Polednice
aneb
Řešení kvadratických rovnic pravítkem a kružítkem
Karel Otruba
Někdy ve svých středoškolských letech jsem našel ve starém almanachu jistého gymnázia „úpravu“
Erbenovy básně Polednice. Začíná takto:
U tabule dítě stálo / zplna hrdla mlčelo. / Nad rovnicí – jak se zdálo – / kvadratickou trčelo.
„Nu, tak řešte! Zde je křída, / zde je cirkl, lineál!“ / V tichu tone celá třída / a kluk taky neví dál...
A tak podobně dále. Text lze najít na internetu, bohužel s mnohými odchylkami a nepřesnostmi, jak
se tak přenášel asi i ústním podáním. Ostatně folklór mívá mnoho variant. I studentský.
Já jsem se ale pozastavil hlavně nad tím, že matikář chtěl po vyvolaném řešit kvadratickou rovnici
pomocí kružítka a pravítka. To jsem si tehdy nedovedl představit. Až později, na začátku své
učitelské dráhy jsem se seznámil s vynikajícím časopisem KVANT. A když jsem ještě později na
internetu našel a procházel i jeho starší čísla, padl mi do oka článek A. A. Presmana, patrně učitele,
psaný v ich formě... Pokusil jsem se o překlad, který zde uvádím s kratším komentářem na konci.
Řešení kvadratických rovnic pomocí kružítka a pravítka
А. А. Пресман
„Квант“, 1972, № 4
Grafické řešení kvadratické rovnice pomocí paraboly je nepohodlné. Sestrojujeme-li parabolu
bod po bodu, je to časově náročné, a přitom přesnost nalezených řešení není velká.
Jednou, když byla řeč o geometrických konstrukcích, dali mi žáci tuto otázku: „Proč neřešíme
kvadratické rovnice pomocí kružítka a pravítka? Sestrojení kružnice je přece snadné!“
A tak se objevil v hodině matematiky problém:
Pomocí reálných koeficientů a; b; c kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 nalezněte poloměr
a souřadnice středu kružnice, protínající osu x v bodech, jejichž x-ové souřadnice jsou kořeny
dané rovnice (všude předpokládáme, že a ≠ 0).
Hned je vidět, že takových kružnic je (nekonečně) mnoho, proto předpokládejme, že hledaná
kružnice protíná osu x nejen v bodech B [x1
; 0] a C [x2
; 0], kde x1
; x2
jsou kořeny rovnice
ax2 + bx + c = 0, ale že prochází také bodem A [0; 1].
(Oba kořeny nechť jsou zatím reálné různé. Pozn. KO.) Podle vztahu „mocnost bodu ke kružnici“ platí
OC.OB = OE.OA, odkud plyne OE = (OB.OC)/OA = x1
.x2
= c/a. (neboť OA = 1).
Středem S této kružnice je průsečík kolmic SF a SK, sestrojených ve středech tětiv AE a BC, proto
OK = (x1
+ x2
)/2 = … = – b/2a, OF =
1+
c
a
2
=
a+c
2a
Odtud plyne následující způsob nalezení kořenů kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 pomocí
kružítka a pravítka:
Sestrojme body S [ –b/2a ; (a+c)/2a ] (střed kružnice) a A [0; 1].
Pak sestrojme kružnici se středem S a poloměrem SA. První souřadnice průsečíků osy x s touto
kružnicí jsou kořeny dané kvadratické rovnice.
Podrobný důkaz správnosti tohoto postupu přenecháváme čtenáři. (Podtrženo KO.)
Uveďme nyní tři případy, které je třeba prozkoumat, a dále grafické nalezení imaginárních (!)
kořenů výchozí rovnice.
Případ 1. Poloměr kružnice je větší než druhá souřadnice středu.
Kružnice protíná osu x ve dvou bodech B; C. Rovnice má dva různé reálné kořeny.
Případ 2. Poloměr kružnice se rovná druhé souřadnici středu, kružnice se osy x dotýká v bodě B.
V tomto případě má rovnice jeden kořen dvojnásobný, x1;2
= –b/2a.
Případ 3. Poloměr kružnice je menší než druhá souřadnice středu, kružnice nemá s osou x
společné body. Rovnice nemá reálné kořeny.
Nyní má rovnice dva komplexní kořeny sdružené: x1;2
=
−b±i√4ac−b
2
2a
Reálná část komplexních kořenů je vyjádřena úsečkou OB = –b/2a, tedy první souřadnicí středu.
Absolutní hodnota imaginárních částí kořenů je vyjádřena úsečkou BC tečny BC ke kružnici.
(Vsuvka KO: Je velmi zajímavé (a důležité!!!) tato tvrzení dokázat výpočtem!!!)
Pomocí uvedeného způsobu lze snadno sledovat i znaménka kořenů rovnice a provést geometrický
důkaz Viètových vztahů. Jenomže v tomto případě nemůžeme v odvození Viètových vztahů použít,
proto v závěru ukážeme algebraickou interpretaci grafického řešení kvadratické rovnice.
Místo rovnice ax2 + bx + c = 0 řešme soustavu s ní ekvivalentní
ax2 + bx + c + ay2 – (a+c).y = 0, y = 0
Je jasné, že má-li kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 kořen x, platí y = 0 a naopak. První
rovnice soustavy je rovnicí kružnice (ověřte si to!), druhá je rovnice osy x. V jejich průsečících
dostáváme řešení kvadratické rovnice.
(Vsuvka KO: Je opět velmi důležité tohle spočítat. Uvedená kružnice má skutečně hledaný střed S
a poloměr SA. Pro gymnazisty je to výborné procvičení úprav algebraických výrazů!!!)
(Konec článku – překladu Presmanova textu)
Komentář:
0) Je nezbytné narýsovat si obrázky a vše si nad nimi projít s tužkou v ruce.
1) Jde především o zajímavé vztahy. Řešit tímto způsobem kvadratické rovnice by bylo neefektivní;
přesnost přitom klesá s rostoucí vzájemnou vzdáleností kořenů (pak je příliš „šikmé“ protínání
osy x kružnicí, která prochází „neměnným“ bodem A [0; 1]).
2) Je zajímavé prozkoumat nějaké speciálnější případy a přesvědčit se, že uvedený postup vždycky
funguje. Zcela krajní případ nastane, když střed oné kružnice splyne s bodem A [0; 1]. To se týká
rovnice x2 + 1 = 0, kdy celá kružnice zdegeneruje do bodu A. Interpretujeme-li nyní „tečnu ke
kružnici – bodu“ jakožto osu y (jakýsi limitní případ), má úsečka [0; 0]; [0; 1] (OA) délku 1, což
je opět velikost imaginární části řešení (± i).
3) V literatuře uvedené a stránkách KDM MFF UK Praha je údajně popsána ještě jiná metoda řešení
kvadratické rovnice pomocí kružítka a pravítka.