Zadání příkladů — Statistická inference II — 2017
Příklad 1. nezávislost /iatr2; pravděpodobnost pokrytí Nechť X ~ N(fi, a2), kde /i = 20 a a2 = 100. Pomocí simulační studie vypočítejte Pearsonův korelační koeficient rx s- Nakreslete šedou barvou rozptylový graf (xm, sm), kde m = 1,2,..., M, přičemž M = 5 000. Černou barvou vyznačte v grafu takové body (xm, sm), pro které platí
Xjn /J,
t\Y,7
< íij_i(qí/2). Dále vykreslete hranice, které jsou definovány body (xm, sm), jež splňují vztah
tw,m = ín-i(a/2). Vypočítejte pravděpodobnost pokrytí 95% DIS pro /i jako podíl J]m/(%im < tn-\(a/2))/M. Zvolte (a) n = 5, (b) n = 50 a (c) n = 100.
Simulaci proveďte také za předpokladu, že data pochází ze smíšeného rozdělení X ~ \pN(fi, a'f) + (1 —p)N(fi, u'^)], kde p = 0.9, fj, = 20, a\ = 100 a a\ = 400.
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.945
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.961
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
Pravděpodobnost pokryti
N=5, r=0.0177
—I-1
10 20
I
30
Pravděpodobnost pokryti
N=5, r=-0.0086
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.9515
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.9500 ## n
## aktuálni pst.pokryti 0.957
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
1
Pravděpodobnost pokryti
N=50, r=-0.0454
Pravděpodobnost pokryti
N=50, r=0.0022
co
##
## aktuálni pst.pokryti ## nominálni pst.pokryti ##
## aktuálni pst.pokryti ## nominálni pst.pokryti
n
0.942
(spolehlivost) 0.950 n
0.949
(spolehlivost) 0.950
Pravděpodobnost pokryti Pravděpodobnost pokryti
N=100, r=-0.0329 N=100, r=-0.056
2
Příklad 2. konvergence pa(k normálnímu rozdělení
1. Proveďte simulaci pseudonáhodných čísel z N'z{^, S), kde /ii = 0, /i2 = 0, tri = 1, 02 = 1, M = 10 000, r/io = 0.8.
Pro každé m = 1,2,..., M, vypočítejte realizaci výběrového korelačního koeficientu rm a Fisherovy Z-proměnné zn^m. Zobrazte histogramy simulovaných rm a z^m a superponujte je teoretickými hustotami příslušných normálních rozdělení. Vytvořte animaci zobrazující rozdělení výběrového korelačního koeficientu R a Fisherovy Z transformace pro různé rozsahy náhodného výběru n € {5,10,..., 70}.
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 5, p = 0.8
oj
o _ CO -
oj
o
I-1-1-1-1-1
0.5        0.6        0.7        0.8        0.9 1.0
P
Fisherova Z-promenna - Zr
n =5, p = 0.8
^ -
co -
TO
I-1-1-1-1-1
-0.5       0.0        0.5        1.0        1.5 2.0
Z,
2. Vytvořte animaci zobrazující rozdělení výběrového korelačního koeficientu R € {0.1, 0.2,..., 0.9} a Fisherovy Z transformace pro tyto různé korelační koeficienty. Animace vytvořte pro (a) n = 5, (b) n = 10, (c) n = 100.
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 5, p = 0.1
cd -u! --
TO
I-1-1-1-1-1
0.0        0.2        0.4        0.6        0.8 1.0
P
Fisherova Z-promenna - Zr
n=5,p = 0.1
o
oj
TO
o
o o
-2-10 1 2
3
Pearsonuv korel. koeficient -
n = 10, p = 0.1
Fisherova Z-promenna
n = 10, p = 0.1
T"
T"
0.0
0.2
0.4 0.6
P
I
0.8
I
1.0
A
/
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 50, p = 0.1
I-1-1-1-1-1
0.0        0.2        0.4        0.6        0.8 1.0
Fisherova Z-promenna
n = 50, p = 0.1
o
LO OJ
o
OJ
O LO
O
LO Ö
O Ö
-2 -1 0
Příklad 3. Test o korelačním koeficientu p: Mějme data one-sample-correlation-skull-mf.txt a proměnné největší výška mozkovny skuli.pH a morfologická výška tváře face.H (obě v mm) starověké egyptské mužské populace, o kterých předpokládáme, že mají dvourozměrné normální rozdělení A^//, S).
1. Otestujte hypotézu o tom, že korelační koeficient největší výšky mozkovny a morfologické výšky tváře je rovný 0.251.
2. Vypočítejte 100 x (1 — a)% empirický DIS pro korelační koeficient, kde koeficient spolehlivosti 1 — a = 0.95. Použijte
(a) Waldovu testovací statistiku Zyy',
(b) testovací statistiku poměrem věrohodnosti Ulr-
Výsledky Waldova testu zkontrolujte pomocí funkce cor.test(). Porovnejte empirický DIS vypočítaný funkcí cor.test() s výsledkem vypočítaným funkcí IScorQ.
5