Extrémy podle Pierra de Fermata
Úloha 1
Určete extrémy funkce y = x2 + x + 1. Poznámka.
V dalším textu budeme místo místo symbolu e používat symbol t. Vztah „ adekválnŕ1 budeme značit symbolem ~.
Řešení:
f (x)   ~   f(x + t) x2 + x + 1   ~   (x + ŕ)2 + {x + t) + 1 0  ~  2xt + t2 + t 0  ~  t ■ {2x + 1 + t) 0  ~  2x + 1 + t
1
0  =  2x + l&x=--Funkce má minimum v bodě x = — |.
Úloha 2
Určete extrémv funkce y = —r-r. Rešení:
f (x)   ~   /(x + ŕ)
x x + t
x2 + l        (x + ŕ)2 + 1
x2 + xŕ — 1
0  ~ -t
(x + ŕ)2(x2 + l)
0  ~  x2 + xt - 1
0  =  x2 - 1 <ŕ» |x| = 1
Funkce má extrémy v bodech x = — 1, x = 1, maximum v bodě x = 1 minimum v bodě x = — 1.
Úloha 3
Určete extrémy funkce y = x + -.
1
Řešení:
f (x)   ~   f(x + t)
1 1
x H—   ~  x + ŕ H--
oč tjc I ŕ
x2 + xt — 1
O  -  ŕ-7-—
x [x + ŕ)
O  ~  x2 + xŕ - 1
O  =  x2 - l o \x\ = l
Funkce má extrémy v bodech x = — 1, x = 1, maximum v bodě x = — 1 a minimum v bodě x = 1.
Úloha 4
Do trojúhelníku se základnou z a výškou v vepište obdélník maximálního obsahu.
Řešení:
Označíme-li rozměry obdélníku x, y tak, jak je uvedeno na obrázku, pak na základě podobnosti trojúhelníků může psáti
-= -<^>y = -(z — x)
x        z z
Pro obsah trojúhelníku platí
b = xy = x—(z — x) = vx--x
z z
f (x)   ~   f(x + t)
vx--x2   ~  v{x-\-ť)--(x + ŕ)2
0   ~  tivz — 2vx — vt) 0   ~  vz — 2vx — vt
z
0   =   vz — 2vx     x = -
2
Funkce S má maximum pro x = |. Odpovídající hodnota pro y je
y = f(z-x) = ^-§) = §.
2
Úloha 5
Do koule o poloměru r vepište kužel maximálního objemu.
Řešení:
Označíme-li poloměr kužele R, pro jeho objem platí V = ^ttR2v. Zřejmě je R2 = r2 — (r — v)2 = 2rv — v2. Pro objem kužele pak platí
V = —ttR v = -7t{2rv — v )v = —ttv (2r — v). 3 3 3
f (v)   ~   f(v + t)
-W{2r-v)   ~   -TV(v + t)2{2r -v -t) 3 3
0  ~  t(4rv + 2rt - 3v2 - 3vt - t2) 0  ~  Arv + 2rt - 3v2 - 3vt - t2 0  =  Arv - 3v2 <ř» v (Ar - 3v) = 0.
Odtud plyne v = |r. Pro R dostáváme R = ^p-r.
3