Jaroslav Švrček – Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc
O geometrických nerovnostech
Přírodověcká fakulta MU Brno (20. dubna 2017)
a) Trojúhelníková nerovnost (TN),
b) Weizenböckova nerovnost (Hadwiger–Finslerova nerovnost),
c) Neuberg–Pedoeova nerovnost,
d) Eulerova nerovnost,
e) Erdös–Mordellova nerovnost.
Aplikace TN
Příklad 1
Nechť ta, tb, tc jsou délky těžnic a o obvod libovolného trojúhelníku.
Dokažte, že platí nerovnosti
4
3
(ta + tb + tc) > o > ta + tb + tc.
Příklad 2
Dokažte, že součet délek dvou úseček spojujících středy protilehlých
stran v libovolném konvexním čtyřúhelníků je menší než součet
délek obou jeho úhlopříček.
Příklad 3
Jsou-li úhlopříčky v libovolném lichoběžníku navzájem kolmé, je
součet délek jeho základen menší menší než součet délek obou jeho
ramen. Dokažte.
Příklad 4
Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí ne-
rovnost
a2
+ b2
+ c2
< 2ab + 2bc + 2ca.
Příklad 5
Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku ABC. Dokažte, že
platí nerovnosti
• 3a2
+ 2bc > 2ab + 2ac.
• a2
+ b2
+ c2
>
2
3
(ab + bc + ca) .
Příklad 6 (36. Turnaj měst, podzim 2014)
Dokažte, že v každém tečnovém mnohoúhelníku existují tři jeho
strany, z nichž lze sestrojit trojúhelník.
Příklad 7
Dokažte, že v každém konvexním pětiúhelníku existují tři jeho
úhlopříčky, z nichž lze sestrojit trojúhelník.
Příklad 8 (10. IMO, Moskva, 1968)
Dokažte, že v každém čtyřstěnu existují tři hrany, které vycházejí
z jednoho vrcholu, z nichž je možno sestrojit trojúhelník.
Weizenböckova nerovnost, některé analogie a její zobecnění
Nerovnost 1 (Roland Weizenböck)
V každém trojúhelníku platí (při obvyklém označení jeho hlavních
prvků) nerovnost
a2
+ b2
+ c2
≥ 4P
√
3.
Rovnost nastane, právě když uvažovaný trojúhelník je rovnostranný.
Nerovnost 2
V každém trojúhelníku platí nerovnost
3a2
+ 3b2
− c2
≥ 4P
√
3.
Rovnost nastane, právě když platí a : b : c = 1 : 1 :
√
3.
Nerovnost 3
V každém trojúhelníku platí nerovnost
9a2
+ 5b2
− 3c2
≥ 4P
√
3.
Rovnost nastane, právě když platí a : b : c = 1 :
√
3 :
√
7.
Nerovnost 4 (Hugo Hadwiger, Paul Finsler, 1937)
V každém trojúhelníku platí (při obvyklém označení jeho hlavních
prvků) nerovnost
a2
+ b2
+ c2
≥ 4P
√
3 + (a − b)2
+ (b − c)2
+ (c − a)2
.
Rovnost nastane, právě když uvažovaný trojúhelník je rovnostranný.
Nerovnost 5
V každém trojúhelníku platí (při obvyklém označení jeho hlavních
prvků) nerovnost
ab + bc + ca ≥ 4P
√
3.
Rovnost nastane, právě když uvažovaný trojúhelník je rovnostranný.
Neuberg–Pedoeova nerovnost
Nerovnost 6 (Joseph J. B. Neuberg, Daniel Pedoe, 1942)
Nechť ABC je trojúhelník o stranách a, b, c a obsahu P a UV W
trojúhelník o stranách u, v, w a obsahu Q. Pak platí nerovnost
a2
(−u2
+ v2
+ w2
) + b2
(u2
− v2
+ w2
) + c2
(u2
+ v2
− w2
) ≥ 16PQ.
Rovnost nastane, právě když jsou trojúhelníky podobné.
Poznámka 1.
Nerovnost byla použita ve 29. ročníku MO (kategorie A).
Poznámka 2.
Položíme-li v Neuberg–Pedoeově nerovnosti a = u, b = v, c = w,
a tudíž P = Q, dostáváme s využitím nerovnosti
(a2
+ b2
+ c2
)2
≥ 3 2 (a2
b2
+ b2
c2
+ c2
a2
) − (a4
+ b4
+ c4
)
bezprostředně Weizenböckovu nerovnost
a2
+ b2
+ c2
≥ 4P
√
3.
Nerovnost 7 (Ono, 1914; Balitrand, 1916)
V libovolném ostroúhlém trojúhelníku platí nerovnost
27(−a2
+ b2
+ c2
)2
(a2
− b2
+ c2
)2
(a2
+ b2
− c2
)2
≤ (4P)6
.
Eulerova nerovnost
Nerovnost 8 (Leonhard Euler)
Nechť r je poloměr kružnice opsané a ρ poloměr kružnice vepsané
libovolnému trojúhelníku. Pak platí nerovnost
r ≥ 2ρ.
Rovnost nastane, právě když je uvažovaný trojúhelník rovnostranný.
Poznámka.
Eulerova nerovnost je přímým důsledkem formule udávající vzdálenost
d středů kružnice opsané a vepsané v libovolném trojúhelníku
d2
= r2
− 2rρ.
Důsledek
Nechť α, β, γ značí velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.
Dokažte, že platí nerovnost
sin α + sin β + sin γ ≥ sin 2α + sin 2β + sin 2γ,
přičemž rovnost nastane, právě když ABC je rovnostranný trojú-
helník.
Erdös–Mordellova nerovnost
Nerovnost 9 (Paul Erdös, Louis Joel Mordell, 1935)
Nechť P je libovolný bod trojúhelníku ABC. Dále nechť u, v, w
jsou po řadě vzdálenosti bodu P od jeho stran a, b, c. Pak platí
|PA| + |PB| + |PC| ≥ 2(u + v + w),
přičemž rovnost nastane, právě když ABC je rovnostranný trojúhelník
a P je jeho těžiště.
Poznámka. První elementární důkaz podal v r. 1945 americký matematik
Nicolas D. Kazarinoff.
Nerovnost 10
Nechť P je libovolný bod trojúhelníku ABC. Dále nechť u, v, w
jsou po řadě vzdálenosti bodu P od jeho stran a, b, c. Pak platí
|PA| · |PB| · |PC| ≥ 8 uvw.
Rovnost nastane, právě když ABC je rovnostranný trojúhelník a P
je jeho těžiště.
Nerovnost 11 (David Francis Barrow, 1937)
Nechť P je libovolný vnitřní bod trojúhelníku ABC. Osy úhlů
BPC, CPA a APB protínají strany trojúhelníku ABC v po řadě
v bodech U, V a W. Pak platí nerovnost
|PA| + |PB| + |PC| ≥ 2(|PU| + |PV | + |PC|).
Rovnost nastane, právě když ABC je rovnostranný trojúhelník a P
je jeho těžiště.