V. Duplacio V. Zdvojování tram. Et si fuerit in secundo loco vel in tercio unitas, ea deleta scribas cifrám et adde 5 ad figurám precedentem. Exemplum: Mediando 610541 remanent 305270. Probacio eius fit per duplacionem; est enim mediacio duplacionis probacio et econverso. V. Duplacio (integrorum) est eiusdem (non alieni a se) Humeri (materialis) per duplum (quia duplicacio dicitur quasi duo-rum complicacio) augmentacio (formalis) et sic triplacio per tri- [Et si fuerit.] Duplex cautela. Si fuerit unitas in quolibet loco, ea deleta scribatur cifra et quinarius addatur figure precedenti. Secunda cautela ponitur in textu. 412, 146. Unitas superflua valet X, media 10 et sunt 5. [Exemplum.] Exemplum aliud: 510321. Mediabo unum, loco eius scribatur cifra et supra ipsam scribatur figura dimidii, d cum titello. Duplacio. In ista parte autor exequitur de quinta specie huius artis, scilicet de duplacione. Et print o diffinit duplacionem, secundo docet modum operandi in hac specie et cum hoc ostendit modum in-cipiendi operari, ibi In duplando. Plico, -as, id est componere, coagulare, coadunare, simul strin-gere, unum facere. Inde duplico, id est ex duobus unum facio, vel unum gemino. Inde duplicacio, id 10 est ex pluribus una composicio vel unius geminacio, et dicitur duplicacio quasi duorum plicacio etc. Unde duplicacio dicitur quasi duo-rum plicacio. Numerus enim pro- 15 positus se ipsum bis capiens agre-gative duplicacionem facit, que quidem duplicacio unum numerům denominat provenientem. a quo ultra summa tocius numeri 20 manifesta ostcnditur. [Eiusdem.] Dicitur eiusdem ad differenciam addicionis, quia in addicione quilibet numerus ad-ditur cuilibet indifferenter, sed ita 25 non est in duplacione, quia duplacio est agregacio numeri ad se i-psum. Unde omnis duplacio est addicio, sed non econverso. | 30 1 in secundo loco vel in tercio unitas ] unitas in secundo vel in tercio loco F - 3 Mediando ] om. F - Probacio eius fit per duplacionem. Est enim mediacio duplacionis probacio et econverso ] om. F - 31a ex duobus unum Si ] ex duobus G, commentarius in F abest hodnotu deseti - přičti k předcházející číslici směrem doprava pět, což je polovina z deseti.52 A bude-li na druhém nebo na třetím místě jednička, škrtni ji, napiš nulu a přičti pět k předcházející číslici.53 Příklad: Z půlení 610541 vyjde 305270.54 Zkouška půleni se dělá pomocí zdvojení, protože půlení je zkouškou zdvojování a naopak. V. Zdvojování (celých čísel) je dvojnásobné (protože zdvojení znamená jakoby spletení dvou) zvětšování (příčina formální) téhož (nikoliv rozdílného od sebe sama) čísla (příčina mate- [A bude-li.] Dvojí upozornění. Bude-li na jakémkoliv místě jednička, škrtne se, napíše se nula a pětka se přičte k předcházející číslici. Druhé upozornění stojí v textu. 412, 146. Přebývající jednička má platnost deseti; rozpul deset a vyjde pět. [Příklad.] Jiný příklad: 510321. Rozpůlím jedničku, na její místo se napíše nula a nad ni se napíše znaménko poloviny, d s čárkou. Zdvojování. V této části autor vykládá o pátém úkonu tohoto umění, totiž o zdvojování. A za prvé zdvojování definuje, za druhé učí, jak při tomto úkonu postupovat, a s tím současně ukazuje, jak začít; tato část začíná slovy Při zdvojování. Plico, -as, „splétat", znamená skládat, sjednocovat, spojovat, současně svíjet, jedno činit. Z toho je odvozeno duplicare, „zdvojná- sobovat", tj. ze dvou jedno činit, nebo jedno zdvojovat. Z tohoto slovesa je odvozeno duplicatio, „zdvojení", tj. složení jedné věci z více či zdvojení jedné věci; a říká se duplicatio jakoby plicatio duorum, „spletení dvou věcí". Proto se říká duplicatio jakoby duorum plicatio, „spletení dvou věcí", neboť dané číslo přijímajíc slučo-vacím způsobem dvakrát sebe sama vytváří zdvojení a toto zdvojení určuje jedno výsledné číslo, které pak dále zřetelně představuje úhm celého čísla. [Téhož.] Říká se téhož na rozdíl od sčítání, protože při sčítání se přidává bez rozlišování jakékoliv číslo k jakémukoliv číslu; tak tomu však není u zdvojování, protože zdvojování je připojování čísla k sobě samému. Z toho plyne, že každé zdvojování je také sčítání, nikoliv však naopak. 56 57 V. Duplacio V. Zdvojování 7r plum (est eiusdem numeri augmentacio), quadruplacio per | qua-druplum (augmentacio). In duplando numerům incipias ab ultima figura, id est a prima versus sinistram manum, dicendo bis duo et sunt quatuor. Et ex tali duplacione (arismetrica) si provenit digittus, deleta figura, quam duplasti (id est numerus primo propositus), scribe in loco eius digittum provenientem (excrescentem). Si articulus, tunc in loco eius (articuli) scribe cifrám et digittum, qui denominat (principaliter) ilium articulum, scribe in sequenti loco versus sinistram. Si autem numerus compositus provenit (per duplacio-nem), scribe digittum (qui est illius numeri compositi) in loco figure delete et articulum (quia respectu precedentis X significat) ponas versus sinistram. 7r [In duplando.] Hic autor po-nendo modum operandi in hac specie ostendit, a qua parte sit in-cipiendum operari. Et primo facit hoc de ultima figura, secundo de penultima, ibi Duplata ultima. [Si provenit digittus.] Prima regula: In omni duplacione digitto proveniente deleatur figura duplata et scribatur digittus proveniens. [Si articulus.] Secunda regula: Ex duplacione articulo proveniente figura duplata deleatur et loco eius cifra scribatur, digittum versus sinistram transferendo. [Si autem numerus compositus.] Tercia regula: Numero composite ex duplacione proveniente deleatur figura duplata, in cuius loco scribatur digittus, articulum sub nomine digitti versus sinistram transferendo. 10 15 20 25 riální), a tak podobně ztroj ování trojnásobné (je zvětšení téhož čísla), zčtvernásobení čtyřnásobné (zvětšení).55 Při zdvojování čísla začínej od poslední číslice, tj. od první směrem k levé ruce,56 a řekni dvakrát dvě jsou čtyři. Jestliže z takového zdvojení (aritmetického) vyjde digitus, škrtni číslici, kterou jsi zdvojil (tj. číslo původně zadané), a na její místo napiš výsledný (vzešlý) digitus. Jestliže artikulus, pak na jeho místo (artikulu) napiš nulu a digitus, který tomu artikulu dává (prvotně) jméno, napiš na následující místo směrem doleva. Jestliže však vyjde (ze zdvojení) číslo složené, napiš na místo škrtnuté číslice digitus (který je součástí onoho složeného čísla) a artikulus (protože se zřetelem k předcházející číslici znamená deset) napiš směrem doleva.57 [Při zdvojování.] Zde autor vykládá, jak postupovat při tomto úkonu, a ukazuje, z které strany se má začít. A za prvé tak činí u poslední číslice, za druhé u předposlední; tato část začíná slovy Po zdvojení poslední číslice. [Jestliže ... vyjde digitus.] První pravidlo: Vyjde-li při jakémkoliv zdvojení digitus, škrtne se zdvojovaná číslice a napíše se výsledný digitus. [Jestliže artikulus.] Druhé pravidlo: Vyjde-li ze zdvojení artikulus, škrtne se zdvojovaná číslice a na její místo se napíše nula, přičemž se digitus přenese vlevo. [Jestliže však vyjde číslo složené.] Třetí pravidlo: Vyjde-li ze zdvojení číslo složené, škrtne se zdvojovaná číslice a na její místo se napíše nula, přičemž se artikulus přenese pod jménem digitu vlevo. 1 quadruplacio ] et quadruplacio F - 3 in duplando numerům ] in duplacione numeri F — id est a prima ] om. F - 4 bis duo et sunt quatuor ] bis vel duo G - 5 provenit ] provenerit F - 8 denominat ] denotat F - 10 provenit ] provenerit F 58 59 V. Duplacio V. Zdvojování Í7v Duplata ultima dupla penultimam et omneš alias et fac, sicut de ultima fecisti (considerando priores tres regulas). Cifra, quia nichil significat, non duplatur (id est relinquenda est intacta, quia illud, quod nichil est, duplari non potest). Exemplum (tocius speciei): Duplando hune numerům 54608 proveniunt 109216. Et si hune mediabis (quia mediacio est du-placionis probacio et econverso), exiet prior numerus, quem duplasti, scilicet 54608. Notandum, quod in duplacione (hac specie, propter doctri-nam difficiliorem) et multiplicacione (propter necessitatem) et divisione incipiendum est ab ultima figura (plus significante) versus sinistram (id est a sinistra addextram tendendo). Wersus: Subtrahis (id est subtraccionemfacis) aut addis (addicionem) a dextris (versus sinistrum) aut mediabis (mediacionem facis), | a leva (a sinistra versus dextram) dupla (duplacionem fac), divide (divisionem), multiplica (multiplicacionem), [Duplata ultima.] Hic autor dočet duplare penultimam figurám et consequenter alias; et primo in figuris significativis, secundo in non significativis, ibi Cifra non. [Cifra.] Quelibet duplacio vera est, que aliud ponit, sed cifra nichil est, igitur cifra duplari non potest, sic nec dividi. [Notandum, quod.] Racio, qua-re in hac specie incipimus opera- ri ab ultima figura, est ista, quia si a prima figura ineiperemus opera-ri, contingeret eundem numerum multociens bis duplare. Et licet ali-quo modo possimus operari inci-piendo a prima figura, tarnen diffi-cilior esset doctrina et operacio. [Incipiendum est.] Ne error ac-eideret, quia contingeret idem bis duplare. | 1 alias ] alias precedentes F-2 cifra ] cifra 0 F - 6 proveniunt 109216. Et si hunc mediabis, exiet prior numerus, quem duplasti, scilicet 54608 ] om. F - 9 Notandum, quod ] om. F - 10 et divisione ] om. G-12 sinistram ] sinistram tendendo F-Wersus: Subtrahis aut addis a dextris aut mediabis ] om. F-13 in G in mg. al. m.: Wersus: A leva dupla, multiplica, divide quoque, / ast a sinistris radičem tollis utramque, / extrahe radičem eciam sub parte sinistra. 10 15 20 25 Po zdvojení poslední číslice zdvoj předposlední a všechny ostatní číslice a učiň, jaks učinil s poslední číslicí (maje přitom na paměti předcházející tři pravidla). Nula, protože nic neznamená, se nezdvojuje (tj. musí se nechat nedotčena, protože to, co nic není, nemůže být zdvojeno). Příklad (na celý úkon): Zdvojením čísla 54608 vyjde 109216. A když je rozpůlíš (protože půlení je zkouška zdvojování a opačně), vyjde původní číslo, které jsi zdvojil, totiž 54608.58 Je třeba si zapamatovat, že při zdvojování (při tomto úkonu; kvůli poněkud nesnadnějšímu postupu), násobení (kvůli nezbytnosti) a dělení se musí začínat od poslední číslice (znamenající více59) směrem doleva (tj. směrem zleva doprava). Verše: Sčítej (tj. konej sčítání), odčítej též (odčítání), i půlení prováděj (pul) zprava (směrem doleva), zleva (zleva směrem doprava) pak násob (konej násobení) a děl (dělení) a konej i zdvojování (zdvojuj), [Po zdvojení poslední číslice.] Zde autor učí zdvojovat předposlední číslici a následovně další; a za prvé u číslic významových, za druhé u nevýznamových, to začíná slovy Nula se nezdvojuje. [Nula.] Každé zdvojení, které něco vytváří, je skutečné, nula však není nic, tedy nula nemůže být zdvojena, stejně jako nemůže být rozdělena. [Je třeba si zapamatovat] Důvod, proč při tomto úkonu začíná- me od poslední číslice, je ten, že kdybychom začali u první číslice, mnohokrát by se nám přihodilo, že bychom totéž číslo zdvojili dvakrát. A třebaže můžeme postupovat i jiným způsobem, začínajíce u první číslice, přesto by byla výuka a postup nesnadnější. [Se musí začínat.] Aby nedošlo k omylu, protože by se mohlo stát, že totéž číslo by bylo zdvojeno dvakrát. 60 61 VI. Multiplicacio VI. Násobení extrahe radičem duplam (tam cubicam quam quadratam) sub parte sinistra. VI. Multiplicacio (integrorum, sexta species) est augmenta-cio (ad tercium numerům inveniendum) unius numeri per alium [Multiplicacio.] In ista parte nario. Item sciendum, quod utilitas autor exequitur de sexta spec huius artis, que vocatur multipl: cacio. Et dividitur in 5 partes. Pr: mo diffinit multiplicacionem, se huius speciei est ista, ut inveniatur tercius numerus, qui contineat alteram tociens, quot sunt unitates in reliquo, sicut aliqualiter dictum 1 duplam sub Si ] dupla sub G, a F - 16a Ievius Si ] in eius G, com-mentarius in F abest - 32a 18 est Si ] est G, commentarius in F abest 10 cundo dat modum operandi, ibi est. Verbi gracia: Si aliquis rex ha- Cum ergo, tercio ponit quasdam bet 1000 armigeros et cuilibet de- cautelas, ibi Et quando prima fi- bet dare quatuor marcas per men- gura, quarto ponit regulam ad in- sem, ut ergo sciamus, quot sunt veniendum numerům productum, marce in universe Ad hoc ista 15 ibi Et ut levius, quinto ponit exem- species valet, scilicet multiplican- plum pro tota ista specie, ibi Ex- do 1000 per 4. emplum. Et primo quoad primam Multiplico, -as significat am- partem dicente. pie augere, augmentare, multipli- Finis multiplicacionis est, ut citer dilatare, multas plicas facere, 20 inveniatur tercius numerus, qui unum in plura dividere, secare, contineat alteram tociens, quot multipartire. Inde multiplicacio, id sunt unitates in reliquo. est ampla auccio, augmentacio, Item adhuc pro meliori intel- multiplex dilatacio, plicarum com- lectu diffinicionis est notandum, posicio, seccio, multiparticio. Un- 25 quod multiplicare unum numerům de multiplicacio numeri est au- per alium non est aliud quam pro- gmentacio ipsius a se vel ab alio et positis duobus numeris invenire ex plicarum plurium faccio. Primům eis, qui inventus tociens multipli- enim plice unitatum intellectu se- catum contineat, quot sunt unitates can tur, deinde quelibet plica unita- 30 in multiplicante. Verbi gracia: Ter tis augmentatur, ex cuius multipli- sex sunt 18, 18 est tercius nume- cacione partes aucte componuntur rus, qui continet senarium ter ex et composite producunt generatum eo, quia sunt tres unitates in ter- numerům, qui numerus productus kořen - ať ten nebo ten (jak krychlový, tak čtvercový) - začni dobývat od levé strany.60 VI. Násobení (celých čísel, šestý úkon) je zmnožování (aby bylo nalezeno třetí číslo) jednoho čísla druhým (rozdílným od [Násobení.] V této části vykládá autor o šestém úkonu tohoto umění, které se jmenuje násobení. A výklad se dělí na pět částí. Za prvé násobení definuje, za druhé vykládá, jak postupovat, tato část začíná slovy Chceš-li tedy, za třetí uvádí určitá upozornění, tam, kde jsou slova A když první číslice, za čtvrté uvádí návod k nalezení výsledného čísla, to začíná slovy A aby bylo možno lehčeji, za páté dává příklad na celý úkon, tam, kde je Příklad. A nejprve mluví o tom, co se týká první části (viz text). Účelem násobení je nalézt třetí číslo, jež by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém. Pro lepší pochopení definice je třeba ještě poznamenat, že násobit jedno číslo druhým není nic jiného než ze dvou zadaných čísel najít takové, které by obsahovalo násobené tolikrát, kolik je jednotek v násobícím. Například: Třikrát šest je 18; 18 je třetí číslo, které obsahuje šestku třikrát na základě toho, že ve trojce jsou tři jednotky. Rovněž je třeba vědět, že užitečnost tohoto úkonu je v tom, aby se nalezlo třetí číslo, které by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém, jak už bylo řečeno. Například: Má-li nějaký král 1000 ozbrojenců a každému má dát čtyři hřivny měsíčně, abychom tedy věděli, kolik hřiven je to celkem. A k tomuto je tento úkon užitečný, totiž násobíme-li tisíc čtyřmi. Multiplico, -as, „násobit", znamená hojně zvětšovat, zmnožovat, několikanásobně rozšiřovat, vytvářet četné složky, jednu věc dělit na více věcí, sekat, dělit na mnohé části. Z toho je multiplicatio, „násobení", tj. hojné zvětšování, zmnožování, mnohonásobné rozšiřování, skládání složek, sekání, dělení na mnohé části. Odtud pak multiplicatio numeri, „násobení čísla", je zvětšování jeho samého sebou samým nebo jiným a vytváření více složek. Nejprve jsou totiž složky jednotek v mysli rozdělovány, pak je každá složka jednotky zvětšena a jejím zmnožováním se zvětšené části skládají a složeny vytvářejí nově vzniklé číslo, které se nazývá číslo výsledné. Je totiž 62 63