VIII. Progressio
VIII. Posloupnost
Dividas ergo 91471800 per 2030. Tunc quociens erit 45060, G lir hune si multiplicaveris | per divisorem, scilicet per 2030, prove-niet prior numerus, scilicet 91471800.
VIH. Progressio (arismetica, integrorum) est agregacio (col-leccio seu composicio) numerorum (plurium) ab unitate vel a dualitate inceptorum (vel ab aliis numer is incipiencium) per equales excessus (per similes excessus) continue sumptorum (quia numerus sumptus continue unus excedit reliquum in unitate, ut patet numerando 1, 2, 3, 4, 5 etc.). Et est duplex (id est de numero progressionum, alia naturalis, alia intercisa), scilicet naturalis et intercisa.
[Dividas ergo.] Hie ponit exemplum, in quo varietates et cautele ipsius divisionis continen-tur, dicens.
Pro tota operacione sint iste figure: 91471800 2030 I G 1 lr [Progressio.] Hic autor exe-quitur de octava specie huius artis, scilicet de progressione. Et dividi-tur, quia primo diffinit progressio-nem, secundo dividit earn, ibi Et est duplex, et tercio ponit regulas de progressione, ibi Nota duas etc.
Gradior, graderis significat gradatim procedere seriatimque si-tum accedere seu terminům. Inde progredior et significat procul seu remote vel ante gradatim et seriatim incedere. Inde progressio, id est gradualis et seriatus per varios
10
situs ad terminům processus. Et inde progressio arismetica et est continuus processus numerorum 15 per equales excessus ad agregacio-nem tocius summe habendam. Un-de sicut progressio realis habet in se tria, videlicet terminům a quo, et medium, per quod devenitur ad 20 terminům intentum, et terminům ad quern, sic similiter progressio arismetica ad sui perfeccionem exigit tria: habet enim situm a quo, videlicet unitatem vel dualitatem 25 vel reliquos numeros, habet secundo media, scilicet numeros inter-medios, et tercio situm vel terminům ad quern, videlicet ultimum numerům. 30
Et est duplex. Hic autor dividit progressionem dicente. Et nota, quod progressio naturalis dicitur
Děl tedy 91471800 číslem 2030. Pak kvociens bude 45060, a když jej znásobíš dělitelem, totiž 2030, vyjde původní číslo, totiž 91471800.89
VIII. Posloupnost (aritmetická, celých čísel) je shromažďování (sbírání či skládání) čísel (více), začínajících od jedničky nebo od dvojky (či počínajících od jiných čísel), braných stále (protože číslo nepřerušovaně přibírané převyšuje jedno druhé o jednotku, jak je zřejmé při počítání 1, 2, 3, 4, 5 atd.) se stejnými odstupy (totožnými odstupy). A je dvojí (totiž co se týče počtu posloupností, jedna přirozená, druhá přerušovaná), totiž přirozená a přerušovaná.90
1 erit 45060, nunc ] est 4060, quem F - 2 proveniet ] proveniet tibi F -6 a ] om. F -10 alia intercisa Si ] alia G, commentarius in F abest - scilicet ] om. F
[Děl tedy.] Zde uvádí příklad, v němž jsou obsaženy různé varianty a upozornění týkající se dělení, a říká (viz text).
Pro celý úkon buďtež tyto číslice: 91471800 2030
[Posloupnost.] Zde autor vykládá o osmém úkonu tohoto umění, totiž o posloupnosti. A výklad je rozdělen, protože za prvé posloupnost definuje, za druhé ji dále dělí, to začíná slovy A je dvojí, a za třetí uvádí pravidla týkající se posloupnosti, tam, kde jsou slova Zapamatuj si dvě atd.
Gradior, graderis, „kráčet", znamená krok za krokem postupovat dopředu a popořadě dosahovat určité polohy či mezníku. Z toho je odvozeno progredior, „postupovat", a znamená jít daleko čili do dálky nebo dopředu krok za krokem a popořadě. Odtud je od-
vozeno progressio, „posloupnost", tj. postup po stupních a po řadě skrze různé pozice ke konečné hranici. A z toho pochází posloupnost aritmetická; to je nepřetržitá řada čísel se stejnými odstupy, u-spořádaná tak proto, abychom získali součet celého souboru. A tak jako reálná posloupnost má v sobě tři prvky, totiž mez, od níž se vychází, prostředek, přes nějž se postupuje k vytčenému cíli, a cílový mezník, k němuž se jde, tak podobně posloupnost aritmetická potřebuje ke své dokonalosti tri prvky: má totiž místo, od něhož se vychází, totiž jedničku či dvojku či jiná čísla, za druhé má střední místa, totiž meziležící čísla, a za třetí místo či mezník, k němuž se postupuje, totiž poslední číslo.
A je dvojí. Zde autor posloupnost dále dělí a říká (viz text), i A všimni si, že přirozená posloup-
94
95
VIII. Progressio
VIII. Posloupnost
Naturalis seu continua est, quando incipitur ab unitate et sie continuatur nichil obmittendo (ita, quod numerus sequens supe rat semper numerům precedentem in unitate tantum, et dicitur merito naturalis, quia naturaliter, hoc est de or dine nature, quod continue unus numerus sequatur alium ascendendo supra nullo numero medio obmisso), ut 1, 2, 3, 4, 5. Intercisa (sive disconti-nua, quia non equaliter ascendit) vero est, quando obmittitur aliquis numerus, ut 1, 3, 5, 7 ,9; hie obmittitur 2, 4, 6, 8.
Nota duas regulas de omni progressione (per quas habeat cognosci totus processus progressionum, tarn continue, quam discontinue). Prima regular In omni progressione, sive naturali (continua, ubi nichil obmittitur), sive intercisa (discontinua), numera loca figurarum, et si fuerit pur (locus), tunc recipe medie-
ideo, quia sicut nátura successive operatur, per addicionem unius gradus augendo qualitatem aut quantitatem, sic et arismeticus nu-merus augetur per successionem unius ad reliquum, quia hoc est naturaliter de ordine, quod continue unus numerus sequatur alium excedendo eum unitate. Et dicitur continua, quia continuum quo-dammodo imitatur. Continuum vero est, cuius partes copulantur, sic et progres sionis partes quodam-modo copulantur per incrementum unius unitatis, que unitur prece-denti numero, ut 1, 2, 3, ibi unitas in tribus unitur dualitati et sic de reliquis. Progressio autem intercisa dicitur ideo, quia intercidit, id
est deponit, aliquem numeram naturaliter proceděn tern. Et eciam dicitur discontinua, quia non imitatur continuum, sed pocius disgres-sivum et discontinuum, quia partes non uniuntur sicut in continua. Et dicitur innaturalis, quia bonitatem et ordinem numeri naturaliter or-dinatum anichillat.
Intercisa dicitur eo, quod intcr-ciditur unus numerus ab altero per augmentům vel diminucionem, ut...
[Numera loca.] Locus impro-posito est situs figure cuiuslibet seorsum per proporcionem suam independenter; addicio autem est unius numeri inmediate ad se se-quentem addicio.
10
15
20
25
30
Přirozená neboli souvislá je ta, která začíná od jedničky a tak pokračuje nic nevynechávajíc (tak, že číslo následující převyšuje vždy předcházející číslo pouze o jednotku, a právem je nazývána přirozená, protože přirozeně, tj. podle řádu přírody, totiž souvisle, následuje jedno číslo za jiným vzestupným způsobem, aniž by bylo mezitím nějaké vynecháno), např. 1, 2, 3, 4, 5. Přerušovaná (neboli nesouvislá, protože nepostupuje nahoru plynule) je však ta, v níž se vynechává nějaké číslo, např. 1, 3, 5, 7, 9; zde je vynecháno 2, 4, 6, 8."
Zapamatuj si dvě pravidla, týkající se každé posloupnosti (jejichž pomocí se zjistí celý souhrn posloupností, jak souvislé, tak nesouvislé). První pravidlo: V každé posloupnosti, ať přirozené (souvislé, kde se nic nevynechává) či přerušované (nesouvislé), spočítej místa číslic, a bude-li poslední (místo) sudé, pak
6 5 ] 5,6,7,8,9 F -7 vero est ] est vero F - 8 aliquis ] ille F - 9 ] 9 et sic F - 2,4,6,8 ] ille numerus 2,4,6 et 8 F - 9 omni ] om. F - 11 sive ] om. F -13 tunc ] et F
nost se tak jmenuje proto, že tak jako příroda postupuje stupňovitě při zvětšování kvality či kvantity tím způsobem, že přidává jeden stupeň, tak i aritmetické číslo je zvětšováno postupem od jednoho k druhému, protože přirozeně po-pořádku je tehdy, když jedno číslo souvisle následuje za druhým, překračujíc je o jednotku. A říká se souvislá, protože napodobuje nějakým způsobem nepřetržitost. Kontinuum, nepřetržitost, je totiž to, čeho části se spojují; tak i části posloupnosti jsou nějakým způsobem připojovány vzrůstem o jednu jednotku, která se slučuje s předcházejícím číslem, např. 1, 2, 3, kde jednotka z trojky je sloučena s dvojkou a tak podobně u ostatních. Naproti tomu posloupnost
přerušovaná je tak nazývána proto, že vylamuje, tj. odkládá, nějaké číslo přirozeně následující. A říká se jí také nesouvislá, protože nenapodobuje souvislost, ale spíše přetržitost a nesouvislost, neboť části se nepřipojují tak jako v posloupnosti souvislé. A nepřirozená se nazývá proto, že ruší dobrý stav a přirozeně uspořádaný řád počtu.
Přerušovaná se nazývá proto, že jedno číslo je ze sousedství druhého odstraňováno prostřednictvím zvětšení či zmenšení, např....
[Spočítej místa.] Zde místo znamená specifické umístění jakékoliv číslice, samostatné díky svému rozměru; sčítání je přidávání jednoho čísla k číslu bezprostředně následujícímu.
96
97
IX. Extraccio radičům
IX. Odmocňování
tatem illius (loci) paris et multiplica per eum numerům prove-nientem ex addicione primi et Ultimi numeri (scilicet, et multi-plicetur numerus addendus per medietatem locorum; ut 1, 2, 3, 4, adde 1 ad 4 et erunt 5, multiplica 5 per 2 et erunt 10). Si autem numerus locorum (perfiguras suas scriptus) fuerit impar, tunc adde primům numerům (qui est in capite more nostro scri-bendo) cum ultimo (id est finali) et illius agregati (primi cum ultimo) summas medietatem et per illam medietatem (locorum) multiplica numerům locorum (descriptum per figuras) et habebis (in qualibet progressione), quod queris.
IX. Pro invenienda radice (tamquam difficili, quia qui inven-cionibus inhiat, laboribus inculcatur, tamquam principali, quia est primus principalis numerus) quadrati vel cubici numeri est sciendum, quod numerus quadratus (dictus a quadrato corpore)
Pro invenienda. Post plenám determinacionem 8 specierum ar-tis algoristice, in quibus quid sit et quomodo in unaquaque est operandům, edoctum est, consequen-G 12r ter autor descendit ad nonam et ul-timam speciem, in qua radices numerorum dočet invenire et in-ventas diffinire et denominare. Et di vidi tur, nam primo ostendit, quid sit numerus quadratus et quid cubicus, in secunda parte ostendit, quid sit extrahere radičem quadra-tam vel cubicam, tercio dočet modům extrahendi radičem quadra-tam; prima in loco, secunda ibi
Radičem autem, tercia ibi Si ergo velis, quarto dočet praxis sue pro-bacionem, ibi Si probare velis. Et primo descendendo, quid sit numerus quadratus, dicente. |
[Numerus quadratus.] Quadratus numerus est numerus proveni-ens ex sui duetu in se semel. Hic autem est species numeri superficialis; racio, quia superficiem a di-visis unitatibus claudere potest et constituere quadrangulum equali-bus lateribus dispositum. Huius cognicionem dat: Utilitas, regula, cautela, probacio.
10
15
20
25
vezmi polovinu toho sudého (místa) a násob jím číslo vzešlé ze sečtení prvního a posledního čísla (tak učiň, a násobí se sečtené číslo polovinou míst; např. 1, 2, 3, 4: sečti 1 a 4, to je 5; 5 násob dvěma a vyjde 10). Bude-li však počet míst (vyjádřený počtem číslic) lichý, pak sečti první číslo (které je na začátku, psáno naším způsobem) s posledním (tj. konečným), z tohoto součtu (prvního s posledním) vezmi polovinu a touto polovinou (míst) násob počet míst (vyjádřený počtem číslic) a budeš mít (v jakékoliv posloupnosti), co hledáš.92
IX. K nalezení kořene (namáhavému, neboť ten, kdo jde za objevy, bývá udolán lopotou, a důležitému, protože kořen je první výchozí číslo) čísla čtvercového nebo krychlového je třeba vědět, že číslo čtvercové (nazvané podle čtvercového obrazce) je číslo, které vychází (vzniká) z násobení sebe sama sebou samým
30
K nalezení. Po úplném vysvětlení osmi úkonů algoristického umění, při nichž bylo důkladně vyloženo, co tyto úkony jsou a jak je třeba při každém postupovat, přistupuje nakonec autor podobně k devátému a poslednímu úkonu, v němž učí nalézat kořeny čísel a nalezené definovat a pojmenovávat. A výklad je rozdělen, neboť za prvé ukazuje, co je číslo čtvercové a co krychlové, ve druhé části ukazuje, co to znamená najít čtvercový či krychlový kořen, za třetí učí hledat kořen čtvercový; začátek první části je zde, druhá začíná
slovy Najít kořen, třetí Chceš-li tedy; za čtvrté učí ověření svého postupu, tam, kde jsou slova Chceš-li si ověřit. A nejprve přistupuje k tomu, co je číslo čtvercové, a říká (viz text).
[Číslo čtvercové.] Čtvercové číslo je číslo pocházející z násobení sebou samým. Toto číslo je druh čísla plošného, a to z toho důvodu, že může rozdělenými jednotkami uzavřít plochu a vytvořit čtyřúhelník vymezený stejnými stranami. Poznání tohoto čísla je dáno užitečností, pravidlem, upozorněním a zkouškou.
2 et ultimi numeri ] numeri et Ultimi F - 10 queris ] queris. Hec suffi-ciant cuilibet iuveni in ante composita ( = in arte compotistica SO F - 13 est sciendum ] et sciendum F - 17b probacionem Si ] operacionem G, com-mentarius in F abest - 22a radices Si ] species G, commentarius in F abest - 25b a divisis unitatibus Si ] a divisis G, commentarius in F abest
98
99