Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Moskevský matematický papyrus
In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech).
Praha: Český egyptologický ústav FF UK, 2006. pp. 75–87.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401082
Terms of use:
© Vymazalová, Hana
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents
strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and
stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital
Mathematics Library http://dml.cz
II.1 Moskevský matematický papyrus
Papyrus pochází z pohřebiště v Dra Abú en-Naga v oblasti dnešního
Luxoru, kde jej roku 1892/93 nebo 1893/94 zakoupil V. S. Goleniščev.20
Od roku 1921 je rukopis uložen v Puškinově muzeu krásných umění
v Moskvě (inv. č. 4676).
Moskevský papyrus byl sepsán za 13. dynastie, některé formy hieratických
značek nicméně naznačují, že jeho předloha mohla pocházet již
z doby 12. dynastie.
Původní rozměry svitku se odhadují na 544×8 cm, dnes však sestává
z jednoho většího kusu o 11 listech a z 9 malých fragmentů.
Text je uspořádán do 45 sloupců, z nichž každý obsahuje nejvýše 8
řádků písma. Sloupce jsou v překladu vyznačeny římskými číslicemi. Na
papyru je zapsáno 25 matematických úloh, které mají jednotnou formu
a některé z nich se opakují.
Literatura:
V. V. Struve, Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der
schönen Künste in Moskau, O. Neugebauer, J. Stenzel, O. Toeplitz
(Hg.), Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie
und Physik, Abteilung A: Quellen, Bd1, Berlin 1930
A. Imhausen, Rechnungen aus dem Niltal – Probleme ägyptischer Mathematik
am Beispiel des mathematischen Papyrus Moskau, diplomová práce,
Freie Universität Berlin 1996
20
V. S. Goleniščev, egyptolog ruského původu, ze svých četných cest do Egypta
přivezl množství starožitností, které dnes tvoří součást sbírky moskevského muzea.
Po revoluci se do vlasti již nikdy nevrátil.
75
M1
I
. . . co vstoupí. . .
. . . co vstoupí. . .
. . . vyjde 5
. . .
M2
II
Metoda výpočtu kormidla z. . .
Řekne-li se ti: kormidlo z. . .
Udej mi. . .
. . .
M3
III
Metoda výpočtu stěžně ze dřeva aš.
Řekne-li se ti: stěžeň ze dřeva aš, 30 loktů
dlouhý. [Jaká je 1
3
1
5 jeho délky?] Spočítej 1
3
1
5 z těch 30,
[vyjde 16. . . hle, získal jsi]
[hledanou délku. Nalezl jsi] správně.
M4
IV
[Metoda] výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy.
[Řekne-li se ti:] trojúhelník, jehož výška je 10
a základna 4. Udej mi (obsah)
jeho plochy. Spočítej 1
2 ze 4, je to 2,
pro udání jeho obdélníku. Počítej s 10 2krát,
vyjde 20. To je (obsah) jeho plochy.
76
V
10
2
4
1 4 1 [10]
1
2 2 \2 [20]
M5
VI
Metoda výpočtu 100 chlebů (kvality) 20
Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 20
převést na pivo kvality 4.
[1
2
1
4 Spočítej] podíl
[těch 100 chlebů] (kvality) 20, vyjde 5.
[Počítej s 1
2
1
4 , až najdeš 1,
vyjde 1
2.]
VII
Spočítej
1
2 z 5, vyjde
2 1
2 . Počítej
s 2 1
2 4krát,
vyjde 10.
Hle, to je příslušné pivo.
Nalezl jsi správně.
M6
VIII
Metoda výpočtu pravoúhelníku
Řekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy 12 , kde 1
2
1
4 z délky
přísluší šířce.
Počítej s 1
2
1
4, až najdeš 1, vyjde 1 1
3.
Počítej s těmito 12, což je (obsah) plochy, 1 1
3krát, vyjde 16.
77
Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1
2
1
4 , je to 3, pro
šířku. Postup:
12
4
3
\1 4
\2 16
M7
IX
Metoda výpočtu trojúhelníku.
Řekne-li se ti: trojúhelník o (obsahu) plochy 2, s poměrem stran 2 1
2 .
Zdvojnásob (obsah) plochy, vyjde 40. Počítej (s tím) 2 1
2krát,
vyjde 100. Spočítej (z toho) odmocninu, vyjde 10. Proveď 1 ÷ 2 1
2,
to, co vyjde, je 1
3
1
15. Spočítej to z 10, vyjde 4.
Je to 10 na délku, 4 na šířku.
M8
X
Metoda výpočtu 100 chlebů (kvality) 20.
Řekne-li se ti: 100 chlebů (kvality) 20
převést na pivo, jež má kvalitu 4;
1
2
1
4 sladu pro datle.
Spočítej podíl těch 100 chlebů kvality 20,
vyjde 5. Počítej s 1
2
1
4 sladu
pro datle, až najdeš 1, vyjde 1
2.
XI
Spočítej 1
2 z 5, vyjde 2 1
2 .
Počítej s 2 1
2 4krát,
vyjde 10. Toto (tedy) řekni:
Hle, to je příslušné pivo. Nalezl jsi správně.
M9
XII
Metoda výpočtu měřic hornoegyptského ječmene na chleba a pivo.
Řekne-li se ti: 16 měřic hornoegyptského ječmene převést na 100
78
chlebů (kvality) 20,
zbytek na pivo (kvality) 2
4
6
1
2
1
4 sladu pro datle.
XIII
Spočítej podíl těch 100 chlebů (kvality) 20,
vyjde 5 měřic hornoegyptského ječmene. Spočítej zbytek
z těch 16 měřic hornoegyptského ječmene, vyjde 11 měřic hornoegyptského
ječmene.
Řekni mu: 11 měřic hornoegyptského ječmene je to, co se převede na
XIV
pivo (kvality) 2
4
6
1
2
1
4 sladu pro
datle.
XV
Spočítej podíl toho, co má kvalitu 2, vyjde 1
2.
Spočítej podíl toho, co má kvalitu 4, vyjde 1
4.
Spočítej podíl toho, co má kvalitu 6, vyjde 1
6.
Sečti to, vyjde 2
3
1
4.
Počítej s 2
3
1
4 2krát, neboť bylo řečeno:
XVI
1
2
1
4 sladu
pro datle,
vyjde 1 2
3
1
4.
Počítej s 1 2
3
1
4,
až najdeš těch 11,
XVII
jež vyšly jako zbytek z těch 16 měřic hornoegyptského ječmene za těmi
5 měřicemi hornoegyptského ječmene,
vyjde 6. Řekni mu: hle, to je to, co mu bylo přineseno pro všechny
79
kvality.
Je to 6 džbánů piva, co jsi udal pro všechny kvality.
Nuže poznej to: to je to, co jsi nalezl.
Postup. Nalezl jsi správně.
M10
XVIII
Metoda výpočtu koše.
Řekne-li se ti: koš o 4 1
2 v tep-r
ku 4 1
2 na adž. Nuže,
udej mi jeho plochu. Spočítej
1
9 z 9, neboť koš
je 1
2. . . , vyjde 1.
XIX
Spočítej zbytek, je to 8.
Spočítej 1
9 z 8,
vyjde 2
3
1
6
1
18 . Spočítej
zbytek z těch 8 za
těmi 2
3
1
6
1
18 , vyjde 7 1
9.
XX
Počítej se 7 1
9 4 1
2krát,
vyjde 32. Hle, toto je jeho plocha.
Nalezl jsi správně.
M11
XXI
Metoda počítání prací výrobce peh.džu.
Řekne-li se ti: práce výrobce peh. džu.
Množství jeho práce jako výrobce peh. džu je 100,
jež odpovídají 5 dlaním.
Udělá z toho peh. džu
odpovídající 4 dlaním. Počítej s těmi 5 dlaněmi v mocnině, vyjde
25. Počítej s těmi 4 dlaněmi v mocnině, vyjde 16.
80
XXII
Počítej s těmi 16, až najdeš 25,
vyjde 1
2
1
16 . Počítej se 100 tolikrát,
vyjde 156 1
4 . Řekni mu: Hle,
to je peh. džu, které přinesl, odpovídající 4 dlaním.
Nalezl jsi správně.
M12
XXIII
Metoda výpočtu 13 měřic hornoegyptského ječmene.
Řekne-li se ti: 13 měřic hornoegyptského ječmene převést na
18 džbánů piva, je-li sladu
stejně jako datlí. Hle,
sladu je stejně jako datlí,
(tedy) 2 1
6. Počítej s 2 1
6, až
najdeš těch 13. Hle, bylo řečeno 13,
to je těch 13 měřic. Vyjde 6krát.
XXIV
Počítej se 6, až najdeš 18,
vyjde 3krát. Hle, to je
kvalita 3. Nalezl jsi správně.
M13
XXIV
Metoda výpočtu 16 měřic hornoegyptského ječmene.
Převést na 100 chlebů (kvality) 20, zbytek na
pivo (kvality) 2
4
6
XXV
1
2
1
4 sladu pro datle.
Spočítej podíl těch 100 chlebů (kvality) 20,
vyjde 5. Spočítej zbytek ze 16
81
za 5, vyjde 11. Proveď
dělení 1 těmi velikostmi kvalit,
vyjde 2
3
1
4. Počítej s 2
3
1
4 2krát,
XXIV
neboť bylo řečeno: 1
2
1
4 sladu pro datle,
vyjde 1 2
3
1
6 . Počítej s těmi 1 2
3
1
6 , až
najdeš 11, vyjde 12krát. Řekni mu:
toto je příslušné pivo. Nalezl jsi správně.
M14
XXVII
Metoda výpočtu
Řekne-li se ti: o výšce 6,
dolní základně 4 a horní základně 2.
Spočítej tyto 4 v mocnině, vyjde 16.
Zdvojnásob 4, vyjde 8.
Spočítej tyto 2 v mocnině, vyjde 4.
XXVIII
Sečti těch 16
s těmi 8 a těmi 4,
vyjde 28. Spočítej
1
3 z 6, vyjde 2. Počítej
s 28 2krát, vyjde 56.
Hle, je to 56. Nalezl jsi správně.
XXIX
2 přijde 4
56
6
4
4
1 28
2 1
3 2 56
přijde 16, 8 celkem 28.
82
M15
XXX
Metoda výpočtu 10 měřic hornoegyptského ječmene.
Řekne-li se ti: 10 měřic hornoegyptského ječmene
převést na pivo, jež má kvalitu 2.
Nuže, udej mi (množství)
piva. Počítej s těmi 10
2krát, vyjde 20. Hle,
(je to) 20 džbánů piva. Nalezl jsi správně.
M16
XXXI
Metoda výpočtu džbánu piva kvality 2.
Řekne-li se ti: džbán piva kvality 2,
1
2
1
4 sladu pro datle, převést na
pšenici, odměřit 2 2
3 . Spočítej
potřebu toho džbánu kvality 2,
vyjde 1
2 . Počítej s tím 2krát,
vyjde 1. Počítej s 2 2
3 , až najdeš 1,
XXXII
vyjde 1
4
1
8. Spočítej
1
4
1
8 z 1, vyjde 1
4
1
8 .
Řekni mu: hle, to je ono.
Nalezl jsi správně.
M17
XXXIII
Metoda výpočtu trojúhelníku.
Řekne-li se ti: trojúhelník, jehož (obsah) plochy je 20.
Udáš-li jeho délku, udej 1
3
1
15 , to bude na šířku.
Zdvojnásob 20, vyjde 40.
Počítej s 1
3
1
15 , až najdeš 1, vyjde 2 1
2krát.
Počítej se 40 2 1
2 krát, vyjde 100. Spočítej odmocninu z toho,
83
XXXIV
vyjde 10. Hle, je to 10 na délku. Spočítej 1
3
1
15
z 10, vyjde 4. Hle, je to 4 na šířku.
Nalezl jsi správně.
2
11
1
3
1
15 4
40 [2]2
1 40
\2 80
\[1
2 ] 20, celkem 100, odmocnina 10
M18
XXXV
Metoda výpočtu části látky (o rozměrech) 5 (loktů) 5 dlaní a 2 dlaně:
přepočíst na plochu.
Řekne-li se ti: pruh látky (o rozměrech) 5 (loktů) 5 dlaní a 2 dlaně:
přepočíst na plochu.
Udej mi tedy (obsah) jeho plochy. Převeď
těch 5 (loktů) a 2sic dlaní na dlaně, vyjde 35, jako těch 5,
vyjde 10, jako ten pruh. Počítej s 31sic(35) a s 10 80krát.
M19
XXXVI
Metoda výpočtu množství. To, co se spočítá 1 1
2 krát se
4 tak, aby to přišlo k 10, je množství, o kterém se hovoří.
Spočítej velikost těch 10 nad těmi 4, vyjde 6.
Počítej s 1 1
2, až najdeš 1, vyjde 2
3. Spočítej
2
3 z těch 6, vyjde 4. Hle, 4 je to,
oč se jedná. Nalezl jsi správně.
84
M20
XXXVII
Metoda výpočtu 1 000 chlebů (kvality) 20.
Řekne-li se ti: 1 000 chlebů (kvality) 20, převést na pšenici.
Udej mi (množství) pšenice. Počítej: vyděl 20, až najdeš 2 2
3 ,
vyjde 1
5 ze 2
3 . Spočítej 1
5 ze 2
3 z těch 1 000, vyjde 133 1
3.
Převeď to na měřice hornoegyptského ječmene, vyjde 133 1
4
1
16
1
64
a 2
3 ro.
M21
XXXVIII
Metoda výpočtu mísení obětního chleba.
Řekne-li se ti: 20 odměřit 1
8 , 40 odměřit 1
16 .
Spočítej 1
8 z 20, neboť 1
8 je 1
8,
vyjde 2 1
2 . Spočítej 1
16 ze 40, neboť
1
16 je 1
16 , vyjde 2 1
2. Sečti
obojí, vyjde 5. Sečti
XXXIX
obojí, vyjde 60. Proveď dělení 5 ÷ 60,
vyjde 1
16
sic
. Hle, smícháno 1
16 . Nalezl jsi správně.
M22
XL
Metoda výpočtu 10 měřic hornoegyptského ječmene.
Řekne-li se ti: 10 měřic hornoegyptského ječmene
převést na 100 chlebů, není-li známa jejich kvalita,
zbytek na 10 (džbánů) piva (kvality) 2; 1
2
1
4 sladu pro datle.
Hle, 1
2
1
4 sladu pro datle.
Hle, je to 2, spočítej podíl těch 10 džbánů piva (kvality) 2,
vyjde 5. Spočítej zbytek těch 10 za těmi 5 měřicemi hornoegyptského
ječmene,
85
XLI
vyjde 5. Počítej s těmi 1
2
1
4 sladu pro datle, až najdeš 1.
Hle, 1
2
1
4 sladu pro datle a (kvalita) je 2. Vyjde 1
2. Spočítej 1
2 z 5,
vyjde 2 1
2 .
M23
XLII
Metoda počítání prací výrobce sandálů.
Řekne-li se ti: práce výrobce sandálů: když řeže,
je to 10 za den; když dokončuje, je to 5 za den.
Když řeže i dokončuje, kolik udělá
za den? Sečti dobu těch 10 s těmi 5,
vyjde celkem 3. Počítej s tím, až najdeš 10, vyjde 3 1
3krát.
Hle, 3 1
3 krát je to pro jeden den. Nalezl jsi správně.
M24
XLIII
Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene.
Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200
chlebů,
zbytek na 10 (džbánů) piva tak, aby kvalita piva byla 1
10 kvality
chleba.
1
2
1
4 sladu pro datle. Počítej s 1
10 , až najdeš 1,
vyjde 10krát. Počítej s těmi 10 džbány piva
10krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200,
vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20krát.
XLIV
Hle, 20 je kvalita těch 100 chlebů.
Spočítej 1
10 z těch 20, vyjde 2.
Hle, těch 10 džbánů piva má kvalitu 2.
Nalezl jsi správně.
86
M25
XLV
Metoda výpočtu množství. To, co se spočítá 2krát a jednou se 4 tak,
aby to přišlo k 9,
je to, o čem se hovoří. Sečti to množství a ty dvě,
vyjde 3. Počítej s těmi 3, až najdeš 9, vyjde 3krát.
Hle, 3 je to, o čem se hovoří. Nalezl jsi správně.
87