Grafické řešení rovnic třetího stupně
A. Krasnoděmskaja
Квант № 9, 1976, překlad KO
Známý Cardanův vzorec x=
3
√−
k
54
+
√−D
108
+
3
√−
k
54
−
√−D
108
−
b
3a
, kde k = (2b3 – 9abc+27a2d)/a3,
D = (b2c2 – 4ac3 – 4b3d + 18abcd – 27a2d2)/a4, umožňuje přesně najít kořeny rovnice 3. stupně
(*) ax3 + bx2 + cx + d = 0 (kde a ≠ 0)
Výpočet kořenů podle tohoto vzorce však zabere příliš mnoho času, nemluvě o tom, že v mnoha
případech je nutno pracovat s komplexními čísly. Ale nešlo by najít kořeny rovnice (*) sice třeba
jen přibližně, ale rychleji, řekněme graficky – pomocí kružítka a pravítka? Ukazuje se, že to není
možné. Kružítko a pravítko nestačí – jak bylo dokázáno v článku В. Нильме („Квант“, 1975, № 6),
kružítkem a pravítkem je možno sestrojit jen ty hodnoty, vyjádřitelné z hodnot zadaných pouze
pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a druhých odmocnin. (Takto se např. vyjadřují kořeny
kvadratické rovnice z jejích koeficientů, proto lze kvadratickou rovnici řešit pomocí kružítka a
pravítka – o tom se mluví v článku А. Presmana (Пресман), „Квант“, 1972, № 4).
Ale nalezení kořenů rovnice 3. stupně ještě vyžaduje užití třetích odmocnin, proto je v obecném
případě pomocí kružítka a pravítka sestrojit nelze. Příklad takové „geometricky neřešitelné“ rovnice
x3 – 2 = 0 byl také uveden ve zmíněném článku В. Нильме.
Mohé úlohy neřešitelné kružítkem a pravítkem je však možno řešit pomocí jiných přístrojů nebo
důvtipným užitím pravítka (například úloha trisekce úhlu – opět v článku В. Нильме). Ani rovnice
3. stupně nejsou výjimkou – je možné je řešit graficky pomocí dvou trojúhelníků a pravítka.
Vyznačme proto v kartézské souřadné soustavě body A [b; a] a B [d; c] (obr. 1). Jestliže se nám
nyní podaří projít z bodu A do bodu B cestou A – osa x (bod M na obr. 1) – osa y (bod N) – bod B,
přičemž se v bodech M a N na osách pokaždé otočíme o 900, je číslo x0 =
xM − b
a
, kde xM
je
první souřadnice bodu M, reálným kořenem rovnice (*). Rovná se tedy délce průmětu úsečky AM
do osy x (s příslušným znaménkem) dělené koeficientem a.
Lze-li sestrojit pouze jedinou lomenou křivku těchto vlastností, má rovnice (*) buď jeden reálný
kořen a dva komplexní sdružené, nebo tři reálné stejné (= jeden kořen trojnásobný); lze-li sestrojit
takové křivky dvě, má rovnice tři reálné kořeny, z nichž jeden je dvojnásobný; existují-li takové
křivky tři, má rovnice (*) tři kořeny reálné různé.
K provedení důkazu správnosti tohoto postupu si povšimněme tří podobných trojúhelníků PAM,
OMN a QNB (obr. 1). Z jejich podobnosti dostáváme poměry PM : PA = ON : OM = QB : QN.
Dále platí PM = – ax0
, PA = a, OM = b + ax0
, QB = d, QN = c – ON. Nyní napišme výše
uvedené poměry ve tvaru
−ax0
a
=
ON
b+ax0
=
d
c − ON
, odkud plyne x0 =
−ON
b+ax0
, dále
pak x0 =
−d
c − ON
, x0 =
−d
c + x0 .(b + ax0)
a odtud nakonec ax0
3 + bx0
2 + cx0
+ d = 0.
Jak je vidět, číslo x0
je skutečně kořenem rovnice (*).
Další možnosti pro jiná umístění bodů A, B, P, Q, M, N (než na obrázku) prozkoumejte sami.
Nejobtížnější při tomto grafickém řešení kubické rovnice je nalezení (sestrojení) křivky AMNB.
To je možno provést pomocí pravítka a dvou trojúhelníků nebo pomocí příložníku a trojúhelníku.
Na obr. 2 je naznačeno, jak najít jedno řešení rovnice 2x3 + 5x2 – x – 1 = 0, je to číslo ½.
Ale tato rovnice má tři reálné kořeny, zkuste i tyto najít graficky. Řešte také následující úlohy:
Cvičení:
1. Popište oblasti, ve kterých musí ležet body A, B, aby rovnice měla:
a) tři reálné kořeny, b) dva reálné kořeny, c) jeden reálný kořen. (Míní se „...právě jeden...“ atd. KO)
2. Řešte graficky rovnice:
Ještě znovu pro přehlednost:
a) 4x3 + 11x2 + 14x + 6 = 0
Jedna lomená čára: Jeden reálný a dva imaginární
b) 4x3 + 6x2 +2x – 3 = 0 nebo jeden trojnásobný
c) 2x3 + 5x2 + x – 2 = 0 Dvě lomené čáry: Tři reálné, jeden z nich
je dvojnásobný
d) 2x3 + 4x2 – 5x + 3 = 0
Tři lomené čáry: Tři reálné různé
obr. 1 obr. 2
(Konec článku)
Poznámka:
Pro optimální vniknutí do naznačených vztahů je velmi užitečné provést si několik náčrtů, které se
týkají různých jednoduchých (předem jasných) rovnic, jak to bylo naznačeno v prezentaci na
semináři.
Jednalo se o rovnice:
4x3
+ 6x2
+ 2x + 3 = 0 x3
+ x2
– 4x – 4 = 0 2x3
+ 3x2
= 0 2x3
+ x = 0
x3
– 4x = 0 x3
+ 3x2
+ 2x = 0 x3
+ 4x2
+ 4x = 0 2x3
+ 5x2
– 3x = 0
U všech těchto rovnic lze zaručit snadné získání pravých úhlů v bodech M a N na čtverečkovaném
papíře. Teprve potom je vhodné zkusit rovnice méně evidentní, i s pomocí mechanického zařízení.
KO