo můžeme interpretovat jako kapitálovou náročnost jednotky produkce. 8. příklad: Odvoďte diferenciální rovnici pro růst produktu a vyřešte ji. Vyhodnocení: Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat: je-li r < pak produkce roste, je-li r = pak produkce stagnuje, je-li r > pak produkce klesá. To odpovídá zkušenosti: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže růst.__ Diskrétní exponenciální růst - Malthusův model. Uvažujme populaci, která se rozmnožuje a vymírá v pevně daných intervalech. Může jít o jakoukoliv populaci - ryb, rostlin nebo peněz. Může jít také o populaci, která je v pevných časových intervalech kontrolována a jiné informace o ní nemáme. Zajímá nás, jak se bude populace vyvíjet v čase. Označíme-li xn velikost populace v čase n, b míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci v následujícím čase n + 1 popsat diferenční rovnicí xn+i — xn = bxn — dxn = rxn, kde r je konstantní míra růstu populace, neboli xn+i = }ixn, kde }i = l+ r= l + b — d. Simulovat v Matlabu exponencialnirust.m Řešením je exponenciální funkce xn = Xqji". Pokud je }i < 1, tj. d > b, populace vymře (rovnovážný stav xn = 0 je stabilní), pokud je }i > 1, tj. d < b, populace bude růst nade všechny meze (rovnovážný stav xn = 0 je nestabilní). /- Věta: Uvažujme dostatečně hladké zobrazení / : ]Rm —»■ ]Rm a rovnici xn+l = f(xn)- Pevný bod x* diskrétního systému (4) splňuje /(**) =x*. 21 Uvažujme nejprve případ m = 1 a Taylorův rozvoj / v pevném bodě x*. Pro x ~ x* platí f(x) w f(x*) + Df(x*)(x - x*) + ■ ■ ■ = x* + Df(x*)(x -x*) + .... V dostatečně blízkém okolí x* tedy platí X||_|_2 x ^ D^(x ) (x^ x ). Věta: Mějme zobrazení (4) pro m = 1, hladké v okolí pevného bodu x*. Jestliže |D/(x*)| < 1, pak \xn+i — x*\ < \xn — x*\, a pevný bod x* je stabilní (atraktor). V opačném případě, když \Df(x*)\ > 1, je x* nestabilní (repeler). Pavučinový diagram: Vhodným zobrazením dynamiky zobrazení (4) pro m = 1 je následující graf: xn+l Diskrétní logistický růst - Verhulstův model. Uvažujme nyní takovou modifikaci předchozího modelu, že míra růstu r bude lineárně klesat v závislosti na velikosti populace yn. Pokud dosáhne populace určité velikosti K, kterou nazýváme kapacita prostředí, bude míra růstu nulová, pokud tuto kapacitu překročí, bude velikost populace klesat, tj. Vn+l-Vn = r[ 1 y_n K 1 + r Pokud je r ^ 0 (triviální případ), můžeme provést transformaci yn = -Kx„, kterou zmenšíme počet parametrů: xn+l = — xn)r kde ]l = 1 + T. určete pro ně podmínky stability za předpokladu, žer E (0,2). Co se děje, pokud r > 2? Vzniká stabilní cyklus periody 2. Připomeňme, že cyklus periody 2 je uspořádaná dvojice \x\,x^\ taková, že *l=/(*l) =/(/(*!)) =/(2)(*l), Xi je tedy pevným bodem zobrazení f(2\x) = ji2x(l -x)(l- jix(l - x)). (5) 22 9. příklad: Najděte všechna řešení rovnice (x) = x pro r = 2.1 a ukažte, že cyklus periody 2 je stabilní. Rada: vyřaďte ta řešení, která jsou zároveň pevným bodem f(x) (proč?), spočtěte v nich D/<2>. Výpočet v Maplu Spusťte cobweb.ode Simulovat v Matlabu logistickyrust.m Pokud zakreslíme závislost pevných bodů na parametru \i, dostaneme tzv. bifurkační diagram. Postupné zdvojování periody přechází v deterministický chaos. Spusťte logbif.ode Co je to chaos? Slovo chaos se odvozuje z řeckého X^OG a znamená nepředvídatelnost. Deterministický chaos je neperiodické deterministické chování, které je • velice citlivé na počáteční podmínky, • topologicky transitivní - což znamená, že libovolný interval transformuje na libovolný další interval • má husté trajektorie DETERMINISTICKÝ NEZNAMENÁ PŘEDVÍDATELNÝ 23 Nerovnovážná dynamika Jak je vidět, předpoklad samovolného asymptotického směřování systému k jeho rovnováze lze docela jednoduše narušit. Vznik chaotického nepředvídatelného chování trajektorie diskrétní logistické rovnice je toho důkazem. Od 70. let 20. století začíná získávat nerovnovážná dynamika ve většině aplikovaných věd své místo a nelineární dynamika začíná měnit pohled na svět a otřásá zavedenými dogmaty klasických teorií. 21. století je století nové vědy - nelineární nerovnovážné dynamiky. Kontrola chaosu metodou OGY V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými perturbacemi kontrolního parametru a. Uvažujme zobrazení Ln+1 = f(x„,a), (6) kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí své "nominální"hodnoty oq. Označme x*(a) nestabilní pevný bod zobrazení (6). V malém okolí «o můžeme aproximovat xn+1 - x*(a0) = Df(x*(a0),a0)(xn - x*(a0)) + c (a - a0), (7) kde c = |£ (x* (flo)/ ao)• Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x*(a$) pro nějaké xn platit a — «o = — k(xn — x*(ao)). (8) Substitucí (8) do (7) dostaneme xn+1 -x*(a0) = (Df(x*(a0),a0) - ck)(xn - x*(a0)). Volbou k můžeme dosáhnout stability regulovaného pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby \Df(x*(a0),a0) -ck\ < 1. Kontrola chaosu v logistickém zobrazení J Uvažujme logistickou rovnici (5), ve které kontrolujeme chaos neustálými pulzy x, = kxj po p iteracích. Definujme zobrazení F(x) = kf^v\x). Pevný bod x* regulovaného zobrazení F(x) tedy bude splňovat kf^ (x*) = x* a bude stabilní, pokud \kDf{P\x*)\ < 1. Označíme-li C(x) = ^—y^—^Df^\x), dostáváme podmínku pro oblast kontrolovatelných hodnot: |C(x)| < 1. 24 Strukturovaný spojitý dynamický model Strukturované modely se používají v případě, že je potřeba rozlišovat stavovou proměnnou podle nějakého kritéria, které ovlivňuje dynamiku. Typickým příkladem jsou epidemiologické modely, kdy v populaci rozlišujeme jedince v různých stádiích nemoci. Účelem modelu je porozumět průběhu epidemie a předpovědět, kdy epidemie odezní. Modely použitelné např. na reálné chřipkové epidemie jsou samozřejmě komplikovanější, než v této přednášce uvedené základní epidemiologické modely, princip je však stejný. Chceme modelovat epidemii infekční nemoci, kterou neumíme léčit, která však není smrtelná, např. herpes labialis, opar rtu. Koncepce: Stavovou proměnnou budou infikovaní jedinci I a náchylní jedinci S. Předpokládáme nulovou úmrtnost způsobenou nemocí a také rovnováhu mezi počtem nově narozených a přirozeně zemřelých jedinců. Toto hrubé zjednodušení můžeme použít, pokud rychlost šíření infekční nemoci je podstatně větší než růst populace. Parametrem bude samozřejmě rychlost šíření infekce j3 > 0. Diagram: CD—□ V čase t = 0 existuje Sq > 0 náchylných jedinců a Iq > 0 nakažlivých. Je zcela přirozené předpokládat, že počet nově infikovaných je přímo úměrný počtu náchylných a nakažlivých jedinců. Koeficient f> bude závislý na četnosti kontaktů v populaci a pravděpodobnosti nákazy při kontaktu náchylného a nakažlivého jedince. Rovnice: Model je popsán následujícím systémem diferenciálních rovnic: s' = -psi, ľ = psi. Řešením počáteční úlohy S(0) = S0, J(0) = J0, S(t) + I(t) = N. je funkce m = 1 + (J _ x j e-pNt 25 /ln(f-l N\ Grafem je logistická křivka, která má inflexní bod I — ^— ' "2" I ' ^ hadiska dynamiky je zajímavý graf funkce I'(t) = 1—^°-L^- (N-l+e/3Nř) který ukazuje přírůstky infikovaných. Výpočet a simulace v Maplu Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !' = /(!) :=(i(N-I)I, rovnovážné body: I = 0, I = N, Df(I) = (l(N-2I), D/(0) = j6N > 0, I = 0 je nestabilní s.b. Df(N) = -j6N < 0, I = N je stabilní s.b. Poznámka 7. Je evidentní, že pro použití modelu bude nejpodstatnější odhad parametru f>. Zkusme najít průměrný počet nakažených za jednotku času. Aby se někdo nakazil, musí se setkat infikovaný jedinec s náchylným a musí dojít k nákaze. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme z N lidí jednoho infikovaného a jednoho náchylného? N J \ N — 1 J \N J \ N -1 J Nz Tuto aproximaci můžeme provést ve velké skupině lidí, kde N2 >> N, jinak je třeba použít prvně uvedený vztah. Pokud 7 > 0 označíme průměrný počet interakcí za jednotku času a c průměrný počet nakažení při SI interakci, tj. 0 < c < 1, je počet nově nakažených za jednotku času I(t + At)-I(t) _ 2c7 Aŕ ~ Ni Provedením limitního přechodu t —»■ 0 dostáváme P N2 Později se podíváme na složitější epidemiologické modely, např. model SIR a SIRS. K tomu ale budeme potřebovat něco málo další teorie, protože vstupujeme do fázového prostoru o více než jednom rozměru. 26 Spojitá a diskrétní dynamika v ]Rm. Lineárni algebra - opakování Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A E ÍR"x" příslušné vlastnímu vektoru v E ÍR" platí Av = A v, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - AI) = 0. Matice A má v komplexním oboru n vlastních hodnot {Ai,...,A„}a příslušné vlastní vektory { v^,..., \\n } tvoří bázi C". Matice T tvořená vlastními vektory (po sloupcích) pak splňuje (Xx ■ ■ 0 A T = T 0 '•• 0 ■ ■ A„ V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru ^ ^, přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. zobecněné vlastní vektory. Jde o vektor splňující Av = Av a další vektor w, který splňuje Aw = Aw + v. Pokud je násobnost vlastní hodnoty vyšší než dva, bude se takto vytvářet kaskáda zobecněných vlastních vektorů w,-+i splňující Aw,-+i = Aw,-+i + w,-, která bude spolu s vektorem v tvořit bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. Lineární regulární transformace A i—»■ T 1 AT převádí na komplexní Jordánův kanonický tvar. Reálný tvar s reálným blokem í ^ „ j dostaneme, pokud použijeme místo komplexně sdružených vektorů v a v -fi cc/ reálnou a imaginární část u a w vektoru v = u + zw. Lineární diferenciální systém - opakování Uvažujme lineární diferenciální autonomní systém x' = Ax, (9) kde x E IR"1 a A E ]Rmxm s počáteční podmínkou x(0) = x0. Nechť A e C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A E IR je f h> eAív reálným řešením rovnice (9). • V případě A E IR, které je A:-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou t i—> eAí r í = 1,... A: reálnými řešeními rovnice (9), kde vj je systém k zobecněných vlastních vektorů (Av^ = Av^ a Av,- = Av,- + v,_i pro i > 1). • V případě A = cc ± z/3 je vlastní vektor v = u ± zw a reálnými řešeními rovnice (9) jsou pak 11—y eaŕ(cos j6ŕ ■ u - sin fit ■ w), ŕ h-> eaŕ(sin fit ■ u + cos fit ■ w). 27 Protože xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů: x0 = fcivAl + kzvX2 H-----h kmvXm, můžeme řešení x(r) (v případě jednonásobných vlastních čísel, obecně komplexních) zapsat jako x(ř) = fcieAiřvAl +fc2eA2řvA2 + ■ ■ ■ +kme^wXm. V případě násobných vlastních čísel přibývají k exponenciálním funkcím polynomy. Uvedená řešení jsou lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru řešení. Jejich lineární kombinace je také řešením (9). Maticové zobrazení 1i—»■ 4>(r) těchto řešení se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému (9). Je zřejmé, že rovnovážným bodem systému (9) je počátek, který je stabilní, pokud Re A, < 0 pro všechna i E {!,..., m}. Oscilace způsobují komplexní vlastní hodnoty. Uvažujme lineární diferenční autonomní systém x„+1 = Ax„, (10) kde x„ E IR"1, A E Rmxm, n E N0 s počáteční podmínkou x = x0. Odtud x„ = A"x0. Podobně jako ve spojitém případě má matice A obecně m vlastních hodnot A,, která jsou řešením charakteristické rovnice det(A - AI) = 0. Označme je sestupně | Ai | > | A21 > ■ ■ ■ > | Am |. Protože Xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů: x0 = k1xXl + k2xX2 H-----h kmxXm, můžeme řešení x„ zapsat jako x„ = A"(k1xh+k2xA2 +----h km xAm) = ^iA?xAl + A:2A^xA2 +----h kmKnmxKm = A?(fclXAl +fc2(^)"xA2 + ■ ■ ■ +MW"xAm) Pevným bodem systému (10) je počátek, který je stabilní, pokud \K\ \ < 1. Lineární diferenciální a diferenční rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx{m\t) + flm_1x(m-1)(r) + ■ ■ ■ + a0x(t), resp. 0 = dmXn-\-m + (lm—l^n+ni—1 + ' ' ' + ílQXn. V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_iAm_1 +----h a0. 28 Poznámka 8. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f (t) = ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). Polynom p (A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — AI) = 0 lineárního systému y[(t) = y2(t), y'm-Ai) = ym{t), y'm{t) = -^(fl«-iy«(í) + --- + «oyi(í))/ kde i/i(í) = x(t) ve spojitém případě. Podobně pro diskrétní případ 1 _ 2 J/n+1 — J/n' l/m_1 - Vm yn+i — Hn> Vn+1 = ~J^{am-\Vn^-----^fl0j/n)> kde y\ = xn. 11. příklad: Dokažte uvedené tvrzení pro 0 = ax" + bx' + cx, resp. 0 = axn+2 + bxn+i + cxn , tj. ukažte, že kořeny p (A) jsou vlastní čísla Jacobiho matice jistého dvourozměrného lineárního systému. 29 Lineární diskrétní model v rovině Samuelsonův model interakce multiplikátoru a akcelerátoru Chceme zjistit jak ovlivňuje GNP multiplikační a akcelerační princip. Multiplikačním efektem rozumíme to, že růst vládních výdajů vede k růstu GNP. Akcelerační efekt je růst investic díky růstu GNP. Koncepce: Proměnnými budou jistě vládní výdaje G a hrubý národní produkt Y, který je součem investic I, spotřeby C a vládních výdajů G. Uvažujeme uzavřenou ekonomiku. Diagram: Rovnice: Y = It + Ct + G, kde a E (0,1) je sklon ke spotřebě, ß > 0 je míra růstu investic. GNP Yt, spotřeba Ct a investice It jsou stavové proměnné, G je exogénni proměnná, a a ß jsou parametry. Jde o dynamický diskrétní model. Sloučením rovnic dostáváme lineární nehomogenní diferenční rovnici 2. řádu pro Y: Yt+2-0c(ß + l)Yt+1 + ocßYt = G (11) Pevný bod Y* (rovnováha) splňuje Y* — cc(ß + 1)Y* + ocßY* = G, tj. Y* (1 — oc) = G =>■ Y* = . Dostáváme multiplikační efekt, růst vládních výdajů vede k růstu rovnováhy Y*, multiplikátor je . To je jednoduchá komparativní statika. Nás ale bude tentokrát zajímat dynamika systému. Dynamika je dána lineární nehomogenní diferenční rovnici 2. řádu (11). Příslušná homogenní rovnice má charakteristický polynom A2 -a(ß + l)A + aß = 0 s vlastními hodnotami A 1,2 l(ß+\)±y/0L2(ß+\)2-AÜß 2 30 Podle věty o stabilitě diskrétního systému je rovnováha Y* stabilní, pokud platí |Ai 2I < 1/ tj. < 1. i(P + l)±y/oc2(p+l)2-4ccp 12. příklad: Ukažte, že postačující podmínkou stability Y* je a/3 < 1. 13. příklad: Napište obecné řešení rovnice (11). Ukažte, že osciluje pro a < 4/3 (/3 + 1) 2' 4/3 14. příklad: Vyšetřete průběh funkce a = ^ ^2. Následující graf ukazuje oblasti stability a nestability, resp. oscilací rovnováhy Y*. Vyhodnocení: Samuelsonův model multiplikátoru-akcelerátoru je prvním modelem, který vysvětluje princip vzniku oscilací GNP Taky za něj (nejen za něj:-)) dostal Paul Samuelson v roce 1970 Nobelovu cenu za ekonomii. 31 Strukturovaný diskrétní dynamický lineární model populace ] Leslieho model. Model věkově strukturované populace. Můžeme jej použít např. pro modelování populace víceleté rostliny, populace ryb nebo i lidí. Obecně je tedy účelem modelu znát (diskrétní) vývoj struktury populace. Koncepce: Proměnnými budou jistě jednotlivé věkové třídy populace: x1,... xm. Populace se kontroluje po určitých pevných intervalech. Některé skupiny produkují nové jedince, a to s různou mírou reprodukce fc, > 0 (dospělí jedinci), jiné mají míru reprodukce nulovou, b{ = 0 (nedospělí jedinci). Po nějakém čase přechází určitá část dané třídy x' do následující třídy x'+1 (tyto míry přežití označíme pro každou třídu c,-.) Diagram: C2 cm—1 Rovnice: 2 xn+l VnJ 'h b2 b3 ci 0 0 0 c2 0 bm-i 0 0 0 o bm\ 'm—l 0/ Y2 \ o o o Dostáváme lineární systém diferenčních rovnic s Leslieho maticí L a vektorem iterací struktury populace x„ = (x\,x2,,...,x™), tj. xn+l = Lxn. Věta: Předpokládejme, že pro matici L a 1 < i < m platí: b{ > 0, existuje nějaké i tak, že b{ > 0 a bj+i > 0, a 0 < c, < 1. Pak má matice L jedinou kladnou, tzv. striktně dominantní, reálnou vlastní hodnotu Ai > 0 a příslušný vlastní vektor má všechny složky kladné. ] Poznámka 9. Protože je Ai striktně dominantní, bude pro velká n x„ rí A:iA"xAl. Věková struktura populace se tedy stabilizuje proporcionálně vlastnímu vektoru . Procentní vyjádření je tedy dáno normalizovaným vektorem D — Al IxaJ Vyhodnocení: Model lze prakticky ověřit a je používán nejen pro predikci budoucí struktury populace, ale také 32 například pro kontrolu dynamického systému (odhad trvale udržitelného rybolovu, kácení lesního porostu, pěstování víceletých rostlin apod.). 15. příklad: Uvažujte populaci žen ve věkovém rozmezí 0-14,15-29,30-44 a více let. Vysvětlete následující diagram, zvolte stavové proměnné, predikujte situaci za 30 let s počátečními podmínkami danými tabulkou a odhadněte dlouhodobou strukturu populace. 0-14 1200 15-29 30-44 45 a více 1500 1000 1300 Výpočet v Maplu Kontrola systému, model těžby: 0.5 Modifikujme nyní předchozí model a uvažujme nyní kontrolovaný systém, kdy populaci částečně vytěžujeme. Může jít o pěstování rostlin, lov ryb, těžbu dřeva nebo o kontrolu populace škůdců apod. Buď ídi 0 ■ ■ ■ 0\ 0 d2 ■■■ 0 D = . . . \0 0 ■■■ dmJ matice vytěžování, 0 < dx < 1. Rovnice modelu má tedy nyní tvar x„+1 = (I - D)Lx„. Naší snahou je udržitelná těžba a stabilizace populace na úrovni x, tj. x= (I-D)Lx, kde x odpovídá vlastnímu vektoru matice (I — D)L příslušnému vlastní hodnotě Ai = 1. 16. příklad: Najděte podmínku pro udržitelnou těžbu d v případě, že d, = d pro všechna z, tj. těžba je věkově nezávislá - rovnoměrná, a je-li Ai striktně dominantní vlastní hodnota Leslieho matice L. 17. příklad: Uvažujme populaci ryb s Leslieho maticí /0 4 3 L = | 0.5 0 0 V 0 0.25 0 Můžeme zvolit rovnoměrný výlov nebo výlov některé věkové skupiny. Je některá z variant výlovu dlouhodobě udržitelná? Výpočet v Maplu 33 Nelineární dynamika a linearizace Uvažujme nyní znovu rovnici (3) resp. (4) x' = f(x) resp. x„+1 = f(x„) a hyperbolický rovnovážný bod x* E IR"1 (nemá vlastní číslo s nulovou reálnou částí pro spojitý, resp. na jednotkovém kruhu pro diskrétní případ). Podobně jako v jednorozměrném případě můžeme v okolí x* funkci f aproximovat Taylorovým rozvojem f(x) «f(x*) + Df(x*)(x-x*) + .... V dostatečně blízkém okolí x* tedy platí x' w Df (x*) (x - x*) resp. x„+1 - x* « Df (x*) (x„ - x*) a nelineální systém (3) resp. (4) se chová v okolí x* "stejně", jako jeho linearizace. Slovem stejně rozumíme topologickou ekvivalenci (nebudeme dále rozebírat), v prvé řadě jde o lokální stabilitu nebo nestabilitu rovnováhy. Věta (Věta o linearizaci): Mějme systém (3) resp. (4) s f hladkou v okolí hyperbolického rovnovážného bodu x* a jeho linearizaci. Pak v okolí x* jsou tyto systémy topologicky ekvivalentní, zejména platí: • Jestliže mají ve spojitém případě všechny vlastní hodnoty matice Df (x*) záporné reálné části, v diskrétním případě jsou-li všechny vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší než 1, pak je x* asymptoticky stabilní. • Jestliže ve spojitém případě má alespoň jedna vlastní hodnota matice Df(x*) kladnou reálnou část, v diskrétním je-li alespoň jedna vlastní hodnota v absolutní hodnotě větší než 1, pak je x* nestabilní. Poznámka 10. Charakteristický polynom v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém (3) resp. (4), tj. x = (xi,X2)T E IR2. Označme J = Df(x*) Jacobiho matici. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J - AI) = A2 - crA + A = 0, kde a = tr J = Ai + A2 je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability rovnováhy x* spojitého systému (3) v rovině jsou podmínky A = detj>0 a t7 = trj<0, kde J = Df (x*) je Jacobiho matice f v rovnovážném bodě. 18. příklad: Dokažte! 34 TopoL logická klasifikace hyperbolického rovnovážného bodu v rovině: Vlastní hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) uzel ohnisko stabilní (i.i) J r nestabilní (2,0) ohnisko nestabilní Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability rovnováhy x* diskrétního systému (4) v rovině jsou podmínky |A| = |detj| < 1, l-cr + A = l-trj + detj>0 l + a + A = 1+ trj + detj > 0, kde J = Df (x*) je Jacobiho matice f v rovnovážném bodě. 19. příklad: Dokažte! Stabilita hyperbolického rovnovážného bodu v rovině: stabilní 0 sedlo nestabilní \ nests A bilní / 1 / sta )ilní / sedlo / / nesta C sedlo bilní spojitý systém diskrétní systém 35 Dynamické modely v rovině V této části použijeme poznatky z kapitoly o systémech diferenciálních a diferenčních rovnic v rovině a aplikujeme je na některé jednoduché modely. Navážeme na statický herní model Cournotova duopolu přidáním dynamiky (spojité i diskrétní), lineárni model modifikujeme na nelineární. Uvedeme slavný Samuelsonův model multiplikátoru-akcelerátoru a strukturovaný epidemiologický model SI rozšíříme o další vztahy a přechody mezi skupinami. Dynamika Cournotova modelu duopolu - spojitý přístup Modelujme nyní dynamiku dříve uvedeného statického herního modelu duopolu. Jde o revizi modelu, kdy si uvědomujeme, že změnit množství výroby směrem k optimu zabere určitý čas a výroba bude klesat nebo růst postupně. Koncepce: Připomeňme Cournotův model. Exogenními proměnnými jsou poptávané množství M a mezní náklady c na výrobu jednoho výrobku, endogenní proměnné jsou množství q,- výrobků od jednotlivých firem. Model je dynamický, a proto q,- = cji{t) jsou funkcí času t. Poptávková funkce je tvaru P(Q) = M — Q, kde Q = Q(t) = qi(t) + ^(0 je celkové množství dodávané na trh. Produkt je homogenní, mezní náklady c jsou konstantní, tj. nákladová funkce C,(q() = cq,(ŕ), c < M. Výplatní funkcí je zisková funkce firem: ^iili'lj) = li [P(Q) ~ C] = li [M ~ ( 0 je koeficient změny. , (M-c-q2 \ / ( (12) M-c-qi ^ 12= fc\ -~-- 0 jsou parametry a S(t), I(t), R(t) stavové proměnné reprezentující okamžitý počet náchylných, infekčních a odolných jedinců v čase. Předpokládáme, že populace se v čase nemění S(t) + I(t) + R(t) = N > 0. (15) a S(0) = S0 > 0, 1(0) = J0 > 0, R(0) = 0, S0 + J0 = N. 27. příklad: Z (15) vyjádřete R(t) a zjednodušte model (14) na dvourozměrný se stavovými proměnnými S a J. 28. příklad: Ukažte, že pokud /3S(0) < v, infekce se vytratí. Zavádíme proto prahovou hodnotu ^, kterou musí počáteční populace náchylných překročit, aby se epidemie začala šířit. 29. příklad: Najděte stacionární body dvojrozměrného systému. Pokuste se nakreslit fázový portrét s pomocí j£. 38 30. příklad: Spočteme druhou derivaci ^ a ukažte, že trajektorie jsou konkávni a I nabývá své maximální hodnoty Imax = ~p (ln pšj^ 1) "i" Sq, pro Smax = ~p ■ 31. příklad: Ukažte, že platí S(t) = S(0)e ľ a provedte limitní přechod t —»■ oo, abyste nalezli rozsah infekce daný mírou Rffl = 1 — = 1 — p. 32. příklad: Ve vhodném programu simulujte model SIR. Vyhodnocení: Výstupy z modelu jsou v souladu s realitou. Chceme-li omezit rozsah epidemie, je třeba zvětšit p, je tedy potřeba zvýšit rychlost izolace infikovaných jedinců (snížit koeficient /3) a zvýšit odolnost jedinců vůči nakažení infekcí při kontaktu s infikovaným jedincem. Navíc získáváme další důležité epidemiologické informace: prahovou hodnotu, maximum infikovaných jedinců apod. Model SIRS. Koncepce: Chceme modelovat epidemii infekční nemoci, kdy infikovaní jedinci přecházejí do skupiny uzdravených (recovered), oproti předchozímu modelu však nezůstávají imunní a mohou znovu onemocnět. Diagram: Rovnice: 33. příklad: Sestavte rovnice modelu SIRS pro konstatní populaci (tj. při splnění podmínek (15)). 34. příklad: Podobně jako v modelu SIR přejděte na dvourozměrný se stavovými proměnnými S a I. 35. příklad: Najděte stacionární body dvojrozměrného systému, spočtěte zde Jacobiho matici a určete jejich stabilitu. Pokuste se nakreslit fázový portrét. Vyhodnocení: Model můžeme samozřejmě dále rozšiřovat. 39 Dynamika chemických reakcí Chemické a biochemické reakce je vhodné popisovat pomocí diferenciálních rovnic. Elementární reakce podléhají kinetické rovnici, která popisuje rychlost, se kterou interagují dvě látky a vytvářejí třetí: a + b\c Koncentrace látek se značí v hranatých závorkách a uvedenou reakci můžeme popsat rovnicí m=k[A][B]/ kde derivace koncentrace [C] je okamžitá změna koncentrace [C], tedy rychlost, s jakou je tvořen produkt reakce. Konstanta k je rychlostní konstanta, která vlastně konstantou není - závisí např. na teplotě nebo homogenitě směsi. Budeme ale předpokládat, že se teplota nemění a látky jsou dobře promíchané. Většina biochemických reakcí probíhá oběma směry: k+ a + b^c k- Změna koncentrace [a] pak splňuje m = _k+[A][B]+k_[c]. Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic. Model Michaelis-Mentenové Koncepce: Enzymy e jsou katalyzátory chemických reakcí, při kterých pomáhají ze substrátu s vytvořit produkt p, přičemž z reakce vycházejí samy v nezměněné formě. Diagram: ] e + s^c%e + p Rovnice: 40 Kinetické rovnice reakcí tedy můžeme popsat následujícími diferenciálními rovnicemi: 4? = (^! + M[C]-fci[S][E], 4r = HC]. Navíc předpokládáme, že produkt P okamžitě odebíráme, aby nešel do zpětné reakce. Je evidentní, že platí d[E] | d[C] _ n tj. [e] + [c] = eg je počáteční koncentrace enzymu, [e] tedy můžeme eliminovat. Rovnici produktu můžeme oddělit a integrovat zvlášť. Označme [S] = s a [C] = c. Úpravou tedy dostáváme dvě diferenciální rovnice: š = k-\c — k\s{eQ — c), č = kis{e0 - c) - (/c2 + /c_i)c s počátečními podmínkami c(0) = 0 a s(0) = Sq >> ěq- 36. příklad: Dokažte, že počátek je asymptoticky stabilní rovnovážný bod. 37. příklad: Nakreslete fázový portrét a graficky analyzujte systém a nakreslete přibližně tvar řešení s uvedenou počáteční podmínkou. 38. příklad: Simulujte řešení ve vhodném programu. Vyhodnocení: Z výsledků je zřejmé, že koncentrace komplexu c nejprve roste ke své maximální hodnotě a pak monotónně klesá k nule. Tato maximální hodnota je Cmax- K + g, kde ÍC = je tzv. Michaelisova konstanta. Vzhledem k tomu, že pro počáteční koncentrace enzymu a substrátu platí < < Sq, je trajektorie řešení velmi rychle přitahována k č = 0 nulklině, kterou následně "kopíruje", tj. změna koncentrace komplexu je téměř stálá. Chemici tomuto říkají kvazi-stacionární stav nebo kvazi-rovnováha, kdy platí č = k1s(e0 — c) — (k2 + k_i)c = 0 Jde o jeden ze základních bichemických dynamických modelů. Tento model vznikl na počátku minulého století a je dodnes hojně využíván. Ve složitějších modelech bichemických reakcí v buňkách jsou právě Michaelisovy konstanty různých dílčích katalytických reakcí vstupujících do dynamiky systému parametry. Kvazi-rovnováh se pak využívá pro popis složitějších enzymatických reakcí (replikace DNA, dělení buněk apod.), přičemž se předpokládá, že komplex splňuje výše uvedenou podmínku, tj. e0s(r) c(t) K + s{t)' 41 Dynamické modely interakcí Snad nejznámějším deterministickým dynamickým modelem je model interakce dravec-kořist. Tím nejjednodušším je Lotkův-Volterrův model, který stojí u základů vědní disciplíny zvané matematická ekologie. Model dravec-kořist. Koncepce: Modelujme dvě vzájemně provázané populace - populaci kořisti x a dravce y. Je zřejmé, že velikost a dynamika populace kořisti bude ovlivňovat dynamiku a velikost populace dravce a naopak. Diagram: m f(x'y) i—i g(x,y) 1 Rovnice: x' = xf(x,y) ý = yg(x>y)> kde stavové proměnné x a y reprezentují populace kořisti a dravce a f(x, y) = r — Ay a g(x, y) = eAx — d pro parametry r, A,e,d > 0. 39. příklad: Interpretujte parametry modelu (16). 40. příklad: Najděte stacionární body systému (16), spočtěte zde Jacobiho matici a určete jejich stabilitu. Lze použít větu o linearizaci? Pokuste se nakreslit fázový portrét. 41. příklad: Najděte předpis netriviální trajektorie (16) ve fázovém prostoru s počáteční podmínkou y(xg) = i/o/ použijte znalost toho, že ^ = Řešte samozřejmě v 1. kvadrantu, který je pro model smysluplný. Může trajektorie tento kvadrant opustit? Jak trajektorie vypadá? 42. příklad: Srovnejte Lotkův-Volterrův model s Kermack-McKendrickovým modelem SIR. 43. příklad: Podívejte se na Scholarpedii Vyhodnocení: Model můžeme samozřejmě dále rozšiřovat: 42 44. příklad: Nalezněte na internetu nějaké informace o modelu dravec-kořist. Pokuste se najít nějaký vědecký článek, který je jeho rozšířením. Vytvořte ve vhodném programu simulaci. Revize Lotkova-Volterrova modelu úpravou dynamiky populace kořisti: Míra růstu kořisti je v Lotkově-Volterrově modelu konstantní, bez přítomnosti predátora se kořist bude množit exponenciálně. Revidovat můžeme např. zavedením kapacity prostředí nebo prahu přežití. 1. r{x) = r 2. r(x) = r(l — -|), kde íC je kapacita prostředí 3. r(x) = r(l-f)(f -1), kde íC je kapacita prostředí a a práh přežití (tzv. silný Alleeho efekt) Predace je v Lotkově-Volterrově modelu přímo úměrná velikosti (hustotě) populace kořisti. Jeden predátor vyhledá (a uloví) za čas Ars Ax = AxAts jedinců kořisti. Okamžitá změna množství kořisti ulovená jedním predátorem, tedy jakási schopnost lovu, se nazývá funkční odpověď predátora. V případě Lotkova-Volterova modelu je tato funkční odpověď <ř>(x) = Ax. Mluvíme o funkční odpovědi Hollingova I. typu. Pokud uvažujeme, že predátor po nalezení kořisti potřebuje k jejímu ulovení a strávení nějaký další čas h (handling time), pak čas na vyhledání kořisti je zkrácen o tuto dobu, tj. Ars = Att - hAx. 43 Dosazením pak Ax Ax + AxhAx Ax \x(Att XxAti, hAx), \x AU. Funkční odpověď predátora je pak Hollingova II. typu +hXx' která pro h = 0 odpovídá předací Hollingova I. typu. Další možností revize je predace více než přímo úměrně závislá na populaci kořisti. Odtud pak podobně vyplývá funkční odpověď Hollingova III. typu d>(x) = Xxk l+hXxk , pro k > 1. Typu I. odpovídají např. dravci, kteří se krmí filtrací (planktónu, bakterií, hmyzu apod), typu II. odpovídá většinou hmyz a paraziti, typu III. pak obratlovci. Jako důvod je nejčastěji uváděn proces učení lovu, který je v populaci o malé hustotě daleko pomalejší. Goodwinův model hospodářského cyklu Představíme si nyní ekonomický model interakcí, který vede na model dravec-kořist. Koncepce: Budeme vycházet z Harrodova-Domarova modelu, přičemž budeme předpokládat, že veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována. Označme L množství zaměstnaného obyvatelstva, které za svou práci dostává mzdu W (jde vlastně o střední hodnotu mzdy). N bude množství práceschopného (nebo práceochotného) obyvatelstva. Pro zjednodušení zavedeme následující veličiny: • produktivita práce = střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem a = j-, 44 • relativní zaměstnanost v = 4, • podíl mzdy na produkci u = = . Dále předpokládejme, že míra růstu obyvatel /3 je konstantní, projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce a a relativní změna mzdové sazby závisí na relativní zaměstnanosti. Phillipsova křivka: Závislost relativní změny mzdové sazby na relativní zaměstnanosti (nebo nezaměstnanosti) popisuje Phillipsova křivka, jejíž vlastnosti byly zjištěny empiricky. Funkce cp : [0,1) —»■ IR je diferencovatelná funkce, která je rostoucí a konvexní a splňuje nerovnosti 0, (18) tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového pracovníka, musíme ho přeplatit). Phillipsova křivka jako závislost ^ na relativní nezaměstnanosti, tedy jako funkce 1 — v, je klesající konvexní funkce (otočení okolo osy v = \). Někdy se místo relativní změny mzdové sazby analogicky vyjadřuje inflace. míra nezaměstnanosti míra zaměstnanosti Rovnice: Oproti Harrodovu-Domarovu modelu nyní platí I = Y — LW, tedy při původním označení kapitálové náročnosti jednotky produkce r = y můžeme změnu kapitálu psát jako K' = rY' = Y-LW - 5rY. Odtud ¥ = í(i-«) 5. 45. příklad: Ukažte, že za daných předpokladů platí £ = I(l-M)-*-a-/5. 45 46. příklad: Za předpokladu ^ = cp(v) ukažte, že platí í = \G = «(D, D). D tedy není evolučně stabilní strategie, protože není odolná vůči vstupu mutantního fenotypu. Uvažujme naopak populaci fenotypu H. Vstoupí-li do ní jedinec fenotypu D, bude pro fitness platit u(D,H)=0 a u(H,H) = \(G-C) a logicky bude záviset na tom, zda zisk z boje G bude větší nebo menší než náklady na boj C. V případě, že G > C, pak u(D, H) < u(H, H) a mutantní fenotyp se v populaci nebude moci šířit. V této situaci bude fenotyp jestřába H evolučně stabilní strategií. V opačném případě, kdy náklady C převýší zisk G, bude se fenotyp hrdličky D moci šířit v populaci jestřábů. Uvažujeme-li smíšenou strategii, kdy se jedinec chová jako jestřáb s pravděpodobností x a jako hrdlička s pravděpodobností 1 — x, pak fitness jednotlivých fenotypu je daná vztahy u(H,xH+(l-x)D) = xu(H,H) + (l-x)u(H,D) = x\(G - C) + {1 - x)G u(D,xH+(l-x)D) = xu(D,H) + (l-x)u(D,D) = x-Q+(\-x)\G 47. příklad: Ukažte, že pokud x < ^, dochází k šíření fenotypu H a pokud x > ^, dochází k šíření fenotypu D. Rovnice: Uvažujme populaci o H jedincích fenotypu jestřába a D hrdličky, velikost celé populace je N = H + D. Předpokládáme, že každý fenotyp se rozmnožuje úměrně svému fitness «H = Tu (H, D) a«o = r£)(H,D), který závisí samozřejmě na zastoupení jedinců fenotypu H a D v populaci: H' = rH(H,D)H D' = rD(H,D)D Dynamika růstu celé populace je pak dána rovnicí N' = rH(H,D)H + rD(H,D)D = rH(H,D)%N + rD(H,D)%N = ?N, kde ř = ry[X + ?"d (1 ~ x), přičemž x představuje podíl jestřába v celé populaci. 48. příklad: Ukažte, že platí tzv. replikátorová rovnice x' = x(ľn — f). í-{G — C) G\ Pro výplatní matici ^=(n í,^) Pak fitness fenotypu jestřába bude V 0 2 G J rH = xu(H,H) + (l-x)u(H,D) = \ (G - C)x + G(l - x), fitness fenotypu hrdličky bude rD = xu(D,H) + (1 - x)u(D,D) = \G{1 - x) 50 a f = rHx + rD(l — x) = x(\(G — C) x + (1 Replikátorová rovnice pro fenotyp jestřába je proto 49. příklad: Odvoďte:-) 50. příklad: Najděte stacionární body a určete jejich stabilitu. 51. příklad: Určete zastoupení strategií jestřába a hrdličky v populaci v dlouhodobém horizontu. 52. příklad: Ve vhodném programu simulujte populaci jestřábů a hrdliček. Předpokládejte náklady na boj ve výši C = 4, zisk G = 1 a počáteční populaci jestřábů a hrdliček v poměru 1:100. 53. příklad: Porovnejte výsledek dynamického modelu s herním modelem se smíšenými strategiemi. Smíšenou strategii (x, 1 — x)T můžeme v populaci jestřábů a hrdliček vnímat jako pravděpodobnost chování náhodného jedince (samozřejmě předpokládáme, že každého jedince potkáme se stejnou pravděpodobností, tj. např. hrdličky se neshlukují). Tato smíšená strategie náhodného jedince je tedy dána právě poměrem fenotypu v populaci. Vyhodnocení: Model je samozřejmě velmi jednoduchý, právě pro svou přehlednost je jedním ze základních modelů biologie, vysvětluje sice dynamiku evoluce pouze dvou fenotypu, ale jeho princip lze použít obecně. ■x)G) + (1 -x)\G(l-x). 51 Teorie her a dynamika V této části použijeme předchozí model hawk-dove pro odvození obecnějšího principu. Půjde nám o vyjádření replikátorových rovnic pro populaci složenou z n fenotypu. Definice: Maticovou symetrickou hrou dvou hráčů rozumíme hru se stejnými konečnými n-rozměrnými prostory strategií S\ = S2 = S a symetrickými výplatními funkcemi Ui(i,j) = u2(j,i) = (aij),i,j £ S. Výplatní funkci pro smíšené strategie x,y E (S) pak zapisujeme pomocí výplatní matice A, tj. u\(x,y) = xTAy = u2(y,x) pro x,y E (S). Poznámka 11. Smíšená strategie x je rovnovážnou strategií maticové symetrické hry s maticí A právě tehdy, když pro všechny smíšené strategie x E (S) platí x Ax ^ x Axf tj. x Ax == max x Ax. *e(S) Označme ryzí strategie e, = (0,..., 0,1,0,..., 0)T (vektor s /-tou nenulovou složkou) a pro smíšenou strategii x = (x\,... xn)T definujme množinu indexů nenulových pravděpodobností C(x) = {k : Xj- > 0}. Pak platí následující věta: Věta: Smíšená strategie x symetrické maticové hry s maticí A je rovnovážná právě tehdy když xTAx > ej Ax pro všechna i i C(x) a xTAx = ejAx pravšechna i E C (x). Poznámka 12. Ryzí strategie e, je tedy rovnovážnou strategií právě tehdy, když pro všechna j platí ^ XX ^t- j x Replikátorové rovnice: Uvažujme nyní populaci n fenotypu o velikosti N(, i = 1... n, rozložení populace je tedy x = (x\,..., xn)T, kde Xj = jj-. Výplatní matice A E Mnxn určuje fitness (a tedy růst populace) z-tého fenotypu takto: NI = r,N,-, kde r,- = ej Ax. Růst celé populace je určen průměrnou mírou růstu n n N' = TN, kde f = Y^xiri = Y^xieI^x = xTAx. z'=l i=l Pro jednotlivé fenotypy tedy platí x'i = Xj(ľj —r) = x j (ejAx — xTAx). 52 54. příklad: Napište repikátorové rovnice pro symetrickou maticovou hru s maticí A = 0 1 o 0 0 2 0 0 1 55. příklad: Ukažte, že simplex X\ + x2 + X3 = 1 je invariantní množinou dynamického systému daného replikátorovými rovnicemi. (Návod: uvažujte dynamiku nové proměnné s = X\ + x2 + X3 pro s = 1.) 56. příklad: Ve vhodném programu nakreslete fázový portrét (2D i 3D), v dvojrozměrném nakreslete nulkliny spočtěte stacionární body a na základě Jacobiho matice určete jeho stabilitu (pokud to lze). 57. příklad: Uvažujte interakci dvou populací - prodejců a kupujících. Prodejce se může řídit dvěma strategiemi - buď být čestný, nebo podvádět. Kupující může buď prověřit nebo neprověřit, co kupuje. Jde o tzv. bimaticovou hru (prodávající a kupující mají obecně nesymetrické výplatní matice) Předpokládáme, že prodávající a kupující budou používat danou strategii tím více, čím úspěšnější bude (máme tu jakousi fitness daného fenotypu). Odvoďte replikátorové rovnice a nakreslete jejich fázový portrét. Návod v článku. 53 Dynamický model difúze a šíření Difúze je transportní děj, kdy termodynamický systém směřuje k rovnovážnému stavu, v němž jsou v jeho objemu vyrovnány koncentrace všech jeho složek. Je výsledkem pohybu mnoha malých částeček v náhodných směrech (Brownův pohyb). Jedním ze způsobů modelování je proto agregační přístup pomocí náhodné procházky. Uvažujme nejjednodušší případ, pohyb jedné částečky po přímce. Za čas At se posune vpravo nebo vlevo o Ax. Toto Ax bude jakási střední vzdálenost, kterou částice urazí za čas At. Platí pro ni, že její čtverec s časem lineárně roste. Ukázal to v roce 1905 Einstein při modelování Brownova pohybu. Intuitivní představa je tato: V počátečním okamžiku umístíme /-tou částečku do počátku a budeme sledovat její vzdálenost x,- (ŕ) od počátku po t krocích (v čase ť). Po t — 1 krocích se nacházíme ve vzdálenosti x,(ŕ — 1) a po dalším kroku bude naše vzdálenost rovna jedné z následujících možností x,-(ŕ) = x,-(r — 1) — £ nebo x,-(ŕ) = x,-(r — 1) + £, tedy (x,-(r))2 = (Xi(t - l))2 ± 2xi(t - m + f. Při sledování dostatečně velkého počtu částic průměrně (x(t))2 = (x(t-l))2 + f, x(0) = 0. Střední kvadratrická vzdálenost tedy bude růst úměrně času: (x(t))2 = et, tj.í^=2D Konkrétně si to představme na případě bakterií ve vodě (v tenké trubici!). Bakterie je velká asi Ax = 1CP4 cm. Difúzni koeficient D je asi D = l(T5cm2/s O vzdálenost Ax přibližně rovné své velikosti se posune asi za Ar = ifÉf- = 5 ■ 1(T* s, což je půl milisekundy. Na vzdálenost jednoho centimetru bakterie difundují ale až za čas At= =5-104s. To je skoro 14 hodin. A do dvakrát tak velké vzdálenosti jim to zabere 4 x tak dlouhý čas. Pravděpodobnost, že se částečka bude vyskytovat v čase t na místě x bude p(x, t) = \p(x + Ax, ŕ - Aŕ) + \p(x - Ax, t - At), odečtením p(x,t — At) a podělením At dostaneme p(x,t)-p(x,t-At) _ (Ax)2 p(x+Ax,t-At)-2p(x,t-At)+p(x-Ax,t-At) St - ~TXt (Xíp ' 54 Z definice derivace limitním přechodem Ař —»■ 0 a Ax —>■ 0 dostaneme rovnici difúze: £ÍE — na2P 3í ~~ udx2' (Ax)2 kde D = V2A^ = const. je difúzni koeficient. Z matematického hlediska je rovnice totožná s rovnicí vedení tepla. Zvlášť pro více prostorových dimenzí se používá pro operátor na pravé straně rovnice difúze (nebo vedení tepla) označení dx2 dx2 ^ ^ a nazývá se Laplaceův operátor. Poznámka 13. Operátor nabla je často používán v zápisech vícerozměrných dynamických systémů. Jde vlastně o zkrácený zápis vektoru parciálních derivací, tj. VJ ~ \dxľ' dx2' ■■ ■' dxn>- Zápis s tečkou pak značí použití součtu v analogii se skalárním součinem, tj. V J — dXl ^ dx2 ^ ^ dxn' Laplaceův operátor A je tedy formálně skalární součin operátorů V ■ V = A. Spojitý přístup: Uvažujme proudění tenkou trubicí: J{x,t) S x x + Ax V = S ■ Ax J(x, t) je vektor ve směru toku o velikosti hustoty částic (počet částic v čase t na jednotku plochy), S je plocha řezu. Je-li u(x, t) koncentrace částic v (x, t), pak bude v objemu V změna množství částic za Ar: S Ax u(x, t + Ař) — S Ax u(x, t) „/T/ . . -K—-^-^ = S(J(x, ř) - J(x + Ax, ř)). Dělením S Ax a limitním přechodem Ař —»■ 0 dostaneme zákon zachování hmoty: du _ _a/ 3ř dx Obecněji, pokud by částice v trubici navíc vznikaly nebo zanikaly s hustotou f(x, ř) (počet vzniklých nebo zaniklých částic na jednotku času a objemu), byla by rovnice zákona zachování ve tvaru du _ _3/ i f Hustota proudění částic J(x, ř) je nejčastěji ovlivňována dvěma jevy - advekcí, tj. přenosem částic v médiu proudícím rychlostí v, pak Jadv = VU 55 a difúzí. Difúzni proudění podléhá empirickému Fickovu zákonu Jdi f f =-DTx' tedy tok částic závisí přímo úměrně na změně koncentrace částic a směřuje k vyrovnání koncentrace. V případě čisté difúze tedy platí |f = Dg = DV2w. (19) Prozatím se spokojíme s jednou prostorovou dimenzí a podíváme se blíže na řešení rovnice difúze (19). To závisí jistě na počátečních podmínkách, ale také na dalších podmínkách. Nejčastěji jsou to podmínky okrajové, tj. koncentrace částic je určena na okraji trubice Xq e {0, /}: • u(xQ,t) = ■ oo také, protože sin je ohraničený a e ? —>■ 0. Dostali jsme tedy pro I(rf) diferenciální rovnici d-^ = -\l r,cos(r,0e-?dt=-il(r,). r co 2 /-oo j Protože I{t]) = I cos(7/£)d£, je počáteční podmínkou zřejmě 1(0) = / d£. 60. příklad: Ukažte, že platí j C e-x2dx= Ukažte, že platí j f°° 2 í e 'dl; 0 \ Místo integrálu I = / e x dx budeme hledat jeho druhou mocninu I2 = JQ e^dx-j e~^dy = Jj e~^+^dxdy 59 Označme íl 1. kvadrant dvojrozměrného prostoru s kartézskými souřadnicemi x, y. V přepisu do polárních souřadnic platí: e-^+^dxdy = j2(j e-r\ár)ácp Substitucí r2 = t dostáváme o 4' Odtud J= / e^2dx= ^. Poznámka 15. Funkce erf (x) = I d^ se nazývá Gaussova chybová funkce a má tvar 61. příklad: Ukažte, že řešením úlohy (19) s dříve uvedenými okrajovými a počátečními podmínkami je koncentrace M *2 u(x,t) =— e 4Dř. Sa/4ŤŤĎ7 Analogicky lze odvodit řešení v trojrozměrném případě jako M u(x,t) =- -e 4Dxř 4Dyř 4D2ř Poznámka 16. V jednorozměrném případě tedy maximální koncentrace umax látky v čase klesá s \. V v* 47Tř^/47rDxD1/Dzř řípadě tedy maximal dvojrozměrném případě klesá s ^ a v trojrozměrném s 62. příklad: Vytvořte animaci koncentrace u(x, t) v čase (program Maple, funkce animate). 60 Model difúze s advekcí V této a následující kapitole model difúze rozšíříme. Uvažujme znovu rovnici zákona zachovaní hmoty du _ _3J _i_ f _ d(Jdiff+Jadv) , r dt ~ dx^~ J — dx ~rJ ■ V předchozí kapitole studovaný model difúze předpokládal, že • Jadv = = 0, tj. v = 0, nedochází k advekci, tj. přenosu látky rychlostí v • / = 0, tj. v systému nevznikají nebo nezanikají žádné částice, nedochází k reakci V této kapitole porušíme první podmínku, v následující kapitole pak druhou. Ještě si povšimněme součtu Jdiff + Jadv Tuto superpozici můžeme provést pouze za předpokladu, že difúze a přenos média jsou navzájem nezávislé procesy. du _ HJdiff+Jadv) _ a(-Dgf+™) dt dx dx ' tj. v případě, že rychlost média nezávisí na čase a místě (např. nestlačitelná kapalina proudící konstantní rychlostí) du _ n d2u _ 'du tnc\\ dt - U dx2 V dx ■ [-'ĹV> Ve vícerozměrném případě pak n n 3» — n 9ziL _ V 71 iíí. dt — U I—i 'éx2 l—i 'dXi' z'=l ' z'=l což můžeme zkráceně zapsat takto: |f =DV2u-v-Vu. Pokusme se odhadnout řešení rovnice (20). V případě, že rychlost v byla nulová, vyřešili jsme rovnici difúze a našli řešení úlohy s bodovým zdrojem jako Gaussovu křivku M _ x2 u(x,t) = — e 4Dř. Sa/4tŤĎ7 Pokud bude difundující látka unášena prostředím konstantní rychlostí d / 0, bude místo x za čas t v místě vt. Substitucí £ = x — vt pak posuneme toto pohybující se místo do počátku. Řešením by měla být tedy koncentrace , , M _{x-vt)2 u(x,t) = — e 4Dř . Sa/4tŤĎ7 63. příklad: Dokažte, že substituce £ = x — vt převádí rovnici difúze s advekcí na rovnici difúze bez advekce. Poznámka 17. V dynamice tekutin se zavádí Pécletovo číslo vzt Uvažujme vzdálenost, kterou částice urazí díky advekci: La = vt a díky difúzi = \fľYi. Poměr Ld:La resp. Pe = {^)2 pak udává dominanci difúze či advekce při transportu částic tekutinou. Pro Pe ^ 1 je dominantní difúzni složka a pro Pe