Numerická matematika
1
Hyperbolické rovnice
Hyperbolická rovnice, kterou se nyní budeme zabývat má tvar
d2u _ 2d2u
dt2 ~a Ôx2 1 '
nebo ve dvou prostorových proměnných
ŕ>2„, ŕ)2„,\
(2)
Opět hledáme funkci u(t,x), která je funkcí času t a prostorové souřadnice x. Rovnice (1) se často nazývá vlnová rovnice. Ve fyzice se totiž touto rovnicí popisuje šíření vlnění, například na napnuté struně. Funkce u(t, x) potom reprezentuje výchylku struny z rovnovážné polohy v čase t a v místě x. Konstanta a představuje rychlost šíření vlny po struně.
Vlnová rovnice pro strunu je pohybová rovnice - říká nám, že zrychlení úseku struny je úměrné síle, která na něj působí. Tam, kde má výchylka struny zápornou druhou derivaci, je struna urychlována směrem dolů a naopak. Pro řešení rovnice je třeba zadat oblast řešení, okrajové a počáteční podmínky stejně jako u parabolické rovnice. Zadání počátečních podmínek se ale liší od parabolických rovnic. Na počátku nestačí zadat hodnoty funkce u(t, x), např. výchylku struny. Je třeba též zadat hodnotu derivace tj. např. rychlost pohybu struny na počátku. Počáteční podmínky mají tedy tvar
u(0, x) — p(x) (3)
?£(P,x) = q(x) (4)
Metoda sítí pro hyperbolické rovnice
Konstrukce sítě je stejná jako v případě parabolické rovnice.
Explicitní metoda
Nejjednodušší je opět explicitní metoda. Při této metodě použijeme následující aproximace derivací
d2u <+1-2<+<-1
1-j-— (5)
dt2
dx2 h2 Dosazením do (1) dostaneme diferenční rovnici pro uf
a
h2
(6)
(7)
Z této rovnice můžeme vyjádřit it™
u]+1 = 2u]    u]-1 + (^)2«+i - ^ + u^) (8)
Tato rovnice nám umožňuje vypočítat řešení v čase tn+1 z řešení v čase tn a í™-1. Oproti parabolickým rovnicím nestačí tedy znát jeden předchozí krok, ale je třeba
Numerická matematika
2
Xj-i       X| xi+] explicitní
t"*1 ■
X; xi4] Crank-Nicholsonovo
Obrázek 1: Schemata pro řešení hyperbolické rovnice.
znát předchozí kroky dva. To je problém na začátku, kdy potřebujeme inicializovat první dvě řešení pomocí počátečních podmínek. První časovou vrstvu získáme přímo z počáteční podmínky
«° = (9)
Řešení v druhém čase získáme pomocí počáteční hodnoty a derivace za předpokladu, že derivace (rychlost struny) je konstantní
u] = p(xl) + rq(xl) (10)
Tato explicitní metoda pro hyperbolické rovnice je pouze podmíněně stabilní. K zajištění stability je třeba aby platilo tzv. Courantovo-Friedrichsovo-Lewyho kritérium
\a\
Díky tomu, že v této podmínce je pouze první mocnina h, není tato podmínka tak omezující jako podmínka pro explicitní metodu u parabolických rovnic. Řešení viz program pdr-hyperb-expl. f 90.
Crankovo-Nicholsonovo schéma
Dokonalejší než explicitní metoda jsou opět metody implicitní, protože odstraňují nutnost podmínky stability. Základní implicitní metoda, která je symetrická v čase je Crankova-Nicholsonova metoda. Tato místo aproximace prostorové derivace v čase tn používá průměr z derivací v časech tn+1 a í™-11. Místo (6) tedy použijeme
■K 1 • »" i1 *
h2
(12)
(14)
Výsledné schéma tedy je
T2 "« 2h2 +a 2h2 [ó)
Opět jsme získali soustavu lineárních rovnic. Zavedeme značení
ar
a soustavy upravíme
+ (! + y«"+í = 2u?  UV + yK+i1 - 2uV + Ul-D
(15)
Matice této soustavy je velice podobná matici soustavy pro Crankovo-Nicholsonovo schéma u parabolických rovnic.