IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
tatem illius (loci) paris et multiplica per eum numerům prove-nientem ex addicione primi et Ultimi numeri (scilicet, et multi-plicetur numerus addendus per medietatem locorum; ut 1, 2, 3, 4, adde 1 ad 4 et erunt 5, multiplica 5 per 2 et erunt 10). Si autem numerus locorum (perfiguras suas scriptus) fuerit impar, tunc adde primům numerům (qui est in capite more nostro scri-bendo) cum ultimo (id est finali) et illius agregati (primi cum ultimo) summas medietatem et per illam medietatem (locorum) multiplica numerům locorum (descriptum perfiguras) et habebis (in qualibet progressione), quod queris.
IX. Pro invenienda radice (tamquam difficili, quia qui inven-cionibus inhiat, laboribus inculcatur, tamquam principali, quia est primus principalis numerus) quadrati vel cubici numeri est sciendum, quod numerus quadratus (dictus a quadrato corpore)
Pro invenienda. Post plenám determinacionem 8 specierum ar-tis algoristice, in quibus quid sit et quomodo in unaquaque est operandům, edoctum est, consequen-G 12r ter autor descendit ad nonam et ul-timam speciem, in qua radices numerorum dočet invenire et in-ventas diffinire et denominare. Et dividitur, nam primo ostendit, quid sit numerus quadratus et quid cubicus, in secunda parte ostendit, quid sit extrahere radičem quadra-tarn vel cubicam, tercio dočet modům extrahendi radičem quadra-tarn; prima in loco, secunda ibi
Radičem autem, tercia ibi Si ergo velis, quarto docet praxis sue pro-bacionem, ibi Si probare velis. Et primo descendendo, quid sit numerus quadratus, dicente. |
[Numerus quadratus.] Quadratus numerus est numerus proveni-ens ex sui ductu in se semel. Hie autem est species numeri superficialis; racio, quia superficiem a di-visis unitatibus claudere potest et constituere quadrangulum equali-bus lateribus dispositum. Huius cognicionem dat: Utilitas, regula, cautela, probacio.
10
15
20
25
vezmi polovinu toho sudého (místa) a násob jím číslo vzešlé ze sečtení prvního a posledního čísla (tak učiň, a násobí se sečtené číslo polovinou míst; např. 1, 2, 3, 4: sečti 1 a 4, to je 5; 5 násob dvěma a vyjde 10). Bude-li však počet míst (vyjádřený počtem číslic) lichý, pak sečti první číslo (které' je na začátku, psáno naším způsobem) s posledním (tj. konečným), z tohoto součtu (prvního s posledním) vezmi polovinu a touto polovinou (míst) násob počet míst (vyjádřený počtem číslic) a budeš mít (v jakékoliv posloupnosti), co hledáš.92
IX. K nalezení kořene (namáhavému, neboť ten, kdo jde za objevy, bývá udolán lopotou, a důležitému, protože kořen je první výchozí číslo) čísla čtvercového nebo krychlového je třeba vědět, že číslo čtvercové (nazvané podle čtvercového obrazce) je číslo, které vychází (vzniká) z násobení sebe sama sebou samým
30
K nalezení. Po úplném vysvětlení osmi úkonů algoristického umění, při nichž bylo důkladné vyloženo, co tyto úkony jsou a jak je třeba při každém postupovat, přistupuje nakonec autor podobně k devátému a poslednímu úkonu, v němž učí nalézat kořeny čísel a nalezené definovat a pojmenovávat. A výklad je rozdělen, neboť za prvé ukazuje, co je číslo čtvercové a co krychlové, ve druhé části ukazuje, co to znamená najít čtvercový či krychlový kořen, za třetí učí hledat kořen čtvercový; začátek první části je zde, druhá začíná
slovy Najít kořen, třetí Chceš-li tedy; za čtvrté učí ověření svého postupu, tam, kde jsou slova Chceš-li si ověřit. A nejprve přistupuje k tomu, co je číslo čtvercové, a říká (viz text).
[Číslo čtvercové.] Čtvercové číslo je číslo pocházející z násobení sebou samým. Toto číslo je druh čísla plošného, a to z toho důvodu, že může rozdělenými jednotkami uzavřít plochu a vytvořit čtyřúhelník vymezený stejnými stranami. Poznání tohoto čísla je dáno užitečností, pravidlem, upozorněním a zkouškou.
2 et Ultimi numeri ] numeri et Ultimi F - 10 queris ] queris. Hec suffi-ciant cuilibet iuveni in ante composita ( = in arte compotistica Si) F -13 est sciendum ] et sciendum F - 17b probacionem Si ] operacionem G, com-mentarius in F abest - 22a radices Si ] species G, commentarius in F abest - 25b a divisis unitatibus Si ] a divisis G, commentarius in F abest
98
99
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
G llv est numerus, qui provenit (excrescit) | ex multiplicacione sui-ipsius in seipsum (et sie omnis numerus in se multiplicatus est
(a tak každé číslo násobené sebou samým je čtvercové), např. když řekneme dvakrát dvě jsou čtyři; tedy 4 je číslo čtvercové a
Utilit as. Et est cognicio nume-ri in sui denominacione, nam nisi radix numeri propositi cognosca-tur, eius denominacio totaliter ig-noratur. Et similiter quia in Alfon-cii tabulis et aliis astronomicalibus exigitur.
Regula. Omnis numerus propositus magnus vel parvus, si est par, sub penultima, si impar, sub ultima incipit extrahere radičem quadratam hoc modo: Primo digitals est inveniendus, qui in se ductus deleat numerům supra-positum quanto vicinius potest, deinde secundo idem duplandus est et sub altera ponendus figura cum suo subduplo, semper hoc G llr modo faciendo, donee proveniatur ad ultimam figurám, si potest.
Cautela prima. Si sub numero proposito digittus propter sui par-vitatem inveniri non potest, qui ductus in duplatum et postea in se more quadrato deleat numerům su-prapositum, tunc cifra ponenda est sub tercia figura versus dextrum et duplata sunt anterioranda, donee digittus ante duplata inveniatur,
qui ductus in duplata et postea in se etc. 5
Secunda. Si aliquando numerus articulus vel compositus excrescit, ita quod ultimas figuras omnes sequentes occupet, ob cuius occupacionem digittus non habet 10 locum, ubi inveniatur, tunc articulus addatur ad figurám precedentem numeri duplati vel ponatur in loco vacuo sine anterioracione du-platorum. 15
Probacio. Accipiantur numeri subdupli cum digitto ultimo inven-to et ducantur per multiplicacio-nem in se et veniet numerus propositus, si fuerit pure quadratus; si au- 20 tem non, tunc addatur residuum. |
Nota, quod numerus quadratus est numerus productus ex multiplicacione numeri eiusdem per seipsum ad constituendam superfi- 25 ciem equalium laterum per divi-sionem unitatum, et sic quadratus proporcionaliter dicitur a superfi-cie quadrata vel a corpore quadrato. Sicut enim superficies qua- 30 drata dicitur ilia, cuius longitudo tanta est, quanta latitudo, ut sic:
17b subdupli Si ] duplati G, commentarius in F abest - 28b proporcionaliter dicitur a superficie quadrata Si ] proporcionaliter a superficie G, commentarius in F abest
Užitečnost. Užitečnost spočívá v poznání denominace čísla, protože není-li kořen daného čísla znám, je jeho pojmenování úplně neznámo.93 A rovněž proto, že je ho třeba při hledání v alfonsin-ských a jiných astronomických tabulkách.
Pravidlo. U každého daného čísla, velkého či malého, je-li sudé, se začíná hledat čtvercový kořen pod předposlední číslicí, je-li liché, pod poslední, a to tímto způsobem: Za prvé je třeba nalézt digitus, který znásoben sebou samým vyruší číslo nad ním napsané, jak může nejblíž; pak za druhé je třeba tentýž digitus zdvojit a napsat ho i s jeho subduplem pod další číslici; a takto je třeba dále postupovat, dokud se nedojde -je-li to možné - k poslední číslici.
První upozornění. Jestliže pod daným číslem nemůže být kvůli jeho malé kvantitě nalezen digitus, který by znásoben dvojnásobkem a potom sebou samým kvadratickým způsobem vyrušil číslo nad sebou napsané, pak je třeba napsat pod třetí číslici směrem doprava nulu a dvojnásobky posouvat dopředu, dokud se před nimi nenajde digitus, který znásoben dvojnásobky a potom sebou samým atd.
Druhé. Vyjde-li někdy artiku-lus nebo číslo složené, takže obsadí všechny následující poslední číslice a kvůli tomuto obsazení nemá digitus místo, kde by mohl být umístěn, pak se artikulus přidá k předcházející číslici zdvojeného čísla nebo se napíše na prázdné místo bez posouvání dvojnásobku.94
Zkouška. Vezmou se subdupla s posledním nalezeným digitem,93 znásobí se sebou samými a vyjde dané číslo, bylo-li čistě čtvercové; jestliže však dané číslo nevyjde, pak se přičte zbytek.
Všimni si, že čtvercové číslo je číslo vzešlé z násobení téhož čísla sebou samým, takže rozdělením jednotek vytváří plochu o stejných stranách, a je tedy náležitě podle čtvercové plochy nebo čtvercového obrazce nazýváno čtvercovým. Totiž tak jako se čtvercovou plochou nazývá ta, jejíž délka je stejná jako šířka, jako tato: □, tak čtvercovým číslem se nazývá to číslo, které rozděleno na jednotky má tolik jednotek na délku jako na šířku, jako toto: :: Za druhé: Tak jako se čtvercový obrazec liší od obrazce obdélníkového, tak seť, čtvercové číslo liší od čísla obdélníkového; čtverec je totiž tvořen
100
101
IX. Extraccio rad i c um
IX. Odmocňování
quadratus), ut dicendo bis duo sunt 4; et sic 4 est numerus quadratics et 2 est radix (quia ducitur in se semel) illius numeri.
číslo 2 je kořen (protože je násobeno samo sebou jedenkrát) tohoto čísla. Krychlové číslo (nazvanépodle krychlového tělesa,
□, sic numerus quadratus dicitur ille, qui divisus per unitates tot habet in longitudine, quot in latitudi-ne, ut sic: :: Secundo: Sicut figura quadrata differt a figura quadran-gula, sic numerus quadratus a qua-drangulo. Quadrata enim figura equalibus constitutor lateribus, ut dicit magister Dominicus Parisien-sis in sua Practica geometrie, sic numerus quadratus in omnibus sui partibus dum dividitur per unitates, equalibus constat unitatibus. Et sicut quadrangula figura dicitur, ubi latus unum est inequale alteri, ut sic: D, sic et numerus qua-drangulus divisus inequalibus constat unitatibus, ut patet in quolibet numero superficiali non quadrato, ut sic: ::: Ex quo patet, quod qua-ternarius est primus numerus quadratus, novenarius secundus, ut patet in ista figura:
4 9 16 25 36 49 64 81 23456789
Nota, quod superficies aput ma-thematicum est longitudo et latitu- 5 do sine profunditate et spissitudi-ne, piano tantum contenta.
Dicitur quadratus quasi divisus per unitates, habebit quatuor latera equalia ad modum corporis qua- 10 drati, utbis duo sunt quatuor: ::
Differencia inter quadratum et quadrangulum, quia numerus quadratus est figura habens quatuor latera equalia, ut □, sed quadran- 15 gulus est figura habens alteram partem longiorem, ut hie □ . Et sic senarius est quadrangulus et non quadratus, ut: :::
[Radix.] Radix numeri est ille 20 numerus, qui ducitur in se semel, ut bis duo sunt 4; quaternarius ergo est numerus quadratus et bina-rius est radix eius. Ex hoc patet, quod primus numerus, qui potest 25 scribi ad modum quadrati, est quaternarius. I
stejnými stranami, jak říká mistr Dominik Pařížský96 ve své Praktice geometrie, a tak také čtvercové číslo, když je rozděleno na jednotky, sestává ve všech svých částech ze stejného počtu jednotek. A tak jako obdélníkem je nazýván obrazec, v němž se jedna strana nerovná druhé, jako tento: □, tak i číslo obdélníkové, je-li rozděleno, sestává z nestejného počtu jednotek, jak je zřejmé u jakéhokoliv plošného čísla nikoliv čtvercového, jako toto: ::: Z toho je jasné, že první čtvercové číslo je čtverka, druhé devítka, jak lze vidět z této tabulky: 4 9 16 25 36 49 64 81 23456789 Všimni si, že podle matematiků je plocha délka a šířka bez hloubky a tloušťky, vymezená pouze rovinou.
Čtvercovým číslem se nazývá to, které - je-li rozděleno na jednotky - bude mít čtyři stejné strany jako čtverec, např. dvakrát dvě jsou čtyři: ::
Rozdíl mezi čtvercovým a obdélníkovým číslem je ten, že čtvercové číslo je obrazec o čtyřech stejných stranách, jako tento: □ , obdélníkové je naproti tomu obrazec, který má jednu stranu delší, jako tento: D. A tak šestka je číslo obdélníkové a nikoliv čtvercové, takto: :::
[Kořen.] Kořen čísla je to číslo, které je násobeno sebou samým jedenkrát, např. dvakrát dvě jsou čtyři; čtverka je tedy číslo čtvercové a dvojka je jeho kořen. Z toho je jasné, že první číslo, které může být napsáno na způsob čísla čtvercového, jsou čtyři.
1 est numerus quadratus ] numerus quadratus est F - 2 illius numeri ] eius F - 5b longitudo et Si ] longitudo G, commentarius in F abest - 15a partibus Si ] parte G, commentarius in F abest - 17a sicut Si ] sic G, commentarius in F abest - 19a quadrangulus Si ] quadratus G, commentarius in F abest - 26b quaternarius Si ] quadratus G, commentarius in F abest
12a apud Dominicum de Clavasio, Practica geometrie (ed. H. L. L. Bu-sard, The Practica geometriae of Dominicus de Clavasio, in: Archive for History of Exact Sciences, 2, 1965, 520-575) non invent
102
103
IX. Extraccio radičům
Numerus autem cubicus (a corpore cubo dictus, primo modo) est ille (scilicet numerus), qui provenit ex ductu suiipsius (et non alterius) in se (scilicet ipsum) bis, vel semel in se (secundo mo-do, tamquam quadratus) et semel in suum quadratum, ut dicendo (exemplum primi) bis duo bis sunt 8, vel sic (exemplum secundi) bis 2 sunt 4 et bis 4 sunt 8; et sic 2 erit radix istius numeri cubici F 45r 8. Ex hoc habetur, quod idem numerus | potest esse radix numeri
G llv Numerus autem cubicus. Hic ostendit, quid sit numerus cubicus, et dicit. Notandum, quod numerus cubicus dicitur a cubo corpore, quia habet corporis cubi similitu-dinem. Nam sicut corpus cubicum quatuor continetur dimensionibus, scilicet linearum certo numero, an-gulis, qui sunt termini linearum, et superficiebus, que sunt longitudo et latitudo composita, et lateribus, que sunt extremitates superficie-rum, sic cubicus numerus quatuor in se continet denominaciones vo-cum, ut dicit Hugucio et Papi as, ut bis duo bis sunt 8. Est autem cu-bus secundum Algorismum antiquum corpus habens sex superficies, 8 angulos et duodecim latera. Item nota, quod primus numerus
cubicus est 8, quia radix eius est primus numerus, secundus 27, ut 10 patet in hac figura: 8 27 64 125 216 343 512 729 23456    7     8 9
[Qui provenit.] Duplex forma est inveniendi numerům cubicum: 15 Prima ducendo unum numerům in seipsum bis, ut bis duo bis sunt octo; secunda ducendo aliquem numerům in se semel et semel in suum quadratum per coniunccio- 20 nem tarnen copulativam, ut patet in textu, ita tarnen, quod numerus ultimus adverbialster sumptus debet multiplicare totum precedens.
[Idem numerus.] Notabile va- 25 lens ad omnem radicum extraccio-nem.
6 2 sunt ] 2 et sunt F - istius ] ipsius F - 7 8 ] om. F - 23b adverbialiter Si ] adnumeraliter G, commentarius in F abest - 27a duodecim Si ] duo G, commentarius in F abest
23a Hugutio Pisanus, Liber derivationum, s. v. cubon (NK VII C 20 f. 109r) - Papias, Mater verborum, Venetiis 1496, s. v. cubos: Cubos graece, latine tessera vel cubus dicitur, quae octo angulis constat undique, ut bis bina bis - 25a lohannes de Sacrobosco, Algorismus communis (ed. M. Curtze, 15)
IX. Odmocňování
prvním způsobem) je však to (totiž číslo), které vychází z násobení sebe sama (a ne jiného) sebou (totiž samým) dvakrát, nebo z násobení jednou sebe sama (druhým způsobem, tak jako čtvercové) a jednou svého čísla čtvercového, např. když řekneme (příklad prvního způsobu) dvakrát 2 dvakrát je 8, nebo takto (příklad druhého způsobu): dvakrát 2 jsou 4 a dvakrát 4 je 8; tedy číslo 2 bude kořenem tohoto krychlového čísla 8. Z toho plyne, že totéž číslo může být kořenem čísla čtvercového i krychlo-
Krychlové číslo je však. Zde ukazuje, co je to číslo krychlové, a říká (viz text). Je třeba poznamenat, že krychlové číslo se nazývá podle krychlového tělesa, protože má podobu krychle. Totiž tak jako krychle je určena čtyřmi rozměry, určitým počtem přímek, úhly, které jsou konci těchto přímek, plochami, které jsou délka a šířka složeny dohromady, a stranami, které jsou konci těchto ploch, tak krychlové číslo v sobě obsahuje čtyři slovní pojmenování, jak říká Hugutio" a Papias,98 např.: dvakrát dvě dvakrát je 8. Podle starého al-gorismu" je však krychle těleso mající šest ploch, osm úhlů a dvanáct stran.100 Rovněž si všimni, že první krychlové číslo je 8, protože
jeho kořen je první číslo, a druhé krychlové je 27, jak je to zřejmé z této tabulky:
8 27 64 125 216 343 512 729 23456 7 8 9 [Které vychází.] Existuje dvojí způsob, jak najít číslo krychlové: Za prvé násobením jednoho čísla sebou samým dvakrát, např. dvakrát dvě dvakrát je osm, za druhé násobením nějakého čísla jednou sebou a jednou svou mocninou prostřednictvím slučovací spojky, jak je to ukázáno v textu, a to vždy tak, že poslední číslo vyjádřené příslovcem násobí předcházející celek.
[Totéž číslo.] Poučka, platná pro každé odmocňování.
104
105
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
quadrati et cubici (non tarnen illius radicis idem est cubitus et quadratus nec cubicus est quadratus).
Radičem (in omnibus numeris) autem extrahere non est aliud, nisi proposito aliquo numero (magno vel parvo) radičem eius (a qua procedíš) invenire quadratam vel cubicam secundum quan-titatem numeri propositi (quia ex quantitate numerorum gignitur radix numerorum adequata). Unde extrahere (ostendere) radičem quadratam (id est principium, a quo numerus denominatur
[Radičem autem extrahere.} Hic autor ostendit in generali, quid sit extrahere radičem numerorum, secundo ostendit in speciali, quid sit extrahere radičem numeri quadrati, ibi Unde extrahere; quoad primum dicente.
Notandum circa illam parti-culam Radičem autem extrahere. Unde sciendum, quod radix in proposito est principium princi-pians et constituens numerům, sine quo numerus esse non potest, ut quaternarius sine duobus esse non potest, quia semoto binario quaternarius omnino esse non potest. Et sic radix, ideo quia sicut radix est principium vite, nutrimenti, alimenti et dilatacionis plante et arboris, sic radix in numeris prin-cipiat numeros et eos dilatat in suis speciebus vel generibus. Item sicut radix arboris vel plante in terra occultatur et vitam dat ab-scondite plante vel arbori, sic ra-
dix numeri continetur virtualiter, 10 id est materialiter et non formaliter, in numero, quem principiat. Item sicut arbor presupponit radičem tamquam effectus suam causam et originatum suam originem, 15 sic presentes numeri presupponunc suas radices ad esse suum, quia nisi radices essent, alii numeri esse non haberent.
Utilitas est scire quantitatem 20 numeri, utrum sit figure quadrate, et sic de aliis; secunda, quia valet ad thabulas astronomicas.
[Extrahere radičem quadratam.] Radičem quadratam alicuius 25 numeri extrahere est proposito numero ellicere unum numerům, qui ductus in se quadrate, scilicet se-mel per modum multiplicacionis, constituit numerům propositum; et 30 hoc est verum, si numerus quadratus fuerit propositus. Si vero non fuerit quadratus, tunc ex numero proposito est elicere unum numc-
3 aliud ] om. F - 8 quadratam ] quadratum F - 15b suam Si ] suum G, commentarius in F abest
véno (avšak krychlové a čtvercové od toho kořene není totožné a krychlové není současně čtvercové).m
Najít kořen (u jakéhokoliv čísla) není nic jiného než k nějakému danému číslu (velkému či malému) najít podle velikosti daného čísla (protože z velikosti čísel se rodí přiměřený kořen čísel) jeho čtvercový nebo krychlový kořen (od něhož pak postupuješ vpřed). Z toho plyne, že najít (ukázat) čtvercový kořen (tj. východisko, jímž je čtvercové číslo určeno) znamená najít k nějaké-
[Najít kořen.] Zde autor obecně ukazuje, co to je najít kořen čísel, za druhé ukazuje speciálně, co to je najít kořen čtvercového čísla, tam, kde jsou slova Z toho plyne, že vytáhnout; pokud jde o první část, říká (viz text).
Poznámka k oné části Najít kořen. K tomu je třeba vědět, že kořen v tomto případě je východisko, určující počátek čísla a číslo ustanovující, bez něhož číslo nemůže existovat, např. čtverka nemůže vzniknout bez dvojky, protože odstraníme-li dvojku, čtverka nemůže vůbec existovat. A proto právě tak jako je kořen předpokladem života, výživy, živení a rozšiřování rostliny a stromu, tak kořen v číslech dává číslům začátek a rozrůzňuje je do druhů a rodů. Rovněž tak jako je kořen stromu nebo rostliny skryt v zemi a neviděn dává rostlině či stromu život, tak je kořen čísla v čísle, jehož je východiskem, obsažen virtuálně, tj. materiálně, a nikoliv formálně.
Rovněž tak jako strom předpokládá kořen, účinek svou příčinu a vzniklé svůj původ, tak existující čísla předpokládají pro své bytí své kořeny, protože kdyby nebyly kořeny, nemohla by existovat jiná čísla.
Užitečnost tohoto úkonu spočívá v tom, že víme o kvantitě čísla, zda je čtvercem, a tak podobně u jiných čísel; druhá užitečnost spočívá v tom, že odmocňování je potřebné k astronomickým tabulkám.
[Najít čtvercový kořen.] Najít čtvercový kořen nějakého čísla znamená vybrat k danému číslu jedno číslo, které znásobeno sebou kvadraticky, totiž násobením jedenkrát, vytváří zadané číslo; a to platí tehdy, bylo-li zadané číslo čtvercové. Jestliže však čtvercové nebylo, pak to znamená vybrat k danému číslu číslo, které znásobeno sebou samým vytváří největ-ší čtvercové číslo, obsažené v dař ném čísle.
106
107
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
12r
quadratus) est proposito aliquo numero radičem quadratam in-venire, id est numerům, qui semel in se (ipsum et non in alium) ductus (per multiplicacionem) constituit numerům propositum, si est precise quadratus (id est pur us quadratus sine addicione alterius); si autem non (potest ostendere numerům precise qua-dratum), tunc maximum (quantum) quadratum contentum (inclusive) sub numero proposito (tamquam contentum in conti-nente).
Si ergo velis alicuius numeri (magni vel parvi) propositi radičem quadratam (a qua dicitur numerus quadratus) invenire, scribe numerům propositum per suas differencias (figuras) et computa numerům figurarum (loca numerorum), utrum sit par vel impar. Si par, incipe operari sub penultima figura versus sinistram (scribendo), si | impar, tunc ab ultima (scilicet incipi-endum est), ita quod semper incipias ab ultima (figura) in impari (numero figurarum) loco posita.
rum, qui ductus in se constituit maximum quadratum in numero proposito inclusum.
[Constituit numerům propositum.] Docct formam inveniendi numerům quadratum et per conse-quens eius radičem.
[Maximum quadratum.] Maximu s quadratus alicuius numeri est, qui surgit ex multiplicacione di-gitti ultimo inventi cum subduplo vel subduplis per se.
587 24
Si ergo velis. In ista parte autor ponit modum et praxim operandi
in numeris quadratis. Et proponit quinque. Primum est modus operandi et praxis in inveniendis numeris quadratis quoad prímam figurám, secundo quoad secundam, tercio quoad terciám, in reliquis figuris, ibi Tali digitto invento. Tercio cautelam, ibi Et si contin-gat, quarto distinccionem numeri propositi puri quadrati ab impuro quadrato, ibi Quo facto, quinto probacionem praxis, ibi Si pro-bare velis.
Tria sunt principaliter facienda. Primo est digittus inveniendus, secundo quadratus illius digitti
10
15
20
25
30
mu danému číslu čtvercový kořen, to jest číslo, které znásobené (násobením) jednou sebou (samým, a ne jiným) vytvoří dané číslo, je-li přesně čtvercové (tj. čisté' čtvercové bez přidání jiného); jestliže však není (jestliže nemůže ukázat číslo přesně čtvercové), pak největší (jak možno) čtvercové v daném čísle (tak jako obsažené v obsahujícím) obsažené (včetně).
Chceš-li tedy najít čtvercový kořen (podle něhož se číslo nazývá čtvercové) nějakého daného čísla (velkého nebo malého), napiš dané číslo podle jeho míst (číslic) a spočítej počet číslic (místa číslic), zda je sudý nebo lichý. Je-li sudý, začni pracovat pod předposlední číslicí směrem doleva (při psaní), je-li lichý, pak od poslední (totiž je třeba začít), takže začínáš vždy od poslední (číslice) napsané na lichém (v počtu číslic) místě.102
[Vytvoří dané číslo.] Učí, jak nalézt čtvercové číslo a následně jeho kořen.
[Největší čtvercové.] Největší čvercové číslo nějakého čísla je to, které vychází násobením naposled nalezeného digitu se subduplem či subduply, a to sebou samými.
587 24
Chceš-li tedy. V této části autor vysvětluje způsob a postup u čtvercových čísel. A ukazuje to v pěti bodech. Za prvé je to způsob postupu při hledání u čtvercových čísel, pokud jde o první čís-
lici, za druhé, pokud jde o druhou, za třetí pokud jde o třetí, dále u o-statních číslic; to začíná slovy Po nalezení takového digitu. Za třetí uvádí upozornění, tam, kde jsou slova A jestliže by se stalo, za čtvrté rozlišení daného čísla pravého čtvercového od nepravého čtvercového, to začíná slovy Jestliže po tom, co se tak stalo, za páté ověření postupu, tam, kde jsou slova Chceš-li si ověřit.
Zásadně je třeba dělat tři věci. Za prvé je třeba najít digitus, za druhé musí být čtvercové číslo onoho nalezeného digitu odečteno
10 quadratam ] om. F -12 utrum ] si F -13 versus sinistram ] om. F -14 impar, tunc ] inpar, incipe F
108
109
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
Sub ultima ergo figura in impari loco posita inveniendus est quidam digittus, qui multiplicatus (quadrate) in se deleat totum (scilicet numerům) suprapositum vel quanto vicinius potest (quia aliquando non potest totum surgere). Tali digitto invento (sub ultima figura) et a superioři numero subtracto dup lan dus est digittus (inventus) et duplatum ponendum est sub proxima figura versus dextram et (id est post) eius subduplum (illud, quod prius est duplatum) sub eo, id est ilium digittum, quern duplasti. Quo facto (digitto invento et a superioři figura subtracto et duplato cum posicione subdupli) inveniendus est quidam digittus sub proxima figura ante duplatum, qui ductus (per multiplicacionem) in duplatum et postea in se (more quadrato) deleat (per subtrac-cionem) totum suprapositum numerům in quantum (id est quanto plus potest) vicinius potest.
inventi debet subtrahi a superioři, tercio duplum illius digitti debet poni sub proxima figura versus dextram et ille digittus, qui est subduplus, debet poni sub duplo. | 12r [Tali digitto invento.] Circa il-lam partem Tali digitto invento est notandum, quod si ex duplacione digitti inventi excrescit digittus, ponendus est sub proxima figura anteriori versus dextram. Exem-plum: 2304. Huius radicis primus numenis est 4, qui debet poni sub tribus, et ultimus est 8. Si articu-lus, ponenda est cifra sub proxima figura anteriori versus dextram et
10
15
articulus ponatur, unde duplatus recessit. Exemplum: 2704. Primus numerus in radiče est 5, que de-bent poni sub 7. Si numerus com-positus, ponatur digittus, qui est 20 pars illius numeri compositi, sub proxima figura et articulus stet in. loco suo, unde duplatus recessit, et eius subduplum sub eo. Exemplum: 835396. Primus numerus in 25 radiče est 9, qui debet poni sub tribus, ultimus est 4.
30
Tedy pod poslední číslicí napsanou na lichém místě103 je třeba najít nějaký digitus, který znásoben sebou samým (kvadraticky) vyruší celé nahoře napsané104 (totiž číslo) nebo nakolik nejblíže může (protože někdy to nemůže vyjít beze zbytku). Po nalezení takového digitu (pod poslední číslicí) a odečtení od hořejšího čísla je třeba digitus (nalezený) zdvojit a dvojnásobek napsat pod nejbližší číslici směrem doprava a (tj. potom) jeho subduplum (to, co bylo dříve zdvojeno), to jest onen digitus, který zdvojils, pod něj. Když se tak stalo (po nalezení digitu a odečtení od hořejší číslice a zdvojení a umístění subduplu), je třeba najít nějaký digitus pod nejbližší číslicí před dvojnásobkem,105 který znásobený (násobením) dvojnásobkem a potom sebou samým (kvadratickým způsobem) vyruší (odečtením) celé nad ním nahoře napsané číslo, nakolik nejblíže může (tj. co nejvíc může).106
od horního čísla, za třetí se musí dvojnásobek onoho digitu napsat pod nejbližší číslici směrem doprava a onen digitus, který je sub-duplem, musí být napsán pod dvojnásobek.
[Po nalezení takového digitu.] K oné části Po nalezení takového digitu je třeba poznamenat, že jestliže z duplace nalezeného digitu vyjde digitus, je třeba ho napsat pod nejbližší předcházející číslici směrem doprava. Příklad: 2304. První číslo tohoto kořene je 4, které musí být napsáno pod trojkou, a poslední je 8. Vyjde-li
artikulus, pak se napíše pod nejbližší předcházející číslici směrem doprava nula a artikulus se napíše tam, odkud ustoupil dvojnásobek. Příklad: 2704. První číslo v kořeni je 5, které musí být napsáno pod sedmičkou. Jestliže vyjde číslo složené, napíše se digitus, který je součástí onoho složeného čísla, pod nejbližší číslici, a artikulus bude stát na svém vlastním místě, odkud ustoupil dvojnásobek, a jeho subduplum pod ním. Příklad: 835396. První číslo v kořeni je 9, které se musí napsat pod trojku, poslední 4.107
1 in ] om. F-2 quadrate Si] non quadrate G, commentarius in Fabest - 3 suprapositum ] sibi suppositum F - vicinius ] propinquius F - 8 id est ] et F - 10 quidam ] iterum unus F - 13 in ] vel F-26b 9 Si, cf. in mg.: est 9, secundus 1, tercius 4, et surget ] 7 G, commentarius in F abest
110
111
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
Nec cessandum est a talis digitti invencione et ab eius dupla-cione (semper post duplata) et subduplorum posicione (id est sub duplatis), donec sub prima figura (more Arabico scribendo) inventus fuerit quidam digittus, qui ductus in omnia duplata (ante se posita) et postea in se (per modům quadrati) deleat totum 5 (numerům) suprapositum vel quanto vicinius potest (id est quan-to plus potest, quia totus numerus propter sui multiplicacionem surgere non potest, ut patet ad sensum practicanti).
Et si contingat (in radičům extraccione numerorum quadra-torum), quod non possit aliquis digittus (qui in se ductus more 10 quadrato non posset delere per subtraccionem numerům suprapositum propter sui parvitatem) inveniri, tunc ponenda est cifra
F 45v sub proxima figura tercia | versus dextram (quia tunc per respec-tum ad figuras precedentes potest digittus inveniri, qui in se ductus deleat numerům suprapositum totum vel quanto vicinius 15
G 12v potest). Et | anteriorandum est primům duplatum cum suo sub-duplo (id est, si est unum, vel cum subduplis, si duplata sunt plura) et inveniendus est quidam digittus (qui ductus more quadrato deleat etc.) sub figura precedente versus dextram et operandům est (skut dočet regula predicta), ut prius. 20
[Nec cessandum est.] Ponit 6, qui debet poni sub 6, et in du-praxim de secunda, tercia et de re- plando contingit, quod dictum est. liquis figuris dicens. Ultimus vero numerus est 7 et post
[Et anteriorandum est.] subtraccionem remanet 141. | 25
G 12v 164025 40804
4 80 202 405
Ponit cautelam, rectificando regu-
lam predictam, dicens. Exemplum 30 littere: 368590, in quo contingit cautela. Primus enim numerus est
A nemá se přestat v hledání takového digitu a v jeho zdvojnásobování (vždy po dvojnásobcích) a kladení subduplů (tj. pod dvojnásobky), dokud nebude pod první číslicí (při psaní arabským způsobem) nalezen digitus, který znásoben všemi dvojnásobky (napsanými před ním) a potom sebou samým (jako čtvercové číslo) zruší celé (číslo) nad ním nahoře napsané nebo nakolik nejblíže může (tj. co nejvíc může, protože někdy z násobení nevychází úplné číslo, jak se to jeví počítajícímu dle odhadu).™
A jestliže by se stalo (při hledání kořene čtvercových čísel), že by nějaký digitus (který znásoben sebou samým kvadratickým způsobem by kvůli své malé kvantitě nemohl odečtením zrušit číslo nad sebou napsané) nemohl být nalezen, pak je třeba napsat nulu pod nejbíižší třetí109 číslici směrem doprava (protože pak se zřetelem k předcházejícím číslicím může být nalezen takový digitus, který znásoben sebou samým zruší celé nahoře napsané číslo nebo nakolik nejblíže může). A první dvojnásobek s jeho subduplem (tj. je-li jeden, či se subduply, je-li dvojnásobků více) je třeba posunout dopředu a pod předcházející číslicí směrem doprava je třeba najít nějaký digitus (který znásoben kvadratickým způsobem zruší atd.) a postupovat (jak učí výše řečené pravidlo) jako dříve.110
[A nemá se přestat.] Vykládá  ňuje: 368590. První číslo je totiž postup u druhé číslice, u třetí au  6, které musí být napsáno pod 6, a ostatních číslic a říká (viz text).      při zdvojení se stane, co bylo ře-[Je třeba posunout dopředu.]    čeno. Poslední číslo je však 7, a po 164025      odečtení zůstane 141. 4 80 40804 405 202111 Uvádí upozornění, kterým upřesňuje předcházející pravidlo, a říká (viz text). Příklad na tuto část, v němž se toto upozornění uplat-
1 talis ] tali F - ab ] om. F - 6 quanto ] quantum F - 11 delere Si ] deleri G, commentarius in F abest - 13 sub proxima figura tercia ] sub tercia figura proxima F - 14 digittus Si ] digittus quadratus G, commentarius in F abest - 18 quidam ] om. F -26 prius ] dictum est F
112
113
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
Quo facto (id est digitto ultimo invento et per multiplicacio-nem in duplata et postea in se ducto et excrescentibus numeris subtractis a numeris suprapositis) si totum surgit, tunc numerus propositus (id est totus numerus propositus) fuit verus quadratus (et non permixtus) et digittus ultimo inventus (sub prima figura 5 numeri propositi) cum subduplo vel subduplis erit radix eius. Si autem aliquid remanet (omnibus tarnen figuris executis) post subtraccionem duplatorum, tunc ille numerus non fuit quadratus Cquia post duccionem digittorum in se ductorum more quadrato surgere non potuit), sed radix inventa (scilicet digittus ultimo 10 inventus cum subduplis) est radix maximi quadrati in illo numero (scilicet proposito) contenti.
Si probare velis (extrahendo radičem in proposito numero), si bene feceris, multiplica radičem (id est digittum ultimo inven-tum cum subduplis) in se et veniet numerus propositus, si fuerit 15 quadratus (purus et non in alio contentus); si (quia) non (fuit) quadratus (purus), tunc cum addicione residui (scilicet qui post subtraccionem digitti ultimo inventi et duplatorum remanet) ad numerům provenientem ex multiplicacione radicis in se (scilicet ipsum) proveniet numerus propositus. 20
[Quo facto si.] Hic autor ponit       [Si probare velis.] Consequen-exemplum numeri pure quadrati.  ter ostendit, qualiter probari de-Et cum hoc docet, quomodo de-  beat, si bene radix quadrati numeri beat congnosci, dicens. Exemplum  sit extracta, dicens. 25 primi: 63001, cuius primus numerus est 2, secundus 5 et ultimus 1. Exemplum secundi: 402310 etc.
Jestliže po tom, co se tak stalo (tj. po nalezení posledního di-gitu, jeho znásobení dvojnásobky, pak po znásobení sebou samým a odečtení vyšlých čísel od čísel napsaných nahoře), vyjde nula, pak dané číslo (tj. celé zadané číslo) bylo pravé čtvercové (a nikoliv smíšené) a naposled nalezený digitus (pod první číslicí daného čísla) se subduplem nebo subduply bude jeho kořen.112 Jestliže však něco po odečtení dvojnásobků zůstane (po zpracování všech číslic), pak ono číslo nebylo čtvercové (protože po znásobení digitůni sebou samými kvadratickým způsobem nemohlo úplně vyjít), ale nalezený kořen (totiž naposled nalezený digitus se subduply) je kořenem největšího čtvercového čísla obsaženého v onom (totiž zadaném) čísle.
Chceš-li si ověřit (při hledání kořene daného čísla), zda jsi počítal správně, vynásob kořen (tj. naposled nalezený digitus se subduply) sebou samým a vyjde dané číslo, bylo-li čtvercové (čisté a nikoliv obsažené v jiném); jestliže (když) nebylo čtvercové (čisté), pak dané číslo vyjde s přidáním zbytku (totiž toho, co zůstane po odečtení naposled nalezeného digitu a dvojnásobku) k číslu vyšlému z násobení kořene sebou (totiž samým).
[Jestliže po tom, co se tak sta-       [Chceš-li si ověřit.] Následně lo.] Zde autor uvádí příklad na čís-  učí, jakým způsobem se má ověřit, lo čistě čtvercové a současně s tím  zda nalezený kořen čtvercového učí, jak se takové číslo pozná, a  čísla je správný, a říká (viz text), říká (viz text). Příklad prvního: 63001; jeho první číslo je 2, druhé 5 a poslední l.1'4 Příklad druhého: 402310 atd."5
4 verus ] om. F - 5 inventus Si ] inventus propositus GF - 11 numero ] om. F-12 contenti ] contento G - 14 feceris ] fecisti F - 15 fuerit ] fuit F - 16 non ] vero non fuit F - 18 ultimo inventi Si ] ultimo G, commentarius in F abest - 22a ponit exemplum Si ] ponit G, commentarius in F abest -27a secundus 5 et ultimus 1 Si ] secundus et ultimus G, commentarius in F abest
114
115
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
Exemplum in isto numero: 80807. Cuius (scilicet numeri propositi) radix est 284, residuum (post subtraccionem tocius) 151, ut patet in practicando (secundum predictam regulám).
Radičem cubicam extrahere (id est principiwn numeri cubici ostendere) est sub numero proposito (magno vel parvo) unum numerům invenire, qui multiplicatus (per multiplicacionem du-13r ctus) semel in se et semel | in suum quadratum, subtractus a numero proposito, deleat eum (quia numerus purus cubicus ex sibi simili surgit), si fuerit precise cubicus, vel quanto vicinius potent, si non fuerit cubicus (scilicet si non fuerit pure cubicus). Et iste numerus sic inventus dicitur radix cubica numeri propositi, ut sub octo, qui est primus numerus cubicus, recipiantur 2 et di-catur bis duo bis et sunt 8, que subtracta ab octo surgit totum.
[Exemplum.] Exemplum ponit, quia exempla more philosophorum regulas declarant, nam sepe dicta philosophorum intelligi non pos-sunt, nisi exempla eorundem bene intueantur.
Racio autem, quare autor pre-sens post quamlibet speciem ponit exemplum, quia exempla more philosophorum regulas declarant, nam sepe dicta philosophorum intelligi non possunt, nisi exempla eorundem bene intueantur.
[Radičem cubicam extrahere.] Hic dočet radičem cubicam invenire et per consequens numerům cubicum practice investigare, di-cens.
Racio ordinis, quia notificans přecedit notificatum. Cum ergo numerus quadratus notificat cubicum, igitur et přecedit eum; quia in diffinicione numeri cubici po-nitur numerus quadratus, igitur et přecedit eum. Utilitas est con-gnicio principium numeri facilius scire et repertum indicium numeri, quia si proponitur numerus ma-gnus, statim scitur, utrum sit pure cubicus vel non.
Tria sunt hie notanda. Primo. quid sit numerus cubicus, secun-do, que sit radix numeri cubici. Et est numerus, qui bis ducitur in se, vel semel in suum quadratum, ut bis quatuor sunt 8. Tercio, quid sit
10
15
20
25
30
Příklad na tomto čísle: 80807. A jeho (totiž zadaného čísla) kořen je 284, zbytek (po odečtení všeho) je 151, jak je zřejmé z počítání (podle výše uvedeného pravidla)}16
Najít krychlový kořen (tj. ukázat východisko krychlového čísla) znamená najít pod daným číslem (velkým nebo malým) nějaké číslo, které znásobeno (zpracováno násobením) jednou sebou samým a jednou svým čtvercovým číslem a odečteno od daného čísla dané číslo vyruší (protože číslo čistě krychlové zaniká díky číslu sobě zcela rovnému), bylo-li přesně krychlové, nebo nakolik nejblíže může, jestliže krychlové nebylo (totiž jestliže nebylo čistě krychlové). A toto číslo, takto nalezené, se nazývá krychlový kořen daného čísla; např. u osmi, což je první krychlové číslo, se vezmou 2 a řekne se dvakrát dvě dvakrát je 8, a je-li toto odečteno od osmi, pak nezůstane žádný zbytek.
[Příklad.] Uvádí příklad, protože podle filosofů příklady osvětlují pravidla; často totiž nemohou být výroky filosofů pochopeny, nenahlíží-li se správně na příklady k těmto výrokům.
Důvod, proč tento autor po každém úkonu uvádí příklady, je ten, že podle filosofů příklady osvětlují pravidla, neboť často nemohou být výroky filosofů pochopeny, nenahlíží-li se správně na příklady k těmto výrokům.
[Najít krychlový kořen.] Zde učí nalézat krychlový kořen a následně prakticky zkoumat krychlové číslo a říká (viz text).
Důvod pořadí je ten, že ve známost uvádějící předchází ve zná-
most uváděné. Protože číslo čtvercové uvádí ve známost číslo krychlové, tedy je i předchází; protože se v definici krychlového čísla používá čísla čtvercového, tedy je i předchází. Užitečností tohoto úkonu je poznat snadněji východisko krychlového čísla a nalezený ukazatel čísla, protože pak, je-li zadáno velké číslo, se hned ví, zdaje čistě krychlové nebo ne.
Zde je třeba poznamenat tři věci. Za prvé, co je to krychlové číslo, za druhé, co je to kořen krychlového čísla. A to je číslo, které je násobeno dvakrát sebou nebo jednou svým čtvercovým číslem, např. dvakrát čtyři je osm. Za třetí, co znamená najít kořen krychlo-
2 residuum ] et residuum F-7 subtractus a numero ] in numero G-9 quanto ] quantum F - 12 recipiantur ] recipiatur F - 13 ab octo ] om. G
116
117
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
7 46r
13r
Hiis premissis (id est sáto, quid sit numerům cubicum extra-here) si vis alicuius numeri propositi radičem cubicam extrahere, tunc primo considera, si in numero proposito est aliquis locus millenarii vel nullus (quia omnis numerus vel habet millenarium vel non, et secundum hoc traduntur hic due regule; prima, si non est millenarius, secunda, si habet millenarium).
Si nullus (scilicet est millenarius, prima regula), tunc incipe operari sub prima figura inveniendo digittum, qui ductus in se | cubice, id est bis, deleat totum (id est numerům, si est pure cubitus) suprapositum vel quanto vicinius potest (si non est pure cubicus). Et talis digittus inventus erit radix cubica numeri propositi, si fuerit cubicus, vel erit cubica maximi numeri propositi, si non fuerit cubicus.
Si autem (secunda regula) numerus cubicus (purus vel impu-rus) fuerit ita magnus, quod habeat loca millenariorum (id est lo-ca significancia millenarios), tunc sub numero, qui ponitur in loco Ultimi millenarii, inveniendus est quidam digittus, qui ductus in se cubice (more cubico, scilicet bis) deleat totum (numerům) suprapositum respectu sui (si est pure cubicus) vel quanto vicinius potest (si non est pure cubicus, scilicet contentus in proposito).
radičem numeri cubici extrahere. Et est numeri propositi radičem in-venire cubicam, si numerus propositus sit cubicus; si vero non sit, tunc maximi numeri cubici sub numero proposito contend. |
[Hiis premissis.] Ponit duas re-gulas.
Hic autor dočet praxim et modům operacionis invencionis radi-cis cubice. Et primo, quomodo est
invenienda prima figura et ubi est locanda in numero, qui caret figu-ris millenarii, dicens.
Exemplum: 216. Sub prima figura, scilicet 6, inveniendus est digittus, scilicet 6, et totum surgit.
[Habeat loca millenariorum] Hie ponit secundam regulám de invencione prime figure radicis cubice in numero, qui habet loca millenariorum, dicens.
3 primo ] primům F- 9 id est bis ] bis G - 10 potest ] om. G - 11 numeri propositi, si fuerit cubicus, vel erit cubica ] om. G - 12 propositi ] om. F - 14 cubicus ] propositus F - 15 habeat loca millenariorum, tunc sub numero, qui ponitur loco Ultimi millenarii ] habet loca millenarii G
10
15
20
25
30
Chceš-li poté, co jsme toto předeslali (tj. když víme, co to znamená najít kubický kořen), najít krychlový kořen nějakého daného čísla, pak nejprve zvaž, je-li či není-li v daném čísle nějaké místo tisíce (protože každé číslo buď tisíce má nebo nemá, a podle toho se zde vykládají dvě pravidla; první, jestliže v čísle tisíc není, druhé, jestliže číslo tisíc má).111
Jestliže není (totiž žádný tisíc, první pravidlo), pak začni pracovat pod první číslicí118 a najdi digitus, který znásoben sebou kubicky, tj. dvakrát, zruší celé (tj. číslo, je-li čistě krychlové) nahoře napsané nebo nakolik nejblíže může (není-li čistě krychlové). A takovýto nalezený digitus bude krychlovým kořenem daného čísla, bylo-li krychlové, nebo bude krychlovým kořenem nej většího daného čísla, jestliže krychlové nebylo.119
Jestliže však (druhé pravidlo) bude krychlové číslo (pravé nebo nepravé) tak velké, že má místa tisíců (tj. místa znamenající tisíce), pak je třeba pod číslem, které je napsáno na místě posledního tisíce,120 najít takový digitus, který znásoben sebou krychlově (kubickým způsobem, totiž dvakrát) vyruší celé (číslo) nahoře napsané, a to se zřetelem k němu (je-li čistě krychlové), nebo nakolik může nejblíže (jestliže není čistě kubické, totiž je-li obsaženo v daném čísle).
véno čísla. A to je najít krychlový kořen daného čísla, je-li dané číslo krychlové; jestliže však není, pak kořen největšího krychlového čísla obsaženého v daném čísle.
[Poté, co jsme toto předeslali.] Uvádí dvě pravidla.
Zde autor učí způsob a postup při hledání krychlového kořene. A nejprve to, jak se hledá první číslice a kde se má umístit v čísle,
které nemá místa tisíců, a říká (viz text).
Příklad: 216. Pod první číslicí, totiž 6, je nutno najít digitus, totiž 6, a vyjde úplné číslo.121
[Má místa tisíců.] Zde uvádí drahé pravidlo, o nalézání první číslice krychlového kořene v čísle, které má místa tisíců, a říká (viz text).
118
119
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
Hoc facto (invento primo digitto) triplandus est ille digittus (inventus) et triplatum (cum suo subtriplo) ponendum est sub terci a figura proxima versus dextram (inclusive, includendo ter-ciam, sub qua erat triplatum cum subtriplo, et sive ilia sit sive non, quia aliquando totum surgit, et sic a loco figure, que erat supra, primam triplati est computandum) et eius subtriplum sub G 13v eo. Deinde in|veniendus est quidam digittus sub proxima figura ante triplatum, qui digittus cum subtriplo ductus (quadrate vel per multiplicacionem) in triplatum et postea sine subtriplo ductus in productum (expriori duccione), quod iam provenit, et demum ductus in se cubice (more cubico, scilicet bis) deleat totum su-prapositum (scilicet numerům, si est pure cubicus) respectu triplati et sui subtripli (vel respectu sui), vel quanto vicinius potest (si non est pure cubicus).
Isto modo (ut factum est de secunda figura iam triplati) fac per totum, donee veneris ad primam figurám (numeri propositi),
G 13v
[Hoc facto.] Dočet modům praxis secunde figure seu digitti inveniendi post primům triplatum, dicens. Circa istam partem est sciendum, quod digittus post triplatum inventus, id est in multi-plicacione et numeri superioris de-Iccionc, tenet triplex officium. Primům officium habet sociale cum subtriplo, quia ducitur in triplatum per multiplicacionem. Secundum officium habet solitarium, quia solus multiplicat numerům productum seu provenientem ex multi-plicacione triplati vel triplatorum per subtriplum cum digitto ultimo
invento. Terc i u m officium habet radicale, quia cum talis digittus sit radix numeri cubici, oportet neces-sario, quod in se bis ducatur et productum a numero proposito subtrahatur. Et i s tu d triplex officium causatur propter triplicem numerům contentum in numero cubico. Et similis causa datur. qua-re per tres figuras sit ordo figura-rum anteriorandus. |
[Isto modo.] Ponit m o du m o-perandi circa invencionem tercii digitti et per consequens quarti et de aliis, dicens.
1 triplandus est ] triplandus est, gi: more cubico G - 2 subtriplo Si ] triplato G. commentarius in F abest - 7 est ] est itcrum F - 8 qui ] quod G - digittus ] om. F - 9 et ] om. F - 16 veneris ] venis F
10
15
20
25
30
Když se tak stalo (po nalezení prvního digitu), je třeba ztrojnásobit onen digitus (nalezený) a trojnásobek (s jeho subtriplem) napsat pod třetí nejbližší číslici směrem doprava (včetně, v to počítaje třetí číslici, pod níž byl trojnásobek se subtriplem, a to ať tam tato číslice je či není — protože někdy vyjde úplné číslo — a proto je nutno počítat první číslici trojnásobku od místa číslice, která byla nahoře) a jeho subtriplum pod něj. Pak je třeba najít nějaký digitus pod nejbližší číslicí před trojnásobkem a tento digitus se subtriplem, znásobený (kvadraticky čili násobením) trojnásobkem, a potom bez subtriplu, znásobený výsledkem (z dřívějšího násobení), který již vyšel, a konečně znásobený sebou krychlově (kubickým způsobem, totiž dvakrát) musí vyrušit celé nahoře napsané (totiž číslo, je-li čistě krychlové), a to se zřetelem k trojnásobku a jeho subtriplu (nebo vzhledem k sobě), nebo nakolik nejblíže může (jestliže není čistě krychlové).
Tímto způsobem (jak bylo učiněno s druhou číslicí po trojnásobku) postupuj přes celé číslo, dokud nedojdeš k první číslici
[Když se tak stalo.] Učí, jak nalézt druhou číslici čili digitus po prvním trojnásobku, a říká (viz text). Co se týče této části, pak je třeba vědět, že digitus, nalezený po trojnásobku, tj. při násobení a odstraňování horního čísla, plní trojí poslání. První úkol má společný se subtriplem, protože s trojnásobkem je spojován násobením. Druhý úkol je výlučný, protože on jako jediný násobí výsledné číslo čili číslo, které vychází z násobení trojnásobku nebo trojnásobků subtriplem, naposled nalezeným digi-
tem. Třetí úkol má kořenný, protože když je takový digitus kořenem krychlového čísla, pak je nezbytně třeba, aby byl násoben sebou dvakrát a výsledek aby byl odečten od daného čísla. A příčinou tohoto trojího úkolu je trojí číslo,122 obsažené v krychlovém čísle. A stejnou příčinou je dáno, proč je třeba posouvat řadu číslic o tři místa dopředu.
[Tímto způsobem.] Uvádí způsob, jak postupovat při nalézání třetího digitu a dále čtvrtého, a říká (viz text).
120
121