Metoda diskriminantu
Úloha 1
Určete extrémy funkce y = x2 + x + 1. Řešení:
protože D = —3 < 0 je f (x) > 0 pro každé x G R funkce je tedy omezená zdola a v bodě — ^ = — ^ má minimum
Nyní ukážeme, jak lze předcházející úlohu pojmout jiným způsobem. Na zápis funkce y = x2 + x + 1 budeme pohlížet jako na rovnici, kterou zapíšeme v anulovaném tvaru
x2 + x + \ — y = 0
Dostáváme kvadratickou rovnici s koeficienty a = 1, b = 1, c = 1 — y. Pro její diskriminant platí
D = b2 - Aac = 1 - 4(1 - y) = Ay - 3
Ze zadání úlohy plyne, že rovnice x2+x + l — y = 0 má pro y G H(f) aspoň jedno řešení. Její diskriminant musí být nezáporný.
3
JD>0^4y-3>0^y>-
Funkce y = x2 + x +1 je tedy omezená zdola a její nejmenší hodnota je y = |. Po dosazení do rovnice x2+x + l — y = 0 dostáváme
2 ,    3     2 1    /     r2
X        + 1---        = x +x + —= \x-\—
4 4     V 2
Funkce má minimum v bodě x = — |.
Úloha 2
Určete extrémy funkce y = -Jr^i-Řešení:
Předpis pro funkci vyjádříme jako rovnici v anulovaném tvaru
yx2 — x + y = 0
Tato kvadratická rovnice má pro y G H (f) aspoň jedno řešení, její diskri-
1
minant musí být nezáporný
D = 1 - 4y2 > 0    y2 <       \y\ < \^ y G
Vidíme, že naše funkce je omezená, její minimální hodnota je y = — |, maximální hodnota je y = ^. Po dosazení do rovnice yx2 — x + y = 0 dostáváme
-^x2 -x-i = 0<^(x + l)2 = 0<^x = -l
^x2 -x + ^ = 0<^(x-l)2 = 0<^x = l
Funkce má tedy minimum v bodě x = — 1 a maximum v bodě x = 1. Úloha 3
Určete extrémy funkce y = x + ^. i? esem":
Odpovídající kvadratická rovnice má tvar
x2 — yx + 1 = 0
Z podmínky Ľ > 0 plyne y2 — 4 > 0     |y| > 2. Pro funkční hodnoty tedy platí y G (—oo, —2) U (2, +oo) . Snad je zřejmé, že funkce nabývá svého maxima v intervalu (—oo, 0) a svého minima v intervalu (0, +oo). Odpovídající hodnoty x získáme řešením rovnice x2 — yx +1 = 0, do které jsme dosadili y = — 2, y = 2. Postupně dostáváme
x2 + 2x + 1 = 0 & (x + l)2 = 0
x2 - 2x + 1 = 0 & (x - l)2 = 0 Funkce má tedy maximum v bodě x = — 1 a minimum v bodě x = 1.
Úloha 4
Určete extrémy funkce y = -^-r--
J ,y X—L X — O
Řešení:
Zřejmě platí
9 4    _ 5x-50
^    x — 1    x — 6    x2 — 7x + 6
2
Odtud již plyne
yx2 — 7xy + 6y = 5x — 50
yx2 - (7y + 5)x + 6y + 50 = 0
Dostali jsme kvadratickou rovnici s parametrem y 6 H (f), jejíž diskriminant musí být nezáporný. Zřejmě platí
D = {7y + 5)2 - 4y(6y + 50) = 25y2 - 130y + 25 = 5(5y2 - 26y + 5)
Z) > 0 <ř» 5y2 - 26y + 5 > 0 Protože je 5y2 — 26y + 5 = (5y — l)(y — 5), dostáváme pro y
y £ ^-oo, ^ U (5, +oo)
Funkce má lokální minimu pro y = 5 a lokální maximum pro y = |. Odpovídající hodnoty pro x získáme dosazením za y do rovnice yx2 — (7y + 5)x + 6y + 50 = 0. V případě minima dostáváme rovnici 5x2 - 40x + 80 = 0. Odtud již plyne x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 = 0. To však znamená, že funkce má minimum v bodě x = 4. Podobně v případě maxima dostáváme rovnici |x2 —      + ^ = 0. Po úpravě dostáváme x2 — 32x + 256 = (x — 16)2 = 0. Funkce má maximum v bodě x = 16.
Úloha 5
Určete minimum funkce y = Ax + 1 — \/4x2 — 1. Řešení:
Poznamenejme předem, že zřejmě platí y > 1 Funkci vyjádříme ve tvaru
VAx2 - 1 = Ax + 1 - y
Dříve než provedeme umocnění, položíme 1 — y = b
VAx2 - 1 = Ax + b Po umocnění a úpravě dostáváme kvadratickou rovnici
12x2 + 8xb + b2 + 1 = 0
3
Pro diskriminant platí D = 16b2 — 48, odkud pro D > 0 plyne 16b2 - 48 > 0, tedy |6| > VŠ, a proto je
b E (-oo,-Vsj U (VŠ, +oo)
Vzhledem k 1 — y = b je |1 — y\ = \b\ > VŠ. Protože je y > 1, platí |1 — y\ = y — la dostáváme y > 1 + VŠ. Hodnota minima funkce je y = 1 + VŠ. Této hodnoty nabývá funkce v bodě x =       což plyne z rovnice 12x2 + 8xfo + b2 + 1 = 0, do které jsme dosadili b = — VŠ.
12x2 - 8VŠx + 4  = 0 3x2 - 2VŠx + 1   = 0 {VŠx - l)2   = 0
Úloha 6
Kladné číslo a rozložte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl maximální. Řešení:
Označíme-li jednotlivé sčítance x, a — x, pak hledáme maximum výrazu S = x(a — x). Odpovídající kvadratická rovnice má tvar
x2 — ax + S = 0
Z podmínky D > 0 plyne a2 — AS > 0 a tedy S <      Dosadíme-li nyní
2
do kvadratické rovnice za 5 = j dostaneme rovnici 4x2 - 4ax + a2 = 0     (2x - a)2 = 0 Odtud již plyne, že hledané maximum nastane pro x = |.
Úloha 7
Do půlkruhu s poloměrem r vepište obdélník maximálního obsahu.
Řešení:
Označíme-li rozměry obdélníku x, y, pak pro hledaný obsah platí S = xy, kde y = Vr2 —     Po dosazení dostáváme S = xVr2 — ^.
4
Odpovídající bikvadratická rovnice má tvar
x4 - 4r V + AS2 = 0
Z podmínky D > 0 plyne 16r4 - 16S2 >0^S2<r4. Dosadíme-li do předcházející rovnice za S2 = r 4 dostaneme
x4 - 4rV + 4r4 = 0 ^ (x2 - 2r2)2 = 0 Odtud již dostáváme rozměry hledaného obdélníku x = r\/2, y =
Úloha 8
Do trojúhelníku se základnou z a výškou v vepište obdélník maximálního obsahu.
Řešení:
Označíme-li rozměry obdélníku x, y tak, jak je uvedeno na obrázku, pak na základě podobnosti trojúhelníků může psáti
-= -<^>y = -(z — x)
X        z z
Pro obsah trojúhelníku platí
C Ví \ V 2
b = xy = x—{z — x) = vx--x
z z
Odpovídající kvadratická rovnice má tvar
vx2 — vzx + zS = 0
Z podmínky D > 0 plyne v2z2 — AvzS > 0 <^ S < vf. Dosadíme-li do předcházející rovnice za 5 = j dostaneme
4x2 - Azx + z2 = 0 <r> {2x - z)2 = 0.
Odtud dostáváme jeden rozměr obdélníku x = |. Pro druhý rozměr platí
u u zv
y = —{z — x) = —{z--= -.
y     zy       '     zy      2' 2
Metoda diskriminantu je také vhodná při dokazování některých algebraických nerovností. Ukážeme nyní na několika úlohách, jak v takových případech postupovat.
5
Úloha 9
Dokážte, že kladná reálná čísla a, b, c jsou délkami stran trojúhelníku, právě když platí nerovnost
(a2+fo2 + c2)2 >2(a4 + fo4 + c4)_
Řešení:
úpravami uvedené nerovnosti získáme ekvivalentní nerovnost
a4 _ 2{h2 + c2)q2 + (fc2 _ c2)2 < Q
položíme-li nyní a2 = x, dostaneme kvadratickou nerovnost
x2 _ 2{h2 + c2)x + (fc2 _ c2)2 < Q
odpovídající kvadratická rovnice x2 — 2(b2 + c2)x + (b2 — c2)2 = 0 má kořeny x\ = (b — c)2 a X2 = (b + c)2. Podle věty uvedené v úvodu tohoto článku platí (b—c)2 < x < (b+c)2, tj. (b—c)2 < a2 < (b+c)2. Odmocněním dostáváme \b — c\ < a < b + c.
Úloha 10
Nechť xi,X2,--- ,xn jsou daná reálná čísla. Zjistěte, pro které x E R má součet
S = (x — xi)2 + (x — X2)2 + • • • + {x — xn)2 nej menší hodnotu. Řešení:
Uvažte, že výše uvedený součet S lze zapsat ve tvaru
S = nx2 + bx + c,
kde b = — 2{xi + x2 + • • • + xn), c = x\ + x\ + • • • + x2n. Podle věty z úvodu článku nabývá S nejmenší hodnotu pro
_     b _ x\ + x2 + • • • + xn 2n n
Pokud bychom postupovali stejným způsobem jako u vyšetřování extrémů funkcí, dostali bychom kvadratickou rovnici
nx2 + bx + c — S = 0.
6
Z podmínky D > 0 plyne b2 - An(c - S)>0^ S>^ za S = 4nc~b2 do kvadratické rovnice dostaneme rovnici
in
An2x2 + Anbx + b2 = 0 & (2nx + b)2 = 0 ^ x = -