7
EUKL EID O VY
Z A K Iv A D Y
(ELEMEN TA).
přeložil
FRANTIŠEK SERVÍT, ^
professor  česlcétio gymnasia virjohiraclslcério.
scan, bookmarks: Zdeněk Halas, 2010
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/
Eukleides.pdf
V  PRAZE 1Q07.
IM alt la clem Jednoty oesltých mathematiků. — Tiskem Alberta iMalíře • na Král. Vinohrad ech.
Předmluva.
Předkládaje Eukleidovy Základy řídil jsem se vydaním Heiber-govým, ježto se zdá nejlepším a také nepřístupnějším. Kde novověké názvosloví geometrické věc označuje jiným výrazem, než shledáváme u Eukleida, tam užil jsem z pravidla rovněž názvu nyní obvyklého; jen místy podržel jsem výraz Eukleidův, na př. spřímka« místo »úsečka«, rozděliti »poměrem krajním a středním« a j., nebo sám jsem utvořil slovo nové, na př. s o u d é 1 n í k (gnómon); zvláště v kn. X. o přímkách nezměrných dovolil jsem si užiti výrazov nově utvořených* Volil-Ii jsem pokaždé slovo vhodné, o tom rozhodnouti zůstavuji shovívavému čtenáři.
Kde jsem co pozměnil v textu neb obrazcích, poznamenáno pod čarou; tam jsem přidal i některé vysvětlivky. Dle potřeby uvádím v závorkách také místo, kde věta, jíž právě k důkazu jest užito, byla odůvodněna. Vůbec snažil jsem se, aby byl překlad aspoň tak srozumitelný, jakým se jeví originál.
Korrekturu měl jsem na starosti jen já; co mi prese všecku bedlivost proklouzlo chybného, na konci opraveno zvlášť. Malá nedopatření račiž si laskavý čtenář opraviti sám.
Slavné >Jednotě českých mathematiků«, která nemalým nákladem umožnila vydání tohoto překladu, jakož i slovutnému panu vládnímu radovi Dru Josefu Bernhardovi, řediteli c. k. českého gymnasia na Král. Vinohradech, za všeliké ochotné přispění, zvláště pokud se týká obrazců, vzdávám srdečné díky.
Na Král. Vinohradech v únoru 1905.
František Servít.
j
f
I
Z
Úvod.
0 Eukleidovi a jeho spisech.
Eukleides, slavný mathematik řecký (rozdílný od Eukleida, filosofa megarského), žil kolem r. 300. př. Kr., tedy asi 100 let po Platonovi, za vlády egyptského Ptolemaia I. a ještě před ní. O jeho životě málo je známo; neví se, ani kdy ani kde se narodil, ani kdy zemřel. Pravdě podobno, že vzdělání své ve vědě mathematické dovršil v Athénách. Později vyučoval v Alexandrii, kdež založil školu. Od té doby vědění mathematické se ponenáhlu soustředilo v tomto městě, takže mnozí, mimo jiné prý též Archimedes, podnikali tam studijní cesty.
Spisy jeho většinou se týkaly geometrie, některé fysiky neb astronomie a jeden hudby.
Díla zachovaná : Z á k 1 ? d y (ĽxoiyEicx, Elementa); Dané prvky (AeSojiéva, Data— 95 vět o prvcích, jimiž určeny prvky jiné); Úkazy (<Paivóji£Va - počátky astronomie, valně porušeno); Nauka o světle ('Orcit^á, asi 60 pouček — valně porušeno nebo dle nynějšího stavu vědy nesprávno); O hudebních intervallích (Kccra-TojjLTj xavóvo;). Uryvkovitě mimo to zachovány spisy: O dělení útvarů (Hepi Statpéaewv — 36 vět objevených u spisovatelův arabských) a Porismata*) o III. kn, (ze spisů, jež napsal vykladatel Eukleidův Pappos kol. r. 300. po Kr.). Díla ztracená: Místa na ploše (Tóttoi Ttpog ŽTOcpavEtcc, o II. kn.); O kuželosečkách (Kwvtxcé, o IV. kn.); Klamné závěry (WeuSáptoc).
Nejdůležitější ze spisův Eukleidových jsou Základy, t. j. počátky geometrie, o XIII. knihách; ve vydáních bývá i kn. XIV. a XV., ona však jest prací Hypsikleovou (asi 120 let po Eukl.), tato pochází ;Od neznámého, snad až ze 6. stol. po Kr.   Část díla toho věnována /ovšem též arithmetice, bylo však toho třeba k důkazům geometrickým / a tyto poučky se dokazují rovněž na základě geometrickém.   V díle
tom užil bez pochybnosti také prací předchůdcův a vrstevníků svých,
__j
*) Porisma tuto jest úkol, jímž se žádá, by se na základech daných vyhledala veličina určitých vlastností (Heiberg: Literargeschichtl. Studien ú. Euklid, str. 56. nu.). V základech porisma značí poučku, jež z důkazu poučky jiné vysvítá jasně sama sebou (důsledek), kdežto lemma výtěžek) jest věta z důkazu poučky jiné,  abych tak
řekl, vytěžena, ovšem ještě nedokázaná nebo nevysvětlená.
jež dle potřeby opravil, doplnil a soustavně spořádal. Methodu do té doby uznávanou a přijatou zachoval důsledně.
Známost a sláva díla toho se rozšířila rychle, takže práce odboru toho dosavadní upadly téměř v zapomenutí. Nástupcům jeho, když se ho kde dokládali, na místě výslovného jmenování stačilo pouze připomenouti, že to neb ono praví spisovatel Základů (axot^swo-•ríjs). Pilně se dílem tím zaměstnávali mathematikové byzantijští; z Římanův o Eukleidovi nejprve se ^zmiňuje Cicero (de orat. 111. 132.); s dílem jeho však seznámili se Římané jen ponenáhlu a čítali je v původním jazyce. Teprve Boethius koncem 5. stol. po Kr. jal seje překlá-dati na jazyk latinský. Později zvi. Arabové horlivě se jím zabývali. Ve středověku studium mathematické vůbec ochablo, a tak i dílo Eukleidovo teprve po r. 1500 opět hojněji vydáváno a vysvětlováno, a dosud se nižší geometrie zakládá na jeho Základech. V některých zemích (na př. v Anglii) prý se jich ještě nedávno užívalo za učebnici.
Z rukopisů, jichž je řada, nejlepší jest codex Vaticanus č. 190. z 10. stol.
První vydání Základů tiskem pořídil Grynaeus (v Basileji 1533); z pozdějších nejlepší E. F. Augustovo (v Berlíně 1826 nn.); ze souborných uvésti sluší F. Peyrardovo (Oeuvres ď Euclide, řec, lat. a franc. — v Paříži 1814) a vydání Heibergovo i Mengeovo (Euclidis opera omnia — u Teubnera ve sbírce Bibl. seript. Graec. et Rom., v Lipsku 1883 nn., řec. a lat.).
Obsah Základů.
Kn. I. O přímkách, trojúhelnících, rovnoběžnících a vzájemnosti jejich.
II. O dělení přímek a jeho důsledcích.
III. O kruhu a jeho vlastnostech. J'|
IV. O kruhu ve spojení s jinými útvary (vpisování, opisování). V. O úměrnosti veličin na základě přímek.iú
VI. Upotřebení úměrnosti veličin v geometrii.
VII. —IX. O číslech prostých a mocninách na základě přímek.
X. O souměřitelnosti a nesouměřitelnosti a na základě toho o veličinách geometrických změrných (rationalních) a nezměrných (irratio-nalních).
XI. Základní věty o protínání a styku rovin.
XII. Útvary prostorové (jehlan, hranol, kužel, válec, koule). XIII. O pěti pravidelných (Platónských) tělesích.
EukleidoVy Základy.
Kniha první. Výměry.
1. Bod jest, co nemá dílu.
2. Čára pak délka bez šířky.
3. Hranicemi čáry jsou body.
4. Přímá jest čára (přímka   která svými body táhne se rovně. ' 5. Plocha jest, co jen délku a šířku má.
6. Hranicemi plochy jsou čáry.
7. Rovinná jest plocha (rovina), která přímkami na ní jsoucími prostírá se rovně.
8. Rovinný pak úhel je vzájemný  sklon dvou  čar,  v rovině se stýkajících a neležících k sobě v přímce.
9. Když pak čáry úhel svírající jsou přímky, úhel zovese přímkovým.
10. Když se postaví přímka na přímku tak, že sousední úhly činí navzájem stejnými, jeden i druhý z těch stejných úhlů jest pravý, a přímka postavená zove se kolmicí té, na níž jest postavena.
11. Tupý jest úhel pravého větší.
12. Ostrý pak pravého menší.
13. Meze jest, co jest něčeho hranicí.
14. Útvar jest, co nějaká nebo nějaké meze objímají.
15. Kruh jest útvar rovinný, objímaný jednou čarou (jež se nazývá obvodem), k níž od jednoho bodu vnitř útvaru vedené přímky všecky sobě rovny jsou.
16. Středem pak kruhu zove se ten bod.
17. Průměrem kruhu jest přímka některá vedená středem a končící se na obou stranách obvodem kruhu, jež také rozděluje kruh na polovice.
18. Polokruh pak jest útvar omezený průměrem a částí obvodu jím usečeného. Střed polokruhu je týž jako kruhu.
Frant. Servit, Eukleidovy Základy. j
2
3
19. Útvary přímkové jsou, které jsou přímkami omezovány, třístranné třemi,  čtyřstranné čtyřmi, mnohostranné více než čtyřmi přím kami omezené.
20. Z třístranných útvarů jest trojúhelník stejnostranný, který má tři strany stejné, rovnoramenný pak, který má jen dvě strany stejné, a různostranný, který má tři strany nejstejné.
21. Mimo to z útvarů třístranných jest trojúhelník pravoúhlý, který má pravý úhel, tupoúhlý pak, který má úhel tupý, a ostroúhlý, mající tři úhly ostré.
22. Ze čtyřstranných útvarů je čtverec, který jest stejnostranný a pravoúhlý; obdélník, pravoúhlý sice, však nestejnostranný; kosočtverec, stejnostranný, ne však pravoúhlý; kosodélník, jenž má protější strany i úhly navzájem stejné, jenž není ani stejnostranný ani stejnoúhlý; mimo to pak čtyřstranné útvary nazývány buďte lichoběžníky.*)
23. Rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a prodlouženy jsouce na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají.
Úkoly prvotné.
1. Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.
2. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti.
3. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh.
4. A že všecky pravé úhly sobě rovny jsou.
5. A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně vnitřní (přilehlé) úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhahají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých.
Zásady.
1. Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou.
2. Když se přidají veličiny rovné k rovným,  i celky jsou rovny.
3. A odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části rovny jsou. (4. A když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovný.
5. A dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou.
6. A polovičky téhož vespolek rovny jsou.)
7. A co se navzájem kryje, navzájem rovno jest.
8. A celek větší než díl.
(9. A dvě přímky místa neomezují.)
*) Snad míní různoběžníky; ač v kn. I. 35. jsou to lichoběžníky.
I.
Na danépřímce omezené postav troj úhelníkrovno-s t ra n n ý.
Danou přímkou omezenou bud AB. Má se tedy na přímce AB postaviti trojúhelník rovnostranný.
Ze středu A poloměrem AB buď narýsován kruh BCD, a opět ze středu B poloměrem BA buď narýsován kruh ACE, a od bodu C, v němž kruhy se protínají, k bodům
A, B buďte vedeny spojnice AC, CB. .....--------C.----------
A ježto bod A je středem kruhu CDB, AC je stejné s AB; ježto dále bod B je středem kruhu CAE, jest BC stejné s BA. Bylo pak dokázáno, že i (Lije \j) stejné s AB; tedy jedna i druhá z CA, CB je stejná s AB. Veličiny však témuž rovné i navzájem  rovny jsou;       \ \ /'
tedy též CA jest rovna CB; ty tři tedy,............--------------"''
CA, AB, BC jsou si rovny.
Je tedy trojúhelník ABC rovnostranný a postaven jest na dané přímce omezené AB; což právě bylo vykonati.1)
II.
Z daného bodu zřiď přímku rovnou přímce dané.
Daným bodem buď A, danou přímkou BC; má se tedy z bodu A zříditi přímka dané přímce BC rovná.
Nuže veďme z bodu A do bodu B spojnici AB a sestavme na ní trojúhelník rovnostranný BAB (I. i.) a prodlužme rovně přímky DA, DB v přímky AE, BF a ze středu B _ poloměrem BC narýsujme kruh CGH a též ze středu D poloměrem DG narýsujme kruh GKL.
Ježto tedy bod B je středem kruhu CGH, BC = BG. Ježto dále bod D je středem kruhu GKL, DL = DG, z čehož DA — DB. Zbytek tedy AL = BG. Bylo pak dokázáno, že též BC — BG. Veličiny však témuž rovné i navzájem rovny jsou ; tedy AL = BC.
Tedy z daného bodu A vedena jest přímka AL rovná dané přímce BC, což bylo vykonati.
*) Eukl. neužívá znamének, jako jsou :  ==,  || , cv>, <)C, A> ab3 a pod., tak nestalo se ani v překlade tohoto úkolu; dále jich užíváno bude.
4
5
III.
Dány-li dvě přímky nestejné, odejmi od větší přímku rovnou přímce menší.
C Buďtež dvěma danými přímkami ne-
1 ' stejnými AB, C, z nichž větší buď AB;
má se tedy od větší AB odníti přímka rovná přímce menší C.
Při bodě A ležiž AD stejná s přímkou C; ze středu A poloměrem AD narýsujme kruh DEF. A ježto bod A je středem kruhu DEF, AE = AD. Tedy každá z přímek AE a C rovná se AD, a tak i AE = C.
Ze dvou  tedy  daných   přímek nestejných AB a C jest od větší odňata AE, rovná přímce menší C; což právě bylo vykonáci.
IV.
Když mají dva trojúhelníky dvě strany (střídavě) s dvěma stranami stejné a úhly stejnými stranami sevřené mají stejné, budou i základnu základně míti rovnou a trojúhelník s trojúhelníkem bude stejný i ostatní úhly s ostatními úhly, proti nimž leží stejné strany, (střídavě) budou stejné.
Budte dva trojúhelníky ABC, DEF mající dvě strany AB, AC se dvěma stranami DE, DF jednotlivě stejné, a to AB s DE, AC pak s DF a Sfi^BAC s ä^EDF stejný; pravím, že i základna BC rovná se základně EF, i trojúhelník ABC s trojúhelníkem DEF bude stejný
i ostatní úhly budou střídavě stejné s ostatními úhly, proti nimž leží stejné strany, úhel pak ABC s DEF a úhel ACB s DFE.
Neboť přikládáme-li A ÄBC na A DEF a klademe-li bod A na bod D a přímku AB na DE, také bod B bude kryti E, ježto AB = DE:
fíí_\q a když AB bude kryti DE, též přímka AC
" ■ Ti bude kryti DF, ježto      BAC = EDF;  a tak
i bod C bude kryti bod F, protože opět AC=DF. Avšak zajisté B krylo Jí; atak základna BC kryti bude EF. Neboť bude-li se krýti B s E a. C s F, nikoli však základna
E 4:-BC s EF, dvě přímky budou místo omezovati,
což právě nemožno2). Bude se tedy základna BC krýti s EF a bude jí rovna; a tak i celý trojúhelník ABC bude se krýti s celým A DEF a bude mu roven, i ostatní úhly budou se krýti s úhly ostatními a budou jim rovny, ^ ABC == DEF, <^ACB =DFE. Když tedy mají dva trojúhelníky — —3).
Vznikla by plocha uzavřená dvěma přímkami, i dle zásady 9. nemožr °) Eukl. opakuje do slova jako v záhlaví.
V.
V trojúhelnících r o vn o ram en n ých úhly při základně jsou si rovny, a prodlouží-li se stejné přímky (ramena), úhly pod základnou budou si rovny.
Trojúhelníkem rovnoramenným buď ABC, rameno AB buď = AC, a prodlouženy budte přímky AB, AC o přímky BD, CE; pravím, že < ABC = ACB a ^ CBD = BQE.
Nuže vezměme na BD kterýkoli bod F a od delšího AE odřízněme AG rovné menšímu AF a veďma přímky FC, GB. Ježto tedy AF= AG, jakož i AB = AC, obě ovšem strany FA, AC střídavě stejné jsou s oběma G A, AB; také společný úhel svírají, totiž FAG; základna tedy FC = BG a bude A AFC = AGB i ostatní úhly ostatním úhlům, proti nimž leží stejné strany, střídavě budou rovny, ACF = ABG, AFC = AGB. A ježto celé AF rovno celému AG, z čehož AB — AC, zbytek tedy BF = CG. Dokázáno však, že též FC — GB, patrně obě, BF i FC, oběma, CG i GB, střídavě se rovnají; rovněž <£ÄFC = CGB, a základna jejich BC je společná; také tedy bude /\BFC=CGB, i ostatní úhly úhlům ostatním, proti nimž leží stejné strany, střídavě budou rovny; tedy *$.FBC = UCB a BCF=CBG. Ježto tedy celý ^.ABG úhlu ACF ukázal se rovným, z nichž CBG — BCF, zbývající (/> tedy ABC rovná se zbývajícímu ACB, a
jsou při základně trojúhelníku ABC. Dokázáno pak bylo, žei<$.FBC = GCB, a jsou pod základnou.
Tedy v trojúhelnících rovnoramenných — —.
VI.
Když jsou  si  v trojúhelníku dva úhly rovny, strany proti stejným úhlům ležící budu si rovny.
Trojúhelníkem, majícím ABC = ACB, budiž ABC; pravím, že i strana AB = AC. Neboť jestli AB 5 AC, jedna z nich "jest větší. Bud větší AB, a budiž od větší AB odříznuta DB, rovná straně menší AC, a vedena bud DC. Ježto tedy DB = AC a společnou jest BC, tož DB a BC s AC a CB jednotlivě stejné jsou, a DBC = ACB; tedy základna DC = AB, a A DBC = A ACB, menší většímu, což nesmyslné; není tedy strana AB s AC nestejná; tedy stejná.
Když jsou si tedy v trojúhelníku--
téz
6
7
VII.
Na téže přímce z bodu jiného a jiného nezřídíš dvou přímek jiných týmž dvěma přímkám střídavě rovných, majících tytéž paty na téže straně jako p ř í m k y p r v o t n í.
Neboť možno-li to, zřízeny buďte na téže přímce AB týmž dvěma přímkám AC, CB jiné jednotlivě roVné přímky AD, DB z jiného a jiného bodu  C a. D,   na  téže straně tytéž paty mající, takže by byla CA — DA majíc j) s ní touž patu A, a CB — DB, majíc s ní ;     touž patu B; a budiž vedena CD. i Ježto tedy AC = AD, též      ACD =
\ ADC; větší tedy jest ^.ADC než DCB, tedy CDB jest mnohem větší než DCB. Ježto zase CB = DJ5, také     ODS = £>C5;
__g    ukázalo   se  však,  že  nad   něj dokonce
mnohem jest větší; což právě jest nemožné.. Tedy na téže přímce — —.
VIII.
Když mají dva troj úhelníky dvě a dvě strany střídavě stejné a mají t é a základnu základně rovnou, budou též ú h 1 y s t e j n ý m i p ř í m k a m i s e v ř e n'é m í t i s t e j n é.
Dvěma trojúhelníky budtež ABC a DEF a mějte dvě strany AB, AC dvěma stranám DE, DF střídavě rovné, totiž AB = DE,  AC =
DF, a mějtež i základnu BC rovnu základně EF; pravím, že též <^.BAC — EDF.
Neboť přiložíme-li A ABC na A ^EF, kladúce bod B na bod E a přímku BC na EF, také bod C bude se krýti s bodem F, ježto BC= EF. Když pak ovšem li C pokryje EF, budou se krýti též BA, CA s ED, DF. Neboť bude-li se základna BC krýti se základnou EF, strany však BA, "F AC nebudou-li se krýti s ED, DF, nýbrž budou-li se uchylovati jako EG, GF, postaveny budu na téže přímce z jiného (a jiného) bodu týmž dvěma přímkám jiné dvě přímky střídavě rovné, na téže straně paty mající. Nelze jich však postaviti (I. vn.). Položí-li se tedy základna BC na základnu EF, nelze, aby se nekryly též strany BA, AC s ED, DF. Budou se tedy krýti; a tak i úhel BAC bude se krýti s úhlem EDF a jemu se rovnati.
Když mají tedy dva trojúhelníky — —.
IX.
Daný úhel přímkový jest rozpůliti.
Daným úhlem přímkovým buď BAC; má se tedy rozpůliti. Ve-změmež na AB kterýkoli bod D a od-řízněmež od AC část AE rovnou AD a veďme DE a na DE zřiďme trojúhelník rovnostranný DEF a veďme AF; pravím, že <$.BAC přímkou AF je rozpůlen.
Neboť ježto AD = AE a AF společnou, tož obě přímky DA, AF oběma EA, AF střídavě rovny jsou. Těž základna DF rovná se základně EF; tedy ^DAF = EAF (I. vin.).
Daný tedy úhel BAC přímkou AF je rozpůlen; což se pravé mělo vykonán".
X.
Danou přímku omezenou jest rozpů Danou přímkou omezenou buď AB; tož má se omezená přímka AB rozpůliti.
Sestrojen buď na ní trojúhelník rovnostranný ABC a úhel ACB přímkou CD buď rozpůlen; pravím, že přímka AB jest v bodě D rozpůlena.
Neboť ježto AC = CB, společnou pak CD, obě tedy AC, CD oběma BC, CD jsou střídavě rovny; též <X ACD = BCD; tedy základna AD rovná se základně BD.
Daná tedy omezená přímka AB je v D rozpůlena; což právě bylo vykonati
XI.
Na dané přímce buď z daného naníboduvztýčena kolmice.
Danou přímkou buď AB a daným bodem na ní C; tož má se z bodu C na přímce AB vztýčiti kolmice.4)
Vezměmež na AC kterýkoli bod D a odřízněme CE= CD a zřiďme na DE trojúhelník rovnostranný FDE a veďme FC; pravím, že
4) Eukl. praví: sô&sTa ^pa^í) Ttpój ôpO-áeg fíavtag.
8
í
na dané přímce AB z daného na ní bodu vztýčena jest kolmice CF.
Neboť ježto DC = CE a CF je společná; tož obě strany DC, CF jsou Střídavě rovny oběma EC, CF a základna D F — FE, tedy *$DCF=ECF a jsou vedlejší (výplňkové). Když pak se postaví jj přímka na přímku tak, že tvoří vedlejší úhly navzájem stejné, každý z těch stejných úhlů jest pravý; tedy oba úhly DCF a FCE jsou pravé.
Tedy na dané přímce AB z daného na ní bodu  C je vztýčena kolmice; což právě bylo vykonati.
XII.
K dané přímce neomezené buď z daného bodu mimo ni spuštěna kolmice.
Danou přímkou neomezenou bud AB, daným pak bodem mimo ni C; tož má se k dané přímce neomezené AB z daného bodu C mimo ni spustiti kolmice.
Nuže, vezměme na druhé straně přímky AB kterýkoli bod D a. ze
středu C poloměrem CD opišme kruh EFG a rozpolme přímku EG v H a. veďme spojnice CG, CH, CE; pravím, že na danou přímku neomezenou AB z daného mimo ni bodu C spuštěna jest kolmice CH.
Neboť ježto GH = HE, HC pak společná, patrně obě přímky GH, HC rovny jsou jednotlivě oběma EH, CH, též základna CG = CE; tedy úhel CHG = EHC.
Když pak se postaví přímka na přímku tak, že tvoří vedlejší úhly navzájem stejné, každý z těch stejných úhlů jest pravý, a postavená přímka zove se kolmicí té, na které stoji.
K dané tedy přímce neomezené AB z daného mimo ni bodu C spuštěna jest kolmice CH; což právě bylo vykonati.
XIII.
Když přímka na přímku postavena jsouc tvoří úhly, buď dva pravé bude tvořiti bud dvěma pravým rovné.
Nuže, přímka nějaká AB na přímku CĎ postavena jsouc tvořiž úhly CBA, ABD; pravím, že úhly CBA, ABD jsou bud dva pravé, buď dvěma pravým rovné.
Jest-li tedy CBA = ABD, jsou to dva pravé. Pakli ne, veďme z bodu B ku přímce CD kolmici BE; tedy     CBE a EBD jsou pravé.
A ježto CBE = CBA -f ABE, k oběma přičtěme EBD; tedy CBE + EBD = CBA -j- ABE-\~ EBD. Dále, ježto DBA = DBE -\- EBA, k oběma přičtěme ABC; tedy DBA -\-ABC= DBE+EBA+ABC. Ukázalo pak se, že i CBE -(- EBD týmž třem se rovnají. Veličiny však témuž rovné jsou i navzájem rovny; tedy též CBE-j- EBD = DBA + ABC; avšak úhly CBE, EBD jsou pravé; tedy též DBA, ABC rovnají se dvěma pravým. Když tedy přímka na přímku — ■
XIV.
Když na nějaké přímce a v bodě na ní dvě přímky na rozličných stranách ležící tvoří styčné úhly dvěma pravým rovné, ty přímky budou navzájem k sobě v přímce.
Nuže na nějaké přímce AB a v bodě na ní B tvořte přímky BC, BD, na rozličných stranách ležící, styčné úhly ABC, ABD dvěma pravým rovné; pravím, že bude BD ku BC v přímce.
Neboť není-li BD ku BC v přímce, budiž BE ku BC v přímce.
Ježto tedy přímka AB stojí na přímce CBE, tedy <£ ABC -j- ABE = 2R; avšak též '^.ABC 4- ABD = 2R; tedy CBA -f ABE = CBA-}-ABD. Od nich společně bud odečten <^.CBA; zbývající tedy ^ ABE — ABD, menší většímu, což jest nemožno. Není tedy BE v přímce ku BC. Podobně ovšem dokážeme, že žádná jiná kromě BD; tedy CB je v přímce ku BD. Když tedy na nějaké přímce — —.
XV.
Když se dvě přímky navzájem protínají, tvoří úhly vrcholové navzájem rovné.
Nuže   protínejte  se   navzájem dvě přímky AB, CD v bodě E: pravím, že AEC = DEB a ^ CEB = AED. Neboť přímka A.E stojí na přímce CD tvoříc úhly CEA, AED, tedy CEA -j- AED — 2R;  Dále, ježto přímka DE stojí na přímce AB tvoříc úhly AED, DEB, tedy úhly AED -f DEB = 2 R. Bylo pak do-' kázáno, že též CEA -\- AED = 2 R; tedy
D-
JO
CEA -j- AED — AED -\-DEB. Odečten buď spospolečný AEZ>; zbývající tedy CEA = BEI). Podobně ovšem se dokáže, že též     CEB = DEA. Když se tedy dvě přímky —  —.
XVI.
V každém trojúhelníku, jehož jedna strana se prodlouží, vnější úhel větší jest než kterýkoli protější úhel vnitřní.
Trojúhelníkem buď ABC, a prodloužena bud iedna jeho strana BC do D; pravím, že vnější úhel ACD je větší než kterýkoli z protějších úhlu vnitřních CBA, BAC.
Rozpůlena buď AC v E a spojnice BE prodloužena buď (v přímce)
do F, a bud BE = EF a vedena buď spojnice FC, a buď AC prodloužena do G. Ježto tedy AE = EC a BE = EF, patrně AE +EB= CE+- E F a. AEB = FEC, neboť jsou vrcholové; základna tedy AB = FC a A ABE== FEC, i zbývající úhly zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, jeden druhému se rovnají; tedy -4 BAE = ECF. Avšak ECD > ECF, tehdy ACD > BAE. Podobně ovšem, když se rozpůlí BC, též <$BCG, t. j. ACD > ABC.
V každém tedy trojúhelníku — —.
úh
XVII.
V každém  trojúhelníku součet kterýchkoli dvou ů jest menší dvou pravých.
Trojúhelníkem budiž ABC; pravím, že v trojúhelníku ABC součet
kterýchkoli dvou úhlů 5) jest menší dvou pravých.
Nuže budiž BC prodloužena do D. A ježto v /\ ABC vnějším úhlem jest ACD, jest větší vnitřního a protějšího ABC, spolu  pak  přičtěme ACB; tedy (^ACD + Agg) > {ABC A-BCA). Avšak
//-"c-D ACD A- ACB = 2R; tedy {ABC + BCA)
< 2 R.   Podobně  ovšem  dokážeme, že i (<£ BAC -f ACB) < 2 R a rovněž CAB + ABC. Tedy v každém trojúhelníku — —.
') Eukl. dí: »dva úhly jakkoli střídány jsouce*, roz. součet jejich.
XVIII.
V každém   trojúhelníku   proti delší v ě t š í ú h e 1.
Nuže budiž ABC trojúhelníkem a měj A stranu AC delší než AB; pravím, že též úhel ABC > BCA.
Nuže ježto AC>AB, odřízněme AD= AB a veďme BD. A ježto vnějším úhlem trojúhelníku BCD jest ADB, jest větší úhlu vnitřního protějšího DCB; avšak <^ADB = ABD, ježto i strana AB = AD; tedy též <$.ABD> ACB; mnohem větší tedy jest ABC než ACB.
V každém tedy trojúhelníku — —.
XIX.
Vkaždémtrojúhelníkuprotivětšímu úhlu leží delší strana.
Trojúhelníkem bud ABC a buď 4BC> BCA; pravím, že též strana AC delší je než strana AB.B Neboť není-li tomu tak, buď ovšem AC— AB buď AC<iAB. Stejnou zajisté není AC s AB, neboť stejným byl by též <^.ABC s ACB; avšak není. Tedy AC nerovná se AB. Ani zajisté AC<ZAB; neboť i <$.ABC byl by menší než ACB; avšak není; tedy není AC<iAfí. Ukázalo se však, že není ani stejný. Jest tedy AC delší než AB.
Tedy v každém trojúhelníku — —.
XX.
V každém trojúhelníku kterékoli dvě čtem) jsou delší než strana zbývající.
Nuže budiž trojúhelníkem ABC; pravím, žc v A ABC kterékoli dvě strany (dohromady) delší jsou než zbývající, t. j. (BA-\-AC) > BC, {AB + BC) > AC, [BC -f CA) ~> AB.
Nuže budiž BA prodloužena do bodu D a učiňme AD — AC a veďme spojnici DC.
Ježto tedy D A = AC, také *$.ADC = ACD; tedy <£5CD> ADC; a ježto v &DCB ^ BCD >» BDC a proti většímu úhlu leží delší strana, tedy DB jest delší než BC. D.A však = ,4C; tedy BA +AC jsou delší než BC. Podobně dokážeme, že též {AB-\~b BC)>CA jakož i {BC -f- CA) > AB.
Tedy v každém trojúhelníku — —.
12
XXI.
Když sestavíme v trojúhelníku od mezných bodů jedné strany uvnitřdvě přímky, sestavené budou kratší než ostatní dvě strany trojúhelníku, budou však sví-rati větší úhel.
Nuže sestavme v A ABC na jedné straně BC od mezných bodů B, C, uvnitř dvě přímky BD, DC; pravím, že BD -f- DC ostatních v trojúhelníku dvou stran BA -4- AC jsou kratší, avšak svírají ^.BDC větší než BAC.
Nuže prodlužme BD do E. A ježto v každém trojúhelníku dvě strany jsou delší než zbývající, tedy v A ABE strany AB-j- AE > BE; spolu přiberme EC; tedy (BA+AQXBE-j-EC). Dále, ježto v A CED dvě strany CE+ED>CD; spolu přiberme DB; tedy (CE-^EB) > (CD^\-DB). Avšak ukázalo se, že (BA -f - AC) > (BE -f EC); tedy AI -j- AC mnohem delší jsou než BD-\~DC.
Dále, ježto v každém trojúhelníku vnější úhel jest větší než protější vnitřní, tedy v /\ CDE vnější <$BDC> CED Proto ovšem též v A ABE vnější ^ CEB > BAC. Avšak ukázalo se, že ^ BDC > CEB; tedy <£BDC mnohem větší jest než BAC.
Když tedy sestavíme v trojúhelníku — —.
XXII.
Ze tří přímek, jež se rovnají třem daným přímkám, má se sestroj i t i trojúhelník; nutno však. aby kterékoli dvě spolu byly větší než zbývající
Buďte danými třemi přímkami A, B, C, z nichž dvě kterékoli spolu větší buďte než zbývající, tedy (A-\- B)j> C, (A-j- C)>B, a též
(B -\- C) > A; tož má se z přímek délkám A, B,  C rovných  sestrojiti trojúhelník.
Mějme nějakou přímku DE, při D omezenou, při E pak neomezenou a odřízněme DF=A, FG = B, GH=C; a ze středu F poloměrem FD opišme kruh DKL; dále ze středu G poloměrem GH opišme kruh KLHnvedme spojnice KF, ~}j;KG; pravím, že ze tří přímek, stejných s A, B, C, je sestrojen trojúhelník KFG.
Neboť ježto F je středem kruhu DKL, jest FD = F K; avšak FD = A; tedy i KF— A. Dále, ježto G je středem kruhu LKH, jest GH— GK; avšak GH=C, — B; tedy tři přímky KF, FG, GK stejné
13
Tedy ze tří přímek KF, FG, GK, jež se rovnají třem daným přímkám A, B, C, je sestrojen A KFG; což právě bylo vykonati.
XXIII.
Na dané přímce a z sestrojiti přímkový úhel rovný.
Danou přímkou budiž AB, bodem na ní A a daným úhlem přímkovým DCE; tož má se na dané přímce AB a v bodě na ní A sestrojiti úhel přímkový danému úhlu přímkovému DCE rovný.
Vezměme na obou CD, CE kterékoli body D, E a veďme spojnici DE a ze tří přímek, jež se rovnají přímkám CD, DE, CE, sestrojme A AFG (I. xxn.) tak, aby CD = AF, EC = AG a rovněž DE=FG.
Ježto tedy obě DC,  CE rovnají se jednotlivě   oběma  FA,   AH i základna DE = FG, tedy     DCE = FAG. Na dané tedy přímce — —.
daného na ní danému úhlu
bodu má se přímkovému
G
B
XXIV.
Kdyžmajídvatrojúhelníky dvě strany dvěma stranám střídavě sobě rovné, úhel však stejnými přímkami sevřený jeden větší než druhý, bude také základna jednoho delší než druhého.
Dvěma trojúhelníky buďtež ABC, DEF a dvě strany AB, AC buďte střídavě stejné s DE, DF, totiž AB = DE, AC = DF, úhel pak buď při A^> než při D;  pravím, že též základna BC je delší základny EF.
Neboť ježto BAC>> EĎF, sestrojme na přímce DE a z bodu na ní D<$.EDG = BAC a veďme DG = AC = DF a spojnice E$i FG.
Ježto tedy AB= DE a AC = DG, tož obě BA, AC oběma ED DG střídavě rovny jsou; také ^.BAC = EDG; tedy základnaBC = EG. Dále. ježto DF= DG; též DGF = DFG; tedy DFG > EGF, tedy mnohem větší jest <$.EFG než EGF. A- ježto A FFG má ^.EFG větší než EGF a proti většímu úhlu jest delší strana, tedy též strana EG je delší než EF. Avšak EG = BC, tedy BC>EF.
Když tedy mají dva trojúhelníky — —.
14
15
XXV.
Když mají dva trojúhelníky dvě strany dvěma stranám střídavě rovné, základnu však jeden delší než druhý, bude též úhel stejnými stranami sevřený v jednom větší než ve druhém.
Dvěma trojúhelníky buďtež ABC,  DEF a  mějte  dvě strany
AB, AC střídavě rovné dvěma stranám DE, DF, totiž AB = DE, AC = DF, základna ■ však BC buď delší než EF; pravím, že též <^ BAC > EDF. Neboť neníli tomu tak, bud jest mu roven buď *C jest menší; stejný ovšem není <^ BAC jako EDF, neboť byla by též základna BC = EF (I. iv.); není však. Tedy není BAC = EDF. Ani zajisté BAC < EDF, neboť byla by též základna BC<iEF (I. xxiv.); není však. Tedy není BAC < EDF. Bylo však dokázáno, že ani stejné nejsou; tedy <J BAC > EDF.
Když tedy mají dva trojúhelníky — —.
XXVI.
Když mají dva troj úhelní k y dva úhly dvěma úhlům jednotlivě ro vn é a jednu stranu jedné straně rovnou buď při stejných úhlech nebo proti jednomu ze stejných úhlů, budou mí ti též ostatní strany rovné ostatním stranám i zbývající úhel úhlu zbývajícímu.
Dvěma trojúhelníky budtež ABC, DEF a mějtež úhly ABC, BCA dvěma úhlům DEF, EFD střídavě rovné, totiž -^Ĺ ABC = DEF a
BCA — EFD a mějtež i jednu stranu jedné straně rovnou, nejprve při stejných úhlech, t. BC = EF; pravím, že budou míti střídavě i ostatní strany ostatním stranám rovné, totiž AB — DE, AC — DF, i zbývající úhel úhlu zbývajícímu, totiž BAC = EDF.
Neboť není-li AB — DE, jedna z nich jest větší. Buď větší AB a buď BG=DE a vedena buď spojnice GC.
Ježto tedy BG = DE, jakož i BC — EF, obě ovšem BG, BC s DE, EF jsou střídavě stejné, též ^GBC— DEF; základna
I
tedy GC=DF a /\GBC=DEF, i zbývající úhly budou rovny zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, tedy ~^.GCB\—DFE; avšak <£DFE vzat za stejný s <$.BCA, tedy též <JBCG — BCA, menší většímu; což právě nemožno. Tedy AB není nestejná s DE; tedy stejná. Jest pak též BC = EF; tož obě AB, BC oběma DE, EF jednotlivě rovny jsou, i ABC = DEF; základna tedy AC — DF, i zbý--vající <£BAC roven zbývajícímu <$.EDF (I. iv.).
Avšak již dále buďte strany proti rovným úhlům ležící stejné, na př. AB s DE; pravím opět, že též zbývající strany zbývajícím stranám budou rovny, t. AC = DF, BC=EF, a rovněž zbývající úhel BAC = EDF.
Neboť , není-li BC — EF, jedna z nich jest větší. Větší buď, možno-li, BC, a dejme tomu, že BH = EF, a veďme spojnici AH. A ježto BH — EF, AB = DE, tož obě AB, BH oběma T)E, EF střídavě rovny jsou, též úhly svírají stejné; tedy základna AH — DF1 a A ABH= DEF, i zbývající úhly rovny budou zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, tedy <^.BHA — EFD. Avšak ^.EFD = BCA; tož v A AHC vnější <£BHA rovná se vnitřnímu protějšímu BCA; což právě nemožno (I. xvi.). Tedy BC není nestejná s EF. Avšak AB = DE. Obě patrně AB, BC jsou střídavě stejné s oběma'" DE, EF, také svírají stejné úhly ; tedy základna AC = DF a A ABC = DEF i zbývající     BAC = EDF.
Když mají tedy dva trojúhelníky — —.
XXVII.
Když přímka p r o t í na j í c _ přímky dvě tvoří střídavé úhly navzájem stejné, budou ty přímky navzájem rovnoběžné.
Nuže přímka EF protínajíc dvě přímky AB, CD tvoř úhly střídavé AEF, EFD navzájem stejné; pravím, že AB \\ CD.
Neboť jinak AB, CD prodlouženy jsouce setkají se buď na straně B, D buď na straně A, C. Buďte prodlouženy a stýkejte se na straně B, D v G. V A GEF ovšem vnější -^.AEF rovná se vnitřnímu protějšímu EFG, což nemožno; tedy AB, CD jsouce prodlouženy nesetkají se na straně B, D. Podobně se dokáže, že ani na straně
A, C; přímky však na žádné straně se nestýkající jsou rovnoběžné (I. vým. 23.); tedy AB, CD jsou rovnoběžky.
Když tedy přímka protínajíc přímky dvě — —.
1(s
XXVIII.
Když přímka protínajíc přímky dvě tvoří úhel vnější rovnýúhlu vnitřní muprotějšímu na téže straně (souhlasné úhly) neb úhly vnitřní na téže straně (přilehlé) dvěma pravým rovné, budou ty přímky navzájem rovnoběžné.
Nuže přímka EF protínajíc dvě přímky AB, CD tvoř úhel vnější EGB rovný úhlu vnitřnímu protějšímu GHD neb úhly vnitřní na téže straně BGH, GHD dvěma pravým rovné ; pravím, že AB || CD,
Neboť ježto <$EGB=GHD a EGB = AGH, tedy též AGH — GHD, a jsou střídavé ; tedy AB \\ CD (I. xxvn.).
Dále, ježto «4 BGH -f GHD = 2R, jsou pak též AGH —j— BGH = 2 R, tedy -^lAGHA- BGH= BGH-\- GHD; odečtěme společný <$.BGH, zbývající tedy <žj.AGH — GHD, a jsou střídavé; tedy AB || CD.
Když tedy přímka protínajíc přímky dvě
XXIX.
Přímkaprotínajíc rovnoběžky tvoří střídavé úhly navzájem stejné a úhel vnější vnitřnímu protějšímu rovný a vnitřní na téže straně dvěma pravým rovné.
Nuže protínej rovnoběžky AB, CD přímka EF; pravím, že tvoří střídavé úhly AGH, GHD stejné a vnější <$.EGB rovný vnitřnímu protějšímu (souhlasnému) GHD a vnitřní na téže straně (přilehlé) BGH-]-GHD rovné dvěma pravým.
Neboť není li AGH = GHD, jeden z nich jest větší. Větším bud AGH; společným bud BGH; tedy (<^. AGHA-BGH) > {BGH -f GHD). Avšak AGH A-BGH= 2R. Tedy (BGH-{-GHD) < 2R. Avšak ramena menších úhlů než dva pravé, prodlužovány jsouce do nekonečna, se stýkají;   tedy   AB,   CD, prodlužovány
q____iz±__d   jsouce do nekonečna, se setkají; avšak
v nestýkají se, ježto je pokládáme za rovno-
běžky; tedy <$.AGH není neroven úhlu GHD; tedy roven. Avšak*$AGH= EGB; tedy též    EGB = GHD. Společným buď <££GH; tedy *$.EGB-\-£GH= HGHA-GHD. Avšak    EGBA-BGH— 2R; tedy též     hGH-J-GHD — 2R.
E
B
I
Když tedy přímka protínajíc rovnoběžky
17
XXX.
Rovnoběžky téže přímky též vespolek jsou rovnoběžné.
Buď AB i CD rovnoběžná s EF; pravím, že též AB || CD.
Nuže protínej je přímka GK.
A ježto rovnoběžky AB, EF protíná přímka GK, tedy ^AGK= GHF. Dále ježto rovnoběžky EF, CD protíná přímka GK, jest ^ GHF= GKD. Dokázáno však bylo, že též ~QAGK=GHF. Tedy též <$.AGK= GKD, a jsou střídavé. Tedy AB |1 CD.
Tedy rovnoběžky téže přímky — -
XXXI.
Daným bodem veď rovnoběžku s přímkou danou.
Daným bodem buď A, danou pak přímkou BC; tož má se bodem A vésti rovnoběžka s BC.
Vezměme na BC kterýkoli bod D a
veďme spojnici ad; a sestrojen buď na   £_A_p
přímce D A a v bodě na ní A ~z$.DAE = I ADC a   přímka  EA  prodloužena  buď / o AF.
A ježto AD protínajíc dvě přímky /
BC, EF tvoří úhly střídavé E AD, ADC   B-d-°
navzájem rovné, tedy EAF || BC.
Tedy daným bodem A vedena jest přímka EAF s BC rovnoběžná; což právě bylo vykonati.
XXXII.
V každém trojúhelníku, prodlouží- li se jedna strana, vnější úhel rovná se dvěma vnitřním protějším a tři úhly vnitřní rovnají se dvěma pravým.
Trojúhelníkem bud ABC a jedna strana jeho BC prodloužena buď do D; pravím, že se vnější ACD rovná dvěma vnitřním protějším, CAB A- ABC, a tři vnitřní úhly trojúhelníku, t. ABC'-)- BCA -f CAB = 2R.
Nuže   budiž bodem  C vedena EC rovnoběžně s AB. A ježto AB || CE a je protíná AC, střídavé úhly BAC, ACE jsou si rovny. Dále, ježto AB \\ CE a je protíná přímka BD, vnější ECD rovná se vnitřnímu protějšímu ABC (úhly souhlasné I. xxix.). Bylo
18
V-
d
však dokázáno, že též <£ACE== BAC; celý tedy <£ACD rovná se oběma vnitřním protějším BAC-{-ABC.
Společným bud.4C£;|tedy    ^ICD +       = ^ČC+SCJ-f Avšak ACD -j- ^LCB = 2 i?; tedy též ,408 -j- 65.4 -j- BaC =2 2?.
V každém tedy trojúhelníku, prodlouzí-li se — —.
XXXIII.
Přímky spojující dvě stejné rovnoběžky na téže straně též samy jsou stejné a rovnoběžné.
Stejnými rovnoběžkami budtež AB, CD a spojujtež je na téže straně6) přímky AC, BD; pravím, že též AC, BD jsou stejné a rovnoběžné.
Veďme spojnici BC. A ježto AB || CD a je prouíná BC, jsou střídavé úhly ABC, BCD sobě rovny. A ježto
£.-,a AB = CD a společnou BC, tož obě AB,
BC rovnají se střídavě oběma BC, CD, a ^ABC=BCD; základna tedy AC rovná se základně BD a /\ ABC = BCD, i zbývající úhly budou jednotlivě rovny úhlům zbývajícím, proti nimž leží stejné strany, tedy <J ACB — CBD. A ježto přímka BC protínajíc obě přímky AC, BD tvoří střídavé úhly navzájem stejné, tedy AC || BD. Bylo však dokázáno, že jest jí též rovna.
Tedy přímky spojující — —.
XXXIV.
Rovnoběžníky mají protější strany i úhly navzájem stejné.a úhlopříčkou se půlí.
Buď rovnoběžníkem ACDB, úhlopříčkou jeho pak BC; pravím, že v rovnoběžníku ACDB protější strany i úhly jsou navzájem stejné a že úhlopříčka BC jej půlí.
Neboť ježto AB || CD a je protíná přímka BC, střídavé úhly ABC, BCD jsou si rovny. Dále, ježto AC \\ BD a je protíná BC, střídavé úhly ACB, CBD jsou- si rovny. Oba zajisté trojúhelníky ABC, BCD mají dva úhly'ABC, BCA dvěma BCD, CBD jednotlivě stejné a jednu stranu jedné straně-rovnou, totiž společnou BC při stejných úhlech; tedy též zbývající strany zbývajícím stranám jednotlivě bude míti rovné a zbývající úhel úhlu zbývajícímu; tedy strana AB = CD, AC = BD, a rovněž ^ BAC = CDB. A ježto <čfiABC=BCD a <$CBD = ACB, tedy celý ■é^ABD roven celému ACD, Bylo pak dokázáno, že též •£f.BAC = CDB.
6) T. j. nikoli na př. b s C.
19
Tedy rovnoběžníky mají protější strany i úhly navzájem stejné.
Pravím ovšem, že též úhlopříčka je půlí. Neboť ježto AB = CD a společnou BC, tož obě AB, BC oběma CD, BC jsou jednotlivě rovny; též ABC = BCD. Tedy též základna AC = DB. A trojúhelník ABC = /\ BCD.
Tedy úhlopříčka BC rovnoběžník ABCD půlí; což právě bylo doká^ati.
XXXV.
Rovnoběžníky na téže základně a mezi týmiž rovnoběžkami jsou navzájem stejné.
Rovnoběžníky budtež ABCD, EBCF na téže základně BC a mezi týmiž rovnoběžkami AF, BC; pravím, že ABCD = EBCF.
Neboť ježto ABCD jest rovnoběžník, AD — BC, z téže příčiny ovšem též EF = BC, a tak i AD = EF a společnou je DE. Celá tedy AE = DF. Také však AB = DC; obě tedy EA, AB jednotlivě rovnají se oběma FD, DC a FDC = EAB, vnější vnitřnímu (souhlasnému), tedy základna EB=FC, a & EAB bude roven /\ DFC. Odečten pak buď společný
DGE; zbývající tedy lichoběžník ABGD = EGCF. Společným buď přičten /\GBC; celý tedy rovnoběžník ABCD rovná se celému rovnoběžníku EBCF.
Tedy rovnoběžníky na téže základně — —.
XXXVI.
Rovnoběžníky   na  stejných   základnách  a mezi týmiž rovnoběžkami jsou navzájem stejné.
Budtež ABCD, EFGH rovnoběžníky na stejných základnách BC, FG a mezi týmiž rovnoběžkami AH, BG; pravím, že rovnoběžník ABCD = EFGH.
Nuže veďme spojnice BE, CFL, a ježto BC = FG, avšak FG = EH, tedy BC = EM. Jsou pak též rovnoběžné, a spojují je EB, HC; přímky pak, jež spojují stejné a rovnoběžné na téže straně, jsou stejné a rovnoběžné (I. xxxiii.). Tedy EBCH jest rovnoběžník a je stejný s ABCD (I. xxxv.), neboť i základnu BC touž má i jest mezi týmiž rovnoběžkami BC, AH. Z téže příčiny ovšem též EFGH = EBCH; a tak i rovnoběžník A BCD — EFGH.
Tedy rovnoběžníky na stejných základnách — —.
20
21
XXXVII.
Trojúhelníky na téže základně a mezi týmiž rovnoběžkami jsou si rovny.
Bucítež ABC, BCD trojúhelníky na téže základně BC a mezi
týmiž rovnoběžkami AD, BC; pravím, že A AliC = DliC.
Prodlužme AD na obě strany do E, F a z B veďme BE\\ CA, z C pak veďme CF\\ IW; tedy EBCA i DBCF jsou rovnoběžníky a jsou stejné, neboť jsou na téže základně BC a mezi týmiž rovnoběžkami BC, EF; a trojúhelník ABC jest polovina rovnoběžníku EBCA,-
D BCF
neboť úhlopříčka AB jej půlí (I. xxxiv.); a [\DBC ——^~, neboť
úhlopříčka DC jej půlí. Tedy A ABC = DBC. Tedy trojúhelníky na téže základně — —.
XXXVIII.
Trojúhelníky na stejných základnách a mezi týmiž rovnoběžkami jsou si rovny.
Buďtež ABC, DEF trojúhelníky na stejných základnách BC, EF
a mezi týmiž rovnoběžkami BF, AD; pravím, že A ABC = A DEF.
Nuže prodlužme AD na obě strany do G, H a z B veďme BG || CA, z F pak veďme  FH\\DE.   Tedy GB CA i DEFH jsou rovnoběžníky, a GBCA — DEFH, neboť jsou na stejných základnách BC, EF a mezi týmiž rovnoběžkami BF, GH; a polovina rovnoběžníku GBCA jest A ABC, neboť úhlopříčka/ífí jej půlí Polovina pak rovnoběžníku DEFH jest A FED, neboť úhlopříčka Z?^ jej půlí. Tedy A ABC= A DEF.
Tedy trojúhelníky na stejných základnách — —.
XXXIX.
Stejné trojúhelníky na téže základně a na téže straně jsou též mezi týmiž rovnoběžkami.
Buďtež ABC, DBC stejnými trojúhelníky na téže základně BC, a na téže straně (základny); pravím, že jsou též mezi týmiž rovnoběžkami.
Nuže veďme spojnici AD; pravím, že
_ AD || BC.   Neboť není-li,   bud z bodu A
B O vedena přímka AE || BC a spojnice EC; tedy
A ABC = EBC, neboť jsou na téže základně BC a mezi týmiž rovnoběžkami.   Avšak /\ ABC = DBC, tedy DBC — EBC, totiž větší menšímu; což právě nemožno. Tedy AE není s BC rovnoběžná. Podobně ovšem dokážeme, že ani žádná jiná kromě AD; tedy AD || BC. Tedy stejné trojúhelníky na téže základně — —.
na
XL.
Stejné trojúhelníky na stejných základnách a téže straně jsou též mezi týmiž rovnoběžkami.
Buďtež ABC a CDE stejnými trojúhelníky na stejných základnách JiC,'CE a na téže straně (základen, jež činí jednu přímku); pravím, že jsou též mezi týmiž rovnoběžkami.
Nuže veďme spojnici AD; pravím, že AD\\ BE. Neboť není-li, buď z A vedena AF || BE a spojnice FE. Tedy A ABC = FCE, neboť jsou na stejných základnách BC, CE a mezi týmiž rovnoběžkami BE, AF. Avšak A ABC = DCE, tedy též A DCE = FCE, totiž větší menšímu, což právě nemožno. Tedy není AF\\ BE. Podobně dokážeme, že ani žádná jiná kromě AD; tedy AD || BE.
Tedy stejné trojúhelníky na stejných základnách — —.
XLI.
Když má rovnoběžník s  trojúhelníkem touž základnu a jest mezi týmiž rovnoběžkami,   rovnoběžník  je dvakrát větší  než trojúhelník.
Nuže rovnoběžník ABCD měj s A EBC touž základu BC a bud mezi týmiž rovnoběžkami BC, AE; pravím, že rovnoběžník ABCD je dvakrát větší než A BEC.
Nuže veďme spojnici AC. Stejný zajisté Je A ABC s A EBC, neboť jest na téže základně BC a mezi týmiž rovnoběžkami BC, AE (I. xxxvii.). Avšak rovnoběžník ABCD = 2 ABC; neboť úhlopříčka AC jej půlí; a tak rovnoběžník ABCD je dvakrát větší také než A EBC.
Když tedy má rovnoběžník — —.
XL1I.
Sestroj na daném úhlu přímkovém rovnoběžník danému trojúhelníku rovný.
Buď daným trojúhelníkem ABC, daným pak úhlem přímkovým D; tož má se na daném úhlu přímkovém D sestrojiti rovnoběžník troj-úhelaíku ABC rovný.
23
Rozpolme BC v E a veďme spojnici AE a sestrojme na přímce EC a v bodě na ní E CEF — D a z A veďme AO || EC, z C pak veďme CG \\ EF; tedy FECG jest rovnoběžník. A ježto BE = EC, též A ABE = AEG Je však také rovnoběžník FECG = 2AEC, neboť má touž základnu a jest mezi týmiž rovnoběžkami (I. xli.) ; tedy rovnoběžník FECG = A ABC. Také má CEF rovný danému D. Tedy na úhlu CEF, jenž je stejný s D, sestrojen jest rovnoběžník FECG rovný danému /\ABC; což právě bylo vykonati.
XLIII.
V každém rovnoběžníku doplňky rovnobežníkov objímajících úhlopříčku j sou si rovny.
Rovnoběžníkem bud ABCD, úhlopříčkou jeho AC, rovnoběžníky AC objímajícími buďtež EH, FG, tak ře-jy čenými doplňky BK, KD;  pravím, že doplněk BK rovná se doplňku KD.
Neboť ježto ABCD jest rovnoběžník, AC pak jeho úhlopříčka, A ABC = ACD. Dále, ježto EH jest rovnoběžník, AK pak jeho. úhlopříčka, A AEK = AHK. Z téže příčiny ovšem A FKC — KGC. Ježto tedy A AEK = AHK a KFC = KGC, jest AEK-lrK6C=AHKA-KFC; jest pak .též celý ABC—ADC; tedy zbývající doplněk BK rovná se zbývajícímu doplňku KD.
• V každém tedy rovnoběžníku doplňky — —.
XL1V.
K dané přímce přistav daným úhlem přímkovým rovnoběžník rovný danému trojúhelníku.
Danou přímkou buď AB, daným trojúhelníkem C, daným pak úhlem^ přímkovým D; tož má se k dané přímce AB úhlem stejným s D přistaviti rovnoběžník danému trojúhelníku G rovný.
Sestrojen bud rovnoběžník BEFG = /\C úhlem EBG, který je stejný s D; i položen bud tak, aby BE s AB bylo v přímce, a prodloužena buď FG k H, a z bodu A vedena buď AH1), s kteroukoli se strán BG, EF rovnoběžná, i spojnice HB.
H označ, až tato rovnoběžka protne prodlouženou FG.
A ježto rovnoběžky AH, EF proťala přímka HF, tedy AHF -f HFE = 2 R. Pročež (BHG -f GFE) <2R; tedy přímky při úhlech menších než dva pravé, prodlu-žují-li se do nekonečna, setkávají se ; tedy se HB, FE prodlužovány jsouce setkají. Buďte prodlouženy a stýkejte se v K, a z bodu K vedena buď KL, a prodlouženy buďte HA, GB do bodů L, M. Tedy HLKF jest rovnoběžníkem a HK jeho úhlopříčkou, a tuto HK objímají rovnoběžníky AG, ME, a tak řečené, doplňky jsou LB, BF; tedy LB = BF (I. xliii.). Avšak BF= A C; tedv téžLB =
C. A ježto     GBE = ABM, avšak GBE =
D, tedy též      A5ilf = D.
K dané tedy přímce AB daným úhlem ABM, který je stejný přistaven jest rovnoběžník rovný danému A C; což právě bylo •konati.
s D, vy-
XLV.
Sestroj nadaném úhlu přímkovém rovnoběžník rovný danému útvaru přímkovému.
Daným útvarem přímkovým buď ABCD, daným pak úhlem přímkovým E; tož má se sestrojiti nadaném úhlu E rovnoběžník danému útvaru přímkovému ABCD rovný.
Veďme spojnici DB a sestrojme rovnoběžník FHrovný trojúhelníku ABD na ýC. HKF = E a přistavme ku přímce GH rovnoběžník GM rovný trojúhelníku jD.BC na <X GHM — E == HKF. Společným buď KHG; tedy FKH A- KHG = KHG -f Avšak FKHKHG = 2 R; tedy též KHG-\~ GHM=2R. Tedy na jakési přímce TiíT a v jejím bodě H dvě přímky KH, HM na rozličnýchfstranách ležící tvoří stýkané úhly rovné dvěma pravým ; tedy KH, HM jsou v přímce (I. xiv.); a ježto rovnoběžky KM, FG proťala přímka HG, úhly střídavé MHO, HGF jsou si rovny. Společným bud&L HGL ; tedy j£ MHO + ROL— HGF + H OL. Avšak MHG -j-HGL = 2R; tedy též I1GF-\- HGL = 2R. Tedy FG, činí přímku. A ježto FK=HG a s ní jest rovnoběžná, avšak i GH = ML a s ní jest rovnoběžná, tedy též KF±JML. A. spojují-je KM, FL; tedy též KM, FL jsou stejné a rovnoběžné; tedy KFML jest rovnoběžník. A ježto A ABC rovná se rovnoběžníku FH a A ĽBC = GM, tedy celý útvar přímkový rovná se celému rovnoběžníku KFLM.
ji m
24
25
Tedy na daném <ä£FKM, jenž se rovná danému E, sestrojen jest rovnoběžník KFLM rovný danému útvaru přímkovému ABCD: což právě bylo vykonati.
xlvi.
Na dané přímce narýsuj čtverec.
Danou přímkou buď AB; má se tedy na přímce AB narýsován čtverec.
Veďme ku přímce AB z bodu na ní A kolmici AC, a bud AD — AB; a z bodu D veďme DE |j AB, z bodu pak B veďme BE || AD. Tedy ADEB jest rovnoběžník; tedy AB = DE, AD — BE; ale AB = AD; tedy všecky čtyři, BA, AD, DE, EB, jsou si rovny; pročež rovnoběžník ADEB je stejnostranný. Pravím ovšem, že též pravoúhlý. Neboť ježto rovnoběžky AB, DE proťala přímka AD, tedy BAD -f- ADE= 2 R. Avšak BAD jest pravý, tedy jest pravý též ADE. V rovnoběžnících pak protější strany i úhly jsou si navzájem rovny; tedy též oba protější úhly ABE, BED jsou pravé. Tedy ADEB jest obrazec pravoúhlý. Dokázáno však bylo, že též stejnostranný. Jest to tedy čtverec a jest narýsován na přímce AB; co právě bylo vykonati.
XLVII.
V pravoúhlých trojúhelnících čtverec na straně proti úhlu pravému ležící rovná se čtvercům na stranách pravý úhel svírajících (»věta Pythagorova*).
Trojúhelníkem pravoúhlým buď ABC, maje pravý úhel BAC;
pravím, že čtverec na BC rovná se (součtem) čtvercům na BA a na AC.
Nuže bud narýrován  na BC čtverec BDEC, na BA, AC pak GB, HC, a z bodu A vedena buď AL \ \ BD nebo CE a spoj nice AD, FC.   A ježto *$BAC i BAG jsou pravé, tož na jakési přímce BA a při bodě. na ní A dvě přímky AC, AG na rozličných stranách tvoří stýkavé úhly rovné dvěma pravým, tedy CA, AG činí přímku ; z téže příčiny ovšem též BA, AH činí přímku (I. xiv.). A ježto ^DBC = FBA,  oba totiž jsou  pravé; společný pnčtěmež  ABC;  tedy  celý ^ DBA = a FB — BA, jsou ovšem DH, BA oběma a <^ DBA — FBC; tedy základna AD = FC a £\ABD = FBC; a dvakrát větší než /\ ABD jest rovnoběžník
FBC. A ježto DB= BC FB, BC jednotlivě rovny,
BL; neboť mají touž základnu a jsou mezi týmiž rovnoběžkami BD, AL (I. xli.); a dvakrát větší než /\ FBC je čtverec GB, neboť mají touž základnu a jsou mezi týmiž rovnoběžkami FB, GC. [Dvojnásobky pak týchž veličin jsou si rovny.] Tedy též rovnoběžník BL rovná se čtverci GB.
Podobně ovšem vedením spojnic AE, BK dokáže se, že též rovnoběžník CL rovná se čtverci HC. Celý tedy čtverec BDEC rovná se součtu obou čtverců GB, HC. I jest čtverec BDEC narýsován na BC, a GB, HC na BA, AC. Tedy BC2 = BA* -f AG1.
Tedy v pravoúhlých trojúhelnících — —.
XLVI1I.
Když v trojúhelníku čtverec na jedné ze stran rovná se čtvercům na dvou ostatní cji stranách trojúhelníku, úhel ostatními dvěma stranami trojúhelníku sevřený jest pravý.
na jedné že -^.BAC
Nuže v £^ ABC čtverec čtverců na BA, AC; pravím, jest pravý.
Nuže veďme z bodu A ku přímce AC kolmici AD, a bud BA = AD, a veďme spojnici DC. Ježto DA — AB, také čtverec na D A roven čtverci na^R Společným přičtěme čtverec na AC; tedy DA"--]- AC*=.BA*-\- AC*. Avšak DA2-j-AC* = DC2, neboť DAG jest pravý; čtverce však BA"1 -j- AG1— fiCa; to je totiž podmínkou; tedy DC1 — BC'1, takže též strana DC= BC. A ježto D A = AB, společnou pak jest AC, patrně obě D A, AC jsou oběma BA, AC jednotlivě rovny a základna DC = BC; tedy DAO = BAC. pravý; pravý tedy též ^ BAC.
Když tedy v trojúhelníku čtverec — —.
straně JiC bud roven součtu
Úhel však DAG jest
Kniha druhá. Výměry.
1. O každém pravoúhlém rovnoběžníku pravíme, že jej svírají dvě přímky, svírající pravý úhel.
2. V každém útvaru rovnoběžkovém kterýkoli z rovnobežníkov Objímajících jeho úhlopříčku se dfěma doplňky nazýván buď soudél-níkem (gnómón).
28
27
I.
d
E
Když jsou dvě přímky a jedna z nich se rozdělí na několik dílů, pravoúhelník sevřený těmi dvěma přímkami rovná se pravoúhelníkům sevřeným přímkou nerozdělenou a každou z úseček.
Buďte dvě přímky A, BC, a BC buď rozdělena jakkoli v bodech
D, E; pravím, že pravoúhelník sevřený přímkami A, BC rovná se pravoúhelníkům sevřeným přímkami A, BD a A, DE a ještě A, EC
Nuže veďme z B k BC kolmici BF, a budiž BG = A a z G veďme GH\\ BC a z D, E, C veďme DK, EL, CH rovnoběžně s BG.
Patrně BH=BKA-DLA- EH. A BH jest z A, BC, neboť je sevřen přímkami GB, BC; BG pak = A; BK jest z A, BD, neboť sevřen jest přímkami GB,BD; BG pak = A ÄL je z ,4, nebof DK, t. j. BG — A. A podobně ještě U/i je z A, EC; tedy pravoúhelník z A, BC rovná se pravoúhelníkům
					
G F	K			L	H
z A, EC.
Když jsou tedy dvě přímky — —.
z A, BD a z A, DE a ještě
II.
Když se přímka libovolně rozdělí, pravou helníky sevřené celou a oběma úsečkami rovnají se čtverci z celé.
Nuže přímka AB bud libovolně rozdělena v bodě C; pravím, že pravoúhelník sevřený přímkami AB, BC i s pravoúhel-níkem z BA, AC rovná se čtverci z AB.1) Nuže narýsujme z AB čtverec ADEB a z C veďme CF rovnoběžně s AD nebo BE.
AE patrněfse rovná AFA- CE. I jest AE čtverec z .45;" AF pak pravoúhelník z .BA, AC, neboť je sevřen přímkami DA, AC, a AZ> = AB; C2í pak je z AB, BC, neboť BE=AB. Tedy rovnoběžník z BA, AC spolu s rovnoběžníkem z AB, .BC rovná se čtverci z AB.
Když se tedy přímka libovolně rozdělí,--.
J) Algebraicky: buď a^b-\-c, bude ab -\~ ac = a*.
III.
Když se přímka libovolně rozdělí, pravoúhelník celou přímkou a jednou úsečkou sevřený rovná se pravoúhelníku úsečkami se-zřenému a čtverci z řečené C úsečky.
Nuže přímka AB buď libovolně rozdělena v C; pravím, že pravoúhelník sevřený přímkami AB, BC rovná se pravoúhelníku sevřenému úsečkami AC, CB se čtvercem z BC.2)
Nuže narýsujme z CB čtverec, prodlužme ED do F a z A veďme AF|| OD i_
nebo .Bií. Patrně AE=ADA-CE a jest   ^       £ £" A£ pravoúhelník z A5, 5C; neboť sevřen je přímkami AB, 52i a BE=BC. AD pak je z ^C, G8, neboť DC=CB. DB pak je čtverec z CB.   Tedy pravoúhelník z AB, BC rovná se pravoúhelníku z AC, CB. se čtvercem z BC. Když se tedy přímka libovolně rozdělí — —.
iv.
Když se přímka libovolně rozdělí, čtverec z celé rovná se čtvercům z úseček a dvojnásobnému pravoúhelníku úsečkami sevřenému.
Nuže přímka AB buď libovolně rozdělena v C; pravím, žečtverec z AB rovná se čtvercům z AC a z CB a dvojnásobnému pravoúhelníku úsečkami AC, CB sevřenému.3)
Nuže narýsujme z- AB čtverec ADEB, veďme spojnici BD, z bodu C veďme CF \ AD nebo BE a bodem G veďme HK | AB nebo DE. A ježto CF \\ AD a H protíná je BD, vnější ■<£ CGB rovná se vnitřnímu protějšímu (souhlasnému) ADB. Avšak «3ĺ ADB = ABD, ježto též strana BA = AD, tedy též CGB — GBC, a . tak i strana BC — CG. Avšak CB = GK a CG = B-K; tedy též GK = KB; tedy je C GKB. rovnostranný. Pravím ovšem, že také pravoúhlý.   Neboť ježto CG\\BK [a
protíná je přímka CB], tedy <£ KBC -f GCB = 2R. Avšak KBC je pravý, pravým tedy též .BC©; a tak i protější CGK a GKB jsou pravé. Tedy C GKB jest pravoúhelník; dokázáno však^ že i stejjia-stranný,  jest to „tedy čtverec, a. .je z
	
/	G
■CB.   Z téže příčiny ovšem
2) Buď a=:í-f-;, bude ae = frc -\- c1.
3) Buď a = b A c, bude a- = &5 + c'J + lbe.
to
i HF je čtverec, a jest z HC, t. i. AC. Tedy //F, ifC jsou čtverce z J.C, 671 A ježto AG = GE (I. xliii.) a jest z AC, CB, neboť /VC = CB; tedy též GE=ACx CB; tedy AG-j-GE = 2 ACx CB. Jsou pak #F, CK"čtverce z AC, CB; tedy ty čtyři HťA- CK+AG+GE = AC* A-CB* + 2 ACX CB. Avšak HF, CK, AG, GE je celý ADEB, což je čtverec z 45; tedy AB* = AC* -\-CB*-\-2ACxCB. Když se tedy přímka libovolně rozdělí, — —.
Z toho zajisté patrno, úhlopříčku jsou čtverce.]
[Důsledek.
že ve čtvercích rovnoběžníky objímající
V.
rozdělí v úsečky stejné nestejnými  úsečkami ce
Když  se přímka stejné, pravoúhelník
yřený se čtvercem úsečky mezi průsečíky rovná čtverci půlky.
Nuže rozdělme jakousi přímku AB na
n e-s e-s e
	iJf	N /
A L	M/	I    / )f
úsečky stejné v C a nestejné v D ; pravím, že AD x DB -\- CD* = C     d B CB*').
Nuže narýsujme z CB čtverec CEFB a spojnici BE a. z D veďme DG \\ CE nebo BF, z H pak KM\\ AB nebo EF a dále z A veďme AK \\ CL nebo BM. A ježto doplněk CH rovná se doplňku
_ HF, společným přičtěme DM; tedy celý
-c    G F  CM=DF.   Avšak CM — AL, ježto též
AC — CB; tedy též AL — DF. Společným přičtěme CH; celý tedy AH rovná se soudélníku MNO. Avšak AH je z AD, DB; neboť DH=DB; tedy též soudélník MNOA-LG = AD x DB -f CD*. Avšak soudélník MNO+LG je celý čtverec CEFB, jenž je z CB; tedy AD x DB -f CD* = CB*.
Když se tedy přímka rozdělí v úsečky stejné a — —.
VI.
Když se rozpůlí přímka a připojí se k ní v přímém směru jiná, pravoúhelník z celé s připojenou a z připojené spolu se čtvercem z půlky rovná se čtverci z půlky a připojené.
Nuže buď nějaká přímka AB rozpůlena v bodě C, k ní buď při-
4) Nestejnými úsečkami buďtež a, b; bude áb + (—-|—-
1
	f H	
K L	N / / ľ	■M
G
pojena   v přímém  směru  přímka  BD;     . s, ,{ ..
pravím, že AD x DB + CB* = BD* »).
Nuže buď narýsován z CD čtverec CEFD a spojnice DE, a z bodu B veďme BG\\EC nebo DF a z bodu iŕ veďme -Oí || AB nebo .řLř1 a rovněž z .4 veďme A£T|| CZ nebo DM.
Ježto tedy AC—CB, též AL=CH; avšak CH= HF (I. xliii.) ; tedy též 4Z = /ZF. Společným přičtěme CM"; celý tedy
4M rovná se soudélníku NOP. Avšak AM je z v4Z>, Z18, neboť DM=DB; tedy též soudélník NOP=ADxDB. Společným pri-Čtěmež LG = BC*; tedy AD X DB A- CB* = NOP + LG. Avšak NOP^-LG je čtverec CEFZ) celý, jenž je z C£>; tedy ADxDBA-CB*—CD*.
Když se tedy rozpůlí přímka a připojí se----.
vii.
Když se přímka libovolně rozdělí, čtverec celé a čtverec jedné úsečky součtem rovnají se dvojnásobnému pravoúhelníku z celé a řečené úsečky a čtverci úsečky zbývající.
Nuže  rozdělme nějakou přímku AB v bodě C AB* -f BC* = 2 AB x BC -f CA*. «)
Nuže narýsujme z AB čtverec ADEB, * a útvar buď linkami vyznačen.7)
Ježto zajisté AG = GZ, společným přičtěme CF; tedy celý AF= CE; tedy 4F-|-CE—2AF. Avšak ^4F -f- CE jest soudélník KLM a CF čtverec; tedy soudélník KLM4- CF =2 AF. Jest pak 2ABxBC = 2 AF, neboť BF=BC; tedy soudélník #ZJí-f CF=2 X BC. Společným přičtěme DG, což je čtverec z AC; tedy soudélník iTZAf-f BG -f GZ> = 2ABxBC + 4C2. Avšak JÍZAf + J3G -f GL> = ^4Z)Z5 -j-CF, což jsou čtverce z .45 a BC: tedy BC+4C
pravím, ze c b
fit
s	
K / /	G j M
AB* -j- BC* =2ABx Když se tedy přímka libovolně rozdělí, čtverec--.
6) Půlkou přímky buď a, připojenou b ; bude (2a -f 6) Z> + a2 = O +
6) Úsečkami buďtež a, b;
bude (a + byArV-=t,(aArb)b-\a\ n. (a + i)' + a? = 2 fa + Z>J « + & •
7) Linkami CJV, ířFa        příslušným směrem vedenými.
30
31
VIII.
O
Když se přímka libovolně rozdělí, čtyřnásobný prav o'úhelní k z celé a jedné úsečky spolu se čtvercem úsečky zbývající rovná se čtverci celé a řečené úseč-kyvjednovzatých.
Nuže rozdělme libovolně nějakou přímku AB v bodě C; pravím, že čtyřnásobný pravoúhelník z AB, BC spolu se čtvercem z AC rovná se čtverci z AB, BC v jedno vzatých. 8)
Nuže veďme dále přímým směrem BD a buď BD = CB, a narýsujme z AD čtverec AEFD, a útvar vyznačme dvojími linkami.9)
Ježto tedy CB = BD, avšak CB = GK, a      ■      C     b    d  BC=KN, tedy GR — KN.   Z téže příčiny
patrně QR=RP. A ježto BC = BD a GK = KN, tedy též CK=KD a GE=RN. Avšak CK—RN, neboť jsou to doplňky rovnoběžníku; tedy též KD = GR; tedy všechny čtyři DK, Clí, GR, RN jsou si rovny. Ty čtyři tedy jsou čtyřikrát větší než CK. Ježto dále CB — BD, avšak BD = BK, t. j. CG, a CB=GK, t. j. GQ, tedy též CG=GQ. A ježto CG=GQ a <?iž = E H    L    F  RP,  též AG = MQ a QL — RF. Avšak
MQ = QL, neboť to doplňky rovnoběžníku ML; tedy též AG — RF; tedy ty čtyři AG, MQ, QL, RF jsou si rovny; tedy ty čtyři jsou čtyřikráťvětší než AG. Bylo pak dokázáno, že též čtyři CK, KD, GR, RN čtyřikrát větší než CK; tedy všech osm obsahujících soudélník STU je čtyřikrát větší než AK. A ježto AK]e z AB, BC, neboť BK—BD, tedy 4ABxBD = 4AK. Dokázáno však bylo, že též soudélník STU=4AK; tedy 3 AB x B D = STU. Společným buď OH, což rovno čtverci z AC; tedy 4 ABxBDA^-AC1 — ST U A)- OH. Avšak STU-\- OH jest celý čtverec ,4FFD, jenž je z AD; tedy 4ABxBD ■jrACt = AĽt\ BD však =5ŕľ. Tedy 4ABxBC + AC* = AD*, t. j. čtverci z AB a BC v jedno vzatých.
Když se tedy přímka libovolně rozdělí, čtyřnásobný — —.
	G	-7 T/
í	/	K\
s/	Q	
IX.
Když se rozdělí přímka na úsečky stejné a nestejné, čtverce nestejných úseček přímky celé jsou dvakrát větší nežli čtverce z půlky a z úsečky mezi průsečíky.
Nuže rozdělme nějakou přímku AB na úsečky stejné v C a nestejné v D; pravím, že čtverce z AD a z DB dvakrát větší jsou nežli čtverce z AC a z CD.10)
8) Úsečkami bueftež a, b; bude 4 (a -\- b) b -\- a2 = /jf« -f Ď) + i>/2 n. 4 fa -f 6J a -\- b- = /fa + b) + «/-'.
6) Jednak JWJV, CíT, jednak OP,        (a úhlopříčkou D-E).
■°) Nestejnými úsečkami buďtež a, b; bude fl2 4- b-
a A- b\2     j a -\~ b
Nuže z C vedena buď CE kolmo k AB a bud CE = AC nebo
C/i, a spojnice £5, a z » veďme DF || EC a z F FG \\ AB a
spojnici AF. A ježto AC=CE, též ^.EAC = AFJC, a ježto při Cjest
pravý, tedy ostatní EACA-AFC=R a jsou stejné; tedy <$lCEA =
7? -R CAE — — • Z téže příčiny ovšem ^CEB i _E#C jsou každý
2 '
celý
i?
tedy AEB = R. A ježto GEF=~ a EGF=R, neboť se rovná vnitř-nímu protějšímu (souhlasnému) DCB; tedy zbývající EFG = —, a tak
též strana F/G
R
R, neboť se
:GFl  Ježto dále <$B jest ^ a FDB
rovná opět vnitřnímu protějšímu (souhlasnému) ECB;  tedy zbývající
BFD = ^ tedy *$.B = D1B; atak  též strana FD=DB.   A ježto
^C=CF, také .4C2 = CF2; tedy ^C2 -fC/í2 = 2^C"-.    Avšak   J.C24-CF/2 =
neboť <£ACE-=R; tedy FLá2 = 2^1C2. Dále, ježto EG = GB] také EG* -f GF2 ^ 2 GF2. Avšak £G2 -j-GF2 = £F2; tedy FF2 = 2 GF2. GF* však se rovná CD; tedy EF* = 2CD*. Jest pak i £^t2 — 2 vlC2; tedy ytií2 + EF* = 2 (/íCa 4-CD2). Avšak ^le2 + FF2 = AF1, neboť <i AEF—R; tedy ^2 = 2 (-4C2 -f- CD2). Též J.F2 = 4D2 + DF\ neboť *$D = R. Tedy ADa + DFa = 2 (AC*-\-CD*). DF však rovná se Dii; tedy .4D2 + l>£2 = 2 (4C2 -f CD2).
Když se tedy rozdělí přímka na úsečky stejné a nestejné--.
X.
Když se přímka rozpůlí a připojí se k ní vprímém směru jiná, čtverce z celé s připojenou a z připojené jsou celkem dvakrát větší nežli čtverec z půlky se čtvercem z půlky a připojené v jedno vzatých.
Nuže bud nějaká přímka AB   roz- E F
půlena v C a k ní ve směru přímém připojena jiná BD; pravím, že ^D2 + DB* = 2(AC* + CD°-)}1)
Nuže z bodu C veďme CE \_AB a bud CE=AC nebo CB, a spojme E A, EB a z E veďme FF || J.D a z D veďme FD || CF. A ježto rovnoběžky EC, FD protíná nějaká přímka EF, tedy <£CEF -f- EFD = 2R; tedy (CEB -f FFD) < 2iž; přímky však při menších úhlech než jsou dva pravé, prodlouženy
*) Půlkou přímky buď a, připojenou i;, bude (2a -\- W + V" = 2 [<*2 + (a + fc)2.
jsouce, se stýkají; tedy EB, FD, prodlouženy jsouce směrem k B, D, se setkají. Buďte prodlouženy a stýkejte se v G, a spojme AG. A ježto AC=CE, též <$EAC = AEC. Ž téže příčiny ovšem <£CEB =
EBC=^-, tedy *$AEB = R. A ježto *$EBC = ^, tedy též *$DBG =
—. Jest pak i <$.BDG=R, neboť je stejný s DCE, totiž střídavý; tedy R
zbývající ^DGB = —, pročež ~$.DGB = DBG; a tak i strana BD =
R
GD. Dále, ježto <$EGF=~- a úhel při F~R, neboť se rovná pro
tějšímu při C; tedy zbývající ^.FEG = ~; tedy <$.EGF = FEG; a
tak i strana GF=EF. A ježto EC* = CA*, tedy £C2 -f CA4 = 2 CA2. Avšak £C24-CA2 = £A2; tedy J5A9 = 2ACa. Ježto dále FG = EF, také FG* = FE*; tedy GF* 4-FE* = 2 EF*. Avšak GF* A-FE* = EG*; tedy EG* = 2EF*. Avšak EF=CD; tedy EG* = 2 CD*. Bylo pak dokázáno, že též £Aa = 2ACs; tedy AE2 -(- KG2 == 2 (AC2 -j- CZ>2). Avšak AE« + £!Ga = AGa; AG9=2(ACa + CDs). Čtverec pak AG9 = A£» + DG*; tedy AD2-)-DG* — 2(AC*~\- CD1); DG pak = DB: tedy AD2 4-7XBa=:2(AC9-|-CD9).
Když se tedy přímka rozpůlí a připojí se — —.
F
XI.
Rozděl danou přímku tak, aby pravoúhelníkzcelé a z jedné úsečky rovnal se čtverci úsečky zbývající.
Danou přímkou buď AB; má se tedy AB rozděliti, aby pravo-úhelník z celé a z jedné úsečky rovnal se čtverci úsečky zbývající.
Nuže narýsujme z AB čtverec ABDC a rozpolme AC v bodě E i spojme BE a prodlužme CA do F, a bud EF—BE, a narýsujme z AF čtverec FH a prodlužme Gf/ do K; pravím, že AB jest rozdělena v H, takže B činí pravoúhelník z AB, BH rovným čtverci z Aií.
Neboť AC rozpůlena jest v E a. připojena k ní FA, tedy pravoúhelník CEx FA-\-AE* = EF2 (II. ví.). Avšak EF=EB; tedy CFx FA-\-AE* = EE*.   Ale EB2 = BA* -f A2£9 neboť <$.A je pravý; tedy CFx ÍA -j- AE2 = />    B/l2 -j- AÄ2;  odečtěme  společný A£2, tedy zbývající CFxFA = AB*. I jest FK—CFx FA, neboť AF— FG; AD ips.\i=z AB*; tedy FK.— AD. Odečten buď společný AiST, zbývající tedy FH—HD. 1 jest HD=z ABxBH, neboť AB = BD; a FH— AH*; tedy pravoúhelník ABxBH—HA*.
Tedy daná přímka AB rozdělena je v £/, takže pravoúhelník ABxBH činí rovným čtverci HA"; což právě bylo vykonati.
XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmic e', a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.
Tupoúhlým trojúhelníkem bud ABC a měj tupý <$.BAC, a vedena buď z bodu B na prodlouženou CA kolmice BD; pravím, že BC* = BA* + AC*4-2 CA x AD.
Neboť ježto přímka CD nahodile rozdělena v bodě A, tedy DC* — CA* + AD* -f- 2 CA X AD (II iv.). Společným přičtěme DB* ; tedy CD* + DB* — CA* -f AD* •+ 554-f2t.4Xiíi). Avšak CD24-DB* = C£2, neboť <$D = R; avšak y4Z>s-f-Ä#2=AB2; tedy CA2 = CA* + AB2 -f 2 CA X AD. Tedy v trojúhelnících tupoúhlých — —.
XIII.
V trojúhelnících ostroúhlých čtverec strany proti úhlu ostrému jest menší nežli čtverec stran úhel ostrý svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu ostrého, na něž dopadá kolmice, a vnitřní úsečkou jehopři úhlu ostrém, již kolmice omezuje.
Ostroúhlým trojúhelníkem buď ABC a měj ostrý <£B, a vedena buď z bodu A na BC kolmice AD; pravím, že AC*-f-2CBxBD = CB°- + BA*.
Neboť ježto přímka CB jest nahodile rozdělena v D, tedy CB* + BD*—2CBxBDA-DC* (I. vil). Společným přičtěme D A*; tedy CB2-f- BD*A-DA* = 2 CB x BD-\-AD* -f DC*. Avšak BD* + D A* = AB*, neboť <$D = R; čtvercům pak AD*-)-DC* = AC*; tedy C£2 + BA* = j4C24-2CBxB£>; a tak pouhý AC2 < (CB2 4- 2L42) o dvojnásobný pravoúhelník CB X BD.
Tedy v trojúhelnících ostroúhlých — —.
XIV.
Sestroj čtverec rovný danému útvaru přímkovému
Daným útvarem přímkovým (čtyřúhelníkem) buď A; má se tedy sestrojiti čtverec útvaru přímkovému A rovný.
Nuže buď sestrojen útvaru přímkovému A rovný obdélník BD. Jest-li ovšem BE—ED, byl by úkol vykonán; neboť sestrojen jest
3
34
05
čtverec BD rovný útvaru přímkovému A; pakli ne, jest BE nebo ED větší. Buď větší BE a prodloužena buď do F, a bud ED = EF, a roz
polme BF v G a. ze středu G narýsujme poloměrem GB nebo GF polokruh BHF a prodlužme DE do ií i veďme spojnici GH.
Ježto tedy přímka      rozdělena v G na díly stejné, na nestejné pak v E, tedy BExEF+EG* = GF* (I. v.). GF vša.k = GH; tedy BExEF 4-GE* = GH*. Tomu však se rovnají čtverce HE*    EG*. Tedy \    pravo úhelník BEx EF ArGE* = HE?+ AF EG"1. Odečtěme společný GE?; tedy zbývající   pravoúhelník   BE x EF = .Eiř8. JZ> Avšak BExEF = BD, neboť .SF = £Z>;
tedy = HE2. BD však je rovno útvaru přímkovému A. Tedy též útvar přímkový A rovná se čtverci, jenž bude narýsován z EH.
Tedy danému útvaru přímkovému A rovný čtverec je sestrojen, jenž bude narýsován z EH; což právě bylo vykonati.
G
C
H
E
Kniha fřefí.
Výměry.
1. Stejné jsou kruhy, jejichž průměry jsou stejné neboli jejichž poloměry jsou stejné.
2. Říká se, že přímka kruhu se dotýká, která kruh zasahuje a prodloužena jsouc kruhu neprotíná.
3. Říká se, že kruhy navzájem se dotýkají, které zasahujíce se vespolek se neprotínají.
4. Říká se, že v kruhu přímky jsou stejně od středu vzdáleny, když kolmice ze středu k nim vedené jsou stejné.
5. Říká se však, že vzdálenější je ta, na kterou dopadá kolmice delší.
6. Úsečí kruhu jest útvar omezený přímkou (tětivou) a obloukem kruhu.
7. Úhlem úseče jest ten, jejž svírá tětiva a oblouk kruhu.
8. Když se na oblouku úseče vezme nějaký bod a z něho k mezným bodům přímky, která je základnou úseče (tětivou), vedou spojnice, jest ten úhel, jejž svírají ty spojnice, úhlem v úseči (obvodovým).
9. Když pak přímky úhel svírající zabírají nějaký oblouk, říká se, že úhel na něm stojí.
10. Výsečí kruhu, když se ve středu kruhu sestrojí úhel, jest útvar omezený přímkami úhel svírajícími a obloukem jimi zabíraným.
11. Podobnými jsou úseče kruhů ty, jež obsahují stejné úhly neboli v nichž úhly navzájem jsou si rovny (úhly v úseči, obvodové; v. vým. 8.).
I.
Najdi střed kruhu daného.
Budiž daným kruhem ABC; má se tedy najiti kruhu ABC střed.
Veďme v něm libovolně nějakou přímku AB a rozpolme ji v bodě D & z D veďme DC \_AB a prodlužme do E a rozpolme CE v F; pravím, že F je střed kruhu ABC.
Nuže, nebuď jím, nýbrž, možno li, bud jím G, a veďme spojnice GA, GD, GB. A ježto AD = DB, společnou pak DG, obě patrně AD, DG jednotlivě stejné jsou s GD, DB, a základna G A = GB, neboť jdou ze středu; tedy' ADG = GDB. Když pak přímka na přímce postavena jsouc tvoří stý-kavé úhly navzájem sobě rovné, jest každý ten úhel pravý; tedy ^GDB = R. Jest pak i FDB — R; tedy -^.FDB— GDB, větší menšímu, což právě jest nemožno. Tedy bod G
není středem kruhu ABC. Podobně ovšem dokážeme, že ani žádný jiný kromě F.
Tedy bod F je středem kruhu ABC.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že když v kruhu nějaká přímka přímku nějakou v polovici a kolmo protíná, střed kruhu jest na přímce protínající. — Což právě bylo vykonati.
vezměme dva kterékoli
II.
Když se vezmou na obvodě kruhu kterékoli dva body, přímka ty body spojuj ící Ipadne dovnitř kruhu.
Kruhem budiž ABC, a na obvodě jeho body A, B; pravím, že přímka spojující A s B padne dovnitř kruhu.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li, padni vně jako AEB, a za střed kruhu vezměme D a veďme spojnice DA, DB a prodlužme DF do E.
Ježto tedy D A = DB, tedy <£ZUE = DBE; a ježto v A DAE jedna strana, totiž AEB, jest prodloužena, tedy DEB (vnější) > DAE (vnitřní protější, I. xvi.). Avšak
DAE = DBE, tedy <£ DEB > DBE. Proti většímu však úhlu leží delší strana; tedy DB > DE. DB však = DF, tedy DF > DE,
3*
36
37
kratší nad delší; což právě nemožno. Tedy přímka spojující A s B nepadne vně kryhu. Podobně ovšem: dokážeme, že ani na obvod ; tedy dovnitř.
Když se tedy vezmou, na obvodě kruhu — —.
III
Když nějaká přímka v kruhu středem jdouc jinou přímku mimostřednou půlí, též kolmo ji protíná; když pak j i p rt íná ko 1 m o, t é ž j i p ů 1 í.
Kruhem bud ABC a v něm nějaká přímka CD středem jdouc rozpoluj nějakou přímku mimostřednou AB v bodě F; pravím, že též kolmo ji protíná.
Nuže vezměme střed kruhu ABC, a tím buď E, a veďme spojnice EA, EB.
A ježto AF=FB, společnou pak FE, dvě jsou rovny dvěma, a základna EA = BE, tedy <J AFE = BFE (I. vm.). Když pak přímka
na  přímce  postavena jsouc tvoří stýkavé úhly navzájem rovné, každý z těch stejných, úhlů jest pravý. Tedy CD středem jdouc a rozpolujíc  mimostřednou AB  též  kolmo ji protíná.
Nuže nyní CD protínej přímku AB kolmo ; pravím, že ji též půlí, t. j že AF=FB.
Neboť když touž úpravu vykonáme'). ježto EA — EB, též <^.EAF=EBF; jest pak pravý AFE — BFE; tedy oba trojúhelníky EAF i EFB mají dva a dva úhly stejné a jednu společnou stranu EF proti jednomu ze stejných úhlů ležící stejnou; tedy též zb3>vající strany zbývajícím stranám budou míti rovné; tedy AF = FB.
Když tedy nějaká přímka v kruhu — —.
IV.
Když dvě mimostředné přímky v kruhu navzájem
se protínají, nerozpolují se navzájem.
Kruhem buď ABCD a v něm dvě mimostředné přímky AC, BD navzájem se protínejte v E; pravím, že se navzájem nerozpolují.
Nuže, možno-li, rozpolujte se navzájem, tak aby bylo AE = EC, BE — ED, a vezměme střed kruhu ABCD, a buď jím F, , a veďme spojnici FE.
-1) t. j, vedeme přímky pomocné.
Ježto tedy přímka nějaká středem jdoucí FE nějakou přímku AC mimostřednou rozpoiuje, též kolmo ji protíná (III. in.); tedy <^ FEA = R; dále, ježto přímka nějaká FE přímku nějakou BD půlí, též kolmo ji protíná; tedy ^FEB = R. Dokázáno však bylo, že též ^.FEA — B; tedy FEA — FEB, menší většímu; což právě nemožno. Tedy AC, BD se navzájem nerozpolují.
Když se tedy dvě mimostředné přímky — —.
V.
Když se dva kruhy navzájem  budou protínati, nebude střed jejich týž.
Nuže,  dva kruhy ABC,  CDG proti- A-nejte se v bodech B, C; pravím, že nebude jejich střed týž.
Neboť, možno-li, bud jím E a vedena buď spojnice CE a prodloužena budiíFG jakko-li. A ježto bod i? je středem kruhu ABC, jest EC — EF. Dále, ježto E je středem kruhu CDG, jest EC — EG; dokázáno však, že též EC = Eř ; tedy také EF=EG, kratší stejná s delší; což právě nemožno. Tedy bod E není středem kruhů ABC, CDG'').
Když se tedy dva kruhy navzájem
VI.
Když se dva kruhy budou navzájem dotýkat i, nebude střed jejich týž.
Nuže dva kruhy ABC, CDE dotýkejte se navzájem v bodě C; pravím, že nebude střed jejich týž.
Neboť, možno-li, buď jím F a vedena bud spojnice FC a prodloužena libovolně FEB.
Ježto tedy -bod .Fje středem kruhu ABC, jest FC = FB. Dále, ježto bod Fje středem kruhu CDE jest FC—FE. Dokázáno však, že FC=FB, tedy též FE= FB, kratší stejná s delší; což právě nemožno. Tedy bod F není středem kruhů ABC, CDE3).
Když se tedy dva kruhy budou — —
2) Totéž možno dokázati o každém jiném bodě.
3) Podobně o každém jiném bodě dokážeme, že není středem obou kruhů.
38
39
VII.
Když sena průměru kruhu vezme nějaký bod, jenž není středem kruhu, z toho pak bodu na kružnici budou dopadati nějaké přímky, nejdelší bude ta, naníž střed, nejkratší pak úsečka zbývající, z ostatních však, kterákoli je blíže přímky středové, delší jest než která dále, a pouze dvě (a dvě) stejné z toho bodu padnou na kružnici s obou stran úsečky nejkratší.
Kruhem bud ABCD, průměrem jeho buď AD, a na AD vezměme nějaký bod F, jenž není středem kruhu, středem pak kruhu buď E, a z bodu F na kružnici ABCD dopadejte přímky nějaké BF, FC, FG; pravím, že nejdelší jest FA, nejkratší pak FD, z ostatních pak FB > FC, FC > FG.
Nuže veďme spojnice BE, CE, GE; a ježto v každém trojúhelníku 4^ě strany delší jsou než třetí, tedy (EBA-EF)>BF. Avšak
BE=AE, tedy AF>BF. Dále, ježto BE=CE a společnou FE, tož BE-\-EF= CE4- EF. Ale též BEF > CEF, tedy základna BF^>CF. Z téže ovšem příčiny také CF^> FG.
Dále, ježto (GF -\- FE) > EG, EG pak = ED, tedy (GF-\- FE) > ED. Odečtěme společnou EF; tedy zbývající GF >i7D; nejkratší pak jest FD, FB však > FC, a FC > FG.
Pravím také, že z bodu F1 pouze dvě (a dvě) stejné dopadnou na kružnici ABCD na obou stranách úsečky nej-buď na přímce Eľ a z bodu na ní E
EH, spo-
GEA~ EF = HEA-EF; též <C GEF = HEF; Pravím ovšem, že jiná stejná s FG nedo-F.  Neboť, možno-li, dopadej FK   A ježto
kratší FD.   Nuže sestrojen
^FEH rovný úhlu GEF a spojnice FH. Ježto tedy GE
léčnou pak EF, tož tedy základna FG = FH. padne na kružnici z bodu
FK— FG, avšak FG — FH, tedy též FK= FH, bližší úsečky středové je stejná se vzdálenější, což právě nemožno. Tedy z bodu F žádná jiná nedopadne na kružnici stejná s GF ^kromě FH); tedy jedna jediná.
Když se tedy na průměr kruhu — —.
VIII.
Když sevezme nějaký bod vněkruhu a z toho bodu ke kruhu se vedou nějaké přímky, z nichž jedna středem, ostatní pak jakkoli, z přímek dopadajících na dutou část kružnice nejdelší jest, která jde středem, z ostatních pak vždy, která je středové bližší, je delší než  která je vzdálenější, z přímek pak dopajících na
vypuklou část kružnice nejkratší jest mezi bodem a průměrem, z ostatních pak vždy, která je bližší úsečky nejkratší, jest kratší než která je vzdálenější, a pouze dvě (a dvě) stejné dopadnou z bodu na kružnici s obou stran úsečky nejkratší.
Kruhem buď ABC, a vezměme vně kruhu ABC nějaký bod D a z něho veďme nějaké přímky DA. DE, DF, DC, středem pak jdi DA; pravím, že z přímek na dutou část kružnice AEFC dopadajících nejdelší je středová DA a DE> DF, DF^>DC, z přímek pak na vypuklou část kružnice HLKG dopadajících nejkratší jest DG mezi bodem a průměrem AG, a která jest úsečky DG bližší, je kratší než která je vzdálenější, DK< DL, DL < DH.
Nuže vezměme střed kruhu ABC, a bud jím M, a veďme spojnice ME, MF, MC, MK, ML, MH.
A ježto MA = EM, společnou přičtěme MD, tedy AD=FM-\-MD, avšak (EMA-MD) > ED ; tedy AD > ED. Dále, ježto M E = M F, společná pak MD, tedy EM+MD=FM+ MD, a EMD~> FMD. Tedy základna ED > FD. Podobně ovšem dokážeme, že FD >CD; tedy nejdelší je DA, DE pak > DF, DFy-DC.
A ježto (MK + KD) > MD, MG = MK, tedy zbývající KD > GD, a tak GD < KD; a ježto v A MLD na jedné straně MD uvnitř byly sestrojeny dvě přímky, totiž MK, KD, tedy (MKA-KD) < (ML + LD) (I. xxi.); MK = ML; zbývající tedy DK<^ DL. Podobně ovšem dokážeme, že též DL<^DH; tedy nejkratší jest DG, DK pak < DL, DL < DH.
Pravím, že též pouze dvě (a dvě) stejné z bodu D dopadnou na kružnici s obou stran nejkratší úsečky DG. Sestrojen buď na přímce MD a v bodě jejím M ^.DMB =KMD a spojnice DB. A ježto MK=MB, společnou pak MD, zajisté KMA-MĎ = BM+ MD a <$.KMD = BMD; tedy základna DK — DB. Pravím, že žádná jiná přímce DK rovná nedopadne na kružnici z bodu D. Neboť, možno-li, dopadej a budiž jí DN. Ježto tedy DK—DN, avšak DK=DB, tedy též DB—ND, přímka bližší úsečky nejkratší přímce vzdálenější; což právě dokázáno nemožným. Tedy nedopadne více úseček než dvě stejné na kružnici ABC z bodu D s obou stran úsečky nejkratší DG.
Když se tedy vezme nějaký bod vně kruhu — —.
IX.
Když se vezme nějaký bod uvnitř kruhu a z toho bodu na kružnici dopadávíce neždvé přímekstejných, vzatý bod je středem kruhu.
40
41
b/
Kruhem buď ABC, bodem pak uvnitř něho B, a z D ke kruhu
ABC dopadejte více než dvě přímky stejné BA, BB, DC; pravím, že bod B je středem kruhu ABC.
Nuže veďme spojnice AB, BC a buďte rozpůleny v bodech E, F a spojnice ED, FB prodlouženy buďte do bodů B, K a H, L.
Ježto tedy AE= EB, společnou pak ED, ovšem AEA- EB = BEA- ED, a základna BA = DB; tedy AED = BED; tedy AED = R = BED; tedy GK rozpoluje AB a jest na ní kolmo. A ježto v kruhu, když nějaká přímka přímku Jí nějakou půlí a jest na ní kolmo, na
rozpolovací je střed kruhu, tedy na GK je střed kruhu (III. i. důsl.). Z téže příčiny ovšem též na HL je střed kruhu ABC. A žádného jiného bodu společného přímky OK, HL nemají než B; tedy bod B je středem kruhu ABC.
Když se tedy vezme nějaký bod uvnitř kruhu--.
/	ŕ——	
		d
		
X.
Kruh kruhu neprotíná ve více bodech než ve dvou. Nuže, možno-li, kruh ABC protínej kruh DEF ve více bodech než ve dvou, totiž v B, G, F, H a spojnice BG, BH buďte rozpojovány v bodech K, L, a z K, L na BH, BG vedené kolmice KC, LM buďte prodlouženy do bodů A, É.
Ježto tedy v kruhu ABC nějaká přímka AC přímku nějakou BH půlí a jest na ní kolmo, na AC tedy je střed kruhu ABC. Dále, ježto v témž kruhu ABC nějaká přímka NP přímku nějakou BG půlí a jest na ní kolmo, tedy na NP je střed kruhu ABC. Dokázáno pak bylo, že i na AC, a přímky AC, NP nikde se neprotínají než v O; tedy bod O je střed kruhu ABC. Podobně ovšem dokážeme, že také kruhu BEF středem jest O, tedy dva kruhy ABC, BEF navzájem se protínající mají týž střed O; což právě není možno.
Tedy kruh kruhu neprotíná ve více bodech než ve dvou; což právě bylo dokázati.
XI.
Když se dva kruhy navzájem uvnittř dotýkají [a vezmeme jejich středy], přímka spojující s t ře d y jejich prodloužena jsouc padne do bodu dotyčného těch kruhů.
Nuže dva kruhy ABC, A DE dotýkejte se navzájem uvnitř v bodě A, a za střed kruhu ABC vzato buď F, kruhu pak ADE G; pravím, že přímka spojující G s F prodloužena jsouc padne do A.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li, dopadej jako FGH a vedeny buďte spojnice AF, A a.
Ježto tedy (AGA- OF) > FA, t. j. FH, odečtěme společnou FG; zbývající tedy AG > OH. AO však == OD, tedy OD > OH, kratší nad delší, což právě nemožno. Tedy přímka spojující F s O nepadne mimo, tedy padne do A, do bodu dotyčného.
Když se tedy dva kruhy navzájem uvnitř dotýkají — —.
XII.
Když se dva kruhy budou navzájem dotýkati vně, spojriicejejich středů půjde bodem dotyčným.
Nuže dva kruhy ABC, ABE dotýkejte se navzájem vně v bodě A, a za střed v ABC vzato buď F, v ADE pak G; pravím, že přímka spojující F, O půjde bodem dotyčným A.
Nuže, není-li tak, nýbrž, možno-li, jdi jako FCBO, a veďme spojnice AF, AG.
Ježto tedy bod F je středem kruhu ABC, FA = FC. Dále, ježto bod O je středem kruhu ABE, GA = GD. Dokázáno pak, že též FA = FC; tedy FA -j-AG=FCA-DG; a tak celá FG (t. j. FC -f DG' a ještě CD) je větší než FA-\-AG, ale též menší (I. xx.); což právě nemožno. Tedy přímka spojující F s G nebude procházeti mimo bod dotyčný A Když se tedy dva kruhy budou navzájem
XIII.
Kruh kruhu se nedotýká ve více bodech než v jednom, ať se dotýká vnitř ať vně.
Nuže, možno li, kruh ABC D dotýkej se kruhu EBFD ve více bodech než v jednom, totiž v D a B. A za střed kruhu ABCD vezměme ~  kruhu EBFB H.
Tedy spojnice GH padne do B a. D (III. xi.). Padni jako BGHB.  A ježto bod  G je středem GB,
tedy jím.
G
BG
jaiw xjv±±u. n ^ kruhu ABCB,
tedy BG > HD, tedy BH o mnoho delší než HB. Dále,
42
ježto bod H je středem kruhu EBFD, BH—HD; dokázáno však, že je dokonce o mnoho delší; což právě nemožno. Tedy kruh kruhu uvnitř se nedotýká ve více bodech než v jednom. Pravím ovšem, že ani vně. Nuže, možno-ii, kruh ACK dotýkej se kruhu ABCD vně ve více bodech než v jednom, totiž v a, C, a vedena bud spojnice AC.
Ježto tedy v kruzích ABCD, ACK vzaty jsou na obvodě obou dva nahodilé body (dotyčné) A ,C, spojnice tedy těch bodů dovnitř obou padne (III. n.) • avšak v ABCD padla dovnitř, v ACK pak vně4);- což právě nesrov-' nalost; tedy kruh kruhu se nedotýká vně ve více bodech než v jednom; dokázáno pak, že ani vnitř.
Tedy kruh kruhu se nedotýká ve více bodech — —.
XIV.
le
V kruhu stejné p ří m ky ;(t ě t i vy) j s o u stejně vzd ny od středu, a stejně vzdálené od středu jsou n
dá-a-
vzájem stejné.
Kruhem bud ABCD a v něm stejnými tětivami bucľtež AB, cd ; pravím, že AB, CD jsou stejně vzdáleny od středu.
Nuže vezměme střed kruhu, a buď jím E, z bodu E k Afí, CD veďme kolmice EF, EG a spojnice AE, EC.
Ježto tedy nějaká přímka středem vedená EF nějakou přímku mimostřednou AB protíná kolmo, též ji půlí (III. iii.). Tedy AF — FB; tedy AB = 2 AF. Z téže příčiny ovšem též CD = 2 CG. A ježto AE — EC, také AE'1 = EC3. Ale AE? = .tf«-fi'fs, neboť ^F = fí; a EC1 — EG"1 -f GC'1, neboť ^ G = B; tedy AF1 + FE* = CG* + GE*, z nichž AF* = CG'', neboť AF=CG; zbývající tedy FE* = EG"1; tedy EF ~ EG. Pravíme však, že přímky od středu stejně jsou vzdáleny, když kolmice ze středu k nim vedené sou stejné; tedy AB,  CD jsou od středu stejně vzdáleny.
Ale buďte již přímky AB, CD od středu stejně vzdáleny, t. j. buď EF=EG; pravím, že též AB = CD.
Neboť po téže úpravě podobně dokážeme, že AB=2AF a CD =2 CG, a ježto AE = CE, AE"1 =z CE*; avšak AE1 — EF* 4-FA* a CE* = EG3 -f GC*. Tedy EF* + FA2 = EG* + GC*, z nichž EF* =
4) Nejasno. III. vým. 3. praví, že >lirahy navzájem se dotýkají, které zasahujíce se vespolek se neprotínají«, ale ovšem bez důkazu.
EG*, neboť EF' — EG; zbývající tedy AF*=CG*; tedy AF=CG; a AB = 2 AF, CD pak = 2 CG; tedy AB = CD.
Tedy v kruhu stejné přímky (tětivy) jsou — —.
XV.
V kruhu nejdelší jest průměr, z ostatních pak přímek vždy středu bližší je delší než ta, kteráje vzdá-1 e n ěj ší.
Kruhem buď ABCD, průměrem jeho pak bud AD a' středem E, a blíže průměru AD buď BC, dále od něho FG; pravím, že nejdelší jest AD, BC pak > FG.
Nuže veďme ze středu E k BC, FG kolmice EH, EK. A ježto BC je středu blíže, FG pak od něho dále, tedy EK> EH. Buď EL = EH a na bod L k EK spuštěná kolmice LM prodloužena buď do N a ve* deny spojnice ME. EN, FE, EG.
A ježto EH=ÉL, též BC=MN (III. xiv.). Dále, ježto AE = EM, E D ~ EN, tedy AD — ME + EN. Avšak (ME-A- EN) > MN [a AD > MNI MN pak = BC, tedy AD > BC. A ježto dvě ME, EN rovnají se se jednotlivě dvěma FE, EG, také <$MEN> FEG; ArJV> FG (I. xxiv.). Avšak dokázáno, že MN= BC Tedy průměr AD nejdelší, BC pak >i7G.
Tedy v kruhu nejdelší je průměr, z ostatních — —.
XVI.
Kolmice na konci průměru kruhového zřízená padne vně kruhu, a v prostor mezi přímkou (kolmicí) a obvodem nevejde se přímka jiná, a úhel p olokružní6) větší jest nad jakýkoliv ostrý úhel přímkový, zbývající však jest menší
Kruhem buď ABC kolem  středu D a průměru kolmice v A na konci AB vedená padne vně kruhu.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li, dopadej dovnitř jako CA, a vedena buď spojnice DG
Ježto D A — DC, též <$DAC= ACD. DAC však je pravý, tedy též ACD= R. V A ACD tedy ^ DAC A- ACD = 2R, což právě nemožno. Tedy kolmice vedená z bodu A k BA nepadne dovnitř kruhu. Podobně ovšem dokážeme, že ani na obvod ; tedy vně.
tedy základna [a BC > FG].
AB; pravím, že Ji
5) Míní se úhel, jejž tvoří polokružnice s průměrem.
Dopadej jako AE; pravím již, že v prostor mezi přímkou AE a obloukem CHA nevejde se přímka jiná.
Nuže, možno-li, vložena bud jako FA, a veďme z bodu D k FA kolmici DG. A ježto AGD — R, DAG však jest menší, tedy AD y DG (I. xix.). Avšak DA — DH, tedy DH>• DG, kratší nad delší, což právě nemožno. Tedy v prostor mezi kolmicí (tečnou) a obvodem nevejde se přímka jiná.
Pravím, že též úhel polokružní sevřený přímkou BA a obloukem CHA jest větší než jakýkoliv úhel ostrý přímkový, zbývající však sevřený obloukem CHA a přímkou AE jest menší než jakýkoliv úhel ostrý přímkový.
Neboť jest-li nějaký úhel přímkový větší než sevřený přímkou BA a obloukem CHA, menší však než sevřený obloukem CHA a přímkou AE, vejde se v prostor mezi obloukem CHA a přímkou AE přímka, jež utvoří úhel větší než sevřený přímkou BA a obloukem CHA, sevřený totiž přímkami, menší však než sevřený obloukem CHA a přímkou AE. Nevejde se však; tedy nebude nad úhel sevřený přímkou AB a obloukem CHA většího úhlu přímkami sevřeného, ani ajisté menšího nad sevřený obloukem CHA a přímkou AE.
■ Důsledek.
Z toho jest ovšem patrno, že kolmice k průměru kruhovému na konci vedená dotýká se kruhu [a že přímka kruhu se dotýká pouze v jednom bodě, ježto právě dokázáno, že přímka ve dvou bodech s ním se stýkající dopadá dovnitř]; což právě bylo dokázati,
XVII.
Zdaného bodu veď přímku daného kruhu se dotýkající (tečnou).
Daným bodem buď A, daným kruhem BCD; má se tedy z bodu A
vésti přímka kruhu BCD se dotýkající.
Nuže vzato buď za střed kruhu E, veďme spojnici AE a ze středu E poloměrem EA narýsujme kruh AFG & z D k EA veďme kolmici DF a spojnice EF, AB; pravím, že z bodu A jest vedena tečná AB kruhu BCD.
Neboť ježto E je střed kruhů BCD, AFG, tedy E A — EF, ED — EB; obě ovšem AE, EB stejné jsou s FE, ED, též úhel sporečný při E svírají; "tedy základna DF= AB a /\ DEF= EBA a zbývající úhly rovny úhlům zbývajícím; tedy <$.£DF=EBA. Avšak EDF= R, tedy též EBA = R. A jest EB středová ; kolmice však vedená nakonec průměru6,) kruhového dotýká se kruhu; tedy AB je tečná kruhu BCD.
6) Má býti  zde »poloměru«,  pro  nějž Eukl.   nemá názvu.   Věc se tím nemění.
Tedy z daného bodu A vedena jest ke kruhu danému BCD tečná; což právě bylo vykonati.
XVIII.
Když se nějaká přímka kruhu dotýká a ze středu k  bodu  dotyčnému  povede se spojnice, spojnice bude kolmicí k tečné.
Nuže kruhu ABC dotýkej se nějaká přímka DE v bodě C a za střed kruhu ABC vezměme F a veďme z ŕ do C spojnici FC; pravím, že FC jest kolmicí k DE.
Nuže není-li tak, veďme z F k DE kolmici FG.
Ježto tedy FGC je pravý, tedy FCG jest ostrý; proti většímu pak úhlu leží delší strrana, tedy FC > FG, FC však = FB, tedy FB > FG, kratší nad
delší; což právě nemožno. Tedy FG není kolmicí k DE. Podobně ovšem dokážeme, že ani žádná jiná kromě FC; tedy FC jest kolmicí k DE.
Když se tedy nějaká přímka kruhu dotýká — —.
XIX.
Když se kruhu nějaká přímkadotýká a sestrojí se v bodě dotyčném k tečné kolmice, na kolmici bude střed kruhu.
Nuže kruhu ABC dotýkej se nějaká přímka DE v bodě C, a v bodě C k DE bud vztýčena kolmice CA; pravím, že na AC je střed kruhu.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li, buď jím F a bud vedena spojnice CF.
Ježto kruhu ABC dotýká se nějaká přímka DE a ze středu k bodu dotyčnému jest vedena FC, tedy FC je kolmicí k DE (III. xviii.), tedy <^.FCE—B. Jest pak též ACE=R; tedy -^.tCE — ACE, menší většímu, což právě nemožno.   Tedy   není   bod   F středem
kruhu ABC. Podobně ovšem dokážeme, že ani žádný jiný leč na AC.
Když se tedy kruhu nějaká přímka dotýká"— —.
46
47
XX.
V kruhu jest úhel středový dvakrát větší než úhel obvodový, když ty úhly za základnu mají týž oblouk.
Kruhem bud ABC a úhlem jeho středovým BEC, obvodovým pak BAC, a mějte za základnu týž oblouk BC; pravím, že ^.BEC—2BAC.
Nuže spojnice AE bud prodloužena do F.
Ježto tedy E A = EB a *$EAB = EBA, tedy ^ EAB -f EBA = 2EAB. Úhel pak BEF= EAB-j-EBA, tedy též BEF= 2EAB. Z téže příčiny ovšem též <$.FEC= 2 EAC. Tedy celý ^. BEC =2 BAC.
Tož dále budiž  úhel odehnut7) a druhým úhlem buď BDC a spojnice DE buď prodloužena do G. Podobně ovšem ■dokážeme, že ~$.GEC=2EDC, z nichž GEB — 2EDB; tedy zbývající BEC =2 BDC.
V kruhu tedy jest úhel středový — —.
XXI.
Úhly v kruhu na téže úseči jsou sinavzájemrovny8).
Kruhem buď ABCD, a na téže úseči BAED buďtež <£ BAD, BED; pravím, že -$.BAD=zBED.
Nuže vezměme střed kruhu ABCD, a buď jím F, a veďme spojnice BF, FD.
A ježto *$.BFD je středový a <£BAD obvodový a mají za základnu týž oblouk BCD, tedy ~$.BFD=2BAD. Z téže příčiny ovšem <4 = 2 5£I> (III. xx.); tedy ^ BAD = BED.
Tedy úhly v kruhu na téže úseči--.
XXII.
Protější úhly čtyřúhelníků v kruzích rovnají se ■dvěma pravým.
Kruhem bud ABCD a v něm čtyřúhelníkem bud ABCD; pravím, že protější úhly (součtem) rovnají se dvěma pravým.
= 2R.
7) T. j. úhel obvodový buď posunut z polohy bac do polohy bdc.
8) Míní se úhly obvodové na témž oblouku.
Veďme spojnice AC, BD.
Ježto tedy v každém trojúhelníku tři úhly (vnitřní) rovnají se dvěma pravým (I. xxxn.), tedy v A ABC tři úhly CAB, ABC, BCA rovnají se dvěma pravým. Avšak
CAB = BDC, neboť jsou na téže úseči HADC; ^.ACB však = ADB, neboť jsou na téže úseči ADCB; tedy celý <£ADC= BAC A-ACB Společným přičtěme ^.ABC; tedy ABC A- BAC A-ACB = ABC + ADC. Avšak ^.ABCA- BAC + ACB =2 R. Tedy též ^ABCArADC = 2R.
Podobně ovšem dokážeme, že též BAD A- DCB Tedy protější úhly čtyřúhelníků — —.
XXIII.
Na téže straně téže přímky nesestrojíš dvou úsečí kruhových podobných a nestejných.
Nuže, možno-li, buďte na téže straně téže přímky AB sestrojeny dvě podobné a nestejné úseče ACB, ADB a vedena buď ACD i spojnice CB, DB.
Ježto tedy úseč ACB podobna jest úseči ADB; podobné však úseče kruhů jsou ty, které objímají stejné úhly; tedy ACB = ADB, vnější vnitřnímu, což právě nemožno.
Tedy na téže straně téže přímky — —.
XXIV.
Nastejných přímkáchpodobné úsečekruhovéjsou si navzájem rovny.
Nuže buďte na stejných přímkách AB,  CD podobné úseče kruhové AEB, CFD; pravím, že úseč AEB = CFD.
Neboť položíme-li úseč AEB na CFD a připadne-li bod i na Ca přímka AB na CD, bude se kryti též bod B s bodem D, ježto AB — CD; když pak AB pokryje CD, také úseč AEB bude kryti CFD. Neboť bude-li přímka AB kryti CD, úseč pak AEB nebude kryti CFD, buď padne dovnitř nebo ven nebo se uchýlí jako CGD a kruh bude protínati ve více bodech než ve dvou;  což právě ne-
48
-|.:>
možno (III. x.)9). Tedy položíme-li přímku AB na CD, nebude možno, by se též úseč AEB nekyla s CFD; tedy se bude kryti a bude jí rovna.
Tedy na stejných přímkách podobné úseče — —,
XXV.
K dané úseči kruhové přirýsuj kruh, jehož jest úsečí.
Danou úsečí kruhovou bud ABC; tož má se k úseči ABC při-rýsovati kruh, jehož jest úsečí.
Nuže rozpolme AC v D a. vedme z bodu D kolmici k AC, totiž
DB, a spojnici AB; tedy     ABD = B AD.
a) Buď nejprve větší, a sestrojen buď ku přímce BA a z bodu na ní A <^.BAĚ— ABD a prodloužena bud DB do E a vedena spojnice EC, Ježto tedy <$ABE = BAE, tedy též přímka EB — EA (I. ví.). A ježto AD = DC, společná pak DE, patrně AD, DE stejné jsou jednotlivě s CD, DE a -^.ADE—CDE, neboť jsou oba pravé; základna tedy EA=CĚ. Avšak dokázáno bylo, že AE — BE, tedy též BEČE; tedy tři: AE, EB, EC jsou si navzájem rovny; tedy kruh ze středu E poloměrem AE neb EB neb EC rýsovaný půjde též body zbývajícími a bude přirýsován. Tedy k dané úseči kruhové přirýsován kruh. A patrno, že úseč^lôC jest menší než polokruh, ježto střed E připadá mimo ni.
b) Podobně též, bude-li ~$.ABD = BAD, stane-li se AD stejnou s BD nebo DC, tři: DA, DB, DC budou si navzájem rovny, a bude D středem kruhu doplněného a bude ABC patrně polokruhem.
c) Pakli *ž$.ABD bude<iL4.D a sestrojíme-li na přímce BA a v bodu na ní A úhel rovný úhlu ABD, připadne střed dovnitř úseče ABC na DB a bude patrně úseč ABC polokruhu větší.
Tedy k dané úseči kruhové přirýsován jest kruh; což právě bylo vykonati.
Buďte stejnými kruhy ABC, DEF, a v nich buďte stejnými úhly středovými BGC, EHF, obvodovými pak BAC, IWF; pravím, že oblouk BKC = ELF.
Nuže veďme spojnice BC, EF.
A ježto kruhy ABC, DEF jsou stejné, jsou též poloměry stejné; tedy BG, GC stejné s EH, HF a <£G = ^.H, tedy třetí přímka BC=EF. A ježto -^.A = <£D, tedy úseč BAC^EDF, a jsou na stejných přímkách; podobné však úseče kruhové na stejných přímkách jsou si navzájem rovny (III. xxiv.); tedy úseč BAC = DEF. Jest pak i celý kruh ABC = DEF; tedy zbývající oblouk BKC — Tedy ve stejných kruzích stejné úhly — —.
XXVII,
ELF.
Úhlyvestejných kruzích stojící na stejných obloucích jsou si navzájem rovny, ať jsou to středové ať obvodové.
Nuže ve stejných kruzích ABC, DEF na stejných obloucích BC, El stůjte při středech G, H středové úhly BGC, EHF; pravím, že <$.BGC = EHF a <$.BAC — EDF.
Neboť není-li BGC =EHF, jeden z nich je větší. Buď větším BGC, a sestrojen buď na přímku BG a z bodu na ní G ^.BGK — EHF; stejné však úhly stojí na stejných obloucích, když jsou středové; tedy oblouk BK—EF. Avšak EF — BC, tedy též BK— BC, menší většímu; což právě nemožno.
BGC
Tedy <$BGC není neroven úhlu EHF; tedy roven. A<£—;^— —
EHF
*$.D, tedy též <M =
Tedy úhly ve stejných kruzích —
XXVI.
XXVIIR
Ve stejných kruzích stejné úhly stojí nastejných obloucích, ať jsou to středové ať obvodové.
s) K prvním dvěma případům nehledí; ostatně viz III. xxIH.
Ve stejných kruzích s t e j n é t ě t i vy o d t ín a j í oblouky stejné, větší s větším stejný, menší pak s menším.
Stejnými kruhy buďtež ABC, DEF, a v těch kruzích stejnými tětivami  buďtež AB, DE  a  odtínejtež  oblouky větší ABC, DEF
4
50
61
a menší AGB, DHE; pravím, že větší oblouk ACB = DEF a menší AGB = DHE.
Nuže vezměme za středy kruhů K, L a veďme spojnice AK, KB, DL, LE. A ježto jsou kruhy stejné, stejné jsou též poloměry; obě tedy AK, KB — oběma DL, LE a třetí AB = DE; tedy <$.AKB = DLE. Stejné pak úhly stojí na stejných obloucích, když jsou středové; tedy oblouk AGB = DHE. Jest pak též celý kruh ABC roven kruhu DEF, tedy též oblouk zbývající ACB = oblouku zbývajícímu DFE.
Tedy ve stejných kruzích stejné tětivy--.
XXIX.
Ve stejných kruzích proti stejným obloukům leží
stejné tětivy.
Stejnými kruhy buďtež ABC, DEF a v nich odfaty buďte stejné oblouky BGC, EHF, a veďme spojnice BC, EF; pravím, že BC=EF.
Nuže vezměme středy kruhův, a buďte jimi K, L, a veďme spojnice BK, KC, EL, LF. A poněvadž oblouk BGC = EHF, též <^BKC = ELF. A ježto kruhy ABC, DEF jsou  stejné, stejné jsou též poloměry.   Obě tedy BK, KC—EL, LF, též úhly svírají stejné.  Tedy třetí strana BC=EF. Tedy ve stejných kruzích proti stejným obloukům — —.
XXX.
Rozpol daný oblouk.
Daným obloukem bud ALB; tož má se oblouk ADB rozpůliti.
Veďme spojnici AB a rozpolme ji D v C a. z bodu C veďme ku přímce AB
kolmici CD a spojnice AD, DB.
A ježto AC=CB, společnou pak CD, obě  patrně   AC,  CD = BC,   CD, též <$.ACD — BCD, neboť oba jsou pravé; C B   tedy třetí AD —DB. Stejné však tětivy
odtínají oblouky stejné, větší s větším, oba z obloukův menší než polokružnice;
usec
menši s menším tedy oblouk AD
i jsou --DB.
XXXI.
Úhel v kruhu napolokruží (obvodový) jest pravý, vevětší úseči menší než pravý, v menší pakúseči větší než pravý; a mimo to úhel úseče10) větší jest pravého větší, úhel úseče menší jest pravého menší.
Kruhem bud ABCD, průměrem jeho BC a středem E, a veďme spojnice BA, AC, AD, DC; pravím, že <^BAC na polokruží jest pravý, v úseči pak ABC, polokruhu větší, jest ABC <_R,  v  úseči ADC, polokruhu menší, jest <$.ADC>R.
Veďme spojnici AE a prodlužme BA do F.
A ježto BE — EA, též ABE = BAE. Dále, ježto CE^EA, též ^.ACE=CAE. Tedy celý <J BAC= ABC -j- ACB. Také však *$.FAC, vně trojúhelníku ABC, rovná se ABC-{-ACB; tedy BAC — FAC, tedy jsou oba pravé; tedy (obvodový) ■^.BAC v polokruhu BAC je pravý.
A ježto v A ABC dva úhly (ABC4-BAC)<2R, úhel však BAC = B, tedy <£ABC<i? ABC, ve větší než polokruh.
A ježto v kruhu je čtyřúhelník ABCD a protější úhly čtyřúhel-níků v kruzích rovnají se dvěma pravým (III. xxil.) [tedy <$.ABC-\-ADC=2R] a <£ABC< R; tedy zbývající <$ADC>R a jest v úseči ADC, v menší než polokruh.
Pravím, že též úhel úseče větší, sevřený obloukem ABC a přímkou AC je větší než pravý, úhel pak menší úseče, sevřený obloukem ADC a přímkou AC, jest menší než pravý. Také jeto hned patrno. Ježto totiž úhel přímek BA, AC je pravý, teďy úhel sevřený obloukem ABC a přímkou AC jest větší než pravý. Dále, ježto úhel přímek AC, AF jest pravý, tedy úhel sevřený přímkou CA a obloukem ADC jest menší než pravý.
Tedy úhel v kruhu na polokruží — —.
XXXII.
Když se bude kruhudotýkatinějaká přímka (tečná) a sestrojí se z bodu dotyčného do kruhunějaká přímka kruh sekoucí (tětiva n. sečná), úhly, které činí stečnou, budou střídavě rovny úhlům (obvodovým) v úsečích kruhu.
Nuže kruhu ABCD dotýkej se nějaká přímka EF v bodě B, a z bodu B veďme nějakou přímku BD do kruhu ABCD jej sekoucí; pravím, že úhly, jež tvoří BD s tečnou, budou střídavě rovny úhlům v úsečích kruhu, t. j.že <$.FBD rovná se úhlu sestrojenému v úseči BAD, úhel pak EBĎ rovná se úhlu sestrojenému v úseči DCB.
10) Úhel úseče jest sevřen tětivou a obloukem úseče (III. vým. 7.).
Nuže z B veďme k EF kolmici BA a vezměme na oblouku BD kterýkoli bod C a veďme spojnice AD, DC, CB.
A ježto kruhu ABCD dotýká se nějaká přímka EF v B a. z bodu dotyčného vedena jest kolmice BA, tedy na BA je střed kruhu ABCD. Tedy BA je průměr kruhu ABCD, tedy ADB jsa v polokruží je pravý. Tedy ostatní BAD-\-ABD — R. Je však též <£ ABF=R\ tedy <$.ABF=BAD-)-ABD: Odečtěme společný ABD, tedy zbývající ^DBF= BAD, střídavě v úseči kruhu. A ježto ABCD je čtyřúhelník v kruhu, protější úhly jeho rovnají se dvěma pravým (III. xxn). Jsou pak též <$.DBF'-(- DBE=2R; tedy úhly DBF -j- DBE = BAD -\- BCD, z nichž <£BAD, jak bylo dokázáno, roven úhlu DBF; tedy zbývající <£DBE= DCB, střídavě v kruhové úseči DCB.
Když se tedy bude kruhu dotýkati — —.
XXXIII. 1
Narýsuj na danépřímceúseč kruhovouobsahujíc úhel (obvodový) rovný úhlu danému přímkovému.
Danou přímkou buď AB, daným pak úhlem přímkovým <^C; tož má se narýsovati na dané přímce AB úseč kruhová obsahující
úhel stejný s <^ C.
Úhel C jest ovšem bud ostrý buď pravý bud tupý.
o) Bud nejprve ostrý a buď jako v prvním vyobrazení sestrojen na přímce AB a z bodu A *$.BAD=C, tedy též BAD jest ostrý. Vedena buď k DA kolmice AE a buď AB v F rozpůlena a z bodu F k AB sestrojena kolmice FG a spojnice GB.
A ježto AF=FB, společnou pak FG, obě patrně AF, FG rovnají se oběma BF, FG, a ~cj.AFG — BFG, tedy třetí AG —BG. Tedy kruh sestrojený ze středu G poloměrem GA půjde též bodem B. Buď sestrojen a budiž to ABE a vedena spojnice EB. Ježto tedy na konci průměru AE v bodě A vedena kolmice k AE, tedy AD se kruhu dotýká; ježto tedy kruhu ABE dotýká se nějaká přímka AD a z bodu dotyčného A do kruhu ABE vedena nějaká přímka AB, tedy <^.DAB = AEB, střídavě v úseči kruhové. Avšak -^.DAB = C, tedy též ^.C—AEB. Tedy k dané přímce AB narýsována úseč kruhová AEB, obsahující <£AEB rovný danému <^C.
b) Nuže buď již     C pravým, a buď opět úkolem na AB narý-
sovati úseč kruhovou obsahující úhel rovný pravému C.
Sestrojen buď ~£f.BAD = C, jak ukazuje vyobrazení druhé, a buď AB v B rozpůlena a ze středu F poloměrem FA nebo FB narýsován kruh AEB. Tedy přímka AD je tečná kruhu ABE, protože jC. A jest pravý, a <žf.BAD rovná se úhlu v úseči AEB, neboť též on je pravý, jsa na polokruží. Ale těž ^.BAD = C, tedy rovněž     AEB = C.
Tedy sestrojena jest opět úseč kruhová na AB obsahující <£ AEB rovný úhlu C.
c) Nuže bud již <^ C tupým, a sestrojen buď jemu rovný na přímce AB z bodu A, totiž BAD, jak ukazuje vyobrazení třetí, a k AD veďme kolmici AE a rozpolme opět AB v F a k AB veďme kolmicí FG a spojnici GB.
A ježto opět AF=FB a společnou FG, patrně AF, FG = BF, FG a <$AFG = BBG; tedy třetí AG = BG; tedy kruh narýsovaný ze středu G poloměrem GA půjde i bodem 5. Jdiž jako AEB. A ježto na konci průměru AE jest kolmice AD, jest tedy AD tečnou kruhu AEB. A z bodu dotyčného A vedena jest AB; tedy <$.BAD rovná se úhlu sestrojenému střídavě v úseči kruhové aHB. Avšak <$.BAD = O, tedy též úhel v úseči AHB—C.
Tedy na dané přímce AB narýsována jest úseč kruhová AHB obsahující úhel rovný úhlu C; což právě bylo vykonati.
XXXIV.
Odetniž od kruhu daného úhlu danému přímkovému rovný.
Daným kruhem buď ABC, daným úhlem přímkovým <~Í.D; tož má se od kruhu ABC odtíti úseč obsahující úhel úhlu danému přímkovému D rovný.
Veďme bodem B k ABC tečnou EF a sestrojme na přímce FB v bodě na ní B ^FBC=D.
Ježto tedy kruhu ABC dotýká se nějaká přímka EF a z bodu dotyčného B vedena BC, tedy <£F2?C rovná se úhlu sestrojenému střídavě v úsečí BAC, t. j.
obsahující úhel
■jCA. Avšak <$.FBC— D; tedy též úhel v úseči BAC rovná se úhlu D.
Tedy od kruhu  daného ABC odťatá jest  úseč BAC obsahující --.
v bodě E;
XXXV.
Když se v kruhu dvě přímky navzájem protínají, pravoúhelník sevřený úsečkami jedné rovná sepravo-úhelníku sevřenému úsečkami druhé.
Nuže v kruhu ABCD protínejte se dvé přímky AC, BD navzájem pravím, že pravoúhelník sevřený úsečkami AE, EC rovná se pravoúhelníku sevřenému úsečkami DE, EB.
Jdou-li ovšem AC, BD středem, tak aby E bylo středem kruhu ABCD; patrno, ježto AE = EC => DE — EB, že též pravoúhelník AD x EC — DE x EB (a).
Nejdětež tedy AC, DB středem, a vezměme střed kruku ABCD, a bud jím F (b), a z F ku přímkám AC, DB veďme kolmice FG, FH a spojnice FB, FC, FE.
A ježto nějaká přímka GF středem jdoucí na nějaké přímce mimostředné AC stojí kolmo, též ji půlí; tedy AQ — GC. Ježto tedy přímka AC rozdělena jest na díly stejné v G, na nestejné pak v E, tedy pravoúhelník AExECArEG* = GC* (II. v.); přičtěme společný GF"-; tedy AExECArGE*ArGF*=iCG*ArGF*. Avšak EG*ArGF* = FE* a CG* A- GF* = FC*: tedy AExECA-FE* = FC*, FC však = FB; tedy AEx EC -j- EF* = FB*- Z téže příčiny ovšem DE x EB -j- FE* = FB*. Bylo však dokázáno, že také AE x EC + FE* = FB*; tedy AEx EC-\-FE* — DE x EB -f- FE*. Odečteno bud společné FE*; tedy zbývající
AE x EC— DE x EB.
Když se tedy v kruhu
dvě přímky navzájem protínají, —
XXXVI.
Když se vezme nějaký bod vně kruhu a budou z něho nakruhdopadati dvě přímky a jedna z nich bude kruh proti nati, druhá pak se ho dotýkat i, pravoúhelník sevřený celou sečnou a úsečkou vnější mezi bodem a obloukem vypuklým bude se rovnati čtverci z tečné.
Nuže vezměme nějaký bod D vně kruhu ABC, a z Z) na kruh ABC dopadejte dvě přímky DCA, DB a DCA protínej kruh ABC, BD pak se ho dotýkej; pravím, že ADxDC — DB*.
DAC zajisté jde bud středem buď mimo. Jdiž nejprve středem, a bud F středem kruhu ABC, a veďme spojnici FB ; tedy <$.FBD = R. A ježto přímka AC v F jest rozpůlena a druží se  k ní CD, tedy AD x DC -f - FC*=FD* (I. vi.).^Cpak = FB; tedy AD x DC + FB* = FD*. Avšak FD* = FB* + BD*;   tedy ACxDCA-FB* = FB*A-BD":   Společný FB* odečtěme; zbývající tedy ADxDC rovná se čtverci z tečné DB.
Avšak již nejdi DCA středem kruhu ABC, a vezměme za střed E a veďme z E k AC kolmici EF a spojnice EB, EC, ED; tedy ^.EBD jest pravý. A ježto přímka nějaká středová EF ku přímce nějaké mimostředné AC stojí kolmo, též ji půlí; tedy AF — FC. A ježto přímka AC jest rozpůlena v bodě F a druží se k ní CD, tedy ADXDCA- FC* = FD*. Společným buď FE*; tedy AD X DC A- FC* A- FE* = FD*A-FE*. Avšak CB* + FE* = £C2, neboť FľFC = R;DF*A- FE* však = £I>2; tedy ADXDCA-EC* = ED*. Avšak EC=EB; tedy ADxZ>C-f JEfla= M)2. £D2 však = EB* + ÄD2, neboť EBD = R; tedy ADX.DC + EB* = EB*A\-BD*. Odečtěme společný EB*; zbývající tedy ADxDC= DB*.
Když se tedy vezme nějaký bod vně kruhu — —.
XXXVII.
Když se vezme nějaký bod vně kruhu a budou z něho na kruh dopadati dvě přímky a jedna z nich bude kruh p rotí nati, druhá pak hodosahovati^a pravoúhelník sevřený celou sečnou a úsečkou vnější mezi bodem a obloukem vypuklým bude se rovnati čtverci přímky dosahující, přímka dosahující bude se kruhu d o týk a t i.
Nuže vezměme nějaký bod D vně kruhu ABC a. z'D na kruh ABC dopadejte dvě přímky DCA, DB a DCA protínej kruh, DB pak ho dosahuj a  buď pravoúhelník AD X DC = DB* ; pravím, že DB dotýká se kruhu ABC.
Nuže veďme k ABC tečnu DE a vezměme střed kruhu ABC, a bud jím F, a veďme spojnice FE, FB, FD. Tedy ^FED — R. A ježto DE je tečná kruhu ABC, DCA pak sečná, tedy ADxDC = DE* (III. xxxvi.). A byl také ADxDC = DB*, tedy DE* — DB*, tedy DE=DB; také však FE = FB; tož DE, EF= DB, BF; a základna jejich společná FD; tedy *$.DEF—DBF. Avšak
so
BEF —R; tedy též ^.DBF—R. I jest FB, prodloužena jsouc, průměrem; přímka však na konci průměru kruhového kolmo vedená dotýká se kruhu; tedy DB je tečná kruhu ABC.
Podobný ovšem bude důkaz, když bude střed náhodou na AC.
Když se tedy vezme nějaký bod vně kruhu — —.
Kniha čftfríá. Výměry.
1. Pravíme, že obrazec přímkový do obrazce přímkového vpisujeme, když každý z úhlův obrazce vpisovaného dotýká se každé strany obrazce, do něhož jej vpisujeme.
2. Podobně pravíme, že obrazec kol obrazce opisujeme, když každá strana opisovaného dotýká se každého úhlu obrazce, kol něhož jej opisujeme.
3. Pravíme, že obrazec přímkový do kruhu vpisujeme, když každý úhel vpisovaného dotýká se obvodu kruhu.
4. Pravíme pak, že obrazec přímkový kol kruhu opisujeme, když každá strana opisovaného dotýká se obvodu kruhu.
5. Podobně pak kruh, jak pravíme, do obrazce vpisujeme, když obvod kruhu dotýká se každé strany obrazce, do něhož jej vpisujeme.
6. O kruhu pak pravíme, že jej kol obrazce opisujeme, když obvod kruhu dotýká se každého úhlu obrazce, kol něhož jej opisujeme,
7. O přímce pravíme, že ji do kruhu zapouštíme, když mezné body její jsou na obvodě kruhu.
I.
d
Zapusť do kruhu daného přímku danou ne větší
průměru kruhu.
Daným kruhem buď ABC, danou pak přímkou ne větší než průměr kruhu buď D; má se tedy do kruhu ABC zapustiti přímka přímce D rovná.
Veďme v kruhu ABC průměr BC. Jest-li ovšem BC= D, byla by úloha vykonána ; zapuštěna zajisté do kruhu ABC přímka BC stejná s D.
Pakli BC>D, buď CE=D, a z C rozpětím CE narýsujme EAF a veďme spojnici CA.
Ježto tedy bod C je středem kruhu EAF, jsst CA = CE. Avšak CE = D; tedy též D=CA.
Tedy do kruhu daného ABC--
ma
[tedy a ABC je stejnoúhlý kruhu ABC].
íí.
V piš do kruhu daného trojúhelník s daným trojúhelníkem stejnoúhlý.
Daným kruhem buď ABC, daným pak trojúhelníkem DEF; se tedy do kruhu ABC vepsati trojúhelník s daným trojúhelníkem stejnoúhlý.
Veďme ke kruhu ABC tečnou GH v A a sestrojme na přímce AH a v bodě na ní A *$HAC = DEF, na AG v bodě na ní A <^C GAB — DFE a spojnici BC.
Ježto tedy kruhu ABC dotýká se nějaká přímka AH a z bodu dotyčného A do kruhu vedena přímka AC, tedy *$.HAC = ABC střídavě v úseči kruhu (III. xxxii.). Avšak IIAC^DEF, tedy též
ABC = DEF.
Z téže příčiny ovšem též <£ACB=: DFE; tedy také zbývající <£BAC= EDF s trojúhelníkem daným a jest vepsán do
Tedy do kruhu daného jest vepsán -— —. .
III.
'Opiš kolem idaného kruhu trojúhelník s trojúhelníkem daným stejnoúhlý.
Daným kruhem buď ABC, daným trojúhelníkem DEF; má se tedy kolem kruhu ABC opsati trojúhelník s trojúhelníkem DEF stejnoúhlý.
Prodlužme EF na obě strany do bodu G, H a. za střed kruhu ABC vezměme K a. veďme libovolně přímku KB a sestrojme na přímce KB v bodě na ní K<$.BKA = DEG a <$.BKC = DFH a v bodech A, B, C veďme ke kruhu ABC tečné LAM, MBN, NCL.
A ježto LM, MN, NL kruhu ABC se dotýkají v bodech A, B, C a ze středu K k bodům A, B, C vedeny jsou KA, KB, KC, tedy úhly při bodech A, B, C jsou pravé. A ježto ve čtyřúhelníku AMBK čtyři úhly rovnají se čtyřem pravým a úhly KAM, KB M jsou pravé, tedy zbývající <^AKB + AMB=i2R. Jsou pak též ^DEGA-DEF=2R; tedy ^AKBA-
AMB = DEG-f-DEF, z nichž ~ý.AKB = DEG; tedy zbývající <$AMB= DEF. Podobně ovšem se dokáže,: že též -Č$.LN£=DFE; tedy zbývající <3ĺ M'LN— EDF". Tedy a LMN je stejnoúhlý s a DEF a jest opsán kolem kruhu ABC.
Kolem daného tedy kruhu jest opsán '--.
58
JV.
Do trojúhelníku daného vpiš kruh.
Daným trojúhelníkem bud ABC; má se tedy do trojúhelníku ABC yepsati kruh.
Úhly ABC, ACB buďte rozpůleny přímkami BD, CD a ty stýkejte se v bodě D, a vedeny buďte z D k AB, BC, CA kolmice DE, DF, DG.
A ježto *$.ABD = CBD, jest pak i BED = B FD = R; oba tedy trojúhelníky EBD, FBD mají po dvou úhlech stejných a jednu
stranu rovnou jedné straně, t. BD, která ležíc proti jednomu ze stejných úhlů jest jim společná; tedy též ostatní strany budou míti stejné se stranami ostatními; tedy DE = DF. Z téže příčiny ovšem též DG = DF. Tedy tři přímky DE, DF, DG jsou navzájem stejné; pročež kruh rýsovaný ze středu D rozpětím E (t. DE), F nebo G půjde též ostatními body a dotkne se přímek AB, BC, CA, ježto úhly při E, F, G jsou pravé. Neboť bude-li je protínati, dopadne kolmice na konci průměru kruhu sestrojená dovnitř kruhu; což, jak dokázáno (III. xvi.), jest nemožno; tedy kruh rýsovaný ze středu D rozpětím E neb F nebo G nebude protínati přímek AB, BC, CA; tedy se jich bude dotýkati a bude to kruh vepsaný do ABC. Vepsán bud jako FGE.
Tedy do daného trojúhelníku ABC jest vepsán — —.
V.
Kolem daného trojúhelníku opiš kruh. Daným trojúhelníkem buď ABC;  má se tedy kolem daného /\ ABC opsati kruh.
Přímky AB, AC buďte rozpůleny v bodech D, E a z bodů D, E k AB, AC vedeny kolmice DF, EF; tož se setkají buď uvnitř trojúhelníku nebo na přímce BC nebo vně BC.
a) Setkejte se nejprve vnitř v F, a veďme spojnice FB, FC, FA. A ježto AD = DB, společnou pak kolmice DF, tedy třetí AF — FB. Podobně ovšem dokážeme, že CF = AF, a tak též FB^FC, tedy všecky tři FA, FB, IC jsou si rovny. Tedy kruh rýsovaný ze středu F rozpětím A (t. FA) nebo B neb C půjde též ostatními body a opsán kruh kolem /\ ABC. Buď opsán jako ABC.
b) Avšak již stýkejte se DF, EF na přímce BC v F, jak naznačuje vyobr. druhé, a veďme spojnici AF. Podobně zajisté dokážeme, že bod F je středem kruhu rýsovaného kolem /\ ABC.
c) Avšak již stýkejte se DF, EF vně trojúhelníku ABC opět v F, jak naznačuje vyobr. třetí, a veďme spojnice AF, BF, EF. A ježto opět AD = DB, společnou pak kolmice DF, tedy třetí AF=BF. Podobně ovšem dokážeme, že též CF—AF, a tak též BF—FC; tedy kruh ze středu F rozpětím FA neb FB neb FC rýsovaný půjde též ostatními body i bude opsán kolem trojúhelníku ABC.
'• Tedy kolem daného trojúhelníku jest opsán kruh; což právě bylo vykonati.
Důsledek.
I jest patrno, že, když dopadá střed kruhu dovnitř trojúhelníku, <$.BAC, jsa právě v úseči nad polokruh větší, jest menší než pravý; když pak dopadá střed na přímku BC, <£BAC jsa právě v polokruží je pravý; když pak střed kruhu dopadá vně trojúhelníku, <§.BAC, jsa právě v úseči nad polokruh menší, jest větší než pravý.
VI.
Vpiš do kruhu daného čtverec,
Daným kruhem bud ABCD; má se tedy do kruhu daného ve-psati čtverec.
Veďme v kruhu ABCD dva průměry navzájem kolmé AC, BD a spojnice AB, BC, CD, DA. ^
A ježto BE=ED, neboť E je střed, a společnou kolmice E A, tedy třetí AB — AD. Z téže příčiny ovšem též BC, CD jednotlivě stejné jsou s AB, AD; tedy čtyřúhelník ABCD je stejnostranný. Pravím ovšem, že též pravoúhlý. Neboť ježto 2?K přímka BD je průměrem kruhu ABCD, tedy BAD jest polokruhem, pročež <$.BAD = R. Z též ovšem příčiny také každý z úhlův ABC, BCD, CD A jest pravý; tedy čtyřúhelník ABCD je pravoúhlý, dokázáno pak bylo, že též stejnostranný; je to tedy čtverec. Též je vepsán do kruhu ABCD. Tedy do kruhu daného — —.
VII.
Opiš kolem kruhu daného čtverec. Daným kruhem buď ABCD; má se tedy kolem kruhu ABCD opsati čtverec.
Veďme v kruhu ABCD dva průměry navzájem kolmé AC, BD a v bodech A, B, C, D veďme ke kruhu ABCD tečné FG, GH, HK, KF.
00
01
G
	E
	
D
c
K
Ježto tedy EG se dotýká kruhu ABCT) a ze středu E k bodu dotyčnému svedena spojnice E A, tedy úhly při .4 jsou pravé. Z téže
příčiny ovšem též uhly při bodech B, C, D jsou pravé. A ježto ^.AEB = R a též <$.EBG = R, tedy GH \\AG Z téže příčiny ovšem též AC\\FK. Pročež také GH\\ FK. Podobně ovšem dokážeme, že též GF, HK jsou s BET) rovnoběžné. Tedy GK, GC, AK, FB, BK1) jsou rovnoběžníky; tedy GF — HK, GH = FK. A ježto AC= BD, avšak též AC— GH = FK a B D = GF1— HK, tedy čtyřúhelník FQHK je stejnostranný. Pravím ovšem, že též pravoúhlý. Neboť ježto GBEA jest rovnoběžník a <£AEB=R, tedy též ■^.AGB = R. Podobně ovšem dokážeme, že též úhly při H, K, ľ jsou pravé. Tedy FGHK je pravoúhelník. Dokázáno však bylo, že také stejnostranný, tedy jest to čtverec. A opsán jest kolem kruhu ABCD.
Tedy kolem daného kruhu jest opsán čtverec;  což právě bylo vykonati.
VIII.
Vpiš do čtverce daného kruh.
Daným čtvercem buď ABCD; má se tedy do čtverce ABCD ve-psati kruh.
Buďtež AD, AB rozpůleny v bodech E, F, a z bodu E veďme EH\\AB nebo CD, z bodu F pak veďme FK\\AD nebo BC; tedy
AK, KB, AH, HD, AG, GC, BG, GD jsou samé rovnoběžníky a jejich protější strany patrně stejné. A ježto AD = AB a polovinou AD jest AE, polovinou pak AB jest AF, tedy AE— AF, a tak i protější; tedy FG = GE. Podobně ovšem dokážeme, že GH, GK jsou jednotlivě stejné s FG, GE; tedy GE == GF = GH — GK. Kruh tedy ze středu G rozpětím E n. F n H n. K rýsovaný půjde též ostatními body a přímek AB, BC, CD, DA bude se dotýkati, ježto úhly při E, F, H, K jsou pravé; neboť bude-li kruh AB, o BC,   CD,   DA  protínati,   přímka na
konci . průměru kruhu kolmo vedená dopadne dovnitř kruhu, což právě, jak bylo dokázáno, nemožno (III. xvi.). Tedy kruh ze středu G
E
	a
	1
D
b
K
H
') Stačilo uvésti, že gk jest rovnoběžník (k tomu viz I. xxxín.).
rozpětím E, F, H n. K rysovaný nebude protínati přímek AB, BC, CD, DA. Bude se jich tedy dotýkati a bude vepsán do čtverce ABCD, Tedy do čtverce, daného jest vepsán — —.
IX.
Opiš kolem daného čtverce kruh.
Daným čtvercem buď ABCD; má se tedy kolem čtverce ABCD
opsati kruh.
Nuže protínejte se spojnice AC, BD,
v E. A ježto DA — AB, společnou pak
AC,   obě   tedy  DA,  AC—BA,  AC a
základna DC — BC; tedy    DAC = BAC;
tedy <$.DAB přímkou AC je rozpůlen.
Podobně ovšem dokážeme, že též každý
z úhlův ABC, BCD,  CDA je rozpůlen B\
přímkami AC, DB. A ježto <$.DAB=ABC
^r,An DAB ^ Tin . ABC a      EAB =     — a     EBA = —--—
tedy též ^.EAB — EBA; a tak též strana EA = EB. Podobně ovšem dokážeme, že též E A — EC = ED,   EB—EC — ED.
Tedy EA — EB = EC—ED. Tedy kruh rýsován jsa ze středu E rozpětím A, B, C n. D půjde též ostatními body a bude opsán kolem čtverce ABCD. Buď opsán jako ABCD.
Tedy kolem daného čtverce opsán — —.
X.
Sestroj rovnoramenný trojúhelník mající úhly na základně jednotlivě dvakrát větší úhlu třetího.
Stranou buď nějaká přímka AB a bud rozdělena v bodě C tak, aby pravoúhelník AB x BC= CA* (dle II. xi.); a ze středu A rozpětím AB bud narýsován kruh BDE a zapuštěna bud do kruhu BDE přímka BD rovná přímce AC, ne větší než průměr kruhu BDE; i veďme spojnice AD, DC a opišme kolem /\ ACD kruh ACD.
A ježto ABxBC=AC* a AC—BD, tedy AB x BC — BD*. A ježto vzat jest nějaký bod B mimo kruh ACD a. z B na kruh ACD ^dopadají dvě přímky BA, BD, a jedna z nich jej seče, druhá ho dosahuje a ABxBC= BD*, tedy ÄD je tečná kruhu ACD (III. xxyviii.). A ježto tedy BD je tečná a z bodu dotyčného j9 vedena jest DC, tedy ^.BDC=.DAC
62
střídavě v úseči kruhu (III. xxxn.). Ježto tedy ~$.BDC = DAC, společným přičtěme CD A; tedy celý <$.BDA= CDA A- DAC. Avšak ^. CDA A-BAC —BCD vnějšímu; tedy též ^BDA — BCB. Avšak = CAD, ježto také strana AD — AB\& tak též DÄ4 = BCD. Tedy BBA = DBA = BCB. A ježto ^.BBC=BCB, též strana 5D = DC. Avšak BD vzata za stejnou s Cá; tedy též CA=CB; a tak také *$CBA = BAC, tedy *$.CDAArDAC=2 DAC. Úhel však BCD — CDA A-DAC; tedy též %JBO> = 2C4Z). Úhel však BCD — BDA = .DÄ4. Tedy <$BDA = 2DAB = DBA.
Tedy je sestrojen rovnoramenný A mající — —.
XI.
Vpiš do kruhu daného pětiúhelník stejnostranný a stejnoúhlý.
Daným kruhem buď ABCDE; má se tedy do kruhu ABCDE vepsali pětiúhelník stejnostranný a stejnoúhlý.
Vedle buď trojúhelník rovnoramenný FGH mající úhly při C, H jednotlivě dvakrát  větší  úhlu  při F,  a vpišme do  kruhu ABCDE
A ACD s A FGH stejnoúhlý, tak aby F = CAD  a. <$G, H byly stejné s <£ACD, CDA; tedy též <$.ACB, CDA jsou jednotlivě dvakrát větší než <$.CAD.
B'/     I    \     ^Aa? Tož úhly ACD, CDA rozpolme přím-
kami CE, DB a veďme spojnice AB, BC, DE EA.
Ježto tedy ^.ACB, CDA jsou jednotlivě dvakrát větší než CAD a jsou přímkami CE, DB rozpůleny, jest tedy pět úhlů DAC, ACE, ECD, CDB, BDA na--^vzájem sobě rovných. Stejné však úhly (zde všecky obvodové) stojí na stejných obloucích (III. xxvi.); tedy oblouky AB, BC, CD, DE, EA jsou si rovny. Stejným však obloukům náleží stejné tětivy; tedy tětivy AB, BC, CD, DE, EA jsou si rovny; pročež pětiúhelník ABCDE je stejnostranný. Pravítu ovšem, že též stejnoúhlý. Neboť ježto obi. AB—DE, společným buď obl. BCD; tedy celý oblouk ABCD = EDCB a na oblouku ABCD stojí ^.AED, na obl. EDCB <$BAE; tedy též <$.BAE=AED. Z téže příčiny ovšem též každý z ^.ABC, BCD, CDE rovná se kterémukoli z úhlů BAE, AED; tedy pětiúhelník ABCDE je stejnoúhlý. Dokázáno pak bylo, že též stejnostranný.
Tedy do kruhu daného vepsán jest — —.
XII.
Opiš kolem kruhu daného pětiúhelník stejnostranný a stejnoúhlý.
Daným kruhem bud ABCDE; má se tedy kolem kruhu ABCDE opsati pětiúhelník stejnostranný a stejnoúhlý.
Dejme tomu, že v pětiúhelníku vepsaném jsou body úhlů (vrcholy) A, B, C, D, E, tak aby oblouky AB, BC, CD, DE, EA byly stejné; a body A, B, C, D, E veďme tečné kruhu GH, HK, KL, EM, MG a za střed kruhu ABCDE vezměme F a veďme spojnice FB, FK, FC, FL, FD.
A ježto přímka KL dotýká se kruhu ABCDE v C a ze středu i* k bodu dotyčnému C.vedena spojnice FC, tedy FC \_KL; pročež oba úhly při C jsou pravé. Z téže příčiny ovšem též úhly při bodech B, D jsou pravé. A ježto <$.FCK=R, tedy FK'2 = FC*-\-CK*. Z téže příčiny ovšem též FK1 = FB* -j- BK*, takže FC^A-CK^ — FB*A-BK'\ z nichž FC2 = FB2; zbývající tedy CK* — BK-. Tedy BK=CK. A ježto FB = FC a společná FK, tedy BF, FK= CF, FK a základna BK= CK, tedy BFK = KFC a *$.BKF=FKC, tedy BFC = 2 KFC a BKC = 2 FKC. Z téže příčiny ovšem též CFD — 2 CFL a *$.DLC = 2FLC. A ježto obl. BC = CD, též <$.BFC=zCFD. I jest <$BFC = 2KFC a ~$.BFC = 2LFC; tedy *$KFC=LFC; avšak též *$FCK=FCL. Oba zajisté A FKC a FLC mají po dvou úhlech stejných a jednu stranu stejnou společnou FC; tedy též ostatní strany jejich budou rovny ostatním stranám a zbývající úhel úhlu zbývajícímu. Tedy KC=CL a. <$.FKC = FLC. A ježto KC—CL, tedy KL = 2KC. Týmž způsobem zajisté se dokáže, že též HG—2BK. \]zstBK=KC, tedy též HR = KL. Podobně ovšem dokážeme, že i každá ze stran HG, GM, ML každé ze stran GH, KL se rovná; tedy pětiúhelník GHKLM je stejnostranný. Pravím ovšem, že též stejnoúhlý. Neboť ježto <^FKC — FLC a dokázáno, že HKL = 2FKC a KLM— 2 FLC; tedy též HKL = KLM. Podobně ovšem dokážeme, že každý z úhlů KHG, HGM, GML roven každému z úhlů HKL, KLM; tedy GHK— HKL = KLM— LMG = MGH. Tedy pětiúhelník GHKLM je stejnoúhlý. Dokázáno však, že i stejnostranný, a opsán je kolem kruhu ABCDE.
Tedy kolem daného kruhu opsán jest — —.
64
6ft
XIII.
Do daného pětiúhelníku stejnostranného a stejno-úhlého vpiš kruh.
Daným pětiúhelníkem stejnostranným a stejnoúhlým buď ABCDE; má se tedy do pětiúhelníku ABCDE vepsati kruh.
Nuže rozpolme <$.BCD a CDE dvěma přímkami CF, DF a z bodu F, v němž přímky CF, DF se stýkají, veďme spojnice FB, FA, FE. A ježto BC — DC, společnou pak CF, tedy BC, CF=DC, CF i *$LBCF=DCF, tedy základna BF=zDF a ^BCF = DCF, i ostatní úhly budou rovny ostatním úhlům, proti nimž leží Stejné strany; tedy <$.CBF=CDF. A ježto <$CDE=z2CDF a CDE — ABC i CDFr= CBF, tedy též C&4 = 2 CBZ; tedy ABF— FBC; pročež <žf.ABC přímkou BF je rozpůlen. Podobně ovšem dokážeme, že též úhly BAE, AED přímkami FA, FE jsou rozpůleny, Veďme již
z bodu F ku přímkám AB, BC, CD, DE, EA kolmice FG; FH, FK, FL, FM. A ježto <$HCF=KCF a pravý ^FHC= FKC, tedy oba trojúhelníky FHC, FKC mají po dvou úhlech stejných a stejnou jednu společnou stranu FC proti jednomu ze stejných úhlů ležící; tedy též ostatní strany budou míti rovné ostatním stranám ; tedy kolmice FH—FK. Podobně ovšem dokážeme, že též každá z kolmic FL, FM, FG každé z kolmic FH, FK se rovná; tedy FG — FH= FK = FL =z FM. Tedy kruh z bodu í rozpětím G, H, K, L neb M rýsovaný půjde též ostatními body a bude se dotýkati přímek AB, BC, CD, DE, EA, ježto úhly při G, H, K, L, M jsou pravé. Nebo! nebude-li se jich dot3'kati, nýbrž bude je protínati, stane se, že kolmice vedená na konci průměru kruhu padne dovnitř kruhu; což dokázáno nemožným. Tedy kruh rýsovaný ze středu F a rozpětím G_, H, K, L neb M nebude protínati přímek AB, BC, CD, DE, EA; tedy se jich bude dotýkati. Buď narýsován jako GHKLM.
Tedy do daného pětiúhelníku stejnostranného — —.
XIV.
Kolem   d.aného   pětiúhelníku   stejnostranného a stejnoúhléhó  opiš kruh.
Daným pětiúhelníkem stejnostranným a stejnoúhlým buď ABCDE; má se tedy kolem pětiúhelníku ABCDE opsati kruh.
Rozpolme tedy úhly BCD, CDE přímkami CF, DF a z bodu F, v němž
se přímky stýkají, k bodům B, A, E veďme
spojnice FB, FA, FE.  Podobně ovšem
jako předešle (xhi.) dokážeme, že též
uhly CBA, BAE, AED rozpolují přímky
FB, FA, FE. A ježto ^BCD=CDE a
, p_n    BCD      v„nr,     CDE í J ^ FCD =        a     CDF= —tedy
FCD — FDC; a tak též strana FC—FD. 1'odobně ovšem dokážeme, že též FB,
FA, FE každá je stejná s FC i FD; tedy FA = FB = FC — FD = FE. Tedy kruh rýsovaný z bodu F a rozpětím FA,
FB, FC, FD neb FE půjde též ostatními body a bude ops opsán a budiž to ABCDE.
Tedy kolem daného pětiúhelníku stejnostranného
án. Bud
XV.
Do daného kruhu vpiš šestiúhelník stejnostranný i s t e j n o ú h 1 ý.
Daným kruhem buď ABCDEF; má se tedy do kruhu ABCDEF vepsati šestiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý.
Veďme v kruhu ABCDEF průměr AD a vezměme za střed kruhu G a ze středu D rozpětím DG narýsujme kruh EGCH a spojnice EG, CG prodlužme do bodů B, F a veďme spojnice AB, BC, CD, DE, EF, F A; pravím, že ABCDEF je šestiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý.
Neboť ježto bod G je středem kruhu ABCDEF, GE= GD. Dále, ježto bod D je středem kruhu GCH, DE=DG. Avšak dokázáno, že GE= GD; tedy též GE—ED; tedy /\EGD je stejnostranný; pročež také tři úhly jeho EGD, GDE, DEG jsou navzájem rovny, poněvadž v trojúhelnících rovno-ramenných (1. v.) úhly při základně jsou stejné2);
a tři úhly v trojúhelníku rovnají se dvěma pravým ; tedy <£EGD
2 R
Podobně ovšem dokážeme, že též *^.DGC =       A ježto CG nu MB
postavena jsouc, činí úhly stýkavé EGC-f- CGB = 2 R,  tedy též zbý-2 R
vající      CGB = -^-;  tedy úhly EGD, DGC, CGB jsou si rovny;
pročež také příslušné vrcholové úhly BGA, AGF, FGE jsou stejné. Tedy EGD — DGC— CGB = BGA = AGF= FGE. Stejné však úhly (středové) stojí na stejných obloucích; tedy oblouky AB, BC, CD, DĚ,
2) A egd je rovnoramený, ať základnou strana kterákoli. Rovností úhlů v /\, stejnostranném Eukl. dotud nedokázal. Mohla by se ovšem vyvoditi z I. XVIII.
5
67
06
EF, FA jsou stejné. Na stejných však obloucích jsou stejné tětivy; tedy šestiúhelník ABCDEF je stejnostranný.
Pravím ovšem, že též stejnoúhlý. Neboť ježto obl. FA = ED, společným přičtěmež obl. ABCD; tedy celý FABCD = EDCBA; a na obl. FABCD stojí FED (obvodoyý) a na obl. EDCBA ^ AFE; tedy ^.AFE^DEF. Podobně ovšem dokážeme, že též ostatní úhly šestiúhelníku ABCDEF jednotlivě stejné jsou s AFE i s FED; tedy šestiúhelník ABCDEF je stejnoúhlý. Dokázáno však bylo, že také stejnostranný; i jest vepsán do kruhu ABCDEF.
Tedy do daného kruhu vepsán šestiúhelník — —.
* Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že strana šestiúhelníku (pravidelného) rovná se poloměru kruhu.
Podobně pak, jako při pětiúhelníku, když vedeme v bodech kružnici rozdělujících ke kruhu tečné, opíšeme kolem kruhu šestiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý tak, jak pověděno jest při pětiúhelníku (IV. xii.). A také způsobem podobným tomu, co řečeno při pětiúhelníku (IV. xm. xiv.), do daného šestiúhelníku vpíšeme i kolem něho opíšeme kruh; což právě bylo vykonati.
XVI.
Do daného kruhu vpiš p at n á c t i ú h e 1 n í k stejnostranný i stejnoúhlý.
Daným kruhem bud ABCD; má se tedy do kruhu ABCD ve-psati patnáctiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý.
Vpišme  do kruhu ABCD stranu AC trojúhelníku stejnostranného do kruhu vpisovaného (srv. IV. u.), stranu pak .45 pětiúhelníku stejnostranného; jakých tedy úsečí má kruh ABCD patnáct, takových obl. ABC jsa třetinou kruhu, bude míti pět a obl. AB jsa pětinou kruhu, bude míti tři, tedy zbý vající BC stejných dvé. Rozpolme BC v E tedy obl. BE i CE jest patnáctinou kruhu ABCD.
Když- tedy spojíce B, E a E, C zapustíme nepřetržitě přímky jim-rovné do kruhu ABCD. bude do něho vepsán patnáctiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý3); což právě bylo vykonati.
Podobně pak jako při pětiúhelníku, když vedeme v bodech kružnici rozdělujících ke kruhu tečné, opíšeme kolem kruhu patnáctiúhelník stejnostranný i stejnoúhlý. Mimo to způsobem podobným tomu, jak ukázáno při pětiúhelnících, též do daného patnáctiúhelníku vpíšeme a kolem něho opíšeme kruh ; což právě bylo vykonati.
:') Ze je též stejnoúhlý, zde nedokázáno; způsob důkazu však snadno nalezneme v oddílech předešlých.
Jiné důkazy.
Kn. II. iv. Jinak.
Pravím, že AB* = AC* A-BC* -j- 2 ACX CB.
Neboť v temže vyobrazení (str. 27. t. d.), ježto BA —AD, tez uhel \BD — ADB a ježto v každém trojúhelníku tři úhly rovnají se dvěma pravým, tedy v & ADB tří úhly ADB A- B AD A- DBA = 2 R. Avšak *±BAD=zR,  tedy ostatní ABD -f ADB = 2R a jsou stejné, tedy
^.ABD=—=ADB. Úhel však BCG—R, neboť se rovná protějšímu ^" 2
(souhlasnému) -^.A; tedy zbývající <^.CGB = j, tedy    CBG= CCB
pročež i strana BC= CG. Avšak CB — GK a CG = BK, tedy CK je stejnostranný. Má však též <$CBK pravý; tedy CK je čtverec a je z CB. (Ostatek téměř slovo od slova stejný.)
Kn. III. vil.
Nebo též takto:
Veďme spojnici EK. A ježto QE—EK, společnou pak FE, i základna F G = EK, tedy <£: GEF— KEF, Avšak GEF=HEF, mens! většímu; což právě není možno. (Týká se části poslední.)
Kn. III. vin. Nebo též jinak.
Veďme spojnici MN. Ježto KM=MN, společnou pak MD, i základna DK=DN, tedy <£ KMD = DMN. Avšak *$KMD=BMD, tedy též BMD = NMD, menší většímu; coz pravé nemožno-(K poslední č.)
Kn. III. ix. Jinak.
Nuže v kruhu ABC vezměme nějaký bod uvnitř D a z D na kruh ABC dopadej  více   než dvé stejných přímek AD, DB, DC; pravím, že vzatý bod D je středem kruhu ABC.
Nuže nebuď, nýbrž, možno-li, bud jím
E a spojnice DE buď prodloužena do bodů p\--\G
F, G; tedy FG je průměrem kruhu ABC. Ježto tedy v kruhu ABC na průměru FG vzat jest nějaký bod, jenž ner;í středem kruhu, t. D, největší bude DO, DC pak > DB, DB > DA (III. vil.). Avšak jsou si též rovny; což právě jest nemožno; tedy E není středem kruhu ABC Podobne ovsem dokážeme, že ani jiný bod kromě D. Tedy bod D je středem kruhu ABC; což právě bylo dokázati.
Kn. III. x. Jinak.
Nuže opět kruh ABC protínej kruh DEF ve více než dvou bodech B, G, H, F a za střed kruhu ABC vezměme K a veďme spojnice KB, KG, KF.
Ježto tedy v kruhu DEF vzat nějaký bod uvnitř K & z K na. kruh DEF dopadá více než dvé stejných přímek KB, KF, KG, tedy <G bod K je středem kruhu DEF. Jest pak K také středem kruhu ABC; tedy dva kruhy navzájem se protínající mají týž střed K; což právě jest nemožno (III. v.). Tedy kruh protíná kruh ve více bodech než dvou ; což právě bylo dokázati.
Kn. III. xi.
Nuže již dopadej jako GFC, i prodlužme přímým směrem CFG do bodu H a veďme spojnice AG, AF.
Ježto tedy (AG-\-GF) > AF, avšak FA = FV= FH, společnou odečtěmež FG, tedy zbývající AG > GH, t. j. GD > GH, menší nad větší; což právě jest nemožno.
^ Podobně dokážeme nemožnost toho, i když střed kruhu většího je vně malého.
Kn. III. xxxi.
Jiný důkaz, že <$.BAC je pravý (vyobr. str. 51.).
Ježto <X AEC = 2BAE (je zajisté roven dvěma vnitřním protějším), jest uak též <$AEB = 2EAC; tedy <£ AEB -f AEC = 2 BAC. Avšak *$AEB-\-AEC=2R; pročež ^BAC jest pravý, což právě bylo dokázati.
Kniha pafá. Výmery.
1. Dílern veličiny větší jest veličina menší,  když veličinu větší doměřuje. *)
2. Násobkem pak veličiny menší jest větší, když ji menší doměřuje.
3. Poměrem jest nějaký vztah dvou stejnorodých veličin dle jejich kolikosti.
4. Pravíme, že k sobě mají poměr veličiny, které násobeny jsouce mohou býti jedna druhé větší.
5. Pravíme, že jsou veličiny v témž poměru k sobě, první ke druhé, a třetí ke čtvrté, když stejné násobky veličiny první a třetí nad stejné násobky druhé a čtvrté jsou dle jakékoli násobnosti bud1 jeden nad druhý zároveň větší buď zároveň stejné buď zároveň menší, jsouce vzaty ve vzájemném pořádku.2)
6. Veličiny mající týž poměr nazývejme úměrou (úměrnými).
7. Když ze stejných násobku násobek veličiny první jest větší než násobek druhé, násobek třetí však není větší než násobek čtvrté, tehdy pravíme, že první ke druhé jest v poměru větším než třetí ke čtvrté.
8. Úměra o trojím členství jest nejmenší.3)
9. Když jsou tři veličiny úměrou, pravíme, že se má první ke třetí jako dvojmoc první ke dvojmoci druhé.4) Když pak jsou čtyři veličiny (spojitě) úměrou, první má se ke čtvrté jako trojmoc první k trojmoci druhé, a tak stále po řadě týmž způsobem, jakoukoli máme úměrou.5) Pravíme, že souhlasnými veličinami (členy jsou přední s předními a zadní se zadními.
12. Střídavým poměrem je sdružení členu předního s předním a • zadního se zadním.6)
13. Zpětným poměrem je sdružení zadního na místě předním s předním na místě zadním.7)
14. Součetným poměrem je sdružení předního a spolu zadního se zadním samým.8)
15. Rozdílovým poměrem jest sdružení rozdílu, oč přední člen je větší zadního, se zadním samým.8)
10.
11
2) Stejný poměr tedy jest, když ma = nb a zároveň mc = nd, a: b — c : d.
3) Z a, b, c bude a : b = b : c.
, b2   a cŕ
4) a : b     ď: c, z toho a : c    a : b , nebot c = — , — = -rr, ■ ; /    ' a     c b1
c1        b"- b*
5) a : b — b : c = c : d, z toho a : d = cŕ : b3, neboť d——, c = —, c2 = —„ z toho ' b a a*
c2     &3 a      a? v
_= —, tedy — = - - ■.   Týmž způsobem  z úměry a:b — b : c = c: d — d: e bude .
b      a1 d b3
d1 b'1 b6
a: e —a*: b*, neboť e=—, c — — a dle předešlého zde (5.) výsledku dl = —,, z toho c a &
e      b*'
*) Míní se beze zbytku.
6) Z a, b, c, d budiž a : c == b : d.
7) b : a — d: c.
8) (a 4- b) :T{c -\-ď):d.
0) (a- V):b=(c — d):d.
70
71
16. Zvratným poměrem je sdružení členu prvního s rozdílem, oč přední člen je větší zadního.10)
17. Stejnořadným poměrem jest, jest-li více členův a jiné jim počtem rovné a berou-li se po dvou v témž poměru, když se má jako v prvních členech první k poslednímu, tak ve druhých členech první k poslednímu; nebo jinak: sdružení krajních s vypuštěním středních.11
18. Nestejnořadným poměrem jest, když jsou členy a-jiné jim počtem rovné a jako v prvních členech má se přední k zadnímu, tak ve druhých členech přední k zadnímu a jako v prvních členech zadní k jinému, tak ve druhých členech jiný ku přednímu 12)
I.
Když několik veličin několika veličin počtem stejných jest každá každé stejným násobkem, jakým násobkem jest jedna jedné, takým bude i součet součtu
Buď několik veličin AB, CD (dvě) několika veličin počtem stejných E, F každá každé stejným násobkem; pravím, že, jakým násobkem jest AB veličiny E, takovým bude AB-j-CD součtu EA-F.
Neboť ježto AB je stejným násobkem
_£_veličiny E jako CD veličiny F; tedy kolik
v AB jest veličin stejných s E, tolik i v CD stejných v F.  Rozdělme AB na
£V—-.-_   , veličiny stejné s E, totiž AG, GB; CD
pak na veličiny stejné s F, totiž CH, HD;
ri_^     ,/j       bude zajisté počet veličin AG, GB počtu
CH, HD roven. A ježto AG — Ea CH = F, tedy AGArCH—EArF. Z téže pří-
F>-1 činy GB = Ea GB -f- HD = EAr F. Tedy
kolik veličin jest v AB stejných s E, tolikéž i v ABA-CD stejných s E Ar F. Tedy jakým násobkem jest AB veličiny E, takovým bude též ABA-CD veličiny EA-F.
Tedy když několik veličin několika veličin — —.
II.
Když první veličina je stejným násobkem druhé j ako třetí čtvrté a pátá stejným násobkem druhé jako šestá čtvrté, též součet prvé s pátou bude stejným násobkem druhé jako součet třetí se šestou čtvrté.13)
Nuže buď první AB stejným násobkem druhé C jako třetí DE
l0) a : (a — b) = c : (c — d).
") Z a : b : c = a : p : f bude a : c — a : f (srv. V. xxil.
12) Z a, b, c; a, p, -f bude a: 6 = p : ^ i li : c = a : p átd. (srv. V. XXIII.)
'■*) a :b = c : d, e :b ==• /: d; bude (a 4- e) : b = {c -j- /) : d ; neboť bc = ad,
bf v de, sečtením bc -f bf—ad-\-de, z toho b (c = (c +/): d.
I {a -f- e), z toho (a 4- e) : b =
čtvrté veličiny F a buď také pátá BG stejným násobkem druhé veličiny C jako šestá EH čtvrté I; pravím, že též součet první a páté AG  bude   stejným  násobkem  veličiny g
druhé C jako součet třetí a šesté DH A'-1-1-1-1-G
veličiny čtvrté F. _
Neboť ježto AB je stejným násobkem    ' ~^
veličiny C jako DE veličiny F,   tedy j),-,-,-S.-,-,
kolik dílů má AB stejných s C, tolik též DE stejných s F. Z téže příčiny ovšem ' 'F kolik má jich BG stejných s C, tolik též EH stejných s F; tedy kolik je v celku AG stejných s C, tolik též v celku DH stejných s F; jakým tedy násobkem jest AG veličiny C, takovým bude též DH veličiny F. Tedy též součet první a páté AG bude stejným násobkem veličiny C jako třeti a šesté DH veličiny F.
Když tedy první veličina je stejným násobkem — —.
III.
Když první veličina je- stejným násobkem druhé jako třetí čtvrté a vezmeme stejný násobek první a třetí, bude též z obdržených po řadě násobků první stejn'ým násobkem druhé jako druhý čtvrté.14)
Nuže buď první A stejným násobkem druhé B jako třetí C čtvrté D a za stejné násobky veličin A, C vezměme EF, GH; pravím, že EF je stejným násobkem veličiny B jako GH veličiny D.
Neboť ježto EF je stejným násobkem veličiny A jako GH veličiny C, tedy kolik dílů má EF stejných s A, tolik též GH steiných s C. Rozdělme EF na EK, KF stejné s A, GH pak na GL, LH stejné s C; bude zajisté počet EK, KF s počtem GL, NH stejný. A ježto A je stejným násobkem veličiny B jako C veličiny D,  avšak EK—A a GL=C,
tedy EK je stejným násobkem veličiny _x_\J1
B jako GL veličinyZ). Z téže příčiny ovšem KF je stejným násobkem veličiny B jako LH veličiny D. Ježto tedy první EK je stejným násobkem veličiny druhé B jako třetí GL čtvrté D, jest pak i pátá KF stejným násobkem druhé B jako šestá LH čtvrté D, tedy též součet první a páté EF je stejným násobkem druhé B jako součet třetí a šesté GH čtvrté B (V. n.)
Když tedy první veličina je stejným násobkem — —.
IV.
Když se má první veličina ke druhé jako třetí ke čtvrté, též stejné násobky první a třetí ke stejným
O G-
K
*) a:b~ c: d, bude též na :b — nc : d.
72
7M
a
násobkům druhé a čtvrté dle jakékoli násobnosti budou, po řadě vzaty jsouce, mí ti týž poměr.15)
Nuže buď A: B = C: D a vezměme veličin A, C stejné násobky e, f a veličin B, D jiné jakékoli stejné násobky G, h;  pravím, že
e:Gz=:f:h.
Nuže vezmeme veličin e, f1 stejné i (   násobky K, l a veličin G, h jiné jaké-
'   1   ' koli stejné násobky M, N.
-A ježtô E je stejným násobkem ve-
M     t_| ličiny A jako f veličiny C a za stejné
q        d- násobky veličin e, f jsme vzali k, l,
tedy stejnými násobky jsou k veličiny i—i—i—JT   A a. l veličiny C. Z téže příčiny ovšem
,_,_£ je stejným násobkem M veličiny B jako
y N veličiny D. A ježto A:B—C:D a K,
' ' ' '       l vzaty jsou za stejné násobky veličin
A, C a za jiné jakékoli stejné násobky veličin B, D vzaty M, N, jest-li ovšem Ky-M, je též l>n, pakli stejné ono, stejné toto, pakli menší ono, menší toto. I jsou K, l veličin E, f stejnými násobky, jako M, N jinými nahodilými stejnými násobky veličin G, h; tedy e:G = f:h (srv. V. in.). Když se má tedy první veličina ke druhé---.
£
—-H
V.
Když jest veličina veličiny stejným násobkem jako část odečtená odečtené, též zbytek zbytku bude stejným násobkem jakým celá celé.10)
Nuže buď AB veličiny CD stejným násobkem jako část odečtená AE odečtené OF; pravím, že též zbytek EB bude stejným násobkem zbytku FD jako celek AB celku CD.
E Nuže jakým násobkem jest AE veličiny
41      '      *■-1—1—1—B CF, takovým násobkem buď též EB veli-
C     F - činy CG.
A ježto AE je stejným násobkem veličiny
CF jako EB veličiny GC, tedy AE je stejným násobkem veličiny CF jako AB veličiny GF (V. i.) Jest pak AE vzato za stejný násobek veličiny CF jako AB veličiny CD. Tedy AB je stejným násobkem veličiny GF i CD; tedy GF— CD. Odečtěme společné CF; tedy zbývající GC—FD. A ježto AE je stejným násobkem veličiny CF jako EB veličiny GC a GC = DE, tedy AE bude stejným násobkem veličiny CF jako EB veličiny FD. AE však vzato za stejný násobek veličiny CF jako AB veličiny CD; tedy EB je stejným násobkem veličiny FD jako AB veličiny CD. Tedy také zbytek EB bude stejným násobkem veličiny FD jako celek AB celku CD.
Když je tedy veličina veličiny stejným násobkem — —.
1') Z a: b — c : d bude awi: bu =s= :
'9 a:b = u:v; též bude (a — «) : (b — v) = a:b.
VI.
Když jsou dvě veličiny dvou veličin stejnými násobky a nějaké části od nich odečtené jsou týchž veličin (druhých) stejnými násobky, též zbytky týmž (druhým) veličinám bu ď jsou rovny nebo jsou stejnými jejich násobky.17)
Nuže buďte dvě veličiny AB, CD dvou veličin E, F stejnými násobky a části odečtené ag, CH buďte stejnými násobky týchž veličin E, F; pravím, že též zbytky gb, HD veličinám e, F bud jsou rovny buď jsou stejnými jejich násobky.
Nuže buď dříve gb — e;  pravím, že q a
téžHD^F. A' '
Nuže buď CK= F. Ježto ag je stejným   Eí_,
násobkem veličiny E jako CH veličiny F c S n
a gb veličiny e jako KC veličiny F; tedy   K-'-- 1  y-n
ab je stejným násobkem veličiny e jako _|
KH veličiny F. Vzali jsme však ab za ' ' stejný násobek veličiny e jako CD veličiny F; tedy KH je stejným násobkem veličiny F jako CD veličiny F. Ježto tedy KH i CD jsou stejnými násobky veličiny F, tedy KH— CD. Společným odečteno bud CH, tedy zbývající KC=^HD. Avšak F=KC, tedy též HD — F. Pročež jest-li gb = E, bude též HD = F.
Podobně ovšem dokážeme, i když gb je násobkem veličiny e, že též HD je týmž násobkem veličiny F.
Když jsou tedy dvě veličiny dvou veličin — —.
VII.
Stejné veličiny k témuž mají stejný poměr i totéž stejný k veličinám stejným.18)
Stejnými veličinami budtež A, B, jinou pak jakoukoli veličinou C; pravím, že A i B má k C týž poměr i C k A jako k B.
Nuže vezměme D, E za stejné násobky veličin A, B & z& jiný jakýkoli násobek veličiny C vezměme F.
Ježto tedy D je stejným násobkem veličiny A jako E veličiny B a A — B, tedy též D = E. A jinou veličinou jakoukoli jest F. Jest-li tedyZ>>/s téžE>F, pak-li D — F, též E=F, pak-li D<F, též E<^F. I jsou D, E stejné násobky veličin A, B; F pak jiným jakýmkoli násobkem veličiny C; tedy A: C = B:C.
Pravím, že též C19) k A i B má týž poměr.
") a: b = c : d, u : & = í) : dobude buď (a — u) — z>, (c — v) == á nebo (a — «) : & . (c — i/): d.
1S) Budiž a = «t, bude a : x <= fl, : -r a též x : a =- * : a, .
V orig. jest E; má býti patrně V. neboť tu se počíná druhý důkaz.
M
Neboť vykonajíce touž úpravu podobne dokážeme, že D —E. A jinou veličinou jest F; jest-li tedy F^D, též F=E. I jest F násobkem veličiny C, a D, E jinými jakýmikoli stejnými násobky veličin A, B; tedy C:A = C:B.
Stejné tedy veličiny k témuž mají — —.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že veličiny, když ■mají nejaký poměr k sobě, též opačně budou úměrný; což právě bylo dokázati.
VIII.
Z nestejných veličin větší k témuž má poměr větší než veličina menší; a totéž k menší má větší poměr
nežli k větš í.20)
a~ C-f-k-
E
G
,jj Nestejnými veličinami buďtež AB, C
a buď AB > C,  jinou pak jakoukoli bud  D;  pravím,  že AB-.D > C:D a n D:C>D:AB.
Neboť ježto AB > C, budiž BE=C. -1 Menší zajisté veličina než AE, EB násobena jsouc bude někdy větší než D. Bud dříve AE < EB, i bud AE znásobena, a násobkem jejím buď FG, větším než D, a učiňmež, aby FG : AE = G H: EB =
-' K: C, a buď L—2D, M— 3D a dále
y      i,,, vždy o D více, až veličina bude násobkem
veličiny D, a to prvním větším než K. I budiž to Ar a buď čtyřnásobkem veličiny D, a to prvním větším než K. Ježto tedy K jest menší než první N, tedy není K< M. A ježto
FG: AE — GH : EB,  tedy FG : AE = Ľ FH : AB, avšak FG : AE = K : C, tedy
FH-.AB — K: L. Tedy FH, K jsou stejné
c'-> násobky   veličin  AB,  C.    Dále, ježto
G jj. GH: E B — K: C a E B = C, tedy GH— K.
Avšak není K<.M, tedy není ani GH<M.
k'-'-' Avšak FG > D, tedy celá FH > (D -f- M).
Ale D-\-M—N, ježto právě M=3D a —' M+D = 4D, jest pak i N=z4D; tedy
__,_ M+D = N. Avšak FH> (MD), tedy
FH^>N. K však není větší než N. Jsou '      1      ' pak FH,  K stejnými   násobky veličin
,      ,      | AB, C a N jiným jakýmkoli násobkem
veličiny D; tedy AB:DyC:D. Pravím ovšem, že též D:C^>D: AB.
a
M-
s") Buď v ^> m, mimo to s; bude v : s > m : s. ale s : m > 5 : v.
7S
Neboť stejnou úpravu vykonajíce21) podobně dokážeme, že iV>/f, nikoli však N>FH. I jest N násobkem veličiny D a FH, A'jinými jakýmikoli stejnými násobky veličin AB, C; tedy D: C> D:AB. Ale již buď AE^>EB. Menší zajisté EB znásobena jsouc bude někdy větší než D. Buď znásobena, a bud GH násobkem veličiny EB, větším však než D; a buď GH: EB = FG : AE= K: C. Podobně ovšem dokážeme, že FH, K jsou stejnými násobky veličin AB, C; a vezměme podobně N za násobek veličiny D, první větší než FG; pročež opět neníFG<M. Avšak GH> D. Tedy celá FH>(Z> + M), t.j.FH>N. K však není větší než N, ježto právě též FG, větší jsouc než GH, t. j. K, není větší než N. A rovněž jako svrchu postupujíce dokončíme důkaz.
Tedy z nestejných veličin větší k témuž — —.
IX.
Veličiny mající k témuž týž poměr jsou si rovny a ke kterým totéž má týž poměr, ty jsou si rovny. Nuže měj každá z veličin A, B k C
týž poměr; pravím, že A — B. A'-£'-■—'
Neboť nebýti tak, neměla by každá
z veličin A, B k c poměru téhož;  má q,___
však; tedy A — B.
Měj již opět C k A i k B týž poměr; pravím, že A — B.
Neboť nebýti tak, nebyla by C k A i B v poměru témž; jest však, tedy A = B,
Tedy veličiny mající k témuž týž poměr — —.
X.
Z veličin k témuž poměr majících ta, jež má větší poměr, jest větší; ke které však totéž má větší poměr; t a j e s t menší.22)
Nuže buď A:Cy-B:C; pravím, že A > B. a •-1 -1
Neboť není-li tak, jest bud A — B buď
A < B. Není ovšem A = B, neboť A i B___,
by měla k C týž poměr (V. vil.); nemá
však; tedy není A—B. Ani zajisté není A<^B, neboť A by měla k C menší poměr než B k C (V. vin.); nemá však ; tedy není A < B. Dokázáno však, že nejsou ani stejné; tedy ^4> B.
Bud již opět C:B>C: A; pravím, že B < A.
Neboť není-li tak, buď B — A buď By A. Není ovšem B = A, neboť C by měla k A i B týž poměr; nemá však, tedy není B — A. Ani zajisté není B>A, neboť by bylo C.B <LC: A (V. vin.); avšak
S1) T. j. aby opět bylo ae \ a: n b : n, tedy a > b ; n
> eb.
: Ď > n: a, teey b <
76
77
není tak. Tedy není B^>A. Dokázáno však, že ani stejné nejsou; tedy B<A.
Tedy z veličin k témuž poměr majících — —.
XI.
Poměry témuž poměru rovné jsou si též navzájem rovny.
Nuže buď A:B=C:D a C:D = E:F; pravím, že A-.B=E:F
^,_, _,       _g,_, Nuže vezměme veličin A, C, E stejné
násobky G, H, K, veličin pak B, D, F
jiné jakékoli stejné násobky L, M, N. E' 1 v
A ježto A:B = C:D a za stejné ná-G II_i      K |   sobky veličin A, C vzali jsme G, H, ve-
ličin pak B, D jiné jakékoli stejné ná-X M N    sobky L, M, jest-li tedy G> L, je též
_—,—, ,—,—,—, H>M, a jest-li G = L, je H — M, a jest-li
G<L, je H<M. Ježto dále C:D=:E: F a za stejné násobky veličin C, E vzali jsme K, veličin pak D, F jiné jakékoli stejné násobky M. N, jest-li tedy H>M, je těžK>N, a jest-li H—M, je K=N, a jest-li H<M, je Z< 2v". Avšak byla-li veličina iř>M, byla též G > L, a byla-li H = M, tu též G = L, pakli i/<M, též G<L; pročež také jest-li G>L, je též K>N, pakli G=L, též K=N, pakli Q<L, též K<N. A G, K jsou stejnými násobky veličin yl, £ a i, Af jinými jakýmikoli stejnými násobky veličin i?, i*"; tedy A: B = E:F.
Tedy poměry témuž poměru rovné — —.
XII.
lik veličin úměrou, jako se má svému zadnímu, tak se bude mí ti
Když  jest n ě k o ! jeden člen přední ke součet předních k součtu zadních.
Buď úměrou několik veličin A, B, C, D, E, F, aby bylo A:B — D = E:F; pravím, že A : B=(A + CA-E): (B-\-D + F).
Nuže za stejné násobky veličin A, C, E vezměme G, H, K a veličin B, D, F jiné jakékoli stejné násobky L, M, N.
A ježto A : B = C :D = E: F a. za. stejné násobky veličin A, C, E vzali jsme G, H, K a veličin B, D, F jiné jakékoli stejné násobky L, M, N, tedy jest-li G>L, je též H>M a K> N, pakli G = L, je též H=^M a if=Ar, pakli G<K, též H< M, E<N. Pročež také jest-li G>L, je též (G-\-H4-K) > (L + MAr-N), pakli G = L, jsou součty stejné, pakli G<L, je první součet menší.   I jsou  G jakož i G-\-H-\-K
C
b-
G
£<—
JA-i
L
M
n
Hlojnými násobky veličina i A-\- G A- E, ježto právě, když je několik veličin několika veličin počtem stejných každá každé stejným násobkem, Jnkým násobkem jest jedna veličiny jedné, takovým bude též součet součtu (V. i.). Z téže příčiny ovšem též L a LA-MA- N jsou stejnými násobky veličina a BA-D + F; tedy A: B = {AA- GA-E):{B -f D + F). Když jest tedy několik veličin úměrou,--.
b*
XIII.
Když bude mí ti veličina první ke druhé týž poměr jako třetí ke čtvrté, třetí pak ke čtvrté bude míti poměr větší než pátá k šesté, též první ke druhé bude míti poměr větší než pátá k šesté.
Budiž A:B=C:D, avšak C:D> E:F; pravím, že též A:B>E:F.
Neboť ježto C, E mají nějaké stejné násobky a D, F jiné jakékoli stejné násobky a násobek veličiny
C jest větší než veličiny D,  násobek  ^,-,   q,-,    jgr,-,
však veličiny E není větší než veličiny F, vezměme stejné násobkyV veličin C, E a buďte jimi G, H, veličin pak D, F
jinými jakýmikoli stejnými násobky K,        M G H
L, tak aby byla G > K a nikoli H> L,   '     1     "      '      " ^~ a jakým násobkem jest G veličiny C, takovým bud též M veličiny A, a jakým K veličiny Z*, takovým bud též N veličiny B.
A ježto A:B=C:D a za stejné násobky veličin A, C vzaty M, G a veličin B, D za jiné jakékoli stejné násobky N, K tedy jest-li M>N je též G>K, pakli M—N, též G —K, pakli M<L, též G <K. Avšak G>K, tedy též M>N. Není však H>L\ a M, H jsou stejné násobky veličin A, E & N, L jiné jakékoli stejné násobky veličin B, F. Tedy A:B> E:F.
Když tedy bude míti veličina první ke druhé — —.
n
K
XIV.
Když bude míti veličina první ke druhé týž poměr jako třetí ke čtvrté, první však bude větší než třetí, též druhá bude větší čtvrté; a když stejná, bude stejná, a když menší, bude menší.
Nuže buď A: B=z O: D a bud A > C; pravím, že též B > D.
Neboť ježto A>C a jinou jakoukoli veličinou jest B, tedy A:B > C:B (V. vin.). Avšak A\B—C:D, tedy též C: D > C.B. K čemu však totéž má větší poměr, to jest menší; tedy D<B; pročež B>D.
Podobně ovšem dokážeme, když A A<C, že též B < D.
b-
C, že též B= D, a když
Když tedy bude míti veličina první ke druhé.
78
70
XV.
Části  mají po řadě vzaty jsouce   týž poměr jako stejné násobky.
Nuže buď AB stejným násobkem veličiny  C jako DE veličiny F; pravím, že C: F=AB: DE.
Neboť ježto AB je stejným násobkem veličiny Ca DE veličiny F,
tedy kolik veličin jest .v AB stejných s C,
A,-í-£-:J3Cl-, tolikéž v DE stejných s F. Rozdělme
AB v části AG, GH, HB stejné s C a DE v části DK, KL, LE stejné  s F. K   L Bude zajisté počet veličin AG, GH, HB
D'-1-1-,E      F'-' stejný s počtem veličin DK, KL, LE.
A ježto AG= GH = HB, je též DK = KL — LE; tedy AG:DK=GH:KL=HB:LE. Tedy jako se má jedna veličina přední ke své zadní, tak též součet předních k součtu zadních (V.xn.) tedy AG: DK-- AB: DE. Avšak AG -=C a DK= F. Tedy C:F-=AB:DE Tedy části mají po řadě vzaty jsouce — —.
■u?
úměrou,   také střídavě C, D, totiž A:B — C:D\
XVI.
Když jsou  čtyři veličiny budou úměrou (srv. vým. 12 )23.)
Buďtež úměrou čtyři veličiny A, B. pravím, že též střídvě bude A:C— B: D.
Nuže za stejné násobky veličin A, B, vezměme E, F, veličin pak C, D za jiné jakékoli stejné násobky G, H,
A ježto E je stejným   násobkem veličiny a jako F veličiny B a části mají týž poměr jako stejné násobky (V. xv.), tedy a :B = E:F.
Avšak A:B--=C:D, tedy též C:D = A>-' c-1       E:F. Dále, ježto G, H jsou stejné ná-
sobky veličin C, D, tedy C:D = G:H. Také však C:D = E:F, tedy též £:F= G : H. Když pak čtyři veličiny jsou úměrou, první však je větší než třetí, též druhá bude větší nežli čtvrtá; pakli stejná, stejná; pakli menší, menší. Jest-li tedy £>C, též F~z>H; pakli stejná, stejná; pakli menší, menší. I jsou E, F stejnými násobky veličin a, B a G, H jinými jakýmikoli stejnými násobky veličin C, D; tedy A:C = B:D.
K-
G-
Když jsou tedy čtyři veličiny úměrou
XVII.
Když jsou veličiny součetně úměrou, budou též rozdílově úměro u.24)
") Když a : b = c : d bude též a : c = b : d.
") K tomu viz vým. 14, a 15. Míní se takto: buď S = a-\-b, T=c + d; jest-li a-\-b) : b= (c-{-d): d, t. j. S; Ďs= T: d; bude též a : b = c : d, t. j. (S—b) ■:b =-{T—d) : d.
f
-z—d
H
k
O
M
n
Buďte součetně úměrnými veličinami   AB,  BF,  CD,  DF,   totiž A A B : B E = CD : DF; pravím, že též rozdílově bude AE: EB — CF: D F,
Nuže za stejné násobky veličin A E, EB, CF, FD vezměme G H, H K, IM, MN, veličin pak EB, FD za G jiné jakékoli stejné násobky KO, NP.
A ježto GH je stejným násobkem ^........
veličiny AE jako HK veličiny EB, ledy GH je stejným násobkem veličiny AE jako GK veličiny AB, a GH je stejným násobkem veličiny AE jako LM veličiny CF, tedy GK je stejným násobkem veličiny AB jako LM veličiny C ľ. Dále, ježto LM je stejným násobkem veličiny CF jako MN veličiny FD, tedy LM je stejným násobkem veličiny CF, jako LN veličiny CD. LM však bylo stejným násobkem veličiny CF jako GK veličiny AB; tedy GK je stejným násobkem veličiny AB jako LN veličiny CD. Tedy GK, LN jsou stejné násobky veličin A B, CD.
Dále, ježto HK je stejným násobkem veličiny EB jako MN veličiny FD a též KO stejným veličiny EB jako AT veličiny FD, též HO je stejným násobkem veličiny EB jako MP veličiny FD. A ježto AB: BE= CD: DF a za stejné násobky veličin AB, CD vzali jsme GK, LN a HO, MP za stejné násobky veličin EB, FD, tedy jest-li GK>HO, též LN>MP; pakli stejná, stejná; pakli menší, menší. Nuže budiž GK>HO, a odečteme-li společnou HK, tedy též GH> KO. Ale bylo-li GK> HO, byla též LN> MP; a odečteme-li společnou MN, tedy též LM> NP. Podobně ovšem dokážeme, když GH — KO, že bude též LM—NP, pakli menší, bude menší. A GH, LM jsou stejné násobky veličin AE, CF a KO, NP veličin EB, FD jiné jakékoli stejné násobky. Tedy AE: EB = CF: FD.
Když tedy jsou veličiny součetně úměrou — —.
XVIII.
Když jsou veličiny rozdílově úměrou, budou- též součetně úměrou.
Rozdílově úměrou buďte veličiny AE, EB, CF, FD, totiž AE:EL>= CF: FD; pravím, že budou též součetně úměrou, totiž AB:BE = CD: FD.
Neboť není-li AB:BE~CD:DF, bude se míti AB k BE jako CD bud k něčemu menšímu než DF nebo
většímu. ^-+Ĺ-1£
Měj se prve k menšímu DG. A }eitoAĚ:BE= CD: DG, veličiny součetně jsou úměrou, pročež ^
i rozdílově budou úměrou. Tedy AE:EB= c<-—:-1—i——tj)
CG: GD. Je však podmínkou, že též AE: EB —
CF:FD; také tedy CG : GD= CF: FD. Avšak první člen CG je větší než třetí CF; tedy též druhý GD větší než čtvrtý FD. Ale též menší,
Ví) Tohoto vyobr. ve vyd. Heibergově není; doplnil jsem tedy sám.
HO
r
což právě jest nemožno. Tedy AB k BE nemá se jako CD k menšímu než JFZ). Podobně ovšem dokážeme, že ani k většímu ; tedy právě k FD. Když jsou tedy veličiny rozdílově úměrou, — —.
XIX.
Když se má část k části jako celek k celku, též zbytek bude se mí ti ke zbytku jako celek k celku86.)
Nuže buď AE: CF=AB: CD; pravím, že bude též EB: FD = AB: CD.
Neboť ježto AE: CF = AB: CD, také střídavě BA: AE = DC:CF. A ježto sou-četně veličiny jsou úměrné, též rozdílově budou úměrné, totiž DF: CF=BE: EA, a střídavě EA:FC = BE: DF. Avšak podmínkou jest, že AB: CD = AE-.CF, tedy též zbytek EB bude se
E
->b
f
miti ke zbytku FD jako celek AB k celku CD.
Když se tedy má část k části jako celek k celku, — —.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, když jsou veličiny součetně úměrou, že též obráceně budou úměrou. [Což právě bylo dokázati].
XX.
Když jsou tři veličiny a jiné jim počtem rovné a jspu po dvoubrány jsouce také vtémž poměru, první však po řadě větší jest než tře tí, také čtvrtá bude větší než šestá, akdyž stejná budestejná a když menší bude
mens í.27) a*
/>>-
Třemi veličinami budtež A, B, C a jinými _   jim počtem rovnými D, E, Fa buďte po dvou brány jsouce v témž poměru, totiž A : B= D : E a B:C=E:F a bud po řadě A> C; pravím, že bude též D > F, a když J.= C, téžD — F, c<-•        f-.    a když a<C, též D<F.
Neboť ježto A > C a jinou nějakou veličinou jest B, větší k témuž má větší poměr než veličina menší, tedy A: B> C: B. Avšak A: B — D: E a obráceně C:B = F:E, tedy též D: E > F: E. Z veličin však k témuž poměr majících která má větší poměr, jest větší; tedy D>F. Podobně ovšem dokážeme, když A — C, že bude též D — F, a když A < C, též D< F.
Když tedy jsou tři veličiny a jiné jim počtem rovné — —.
2i) Buď M=- a + b, N'= c -\- d ; když a:c = M:N, bude též b : d = M: N.
!1) Buďtež a,b,c; d, e, f; buď a : b = d : e, b : c = e :/; jest \\ a = c, bude též d=f.
b^-
XXI.
Když jsou tři veličiny a jiné jim počtem rovné po dvou brány jsouce také v témž poměru a jest úměra jejich nestejnořadná, po řadě však jest první větší nežtřetí, také čtvrtá budevětšínež šestá a když stejná, bude stejná, a když menší, bude menší.28)
Třemi veličinami budtež A, B, C, a jinými jim počtem rovnými D, E, F a po dvou brány jsouce také v témž poměru, bud však úměra jejich nestejnořadná, totiž A :B — E:F a fí:C = D:E a po řadě buď A > C; pravím, že bude též D^> F, a když stejná, bude stejná, a když menší, bude menší.
Neboť ježto A > C, jinou pak nějakou veličinou B, tedy A:B>C:i?. Avšak A - B — E:F a obráceně C:B=E:D. Tedy též E:F >E:D. K čemu však totéž má větší poměr, to jest menší; tedy .F*CD, pročež O > F. Podobně ovšem dokážeme, když A = C, že též D — F, a. když A < C, že též D < F.
Když jsou .tedy tři veličiny a jiné jim počtem rovné --- —.
XXII.
Když jest několik veličin a jiné jimpočtemrovné po dvou brány jsouce také v témž poměru, též stejno řádně budou v témž poměru.29)
Bud několik veličin A, B, C a jiné jim počtem rovné D, E, F po dvou brány jsouce v témž poměru, totiž A:B = D:E a B: C—E: F; pravím, že též stejnořadně budou v témž poměru.
G-
k
M
Nuže za stejné násobky veličin A, D vezměme 6, H, veličin B, E za jiné jakékoli stejné násobky K, L a ještě M, N za jiné jakékoli násobky veličin C, F
A ježto A: B=D: E a G, H vzaty za stejné násobky veličin A, D a K, L za jiné jakékoli stejné násobky veličin B, E, tedy G:K=H:L. Z téže příčiny ovšem též K: M=L:N. Ježto tedy jsou tři veličiny G, K, M a jiné jim počtem rovné H, L, N po dvou brány jsouce také v témž poměru, tedy po řadě, jest-li G^> M, též H^N, pakli stejná, bude stejná, pakli menší, bude menší. I jsou G, H, veličin A; D stejnými násobky a M, N jinými jakýmikoli stejnými násobky veličin C, F, tedy A:C = D:F.
Když jest tedy několik veličin a jiné jim počtem rovné — —.
Z.
:d:e\ bude-li       c, bude téžd—f.
M) Búďtež a,b,c; d, e,f; buď o : b = e : /, b : c = 29) Buďtež a, b, c; d, e, f; jest-li u : 6     d : í, b : c = e:f, bude též a:c-=d:f.
7
Buďte tři veličiny A, B, C
XXIII.
Když jsou tři veličiny a jiné jim počtem rovné po dvou brány jsouce v témž poměru a mají úměru n es t e j n ořa dn o u, také stejnořadně v témž poměru budou.30)
a jiné jim počtem rovné po dvou brány jsouce v témž poměru D, E, F a mějtež úměru nestejnořadnou, totiž A: B = E:FnB: C = D:E; pravím, že A: C=Ľ: F.
Vezměme G, H, K za stejné násobky veličin A, B, D a L, M, N za jiné jakékoli stejné násobky veličin C, E, F.
A ježto G, H jsou stejné násobky veličin A, B a části mají se stejnými násobky týž poměr (V. x v.), tedy A:B = G:H. Z téže příčiny E:F=M:N; i jest A:B = E:F; tedy též G:H= M:N. C = D:E, též střídavě B:D=C:E. A ježto H, K jsou stejné násobky veličin B, D a části se stejnými násobky mají stejný poměr, tedy B:D — H:K. Avšak B:D = C:E, tedy též H:K=C:E. Dále, ježto L, M jsou stejné násobky veličin C, E, tedy C:E — L:M. Avšak C:E = H:K, tedy též H: K—L: M a střídavě H:L = K; M. Bylo pak dokázáno, že G:H—M:N. Ježto tedy jsou tři veličiny G, H, L a jiné jim počtem rovné K, M, N po dvou brány jsouce v témž poměru a mají úměru nestejnořadnou, stejnořadně tedy, jest-li G> L, je též K^>N, pakli stejná, stejná, pakli menší, menší. I jsou G, K stejnými násobky veličin A, D a L, N veličin C, i. Tedy A:C=D:F.
Když tedy   jsou tři veličiny a jiné jim počtem rovné — —
a'
ovšem též A ježto B
b-
E*-
ff>-
n
XXIV.
Když první veličina má kedruhé týž poměr jako třetí kečtrté a též pátá ke druhé má týž poměr jako šestá ke čtvrté, také součet první s pátou bude mí ti ke druhé týž poměr jako součet třetí se šestou ke čtvrté.31)
Nuže buď AB:C=DE:F a též BG: C = EH:F ■ též AG:C=DH:F.
pravím, ze
s») Buďtež a, b, c; d, e, /; jest-li a:b — e:f, b:c = d:e; bude též a:c = d:f.
31) Buďtež a, b, c; d, e, /; jest-li a : b = c : d, e:b=f:d, bude též (a 4- e) ■ b = +/) ■' d; neboť ad — bc, ed = bf, sečtením d (a -|- e) = * (c -|- /.)
b
E
Neboť ježto BG :C = EH:F, tedy obráceně C:BG~F:EH.
Ježto tedy AB: C = DE :F&C: BG — F: EH, tedy po řadě AB: BG = DE-.EH.
A ježto veličiny jsou úměrné rozdílově, též součetně budou úměrné (V.xviii); tedy AG:GB-=DH:HE.\ jest také BG :C=EH: F; tedy po řadě AG : C=DH:F (V. xxii.).
Když tedy první veličina má ke druhé týž poměr — —.
XXV.
Když jsou čtyři veličiny úměrou, ne j větší snej-menší jest větší než dvě ostatní.
Čtyřmi veličinami úměrnými buďtež AB, CD, E, F, totiž buď AB:CD = E:F, a největší z nich buď AB, nejmenší pak F; pravím, že {AB-\-F)>{CDArE).
Nuže dejme tomu, že E-= AG a F=CH*). Ježto   AB: CD =E:F  a E = AG a
F= CH, tedy AB: CD = AG: CH. A ježto A,-£—B(l-£-5
celek AB má se k celku CD jako část       E p
AG k části CH, tedy zbytek  GB bude    '-1 1-1
se míti ke zbytku HD jako celek AB k celku CD (V. xix.). Avšak AB > CD, tedy GB > HD (V. xiv.). A ježto AG=E a CH=F, tedy AGA-F=E-\-CH. A když GB, HD jsou nestejné a GB>HD a ku GB přičteme AG-\-F, k HD pak přičteme CH-\-E, vychází z toho (AB + F)>(CD + E)
Když jsou tedy čtyři veličiny úměrou — —.
Kniha šestá. Výměry.
1. Útvary přímkové jsou si podobny, které mají úhly jednotlivě stejné a strany při stejných úhlech úměrné.
2. [Zvratné (reciproké) jsou útvary, když v jednom i druhém z nich přední i zadní poměry jsoujf).
3. Pravíme, že přímka jest rozdělena poměrem krajním a středním, když větší úsečka má se k menší jako celá k většíff).
4. Výškou každého útvaru jest kolmice vedená od temene k základně.
5. [Pravíme, že poměr z poměrů se skládá, když hodnoty poměrů samy sobě násobky jsouce činí nějaký poměr]f).
*) Že ab jest největší, tedy též AB> e, to podmínkou; že cd>f, jde z úmery
(srv. V. XIV.). , , N       v „      ,   v ,
ý) Vým. 2. nepochází od Eukl., také nejasný (sry. ukol xiv.) Vymer 5. podvrzeny. •f-j-) Rozdělení »zlatým íezem«, kdež úsečka větší je střední úměrnou.
n veďme spojnice AO, Á
I.
Trojúhelníkyarovnoběžníky mající stejnouvýšku mají se k sobě jako základny.
Budtež trojúhelníky ABC, ACĎ a rovnoběžníky EC, CF o téže výšce AC; pravím, že základna BC má se k CD jako A ABC k A ACD a rovnoběžník ZíC k rovnoběžníku CF.
Nuže prodlužme 23Z? na obě strany do bodů H, L a mějme GH za r^vné základně 2JC a několik základně CZ> za rovné, t. DK, KL,
AH, AK, AL.
A ježto CB = BG= GH, také /\ AHG = AGB = ABC (I. xxxvm.). Tedy jakým násobkem základny BC je základna HC, takovým násobkem trojúhelníku ABC je též A AHC. Z téže příčiny ovšem, jakým násobkem základny CD jest AC, takovým násobkem trojúhelníku ACD je též A ALC; a jest li HC = CL. též A AHC = .4CZ, a jest-li ZZO CL, též A AHO ACL, a jest-Ii Z/C < CA též A AHC< ACL. Když tedy jsou čtyři veličiny, dvě základny BC, CD a dva trojúhelníky ABC, ACD, za stejné násobky zkladny BC a trojúhelníku ABC vzaty jsou základna HC a A AHC, základny pak CD a trojúhelníku ADC za jiné jakékoli násobky základna LC a A ALC; a dokázáno, že, jestli HO CL, též A AHO ALC, a jest-li stejná, stejný, a jest-li menší, menší; tedy BC: CD= ABC: ACD.
A ježto EC = 2ABC a FC = 2ACD (1. xxxiv.) a části mají se k sobě jako stejné násobky, tedy A ABC: ACD — EC: FC Ježto ovšem bylo dokázáno, že BC: CD = ABC: ACD a ABC: ACD = EC: CF, tedy též BC:CD = EC;FC.
Tedy trojúhelníky a rovnoběžníky mající  stejnou výšku — —.
II.
Když se v trojúhelníku zřídí k jedné straně rovnoběžka, protne strany (druhé) trojúhelníku úměrně; a když se strany trojúhelníku protnou úměrně, spojnice průsečíků bude rovnoběžkou (třetí) strany trojúhelník u.1)
Nuže veďme v A ABC k jedné straně BC rovnoběžku DE; pravím, že BD: DA= CE: EA.
Nuže veďme spojnice BE, CD.
Tedy /\BDE—CDE, neboť jsou na téže základně DE a mezi týmiž rovnoběžkami DE, BC. Jiná pak jakási veličina jest A ADE. Stejné však veličiny mají k témuž týž poměr; tedy {\ BDE: ADE — CLE: ADE. Avšak BDE: ADE— BD : D A; neboť majíce touž výškou
\) Druhá část jo pravdivá, jen když úměrné úsečky jsou stejnolehlé.
kolmici vedenou z E k AB mají se k sobě jako základny, příčiny ovšem C DE: ADE — CE: E A ; tedy též BD: D A = CE:
Ale buďte již strany AB, AC trojúhelníku ABC proťaty úměrně, BD : DA — CE:EA, a vedena spojnice DE; pravím, že jest DE\\ BC.
Neboť vykonáme^li touž úpravu, ježto BD -. D A = CE: EA, avšak BD:DA — A BDE: ADE a CE: E A = A CDE:ADE, tedy též BDE: ADE = CD E :ADE. Tedy /\BDE i CDE mají k ADE týž poměr. Tedy A BDE = CDE; a jsou na téže základně DE. Stejné však trojúhelníky a na téže základně jsou též mezi týmiž rovnoběžkami. Tedy DE || BC.
Když se tedy v trojúhelníku zřídí k jedné straně —
Z téže EA.
III.
Když se úhel trojúhelníku (na temeni) rozpůlí a přímka úhel rozpolující seče též základnu, úsečky základny budou mí ti týž poměr jako zbývající strany trojúhelníku; a mají-li úsečky základny týž poměr jako zbývající strany trojúhelníku, přímka vedená od vrcholu k průsečíku bude úhel trojúhelníku rozpo-1 o v a t i.
Trojúhelníkem buď ABC a <$.BAC buď přímkou AD rozpůlen; pravím, že BD : CD = BA : AC.
Nuže veďme z bodu C k DA rovnoběžku CE a prodlužmen BA do E. A ježto rovnoběžky AD, EC proťala přímka AC, tedy <$ACE = CAD. Avšak <£CAD vzat za stejný s BAD, tedy též BAD — ACE. Dále. ježto rovnoběžky AD, EC proťala přímka BAE, vnější <$.BAD = AEC vnitřnímu. Dokázáno pak, že též *$.AEC= BAD, tedy též ACE = AĚC ; pročež i strana AE—AC. A ježto v /\BCE k jedné straně EC vedena rovnoběžka AD, tedy BD: DC= BA : AE (VI. n.). Avšak AE = AC; tedy BD: DC= BA: AC.
Ale buď již BD:DC = BA:AC a veďme spojnici AD; pravím, že přímka AD <£BAC půlí.
Neboť vykonámc-li touž úpravu, ježto BD:DC=BA:AC, ale též BD: DC = BA: AE, neboť v A BCE jest EC\\ AD; tedy BA :AC = BA: AE. Tedy AC=AE; pročež i AEC=ACE. Avšak <$.AEC— BAD vnějšímu. Úhel však ACE=CAD střídavému; tedy též <^BAD=-= CAD. Tedy přímkou AD <$BAC rozpůlen.
Když se tedy (na temeni) úhel v trojúhelníku rozpůlí — —.
87
IV.
Vstejnoúhlých trojúhelnících úměrné jsou strany při stejných úhlech i stejnolehlé, které leží proti stejným úhlům.
Stejnoúhlými trojúhelníky bucľtež ABC, DCE a buď <$.ABC — DCE, *$BAC = CDE, -$.ACB—CED; pravím, že v trojúhelnících ABC, DCE úměrné jsou strany při stejných úhlech i stejnolehlé, které leží proti stejným úhlům.
Nuže BC bud s CE v přímce. A ježto (<£ ABC -f- ACB) < 2 R a -Š.ACB—DEC, tedy (<$.ABC-\-DEC) <2R, pročež BA, ED prodloužením se setkají. Buďte prodlouženy a stýkejte se v F.
F       A ježto <$DCE=;ABC, jest BF\\ CD. Dále, ježto ^.ACB=DEC, jest AC\\ FE. Tedv FACD jest rovnoběžník: pročež FA~=DC, AC = FD. A ježto v &FBE vedena   k   FE  rovnoběžka AC, tedy BA ;AF= BC : CE.   Avšak  AF = CD ; tedy   BA:CD = BC: CE   a střídavě AB:BC—DC:CE. Dále, ježto CD \\ BF, tedy BC:CE=FD: DE. Avšak FD — AC, tedy   BC : CE = AC : DE   a střídavě BC:CA = CF:ED. Ježto tedy dokázáno, že   AB\BC — DC:CE   a   BC: CA = '~    CD: DE (V. xxii.).
b c e
CE-.ED, stejnořadně tedy BA:AC
rp     , . ' --" \ " ■ AA.ll.;.
Tedy v stejnoúhlých trojúhelnících úměrné jsou strany -
V.
Když mají dva trojúhelníky strany úměrné, budou tý t r o j ú h e 1 n íky stejnoúhlé a budou míti ty úhly, stej n é, proti nimž leží stejnolehlé strany.
Buďtež ABC, DEF trojúhelníky majícími úměrné strany, totiž AB:BC — DE-.EF a BC:CA — EF:FD a též BA:AC=ED:DF; pravím, že A ABC je stejnoúhlý s A DEF a že úhly, proti nimž leží stejnolehlé strany, budou míti stejné, t. ABC = DEF, BCA = EFD, BAC — EDF.
Nuže sestrojme na přímce EF v bodech na ní E, F FEG = ABC a *$EFG = ACB, tedy zbývající *£f.A = G.
Tedy A ABC je stejnoúhlý s A EGF. Pročež v trojúhelnících ABC, EOF strany při stejných úhlech i stejnolehlé proti stejným úhlům ležící jsou úměrné; tedy AB:BC = GE:EF. Avšak dáno jest, že AB: BC — DE: EF; tedy DE-.EF—GE-.EF. Tedy DE, GE mají k E F týž poměr; pročež DE=GE. Z téže příčiny ovšem
i DF— GF. Ježto tedy DE = EG a společnou KF, dvě tedy DE, B F dvěma GE, EF jednotlivě rovny jsou, I i základna DF=FG; tedy DEF— GEF a A DEF= GEF i ostatní úhly rovny ostatním úhlům, proti nimž leží stejné strany. Tedy též <$.DFĚ—GFE a ~£f.EDF= EGF. A ježto FED = GEF, avšak GEF = ABC, tedy též <$ABC=-DEF. Z téže příčiny ovšem též <$.ACB=DFE a též <)./Í=Z>. Tedy A ABC je stejnoúhlý s A DEF.
Když tedy mají dva trojúhelníky strany úměrné — —.
ý
proti
VI.
Když mají dva trojúhelníky po jednou úhlu stejné: a strany při stejných úhlech úměrné, ty trojúhelník budou stejnoúhlé a budou míti ty úhly stejné, nimž leží stejnolehlé strany.
Budtež ABC, DEF trojúhelníky majícími jeden úhel BAC jednomu úhlu EDF rovný a při stejných úhlech úměrné strany, tak že BA: AC= ED : DF; pravím, že A ABC je s A DEF stejnoúhlý a bude míti ^.ABC stejný s DEF a     ACB s DFE.
Nuže bud sestrojen na přímce DF a v bodech na ní D, F<$.FD& kterémukoli z úhlů BAC, EDF rovný a <$.DFG rovný úhlu ACB, tedy zbývající <$.B = G. Tedy A ABC je s A DGF stejnoúhlý. Tedy BA:AC = GD:DF. Dáno však, žeBA:AC= ED: DF; tedy též ED: D F = GD: DF: Pročež ED = DG a společnou DF; obě tedy ED, DF rovny oběma  GD, DF
i <£EDF=GDF, tedy základnaEF=GFa &DEF= GDF, i ostatní úhly budou rovny ostatním, proti nimž leží stejné strany. Tedy <$.DFG = DFE, DGF=-- DEF. Avšak DFG = ACB, tedy též ^ ,4Cfi = ZJFJE. Dáno však, že též <$.BAC = EDF; tedy též zbývající <$.B=E; tedy A ABC je s trojúhelníkem DFjF stejnoúhlý.
Když tedy mají dva trojúhelníky po jednom úhlu — —.
VII.
Když majídvatrojúhelníky pojednom úhlustejnérri* strany pak při jiných úhlech úměrné, z ostatních pak úhlů jeden i druhý z á r o. v e ň buď menší nebo nemenší pravého, stejnoúhlé budou ty trojúhelníky a stejné budou míti ty úhly, při nichž úměrné jsou strany.
Buďtež ABC, DEF trojúhelníky majícími po jednom úhlu stejném, t. ~$.BAC= EDF, a při jiných úhlech ABC, DEF úměrné strany, AB- BC=DE: EF, z ostatních pak úhlů C, F dříve oba zároveň menší
pravého; pravím, že /\ABC s DEF je stejnoúhlý i bude <£ABC = DEF i patrně úhel zbývající C = F.
Neboť není-li ABC = DEF, jeden z nich je větší. Větším bud *$.ABC I sestrojme na přímce AB a v bodě na ní B<^.ABG = DEF. A ježto = D a<i ABG =DEF, tedy zbývající <£.4G5 = DFE.Tedy /\ABGje s <DEFstejnoúhlý; pročež AB : BG = DE: EF. Dáno však, že DE:EF=AB:BC, tedy A# má ku i ku 56r týž poměr; tedy BC= BG. Protož i ^C = BGC. Dáno však, že <$C< R; tedy též <$.BGC<R; pročež úhel jeho vedlejší AGB > R. I dokázáno, že roven úhlu F; tedy též <^.F> R. Dáno však, že jest pravého menší; což právě nesrovnalost. Tedy není <$.AfíC nestejný s DEF, tedy je stejný. Jest pak i <$.A==D, tedy též zbývající
<C = # TedyA^-BCs-D.^ je stejnoúhlý.
Nuže již dejme tomu, že zase i i <$.F není pravého menši; pravím opět, že též takto /\ABC je s A DEF stejnoúhlý.
Neboť vykonáme-li touž úpravu, podobně dokážeme, že BC=BG; pročež i <$C=BGC. Avšak <$.C není menší než pravý, tedy ani BGC není pravého menší. Tedy v A BGC dva úhly nejsou menší dvou pravých; což právě nemožno. Tedy opět ABC není nestejný s <£ DEF; tedy je stejný. Jest pak i ^£fiA-=D; tedy zbývající <$'C = F. Pročež     ABC a DEF jsou stejnoúhlé.
Když tedy mají dva trojúhelníky po jednom úhlu stejném--.
VIII.
Když se v pravoúhlém trojúhelníku vede od pravého úhlu na základnu kolmice, trojúhelníky při kolmici jsou podobny celému i navzájem.
Pravoúhlým trojúhelníkem buď ABC a jeho pravým úhlem BAC a veďme z A k BC kolmici AD; pravím, že a ABD i a ADC jsou podobny trojúhelníku ABC i také navzájem.
Neboť ježto <£BAC=ADB, neboť oba uravé, a společným obou trojúhelníkův ABC i ABD jest ^ 5, tedy zbývající <J ACB == B AD; tedy £\ ABC s a ABD je stejnoúhlý; tedy l>C proti pravému úhlu v a ABC má se k BA proti pravému úhlu v /\ABD jako sama A8 proti C v a ABC k BD proti stejnému ~$.BAD v a ABD a rovněž jako AC: AD proti <$.B, oběma trojúhelníkům společnému. Tedy A ABC s ABD je stejnoúhlý a má strany při stejných úhlech úměrné.
Tedy A ABC ~ ABD. Podobně ovšerr^dokážeme, že též A ADC^ABC; a tak ABD i ADC podoben je celému ABC.
Pravím ovšem, že a ABD a a ADC A jsou si také navzájem podobny.
Neboť ježto BDA = R~<±. ADC, avšak zajisté dokázáno, že též BA D = C, tedy také zbývající B = DAC; pročež a ABD s a ADC je stejnoúhlý.    Tedy   jako   se   má BD proti
HAD  v a ABC k DA  proti C
-----    A    AT>r      ta t   Hama   /\ J)
HAD v  A ABC k DA   proti C (= JlBAD) v a ADC,  tak sama AD proti v a       ' k -DC
nroti äiMC v a^ZX;,  stejnému s a rovnez jako BA . AC
pľoä útlum pravým ; tedy A ABD ^ A ADC.
Když'se tedy v pravoúhlém trojúhelníku —
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že, když se v pravoúhlém trojúhelníku
od úhlu pravého vede k
základně kolmice,  kolmice ta je střední
úměrnou úseček základny ; coz se pr
ávě mělo dokázati.
IX.
Od přímky dané odřízni určenou několikátou část Danou přímkou buď AB;  má se tedy od přímky AB určená několikátá část odříznouti.
Určena tedy buď třetina. Veďme z A nějakou přímku AC. aby s AB svírala jakýkoliv úhel, a vezměme na AC jakýkoli bod D a buď AD = DE°= EC, i veďme spojnici BC a z D rovnoběžku k ní DF.
Ježto tedy v a ABC k jedné straně BC vedena rovnoběžka FD. tedy CD.DA = BF: FA, avšak CD =2 D A, tedy též BF=2 FA ; pročež BA = 3 AF.
Tedy od přímky dané AB odříznuta---
X.
Danou přímkou nerozdělenou rozděl podobně dané
^^nlr'přímkou nerozdělenou buď AB, AC pak rozdělenou a bodech A S  a postaveny buďte tak, aby svíraly jakýkoliv uhel,
00
S't
a vedena bud spojnice CB a z D,E, vedeny buďte rovnoběžky s BC, totiž DF, EG, a z D rovnoběžná s AB, t. DHK.
Tedy FH i HB jsou rovnoběžníky; pročež DH—FG, HK=GB. A ježto v Z^DKC k jedné straně KC vedena rovnoběžka HE, tedy CE: ED KH: HD. Avšak KH = BG a HD-GF. Tedy CE:£D = BG: GF. Dále ježto v [\AGE k jedné straně (?£ vedena rovnoběžka FA tedy ED: DA = GF: FA. Dokázáno pak, ieCE-.ED—BQ: GF; tedy C/í: JS7?= 5<?:      a ED.DA^ GF: FA.
Tedy daná přímka nerozdělená AB rozdělena jest
XI
Dány-li dvě přímky,  najdi třetí s
nimi úměrnou. Danými dvěma přímkami buďte BA, AC a buďte sestaveny,  aby svíraly jakýkoliv úhel. Má se tedy ku  přímkám BA, AC nalézti třetí úměrná.
Nuže prodlužme je do bodů D, E a buď AC— BD a veďme spojnici BC a z D k ní rovnoběžku DE.
Ježto tedy V A ADE k jedné straně DE vedena rovnoběžka BC, AB: BD = AC: CE. A BD-AC, Tedy AB: AC— AC: CE.
Dány-li tedy dvě přímky AB, AC nalezena — —.
XII.
Ke třem daným  přímkám  najdi  úměrnou čtvrtou.
Danými třemi přímkami buďtež A, B, C; má se tedy k A, B, C nalézti čtvrtá úměrná.
Stranou buďte dvě přímky DE, DF a svírejte úhel EDF, a buď A-— DG, B=GE, C = DH; a ke spojnici GH buď vedena z E rovnoběžka EF.
Ježto tedy v [\ DEF k jedné straně E F vedena rovnoběžka GH, tedy DG-.GE^ DH : HF. Avšak DG = A, GE^ B a DH=C; tedy A:B-=C:HF.
Ke třem tedy daným přímkám A, B, C nalezena — —.
2) Ve vyd. Heibergově přímky a, b, c. při XI., náleží však patrně ke XII.
XIHT~
Ke dvěma daným přímkám najdi střední úměrnou.
Danými dvěma přímkami buďtež AB, BC; má se tedy k AB, BC nalézti střední úměrná.
Buďte v přímce, a na AC narýsujme polokruh ADC a veďme z bodu B na přímce AC kolmici BD a spojnice AD, DG
Ježto <£ADC je v polokruží, jest pravý. A ježto v pravoúhlém /\ADC od pravého úhlu na základnu vedena kolmice, tedy DB je střední úměrnou úseček základny AB, B C (VI. vin. důsl.).
Ke dvěma tedy daným přímkám AB, BC nalezena — —.
XIV.
Ve stejných a stejnoúhlých rovnoběžnících strany při stejných úhlech jsou k sobě v poměru obráceném; a rovnoběžníky stejnoúhlé, jichž strany při stejných úhlech jsou k sobě v poměru obráceném, jsou si r o v ny.
Stejnými a stejnoúhlými rovnoběžníky buďtež AB, BC a mějte stejné úhly při B, a DB, BE buďte v přímce, tedy v přímce jsou též FB, BG. Pravím, že v AB, BC strany při stejných úhlech jsou k sobě v obráceném poměru, t. j. že DB: BE— GB: BF.
Nuže doplňme rovnoběžník EF. Ježto tedy AB = BC a jest mimo to FE, tedy AB : FE — BC: FE. Avšak AB: FE = DB: BE a BC: FE= GB: BF (VI. i.). Pročež také DB:BE — GB:BF. Tedy v rovnoběžnících AB, BC jsou strany při stejných úhlech v obráceném poměru.
Avšak  buď již DB: BE = GB:BF: pravim, že AB = BC.
Neboť ježto DB: BE — GB: BF, avšak DB: BE — AB: FE a GB:BF—BC:FE,
tedy též AB: FE — BC: FE; pročež AB = _
BC. a d
Tedy ve stejných a stejnoúhlých rovnoběžnících — —.
XV.
Ve stejných trojúhelnících, jež mají po jednom úhlu stejném, strany p ř i s t e j n ý c h ú h 1 e c h mají poměr obrácený; a trojúhelníky, jež mají po jednom úhlu stejném a jichž strany při stejných úhlech mají poměr obrácený, jsou si rovny.
Stejnými trojúhelníky buďtež ABC, ADE a buď -^BAC = DAE;
pravím, že v trojúhelnících ABC, ABE strany při stejných úhlech jsou k sobě v poměru obráceném, t. j. že CA: AD = EA : AB.
Nuže buďte položeny tak, aby CA s AD byla v přímce; v přímce je tedy též EA s AB. I veďme spojnici BD.
Ježto a ABC — ADE a jiný jest B AD, tedy CAB : B AD — E AD :BAD. Avšak CAB:BAD= CA: AD a E AD: B AD = EA.AB. Tedy CA:AD = EA:AB. Tedy v trojúhelnících ABC, ADE strany při stejných úhlech jsou k sobě v obráceném poměru
Nuže již buďte v a ABC, ADE strany v obráceném  poměru,  a to CA : AD = EA.AB; pravím, že a ABC — ADE. Neboť  vedeme li   opět spojnici BD, ježto CA:AD — EA:AB, avšak CA: AD = BAC: B AD, a EA:AB= EAD: BAD; tedy ABC: BAD = EAD :BAD. Tedy oba a ABC, EAD k BAD mají týž poměr. Tedy ABC= EAD.
Tedy ve stejných trojúhelnících, jež mají — —.
XVI.
Když jsou čtyři přímky úměrou, p r a v o ú h e 1 n í k objímaný krajními rovná se pravoúhelníku objímanému středními; a když p r a v o ú h e 1 n í k objímaný krajními rovná se pravoúhelníku objímanému středními, ty čtyři přímky budou úměrou.
Buďtež úměrou čtyři přímky AB, CD, E, F, totiž AB: CD = E: F; pravím, že pravoúhelník z AB, F rovná se pravoúhelníku z CD, E.
Veďme z bodů A, C ku přímkám AB, CD kolmice AG, CH a bud AG = F a CH — E, i doplňme rovnoběžníky BG, DH.
A ježto AB: CD=E:F a E=CH, F=AG, tedy AB:CD= CH:AG. Tedy v rovnoběžnících BG, DH strany při stejných úhlech3) jsou k sobě v poměru obráceném. Ve kterých však stejnoúhlých rovnoběžnících strany při stejných úhlech mají k sobě poměr obrácený, ty jsou si rovny (VI. xiv.); tedy BG — DH. 1 jest BG z AB. F, neboť AG = F, a DH z CD, E, nebof E = CH.  Tedy pravoúhelník z AB, F rovná se pravoúhelníku z CD, E.
Avšak již buď pravoúhelník z AB, F roven pravoúhelníku z CD, E; pravím, že ty čtyři přímky budou úměrou, t. AB: CD = E: F.
'■') Všecky rovnoběžníky lze zajisté proměniti v stejnoúhlé.
Neboť vykonáme-li touž úpravu,'ježto ABx F—CDx E a ABxF jest BG, neboť AG^F, a CDx E jest DH, neboť CH=E; tedy li(r=DH, a jsou stejnoúhlé. V rovnoběžnících však stejných a stejnoúhlých strany při stejných úhlech mají se k sobě v obráceném poměru. Tedy AB.-CD- CH: AG. Avšak CH=E, AG = F ; tedy AB: CD-^E: F.
Když jsou tedy čtyři přímky úměrou, pravoúhlelník--.
XVII.
Když jsou tři přímky úměrou, pravoúhelník objímaný krajními rovná se čtverci ze střední; a když pravoúhelník objímaný krajními rovná se čtverci ze střední, ty tři přímky budou úměrou.
Buďtež úměrou tři přímky A, B, C, t. A:B = B:C; pravím, že pravoúhelník z A, C rovná se čtverci z B.
BudD = B. A ježto A:B=~B: C a B= D, a' 1
tedy A:B=D:C.   Když pak jsou čtyři _ _^
přímky  úměrou,  pravoúhelník  z krajních b' 1 '
rovná se pravoúhelníku ze středních; tedy
AxC^BxD. Avšak BxD = B*,  neboť c--'
B-D; tedy AxC = B2.
Avšak již buď AxC^B1; pravím, že A:B = B:C.
Neboť vykonáme-li touž úpravu, ježto Ax C = B2, avšak B* = BxD, neboť B = D, tedy 4x C=BxD. Když pak pravoúhelník z krajních roven provoúhelníku ze středních, ty čtyři přímky jsou úměrou. Tedy A:B = D:C. Avšak B-=D; tedy A:B=B-C.
Když jsou tedy tři přímky úměrou, pravoúhelník — —.
XVIII.
Na dané přímce narýsuj útvar přímkový danému útvaru přímkovému podobný a podobně položený (stejnolehlý).
Danou přímkou buď AB a daným útvarem přímkovým CR; má se tedy na přímce AB narýsován' útvar přímkový, útvaru CE podobný a podobně položený.
Veďme spojnici DF a zřiďme na přímce AB a v bodech na ní A, B úhel GAB—C a <£ABG = CDF. Tedy zbývající ^.CFD— AGB; pročež /\FCD je s /\ GAB stejnoúhlý. Tedy FD: GB =FC:GA == CD:AB. Opět zřiďme na přímce BG a v bodech na ní B, G <$.BGH= DFE a GBH = FDE. Tedy zbývající <$.E = H; pročež /\FDE s a GBH je stejnoúhlý; tedy FD: GB = FE:GH=ED:HB. Dokázáno pak, že
ióžFD: GB—FC: GA= CD: AB; tedy též .- -
FC: AG — CD -. AB=FE: GH= ED: HB.   c D A u
A ježto <čí.CFD=AGB a <$DFE=BGH, tedy celý CFE^AGH.
94
Z téže příčiny ovšem též <$.CDE=ABH; jest pak též ^C=A a H. Tedy AH s Gžľ je stejnoúhlý, a mají strany při stejných úhlech úměrné. Tedy útvar přímkový AH jest podoben útvaru přímkovému CE.
Tedy na dané přímce AB narýsován útvar přímkový — —.
XIX.
Podobné trojúhelníky mají se k sobě jako dvoj-moci stejnolehlých stran.4)
Podobnými trojúhelníky buďtež ABC, DEF a buď ^B=.E a AB : BC = DE : EF, takže BC je stejnolehlá s EF; pravím, že A ABC:DEF = BC*:EF2,
Nuže vezměme k BC, EF za třetí úměrnou BG, tak aby byla BC: EF= EF.-BG, a veďme spojnici AG.
Ježto tedy AB: BC = DE: EF, tedy střídavě   AB: DE = BC: EF. —- Avšak BC:EF=EF:BG. Tedy též AB: DE = EF : BG;' tedy^ v  trojúhelnících ABG, DEF strany  při stejných  úhlech jsou k sobě v obráceném poměru. Trojúhelníky pak mající po jednom úhlu stejném, když strany jejich při stejných úhlech mají k sobě poměr obrácený, jsou stejné. Tedy A ABG = DEF (VJ. xv.). A ježto BC:EF= EF:BG a když jsou tři přímky úměrou, první má se ke třetí jako čtverec prvé ke čtverci druhé (V. vým. 9.), tedy BC: BG = BC*:EF*. Avšak CB : BG = A ABC : ABG;   tedy též   A ABC : ABG = BC* : EF*. A A ABG = DEF; tedy též /\ ABC: DEF= BC*: EF*. Tedy podobné trojúhelníky mají se k sobě — —.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, když tři přímky jsou úměrou, že se má první ke třetí jako útvar z první k útvaru z druhé podobnému a podobně sestrojenému.5)
XX.
Podobné mnohoúhelníky rozdělují se v t roj úhelníky podobné a počtem rovné i s celky stejnolehlé; a mnohoúhelník má se k mnohoúhelníku (podobnému) jako dvojmoci stejnolehlých stran.
4) Eukl. dí: Iv StrJaolovt Xó^tp žott, t. j. M: N= ax a : b xb.
Slovem útvar (sl8oj) dle výkladu předcházejícího míní se čtverec; důsledek však nevysvítá z výkladu, nýbrž zakládá se na vým. 9. knihy V., pravdivém, ale nedokázaném.
Podobnými mnohoúhelníky búďtěž ABCDE, FGHKL a buď Afi stejnolehlou s FG; pravím, že mnohoúhelníky ABCDE, FGHKL rozdělují se v trojúhelníky podobné a počtem rovné a s celky stejno lehlé, a že ABCDE: FGHKL = AB*:FG"-.
Veďme BE, EC, GL, LH.
A j ežto ABCDE ~ FGHKL, BAE= GFL, a BA: AE = GF: FL. Ježto tedy dva trojúhelníky ABE, FGL mají po jednom úhlu stejném a strany při stejných úhlech úměrné, tedy /\ABE je s A FGL stejnoúhlý, pročež i podobný; tedy A ABE — FGL. Jest pak i celý <^EBC — FGH pro podobnost mnohoúhelníků, tedy zbývající <$.EBC= LGH. A ježto A ABE~FGL a proto EB: BA = LG: GF, avšak zajisté též pro podobnost mnohoúhelníkův AB: BC= FG : GH, tedy po řadě EB:BC-^LG:GH i strany při stejných úhlech EBC, LGH jsou úměrné; tedy A BBC s LGH je stejnoúhlý, pročež i A EBC ~ LGH. Z téže příčiny ovšem též A ECD ^ LHK. Tedy podobné mnohoúhelníky ABCDE, FGHKL rozdělují se v trojúhelníky podobné a počtem rovné.
Pravím, že také s celky stejnolehlé, t. j. tak, že úměrné jsou trojúhelníky a předními členy jsou ABE, EBC, ECD a jejich zadními FGL, LGH, LHK, a že ABCDE má se k FGHKL jako dvojmoci stejnolehlých stran t. j. AB2 ku FG*.
Nuže veďme spojnice AC, FH. A ježto pro podobnost mnohoúhelníkův ABC=FGH a AB: BC" FG: GH, A ABC s FGH]e stejnoúhlý ; tedv <$BAC = GFH a <$BCA = GHF. A ježto BAM= GFN a též<£ ABM= FGN, tedy též zbývající <)_AMB = FNG. Tedy {\ABM\e s FGN stejnoúhlý. Podobně ovšem dokážeme, že též A BMC s GNH je stejnoúhlý. Úměrou tedy jest AM: MB = FN: NG a BM: MC= GN: NH; protož také po řadě AM: MC=FN: NH. Avšak AM: MC= ABM: MBC-= AME: EMC, neboť mají se k sobě jako základny. Tedy též jako se má jeden z předních členů k jednomu zadnímu, tak součet předních k součtu zadních; tedy A AMB: BMC = ABE: CBE. Avšak AMB: BMC = AM:MC; tedy též AM: MC= A ABE: EBC Z téže příčiny ovšem též FN:NH = FGL: GLH. I jest AM: MC= FN: NH; tedy též AABE:BEC= FGL-.GLH a střídavě A A BE: FGL = BEC: GLH. Podobně ovšem dokážeme zřídíce spojnice BD, GK, že též BEC: LGH= ECD : LHK. A ježto A ABE: FGL = EBC: LGH a rovněž ECD: LHK, tedy též jak se má jeden přední k jednomu zadnímu členu, tak součet předních k součtu zadních; tedy A ABE: FGL = ABCDE: FGHKL. Avšak AABC:FGL = AB*:FG* — strany stejnolehlé čtverec ke čtverci strany stejnolehlé—; neboť podobné trojúhelníky mají se k sobě jako čtverce stejnolehlých stran (VI. xix.). Tedy také ABCDE : FGHKL = AB* : FG*.
Tedy podobné mnohoúhelníky rozdělují se — —.
Důsledek.
A rovněž tak i o čtyřúhelnících dokážeme, že se mají k sobě jako čtverce stejnolehlých stran. Dokázáno pak to také   o trojúhel-
0(1
87
ničích; pročež i vůbec podobné útvary přímkové mají sek sobě jako čtverce stejnolehlých stran; což právě bylo dokázati.6)
XXI.
Útvary témuž útvaru přímkovému podobné jsou též navzájem podobné.
Nuže buďtež oba útvary přímkové A, B útvaru C podobny; pravím, že též A^B.
Ježto totiž A cv C, jsou stejnoúhlé a mají strany při stejných úhlech úměrné. Dále, ježto B<*>C, jsou stejnoúhlé a mají strany při stejných úhlech úměrné. Tedy A i B jsou s C stejnoúhlé a mají s ním strany při stejných úhlech úměrné (pročež i A s B je stejnoúhlý a mají při stejných úhlech úměrné strany). Tedy A™ B, což právě bylo dokázati.
XXII.
Když jsou čtyři přímky úměrou, též přímkové útvary na nich podobné a podobně sestrojené budou úměrou; a když přímkové útvary na nich podobné a podobně sestrojené budou úměrou, též přímky samy bud o u úměrou.
Čtyřmi přímkami úměrnými buďtež AB, CD, EF, GH, totiž AB: CD = EF:GH, a narýsujme na AB, CD útvary přímkové podobné
a podobně položené KAB, LCD a na EF, GH podobné a podobně položené MF, NH; pravím, že KAB : LCD = MF:NH.
Nuže za třetí úměrnou přímek AB, CD vezměmež O a přímek EF", GH za třetí úměrnou P. A ježto AB : CD = EF: GH a CD:0= GH:P">), tedy po řadě AB:0= EF: P (V. xxn.). Avšak AB:0 — KAB:LCD&EF:P= MF: NH8); tedy KAB: L CD — MF: NH.
Avšak bud již KAB: LCD =-~- MF: NH; pravím, žc též AB: CD = EF: GH. Neboť není-li AB: CD = EF: GH, buď AB: CD= EF:QR, a narýsujme na QR útvar přímkový SR útvaru MF i NH podobný a podobně položený.
9 Následuje ještě druhý důsledek, avšak nepochybně není Eukleidův. 7) ab : cd = cd : o, ef: gh = gh: p, a ježto ab : cd » ef: gh.   z toho cd:0 = gh:p.
s) To jde z úměr ab: cd = cd: o, ef: gh=* gh: p (VI. XIX. důsl.).
Ježto tedy AB:CD==EF:QR a narýsovány na AB, CD útvary podobné a podobně položené KAB, LCD a na EF, QR podobné a podobně položené MF, SR, tedy KAB: LCD — MF: SR. Podmínkou však, že též KAB: LCD = MF : NH; tedy též MF: SR = MF: NH. Tedy MF i k NH i k SR má týž poměr; tedy NH=SR. Jest pak mu i podoben i podobně položen; tedy GH—QR. A ježto AB:CD = EF: QR a QR = GH, tedy AB: CD=EF: GH.
Když jsou tedy čtyři přímky úměrou, též přímkové — —.9)
XXIII.
Stejnoúhlé rovnoběžníky mají se k sobě jako poměry jejich stran.10)
Stejnoúhlými rovnoběžníky buďtež AC, CF, tak že <$.BCD = ECG; pravím, že AC má se k CF jako poměry jejich stran.
Nuže bud BC s CG v přímce; tedy v přímce je též DG s CE. I doplňme rovnoběžník DG a buď vedle nějaká přímka K a buď BC:CG = K:L a DC:CE= L:M.
Tedy poměry K:L a L:M      A D H
jsou stejné s poměry stran BC: CG a DC:CE.  Avšak poměr K:M
je složen z poměrů K:L a L:M,     (_,_.
proto též K k M má poměr slo-    b ^ ' k
žený z poměrů stran.11) A ježto BC:CG=-AC:CH, avšakBC:CG=*
K:L,  tedy též K:L = AC:CH. / / M
Dále, ježto DC: CE = CH: CF, avšak DC:CE=L:M, tedy též
L:M=CH:CF. Ježto tedy dokázáno, že K:L = AC:CH a L:M= CH-.CF, tedy po řadě K:M=AC:CF. Avšak K k M má poměr složený z poměrů stran, tedy též AC k CF má poměr složený z poměrů stran.12)
Tedy stejnoúhlé rovnoběžníky mají se k sobě jako poměry jejich
stran
XXIV.
V každém rovnoběžníku jsou rovnoběžníky, jimiž prochází úhlopříčka, podobny celému i sobě navzájem.
'■>) Následuje ■■výtěžek* (X^(i(iaJ, avšak nejspíše nikoliv Eukleidův.
1C) Míní se strany při stejných úhlech, aby krajními i vnitřními členy byly strany téhož rovnoběžníku.
,   bc    k   ce m ") Eukl. í% Tffiv rcXeupfiv m. ěx iu>v t&v rcXsupffiv (sc. Xó-jtov). — *= —, — = — •
bc ce tedy k:m=w:-čď.
12) ac: cf=-£q- ^g- Určitěji bylo by (též v záhlaví; ac: cf jako součiny vlastních stran při stejných úhlech, t. ac: CF=BCX cd:cex^g.
Bud rovnoběžníkem ABCD, úhlopříčkou jeho AC a rovnoběžníky, jimiž neprochází, budtež EG, HK; pravím, že EG i HK jsou podobny celému ABCD i sobě navzájem.
Neboť ježto v £\ABC k jedné straně BC vedena rovnoběžka EF, úměrou BE:EA—CF:FA. Dále ježto v /^ACD k jedné straně CD vedena rovnoběžka FG, úměrou CF:FA = DG: GA.
Avšak dokázáno, že CF:FA = BE:EA; tedy téžBE:EA = DG:GA, tedy též součetně BA: AE= DA: AG (V. xvm.) i střídavě BA: AD =
EA: AG. Tedy v rovnoběžnících ABCD, EG strany při společném úhlu BAD jsou úměrné. A ježto GF\\DC, ^.AFG^DCA, a <X DAC oběma /\,ADC, AGF společný; tedy A ADC je s AGF stejnoúhlý. Z téže příčiny ovšem též A ACB je stejnoúhlý s A AFE, i celý rovnoběžník ABCD je s EG stejnoúhlý. Tedy úměrou AD: DC= D       K c   AG: GF& DC: CA= GF:FA &AC:CB =
AF:FE a rovněž CB: BA = FE: EA. A ježto že dokázáno, DC: CA = GF: FA a AC: CB = AF: FE, tedy poradě DC: CB = GF: FE. Tedy v rovnoběžnících ABCD, ĚG strany při stejných úhlech jsou úměrné, tedy ABCD ^ EG. Z téže příčiny ovšem též ABCD ^ KH. Tedy EG i KH jsou podobny rovnoběžníku ABCD. Útvary však témuž útvaru přímkovému podobné jsou i navzájem podobny (VI. xxi.), tedy též EG~HK.
V každém tedy rovnoběžníku jsou — —.
XXV.
Sestav útvar přímkový danému podobný  a jinému danému spolu rovný.
Daným útvarem přímkovým, jemuž má se podobný sestaviti, bud
ABC, a kterému rovný, buď D; má se • tedy sestaviti útvaru ABC podobný a zároveň útvaru D rovný.
Nuže přistavme si k BC rovnoběžník BE stejný s A ABC a k CE rovnoběžník CM stejný s D v ^FCE, jenž roven úhlu CBL. Tedy jest BC s CF v přímce, LE pak s EMla). A k BC, CF buď střední úměrnou GH, a na GH narýsujme A KGH trojúhelníku ABC podobný a podobně položený.
A ježto BC: GH= GH-.CF a když jsou tři přímky úměrou, první má se ke třetí jako útvar z první k útvaru z druhé podobnému a podobně sestrojenému (VI. xix. důsl.), tedy BC:CF= A ABC: KGH. Avšak též BC: CF= BE: EF. Tedy také A ABC: KGH=
IS) Třeba totiž be i ef tak sestrojiti (I. XLIV. n.).
BE: EF; pročež střídavě ABC: BE — KGH: EF. Avšak ABC = BE, tedy též KGH=EF. Avšak EF— D, tedy též KGH= D. A jest i KGH~ ABC Tedy sestaven jest útvar přímkový danému podobný — —.
XXVI.
Když se od rovnoběžníku oddělí rovnoběžník celému podobný a podobně položený, mající s ním společný úhel, máscelýmtoužúhlopř íčku.
Nuže od rovnoběžníku ABCD oddělme rovnoběžník AF celému ABCD podobný a podobně položený, mající DAB sním společný pravím, že ABCD má s AF touž úhlopříčku.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li, budiž úhlopříčkou AHC, a prodloužíce GF veďme do í/ a bodem H veďme HK\\ AD n BC.
Ježto tedy ABCD má s KG touž úhlopříčku, tedy DA: AB = GA: AK. Avšak ABCD ~ EG a proto DA:AB = G A : AE; tedy též G A: AK= G A : AE. A tak GA i k AK i k AE má týž poměr. Tedy AE=AK, menší stejná s větší, což právě nemožno. Není tedy možno, by ABCD a AF neměly téže úhlopříčky; tedy rovnoběžník ABCD má s rovnoběžníkem AF touž úhlopříčku.
Když se tedy od rovnoběžníku oddělí — —.
XXVII.
Ze všech rovnoběžníků k téže p ří m c e p ři s t a v e ný c h, jimž scházej í14) doplňovací rovnoběžníky podobné a stejnolehlé s tím, jenž sestrojen jest na polovině, nej-větší jest rovnoběžník přistavený kpolovině, podobný doplňku.
Přímkou buď AB a buď rozpůlena v C, a ku přímce AB^bud přistaven rovnoběžník AD, tak aby mu scházel doplňovací rovnoběžník DB, sestrojený na polovině přímky AB, t. j. na CB; pravím, že ze všech rovnoběžníků přistavených k AB, jimž scházejí doplňovací útvary podobné a stejnolehlé s DB, největší jest AD.
Nuže přistavme ku přímce AB rovnoběžník AF, jemuž schází doplněk FB podobný a stejnolehlý s DB; pravím, že AD> AF.
Neboť ježto DB~FB, mají touž úhlopříčku. Veďme jejich úhlopříčku DB a útvar linkami vyznačme. Ježto tedy CF= FE (I, xliii.), společným pak FB, tedy celý CH—
lt) Totiž do zabrání celé přímky.
100
101
KE, Avšak CH — CG, ježto též AC— GB. Tedy též CG = KE. Společným bud CF; tedy Ař7roven je soudelníku LMN; pročež DB, t. j. AD > AF16) Ze všech tedy rovnoběžníků k téže přímce — —.
XXVIII.
Přistav k dané přímce rovnoběžník útvaru danému přímkovému rovný, aby mu scházel doplňovací rovnoběžník danému podobný; daný však útvar přímkový nesmí býti větší než útvar (rovnoběžník) sestrojený na polovině, doplňku podobný.
Danou přímkou bud AB, daným pak útvarem přímkovým, jemuž rovný má se k AB přistaviti, bud C, ne větším než sestrojený na polovině přímky AB, doplňku podobný, útvarem pak, jemuž podoben má býti doplněk, buď D; má se tedy k dané přímce AB přistaviti rovnoběžník danému útvaru přímkovému c rovný, aby mu scházel doplňovací rovnoběžník danému D podobný.
Nuže rozpolme AB v bodě E a narýsujme na EB EBFG útvaru
D podobný a podobně položený a doplňme rovnoběžník AG.
Jest-li ovšem AG=C, úkol byl by vykonán; neboť k dané přímce AB jest přistaven rovnoběžník AG rovný danému útvaru přímkovému c, jemuž schází doplňovací rovnoběžník GB, podobny útvaru D. Pakli tomu jinak, buď BE> C. HE však = GB; tedy též GB > c. Oč tedy GB je větší než C; tomu rozdílu rovný a útvaru D rovněž podobný sestavme KLMN. Avšak D<*> GB, tedy též KM^GB. Stejnolehlou tedy buď KL s GE a LM GF. A ježto GB = C Ar KM, tedy GB > KM, pročež také GE> KL a G F > LM. Buď GO — KL & GP = LM, i doplňme rovnoběžník OGPQ; tedy GQsáKM. Tedy též GQ™ GB; pročež GQ a GB mají touž úhlopříčku. Úhlopříčkou jejich bud GQB, i vyznačme útvar linkami.
Ježto tedy GB = C Ar KM, z čehož GQ=KM, tedy zbývající soudélník UXV = C. A ježto PR = OS (I. xliii,), společným buď QB; tedy celý PB=OB. Avšak OB = TE, ježto také strana AE=EB; tedy též TE—PB. Společným buď OS; tedy celý TS rovná se celému soudelníku UXV. Avšak dokázáno, že UXV—C; tedy též TS=C. Tedy k dané přímce AB přistaven rovnoběžník — —.
XXIX.
Přistav k dané přímce rovnoběžník obrazci danému přímkovému rovný, přesahující o útvar rovnoběžníku danému podobný.
1:i) Totéž podobně dokázati lze o každém jiném, že jest menší než AD.
Danou přímkou bud AB, daným pak útvarem přímkovým, jemuž rovný se má k AB přistaviti, bud C, ten pak, jemuž podobný^ má přesahovati, D; má se tedy ku přímce AB přistaviti rovnoběžník obrazci přímkovému Č rovný, přesahující o útvar podobný rovnoběžníkuD.
Rozpolme AB v E a narýsujme na EB rovnoběžník BF útvaru D podobný a podobně položený a zřiďme GH, rovný součtu BFA-C a zároveň útvaru D podobný a podobně položený. Stejnolehlou pak buď KEL s EL a KG s FE. A ježto GH^>FB, tedy též KHyFL a KG > FE. Prodlužme FL, FE a bud FLMz= KH a FEN= KG a doplňme MN; tedy MN^l GH a GH^EL, tedy též MN<*>EL, tedy EL, Veďme jejich úhlopříčku FO a obrazec vyznačme.
Ježto GH = ELA-C, avšak GH= MN, tedy též MN=EL-j-C. Společný EL odečtěme, tedy zbývající soudélník UXV=C. A ježto AE — ĚB, též AN — NB — LP. Společným přičtěme EO; tedy celý AO rovná se soudelníku UXV. Avšak soudélník UXV — C; tedy též AO = C
Tedy k dané přímce AB přistaven rovnoběžník — —.
JV     Q O G MN mají touž úhlopříčku.
XXX.
Rozděl danou přímku omezenou poměrem krajním a středním (VI. vým. 3.)
Danou přímkou omezenou bud AB; má se tedy přímka AB roz-děliti poměrem krajním a středním.
Narýsujme na AB čtverec BC a přistavme k AC rovnoběžník CD čtverci BC rovný, přesahující útvarem AD čtverci BC podobným (VI. xxix.).
Jest pak BC čtverec, tedy též AD je čtverec. A ježto BC=CD, společným odečtěme GE; tedy zbývající BF=AD. Jest pak s ním i stejnoúhlý; tedy v BF, AD jsou strany při stejných úhlech k sobě v poměru obráceném (VI. xiv.); tedy FE: E D = AE: EB. Avšak FE=AB a ED = AE. Tedy BA:AE=AE:EB. I jest AB>»AE, tedy též AE>EB.
Tedy přímka AB rozdělena jest v E poměrem krajním a středním a větší její úsečkou jest AE; což právě bylo vykonati.
XXXI.
V trojúhelnících pravoúhlých útvar sestrojenýna přeponě rovná se součtu útvarů podobných a stejnolehlých, sestrojených na odvěsnách.
Trojúhelníkem pravoúhlým buď ABC a měj pravý úhel BAC; pravím, že útvar na BC rovná se součtu útvarů podobných a stejnolehlých, sestrojených na BA, AC.
Veďme kolmici AD. Ježto tedy v pravoúhlém f\ ABC od pravého úhlu při A na základnu BC vedena kolmice AD, trojúhelníky ABD,
ADC jsou podobny celému ABC i navzájem. A ježto ABC™ ABD, tedy CB-.BA = AB:BD. A ježto jsou tři přímky úměrou, první má se ke třetí, jako útvar na první k útvaru na druhé podobnému a stejnolehlému (VI. xix. důsl.). Tedy CB.BD jako útvar na CB k útvaru na BA podobnému a stejnolehlému. Z téže příčiny ovšem též BC: CD jako útvar na BC k útvaru na CA16). Pročež také BC: {BD-A-DC) jako útvar na BC k útvarům na BA. AC podobným a stejnolehlým. Avšak BC — BDA-DC; tedy též útvar na BC rovná se útvarům na BA, AC podobným a stejnolehlým17.)
Tedy v trojúhelnících pravoúhlých útvar na přeponě — —.
XXXII.
Když se dva trojúhelníky mající dvě a dvě strany úměrné sestaví úhlem kúhlu tak, aby souhlasné strany b y 1 y t é ž rovnoběžné, zbývající strany těch trojúhelníků budou v přímce.
Dvěma trojúhelníky buďtež ABC, DCE «D a mějte dvě strany BA. AC úměrné se dvěma 1    stranami DC, DE tak, že AB: AC = DC: DE, a AB || DC, AC\\DE; pravím, že BCje s CE v přímce.
Neboť ježto AB || DC a protíná je přímka AC, střídavé úhly BAC, ACD jsou si rovny. Z téže příčiny ovšem též CDE = ACD; pročež také BAC — CDE. A ježto dva trojúhelníky ABC, DCE mají po jednom úhlu A, D stejném a strany při stejných úhlech úměrné, t. BA : AC = CD: DE, tedy /\ ABC je s A DCE stejnoúhlý; tedy ABC— DCE. Dokázáno pak, že téži^ACD^BAC; celý tedy    ACE = ABC-f-BAC. Společným
ie) Neboť ABC cv ACD; BC:CA— CA : CD.
") Útvary na BC, AC, ABbuďtež a, b, c. Dokázánu, že BC: CD — a: b, BC: BD = a:c;
tedy CD:BD=b:c, součetně -; avšak BD =-— . dosazením za BD bude
BD       c " '
BC.a_ BC.c'
, z toho a = b -\- c.
buď ACB ; tedy ACE + ACB = ABC + BAC A- ACB. Avšak ABC A- BAC-\-ACB=:2R; tedy též ACE + ACB = 2R. Na nějaké tedy přímce AC a v bodě na ní C dvě přímky BC, CE na protivných stranách ležíce činí úhly styčné ACE A- A CB rovnými dvěma pravým; tedy BC s CE jsou v přímce (I. xiv.).
Když se tedy dva trojúhelníky mající dvě a dvě — —.
XXXIII.
Ve stejných kruzích úhly mají se k sobě jak oblouky, na nichž stojí, ať jsou středové, ať obvodové.
Stejnými kruhy buďtež ABC, DEF a úhly středovými pří G, H buďte BGC, EHF, obvodovými pak BAC, EDF; pravím, že <£BGC: EHF — obi. BC: obi. EF —    BAC: EDF.
Nuže budiž oblouku BC rovných po řadě několik CK, KL, oblouku pak EF rovných několik FM, MN, a veďme spojnice GK, GL, HM, HN.
Ježto tedy obl. BC=CK=KL, též <$BGC = CGK=KGL; tedy jakým násobkem oblouku BC jest BL, takým násobkem úhlu BGC jest <$.BGL. 7j téže příčiny ovšem též, jakým násobkem oblouku EF jest NE, takým násobkem úhlu EHF jest NHE. Jest-li tedy obl. BL = EN, je též
BGL = EHN, pakli BL> EN, též <£ BGL > EHL, pakli menší, menší. Když tedy jsou čtyři veličiny, dva oblouky BC, EF a dva úhly BGC, EHF, za stejné násobky ublouku BC a úhlu BGC vzaty jsou obl. BL a <$.BGL, oblouku pak EF a úhlu EHF oblouk EN a <$.EHN. I dokázáno, když obl. BL>EN, že též <$.BGL^> EHN, pakli roven, roven, pakli menší, menší, fedy obl. BC:EF=^.BGC:EHF. Avšak
BGC: EHF = ^. BAC: EDF (V. xv.),  neboť ony jsou dvojnásobky těchto (III. xx.). Tedy též obl. BC:EF=<£BGC:EHF = ^.BAC:EDF.
Tedy ve stejných kruzích úhly mají se k sobě, jak oblouky, na nichž stojí, ať jsou středové, ať obvodové;  což právě bylo dokázati.
Kniha sedmá. Výměry.
' 1. Jednotka jest, dle niž každé věci říká se jedna. « 2. Číslo pak je množství složené z jednotek.1)
') Dle toho jednotka není číslo.
J 04
luft
3,
4, 5
e 6. e 7.
10. * 11.
12.
n 13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Díl čísla většího jest číslo menší, když se jím větší doměřuje. Díly pak, když se nedoměřuje.2)
Násobek čísla menšího je číslo větší, když se menším doměřuje. Sudé jest číslo, když se půlí.
Liché pak, které se nepůlí neboli které jednotkou se liší od sudého.
Sudosudé jest číslo, které se měří číslem sudým dle čísla sudého. Sudoliché pak, které se měří číslem sudým dle čísla lichého. [Lichosudé jest, které se měří číslem lichým dle čísla sudého.] Licholiché pak, které se měří číslem lichým dle čísla lichého. Kmenné jest číslo (prvočíslo), které měří jednotka jediná. Kmenná navzájem jsou čísla, jež měří jednotka jediná jakožto míra společná.
Složené jest číslo, které se nějakým číslem doměřuje.
Složená pak navzájem jsou čísla, jež se doměřují nějakým číslem
jakožto měrou společnou.
Pravíme, že číslo číslem se násobí, když násobené (násobenec) tolikrát se složí, kolik v druhém jest jednotek, a nějaké vznikne. Když se dvě čísla vespolek znásobí a dají číslo, vzniklé zove se rovinným (rovinou), stranami pak jeho (jejími) čísla vespolek znásobená.
Když pak se tři čísla vespolek znásobí a dají číslo, vzniklé jest tělesové, stranami pak jeho jsou čísla vespolek znásobená. Čtvercové jest číslo tolikéžkrát stejné neboli které je násobkem dvou stejných čísel.
Krychlové jest číslo tolikéžkrát stejné tolikéžkrát neboli které jev násobkem tří stejných čísel. Čísla jsou úměrná, když první je stejným násobkem druhého jako třetí čtvrtého nebo týmž dílem nebo týmiž díly. Podobná jsou čísla rovinná a tělesová, která mají strany úměrné. Plné jest číslo, jež se rovná součtu svých dílů.
Jsou-li dána dvě čísla rtestejná a odčítá-lise střídavě vždy menší od většího, když zbývající předchá-zejjcího nikdy nedoměřuje, dokud nezbude jednotka, počáteční čísla budou navzájem kmenná.
Nuže ze dvou čísel AB, CD, odčítá-li se střídavě vždy menší od většího, zbývající nikdy nedoměřuj předcházejícího, dokud nezbude jednotka; pravím, že AB, CD jsou navzájem čísla kmenná, t. j. že AB, CD doměřuje jednotka jediná. v
Neboť nejsou-li AB, CD čísla navzájem kmenná, bude je měřiti3)
vv2^ čtvrtí, třetinou, pětinou atd. číslo se doměřuje; tedy čtvrt je díl čísla většího, j-ovnžž y3, 75 atd. Avšak 3/i jsou díly čísla většího, rovněž */5, 7s atd. :!) Měří, doměřuje, jest něčemu měrou — jsou výrazy souznačné.
nějaké číslo. Měř je a buď to E; srCD měříc BF ostavuj menší sebe FA, AF pak měříc DG ostavuj menší sebe GC a GC měříc FH ostavuj jednotku HA.
Ježto tedy E měří CD, CD pak měří BF, tedy též E měří BF; měří však též celou veličinu BA; tedy též zbytek AF bude měřiti. AF pak měříZX?; tedy též E měří veličinu DG; jest však měrou i celému DC; tedy též zbytku CG bude měrou. CG však měří FH; tedy též E bude měřiti veličinu FH; jest však měrou též celému FA, tedy též zbývající jednotce AH bude měrou, ač je číslem; což právě nemožno. Tedy čísel AB, CD nebude měřiti žádné číslo; pročež AB, CD jsou čísla navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
H
b
G
d
E
II.
Jsou-li dána dvě čísla navzájem nekmenná, najdi největší jejich společnou míru.
Danými dvěma čísly navzájem nekmennými budtež AB, CD; má se tedy nalézti čísel AB, CD největší společná míra.
Jestliže ovšem CD měří veličinu AB a je též samo sobě měrou, tedy CD je společnou měrou čísel CD, AB, i zřejmo, že též největší, neboť žádné nad CD větší nebude čísla CD měřiti.
Pakli CD neměří čísla AB, budeme-li z Čísel AB, CD střídavě vždy menší od většího odčítati, zbude nějaké číslo, jež bude měrou předcházejícího. Jednotka zajisté nezbude, sice budou AB, CD navzájem kmennými, což však proti podmínce. Tedy zbude nějaké číslo, jež bude měrou předcházejícího. I ostavuj CD měříc BE menší sebe EA, EA pak měříc DF ostavuj menší sebe FC, CF pak AE doměřuj. Ježto tedy CF měří AE, AR pak měří DF, tedy CF bude měřiti DF; měří však i sebe, tedy těž celému CD bude měrou. CD však měří BE, tedy též CF měří veličinu BE; měří však též EA, protož i celému BA bude měrou; měří však též CD; CF tedy měří čísla AB, CD. Pročež CF je společnou měrou čísel AB, CD.
Pravím ovšem, že též největší. Neboť není-li^CF největší společnou měrou čísel AB, CD, bude čísla AB, CD měřiti číslo větší než CF. Měř je a buď jím G. A ježto G měří CD, CD pak měří BE, tedy též G měří BE; jest však i celému BA měrou, tedy též zbytku AE bude měrou. AE však měří DF, pročež i G bude měřiti D F; jest však i celému DC měrou, tedy též zbytku CF bude měrou, yetsi menšímu; což právě nemožno. Tedy číslům AB, CD nebude měrou žádné číslo větší než CF; pročež CF je největší společnou měrou čísel AB, CD.
10
e
d
G
108
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že když číslo dvě čísla doměřuje, též nej-větší společnou míru jejich bude doměřovati*); což právě bylo do-kázati.
E
D
číslu d, větší menšímu
G
III.
Jsouli dána tři čísla navzájem  nekmenná, najdi! největší jejich společnou míru. '
Danými třemi čísly navzájem nekmennými budtež a, b, c; má sej tedy číslům a, b, c nalézti největší společná míra.
Nuže za největší společnou míru čísel a,-b vezměme d; d zajisté bud měří C buď hoj neměří. Měř je dříve5); i měří též A, b. d\ tedy měří a, b, c] tedy d je společnou měrou čišel A, b, c Pravím ovšem, že též největší. Neboť nemají-li A, b; c za největší společnou < míru d, bude čísla a, b, c měřiti číslo větší! než d. Měř je a bud jím e. Ježto tedy e měří' a, b, c, tedy bude měřiti též a, b, pročež: bude měřiti  i největší společnou  míru čísel a, b (VII. n. důsl.). Největší však společnou měrou čísel A, b jest d, tedy e jest měrou což právě nemožno. Tedy čísel a, b, c nebude ^doměřovati žádné číslo větší  než d;   pročež d jest největší společnou měrou čísel a, b, c.
Neměř již d čísla c; pravím nejprve, že c, d nejsou navzájem kmennými. Neboť ježto A, b, c nejsou navzájem kmennými, bude je měřiti nějaké číslo. Číslo měřící A, b, c bude zajisté též a, b měřiti, a. největší míra čísel a, b bude měrou čísla d; jest pak měrou též čísla c: tedy čísla d, c bude měřiti nějaké číslo; pročež d, c nejsou navzájem kmennými. Vezměme tedy za největší jejich společnou míru f.6) A ježto f měří d, d pak měří a, b, tedy též v měří A, b; jest pak měrou též čísla c; tedy f měří A, b, c; pročež f je společnou měrou čísel a, b, c. Pravím ovšem, že též největší. Neboť není-li f největší společnou měrou čísel a, b, c, bude čísla a, b, c měřiti číslo větší než f. Měř je a bud jím g. A ježto G měří a, b, c, měří též a, b, tedy měřiti bude též největší společnou míru čísel a, b. Největší však společná míra čísel a, b jest d; g tedy měří d; jest však měrou i čísla C; pročež g měří d, o. Protož i největší společnou míru čísel d, c bude měřiti (VII n. důsl.). Největší však společná míra^ čísel d, c jest f; tedy g je měrou číslu f, větší menšímu; což právě nemožno. Tedy čísel-a, b, c nebude doměřovati žádné číslo větší než f; pročež f je největší společnou měrou čísel a, b, c; což právě bylo dokázati (nalézti).
_4) To číslo bude ovšem buď stejné s největší spol. měrou buď menší.
5) Vyobrazení dbá jen případu druhého, kdež D není spolu měrou čísla C.
6) Svrchu vzato E za vetší než D, což zde nemožno: označil jsem tedy společnou míru všech tří F a dále, že G> F.
ior
IV.
Každé číslo menší každého čísla většího jest buďto dílem buďto d íly.
Dvěma čísly budtež a, bc, a buď bc menší; pravím, že bc jest čísla a buďto dílem buďto díly.
Neboť a, bc jsou buď navzájem kmennými buď nejsou. Budtež a, bc dříve navzájem kmennými. Rozdělíme-li tedy bc v jednotky jeho, každá zajisté jednotka z těch, kolik jich v bc, bude nějakým dílem čísla a; pročež bc jsou díly čísla a.
Nebuďte již a, bc navzájem kmennými; bc zajisté číslu a bud jest měrou buď není. Jestliže tedy bc měří a, jest bc dílem čísla a. Pakli ne, vezměme d za největší společnou míru čísel a, bc i rozdělme bc v části be, ef, fc stejné s d. A ježto d měří a, jest d dílem čísla a; d však je rovno každé z částí be, ef, fc; tedy též každá z částí be, ef, fc jest dílem čísla a; pročež bc jsou díly čísla a,
Tedy každé číslo menší — —.
b
E
d
V.
Když je číslo čísla dílem a jiné jiného je týmž dílem, též součet obou týmž dílem bude součtu, jakým jedno jednoho.
Nuže buď a dílem čísla bc a jiné d jiného ef tymz dílem, jakýma čísla bc; pravím, že též^+D součtu bca-ef týmž dílem jest, jakým a čísla bc.
Neboť ježto takovým dílem, jakým jest a čísla bc, je též d čísla ef, tedy kolik jest čísel v bc stejných s a, tolik je též v ef stejných s d. Rozdělme bc v části bg, gc stejné s a, ef pak v eh, hf stejné s d; bude zajisté počet bg, gc stejných s počtem eh, hf. a ježto bg=a a eh=d, též bg + eh = a + d. Z téže příčiny ovšem též gca-hf — a -j- d. A jj Kolik tedy v bc čísel stejných s a, tolik je též v (bca-ef) stejných s (a + D). Jakým tedy násobkem  jest bc čísla a,   takovým  jsou též
bca-ef součtu aa-d. Jakým tedy dílem čísla bc jest a, takovým jest i součet a + d součtu bca-ef; což právě bylo dokázati.
G
E
H
F
VI.
Když je číslo čísla díly a jiné jiného týmiž díly, též součet obou bude týmiž díly součtu, jakými jedno jednoho.
10«
109
a
G
C jest
D
H
E
Nuže buď číslo AB díly čísla C a jiné DE jiného F týmiž díly, jakými AB čísla C; pravím, že také součet ABA-DE je týmiž díly součtu CA-F, jakými AB čísla C.
Neboť ježto týmiž díly, jakými jest AB čísla C, je též DE čísla F, tedy kolik dílů čísía G' jest v AB, tolik dílů čísla F je též v DE. Rozděleno bud AB v díly čísla C, totiž AG, GB, a DE v díly čísla F, totiž DH, HE; bude zajisté počet dílů AG, GB roven počtu DH, HE. A ježto týmž dílem, jakým jest AG čísla C, je též Z?ZZ čísla F, tedy jakým dílem čísla C jest .áG, týmž dílem jest i součet AG A- DH součtu C A-F (VII. v.). Z téže příčiny ovšem, jakým dílem čísla GB, i součet GBA^-HE je týmž dílem součtu CA~F. Tedy jakými díly čísla C jest AB, týmiž díly součtu C-\-F jest i součet AB-\-DE; což právě bylo dokázati.
VIL
Když je číslo čísla dílem, jakým odečtené odečteného, také zbytek zbytku týmž dílem bude, jakým celek celku.
Nuže buď číslo AB dílem čísla CD, jakým odečtené AE odečteného CG; pravím, že též zbytek EB zbytku FD týmž dílem jest, jakým celek AB celku CD.
Nuže jakým dílem čísla CF jest AE, budiž i EB týmž dílem čísla CF. A ježto, jakým dílem čísla CF jest AE, týmž dílem čísla CG je též EB, tedy jakým dílem čísla CF jest AE, týmž dílem čísla
GF jest iiS. A jakým dílem čísla CF jest AE, za týž díl čísla GD vzato též AB; jakým tedy dílem čísla GF je též AB, je také týmž dílem čísla CD; pročež GF— CD. Společným odečtěme CF, tedy zbývající GC—FD. A ježto, jakým dílem čísla CF jest AE, týmž dílem čísla GC je též EB a GC — FD. tedy jakým dílem čísla CF jest AE, týmž dílem čísla FD je též EU. Avšak jakým dílem čísla jest AE, týmž dílem čísla CZ) je též AB; tedy též zbytek EB je týmž dílem zbytku FD, jakým celek ^L/í celku CD; což právě bylo dokázati.
VIII.
Když je číslo Čísla díly, jakými odečtené odečteného, také zbytek zbytku týmiž díly bude, jakými celek celku.
Nuže buď číslo AB čísla CD díly, jakými odečtené AE odečteného CF; pravím, že i zbytek EB zbytku FD týmiž díly jest, jakými celek AB celku CD.
E
—i—
b
H-
D
k
H
M JV L     E B
Nuže vezměme GH za stejnéx s AB. Jakými tedy díly čísla CD iost GH, týmiž díly je též AE čísla CF. Rozděleno buď GH v díly čísla CD, totiž GK, KH, & AE v díly čísla CF, totiž AL, LE; bude zajisté počet GK, KH roven počtu AL,     c p D
LE A ježto, jakým dilem čísla CD jest     ^-■--t--1
GK, též AL je týmž dílem čísla CF, avšak CZ)> GF; tedy též GišT> AL. Budiž G AL— GM. Jakým tedy dílem čísla CD >— jest GK, též GM je týmž dílem čísla CF; tedy též zbytek MK je týmž dílem zbytku 4
FD, jakým celek GK celku CD (VII. vil).     1-'-'-1
Ježto dále, jakým dílem čísla CD jest KH, týmž dilem čísla CF je též EZ, avšak CD > CF, tedy téžHK>EL. Budiž EL = KN. Jakým tedy dílem čísla CZ? jest KH, týmž dílem čísla C/7 jest i KN; pročež i zbytek NH zbytku FD týmž dílem jest, jakým celek KH celku CD. Bylo však dokázáno, že též zbytek MK je týmž dílem zbytku FD, jakým celek G K celku CD; protož i součet MKA-NH je týmiž díly čísla D F, jakými celek HG celku CZ). Součet pak MKArNH=EB'!) a HG — BA; tedy též zbytek ZíZ? je týmiž díly zbytku FD, jakými celek AB celku CD; což právě bylo dokázati.
IX.
Když je číslo čísla dílem a jiné jiného je týmž dílem, také střídavě, jakým dílem nebo jakými díly jest první třetího, týmž dílem nebo týmiž díly bude též druhé čtvrtého.
Nuže buď číslo A dílem čísla BC a jiné D jiného EF týmž dílem, jakým A čísla BC; pravím, že také střídavě, jakým dílem nebo díly čísla D jest A, týmž dílem nebo díly čísla EF je též BC.
Neboť ježto, jakým dílem čísla 7?C jest A, týmž dílem čísla EF je též D; kolik tedy čísel stejných s A jest v BC, tolik stejných s Z? je též v EF. Rozděleno buď BC ve stejná s A, totiž BG, GC, a EF ve stejná s D totiž EH, HF; bude zajisté počet BG, GC roven počtu EH, HF.
A ježto BG = GC a též EH= HF a počet ZíG, GC jest roven počtu ZiZZ, HF, tedy jakým dílem nebo díly čísla EH jest týmž dílem
nebo týmiž díly čísla HF jest i GC; pročež také jakým dílem nebo díly čísla EH jest BG, týmž dílem nebo týmiž díly jest i součet BC součtu EF, (VII. v. ví.). Avšak BG = Aa. EH=D; jakým tedy dílem nebo díly čísla D jest A, týmž dílem nebo týmiž díly čísla EF jest- BC; což právě bylo dokázati.
Ji
-G
jE
H
D
7) Neboť GM 4- MK+ KN + NH = AL 4- LE 4- £B a G.W = ^i, KAT => ££.
110
111
X,
jA
G
n
c
D
jt
-E
^ K d y ž je č í s 1 o č í s 1 a díly a jiné jiného je týmiž díly, také střídavě, jakými díly nebo dílem jest první třetího, týmiž díly nebo týmž dílem  bude též druhé čtvrtého. Nuže buď číslo AB díly čísla C a jiné DE týmiž díly čísla F;
pravím, že také střídavě, jakými díly nebo dílem čísla DE jest AB, též C je týmiž díly nebo týmž dílem čísla F.
Neboť jakými díly čísla C jest AB, ježto' týmiž díly čísla F je též DE; kolik tedy dílů čísla C jest v AB, tolik dílů čísla F je též v DE. F Rozděleno buď AB v díly čísla C, totiž AG, GB, a DE v díly čísla F, totiž DH, HE; bude zajisté počet AG, GB počtu DH, HE roven. A ježto, jakým dílem čísla C jest AG, také DH je týmž dílem čísla F, a -střídavě, jakým dílem nebo díly čísla DH jest AG, týmž dílem nebo díly čísla F je též G (VJI. IX.). Z téže příčiny ovšem též, jakým dílem nebo díly čísla HE jest GB, týmž dílem nebo týmiž díly čísla F je též O; pročež také jakými díly nebo dílem čísla DE jest AB, týmiž díly nebo týmž dílem čísla F je též C8); což právě bylo dokázati.
XI.
Když se má odečtené k odečtenému, jako celek k celku, také zbytek bude se mí ti ke zbytku, jako celek k celku.
Budiž AB: CD = AE: CF; pravím, že též EB:FD = AB: CD.
Ježto AB-.CD —AE:CF, jakým tedy dílem nebo díly čísla CD jest AB, týmž dílem nebo týmiž díly čísla CF je též AE. Pročež i zbytek EB je týmž dílem nebo díly zbytku FD, jakými AB čísla CD (VII. vn. vin.). Tedy EB:FD = AB:CD; což právě bylo dokázati.
b
D
D
XII.
Když je několik čísel úměrných, bude se mí ti jedno z předních k jednomu ze zadních, jako součet předních k součtu zadních.
Budiž několik čísel úměrných A, B, C, D, t. A:B— C:D; pravím, že A:B = (A + C):{B + D).
Neboť ježto A:B — C:D, tedy jakým dílem nebo díly čísla B jest A, týmž dílem nebo _ díly  čísla  D je též C.  Tedy  též součet
8) Neboť též AG je týmž dílem nebo díly čísla DH,  jakými GB čísla HE; tedy ' VII. v. vi.) AB je týmž dílem nebo díly čísla DE, jakými AG čísla DH nebo C čísla F.
b
A+Cje týmž dílem nebo díly součtu B-\-D, jakými A čísla B (VII. v. ví.). Proto A: B = (AA-C):(B + D); což právě bylo dokázati.
A
b
d
XIII.
Když jsou čtyři čísla úměrná, také střídavě budou úměrná.
Buďte čtyři čísla úměrná A, B, C, D, takže A:B=C:D; pravím, že budou také střídavě úměrná, totiž A.C—B.D.
Neboť ježto A:B = C:D, tedy jakým dílem nebo díly čísla B jest A, týmž dílem nebo týmiž díly čísla D je též C Pročež střídavě, jakým dílem nebo díly čísla C jest A, týmž dílem nebo týmiž díly čísla D jest i B (VIL x.). Tedy A: C = B:D; což právě bylo dokázati.
XIV.
Když jest několik čísel a jiná jim počtem rovná jsouce po dvou brána také v témž poměru, též stejno-řadně (V. vým. 17.) v témž poměru budou.
Budiž několik čísel A, B, C a jiná jim počtem rovná D, E, F po dvou brána jsouce buďte v témž poměru, takže A: B = D: E a B:C= E:F; pravím, že také stejnořadně A: C= D:F.
Neboť ježto A: B = D:E, střídavě tedy A:D—B:E (VII. xin.).    ,   C  , ,_
Ježto  dále B:C=E:F, střídavě
tedy B:E=C:F. Avšak 2?: i? = A:D; tedy též A: D = C: F a střídavě A:C=D:F; což právě bylo dokázati.
A
b
D
E
77
XV.
Když jednotka jest nějakého čísla měrou a jiné číslo je touž měrou nějakého čísla jiného, také střídavě bude jednotka touž měrou čísla třetího, jakou druhé čtvrt éh o.9)
Nuže bud jednotka A měrou nějakého čísla BC a jiné číslo i) touž měrou nějakého čísla jiného EF; pravím, že také střídavě jednotka A je touž měrou čísla D, jakou BC čísla EF.
Neboť ježto jednotka A je touž měrou čísla BC jakou D čísla EF, tedy kolik jednotek jest v BC, tolik čísel stejných £_ s D je též v EF. Rozděleno buď BC ve
B G
D
E
9) O číslech to dokázáno v VII. xill., jednotka však dle VII. vým. 2. není číslo
s\é jednotky BG, GH, HC a EF v díly stejné s D, totiž EK, KL LF. Búde zajisté počet BG, GH, HC roven počtu EK, KL, LF. A ježto jednotky BG, GH, HC jsou si navzájem rovny, jsou si pak i čísla EK, KL, LF navzájem rovna i počet jednotek BG, HG, HC jest roven počtu čísel EK, KL, LF, bude tedy BG :EK=GH:KL — HC■. LF. Bude se tedy míti též jedno z předních k jednomu ze zadních, jako součet předních k součtu zadních (VII. xn.). Pročež BG: EK= BC: EF. Avšak BG = A a EK= D ; tedy A : D=BC: EF. Jednotka A je tedy stejnou měrou čísla D, jakou BC čísla EF; což právě bylo . dokázati.
XVI.
Když se dvě čísla navzájem znásobí a vzniknou jiná, vzniklá z nich budou si rovna.
Dvěma čísly budtež A, B, a buď AxB—C, Bx A — D; pravím,
že C=D.
1        "A Neboť ježto A xi= C, tedy B jest
měrou čísla C dle jednotek v A; jest pak i jednotka i? měrou čísla A dle jeho jednotek. Tedy jednotka lije touž měrou
c>-—-1     čísla A, jakou B čísla C. Pročež střídavě
jednotka E }e touž měrou čísla B, jakou
Z)i___,    A čísla C. Dále, ježto B x A — D, tedy
A jest měrou čísla D dle jednotek v B,
,_tp avšak i jednotka E jest měrou čísla B
dle jeho jednotek; pročež jednotka E je stejnou měrou čísla B, jakou A čísla D. Avšak jednotka E byla stejnou měrou čísla B, jakou A čísla C; tedy A je touž měrou čísel C i D. Pročež C=D, což právě bylo dokázati.
XVII.
Když se číslem znásobí čísla dvě a vzniknou jiná, vzniklá z nich budou se míti k sobě jako znásobená.
Nuže znásobme  číslem A dvě
'->a čísla B, C, aby vznikla D, E; pravím,
že D: E — B: C.
,_q,_, Neboť  ježto znásobením čísla
B číslem A vzniklo D, jest tedy B
_d_ _e_ měrou čísla D dle jednotek v A-
' 1  Také však jednotka F je měrou
čísla A dle jeho jednotek; tedy 1—<F jednotka F je touž měrou čísla A,
jakou B čísla D. Pročež F ; A — B:D. Z téže příčiny zajisté také F:A = C:E, tedy též C:E=B:D, pročež střídavě D:E=B:C; což právě bylo dokázati.
XVIIÍ.
Když se nějaké číslo znásobí dvěma čísly a vzniknou jiná, vzniklá z nich budou se míti k sobě jako ta, kterými násobeno.
Nuž.e násobme dvěma čisly A, B nějaké      ,_,    ^,_,
číslo C, aby vznikla D, E; pravím, že A:B— c
D:E. B_
Neboť ježto znásobením čísla C číslem A vzniklo  D,   také tedy   znásobením čísla A
číslem C vznikne D (VII. xvi.).  Z téže pří- d>-1
činy ovšem také znásobením čísla B číslem
C vznikne E. Tedy znásobením čísel A, B    e\-1
číslem  C vznikla D, E.  Tedy A:B = D: E (VII. xvii.); což právě bylo dokázati.
XIX.
Ľ
d
JE F
Když jsou čtyři čísla úměrná, součin prvního a čtvrtého bude roven součinu druhého a třetího; akdyž součin prvního a čtvrtého jest roven součinu druhého a třetího, ta čtyři čísla budou úměrná.
Čtyřmi čísly úměrnými buďtež A, B, C, D, takže A: b= C: D, a budiž AxD=E, a BxC—F ; pravím, žeE—F. Nuže budiž A>CC=G. Ježto tedy AxC=G a. AXD=E, tedy znásobením čísel C, D číslem A vznikla G, E, pročež C:D= G:E. Avšak C:D—A:B, tedy též A: B=G:E. Dále, ježto A x C—G, ale ovšem téžBxC=F, tedy znásobením nějakého čísla C dvěma čísly A, B vznikla G, F. Protož A:B = G:F. Ale ovšem též A : B— G:E, tedy též G:E—G:F. Pročež G má k oběma E i F týž poměr; tedy E — í\
Bud již dále E=V\ pravím, že A:B=C:D.
Neboť po téže úpravě, ježto E—F, tedy G:E=G:F. Avšak G:E — C:D a G:F— A:B; tedy též A;B = C:D; což právě bylo dokázati.
XX.
Čísla nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona, jsou stejnou měrou čísel týž poměr majících, větší většího jako menší menšího.
Nuže nejmenšími čísly z těch, jež mají týž poměr jak A:B, budte CD, EF; pravím, že CD je touž měrou čísla A jakou EF čísla B.
Neboť CD není díly čísla A. Nuže, možno-li, budiž díly; tedy též EF je týmiž díly čísla B jakými CD čísla A.   Tedy kolik dílů
li
G
čísla A je v CD, tolikéž dílů čísla B jest v Eff. Rozděleno bud CD v díly čísla A, totiž CO, GD a EF v díly čísla B, totiž EH, HF; bude zajisté počet CG, GD roven počtu JETí, HF. A ježto CG=GD
a též EH—HF a počet C(?, je roven počtu J&H", HF, tedy CG: £72 = GD: HF. Bude se tedy míti též jedno z předních k jednomu ze zadních jako součet předních k součtu \B     |       \~     zadních (VII. xn.). Pročež CG :EH = CD: EF;
tedy CG, EH mají týž poměr jako CD, Eh, ač jsou jich menší; což právě není možno, neboť CD, EF jsme vzali za nejmenší z těch, jež mají týž poměr, jaký ona. Není tedy CD díly čísla A; tedy dílem. A EF je týmž dílem čísla B, jakým CD čísla A; tedy CD je touž měrou čísla A, jakou EF čísla B; což právě bylo dokázati.
G
XXI.
Čísla navzájem kmenná jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona.
Čísly navzájem kmennými buďtež A, B; pravím, že A, B jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona.
Neboť nejsou-li, budou nějaká čísla, mající týž poměr jaký A, B, menší než A, B. Buďte jimi C, D. jj\ Ježto tedy čísla nejmenší z těch, která mají týž po-
měr, jsou touž měrou těch, jež mají týž poměr, větší většího jako menší menšího, t. j. přední předního jako zadní zadního, tedy C jest měrou čísla A jako D čísla B. Jakou <edy měrou čísla A jest C, tolik jednotek buď v e. Proto též D jest měrou čísla B dle jednotek v E. A ježto C jest měrou čísla A dle jednotek v E, tedy též E jest měrou čísla A dle jednotek v C Z téže příčiny ovšem E je také měrou čísla B dle jednotek v D. Tedy £ jest měrou čísel A, B, ač jsou navzájem kmenná; což právě jest nemožno (VII. vým. 12.). Pročež nijaká čísla, mající týž poměr jaký A, B, nebudou menší než A, B. Tedy A, B jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona; což právě bylo dokázati
D\
E
XXII.
Nejmenší čísla z těch, která mají týž poměr, jaký ona, jsou navzájem kmenná.
Nejmenšími čísly z těch, která mají týž poměr, jaký ona, buďtež A, B; pravím, že A, B jsou navzájem kmenná.
a'
B*
Neboť nejsou-li navzájem kmenná, bude jim nějaké číslo měroU. Bud měrou a bud to C. A jakou měrou čísla A jest C, tolik jednotek buď v D, a jakou C čísla B, tolik jednotek buď v E.
Ježto C jest měrou čísla A dle jednotek v D, tedy bude CxD — A. Z téže příčiny ovšem také CxE = B.
Tedy znásobením dvou čísel D, E číslem C vzniknou A, B; pročež D: E=A:B;  tedy D, E
mají týž poměr, jaký A, B,  ač jsou jich menší;     _g>,_,
což právě není možno. Pročež čísel A, B žádné
číslo nebude měrou. Tedy A, B jsou navzájem kmenná; což právě
bylo dokázati.
XXIII.
Když jsou dvě čísla navzájem kmenná, čislo, které jednomu z nich je měrou, druhému bude kmenným.
Dvěma čísly navzájem kmennými buďtež A, . B, měrou pak čísla A bud nějaké číslo C; pravím, že také, G, B jsou navzájem kmenná.
Neboť nejsou-li C, B navzájem kmenná, nějaké číslo bude číslům C, B měrou. Budiž měrou a buď to D. Ježto D jest měrou čísla C a C čísla A, tedy též D jest měrou čísla A. Je však měrou též čísla B; tedy D jest měrou čísel A, B, ač jsou navzájem kmenná, což právě jest nemožno. Tedy číslům C, H žádné číslo nebude měrou. _^ Pročež C, B jsou navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXIV.
b
Když jsou dvě čísla nějakému číslu kmenná, též součin jejich bude témuž číslu kmen rým.
Nuže buďte dvě čísla A, B nějakému číslu C kmenná a buď AxB — D; pravím, že C, D jsou navzájem kmenná.
Neboť nejsou-li C, D navzájem kmenná, nějaké číslo bude číslům C, D měrou. Budiž měrou a bud to E. A ježto C, A
jsou navzájem kmenná, číslu C pak jest I I I I e nějaké číslo E měrou, tedy A,. E jsou navzájem kmenná (VII. xxní.). Jakou tedy měrou čísla D jest E, tolik jednotek buď v F; tedy též F je měrou čísla D dle jednotek v E. Pročež ExF=D. Avšak zajisté také AxB = D; tedy ExF= AxB   Když pak  součin krajních čísel D
116
117
/
roven součinu středních, ta čtyři čísla jsou úměrná (VII. xíx.), tedy E: A—B: F. A, E však jsou kmenná, kmenná pak i nejmenší; nej-menší pak čísla z těch, která mají týž poměr, jaký ona, jsou stejnou měrou čísel týž poměr majících, větší většího jako menší menšího, t. j. přední předního jako zadní zadního: tedy E jest měrou čísla B. Je však měrou i čísla C; tedy ^7 jest měrou čísel B, C, ač jsou navzájem kmenná, což právě nemožno. Pročež nebude číslům C, D žádné číslo měrou. Tedy C, Z) jsou navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXV.
Když jsou dvě čísla navzájem kmenná, čtverec jednoho z nich bude druhému číslu k m e n n ý m.
Dvěma čísly navzájem kmennými bud'tež A, B a budiž B   |    Aa=C; pravím, že B, C jsou navzájem kmenná.
Nuže buď A —D. Ježto A, B jsou navzájem kmenná a A = D, tedy též D, B jsou navzájem kmenná. A tak A i D jsou číslu B kmenná; pročež i součin Ľ x A \D \ bude číslu B kmenný (VII. xxív.). Avšak DxA — C, tedy C, B jsou navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXVI.
Když jsou dvě čísla jednotlivě dvěma číslům jednomu i druhému kmenná, též součiny jejich budou navzájem kmennými.
Nuže buďte čísla A, B jednotlivě dvěma číslům C, D jednomu i druhému kmenná a buď AxB — E, CxD=F;  pravím, že E, F
_{ _|  jsou navzájem kmenná.
A Neboť ježto A, B číslu C jsou kmenná,
g,_i      2)i_■-1    tedy též AxB bude číslu C kmenným
(VII. xxiv.).  Avšak AxB = E,  tedy E, C
e>—■-■-1 jsou navzájem kmenná. Z téže příčiny ovšem
též E, D jsou navzájem kmenná. Tedy ■F' 1    jedno i druhé z čísel C, D jest číslu E
kmenné. Pročež i součin Cx Ľ bude číslu E kmenným. Avšak CxD — F; tedy E, F jsou čísla navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXVII.
Když jsou dvě čísla navzájem kmenná a obě sama sebou znásobena jsouce dají čísla jiná, vzniklá z nich budou navzájem kmenná, a když počátečními znásobíme vzniklá a dají jiná, i ta budou navzájem kmenná [a tak děje se s konečnými pokaždé].10)
*°) Poslední část nepochybně podvržena.
Z>
JE
Dvěma čísly navzájem kmennými buďtež A, B a buď AS=C, AxC=D a £2 = £, BxE—F; pravím, že jak  C,  E   tak D,  F jsou navzájem kmenná.
Neboť ježto A, B jsou navzájem kmenná a 42=C, tedy C,B jsou navzájem kmenná (VII. xxv.). Ježto tedy C, B jsou navzájem kmenná a B"- = E, jsou tedy C, E navzájem kmenná. Dále, ježto A, B jsou navzájem kmenná a B^—^E, tedy A, E jsou navzájem kmenná. Ježto tedy dvě čísla A, C jsou dvěma číslům B, E jednotlivě jednomu i druhému kmenná, tož i součin AxC součinu BxE je kmenný (VII. xxvi.). I jest AxC—D a BxE= F. Pročež D, F jsou navzájem kmenná; což
právě bylo dokázati.
XXVIII.
Když jsou dvě čísla navzájem kmenná, též součet jejich jednomu i druhému z nich bude kmenný; a když součet jejich některému z obou je kmenný, také počáteční čísla budou navzájem kmenná.
Nuže sečtěme dvě čísla navzájem kmenná AB, BC\ pravím, žc též součet AC číslům AB. BC je kmenný.
Neboť nejsou-ii AC, AB navzájem kmenná, bude nějaké číslo číslům AC, AB měrou. Budiž měrou a buď
to D. Ježto tedy D jest měrou čísel AC,   >■-■-<---•,
AB, tedy bude též zbytku BC měrou. Jest A B C
pak měrou i čísía BA; tedy D jest měrou <—^—< čísel AB, BC, ač jsou navzájem kmenná,
což- právě nemožno. Pročež číslům CA, AB nebude měrou číslo žádné; tedy CA, AB jsou navzájem kmenná. Z téže příčiny ovšem též AC, CB jsou navzájem kmenná. Tedy CA jest oběma z čísel AB, BC kmenné.
Buďte již dále CA, AB navzájem kmenná; pravím, že též AB, BC jsou navzájem kmenná.
Neboť nejsou-li AB, BC navzájem kmenná, bude číslům AB, BC nějaké číslo měrou. Budiž měrou a buď to D. A ježto D jest měrou čísla AB i BC, tedy bude též měrou čísla CA. Jest pak měrou i čísla AB; tedy D jest měrou čísel CA, AB, ač jsou navzájem kmenná; což právě nemožno. Pročež nebude číslům AB, BC žádné číslo měrou. Tedy AB, BC jsou navzájem kmenná; což pravé bylo dokázati.
XXIX.
Kaž^é  kmenné číslo každému číslu,  jehož není měrou, jest kmenné.
118
Kmenným číslem bud A a nebuď měrou čísla B; pravím, že R, A jsou navzájem kmenná.
i_ Neboť nejsou-li B, A navzájem kmenná,
-A bude jim nějaké číslo měrou. Budiž měrou
C. Ježto C jest měrou čísla B, avšak A
'--->B    není měrou  čísla B, není tedy C=A. A
ježto C jest měrou čísel B, A, tedy je též
•->C měrou čísla A jemu kmenného,  ač není
s ním stejné; což právě nemožno. Tedy A, B jsou navzéjem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXX.
Když se dvě čísla spolu znásobí a vznikne jiné a součinu z nich jest měrou nějaké číslo kmenné, také jednomu z počátečních čísel bude měrou.
Nuže buďte dvě čísla A, B spolu znásobena a součinem bud C, číslu C pak bud měrou nějaké číslo kmenné D; pravím, že D jest měrou jednoho z čísel A, B.
Nuže nebuď měrou čísla A; i jest D
A>-< kmenné; tedy A, D jsou navzájem kmenná
(VII xxix.). A jakou měrou jest D čísla C, tolik jednotek buď v E. Ježto tedy D jest
b>-1 měrou čísla C dle jednotek v E, jest Dx E —
C. Avšak zajisté též AxB = C; tedy DxE=AxB. Pročež D:A=B:E. D, A
c{-1-'    však jsou kmenná, kmenná však i nejmenší,
nejmenší pak jsou  touž měrou čísel týž poměr majících, větší většího jako menší Di     1    E"       1      menšího, t. j. přední předního jako zadní zadního; tedy D jest měrou čísla B. Podobně ovsem dokážeme, když není měrou čísla B, také že bude měrou čísla A. Tedy D jest měrou jednoho z čísel A, B; což právě bylo dokázati
XXXI.
Každému složenému číslu jest měrou nějaké číslo kmenné.
Číslem složeným11) buď A; pravím, že číslu A jest měrou nějaké číslo kmenné.
Neboť ježto A je složené, bude mu nějaké číslo měrou. Budiž A měrou a buď to B. A jest-li B kmenné,
-——>   byl by úkol vykonán; pakli složené, bude
mu nějaké číslo měrou. Budiž měrou a bud
|_B_ to C. A ježto C jest měrou čísla B a B
*~ 1 čísla A, tedy C je též měrou čísla A. A
jest-li  C kmenné, byl by úkol vykonán;
i_pakli složené, bude mu nějaké číslu měrou.
Bude-li   se  ovšem  dále   takto uvažovati,
") Tím rozumí se 3oučin nejméně dvou Čísel (větších než jednotka).
dojde se nějakého čísla kmenného, jež bude (předcházejícího) měrou.19) Neboť nedojde-li se ho, bude číslu A měrou nekonečný počet čísel, z nichž jedno druhého bude menší; což právě při číslech nemožno Dojde se tedy nějakého čísla kmenného, jež bude měrou předcházejícího a též čísla A.
Tedy každému složenému číslu jest měrou nějaké číslo kmenné; což právě bylo dokázati.
XXXII.
Každé číslo jest buď kmenné nebo má nějaké číslo kmenné měrou.
Číslem budiž A; pravím, že A jest bud kmenné nebo má nějaké číslo kmenné měrou.
Jest-li ovšem A kmenné, byl by úkol vykonán; pakli složené, bude mu nějaké kmenné číslo měrou (xxxi.).
Tedy každé číslo jest buď kmenné nebo má nějaké číslo kmenné měrou; což právě bylo dokázati.
XXXIII.
d
Dáno-li někokolik čísel, najdi nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona.
Danými několika čísly budtež A, B, C; mají se tedy najiti nejmenší z těch, která mají týž poměr jako A, B, c
A, B, C zajisté buď jsou navzájem kmenná bud ne, Jsou-li tedy A
B, C navzájem kmenná, jsou to nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona (VII. xxi.)
Pakli ne, vezměme D za největší společnou míru čísel A, B, C (VII. in.), a jakou měrou je D každému z čísel A, B, C, po tolika jednotkách mějtež E, F, O. Tedy též čísla E, F, G jsou jednotlivě měrami čísel A, B, C dle jednotek v D. Tedy E, F, G jsou stejnou měrou čísel A, B, C; pročež E, F, G jsou v témž poměru jako A, B, C. Pravím ovšem, že jsou také nejmenší. Neboť nejsou-li E, F, G nejmenší z těch, která mají týž poměr jako A, B, C, nějaká čísla menší než E, F, G budou míti týž poměr jako A, B, C. Buďťe to H, K, L; tedy H je stejnou měrou čísla A, jakou jednotlivě čísla A, L číslům B, C. A jakou měrou čísla A jest H, tolik jednotek měj JI/; tedy také čísla K, L jsou jednotlivě měrami čísel B, C dle jednotek v M. A ježto H jest měrou čísla A dle jednotek v M, tedy Jí jest měrou čísla A dle jednotek v H. Z téže příčiny ovšem jest M také měrou čísel B, C jednotlivě
i
B
k l x
e
I
M
l2) Číslo 2 patrně pokládá za kmenné, jinak byl by úkol nesprávny.
íáó
121
dle jednotek v K, L; tedy M jest měrou čísel A, Ě, C. A ježto H jest měrou čísla A dle jednotek v M, tedy HxM—A. Z téže příčiny ovšem též Ex D = A; pročež EX D = HX M. Tedy E:H—M:D. Avšak E^>H, tedy též M^>D a jest měrou čísel A, B, C, což právě nemožno; neboť D vzato za největší společnou míru čísel A, B, C. Pročež nebude čísel menších než E, F, G. jež by měla týž poměr jako A, B, C Tedy E, F, G jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký A, B, C; což právě bylo dokázati.
XXXIV.
Dána-li dvěčísla, najdi číslo nejmenší, jehož jsou m ě r a m i.
Danými dvěma čísly budtež A, B, má se tedy najiti nejmenší číslo, jehož jsou měrami.
A, B jsou zajisté bud navzájem kmenná buď ne. Budtež A, B dříve navzájem kmenná a buď A x B—C, tedy též BxA—C. Tedy
A, B jsou měrami čísla C. Pravím ovšem,  že C jest nejmenší. Nebot
^ ,-1 /j, i      není-li tak, budou A, B měrami čísla
menšího  než C.   Budiž to  číslo D. A jakou měrou čísla Ľ jest A, tolik C' 1 jednotek buď v E,   a jakou měrou
čísla Ľ jest B, tolik jednotek bud v F. Tedy AxE= D, BxF=D; pročež Ax E= Bx F. Tedy A:B = F:E. A, B však jsou kmenná, kmenná pak i nejmenší, nejmenší pak jsou stejnou měrou čísel týž poměr majících, větší většího, me-nší menšího; tedy B jest měrou čísla E jakožto zadní zadního. A ježto znásobením čísel B, E číslem A vzniknou C, D, tedy B:E—C'.D. Avšak B jest měrou čísla E, jest tedy též C měrou čísla D, větší menšího, což právě nemožno. Tedy A, B nejsou měrami čísla menšího než C; pročež A, B jsou měrami čísla C, které jest nejmenší.
Nebuďte již A, B navzájem kmenná, a za nejmenší čísla z těch, která mají týž poměr jako A, B, vezměmež F, E (VII. xxxm.); tu jest AxE— BxF. A budiž A x E= C, tedy též B X F = C; pročež
A, B jsou měrami čísla C. Pravím ovšem,
A _b__ že C jest nejmenší.  Neboť není-li tak,
budou A, B měrami nějakého čísla menšího než C; budiž to D. A jakou měrou čísla D jest A, tolik jednotek měj G, a jakou měrou čísla D jest B, tolik jednotek měj H. Tedy AxG = D a BxH— D.
,-d Pročež^X G = BXH; tedy A:B = H:G,
&wsakA:B=F:E, tedy též F: E=H: G,
<-\G >———i/f F, E však jsou nejmenší,  nejmenší pak
jsou touž měrou těch, která mají týž poměr, větší většího  a menší menšího. Pročež E je měrou čísla G.
A ježto znásobením čísel E, G číslem A vzniknou C, D, tedy E:G = C:D. E však je měrou čísla G, pročež také C je měrou čísla D, větší menšího, což právě nemožno. Tedy A, B nebudou měrami čísla menšího než C. Pročež A, B jsou měrami čísla C, které jest nejmenší; což právě bylo dokázati.
XXXV.
Když jsou dvě čísla nějakému číslu měrami, také nejmenší číslo, jehož jsou měrou, bude rovněž onomu měrou.
Nuže buďte dvě čísla A, B měrami nějakého čísla CD i nej-menšího E;   pravím,  že též E jest
měrou čísla CD. ^|_,        ^,_,
Neboť není-li E měrou čísla CD, E doměřujíc DE ostavuj menší sebe
číslo CF.  A ježto A, B jsou měrami    (_,_,
čísla E, E  pak  čísla DF,  tedy též     C F D
A, B budou měrami čísla DF. Jsou
pak měrami též celého CD, tedy budou ,_^
též měrami zbývajícího čísla CF, ač jest menší než E;   což právě nemožno.13)  Pročež není možno, by E nebylo měrou čísla CD; tedy jest; což právě bylo dokázati.
XXXVI.
Jsou-li dána tři čísla, najdi nejmenší číslo, jemuž jsou měrami.
Danými třemi čísly buďtež A, B, C; má se tedy najiti nejmenší číslo, jemuž jsou měrami.
Nuže vezměme D za nejmenší číslo, jemuž dvě A, B jsou měrami (VII. xxxiv.). C ovšem bud jest nebo není měrou čísla D. Budiž dříve měrou; jsou pak též A, B měrami čísla D; tedy A, B, C jsou měrami čísla D. Pravím ovšem, že je D také nejmenší. Neboť není-li tak, budou A, B, C měrami čísla menšího než D. Budiž to E. Ježto A, B, C jsou měrami čísla E, tedy též A, B jsou měrami čísla E. Pročež také nejmenší, jemuž A, B jsou měrami, bude měrou čísla E. Nejmenší pak, jemuž A, B jsou měrami, jest D; tedy D bude měrou čísla E, větší menšího, což právě nemožno. Pročež A, B, C nebudou měrami nijakého čísla menšího než D; D tedy jest nejmenší, jehož měrami jsou A, B, C.
Nebuď již dále C měrou čísla D, a za nejmenší číslo, jehož měrami jsou C, D, vezměme E (VII. xxxiv). Ježto A, B jsou měrou
-*c
^F
ls) Neboť napřed položeno, že nejmenší jest E.
i22
12«
2Sv
čísla Z>, I> pak čísla B, tedy též j4, B jsou měrami čísla li. Jest pak
též C jeho měrou; pročež A, B, C
___i jsou měrami čísla E. Pravím ovšem,
že E je též nejmenší. Neboť není-li tak, —{ budou A, B, C měrami nějakého čísla
menšího než E. B uďte ž měrami čísla
-1 F. Ježto A, B, C jsou měrami čísla F,
těž A, B jsou tedy měrami  čísia F;
-1 pročež také nejmenší, jehož A, B jsou
měrami, bude měrou čísla F. Nejmenší
i------—:—1     však, jehož měrami jsou A, B, je D;
ledy D jest měrou čísla F. Jest pak
i-------------F      též C měrou čísla F; tedy £>, C jsou
měrami čísla F; pročež i nejmenší, jehož Ľ, C jsou měrami, bude měrou čísla F. Nejmenší však, jehož měrami jsou C, D, jest E\ tedy E jest měrou čísla F, větší menšího, což právě nemožno. Pročež A, B, C nebudou měrami žádného čísla menšího než E. Tedy E jest nejmenší, jehož měrami jsou A, B, C; což právě bylo dokázati.
XXXVII.
Když je  číslu  číslo  nějaké  měrou,  měřené bude míti díl s měrou stejnojmenný.
Nuže buď číslu A měrou nějaké číslo ,__1/f     B; pravím,   že má A díl s B stejnojmenný. '*)
Nuže jakou  měrou čísla A jest B,
>--ij} tolik jednotek měj C. Ježto B jest měrou
čísla A dle jednotek v C a též jednotka D jest měrou čísla  C dle jeho jednotek,
i-iC tedy jednotka D je touž měrou čísla C
jako B čísla A. Pročež střídavě jednotka D je touž měrou čísla B jako C čísla A:
1->D jakým tedy dílem čísla B jest jednotka D,
týmž dílem jest i C čísla A. Jednotka pak D jest díl čísla B s ním stejnojmenný. Tedy též C jest díl čísla A stejnojmenný s B; pročež A má díl C stejnojmenný s B; což právě bylo dokázati.
XXXVIII.
Když má' číslo nějaký díl,  bude   mu měrou číslo s dílem tím stejnojmenné.
Nuže měj číslo A nějaký díl B, a s dílem B budiž stejnojmenným C
") T. j. jakým dílem míry b jest jednotka, takovým dílem čísla a jest díl jeho c,
41.
pravím, že C jest měrou čísla A. Neboť ježto Š jest díl čísla A stejnojmenný s C a též jednotka D jest díl čísla O s ním stejnojmenný, jaký tedy díl čísla C jest v jednotka I), také B je týž díl čísla A; tedy jednotka D je touž měrou čísla C jako B čísla A Pročež střídavě jednotka t Z> je touž měrou čísla B jako C čísla A_ Tedy C jest měrou čísla A; což právě bylo dokázati. ,
XXXIX.
Najdi číslo, jež b3' mělo díly dané jsouc nejmenší-Danými díly buďtež A, B, C; má se tedy najiti  číslo, jež by jsouc nejmenší mělo díly dané A, B, C.
Nuže mějme s díly A, B, C stejnojmenná iA_t čísla D, E, F a za číslo nejmenší, jehož měrami jsou D, E, F, vezměme G. f)
Tedy G má díly stejnojmenné sD,F.F ' <VII. xxxvii.); díly pak s D, E, F stejnojmenné jsou A, B, C. Pravím ovšem, že O 1-
je též nejmenší. Neboť není-li, bude nějaké číslo menší než O, jež bude míti díly A. B, C. Budiž to H. Ježto H má díly A, B, C, ' íedy číslu H budou měrami čísla stejnojmenná s díly A, B, C (Vil. xxxviii). S díiy 1-
však A, B, C stejnojmenná čísla jsou D, E, F; tedy číslu H jsou měrami D, Ľ, F. I jest H menší než G, což právě nemožno. Nebude tedy žádného čísla menšího než G, jež by «nělo za díly A, B, C: což právě bylo dokázati.
B
->ŕ"
Kniha osmá.
i.
Když jest několik čísel spojitě úměrných a krajní žních jsou navzájem kmenná, jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona.
Budiž několik čísel spojitě 'J úměrných A, B, C, D a krajní z nich A, D buďte navzájem kmenná; pravím, že A, B, C, D jsou nejmenší 2 těch, která mají týž pomčr, jaký ona.
!) Pravidlo řečené má platnost, jen když igijs avcUoyov značí .spojitou* úmirnosl: čísla po řade bud se zvětšují bud zmenšují.   Vyobrazení vydáni Heibergovn lidy
a tu čísla po -dle toho tuto jest opraveno.
Eh
F-G-
A Nuže není-li tak, menší než A, B, C, D
buďtež E, F, G, H, majíce týž poměr, jaký 13 ona. A ježto A, B,  C, D mají týž poměr,
-.c jaký E, F, G, H & počet počtu jest roven,.
___„ tedy stejnořadně A:D = E:H. A, D však
jsou kmenná, kmenná pak i nejmenší, nej-menší však čísla jsou týmiž měrami těch,
_i která mají  týž poměr, větší většího jako-
menší menšího, t. j. přední předního jako ' zadní zadního. Jest tedy A měrou čísla Et
H>--1 větší menšího, což právě nemožno. Pročež
E, F, G, H jsouce menší než A, B, C, Ľ* nemají téhož poměru, jaký tato. Tedy A, B, C, D jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona; což právě bylo dokázati.
II.
Najdi nejmenších čišel spojitě úměrných, kolik kdo uloží, v poměru daném.
Daným poměrem v číslech nejmenších buď A-.B-); má se tedy najiti nejmenších čísel spojitě úměrných, kolik kdo uloží, v poměru A: B.
Nuže budtež uložena čtyři, a buď AxA=C, AxB=D a ještě-BxB = E a též AxC=F, AxD— G, AxE=H a BxE = K.
A ježto AxA — Ca AxB — D, tedy A:B=C:D. Dále, ježto-AxB = D a BxB = E, tedy násobením čísla B čísly A, B vzniknou
D, E. Pročež A:B = D:E. Avšak A:B = ,_,A ____c C:F), tedy též C: D ~ D: E. A ježto zná-
sobivše  Č, D číslem A dostali jsme F,
,-lb ,-d G, tedy C:D = F:G. Bylo však C:D —
A :B, tedy též A:B = F:G. Dále, ježto ' ,Ľ znásobivše D, E číslem A dostali jsme
,_,F ,c   G, H, tedy D: E = G:H. Avšak D: E—
A: B,  tedy též A:B=G:H.   A ježto
1-iří znásobivše E čísly A, B dostali jsme H.
K, tedy A:B~H: K.   Avšak A: B =
•-—'K   F:G — G:H, tedy též F:G = G:H=
H.K. Pročež C, D, E a F, G, H, /<Tjsou úměrná poměrem A: B. Pravím ovšem, že jsou také nejmenší. Neboť ježto A, B jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona, nejmenší pak z těch, která mají týž poměr, jsou navzájem kmenná (VII. xxii.), tedy A, B jsou navzájem kmenná. A samonásobky čísel A, B daly C, E a AxC—F, BxE = K, tedy C, E jsou navzájem kmenná a též F a K. A když jest několik čísel spojitě úměrných a krajní z nich jsou navzájem kmenná, jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona. Tedy C, D, Ea) a F, G, H, K jsou nejmenšt z těch, která mají týž poměr, jaký A, B;  což právě bylo dokázati..
2) Ncjsou-li nejmenší, najdeme nejmenší téhož poměru dle VII. XXXI1J. s) K číslům C, V, E přihlíží pro následující důsledek.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, když tři čísla spojitě úměrná jsou nejmenší z těch, která mají týž poměr, jaký ona, že krajní z nich jsou .čtvercová, pakli čtyři, krychlová 4).
III.
Když jest několik čísel spojitě úměrných nejmenších ztěch, která majttýžpoměr, jakýona, krajní z nich jsou navzájem kmenná.
Několika čísly spojitě úměrnými nejmenšími z těch, která mají týž poměr, jaký ona, buďtež A, B, C, D;
pravím, že krajní z nich A, D jsou na-   |_^ i__i_r
vzájem kmenná.
Nuže vezměmež E, F za dvě nejmenší   ;-o
čísla poměru, jaký mají A, B, C, D, za tři
pak G, H, K a po řadě o jedno více, až —<E 1—>F
braný počet se vyrovná počtu A, B, C, D.
Vezměmež a buďte to L, M, N, O. '    'G   ' lH
A ježto E, i7 jsou nejmenší z těch, která   ,_t^
mají týž poměr, jaký ona, jsou navzájem
kmenná (VII. xxri.).   A ježto E'!, F"2 dají   1->L 1->M  ■--N
<G'\ K"1 (VIII. n.) a E x G = L, FxK=0,
•tedy též G, K a L, O jsou navzájem kmenná.        1 "°
A ježto A, B, C, D jsou nejmenší z těch,
'která mají týž poměr, jaký ona, a též L, M, N. O jsou nejmenší téhož poměru jako A, B, C, D, a počet A, B, C, D, jest roven počtu L M, N, O, tedy čísla A; B, C, D jsou jednotlivě rovna číslům L, M, N, O; a tak A = L, D—O. I jsou L, O navzájem kmenná; pročež také A, D, jsou kmenná; což právě bylo dokázati.
iv. ai_i ni_^ ri_
D á n o -1 i několik poměrů čísly nejmenšími, najdi čísla nejmenší spojitě poměrná5) dle poměrů daných.
Danými poměry v číslech nejmenších buďtež A:B, C:D a ještě E:F; mají se tedy najiti nejmenší čísla spojitě poměrná dle poměrův A: B, C.D a ještě E:F
Nuže za nejmenší číslo, jehož měrami jsou B, C, vezměme G.  A jakou
*) Neboí v řadě C D, E vznikla O, B z A-, B-, v řadě F, G, H, K vznikla P K z A x A1 & B x R-. v „ . R
") Mají se totiž najiti čísla nejmenší, která by se spojíte k sobe mela jako Ji . a C:D, É:P, na př. v : x, x :y, y : .:, kdež v.x=A:B, x : y = C: D, y : z= E : F. Zovu
127
1 í t)
měrou čísla G jest B, takovou bud A čísla H, a jakou C čísla Gr takovou bud i D čísla K. E však bud jest měrou čísla K buď není. Budiž nejprve. A jakou měrou čísla K jest E, takovou buď i F čísla L. A ježto A je touž měrou čísla//, jakou i? čísla G, tedy A: B — H:G., Z téže příčiny ovšem také C:D=G:K a rovněž E: F = K: L ; pročež. //, (?, i', i jsou spojitě poměrná dle poměrův A:B, C:D, E:F. Pravím ovšem, že také nejmenší. Nuže nejsou-li H, G, R~, L spojitě poměrná nejmenší dle poměrův A.:B, C:D, E:F, buďtež N, O, M, 1\ A ježto A:B = N: O & A, B jsou nejmenší, nejmenší pak jsou touž měrou těch, která mají týž poměr, větší většího jako menší menšího,, t. j. přední předního jako zadní zadního, tedy B jest měrou čísla 0'T z téže příčiny ovšem i C jest měrou čísla O; tedy B, C jsou měrami čísla O. Proto i nejmenší, jehož měrami jsou B, C, bude měrou čísla O. Nejmenší však, jehož měrami jsou B, C, jest G; tedy G jest měrou čísla O, větší menšího, což právě nemožno, Tedy nebude čísel nad H, G, K, L menších spojitě poměrných dle poměrův A: B, C:D, E:F.
Nebuď již E měrou čísla K, a za nejmenší číslo, jehož měrami jsou E, K, vezměmež M (vyobr. druhé). A jakou měrou čísla M jest K, takovou buď též H čísla N a G čísla O; a jakou měrou čísla A/jest E,
takovou buď též F čísla P.   Ježto H
i_a    i_.b     ,_iG je touž měnou čísla N, jakou G čísla O,
D,_,    F,_,    F,_,      tedy h:G — N:0. Avšak H: G = A:B,
proto též A:B = N:0. Z téže příčiny ovšem i C:D=0:AÍ. Dále, ježto E je touž měrou čísla M, jakou F čísla P, tedy E:F — M:P. Pročež N, O, M, F jsou spojitě poměrná dle poměrův A :B, C:D, E:F. Pravím ovšem, že i nejmenší v poměrech A:B, Č:E>, E:F. Pakli ne, budou některá čísla spojitě poměrná dle poměrův A :B, C:D, E:F menší než N, O, M, P. Budtež jimi Q, R, S, T. A ježto Q:R = A:B, avšak A:B jsou nejmenší, nejmenší pak jsou týmiž měrami těch, která mají týž poměr, jaký ona, přední předního jako zadní zadního, tedy B jest měrou čísla R. Z téže příčiny ovšem i C j.est měrou čísla R; a tak B, C jsou měrami čísla pročež i nejmenší, jemuž B, C jsou měrami, bude měrou čísla B. Nejmenší však, jemuž B, C jsou měrami, jest G; tedy G jest měrou čísla R. A G:R = K:S, pročež i K jest měrou čísla S. Jest pak též i£ měrou čísla <S; tedy E, K jsou měrami čísla S. Také nejmenší tedy, jemuž E, K jsou měrami, bude měrou čísla S Nejmenší pak, jemuž E, K jsou měrami, jest M; tedy M jest měrou čísla S, větší menšího, což právě nemožno. Pročež nebude čísel spojitě poměrných dle poměrův A:B, C:D, E:F menších než N, O, AI, P; tedy N, O, AI, P
G>-
Mi-
0>-
řadu takových čísel »spojitě poměrnými* čísly (na rozdíl od čísel »spojitě úměrných", což by bylo v : x = x : y = y : z), ač je Euk\ rovněž jako spojitě úměrná jmenuje — nepřesně — éjjíjs áváXofov.
6) Zmenšeno na '/,„.
H
jsou nejmenší spojitě poměrná dle poměrův A:B,  C.D, E:F; což právě bylo dokázati.
V.
Rovinná čísla mají k sobě poměr složený ze stran. Rovinnými čísly buďtež A, B a měj A za
strany čísla C, D a B čísla E, F; pravím, že    >--'a
A se má ku B poměrem složeným ze stran. 7)
Nuže dány-li poměry C:EaD:F, začísla 1 spojitě poměrná dle poměrů C:E. D: F vezměme G, H, K, takže C:E=G:H a D-.F = H: K, a budiž D X E = L. A ježto F) X C = A ^E a DxE = L, tedy C:E=A:L.   A C:E =
G. H;   pročež i  G:H=A:L.   Dále,  ježto    |    g i_______
Ex D = L, avšak bylo zajisté také E X F= B,
tedy D:F=L:B. Avšak D : F= H: K, pročež    ,-.—. l
i H.K~E:B.   Bylo pak dokázáno, že též
G:H = A:L; stejnořadně (VII. xiv.) tedy G: K— A:B. G však má se ke K poměrem složeným ze stran8); tedy A se má ku # poměrem složeným ze stran ; což právě bylo dokázati.
VI.
Když je několik čísel spojitě úměrných a první druhému není měrou, ani jiné žádné žádnému nebude měrou. t
Několika čísly spojitě úměrnými buďtež A, B, C, D, E a nebuď A měrou číslu B; pravím, že ani jiné žádné žádnému nebude měrou.
Že zajisté A, B, C, D, E po řadě   ' 'A
navzájem se nedoměřují, patrno; neboť   ,-'B
ani A číslu B není měrou. Pravím ovšem, ^_
že ani jiné žádné žádnému nebude měrou. Nuže,  možno-li, budiž A měrou    '--^D
čísla C. A kolik čísel jest A, B, C, to-    ,____L,
lik za nejmenší z těch,  která mají týž
poměr, jaký A, B, C, vezměmež F, G, H   1 <F
(VII. xxxnr.). A ježto F, G, H mají týž   .->c
poměr, jaky A, B, C a počet A, B, C    |_H
roven počtu F, G, H. tedy stejnořadně A:C=F:H.   A ježto A: B = F: G a
není A měrou čísla B, tedy ani F není měrou čísla G; pročež F není jednotka, neboť jednotka jest měrou každého čísla. I jsou F, H navzájem kmenná (Vlil. m.). A F:H=A:C; není tedy ani A měrou čísla C. Podobně ovšem dokážeme, že ani jiné žádné žádnému nebude měrou; což právě bylo dokázati.
") To jde z úměr C: E -■
.; : // s. /):/< = H : K.
128
i- ~iA
V.I.
Když jest několik čísel spo-i-,b jitě úměrných  & první jest mě-
rou  posledního,   také druhého
^ _| budeme r ou.
Několika čísly spojitě úměrnými buď-tež A, B, C, D a buď A měrou čísla Z);
'-----<D     pravím, že jest A též měrou čísla B.
Neboť není li A měrou čísla B, ani jiné žádné žádnému nebude měrou; je však A měrou čísla Ľ. Tedy A jest měrou čísla B; což právě bylo dokázati.
C, D
Hi K >
-"M
VIII.
Když se mezi dvě čísla vejdou čísla dle spojité úměry, kolik čísel mezi ně se vejde dle spojité úměry, tolik se vejde dle spojité úměry též mezi čísla (jiná) téhož poměru.
Nuže mezi dvě čísla A, B vejdětež se dle spojité úměry čísla a buď A: B — E:F; pravím, že tolik čísel, kolik dle spojité úměry vloženo mezi A a B, vejde se dle spojité úměry též mezi E a F. A '   ' Nuže kolik je čísel A, B, C, D, za
tolik čísel nejmenších téhož poměru, jaký mají A, C, D, B, vezměme G, fí, K, L. Tedy krajní z nich G, L jsou navzájem
-•  kmenná (VIII. in.).  A ježto A, C, D, B
mají týž poměr jako G, H, K, L a počet A, C, D, B je roven počtu G, H, K, L, tedy stejnořadně  A : B — G: L; avšak ,H A:B = É: F; pročež i G:L=E:F. G, L
však jsou kmenná, kmenná  pak také ' —'F nejmenší, nejmenší pak čísla jsou týmiž
měrami těch, která mají týž poměr, větší větší většího jako menší menšího, t. j. přední předního jako zadní zadního. Tedy G je touž měrou čísla E, jakou L čísla F. Jakou tedy měrou čísla E jest G, takovou buď též Hčísla M a K čísla N. Tedy O, H, K, L jsou týmiž měrami čísel E, M, N, F. Pročež G, H, K. L mají týž poměr, jaký E, M, AT, F. Avšak G, H, K, L mají týž poměr, jaký A, C, D, B; tedy též A, C, D, B mají týž poměr, jaký E, M, N, F. A, C, D, B jsou však spojitě úměrná; pročež i E, M, N, F jsou spojitě úměrná. Tedy kolik čísel jest vloženo mezi A, B dle spojité úměry, tolik čísel je dle spojité úměry vloženo mezi E a F; což právě bylo dokázati.
IX.
Když jsou dvě čísla navzájem kmenná a mezi ně se vejdou čísla dle spojité úměry, kolik čísel mezi ně
1 lil)
se vejde dle spojité úměry, tolik také se vejde dle spojité úměry mezi kterékoli z obou a jednotku.
Dvěma čísly navzájem kmennými buďtež A, B a mezi ně dle spojité úměry vložme C, D a za jednotku vezměme E; pravím, že tolik čísel, kolik vloženo dle spojité úměry mezi A a B, vejde se dle spojité úměry též mezi A nebo B a jednotku.
Nuže za dvě nejmenší čísla poměru A, C, D, B vezměmež F, G, za tři pak H, K, L a vždy po řadě o jednu více, až se počet jejich vyrovná počtu A, C, D, B (dle VIII. n.). Vezměmež a buďtež to M, N, O, P. Patrno zajisté, že FxF = H, FXH=M a GXG=X, ■GXL=P (VIII. n.). A ježto M,
JV, O, P jsou nejmenší z těch, _,A
která mají týž poměr, jaký F,    ,_,c
G, jsou pak též A, C, D, B nej-     , _,D
menší z těch, která mají týž po-____ b
měr, jaký F,  G a počet M, N,     ^ ^ _H
O, P roven počtu A, C, D, B,     1-1 ~^ tedy čísla M, N, O, P jsou jednotlivě číslům A, C, D, B rovna; tedy M—A.  P — B.   A ježto FxF=H, tedy F jest měrou čísla H dle jednotek v F. Jest pak jednotka E měrou čísla F dle jeho jednotek; pročež jednotka je touž měrou čísla F, jakou l čísla H, tedy E:F=F:H. Dále, ježto FyKH = M, tedy H jest měrou čísla M dle jednotek v F. Jest pak též jednotka E měrou čísla F dle jeho jednotek; pročež jednotka F je touž měrou čísla F, jakou H čísla M, tedy E:F=
H. M. Dokázáno však bylo, že též E:F=F:H; a tak též E:F = F:H=H:M. Avšak M=A; pročež E: F= F: H = H: A. Z téže příčiny ovšem také E G — G.L = L:B. Tedy kolik čísel je vloženo dle spojité úměry mezi A a. B, tolik čísel vloženo též jednotlivě mezi A, B a jednotku E; což právě bylo dokázati.
i-G	—'M	(N		-íl
			-iO	
				P
X.
Když se vejdou mezi některé ze dvou čísel a jednotku čísladle spojité úměry, kolik čísel se vejde mezi některé z nich a jednotku dle spojité úměry, tolik se vejde dle spojité úměry též mezi ona čísla.
Nuže mezi čísla A, B a jednotku C vejdětež se dle spojité úměry čísla D, E a F] G; pravím, že tolik čísel, kolik se vloží dle spojité úměry mezi A nebo B a jednotku C, vloží se dle spojité úměry též mezi A & B
Nuže budiž DXF—H, DXH=*K, FX H = L.
A ježto C: D = D: E, tedy jednotka C je touž měrou čísla D, jakou D čísla E. Jednotka však C jest měrou čísla D d'.e jednotek v D, tedy též číslo D jest měrou čísla E dle jednotek v D; pročež DXD = E. Dále, ježto C:D = E:A, tedy jednotka C je touž měrou
Uii)
1hi
čísla I), jakou E čísla A. Avšak jednotka C jest měrou čísla D dle jednotek v T), tedy též E jest měrou čísla A dle jednotek v D: pročež
DxE=A.   Z téže   příčiny   ovšem též
_ mC FxF= G a FXG—B. A ježto DXD = E
a DXF = H, tedy D: F =^ £: i/.   Z- téže
i__-<b    příčiny ovšem též D: F—H: G  Pročež také
E: H—H: G.   Dále,  ježto   D X ^ = A a
1—'ľ     i-'E D X H — K,   tedy  E:H=A:K. Avšak
E:II=D: F, tedy též D:F=A: K. Dále,
_f   '-■—'q ježto D XH — K, F X H — L, tedy Z) : F =
,_|L, ZT:F.   Avšak  D: ľ —A: K,  pročež také
'      '' y4:Z=/r:I,. Poněvadž mimo to F X H=L
i_,K a FXG = B,  tedy H:G — L:B. Avšak
H: G = D: F, tedy též D:F=L:B. Bylo
1---'L však dokázáno, že též Z); F = A : K— K: L ;
proto též A;K=K:L = L:B. Tedy A, K, L, B mají se k sobě po řadě dle spojité úměry. Kolik tedy čísel se vejde jednotlivě mezi A, B a jednotku C dle spojité úměry, tolik se vejde dle spojité úměry též mezi A a B; což právě bylo dokázati.
XI.
Dvě čísla čtvercová maj í jedno zastřední úměrnou, a čtverec má se ke čtverci jako dvoj m oci jejich stran.9) Čísly čtvercovými buďtež A, B, a měj A za stranu C, a B měj D;
pravím, "že A, B mají jedno číslo za střední úměrnou a že A : B — C* : D'1. ' ' Nuže budiž CX n = Zí A ježto A jest
číslo čtvercové a strana jeho C, tedyCXC' = 1 ~ 'B    A ; z téže příčiny ovšem též D X B> — B.
Ježto tedy CXC=A a CXD = E, tedy i     ,c i     id C: D = A: E   Z téže příčiny ovšem také
C:D=E:B; proto též A\E—E: B. Tedy 1 lE        ^, /< mají jedno číslo za střední úměrnou.
Pravím již, že A : B — C": D": Neboť ježto tři čísla A, E, B jsou (spojitou) úměrou, tedy A: B = A"2: E2 (V. vým. 9.); avšak A: E= C: Z), pročež A:B=C'1: fí"; což  právě bylo dokázati.
XII.
Dvě čísla krychlová mají dvě čísla za střední úměrné, a krychle má se ke krychli jako t r o j m o c i jejich stran.
Čísly krychlovými buďtež A, B, a mějž A za stranu C, a B měj D; pravím, že mají A, B dvě čísla střední úměrná a že A:B = C3 : D3.
°) Vlastně: mají k sobě poměr  dvojmocně  větší  (SiTiXaaíova Aó-f&v)  než strana k straně.
Nuže buď C XC = E, CXD — F& ĽXD — G, jakož i C X — H, DX F—K.
A ježto A jest číslo krychlové a strana jeho C a CXC=E, tedy CXC^Zí a CX-E=-<4- Z téže příčiny ovšem též DXD— G a DX G =■ B. A 'ježto CXC = E &^CX-D = F, tedy C:D — E:F. Z téže příčiny ovšem také C:D=F:G. Dále, ježto CX^—A a CXí = ií, tedy E:F — A:H. Avšak E:F= C: D, tedy též C:D = A:H. Dále, ježto CXF=H a DXF=K> tedy C:Z> = ZZ:Zf Dále, ježto DXF=K a Z) X 6 = 5, tedy F: G — K: B. Avšak F\G—C:D, pro-čež také C:D = A:Ff=H:K= K:B. Tedy /á, Z? mají dvě střední úměrné ZZ, FT.
Pravím již, že též .4: Z? = C3:F>3. Neboť ježto čtyři čísla A, ZZ, K, B jsou (spojitě) úměrná, tedy A:B = Aa:HB (V. vým. 10.). Avšak A:H=C: D, tedy též A : B = C3: D3; což právě bylo dbkázati.
XIII.
Když jest několik čísel spojitě úměrných a každé samo sebou znásobeno jsouc činí jiné, vzniklá z nich budou (spojitě) úměrná, a když se vzniklá znásobí počátečními a vzniknou jiná, i ta budou sama (spojitě) úměrná [a tak vždy s konečnými se stává.] Ai_i H
Budiž  několik   čísel   spojitě   B,_,
úměrných A Z?, C, takže A: Z? = h
B : C, a  budiž A X A — D 10),   G'-_
B X B — E,   CXC — F, jakož
iAXD=Q,BXE=H,CX*=    '-iD
K\ pravím, že D, E, F i G, ZZ,    ,_lE
K jsou spojitě úměrná.
KuiebudAXB=L,AXL=   '-lp '-,p
M, BXL = N, adáleZiX C=0.    ,_,L ,_9^
BXO = F, CX 0=Q. Podobně
ovšem jako svrchu (t. j. VIII. xn.    ' '°
dle VII. xvn xvin.), dokážeme,
že D, L. E a G. M, N, ZZ jsou spojitě úměrná dle poměru A:B a rovněž E, O, F a ZZ, P, Q, K jsou spojitě úměrná dle poměru B:C. I jest A:B—B:C; pročež také D, L, F mají týž poměr jako E, O, F a též G, M, N, FZ jako H. P, Q, K. A počet D, L, E je roven počtu E O, F, počet pak G, M, Ar, ZZ počtu ZZ, P, Q, K; stejnořadně tedy D:E=E:F a G:H—H:K\ côž právě bylo dokázati.
") Bylo  nutno  zmenšili D, E, F, L,   O na 7l0, G, H, K, M, jV, P, Q na 7C,
132
131!
XIV.
Když je čtverec čtverci měrou, též strana straně bude měrou; a když je měrou strana straně, bude i čtverec měrou čtverci.
Čtvercovými čísly bucľtež A, B, stranami pak jejich C, D, a buď ./ měrou čísla B; pravím, že též C je měrou čísla D.
Nuže budiž CX D= E, tedy A, E, B jsou spojitě úměrná (VIII. xr.)
dle poměru C-.D1'). A ježto A, E, B
_. jsou spojitě úměrná a jest A měrou
čísla li, tedy A je též měrou čísla E
_b_    (VIII. vil.);  a A:E=C:D,  tedy je
též C měrou čísla D.
i_i |_ Buď j;ž naopak C měrou čísla D;
'     ' pravím, že též A jest měrou čísla B.
Neboť touž úpravu vykonajíce po-E' ' dobně dokážeme, že A,  E, B jsou
spojitě úměrná dle poměru C: D. A ježto C:D — A:E a C jest měrou čísla D, tedy též A jest měrou čísla E; a A, E, B jsou spojitě  úměrná; pročež také A jest měrou čísla R. Když tedy je čtverec čtverci měrou, — — —
XV.
Když jest měrou číslo krychlové číslu krychlovému, bude měrou i strana straně; a když strana straně jest měrou, i krychle krychli bude měrou.
Nuže budiž krychlové číslo A měrou čísla krychlového B1'1), a mějž A za stranu C, B pak D; pravím, že C jest měrou strany D.
Nuže bud'CXC — E, D^D^G a též ,_i a CX-V = F, CXF=H, £>XF = K™).
Patrno zajisté, že E, F, G a A, H, K, B i-—i   jsou spojitě úměrná dle poměru C : D.
A ježto A, H, K, B jsou spojitě úměrná '   'c       1       iD a jest A měrou čísla B, tedy je též mě-
rou čísla H (Vili. vil.). • Též A:H = '      'E       ' C:D; tedy též C jest měrou čísla D.
,___,G Avšak   buď již C měrou  čísla D;
pravím, že bude  též A měrou čísla B. i-iH Neboť touž úpravu  vykonajíce po-
dobně zajisté dokážeme, že A, H, K, B '-'    jsou spojitě úměrná dle poměru C : D.
A ježto C jest měrou čísla D a C:D — A:H, tedy též A jest měrou čísla H; pročež jest A též měrou čísla B; což právě bylo dokázati.
") A : E = C1: O x D = C: D; E : B = C X D : D- = C : D. lvj B v obr. myšleno buď dvojnásobným.
'") Ve vyd. Heiberg. K zaměněno písmenem jiným ; opravil jsem.
XVI.
Když není číslo čtvercové měrou číslu čtvercovému, ani strana straně nebude měrou; a když není strana straně měrou, ani čtverec čtverci měrou nebude.
Čtvercovými čísly buďtež A, B, stranami pak jejich C, D, a nebude měrou čísla B; pravím, že ani C
není měrou čísla D. [ _i A
Neboť jest-li C měrou čísla D, bude
též A měrou čísla B (VIII. xiv.); avšak   1-1
A není měrou čísla B, tedy ani C ne-   ,_lG
bude měrou čísla D.
Nuže nebudiž naopak C měrou čísla   1 —'D D ; pravím, že ani A nebude měrou čísla B.
Neboť jest li A číslu B měrou, bude též C měrou číslu D (ib.); C však není měrou čísla D, tedy ani A nebude měrou čísla B; což právě bylo dokázati.
XVII.
Když není číslo krychlové měrou číslu krychlovému, ani strana straně nebude měrou; a když není strana straně měrou, ani krychle krychli měrou nebude.
Nuže nebuď krychlové číslo A měrou krychlového čísla B, a měj A za stranu C, B pak měj D; pravím, že C nebude měrou strany D. t__, ^
Neboť jest-li C měrou strany D, bude
též A měrou čísla B (VIII. xv.); A však   1-----'
není měrou čísla B, tedy ani C není mě-   ,_,c
rou strany D.
Avšak nebuď již C měrou strany £>;   h 'D pravím, že ani A číslu B nebude měrou.
Neboť jest-li A číslu B měrou, také C bude měrou straně Ľ ; C však není měrou straně D, pročež ani A nebude měrou čísla B \ což právě bylo dokázati.
XIX.
Dvě podobná čísla rovinná14) mají jedno číslo za střední úměrnou; a roviny mají se k sobě jako dvojmo c i stejnolehlých stran.
Podobnými dvěma čísly rovinnými buďtež A, B & mějž A za strany čísla C, D & B čísla E, F. A ježto podobny jsou ty roviny, jež mají úměrné strany (VII. vým. 21.), tož C:Dr=E:F. Pravím tedy, že A, 5 mají jedno číslo za střední úměrnou a že A: B = C2: E2 nebo D3:FS, t. j. ve dvojmoci stejnolehlá strana ke straně stejnolehlé.
'4) T. j. čísla plošného obsahu podobných rovin.
A ježto C-.D — E-.F, střídavě bude C:E=D:F. A ježto A jest rovina, strany pak její C, D, tedy DXC=-A; z téže příčiny ovšem
též EXF—B.   Tož budiž DXE= G. . A ježto D X C—A a D XE=G, tedy
v----,a C:E=A:G. Avšak C:E = D:E; pročež
také D:F—A:G. Dále, ježto EXD — G
<-----■-- a EXF=B, tedy D:F=G:B. Bylo
pak dokázáno, že též D: F— A: G; proto
i_,c      i-iD téžA:G=G:B.  Pročež ^1,  G,  B jsou
spojitě úměrná.   Tedy A, B mají jedno
|_ 1_(p číslo za střední úměrnou.
Pravím ovšem, že též A : B = C2 : £2 nebo F>-: F2.   Neboť ježto      C, B jsou h iG spojitě úměrná, A:B = A-:G'1 (V. vým.
9.).   Též A:G = C:E= D: F; pročež také A:B= C": E" = D'1: F"; což právě bylo dokázati.
XIX.
Mezi dvě podobná čísla tělesová vejdou se dvě čísla za střední úměrné; a podobná tělesa mají se k sobě jako troj moci stejnolehlých stran.
Podobnými dvěma tělesy buďtež A, B a. mějž A za strany C, D, E a B měj F, G, H.   A ježto podobná tělesa jsou ta, která mají
úměrné strany  (VII. vým. 21.). tedy C:D — F:G,   G:E=G:H; pravím, Al 1 že mezi A, B vejdou se dvě čísla za
střední úměrné a že A:B — C3: F3 = B' '        D3:Ga = E:>:H9.
Cl_,   D,_, E,_, Nuže budiž C X D = K a F X G =
L. A ježto C, D a F, G mají stejný ,   F    ,,    G    M    H poměra CXD = K, FXG=L, jsou
K, L podobná čísla rovinná, pročež K'-1      Li-1        K, L mají jedno číslo za střední úměrnou (VIII. xvni.) ; budiž to M. Tedy
—,    Ni-1      M—DXF, jak dokázáno v poučce
předešlé. A ježto D X C —K, D X F= ' M, tedy C:F=K:M; avšak K:M=
M:L; tedy Zf, M, L jsou spojitě úměrná dle poměru C:F. A ježto C:D=F-.G, střídavě tedy C:F — D:G. Z téže příčiny ovšem také I): G = E:H. Tedy K, M, L jsou spojitě úměrná dle poměru C:F, D:G a E: H. Buď již EX^t—^i HXM—O- A ježto jest těleso a strany jeho jsou C, D, E, tedy EXCX;D = A; avšak CX^—K, tedy Í'X^=X Z téže příčiny ovšem též HX L = B. A ježto E X E= A, ale zajisté také EX M — N, tedy K: M — A : N. A však K: M = C: F = D: G — E: H; tedy též C: F = D ■ G — E: H — A: N. Dále, ježto Z?X M— AT a HXM=0, tedy E:H=.N:0. Avšak £:H=C:F=:D:G; pročež i C:F=D:G = E:H=A-.AT=iN: O. Dále, ježto Z/X        O, ale zajisté též HX.L — B,
Mi—
tedv M-.L—O-.B. Avšak M: L—C: ľ—D :G — E: II. IVolo léž C:F = D.G — E:ľI=0:B = A:N — N:0.
Tedv ^4, Ar, 0, Z? jsou spojitě úměrná dle řečených poměrů stran.
Pravím, že též A : B — C3: F! = D3: G3 = E3: /Z3. Neboť ježto čtyři čísla A, N, 0, B jsou spojitě úměrná, tedy A: B— A3: N3 {V. vým. 10.). Avšak dokázáno, že A: N=C:F = D: G = E:H. Pročež také A: B=C3:F3 = D3:Ga = E3: E3; což právě bylo dokázati.
XX.
Když se mezi dvě čísla vejde jedno číslo za střední úměrnou, ta čísla budou podobné roviny.
Mezi dvě čísla A, B vejdiž se jedno číslo C za střední úměrnou; pravím, že A, B jsou podobná čísla rovinná. _iA
Za nejmenši čísla z těch, která mají týž poměr, jaký A:C, vezměme D, E u
(VII. xxxnr.);  tedy D je touž měrou 1-" ^
čísla A, jakou E čísla C.   Jakou tedy
měrou čísla A je D, tolik jednotek měj  >---\C,
F; pročež FX^= A.   Tedy A jest rovina a strany její D, F.   Dále, ježto D, ,_iD ,_^
E jsou nejmenši z těch, která mají týž poměr, jaký C: B, tedy D je touž měrou
čísla C, jakou E čísla B.   Jakou tedy 1     'E        1 'G měrou čísla B jest E, tolik jednotek měj
G. Pročež Z? jest měrou čísla B dle jednotek v G; tedy GXE~ Pročež B jest jest rovina a strany její jsou E, G.   Tedy A, B jsou čísla rovinná.
Pravím ovšem, že také podobná. Neboť ježto FXD — A a FXF=C,n) tedy D:E=zA:G, t. j. C:B. Dále, ježto EXF=C a EXG = B, tedy F: G—C.B. Avšak C:B = D:£; proto \ D-.E= F: G, a střídavě D-.F—E-.G. Tedy A, B jsou podobná čísla rovinná, neboť mají úměrné strany; což právě bylo dokázati.
XXI.
Když se mezi dvě čísla vejdou čísla dvě za střední úměrné, ta čísla (počáteční) jsou podobná tělesa.
Nuže vložme mezi dvě čísla A, B čísla dvě C, D za střední úměrné; pravím, že ^4, B jsou podobná tělesa.
Nuže za nejmenši čísla z těch, která mají týž poměr, jaký A, C, D vezměme tři E, F. G: tedy krajní z nich E, G jsou navzájem kmenná (VIII. ni.). A ježto mezi E, G vloženo jedno za střední úměrnou F, tedy E, G jsou podobná čísla rovinná. Měj tedy E za strany ZZ, K a G měj L, M. Tu je z předešlého patrno, že E, F, G jsou spojitě úměrná dle poměrů H.L a K:M. A ježto E, F, G jsou nejmenši z těch, která mají týž poměr, jaký A, C, D, a počet E, F, 0
") D : A = 1: F= E : C, z toho F x E = C.
roven počtu A, C, D, tedy stejnořadně E:G=A:D. Avšak E, G jsou km en n á, kmenná pak také nejmenší, nejmenší však jsou týmiž měrami těch, která mají týž poměr, jaký ona, větší většího jako menší menšího, t. j. přední předního jako zadní
_,a zadního; pročež i? je touž měrou čísla
A, jakou G čísla D. Jakou tedy měrou
"—-1  čísla A jest E, tolik jednotek měj A<T.
,_,c PročežNXE — A. AvšakE—HXK;
tedy NXHX^—A.   Proto A jest 1 ,D těleso a strany jeho jsou H, K, N. —
i-ie   i--if Dále> Ježt0 E> F>   G Jsou nejmenší
z těch, která mají týž poměr, jaký C, ' 1G D, B, tedy E je touž měrou čísla C,
<L   ,-iM jakou G čísla Ľ.   Jakou tedy měrou
čísla C jest E,  tolik jednotek měj O. ~^ Pročež G jest měrou čísla B dle jed-
notek v O; tedy C>XG=B. Avšak G=LXM\ a tak OXLX M = B; £jest tedy těleso, a strany jeho-jsou i, il/, O ; pročež .4, fi jsou tělesa.
Pravím ovšem, že též podobná Neboť ježto NX^—A a OXE=C, tedy N:0 = A:C, t. j. E:F. Avšak E:F= H:L= K: M pročež také H: L = E:M=N:0; a iř, Z, A- jsou strany tělesa .4; 6", L, M strany tělesa Ä Tedy čísla A, li jsou tělesa podobná; což právě bylo dokázati.
i—<N
xxii.
Když jsou tři čísla spojitě úměrná a první je čtverec, i třetí bude čtverec.
A>-1 ^    Třemi čísly spojitě úměrnými budtež A, B,
C, a první A buď čtverec; pravím, že i třetí C
B i-—n je čtverec.
Nebot ježto mezi A, C jest jedno číslo B Ci-,    střední úměrnou, tedy A, C jsou podobné roviny (VIII. XX.);  A však je čtverec, pročež i G
je čtverec; což právě bylo dokázati.
XXIII.
Když jsou  čtyři čísla spojitě úměrná a první je
Ai_i krychle, j čtvrté bude krychle.
' ' Čtyřmi čísly spojitě úměrnými budtež;
Bi-> A, B, C, D, a buď A krychlí; pravím,.
Ci_i že též D jest krychle.
Neboť ježto mezi A, D jsou dvě-
2'-1       čísla B, G středními úměrnými, tedy
A, D jsou podobná čísla tělesová (VIII., xxi.); A však je krychle, krychle tedy jest i D; což právě bylo dokázati.
107
XXIV.
Kdyžsemajídvěčíslaksobějako
číslo čtvercové k číslu čtvercovému    ^___-hB
a první je čtverec, i druhé bude čtverec.
Nuže mějtež se čísla A, B k sobě jako    ,__,c
číslo čtvercové C k číslu čtvercovému D a budiž A čtverec; pravím, že také B je čtverec.
Neboť ježto C, D jsou čtverce, tedy C, D     .--'D
jsou podobné roviny. Pročež se vloží mezi C, D jedno číslo za střední úměrnou (VIII. xviii.).
I jest C:D = A:B; tedy též mezi A a B se vloží jedno číslo za střední úměrnou. I jest A čtverec; tedy též B je čtverec (VIII. xxn.); což právě bylo dokázati.
XXV.
Když se mají dvě čísla k sobě jako číslo krychlové k číslu krychlovému a první jek rychle, idruhé bude krychle.
Nuže mějtež se čísla A, B k sobě     A 1      ' H jako číslo krychlové C k číslu krychlovému D a budiž A krychlí; pravím,     b i---1
že i B jest krychle.
Neboť ježto C, D jsou krychle, C, D jsou podobná tělesa; tedy mezi C a D vejdou se dvě čísla za střední úměrné. A kolik se jich vejde mezi C a D dle spojité úměry, tolik též mezi
ta, která mají týž poměr, jaký ona Fi---1
(VIII. vin.); proto též mezi A a. B vložíme   dvě   čísla  za  střední úměrné.
Vložme E, F. Ježto tedy čtyři čísla A, E, F, B jsou spojitě úměrná, A pak jest krychle, krychle tedy též B (VIII. xxní.); což právě bylo dokázati.
C H
Eh
XXVI.
Podobná čísla rovinná mají čtvercové k číslu čtvercovému.
Podobnými čísly rovinnými budtež A, B; pravím, že i se má k B, jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému.
Neboť ježto A, B jsou podobné roviny, tedy mezi A, B vejde se jedno číslo za střední úměrnou. Vložme a budiž to C, a za nejmenší čísla z těch, která mají týž poměr, jaký A, C, B, vezměme D, E, F; tedy krajní z nich D, F jsou
se k sobě jako číslo
138
čtvercová (VIII. n. důsl.). A ježto D:F=A: B a D, F jsou čtvercová, tedy A se má k B jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; což právě bylo dokázati.
XXVII.
Podobná čísla tělesová mají se  k sobě jako číslo
krychlové k číslu krychlovému.
y_Podobnými čísly  tělesovými budtež
A, B; pravím, že A se má k B jako
i_|B číslo krychlové k číslu krychlovému.
Neboť ježto A, B jsou podobná tělesa, tedy mezi A a B vejdou se dvě čísla za střední úměrné. Vložme C, D a za nej-menší čísla z těch, která mají týž poměr, jaký A, C, D, B, a jichž počet je týž, vezměme E, F, G, H; tedy krajní z nich E, iíjsou krychle (VIII. n. důsl.). A E:H= A-.B. Pročež má se též A k B jako číslo krychlové k číslu krychlovému; což právě bylo dokázati.
-ID
Tu jest D
ax'b=c,
b jsou po-a, "b tedy
Kniha devátá.
I.
Když se dvě podobná čísla rovinná vespolek znásobí a dají nějaké číslo, vzniklé bude čtverec.
Dvěma podobnými čísly rovinnými budtež A, B, a buď A XB=C;
pravím, že C je čtverec.
,___iA Nuže budiž AX^ = D.
čtverec. Ježto A X A = D a tedy A : B — D: C. A ježto A,
i_____,B dobná  čísla  rovinná, mezi
vejde se jedno číslo za střední úměrnou (VIII. xviii.).   Když pak mezi dvě čísla
'----------------------£h se vloží čísla za střední úměrné, kolik
se jich mezi ně vloží, tolik též mezi ta, jež mají týž poměr (VIII. vin.): proto
1------ ------------------'3 též  mezi  D,  C vložíš jeďho číslo za
střední úměrnou. I jest D čtverec, pročež i C jest čtverec (VIII. xxn.); což právě bylo dokázati.
II.
Když se dvě čísla vespolek znásobí a dají čtverec, jsou to podobná čísla rovinná.
-iA
Dvěma čísly budtež A, B, a buď AXB—C; pravím, že A, B jsou podobná čísla rovinná.
Nuže bud AX^ = D; Z) jest tedy čtverec. A ježto A\A = D a iX^ = C, tedy A:B = D:C. A ježto D je čtverec, avšak také C, tedy D, C jsou podobná čísla rovinná. Pročež mezi D, C 1 10 vložíš jedno číslo za střední úměrnou. A D:C — A: B; tedy též mezi A li se vejde jedno číslo za střední úměrnou. 1 lD Když pak se vejde mezi dvě čísla jedno
za střední úměrou, jsou to podobná čísla rovinná (VIII xx.); tedy A, B jsou podobná čísla rovinná ; což právě bylo dokázati.
III.
Když se číslo krychlové samo sebou znásobí a dá jiné, vzniklé bude krychle.
Nuže budiž číslo krychlové A samo sebou znásobeno a dej B\ pravím, že B je krychle.
Nuže stranou čísla A buď C a CXC — D. Tu jest patrno, že €X D = A. A ježto C X C= D, tedy C jest měrou čísla Ľ dle svých jednotek. Než ovšem i jednotka jest měrou čísla C dle jeho jednotek; pročež \:C—C:D. Dále ježto C X D =
A, tedy D jest měrou čísla A dle jed-   i_|A
notek v C, jest pak i jednotka měrou
■čísla C dle jeho jednotek;  tedy   1 : C =_____,B
D:A.   Avšak \\C—C:D;  pročež také I :C= C: D — D : A. Tedy mezi jednotku -a číslo A vložena jsou spojitě čísla C,    '    'c     1 1 D za střední úměrné. Dále, ježto AX A —
B, tedy A jest měrou čísla i? dle svých jednotek; jest pak i jednotka měrou čísla A dle jeho jednotek; pročež Í:A = A:B. A mezi jednotku a A vložena jsou dvě čísla za střední úměrné; tedy též mezi A, B se vejdou dvě čísla za střední úměrné (VIII. vin.) '). Když pak mezi dvě čísla se vejdou dvě čísla za střední úměrné a první je ■krychle, též druhé bude krychle (VIII. xxní.). I jest A krychle, pročež i B jest krychle; což právě bylo dokázati.
VI.
Když se číslo krychlové znásobí číslem krychlovým a vznikne jiné, vzniklé bu-
<de krychle. ,_<a       \_fi
Nuže znásobme  krychlovým číslem
A. krychlové číslo B a vznikni C; pra- j_
vím, že C jest krychle.
Nuže budiž AX-A = D; D tedy jest i_
(krychle. A ježto AX^ — D a AXB= ' '
]) V VIF. VIJI. dokázáno to vůbec o žís'ech, zde však první číslo jednotka 1
ho
141
(; tedy A:B = B:C. A ježto A, B jsou krychle, jsou A, B podobná tělesa; pročež se vejdou mezi A, B dvě čísla za střední úměrné (VIII. xix.), proto též mezi D a C se vejdou dvě čísla za střední úměrné (VIII. vm). A D jest krychle, tedy též C jest krychle (VIII. xxiii.) ; což právě bylo dokázati.
Když se číslem krychlovým znásobí nějaké číslo-
a vznikne krychle, též číslo-znásobené bude krychle.
Nuže znásobme číslem krychlovým A  nějaké  číslo B,  a součinem buď
,_g krychle C; pravím, že B je krychle.
" Nuže buď AXA — D; tedy D je krychle. A ježto AXA—B a AXB —
,----U    C, tedy A:B = B:C.   A ježto D, C
jsou krychle, jsou to podobná tělesa. Pročež mezi D, C se vejdou dvě čísla
1---!d za střední úměrné.   A B:C=A:B-r
tedy též mezi A, B se vejdou dvě čísla za střední úměrné. I jest A krychle, pročež i B jest krychle; což právě bylo dokázati.
VI.
Když   se   číslo   samo   sebou   znásobí  a vznikne krychle, též samo bude krychle.
Nuže buď AX A rovno krychli B; pravím, že též A jest krychle.. Nuže bud A X B — C. Ježto tedy AXA—B a AXB = C, tedy C jest krychle.   A ježto AXA—B, tedy A jest měrou čísla B dle
svých jednotek; jest však i jednotka měrou čísla A dle  jeho jednotek. Proto
'-,A \:A~A:B. A ježto AXB — C, tedy B
jest  měrou  čísla  C dle jednotek v A. Jest pak i jednotka měrou čísla A dle '    ' '    ' jeho jednotek; pročež 1 :A = B:C. Avšak
1:A = A:B, tedy A: B = B: C. A ježto-,___|C   B, C jsou krychle, jsou to podobná tělesa ; tedy mezi B, C vejdou se dvě čísla za střední úměrné.   Také B: C = A: B; pročež i mezi A, B se vejdou dvě čísla za střední úměrné.  I jest B krychle; krychle tedy je též A 2); což právě bylo dokázati.
VII.
Když se složeným číslem3,) nějaké číslo znásobí a vznikne jiné, vzniklé bude těleso.
2) Dle VIII. XXIII.; neboť A: x = x :y = y.B možno též obrátiti takto: B:y--y: x = x : A.
3) Tím se rozumí, jak již z VII. vým. 13. poznati, nějaký součin.
Nuže znásobme složeným Číslem A nějaké číslo B, a bud součinem C; pravím, že C je těleso.
Neboť ježto A jest složené, bude mu nějaké číslo měrou. Budiž mu měrou D, a jamkou měrou čísla A je B, tolik jednotek měj E. Ježto tedy D jest měrou čísla A dle jednotek v E, tedy EX^ — A. A ježto A X B = Ca.A = BXE- tedľ BX^XB=C; pročež ■C je těleso a strany jeho jsou D, E, B; což právě bylo dokázati.
-iC
VIII.
Když jest od jednotky počínajíc několik čísel S p 0-jitě úměrných, třetí od jednotky'4) bude čtverec i dále ob číslo, čtvrté pak krychle a všecka ob dvě čísla, a sedmé krychle i spolu čtverec a dále ob pět čísel.
Budiž od jednotky počínajíc několik čísel spojitě úměrných A,
B, C, B, E, F; pravím, že od jednotky třetí, totiž B, je čtverec a všecka ob číslo, čtvrté pak C krychle a všecka ob dvě čísla, sedmé pak-F krychle i spolu čtverec a všechna ob pět čísel.
Neboť ježto l:A = A:B, tedy jednotka je touž měrou čísla A, jakou A čísla B. Jednotka pak jest měrou čísla A dle jeho jednotek; též A tedy jest měrou čísla B dle jednotek v A. Pročež AXA = B, tedy B je čtverec. A ježto B, C, B jsou spojitě úměrná a B je ■čtverec, tedy je také B čtverec. Z téže příčiny -ovšem též F je čtverec. Podobně zajisté dokážeme, že také všechna ob číslo jsou čtverce.
Pravím již, že také od jednotky čtvrté, totiž C, je krychle i všechna ob dvě čísla. .Neboť ježto 1 : A = B: C, tedy jednotka je touž měrou čísla A, jakou B čísla C; jednotka pak jest měrou čísla A dle jednotek v A ; pročež i B jest měrou čísla C dle jednotek v A. Tedy AXB = C: Ježto tedy AX<A = B a. AXB =
C, tedy C je krychle. A ježto C, B, E, F jsou spojitě úměrná a C jest krychle, tedy též F jest krychle. Bylo pak dokázáno, že také čtverec; pročež od jednotky číslo sedmé je krychle i čtverec. Podobně ovšem dokážeme, že také všechna od jednotky ob pět čísel jsou krychle i čtverce; což právě bylo dokázati.
IX.
Když jest od jednotky počínajíc několik čísel za sebou spojitě úměrných a za jednotkou je čtverec, též
*) Všude včetně.
142
ostatní všechna budou čtverce; a když za jednotkou je krychle, též ostatní všechna budou krychle.
Budiž od jednotky počínajíc několik čísel A, B, C, D, E, F spojitě úměrných, a za jednotkou budiž A čtvercem; pravím, že též. ostatnj všechna budou čtverce.
Ze ovšem třetí od jednotky, totiž B, je čtverec i všechna ob-číslo, jest dokázáno (IX vin.); pravím, že též ostatní všechna jsou
čtverce. Neboť ježto A,B, C jsou spo-
(__iA jitě úměrná a jest A čtverec, je také
C čtverec.   Dále, ježto B, C, D jsou
__i3 spojitě úměrná a B je čtverec, také D'
je čtverec. Podobně ovšem dokážeme,.
t__q že též ostatní všechna jsou čtverce.
Avšak buď již a krychlí; pravím,
,_q že též ostatní všechna jsou krychle.
Ze ovšem od jednotky čtvrté, totiž
,__iE C. je krychle i všechna ob dvě čísla,
jest dokázáno iIX. vm.); pravím, že h_if   též ostatní všechna jsou krychle. Neboť ježto \:B=A:B,  tedy jednotka je touž měrou čísla A, jakou A čísla B. Jednotka však jest měrou čísla A dle jeho jednotek; tedy též A-jest měrou čísla B dle svých jednotek : pročež A X A — B. I jest A krychle ; když pak se číslo krychlové samo sebou znásobí a dá jiné, vzniklé jest krychle; pročež i B jest krychle.  A ježto čtyři čísla A. B, C, D jsou spojitě úměrná a jest A krychle, tedy též D jest krychle; z téže příčiny ovšem také E jest krychle a  podobně  ostatní všechna jsou krychle; což právě bylo dokázati.
X.
Když jest od jednotky počínajicněkolik čísel spojitě úměrných a za jednotkou není čtverec, ani žádné jiné nebude čtverec kromě třetího od jednotky a všech ob číslo; a když za jednotkou není krychle, ani žádné jiné nebude krychle kromě čtvrtého od jednotky a všech ob dvě čísla.
Budiž od jednotky několik čísel spojitě úměrných A, B, C, D7 E, F a za jednotkou nebudiž A čtverec; pravím, že ani žádné jiné nebude čtverec kromě třetího od jednotky a dále ob číslo.
Neboť možno li, budiž C čtvercem; je však i B čtverec; tedy B se má k C jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému. I jest B • C — A: B, tedy A, B mají se k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému ; pročež A, B jsou podobné roviny. 1 jest B čtverce, čtverec tedy též A, což právě proti podmínce. Tedy C není čtverec. Podobně ovšem dokážeme, že ani žádné jiné není čtverec kromě třetího od jednotky a dále ob číslo.
Avšak již nebuď A krychlí; pravím, že ani žádné jiné nebude krychle kromě čtvrtého od jednotky a dále ob dvě čísla.
14C
Neboť možno-li, budiž D krychlí. Jest pak i C krychle, neboť je čtvrté od jednotky; a jest C:D = B:C; tedy též B má se k C jako číslo krychlové k číslu krychlovému. I jest C krychle; tedy též B je krychle. A ježto 1 :A = A: B a. jednotka jest měrou čísla A dle jeho jednotek, tedy též A jest měrou čísla B dle svých jednotek. Pročež A X A— B, což krychle. Když pak se znásobí číslo číslem a dá krychli, též samo bude krychle. Tedy též A jest krychle ;
což  právě  proti   podmínce.   Pročež D není ,____-----------
krychle.   Podobně ovšem dokážeme, že ani
žádné jiné není krychle kromě čtvrtého od jednotky a dále ob dvě čísla; což právě bylo dokázati.
XI.
Když jest od jednotky několik čísel spojitě úměrných,  menší jest  většího měrou dle některého z čísel úměrných, jez se tam naskytuj i.
Budiž od jednotky A počínajíc několik
čísel spojiiě úměrných B, C, D. E; pravím,  i--iB
že z čísel B, C D, E nejmenší 5 jest měrou čísla E dle jednoho z čísel C, D. |_(C
Neboť poněvadž A:B=D:E, jednotka A je touž měrou čísla B, jakou D čísla .E.
Pročež střídavě jednotka a je touž měrou   i-'D
čísla D, jakou B čísla E. Avšak jednotka A
jest měrou čísla Ľ dle jeho jednotek; pro-   |_H£
i B jest měrou čísla E dle jednotek v D. Tedy menší B jest měrou většího E dle některého •') z čísel úměrných, která se tam naskytují-
Důsledek.
Také patrno, které místo za jednotkou má číslo měrové, že totéž místo má před měřeným i číslo, dle něhož jest měrou.
XII.
Když jest od jednotky několik čísel spojitě úměrných, kterákoli čísla kmenná jsou měrami posledního, táž budou měrami též čísla zajednotkou.
Budiž od jednotky kolikkolivěk čísel (spojitě) úměrných, totiž A, B, C, D; pravím, že táž čísla kmenná, která jsou měrami čísla D, budou měrami též čísla A.
■') Patrně jen dle D- že však B číslu D jest měrou dle C, snadno  se dokáže.
J 44
145
Nuže buď nějaké číslo kmenné E měrou čísla D; pravím, že E jest měrou čísla A. Nuže nebuď; i jest E kmenné, každé pak číslo kmenné jest každému, jehož není měrou, kmenným ; tedy E, A jsou navzájem kmenná. A ježto E jest měrou čísla D, budiž mu měrou dle F. Pročež EX E = D. Dále, ježto A jest měrou čísla D dle jednotek v C (IX. xi. důsl), tedy AXC = D. Avšak zajisté též E X F = D. Pročež AXC = EXF- Tedy A:E=zF:C. A, E však jsou kmenná, kmenná pak také nejmenší, nejmenší pak jsou touž měrou těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního; tedy E jest měrou čísla C. Budiž mu měrou dle G. Tedy EX G — C. Avšak zajisté   dle   předešlého  (IX.  xi.   důsl.) též
|_iA AXB = C. Pročež AX «=#XG; tedy
A.E = G:B.   A,   E však   jsou kmenná,
_B kmenná pak také nejmenší, nejmenší pak
jsou touž měrou těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního; tedy E jest měrou čísla B. Budiž mu měrou dle H; pročež EX Ff~ B. Avšak zajisté též AXA — B; tedy EX H=^XA. Proto E:A—A:FL. A, E však jsou kmenná, kmenná pak také nejmenší, nejmenší pak
|_ f_jsou touž měrou těch, která mají týž poměr,
přední předního jako zadní zadního; jest tedy E měrou čísla A, přední předního. Avšak zajisté též není měrou; což právě nemožno. Pročež E, A nejsou navzájem kmenná; tedy složená. Složená pak mají nějaké číslo měrou. A ježto podmínkou, že E je kmenné; kmenné však nemá jiného čísla za míru leč sebe: tedy E jest měrou čísel A, E. A tak E jest měrou čísla A. Je však měrou též čísla D; tedy £ jest měrou čísel A, D. Podobně ovšem dokážeme, že táž čísla (jiná) kmenná, jež jsou měrami čísla D, budou měrami též čísla A; což právě bylo dokázaii.
hc
-hF
XIII.
Když jest od jednotky několik čísel spojitě úměrných a za jednotkou je kmenné, n e j v ě t š í m u žádné nebude měrou kromě čísel úměrných, jež se tam vyskytují.
Budiž od jednotky několik čísel spojitě úměrných A, B, C, D a za jednotkou budiž A kmenné; pravím, že největšímu z nich Z) žádné jiné nebude měrou kromě A, B, C.
Neboť, možno-li, budiž mu měrou E, a nebuď E žádnému z čísel A, B, C rovno. Patrno zajisté, že £ není kmenné; neboť jest-li E kmenné a jest měrou čísla D, bude měrou též číslu A (IX xn.), kmennému, nejsou mu rovno; což právě jest nemožno. Pročež E není kmenné; tedy složené. Každé pak složené číslo má za míru nějaké číslo kmenné; tedy E jest měřitelné nějakým číslem kmenným Pravím již, že mu nebude měrou žádné jiné číslo kmenné kromě A. Neboť jest-li jiné měrou čísla E, E pak jest měrou čísla D, i ono tedy bude měrou čísla D; pročež i číslu A bude měrou (IX. xn.), kmennému,
nejsouc mu rovno ; což právě jcsí nemožno. Tedy A jest měrou čísla E-A ježto E jest měrou čísla D, budiž mu měrou dle F. Pravím, že F žádnému z čísel A, B, C není rovno. Neboť rovno-li F některému z čísel A, B, C a jest měrou čísla D dle E, tedy též jedno z čísel A< B, C je měrou čísla D dle E. Avšak jedno z čísel A, B, C jest měrou čísla D dle některého z čísel A, B, C; tedy je též E některému z čísel A, B, C rovno; což proti podmínce. Pročež F 'r~~ lA není  žádnému z čísel A,  B, C rovno.
Podobně ovšem dokážeme, že A jest mě- _,B
rou čísla F, dovozujíce opět, že F není kmenné. Neboť kmenné-li a měrou čísla F), měrou bude též číslu A, kmennému, 1 nejsouc mu rovno; což právě nemožno.
Pročež  F není kmenné;  tedy složené.    ,_|D t_|H
Každé však složené číslo jest nějakým číslem   kmenným   měřitelné;  jest tedy
číslu F nějaké číslo kmenné měrou. Pravím již, že jiné kmenné mu nebude měrou leč A. Neboť jest-li nějaké jiné kmenné číslu F měrou, F pak číslu Z), tedy též ono (jiné) bude měrou číslu Z); pročež bude měrou i číslu A, kmennému, nejsouc mu rovno; což právě nemožno. Tedy jest A měrou čísla F.
A ježto E jest měrou čísla D dle F, tedy EXE— D. Avšak zajisté též AXC — D; pročež AXC=EXF. Tedy A:E—F:C. A však jest měrou čísla E, tedy též F jest měrou čísla C. Budiž mu měrou dle G. Podobně ovšem dokážeme, že G není rovno žádnému z čísel A, B & že A jest mu měrou. A ježto F jest měrou čísla C dle G, tedy FXG=C; avšak zajisté též A X B — C ; pročež A x B = FXG. Tedy A:F—G:B. A však jest měrou čišela F, pročež i G jest měrou čísla B. Budiž mu měrou dle H. Podobně ovšem dokážeme, že není FI— A. A ježto G jest měrou čísla B dle Eí, tedyGxH—B. Avšak zajisté též Ax A = B\ pročež HX G = AX A. Tedy H:A = A:G. A však jest měrou čísla G; jest tedy též H měrou čísla A, kmenného, nejsouc mu rovno; což právě nesmyslné. Pročež největšímu, totiž D, jiné číslo nebude měrou kromě A, B, C; což právě bylo do-kázati 6).
XIV.
Když jest nejmenší číslo měřitelné čísly kmenným i, nebude měřitelné žádným jiným číslem kmenným kromě těch, která jsou mu měrami počátečními.
Nuže buď A nejmenším číslem měřitelným kmennými čísly B, C, D; pravím, že A nebude měřitelné žádným jiným číslem kmenným kromě B, C, D.
Neboť, možno-li buď mu měrou kmenné E, a nebudiž E žádnému z čísel B, C, D rovno.   A ježto E jest měrou čísla A, budiž
6) Že A, B, C jsou měrami čísla D, dokázáno v IX. XL
14«
H?
-íA
mu měrou dle F; pročež Ey^F—A. 1 jest A měřitelné kmennými čísly B, C, D Když pak se dvě čísla spolu znásobí a činí jiné a vzniklému součinu jest mě-i—ic rou nějaké číslo kmenné, bude měrou i jednomu počátečnímu (VII. xxx.); tedy B, C, D jednomu z čísel E, F budou měrami. Číslu E ovšem nebudou měrami, ' neboť E jest kmenné a není žádnému
z čísel B,  C, E> rovno, budou měrami; což právě nemožno.
menšímu než A
mínkou, že A, měřitelné čísly B, C, Ď, jest nejmenší nebude měrou  číslo kmenné kromě čísel B,  C, D; dokázati.
Tedy číslu F, Neboť jest pod-Tedy číslu A což právě bylo
XV.
Když tři čísla spojitě úměrná j sou nejmenší ztěch' která mají týž poměr, jaký ona, součet kterýchkoli dvou třetímu jest k menný.
Třemi čísly spojitě úměrnými nejmenšími z těch, která mají týž
poměr, jaký ona, buďtež A, B, C; pravím, že součet kterýchkoli dvou
z čísel A,  B,  C třetímu jest kmenný,
A A- B číslu C, B -f- C číslu A a též A 4- C ,-,A--iB     5is]u B
Nuže   vezměme   za  nejmenší čísla z těch, která mají týž poměr, jaký A, B,
y—-1 c C,  dvě DE,  EF1).   Patrno  zajisté, že
DEx DE —A,   DE x EF — B   a též EFX EF— C (dle VIII. n.). A ježto DE, t    E       >F £Fjsou nejmenší, jsou navzájem kmenná.
Když pak jsou dvě čísla navzájem kmenná, též součet jednomu i druhému je kmenný (VII. xxvni.); tedy též DF jednomu i druhému z čísel DE, EF je kmenné. Avšak zajisté též DE číslu ÉF je kmenné; tedy DF, DE jsou číslu EF kmenná. Když pak dvě čísla jsou nějakému číslu kmenná, též součin z nich je zbývajícímu kmenný (VII. xxiv.); pročež FDxDE číslu EF je kmenne; proto též FD x DE číslu EF* je kmenné. Avšak FDXDE — DE*-j-DEXEF; tedy DE*~{-DEX EF číslu EF* je kmenne. I jest Z>£2 = .4, DEXEF=B a EF°- — C. Tedy součet A-\-B jest číslu C kmenný. Podobně ovšem dokážeme, že také součet B-\-C číslu A je kmenný.
Pravím již, že též součet A + C číslu B je kmenný. Neboť ježto DF číslu DE i číslu EF je kmenné, též DF* je součinu DEX.ĚF kmenné (VII. xxiv. xxv ). Avšak DF* — DE" -f EF*+ 2 DE^EF. Tedy též DE*-j-EF*-j- 2 DEX EF bude součinu DEXEF kmenné. Odečteš-li, DE* 4- EF* -j- DE X EF jest součinu DEXEF kmenné;
7) DE, EF značí jen poměr A. B n. B : 0, nedbajíc úměrnosti spejité.
J
odečteš-li opět, DE'14- EF* jest součinu DEX EF kmennéH). I jost DE* = A, DE X EF— B a EF"- = C. Tedy součet A + C číslu B jest kmenný; což právě bylo dokázati.
XVI.
Když jsou dvě čísla navzájem první k druhému, tak nebude se mí ti  druhé  k žádnému jinému.
Nuže budte dvě čísla A, B navzájem kmenná; pravím, že tak. jako A k B, nemá se B k žádnému jinému.
Nuže, možno-li, měj se A : B — B: C. Avšak A, B jsou kmenná, kmenná pak také nejmenší, nejmenší pak čísla jsou týmiž měrami těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního ; tedy A jest měrou číslu B (na třetím místě), přední přednímu. Jest pak měrou číslům A, B, ač jsou navzájem kmenná; nebude se míti A:B = B :C; což právě
kmenná, jako se má
h A
—|G
i sobě; pročež A jest měrou což právě nesmyslné. Tedy bylo dokázati.
XVII.
Když jest kolikkolivěk čísel spojitě úměrných a krajní z nich jsou navzájem kmenná, jako se má první k druhému, tak nebude se míti poslední k žádnému jinému.
Budiž kolikkolivěk čísel spojitě úměrných, A, B, C, D, a krajní z nich A, D buďte navzájem kmenná;
pravím, že tak, jako A k B, nemá se D    ,_,A
k žádnému jinému.
Nuže, možno-li, měj se A:B= D:E; střídavě tedy A: D = B : E. Avšak A, D    1 |B jsou kmenná, kmenná pak také nejmenší,
nejmenší pak čísla jsou týmiž měrami    1-<C
těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního.   Tedy A jest :_
měrou čísla B.   I má se A: B — B: C; pročež i B jest měrou čísla C; a tak též A jest měrou čísla C.   A ježto B:C= ' C:D, B pak jest měrou čísla C, jest tedy
též C měrou čísla D. Avšak A bylo měrou čísla C, tedy A jest také měrou čísla D. Jest pak měrou i sobě samému. Pročež A jest měrou čísel A, D, ač jsou navzájem kmenná; což právě není možno. Tedy nebude se míti D k žádnému jinému číslu tak jako A k B; což právě bylo dokázati.
8) Budiž DB- -P- EF- = M, DE X EF= N a M+JV=0; součet 0 + N jest číslu N kmenný; tedy dle VII. xxvill. též 0 neboli Af + JV jest číslu JV kmenné. A jestli Jlf _|_ „V číslu JV kmenné, též il je kmenné číslu Ar.
i'18
XVIII.
čísla, vyšetři,  možno-li  k nim najiti
A, B tedy  buď jsou
-1 A
-i B
D á n a-1 i dvě třetí úměrné.
Danými  dvěma čísly buďtež A, B,  a  budiž úkolem vyšetřiti, možno-li k nim najiti třetí úměrné.
navzájem kmenná buď nikoliv. A jsou-li navzájem kmenná, dokázáno jest, že není možno k nim najiti třetího úměrného (IX. xvi.).
Nuže  nebuďte   již  A,   B navzájem kmenná, a budiž BXB = C. Tu A buď
*~-^ jest měrou čísla O bud není.  Budiž mu
nejprve měrou dle D; pročež A X D = C. Avšak zajisté iB'z — C; tedy 4X D = B'Z.
h_,n       Proto A:B~B:D; tedy k číslům A, B
nalezeno třetí úměrné D.
Nuže nebuď již A měrou čísla C; pravím, že není možno číslům A, B najiti třetího úměrného. Neboť možno-li, bndiž nalezeno D. Tedy AxD = B". Avšak B* — C; tedy A^<D=C; a tak znásobivše Ľ číslem A dostali jsme C; tedy A jest měrou čísla C dle D. Avšak podmínkou zajisté, že též není měrou; což právě nesmyslné. Pročež není možno číslům A, B najiti třetího úměrného, když A není měrou čísla C; což právě bylo dokázati.
14»
C:D, a učiňme, aby bylo B:C=D:E™). A ježto A:B = c:j)& B:C=D:E, stejnořadně tedy A: C— C: E. A, C však jsou kmenná, kmennná pak i nej menší, nejmenší pak jsou týmiž měrami těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního; tedy A jest měrou číslu C (na třetím místě), přední přednímu, je však měrou i sobě samému. Pročež A jest měrou čísel A, C, ač jsou navzájem kmenná; což právě jest nemožno. Tedy k číslům A,B,C, není možno najiti čtvrtého úměrného11).
Avšak buďte již A, B, C opět spojitě úměrná, A, C však nebuďte navzájem kmenná; pravím, že jest možno k nim najiti čtvrté úměrné. Nuže budiž BxC=D. Tedy A bud jest měrou čísla D buď není. Budiž mu nejprv měrou dle E; pročež Ay^E = D. Avšak zajisté také BXC — D; tedy AXE = BXC. Pročež A:B = C:E; tedy k číslům A, B, C nalezeno jest E za čtvrté úměrné. — Avšak již nebuď A měrou čísla D; pravím, že jest nemožno k číslům A, B, C najiti čtvrté úměrné. Nuže, možno-li, nalezeno buď E; tedy AX E = BXC; avšak BXC = D, pročež i A X E je D. Tedy AxE — D; pročež A jest měrou čísla D dle E; a tak jest A měrou čísla D. Avšak též není měrou; což právě nesmyslné. Tedy není možno k číslům A, B, C najiti čtvrtého úměrného, když A není měrou čísla D.
Avšak již ani nebuďtež A, B, C spojitě úměrná ani krajní navzájem kmenná. I buď BXC—D. Podobně se ovšem dokáže, jestli Ä měrou čísla D, že možno k nim najiti úměrné; pakli není měrou, že nemožno; což právě bylo dokázati12).
XIX.
Dána-li tři čísla, jiti čtvrté úměrné. Danými  třemi čísly
vyšetři, kdy jest možno k nim n a-
hB
buďtež A, B, C, a budiž  úkolem vyšetřiti, kdy jest možno k nim najiti čtvrté úměrné.
Buď zajisté nejsou spojitě úměrná a krajní z nich jsou navzájem kmenná, buď jsou spojitě úměrná a krajní z nich nejsou navzájem kmenná, bud ani nejsou spojitě úměrná ani nejsou krajní z nich navzájem kmenná, buď jsou i spojitě úměrná i krajní z nich navzájem kmenná. Jsou-li tedy A, B, C spojitě úměrná a krajní z nich A, C navzájem kmenná, dokázáno jest, že není možno k nim najiti čtvrtého čísla úměrného (IX.
xvii.).
Nebuďte již A, B, C spojitě úměrná, krajní však buďtež opět navzájem kmenná; pravím, že i takto jest nemožno k nim najíti.čtvrté úměrné9;. Nuže, možno-li, nalezeno buď D, tak aby se mělo A: B —
9) Nesprávné; viz pozn. ").
-iE
XX.
Kmenných čísel jest více než jakékoli dané množství kmenných čísel.
Danými čísly kmennými buďtež A, B, C; pravím, že jest více kmenných čísel než A, B, C.
Nuže vezměme v úvahu nejmenší číslo, jehož měrami jsou A, B, C, a budiž to DE a přičtěme k DE jednotku DF. EF tedy buď je kmenné bud není. Budiž dříve kmenné; jsou tedy nalezena čísla kmenná A, B, C, EF, počtem více než A, B, C.
10) Jak to možno?
M) Že to chybné, ukáže již jediný příklad. Mějme čisla 3, 6, 8, která nejsou spojitě úměrná, ale krajní z nich 3 a 8 jsou navzájem kmenná. Čtvrté číslo úměrné jest 16, t. j.
. Dle způsobu Eukleidova bylo by správné asi toto: Nebuďte již A, B, C spojitě
úměrná, krajní však opět buďte navzájem kmenná. Nuže buď B x 0 = D. A tu A buď jest měrou čísla D buď není. Budiž nejprve měrou dle E. Pročež AxE = D; také však B x C = D, tedy A x E = B x C; pročež A : B = C: E. Tedy k číslům A, B, C nalezeno jest E za čtvrté úměrné. — Avšak již nebuď A měrou čísla D; pravím, že jest nemožno k číslům A, B, G najiti čtvrté úměrné. — — Dále jako v druhé části odstavce následujícího.
I2) Když jsou tedy A, B, C spojitě úměrná a spolu krajní navzájem kmenná, nemožno najiti čtvrté úměrné; v ostatních případech možno, jest-li A měrou čísla D; pakli není, nemožno.
'i
180
lni
hA
t_ Avšak již nebuď iíT7 kmenné ; tedy
jest mu nějaké číslo kmenné měrou. Budiž mu měrou kmenné G; pravím, že G
i-13 není rovno žádnému z čísel A, B, C.
Nuže. možno-li, budiž rovno.  Avšak A,
(_|C B, C jsou měrami čísla DE; tedy též G
bude měrou čísla DE.   Jest pak měrou D i čísla EF;  také zbývající jednotky DF
E i-hF      měrou bude G, ač jest číslo; což právě
nesmyslno Tedy G není rovno žádnému z čísel A, B, C. A bylo vzato za kmenné. Tedy jest nalezeno více kmenných než dané množství A, B, C, totiž A, B, C, G; což právě bylo dokázati.
XXI.
Když se několik čísel sudých sečte, celek je sudý. Nuže budiž sečteno několik čísel  sudých, AB, BC,  CD, DE;
pravím, že celek AE jest sudý.
s    c      P_j        Neboť ježto každé z čísel AB, BC,
CD, DE jest sudé, má za díl polovinu; pročež i celek AE má za díl polovinu. Sudým  pak jest číslo,  které se rozpoluje; tedy AE jest sudé; což právě bylo dokázati.
A h
XXII.
Když se několik lichých čísel sečte a počet jejich jest sudý, celek bude sudý.
Nuže budiž sečteno několik čísel lichých počtu sudého, AB, BC,
CD, DE; pravím, že celek AE jest sudý.
a|       b     C       d_^        Neboť ježto  každé z čísel AB, BC,
CD, DE jest liché,  odečteme li od každého jednotku,  každý ze zbytků bude sudý; pročež i součet jejich bude sudý.   Jest pak i počet jednotek sudý; tedy též celek AE jest jest sudý; což právě bylo dokázati.
XXIII.
Když se několik lichých čísel sečte a počet jejich jest lichý, též celek bude lichý.
Nuže bud sečteno několik čísel lichých a počet jejich bud lichý.
AB, BC, CD-. pravím, že též celek AD b_c_e     jest lichý.
H 1 M Budiž od CD odečtena jednotka DE;
zbytek CE je tedy sudý. Jest pak i CA sudé (IX. xxii.); pročež i celek AE jest sudý. A DE jest jednotka; tedy AD jest liché; což právě bylo dokázati.
Ah-
XXIV.
Když se odečte od čísla sudého sudé, zbytek bude sudý.
Nuže bud od čísla sudého AB ode-     a_c_b
čteno sudé BC;  pravím, že zbytek CA jest sudý.
Neboť ježto AB jest sudé, má za díl polovinu. Z téže příčiny ovšem i BC má za díl polovinu; pročež i zbytek AC jest sudý; což právě bylo dokázati.
XXV.
Když se odečte od číslasudého liché, zbytek bude lichý.
Nuže od čísla sudého AB bud odečteno liché BC; pravím, že zbytek CA jest lichý.
Nuže buď od BC odečtena jednotka     a_cd b
CD; DB tedy jest sudé.   Jest pak též      1 '   ' '
AB sudé; pročež i zbytek AD jest sudý.
A CD jest jednotka;  CA tedy jest liché;  což právě bylo dokázati.
XXVI.
Když se odečte od čísla lichého liché, zbytek bude sudý.
Nuže buď od čísla lichého AB odečteno liché BC; pravím, že zbytek CA jest sudý.
Nuže, ježto AB jest liché, bud ode-       a_c
čtena jednotka BD; zbytek tedy AD jest       1 "~ sudý.   Z téže příčiny ovšem i CD jest
sudé; pročež i zbytek CA jest sudý; což právě bylo dokázati.
d b
—i-1
XXVII.
Když se odečte od čísla lichého sudé, zbytek bude lichý.
Nuže buď od čísla lichého AB odečteno  sudé BC; pravím, že zbytek CA jest lichý.
Nuže buď odečtena jednotka AD;    a   p _g b
Tedy DB jest sudé.   Jest pak i BC    1    *~ 1 1
sudé; tedy zbytek CD jest sudý. Pročež AC jest liché ; což právě bylo dokázati.
XXVIII.
Když se lichým  číslem   znásobí sudé a vznikne jiné, vzniklé bude sudé.
HA
est s udé; což právě bylo dokázati
Nuže buď lichým číslem A znásobeno sudé B a součinem bud C; pravím, že C jest sudé.
Neboť ježto iX5 = C, tedy C se skládá z tolika částí rovných číslu B, kolik jest c    v ^ jednotek.  I jest B sudé; pročež C se skládá ze sudých.   Když pak se sečte několik čísel sudých, celek jest sudý; tedy C
XXIX.
Když se lichým číslem znásobí číslo liché a vznikne
jiné, vzniklé bude liché.
Nuže znásobme lichým číslem A liché Al       1 B a součinem bud C; pravím, že C jest
liché.
Bl ' Neboť ježto AXB=C, tedy C se
a    skládá z tolika částí rovných  číslu B, ' " '    kolik jest v A jednotek.   I jest A i B
lichá; tedy C se skládá z čísel lichých, jejichžto počet jest lichý. Pročež C jest liché (IX. xxin.); což právě bylo dokázati.
XXX.
Když jest číslo liché měrou čísla sudého, též polovině jeho bude měrou.
Nuže bud liché číslo A měrou sudého B; pravím, že též polovině jeho bude měrou.
Nuže, ježto A jest měrou čísla B, bud mu měrou dle C; pravím, že C není liché. Nuže, možno-li, budiž. A ježto A jest měrou čísla S dle C, tedy AX C — B. Tedy B se skládá z čísel lichých a počet jejich jest lichý; pročež B jest liché; což nesmyslné, neboť jest b podmínkou, že jest sudé. Tedy C není liché; C jest
sudé. Pročež A jest měrou čísla B dle suda. Z té příčiny zajisté i polovině jeho bude měrou;  což právě bylo dokázati.
■-, a XXXI.
Když jest číslo liché ně jak é-i--ib uiu číslu kmenné, také dvojná-
sobku jeho bude kmenné.
Nuže  bud liché číslo A nějakému ' '      číslu B kmenným a dvojnásobkem čísla
B budiž C; pravím, že A číslu C je
1-'d kmenné. Neboť nejsou li [A, C] kmenná,
bude jim nějaké číslo měrou. Budiž měrou a budiž to D. I jest A liché, liché tedy jest i D. A ježto D jsouc liché jest měrou čísla C a C jest sudé, bude tedy měrou též polovině
163
čísla C. Polovina však čísla C jest B; tedy D jest mSrou čísla B. Je však měrou i číslu A. Tedy D jest měrou čísel A, B, navzájem kmenných ; což právě není možno. Pročež nemožno, aby A nebylo číslu C kmenné; tedy A, C jsou navzájem kmenná; což právě bylo dokázati.
XXXII.
Z čísel od dvojky počínajíc dvojnásobených13) každé jest jen sudosudé.
Nuže budiž od dvojky A počínajíc zdvojnásobeno několik čísel B, C, D; pravím, že B, C, D jsou jen
sudosudá (VII. vým. 8.). t_lA
Že ovšem každé z čísel B, C, D jest sudosudé, patrno ; neboť od dvojky počínajíc je zdvojnásobeno. Pravím, že také >-jen sudosudé. Nuže vezměme v úvahu jednotku. Poněvadž jest ovšem od jed- , _ lC notky počínajíc několik čísel spojitě úměrných a číslo A za jednotkou jest kmenné,
největšímu z čísel A, B, C, D, totiž D,     ' " ,E
žádné jiné nebude měrou kromě A, B, C
(IX. xni.). I jest každé z čísel A, B, C sudé ; tedy D jest jen sudosudé. Podobně ovšem dokážeme, že B i C jsou jen sudosudá; což právě bylo dokázati.
XXXIII.
Když má číslo polovinu lichou, jest jen sudoliché. Nuže měj  číslo A :i) polovinu lichou;  pravím, že jest A jen sudoliché ,5).
Že zajisté jest sudoliché, patrno ; neboť polovina jeho jsouc lichá jest mu měrou dle suda. Pravím ovšem, že také jen sudoliché. Neboť bude-li A též sudosudé, bude mu měrou číslo sudé dle sudého ; pročež i polovině jeho, ač jest lichá, bude měrou číslo sudé; což právě jest nesmyslné. Tedy A jest jen sudoliché; což právě bylo dokázati.
XXXIV.
Když číslo ani není z dvojnásobených od dvojky počínajíc ani nemá poloviny liché, jest sudosudé a sudoliché.
Nuže A 14) nebuď ani z dvojnásobených od dvojky počínajíc ani nemějv poloviny liché; pravím, že -A jest i sudosudé i sudoliché ta).
Že zajisté jest A sudosudé, patrno; neboť polovina jeho není lichá. Pravím ovšem, že jest i sudoliché. Neboť když půlíme A i polovinu jeho i stále tak činíme, dojdeme nějakého čísla lichého, jež bude měrou čísla A dle čísla sudého.   Neboť pakli ne, dojdeme dvojky a
") Totiž 2a<=B, 2b — 2'A = C, 2c = 2:'/t = D a t. d.
'"*) Vyobr,. k tomu — pouhou přímku — vynechal jsem.
15) Na pr. 6, 14, 30 a p., t. j. 2x3, 2x7, 2 x 15 — 6 x 5 = 10 x 3.
16) Na př. 12, 20, 28 a p., t. j. 2x6 = 4x3, 2 X 10 = 4 x 5, 2x14 = 4x7.
154
15.v
bude A z čísel od dvojky počínajíc dvojnásobených ; což právě proti podmínce. Pročež A jest sudoliché. Dokázáno pak bylo, že též sudo-sudé. Tedy A jest i sudosudé i sudoliché; což právě bylo dokázati.
XXXV.
Když jest kolik k olivek čísel spoji tě úměrných a od druhého i posledního se odečtou čísla rovná prvnímu; jako zbytek druhého k číslu prvnímu, tak se bude mí ti zbytek posledního k součtu všech předcházejících (prvotních).
Několika čísly spojitě úměrnými bucľtež A, BC, D, EF, od nej-menšího A počínajíce, a odečtěmež od BC i EF číslu rovná BG, IH;
pravím, že GC: A= EH: (A A-BC + D).
,_i a Nuže budiž BC = F K a FL=D.   A ježto
FK=BC,   z nichž FH— BG,   tedy zbytek B      G c HK=GC. A ježto EF:D — D:BC—BC: A a
1-•—h D = FL, BC = FK, A = FH, tedy EF: FL =
F L : FK— FK: FU.   Odčetně (V.  vým. 15.)
'-'D EL:LF=LK:FK=KH:FH. Má se tedy též
jeden z předních k jednomu ze zadních jako E       L    R H      F     součet předních k součtu zadních (VII. xii.); 1        '     l—H       '      tedy K H: FH = {EL A- LKA- KH): (LF+ FK+ FH).   Avšak KH= CG, FH— A a též LFA-FK+ HF=DA-BCAr A; pročež CG:A = EH:< DA-BC-\-A). Tedy zbytek druhého čísla má se k číslu prvnímu jako zbytek posledního k součtu všech předcházejících; což právě bylo dokázati.
XXXVI.
Když jest dáno po řadě od jednotky několik čísel v poměru jedné ke dvěma, až součet všech stane se číslem kmeny m, a když se ten součet znásobí číslem posledním a vznikne jiné, vzniklé bude číslo dokonalé.
Nuže dáno buď několik čísel od jednotky počínajíc v poměru jedné ke dvěma, až součet všech (i s jednotkou) se stane číslem kmenným, totiž A, B, C, D, a součtu rovno buď E a budiž i?X-0 = FG; pravím, že FG jest číslo dokonalé.
Nuže kolik jest čísel A, B, C, D, tolik vezměmež od E počínajíce v poměru jedné ke dvěma, E, HK, L, M; stejnořadně tedy A:D=E-.M; pročež Ex D = Ay(M. I jest E \ D — FG. Tedy AX M=FG; pročež M jest měrou čísla FG dle jednotek v A. I jest A dvojka; tedy FG — 2AI. Jsou pak též M, L, HK, Ě po řadě dvojnásobná (sestupně); tedy E, HK, L, AI, FG mají se k sobě po řadě jako jedna ke dvěma. Odečtěme již od druhého HK a od posledního FG čísla prvnímu, E, rovná HN, FO; tedy zbytek druhého čísla má se k prvnímu jako zbytek posledního k součtu všech předcházejících. Pročež NK: E — OG: (M4- L -f- KH-\- E). I jest NK=E; tedy též 0G = MArLArHK4rE. Jest pak i FO — E a E=AArBArC4r D -\-1.
Tedy celé FG=EA-HKA-LA-M + A + B + C-f D +1 a má je za své míry. Pravím, že číslu FG též nebude žádné jiné měrou kromě
A, B, C, D, E, HK, L, M a jednotky. Nuže, možno-li, budiž číslu FG nějaké měrou, totiž P, a P nebuď žádnému z čísel A, B, C, D, E, HK, L, AI rovno. A jakou měrou čísla FG jest P, tolik jednotek měj Q; tedy QX P=FG. Avšak zajisté též ExD — FG ; tedy E:Q — P-.D. A ježto A, B, C, D jsou
od jednotky spojitě úměrná, MA
tedy číslu D  nebude žádné
jiné číslo měrou kromě A, B,   l—   lG   1 lD
C. A jest podmínkou, že P   ,-|E
není žádnému z čísel A, B, C   h _ n_k
rovno; pročež P nebude mě-    1 1 '
rou čísla D.   Avšak P:D=   ,_LĚJiHi_.....-.......-L-
E:Q; ani tedy E není měrou _(tHK)_ . «
čísla  Q.   I jest E kmenné; 1
každé však číslo kmenné kaž-     \-+------------G-
dému, jemuž není měrou, jest    p |_____i
kmenné (VII. xxix.). Tedy E, h Q   jsou   navzájem kmenná,
kmenná však také nejmenší, nejmenší pak jsou týmiž měrami těch, která mají týž poměr, přední předního jako zadní zadního. Iv má se E: Q=P:D; tedy E je touž měrou čísla P jak Q čísla D. Číslu D však žádné jiné číslo není měrou kromě A, B, C; tedy Q jest jednomu z čísel A, B, C rovno. Budiž rovno číslu B. A kolik jest čísel
B, C, D, tolik vezměme čísel od £ počínajíce, totiž E, HK, L. I mají E, HK, L týž poměr jako B, C, D; stejnořadně tedy B:D — EL; pročež BxL = DX E; avšak DX^==QXP; tedy tež QXP = BxL. Tedv Q:B = L:P. I jest Q=B; pročež i L = P, což právě nemožno. Neboť podmínkou jest, že P žádnému zdaných není rovno. Tedy nebude číslu FG žádné číslo měrou kromě A, B, C, D, E, HK, L, M a jednotky. Také bylo dokázáno, že FG= AA-B4-C-\-D+ E A- HK Ar L Ar AI Ar L Dokonalé pak jest číslo, které se rovná součtu svých dělitelů (mčr); tedy FG jest číslo dokonalé; což právě bylo dokázati.
Doplňky.
V. xix.
Důsledek.
Poměry však trvají i při stejných násobcích i při úměrách, ježto právě, když jest první číslo stejným násobkem druhého jako třetí čtvrtého, bude se míti též první k druhému jako třetí ke čtvrtému. Nikoli však též naopak: když se má první k druhému jako třetí ke čtvrtému, nebude vesměs také první stejným násobkem druhého a
186
třetí čtvrtého, jako na př. při poměrech půldruhadílných nebo půltřetí-dílných nebo podobných; což právě bylo dokázati.
VI. xx.
Jinak.
Dokážeme ovšem i jinak případněji, že trojúhelníky jsou stejnolehlé.
Nuže mějme opět mnohoúhelníky ABCDE, FOUKL a veďme spojnice BE, EC, OL, LH; pravím, že A ABE:FGL = EBC: LGH — CDE: HKL. Neboť ježto &4BE~FGL, tedy &ABE;FGL = BE*: GL*. Z téže příčiny ovšem i A BEC: GLH= BE*: GL*. Pročež A ABE:FGL= BEC-.GLH. Dále, ježto & EBC ~ LGH, tedy EBB: LGH = CE*: HL*. Z téže příčiny ovšem i A FJCD: LHK= CE*: HL*. Tedy A BEC: LGH — CED: LHK. Bylo však dokázáno, že též EBC:LGH = ABE.FGL. Pročež také ABE: FGL = BEC: GLH— ECD: LHK; což právě bylo dokázati.
VI. xxvn.*) Jinak.
Nuže bud opět AB rozpůlena v C a přistaveno AL, takže se mu nedostává doplňku LB, a bud opět k AB přistaven rovnoběžník AE, takže se mu nedostává doplňku EB, podobného a podobně položeného, jako jest útvar nad polovinou, LB; pravím, že AL > AE.
Neboť ježto EB~ LB, objímají touž úhlopříčku. Budiž úhlopříčkou jejich EB a obrazec buď vylinkován. A ježto LF = LH, protože FG=GH, tedy LF > KE. Avšak LF= DL (I. xliii ), pročež také DL^>EK. Společným přičtěme KD; tedy celé ALyAE; což právě bylo dokázati.
VI. xxx.
Jinak.
Danou přímkou bud AB.   Má se tedy AB rozděliti poměrem
c
krajním a středním. B     Nuže buď AB rozdělena vC tak, aby H bylo ABXBC= CA* (II. xi.). Ježto tedy AB X BC — CA*, tedy BA: AC — AC: CB. Tedy AB jest rozdělena v C poměrem krajním a středním; což právě bylo vykonati.
*) Doplněk tento nepochybně cizí.
157
VI. xxxi. Jinak.
Ježto útvary podobné mají se k sobě jako dvojmoci stejnolehlých stran (VI. xx.), tedy útvar z BC (viz přísl. vyobr. kn. VI.) má se k útvaru z BA jako dvojmoc z CB ke dvojmoci z BA. Také však čtverec z BC má se ke čtverci z BA jako dvojmoc z BC ke dvojmoci z 2L4. Protož i útvar z CB má se k útvaru z 2L4 jako čtverec z CB ke čtverci z .BA Z téže příčiny ovšem též útvar z JBC má se k útvaru z CA jako čtverec z J?C ke čtverci z C/4. A tak i útvar z Z?C má se k součtu útvarů z BA, AC jako čtverec z 5C k součtu čtverců z Ä4, ,4C Avšak BC2 =. BA* Ar AČ*; pročež i útvar z SC roven je součtu útvarů z iL4, JC, podobných a podobně sestrojených [což právě bylo dokázati].
VI. xxxiii.*)
Pravím, že též oblouk BC: obi. EF=výseč GBC: výs. HEF.
Nuže veďme spojnice BC, CK (tečkov.) a na obi. BC, CK zvolme body 0, P a veďme též spojnice BO, OC, CP, PK. A ježto BG — GK a GC—GC a svírají stejné úhly a základna BC = ZC, tedy též A GBC= GCK. A ježto obl. BC=CK, též obl. (BAC), jenž celý kruh doplňuje, roven jest oblouku (CAK) celý kruh doplňujícímu; pročež i <$.BOC= CPK (III. xxvn.). Tedy
úseč BOCr^> úseči CPA".   Také jsou na
stejných tětivách BC, CK. Úseče pak podobné na stejných tětivách jsou si rovny; pročež úseč BOC—CPK. Je však i L\GBC — GCK\ tedy též celá výseč BGC— GCK. Z téže příčiny ovšem i výseč GKL — GBC= GCK. Tedy tři výseče GBC, GCK, GLK jsou si rovny. Z téže příčiny ovšem i výseče HEF, HFM, HMN jsou si rovny. Kolikrát tedy obl. LB > BC, tolikrát i výs. GBL > GBC. Z téže příčiny ovšem též kolikrát obl. NE > EF, tolikrát i výseč HEN> HEF. Jestliže tedy obl. BK= EN, také výs. BGL = EHN, a jestliže obl. BLy EN, také výs. 5CL > EHN, a jestliže menší, menší. Když jsou tedy čtyři veličiny, a to dva obl. BC, EF a dvě výs. GBC, EHF, vzali jsme za stejné násobky oblouku BC a výseče GBC oblouk BL a výseč OBL a za stejné násobky oblouku EF a výseče HEF oblouk SV a výseč HEN; a dokázáno, když obl. BLy EN, že též výseč BGL>EHN, pakli stejný, stejná, pakli menší, menší. Pročež obl. BC:EF = výs. GBC: HEF.
*) Doplněk Theonův.
168
159
Důsledek. *)
I jest patrno také, že jako se má výseč k výseči, tak se má též úhel k úhlu.
Obecně VJI. xx.
Když jsou tři čísla úměrou, součin krajních rovná se čtverci středního; a když součin krajních rovná se i    a     |        f      .ff    |   čtverci středního, ta tři čísla jsou úměrou.
Buďtež úměrou tři čísla A, B, C, takže A:B — B:C; pravím, že A X C = B2. Nuže c D       budiž B = D; tedy A:B = D:C. Pročež
i——i-,   ,-, 4 x £ = 5 X -D (VIL XIX-)- Avšak BXD =
B% neboť B—D. Tedy AXC=B\ Avšak bud již AXC=B'1: Pravím, že A:B — B:C. Neboť ježto AXC=B* a B*=BxD, tedy A:B=D:C.  Avšak B=D, pročež A:B—B:C; což právě bylo dokázati.
Obecně VII. xxn. Když jsou tři čísla a jiná jim počtem rovná, po dvou brána
jsouce a v témž poměru, úměra pak je-
^h--_—| jest nestejnořadná, také stejnořadně
budou v témž poměru.
Třemi čísly buďtež A, B, C a jinými jim počtem rovnými D, E, F, po dvou
-1  brána jsouce v témž poměru, a úměra
jejich buď nestejnořadná, t. A:B = E:F a B:C=D:E; pravím, že také stejnořadně A:C — D:F. E, , Neboť ježto A:B = E:F, tedy AXF=
_ fix Ti.   Dále, ježto B:C=D:E, tedy
j,, DxC= BXE. Bylo pak dokázáno, že
též4xF= BxE, pročež také AxF— DxC. Tedy á:C=D:F; což právě bylo dokázati.
VII. xxxi. Jinak.
Složeným číslem buď A; pravím, že nějaké číslo kmenné jest mu měrou.
A |_Neboť ježto A je složené, bude mu číslo
' 1    měrou; i budiž nejmenší z měr jeho B;
i_| pravím,  že B jest číslo kmenné. Neboť
není-li, jest složené; bude mu tedy nějaké
i_( číslo měrou.   Budiž mu měrou C. Pročež
'       ' C<CB.   A ježto C jest měrou čísla B, B
však jest měrou čísla A, tedy též C jest měrou čísla A, jsouc menší než B; což nemožno. Pročež B není složené; tedy kmenné; což právě bylo dokázati**).
*) Důsl. snad rovněž Theonův. **) Následuje scholion k VII. xxxix., nesprávné a nejasné.
Scholion1).
Poměr složený z poměrů najedeme dle VIII. v.; rozložíme poměr (složený) takto: budiž A:B — 2:1 (vlastně A = 2B), a od toho (poměru) má se odděliti 3: l1). Budiž A:C=3:1. Zbývá činitel C: B. Pravím, že C: B jest poměr půldruhadílný3). Nuže nebuď tak, nýbrž možno-li, budiž C=2B. Je však téžA—3C, bude tedy též^i=r>J3. Podmínkou však, že A = 2B; což nesrovnalé.• Nebude tedy C—2B. Podobně ovšem dokážeme, že ani jiného poměru nemá C: B*) kromě půldruhadílného.
IX. xxn. i Jinak.
Nebo též takto: ježto tedy AB jest liché, odejměmež od něho jednotku FB;  tedy zbývající AF jest sudé. Dále, ježto BC jest liché a FB jest jednotka,     A     FB      c D
tedy FC jest sudé ; je  však  též AF sudé,      1-m-1-1—\
pročež i celé AC jest sudé.   Z téže příčiny ovšem i CE jest sudé. A tak i celek AE sudý jest.
Kniha desátá.
Výměry.
1. Souměřitelnými zovou se veličiny, které touž měrou se měří; nesouměřitelnými pak, jimž míra žádná nemůže stati se společnou.
2. Přímky jsou dvoj mocně souměřitelné, když čtverce z nich touž plochou měřiti lze; nesouměřitelné, když čtvercům z nich nemůže žádná plocha stati se měrou společnou ').
3. Uznáno-li toto, vysvítá z toho, že s danou přímkou jest nekonečné množství přímek souměřitelných, jakož i nesouměřitelných, dílem jen dle délky, dílem i dvojmocně. Nazývejme tedy danou přímku změrnou a přímky s ní souměřitelné, buďsi dle délky i dvoj-moci, buďsi jen dvojmocně, změrnými, nesouměřitelné pak s ní nazývejme nezměrnými.
4. I čtverec dané přímky nazývejme změrným a s ním souměřitelné změrnými, sním pak nesouměřitelné nezměrnými, i přímky, jejichžto čtverce jsou jim rovny, nezměrnými, a to byly-li by
») Snad k VIII. v.
'') T. j. má se nalézti druhý činitel složeného poměru Zel, jehož jeden činitel jest 3:1.   Stane  se dělením AjA\ = £ll =, C : F== 2 : 3.
3) T. j. druhý člen jest l'/,Urát větší než první.
4) Ve vyd. Heiberg. B: V "(t. j. B;C) = 2:3, — chybně, snad chyba tisková. ') Plochou — xwPí'3V — rozumí se obyč. čtverec.
180
101
to čtverce, strany samy, pakli jiné nějaké útvary přímkové, strany čtverců jim rovných.
I.
Jsou-li dány dvě veličiny nestejné, když od větší odečteme část větší než polovina a od zbytku opět větší než polovina a tak stále budemečiniti, zbude nějaká veličina, jež bude menší než daná veličina menší.
Buďte dvěma veličinami nestejnými AB, C, z nichž větší AB; pravím^ že, když od AB odečteme část větší než polovina a od zbytku opět větší než polovina a tak stále budeme činiti, zbude nějaká veličina, jež bude menší než veličina C.
Neboť C znásobena jsouc bude někdy větší než AB.   Buď znásobena a buď DE násobkem veličiny C, větším však než AB, a rozdělme DE v díly s C stejné DF, FG,
a,   K    H_|B t   c   t    GE a od AB odřízněme BH, větší než
je polovina, od AR pak HK, větší než je polovina, a to stále čiňme, dokud ne-
t)i_l_£_iE bude v AB tolik částí, kolik má jich DE.
Buďtež tedy AK, KH, HB na počet stejné s DF, FH, GE, a ježto DEyAB a od DE odříznuta část EG, menší než polovina, od AB pak BH, větší než polovina, tedy zbytek OD> AU. A ježto GD~> AH a od GD odříznuta polovina, t. GF, od AH pak HK, větší než polovina, tedy zbytek DF> AR. Avšak DF—C, tedy též C~> AK. Pročež AK<C.
Tedy z ^veličiny AB zbývá veličina AK, menší jsouc než daná veličina menší C; což právě bylo dokázati. — A podobně dokážeme, i když budou části odčítané polovinami.
II.
Když ze dvou nestejných veličin střídavě se odčítá pokaždé menší od větší a zbytek nikdy nedomě-řuje části předcházející, budou ty veličiny nesoumě-ř i t e 1 n é.
Nuže jsou li dvě veličiny AB, CD nestejné a menší jest AB a odčítáme-li vždy menší od větší, zbytek nikdy nedoměřuj části předcházející ; pravím, že veličiny AB, CD _ G |B     jsou nesouměřitelné.
i    i i   i     i    i Neboť jsou li souměřitelné,  bude je
nějaká veličina měřiti. Měř je, možno-li,
C|    F__|D     a bud to E; a AB doměřujíc FD osta-
vuj menší sebe CF, CF pak doměřujíc BG ostavuj menší sebe AG, a to děj se stále, dokud nezbude nějaká veličina, jež je menší než E. Staň se, a zbývej AG, menší než E.   Ježto tedy E měří AB, AB však měří DF, tedy
'■s
též E bude měřiti DF. Měří však i celou CD, bude tedy též zbytek CF měřiti. Avšak CF měří veličinu BG, tedy též E. měří BG. Měří však i celou AB, tedy bude měřiti též zbytek AG, větší veličina veličinu menší; což právě nemožno. Tedy veličin AB, CD nebude měřiti veličina žádná; pročež veličiny AB, CD jsou nesouměřitelné. . ' Když tedy ze dvou nestejných veličin atd. " ...
nej-
III.
Jsou-li dány dvě veličiny souměřitelné, naj d větší jejich společnou míru.
Dvěma veličinami souměřitelnými buďtež AB, CD, z nicbžtó menší AB; má se tedy veličinám AB, CD najiti největší společná míra;
AB zajisté veličinu CD bud doměřuje bud nikoli. Doměřuje-H tedy, doměřuje pak i sebe, tedy AB je společnou měrou veličin AB, CD; i patrno, že též největší. Neboť větší než AB veličiny AB měřiti nebude.
Neměř již AB veličiny CD. A když střídavě budeme odčítati vždy menší od většího, zbytek jednou bude doměřovati část předcházející, ježto AB, CD nejsou nesouměřitelné;
i ostavuj AB doměřujíc ED menší sebe EC,        ^    ai f |   ^ |b EC pak doměřujíc FB ostavuj menší sebe AF, AF pak CE doměřuj.
Ježto tedy AF měří CE, CE však měří FB, CM_í-1-hD
tedy též AF měří FB. Měří však i sebe, pročež bude        měřiti i  celou AB.   Avšak AB
měří DE, tedy též AF" bude měřiti DE; měří však i CE, tedy měří též celou CD. Tedy AF je společnou měrou veličin AB,CD. Pravím ovšem, že též největší. Neboť sice bude nějaká veličina ;větši než AF, jež bude měřiti AB, CD. Budiž to G. Ježto tedy G tHéřVAS-AB však měří ED, tedy též G bude měřiti ED. Měří však i celou CD; tedy G bude měřiti též zbytek CE. Avšak CE měří FB, tedy též G bude měřiti FB. Měří však i celou AB, i zbytek AF bude měřiti, větší veličina veličinu menší; což právě nemožno. Tedy žádná veličina větší než -áF nebude měřiti AB, CD; pročež AF je největší společnou měrou veličin AB, CD.
Nalezena tedy největší společná míra dvou daných veličin souměřitelných AB, CD; což právě bylo dokázati (vykonati).
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, když je veličina měrou veličin dvou, že měřiti bude též největší jejich společnou míru.
IV.
J s o u -1 i d á n y tř i ve 1 i či n y souměřitelné, n aj d'ť největší jejich společnou míru.
ílu
16".
Danými třemi veličinami souměřitelnými buďtež A, B, C; má se tedy veličinám A, B, C najiti riejvětší společná míra.
Nuže mějme největší společnou míru dvou veličin A, B (X. in.) fi bud jí D; Ď zajisté veličině C buď jest měrou bud není. Buď dříve měrou. Ježto tedy D měří ,C, měří však též A, B, tedy D měří A, B, C; pročež D je společnou měrou veličina, B, C. I patrno, že též největší; neboť veličina větší než D veličin A, B neměří.
Nebuď již D měrou veličiny C. Pravím nejprve, že C a Z) jsou souměřitelné. Neboť ježto A, B, C jsou souměřitelné, bude je měřiti nějaká veličina, jež patrně i A, B bude měřiti, pročež i největší společnou míru veličin A, B, totiž D, bude měřiti. Měří však i C; tedy řečená veličina bude měřiti C, D. Vezměme tedy jejich největší společnou míru a bud jí J£. Ježto tedy E měří D, D však měří A, B, tedy též E bude měřiti A, B.  Měří však i veličinu C.   Tedy E měří
A, B, C; pročež E je společnou měrou ve-A !_ličin A, B, C.   Pravím  ovšem, že též největší.  Nuže buď, možno-li, nějaká veličina F, větší než E, a měř A, B, C. A ježto F
B 1-1 měří A, B, C, tedy též A, B bude měřiti,
jakož i největší společnou  míru veličin A,
c ,_, B (X. ni.  důsl).   Největší však společná
míra veličin A, B jest D; F tedy měří F). D £ F      Měří však i veličinu C; tedy F měří C, D;
1       1 1—'     '     1    pročež bude F měřiti též největší společnou
míru veličin C, D. Jest pak to E; tedy F bude měřiti E, větší veličina veličinu menší; což právě nemožno. Tedy žádná veličina nad E větší neměří veličin A, B, C. Pročež E jest největší společnou měrou veličin A, B, C, když D veličiny C neměří; pakli měří, tož samo D.
Největší tedy společná míra daných tří veličin souměřitelných jest nalezena.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, když veličina měří tři veličiny, že bude měřiti též největší jejich společnou míru.
Podobně ovšem najde se i při větším počtu (veličin) největší společná míra, i důsledek bude míti platnost. Což právě bylo do-kázati.
V.
Veličiny souměřitelné mají se k sobě jako číslo k číslu.
Veličinami souměřitelnými buďtež A, B; pravím, že A má se k B jako číslo k číslu.
163
Neboť ježto A, B jsou souměřitelné, nějaká veličina bude je měřiti. Měř je a buď to C. A kolikrát C je obsaženo v A, tolik jednotek íbud v D, a kolikrát obsaženo C v B, tolik jednotek buď v E.
Ježto tedy C měří A dle jednotek v D a též jednotka měří D -dle jednotek jeho, tedy jednotka je tolikrát
-obsažena v čísle D jako veličina C v A; pro- b c -čež   C:A = 1:D;   tedy zpětně  A:C = D:1.   '   i '—' 1—!—' ^ Dále ježto C měří B dle jednotek v E a též jednotka měří E dle jednotek jeho, tedy jednotka je tolikrát obsažena v £ jako C v B;         '-lD     1 lE
pročež C:B=1:E. Dokázáno však, že též A:C — D:1; tedy stejnořadně A : B — D : E.
Tedy souměřitelné veličiny A, B mají se k sobě jako číslo D ík číslu E; což právě bylo dokázati.
VI.
Když se mají dvě veličiny k sobě, jako číslo k číslu, ity veličiny budou souměřitelné.
Nuže mějte se k sobě dvě veličiny A, B, jako číslo D k číslu E; pravím,  že jsou veličiny A, B souměřitelné. A B G
Nuže kolik je v D jednotek, v tolik   1   1 h—1   1 1   1   1   1 1 1 ■stejných dílů rozdělme A, a jednomu z nich bud rovno C; a kolik je v i? jednotek, z tolika veličin stejných s C skládej se F. i-iD t   |F | i
Ježto tedy, kolik jednotek má D, tolik je též v A veličin stejných s C, tedy jakou
částí veličiny D jest jednotka, takovou jest   ^_|£ '
i C veličiny ^4; pročež C: A = 1: D. Jednotka pak měří číslo D, tedy též G měří
A. A ježto C:A — 1:D, tedy zpětně A: C = D: 1. Ježto dále, kolik jednotek má E, tolik má též F stejných s C, tedy C:F=1:E. Dokázáno pak, že též .4: C = D:Í; tedy stejnořadně A:F—D:E. Avšak D: E — A-.B, tedy též A má se stejně ku B jako k F. Má tedy A k B i F týž poměr; tedy fí = F. Č však měří F, pročež měří i B. .Avšak zajisté též A; tedy C měří A, B. Jest tedy A s B souměřitelné.
Když se tedy mají dvě veličiny k sobě, atd.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno,  když máme dvě čísla, na př. D, E, a přímku, na př. A, že jest možno učiniti, by se číslo D mělo k E,
') Ve vyd. Heiberg. jest ve vyobr. ještě jedna úsečka (H), jež nemá účelu.
11*
164
165
A' p       jako ta přímka k jiné (na př. F). — Když
>—-1-1   1-1    pak vezmeme též střední úměrnou veličin
D       , , . A, F, na př. B, bude A: F=A*:B*, t. j.
t-1        t     B     |     jako se má první ke třetí, tak se má útvar
1 „     (na př. čtverec) z první k útvaru z druhé
i—^ podobnému a podobně sestrojenému (stejno-
lehlému ; dle V. vým. 9. a VI. xx. důsl.). Avšak Á\F—D:E; učiněno tedy, že též D: E = A*: B2; což právě bylo-dokázati.3) 1:
VII.
Veličiny nesouměřitelné  nemají se k sobě jako , č í s 1 o k č í s 1 u.
A Veličinami nesouměřitelnými budtež A,
* 1      B; pravím, že nemá se A ku B jako číslo
k číslu.
_J?_ Neboť má-li se  A ku B jako číslo
k číslu, bude A s B souměřitelným. Není však; tedy nemá se A ku i? jako číslo k číslu.
Tedy veličiny nesouměřitelné nemají se k sobě atd.
VIII.
Když se nemají dvě v e 1 i č i n y . k sobě jako číslo-k číslu, budou ty veličiny nesouměřitelné (vyobr. jako< předešlé). .
Nuže nemějte se veličiny A, B k sobě jako číslo k číslu; pravím, že jsou veličiny A, B nesouměřitelné.
Neboť budou-li souměřitelné, bude se míti A ku B jako číslo k číslu. Nemá se však. Tedy veličiny A, B jsou nesouměřitelné.
Když se tedy nemají dvě veličiny atd.
IX.
Čtverce z přímek dle délky souměřitelných mají se k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; a čtverce, jež se mají k sobě jako číslo5 čtvercové k číslu čtvercovému, též strany budou míti dle délky souměřitelné. Čtverce pak z přímek dle délky nesouměřitelných nemají se k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; a čtverce, jež se nemají k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému, ani stran nebudou míti dle délky souměřitelných.
3) Vyobr. předešlé sem se nehodí, neboť onde B — Fl zde však B má býti střední úměrnou veličin A, F. Proto jsem příslušné sem vyobr. přidal.
Nuže bucftež A, B dle délky souměřitelné; pravím, že čtverec *ž A má se ke čtverci z B jako číslo čtver- : . •cové k číslu čtvercovému. • ^ B
Neboť ježto A je s B dle délky sou-     i---1 i—■-'—>
měřitelná, tedy A se má ku B jako číslo ; ,
k číslu. Měj se jako C k D. Ježto tedy
A:B=C:Ď, avšak poměr čtverce z A C t
ke čtverci z B je dvojmocně větší než
A: B, — neboť útvary podobné mají se
k sobě jako dvojmoci stejnolehlých stran jy
>{VI. xx. důsl.) —•, a poměr čtverce.z C '-1
ke čtverci z D je dvojmocně  větší než
£:D, neboť dvě čísla čtvercová mají jedno číslo za střední úměrnou a čtverec ke čtverci má poměr dvojmocně větší než strana ke straně i(VIII. xi.) —, tedy též A* : 52 = C2 : Z)2.
Nuže měj se již A'!: B'x = C2■: Z}2; pravím, že A je s B souměřitelná dle délky.
Neboť ježto A*: B°- = C2: Z)2, avšak poměr čtverce z A ke čtverci z Z? je dvojmocně větší než A: B a. poměr čtverce z C ke čtverci z Z) je dvojmocně větší než C:D, tedy též A:B=G:D. Tedy se má A :k /> jako číslo C k číslu D; pročež A s B je dle délky souměřitelná.
Nuže buď již A s B dle délky nesouměřitelná; pravím, že nemá •se A* k Z?2 jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému.
Neboť má-li se A* k Z?2 jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému, -bude A s B souměřitelné.', Není však; tedy A"2 nemá se k B* jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému.
Neměj ,sé již naopak A* k Z?2 jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; pravím, že i je s B dle délky nesouměřitelná.
Neboť jest-li A s Z? souměřitelná, bude se míti A* k Z?2 jako číslo .čtvercové k číslu čtvercovému. Nemá se však; pročež A není s B -dle délky souměřitelná.
Tedy čtverce z přímek dle délky souměřitelných atd.
Důsledek. . ■
I bude z toho, což dokázáno, patrno, že přímky souměřitelné dle -délky jsou vesměs i dle dvojmoci, ty pak, jež dle dvojmoci, ne vesměs ■i dle délky.4)
Výtěžek.
Dokázáno v oddíle arithmetickém5), že se čísla podobných rovin •mají k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému, a když se dvě ,<čísla mají k sobě jako číslo čtvercové k číslu  čtvercovému, jsou
4) Co následuje, nepochybně nepochází od Eukl. ') Srv. viii. xxvi.
188
to čísla podobných rovin. A z toho patrno, že čísla nepodobných rovin, t. j. která nemají úměrných stran, nemají se k sobě jako číslo-čtvercové k číslu čtvercovému. Neboť budou-li se míti, budou to podobné roviny; to však proti podmínce. Tedy čísla nepodobných '•ovin. nemají se k sobě jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému.
X.
K dané přímce najdi dvě přímky s ní nesouměřitelné, jednu jen  dle délky,  druhou i  dle dvojmoci.
Danou přímkou budiž A; mají se tedy k A nalézti dvě přímky s ní nesouměřitelné, jedna jen dle délky, druhá i dle dvojmoci.
Nuže mějme dvě čísla B, C, jež se
_ • nemají k sobě jako číslo čtvercové k číslu
' čtvercovému, t. j. roviny nepodobné, a učiňmež, aby se  mělo  B : C = A'2: D°-'-O     (tomu zajisté jsme se naučili6)); tedy A* a Z>2 jsou veličiny souměřitelné (X. ví.). -l£       A ježto se nemá B k C jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému, tož ani A?
_{g nemá se k Z)2 jako' číslo čtvercové k číslu
čtvercovému; jest tedy A s D dle délky nesouměřitelná (X. ix.) Za. střední úměr-nou přímek A, D vezměmež E; tedy Ai D = A*;Et (V. výměr 9i). Avšak A je s D dle délky nesouměřitelná; pročež i A2 aEs jsou veličiny nesouměřitelné. Tedy A je s E dle dvojmoci nesouměřitelná..
Jsou tedy ku přímce dané A nalezeny dvě přímky s ní nesouměřitelné D, E, jen dle délky D, dle dvojmoci pak a ovšem i dle délky E; [což právě bylo dokázati].
187
Neboť ježto A s B jest nesouměřitelná, tedy se nemá A k B jako číslo k číslu. A A:B = C:D; pročež nemá se ani C k D jako číslo k číslu; tedy C je s i) nesouměřitelná.
Když jsou tedy čtyři veličiny atd.
A
B
XII.
Veličiny s touž veličinou souměřitelné jsou i navzájem souměřitelné.
Nuže budiž A i B souměřitelnou s C; pravím, že jé též A s B souměřitelná.
Neboť ježto jsou veličiny A, C souměřitelné, má se tedy A k C jako číslo k číslu. Měj se k ní jako D k E. Dále, ježto C jest souměřitelná s B, tedy C má se k i? jako číslo k číslu. Měj se k ní jako E ku G. A když je dáno několik poměrů, D:E a F:G, za čísla po řadě v daných poměrech vezměme H, K, L. tak aby se mělo D: E — H: K a F:G=z K: L.
Ježto tedy A : C= D : E, avšak D: E=H:K, tedy též A:C=H:K. Dále ježto C:B = F:G, avšak F:0 = K:L, tedy též C: B = K:L. Také však A:C =
Lt.K; stejnořadně tedy A:B=H:L. Pročež A má se k B jako císlô H k číslu L. Tedy A je s B souměřitelná.
Tedy veličiny s touž veličinou souměřitelné i navzájem souměřitelné jsou ; což právě bylo dokázati.
-HÉř
XI.
Když jsou čtyři veličiny úměrou a první s druhou jest souměřitelná, i třetí bude souměřitelná se čtvrtou; a kdyžprvní s druhou jest nesouměřitelná, nesouměřitelná bude i třetí se čtvrtou.
Budtež úměrou čtyři veličiny A, B, C, D, tak že A:B=C:Dr
a budiž A s B souměřitelnou; pravím, ^ £ že i C je s D souměřitelná.
' ' ' 1 Neboť ježto Jsi? jest souměři-
telná,  má se tedy Ä k B jako číslo C D k číslu. Také se má A: B = C: D; tedy
1 1      1 '       také C má se k D jako číslo k číslu;
pročež O je s D souměřitelná (X. vi.). Avšak bud již A s B nesouměřitelná; pravím, že i C bude s Z> nesouměřitelná.
XIII.
Když jsou dvě veličiny souměřitelné a jedna z nich je s  nějakou veličinou nesouměřitelná, i zbývající bude s ní
nesouměřitelná. ^,-,
Dvěma  veličinami souměřitelnými
budtež A, B a jedna z nich A s jinou c-1
nějakou C bud nesouměřitelnou ; pravím,
že i zbývající B }e s C nesouměřitelná. fí\--(
Neboť jest-Ií B s C souměřitelná, také však A s B jest souměřitelná, tedy
souměřitelná je též A s C). Avšak jest i nesouměřitelná.; což právě nemožné. Není tedy B s C souměřitelná; pročež nesouměřitelná.
Když jsou tedy dvě veličiny souměřitelné atd.
6) Viz x. vi. důsl.
7) Dvě veličiny A a C s veličinou B souměřitelné (X. XII,)-
1H«
Výtčsek.
Dúny-li dvě přímky nestejné, najdi, oč vyniká čtverec přímky delší nad čtverec přímky kratší.
Dvěma danými přímkami nestejnými buďtež AB, C, z nichžto delší budiž AB; má se tedy najiti, oč AB*'^>C*.
Budiž na AB narýsován polokruh ADB a do něho zapusťme AD stejnou s O a veďme spojnici DB. Patrno zajisté, že -šĺADB jest pravý a že AB>l = AD* (t. j. C*) A-DB*.
Podobně pak, i když dány dvě přímky, najde se takto přímka, jejížto čtverec je čtvercům jejich (součtu) roven.
C<—--1 Dvěma danými přímkami buďtež AD,
DB a budiž úkolem najiti přímku, jejížto čtverec je čtvercům jejich roven. Nuže postavme je na sebe kolmo, tak aby svíraly pravý úhel ADB, a veďme spojnici AB; patrno opět, že AB* = AD* A-DB*; což právě bylo do-kázati.
XIV.
A když rozdíl nesouměřitel
Když jsou čtyři přímky úměrou a rozdíl čtverců Z první a druhé je čtverec přímky souměřitelné [dle délky] s první, také rozdíl č t v er c ů ze třetí a čtvrté bude čtverec přímky souměřitelné [dle délky] s třetí.
čtverců z první a druhé je čtverec přímky né [dle délky] s první, také rozdíl čtverců ze   třetí a  čtvrté   bude čtverec přímky nesouměřitelné [dle délky] s třetí.
Buďtež úměrou čtyři přímky A, B, C, D, tak že A:B=C:D, a budiž A* = B* 4- E* & C* = D* + F*; pravím, jest-li A s E souměřitelná, že je také Cs F souměřitelná, pakli A s E nesouměřitelná, že jest i C s F nesouměřitelná.
Neboť ježto A : B = C: D, tedy též A*:B*—C*:D* (VI. xxn.). Avšají A* = E*A-B* a C* — D*4~F*. Tedy {FJA-B*) : B* = (D* -f F*) : D*. Pročež odečtením tedy též E:B = F:D, a tak též obráceně B = C: D ; pročež stejnořadně A: E—C.F. Jest-li tedy A s i? souměřitelná, jest souměřitelná i C s F, pakli A s F nesouměřitelná, nesouměřitelná jest i C s F.
E
li
D
(V. xvri.) E2:B*=F*:D*; B: Fj = D:F. Také však A:
Když jsou tedy atd.
169
XV.
B
C
Když se sečtou dvě veličiny souměřitelné, též •celek bude s kteroukoli z nich souměřitelný; a když jest celek s jednou z nich souměřitelný, také počáteční veličiny budou souměřitelné.
Nuže buďte sečteny dvě veličiny souměřitelné AB, BC; pravím, že i celek AC bude s AB i s BC souměřitelný.
Neboť ježto AB, BC jsou souměřitelné, | bude jim nějaká veličina měrou. Budiž měrou a budiž to Ď. Ježto tedy D jest měrou veličin
AB, BC, bude měrou i celku AC. Je však -měrou i veličin AB, BC; tedy D jest měrou
veličin AB, BC, AC. Pročež AC jest souměřitelná s AB i s BC.
Avšak již bud AC souměřitelnou s AB; pravím již, že též AB, BC jsou souměřitelné.
Neboť ježto AC. AB jsou souměřitelné, bude jim nějaká veličina měrou. Budiž měrou a budiž to D. Ježto tedy D jest měrou veličin
AC, A H, tedy též zbytku BC bude měrou. Jest pak měrou i veličiny AB; tedy D jest měrou veličin AB, BC; pročež AB, BC jsou souměřitelné.
Když se tedy sečtou dvě veličiny atd.
XVI.
D
Když se sečtou dvě veličiny nesouměřitelné, též celek bude s kteroukoli z nich nesouměřitelný; a když jest celek s jedno u z nich nesouměřitelný, také  počáteční  veličiny budou  nesou mě- T.j ř i t e 1 n é.
Nuže buďte sečteny dvě veličiny nesouměřitelné AB, BC; pravím, že též celek AC jest s AB i s BC •nesouměřitelný.
Neboť nejsou-li CA, AB nesouměřitelné, bude jim nějaká veličina měrou. Budiž měrou, možno-li, a budiž _l# ťo D.   Ježto tedy D jest měrou veličin CA,  AB, bude měrou i zbytku BC. Je však měrou i veličiny AB; D jest tedy měrou veličin AB, BC.  Pročež AB,  BC jsou souměřitelné.  Je však podmínkou, že jsou též nesouměřitelné ; což právě jest nemožné. Tedy veličinám CA, AB nebude žádná veličina měrou ; pročež CA, AB jsou nesouměřitelné. Podobně zajisté dokážeme, že též AC, CB jsou nesouměřitelné. Jest ťedy AC s AB i s BC nesouměřitelná
Avšak buď již AC s jednou z veličin AB, BC nesouměřitelnou. Budiž tedy nejprve s AB; pravím, že též AB, BC jsou nesouměřitelné. Neboť jsou-li souměřitelné, bude jim nějaká veličina měrou. Bud jim měrou a budiž to D. Ježto tedy D jest měrou veličin AB, BC, bude též celku AC měrou. Jest však měrou i veličiny AB; D jest tedy
170
měrou veličin CA, AB. Pročež CA, AB jsou souměřitelné; bylo však podmínkou, že jsou též nesouměřitelné; co právě jest nemožné. Tedy veličinám AB, BC nebude měrou veličina žádná; pročež AB, BC jsou nesouměřitelné.
Když se tedy sečtou dvě veličiny atd.
A
Výtěžek.
Když se k nějaké přímce přistaví rovnoběžník, tak že se mu ne-
nedostává doplňku čtvercového, přista-vený útvar jest roven obdélníku z úseček —" přímky přistavením vzniklých..
Nuže budiž ku přímce AB přistaven rovnoběžník AD, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového DB; pravím, že AD = ACxCB.
I jest to samo sebou zřejmé; neboť ežto DB je čtverec, DC = CB a AD = ACX CD, t. j. ACXCB. Když se tedy k nějaké přímce atd.
XVII.
Když jsou dvě přímky nestejné a k delší se přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce přímky kratší, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a přímku dělí v části souměřitelné dle délky, rozdíl čtverců z delší a z kratší přímky bude čtverec přímky [dle délky] souměřitelné s přímkou delší. A když rozdíl čtverců z d e 1 šj^a z kratší p ř í m k y j e čtverec přímky [dle délky] souměřitelné s přímkou delší a když se ku přímce delší přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce přímky kratší, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, dělí ji v části souměřitelné dle délky.
Nestejnými dvěma přímkami budtež A, BC, z nichžto delší BC,. a přistaven bucľ k BC útvar rovný čtvrtině čtverce kratší přímky Ay
(A Y
t. j    — , tak aby se mu nedostávalo ,_A V2/v
1-■-1 doplňku čtvercového, a budiž to BDx
DC8), BD pak budiž s DC dle délky sou-
j. , měřitelnou; pravím, že BC">• A* o čtve-
1—j_-1-i—-      rec přímky souměřitelné s BC.
B  F E        D & Nuže budiž BC v bodě £ rozpůlena
a bud DE — EF; tedy zbytek DC = BF^ A ježto přímka BC rozdělena jest v E na části stejné, v D pak na nestejné, tedy pravoúhelník BD X DC + ED'2 = EC* (II. v.), a čtyřnásobně 4 BD XE>C-\-4DŕQ — 4 KC". Avšak 4 BD x DC = A'1 a 4 DE* = DF2, neboť DF= 2 DE; a 4 EC'1 = BC", neboť BC=2CE. Pročež
s) Třebas dle II. XIV. postupem opačným.
)7ť
Aa A-DF* = BC2; a tak BC'2>A'2 o DF2; tedy čtverec z BC jest větší nežli čtverec z A o čtverec z DF. Dokázati jest, že BC je též souměřitelná s DF. Ježto totiž BD jest dle délky souměřitelná s DC, také tedy BC jest souměřitelná s CD dle délky (X. xv.). Avšak CD jest dle délky souměřitelná s CD a BF, neboť CD = BF. Tedy téžBCjest dle délky souměřitelná s BC a. CD ; a tak i zbývající FD jest dle délky souměřitelná s BC. Pročež B C y A'1 o čtverec přímky souměřitelné.
Avšak bud již BCi'J> A* o čtverec přímky souměřitelné a k BC přistaven bud útvar rovný čtvrtině A*, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to BDxDC. Dokázati jest, že jest BD dle délky s DC souměřitelná.
Touž úpravu vykonajíce zajisté podobně dokážeme, že BC1 > A2
0 FD"1. Jest pak 5C2>^42 o čtverec přímky souměřitelné. Tedy BC je s FD dle délky souměřitelná; a tak BC je dle délky souměřitelná
1 s úsečkami zbývajícími BFA-DC. Avšak BF-\-DC jsou [dle délky] souměřitelné s DC. Pročež i BCjes CD dle délky souměřitelná; tedy též odčetně BD jest dle délky s DC souměřitelná.
Když jsou tedy dvě přímky nestejné atd.
XVIII.
Když jsou dvě přímky nestejné a k delší se přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce přímky kratší, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a přímku dělí v části nesouměřitelné [dle délky], rozdíl čtverců z delší a z kratší přímky bude čtverec přímky nesouměřitelné s přímkou delší. A když rozdíl čtverců z delší a z kratší přímky je čtverec přímky nesouměřitelné s přímkou delší a když se ku přímce delší přistav^ útvar rovný čtvrtině čtverce přímky kratší, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, dělí ji v části nesouměřitelné [dle délky].
Nestejnými dvěma přímkami budtež a, bc, z nichžto větší bc; a k bc přistaven budiž útvar rovný čtvrtině čtverce přímky kratší a, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to bd X DC, a buď bd s dc dle délky nesouměřitelnou; pravím, že bc2 > a* o čtverec přímky nesouměřitelné.
Neboť touž úpravu jako dříve vykonajíce podobně dokážeme, že bc2 > a"2 o fd"1. Má se dokázati, íq bc je s df dle délky nesouměřitelná. Ježto bd jest zajisté s dc dle délky nesouměřitelná, tedy též bc je s cd dle délky nesouměřitelná (X xvi,). Avšak dc jest souměřitelná s bf i dc; proôež i bc jest nesouměřitelná s bf i dc.. A tak i se zbývající fd jest />' c dle délky nesouměřitelná. A bc* > a* o fd'1; pročež bc1 > ^42 o čtverec přímky nesouměřitelné.
Bud již naopak bc2 > ^42 o čtverec přímky nesouměřitelné a k bc přistaven budiž útvar rovný čtvrtině čtverce přímky a, tak aby se mu.
b f
E
D
173,
nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to BDXDC; má se doká-kázati, že jest BD s DC dle délky nesouměřitelná. • Touž zajisté úpravu vykonajíce podobně dokážeme, že />'C2> Aa
0 ť"lŕ: Avšak BC2 > A* o čtverec přímky nesouměřitelné.. Tedy BC jo s l1 D dle délky nesouměřitelná; a .tak 5C i se zbývajícím součtem 'lil'A- DC jest nesouměřitelná (X. xvi.). Avšak BF Ar DC je s DC dle délky nesouměřitelné; tedy též BC je s DC dle délky nesouměřitelná; n tak i odčetně ÄZ? jest dle délky nesouměřitelná s DC.
Když jsou tedy dvě přímky atd.
Výtišek.
Ježto dokázáno jest, že přímky souměřitelné dle délky jsou vesměs
1 dle dvojmoci souměřitelné, které však dle dvojmoci, nejsou vesměs li dle délky, nýbrž mohou ovšem dle délky býti i souměřitelné i nesouměřitelné; patrno, když s danou změrnou jest nějaká dle délky souměřitelná, že se nazývá změrnou a s ní souměřitelnou nejen dle délky, nýbrž i dle dvojmoci, ježto souměřitelné dle délky jsou vesměs i dle dvojmoci souměřitelné.
Pakli s danou změrnou jest nějaká souměřitelná dle dvojmoci jest-li také dle délky, zove se i takto změrnou a s ní souměřitelnou dle délky i dvojmoci; pakli naopak nějaká přímka, s danou změrnou souměřitelná jsouc dle dvojmoci, je s ní dle délky nesouměřitelná, zove se i takto změrnou, jen dle dvojmoci souměřitelnou.
XIX.
Pravoúhelník objímaný přímkami změrnými a dle
některého zřečených způsobů (v. výtěžek) dle délky souměřitelnými je z m ě r n ý.
Nuže objímejte pravoúhelník AC přímky změrné a dle délky souměřitelné AB, BC; pravím, že jest AC změrné.
Nuže buď narýsován z AB čtverec AD; tedy jest AD změrné. A ježto AB jest dle délky s BC souměřitelná a AB = BD, tedy BD je s BC souměřitelná dle délky. Také BD: BC — D A : AC. Pročež DA je s AC souměřitelné. Avšak DA je změrné; změrné je ted}' též AC. Tedy pravoúhelník objímaný přímkami atd
•; XX.
Když se přistaví z měrný útvar ku přímce změrné, šířkou činí přímku změrnou a stou, k níž přistaven ■jest, ílle" délky souměřitelnou.
D
B
Nuže přistavme ku přímce AB, opět dle některého z řečených způsobů (X. xvni. výt.) změrné, útvar změrný AC, šířkou činící přímku BC; pravím, že BC je změrná a s BA dle délky souměřitelná.
Nuže   narýsujme   na  AB  čtverec  AD; tedy AD jě změrné.   Změrné  však je  též AC; pročež DA je s'AC souměřitelné.  A  DA :AC=DB: BC tedy též DB je s BC souměřitelná. Avšak DB—BA pročež AB je souměřitelná s BC. AB však je změrná tedy i BC je změrná  a s AI;  dle  délky souměřitelná.
Když se tedy přistaví změrný útvar ku přímce změrné atd.
XXI.
Pravoúhelník objímaný přímkami změrnými a jen ve dvojmoci souměřitelnými jest nezměrný, a přímka, jejížto čtverec jest mu roven, jest nezměrná, i nazývej se střední (střednicí).
Nuže objímejte pravoúhelník AC přímky změrné a jen ve dvojmoci souměřitelné AB, BC; pravím, že AC jest nezměrné a přímka ve dvojmoci jemu rovná jest nezměrná, i nazývej se střední.
Nuže narýsujme na AB čtverec AD; čtverec AD je tedy změrný. A ježto ^12?, BC dle délky jsou nesouměřitelné (vzali jsme je totiž za souměřitelné jen dle dvojmoci) a AB = BD, také DB je s BC dle délky nesouměřitelná. A DB: BC = AD:ÄC (VI. i.). Tedy D A je s AC nesouměřitelné (X. xi.). Avšak DA je změrné, pročež AC jest nezměrné. A tak také přímka ve dvojmoci s A C stejná jest nezměrná; i nazývej se střední0); což právě bylo dokázati.
Výtěžek.
Když jsou dvě přímky, první má se ke druhé jako čtverec z první-k pravouhelníku z obou přímek.
») Budiž ABxBC=S% AB:^S = S:BC; proto zajisté Eukl. přímku S nazývá nezměrnou > střední«. — Sestrojiti možno takto: měj se CB:BE(=BF) jako čísla nečtvercová; CB: AB = AB: BF, z toho CB:BF== CB2:AB2, tedy CB, AB jsou jen ve dvojmoci souměřitelné. ABxBC—BDxBC=BG2; přímka tedy, jejížto čtverec je stejný s AC, jest BG a nazývá se nezměrnou střední.
F D
174
175
EF* = OD: FD= OE: EF;
Dvěma přímkami budtež FE, EG; pravím,  že FE:£G = FE* : FEx EG.
Nuže narýsován buď z FE čtverec DF a budiž doplněno GD. Ježto tedy FE: EG — FD: DG a FD — FE*, DG = DEXEG=FEXEG, tedy FE:EG — FE*: FE X EG. Podobně též GE X EF: což právě bylo dokázat!10)
XXII.
Čtverec přímky střední přistavený11) ke změrné činí šířkou přímku změrnou as tou, kníž přistaven, dle délky nesouměřitelnou.
Přímkou střední budiž A, změrnou pak CB, a k BC přistavme pravoúhelník s A2 stejný o šířce CD; pravím, že CD je změrná as CB dle délky nesouměřitelná.
Nebof ježto A je střední, čtverec její rovná se pravoúhelníku, objímanému přímkami změrnými, jen  ye  dvojmoci souměřitelnými
(X. xxi.). Čtverec ten budiž stejný s GF;
jgt_:_, avšak je stejný též s BD; tedy BD —
GF. Jsou však i stejnoúhlé; ve stejných O pak a stejnoúhlých rovnoběžnících strany
při stejnolehlých úhlech jsou k sobě v poměru obráceném (VI. xiv.l: pročež BC:EO = EF: CD. Tedy též BC": EG* = EF*: CD*. Avšak CB4 je s EG* souměřitelné, neboť obé je změrné; tedy též EF* je s CD* souměřitelné. Avšak EF* je změrné, pročež i CD* je změrné; tedy C DE F    CD je změrná. A ježto EF je s EG dle
délky nesouměřitelná, neboť jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, a EF: EG = EF* : FE X EG, tedy EF* je s FE X EG nesouměřitelné. Avšak s EF2 jest souměřitelné CD*, neboť jsou to veličiny ve dvojmoci změrné, a s FEx EG je DCX CB souměřitelné, neboť jsou stejná s A*, tedy též CD* je s DCxCB nesouměřitelné. Avšak CD*:DCxCB — DC:CB; pročež DC je s CB dle délky nesouměřitelná. Tedy CD je změrná a s CB dle délky nesouměřitelná; což právě bylo dokázati.
XXIII.
Přímka se střední souměřitelná je střední. Přímkou střední budiž A a souměřitelnou s A budiž B; pravím, že též B je střední.
10) Algebr. kratčeji: a:b = a:b; násobením poměru  druhého veličinou a bude: a: b = a2: ab.
") Ovšem ve tvaru stejného obdélníku.
JJ
Nuže mějme změrnou CD a k CD přistavme pravoúhelník CE stejný s A*, jenžto šířkou činí přímku ED; pročež ED je změrná a s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxn.). A přistavme k CD pravoúhelník CF s B* stejný, jenžto šířkou činí DF. i—
Ježto tedy A je s B souměřitelná, též A* je s B* souměřitelné. Avšak A* = EC a B*—CF; tedy EC je s CF souměřitelné. A EC: CE — ED: DF; jest ED s DF dle délky souměřitelná. ED však je změrná a s DC dle délky nesouměřitelná; pročež i DF je změrná a s DC dle délky nesouměřitelná (X. xin); tedy CD, DF jsou změrné jen ve dvojmoci souměřitelné. Přímka pak, jejížto čtverec jest roven pravoúhelníku objímanému přímkami změrnými a jen ve dvojmoci souměřitelnými, je střední (X. xxi.). A přímka rovná ve dvojmoci útvaru CD X DF jest B; tedy B je střední.
Důs/edek.
Z toho zajisté patrno, že útvar útvaru střednímu rovný je střední.
Výtěžek.
A rovněž tak, jako b}do při změrných přímkách řečeno, má platnost i při středních, že přímka se střední dle délky souměřitelná slově Střední a s ní souměřitelnou nejen dle délky, nýbrž i dle dvojmoci, jelikož vůbec přímky souměřitelné dle délky jsou vesměs i dle dvojmoci souměřitelné. Když pak je s přímkou střední nějaká souměřitelná dle dvojmoci, jest-li též dle délky, též takto se zovou středními a dle délky i dvojmoci souměřitelnými, pakli jen dle dvojmoci (t. jsou souměřitelné), zovou se středními a jen ve dvojmoci souměřitelnými.
XXIV.
Pravoúhelník objímaný přímkami středními, dle délky některým z řečených  způsobů  souměřitelnými, je střední.
Nuže objímejte pravoúhelník AC přímky střední AB, AC, souměřitelné dle délky; pravím, že AC je střední.
Nuže narýsujme z AB čtverec AD; tedy AD je střední. A ježto AB je s BC dle délky souměřitelná a s BD stejná, tedy též DB je s BC dle délky souměřitelná; a tak i DA je s AC souměřitelné (X. xi.). Avšak DA je střední, pročež také AC je střední, což právě bylo dokázati.
17(1
177
XXV.
G
D B
O E
H
k l
M
N
Pravoúhelník objímaný přímkami středními a jen ve dvojmoci souměřitelnými, je buď změrný nebo střednř Nuže objímejte pravoúhelník AC přímky střední AB, BC, jen ve dvojmoci souměřitelné; pravím, že AC je buď změrné nebo střední.
Nuže narýsujme z AB, BC čtverce AD, BE; tedy AD i ÄÉjsou střední. A dána buď změrná FG a k FG přistavme pravoúhlý rovnobežník GH s AD stejný, jenžto šířkou činí FH, a k HM přistavme pravouhlý rovnoběžník MKs AC stejný, jenžto šířkou činí HK, a ještě podobně ke KN přistavme NL, stejný s BE, jenžto šířkou činí KL; tedy FH, HK, KL jsou v přímce. Ježto tedy AD a BE jsou střední a AD — GH a BE— N L, tedy též GH a. NL jsou střední. 1 jsou to útvary přistavené ke změrné FG, pročež FH i KL jsou změrné a s FG dle délky nesouměřitelné (X. xxu.). A ježto AD s BE jest souměřitelné, tedy též GH jest souměřitelné s NL. A GH:NL — FH:KL; pročež FH je s KL dle délky souměřitelná (X. xi.). Tedy FH, KL jsou změrné a dle délky souměřitelné; pročež FHXKL je změrné (X. xix.). A ježto DBBA a OB—BC, tedy DB: BC = AB : BO. Avšak DB: BC=DA:AC a AB: BO = AC: CO; pročež DA:AC = AC:CO. Avšak AD = GH, AC = MK, CO — NL; tedy GH: MK— MK: NL; pročež také FH:HK=HK: KL. Proto FHX KL — HK*. Avšak FHxKL je změrné, tedy změrné jest i HK*; pročež HK je změrná. A jest-li souměřitelná dle délky s FG, jest HN změrné; pakli s FG jest dle délky nesouměřitelná. KH a HM jsou toliko ve dvojmoci souměřitelné; tu HN je střední. Tedy EN je buďto změrné nebo střední. HN však rovno AC; pročež AC je buďto změrné nebo Střední.
Tedy pravoúhelník objímaný přímkami středními atd.
XXVI.
Rozdíl útvarů středních není změrný.
Nuže, možno-li, budiž střední AB větší než střední AC o změrné DB, a dána buď změrná EŤ, a k EF přistavme pravoúhlý rovnoběžník FHs AB stejný o šířce EH a odečtěme FG stejné s AC, tedy zbývající BD = KH. DB pak je změrné ; změrné je tedy též KH. Ježto tedy útvary AB, AC jsou střední a AB = FH, AC=FG, tedy též útvary FH, FG jsou střední. I jsou přistaveny ke změrné EF, pročež HE, EG jsou změrné a s EF dle délky nesouměřitelné (X. xxn.). A ježto DB je změrné a stejné s KH, tedy změrné jest i KH. I jest přista-
veno ke změrné EF; pročež GH je změrná a s EF dle délky souměřitelná (X. xx.). Avšak i EG jc změrná a s EF dle délky nesouměřitelná; pročež EG je s GH dle délky nesouměřitelná (X. xm.) A EG: GH= EG"-: EGX GH; tedy EG* je s EGx GH nesouměřitelné. Avšak s EG* jsou čtverce EG*A-GH* souměřitelné (neboť obé je změrné); s EGxGH však souměřitelné jest 2 EGX GH (neboť jest to dvojnásobek); tedy GE*A-OH* je s 2 EGXGH nesouměřitelné. Proto též součet EG* A- GH* -j- 2 EG X GH, což jest EH*, je s KG* A-GH* nesouměřitelný (X xvi.). Avšak EG* Ar GH* je změrné; pročež EU* jest nezměrné (X. vým. 4.). Tedy EH jest nezměrná. Avšak také změrná; což právě jest nemožné.
Tedy rozdíl útvarů středních není změrný; což právě bylo do-kázati.
XXVII.
Najdi přímky střední jen ve dvojmoci souměřitelné, aby objímaly útvar změrný.
Mějme za dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, A, B a za. střední úměrnou přímek A, B vezměme C a učiňme A : B = C:D.
A ježto A, B jsou změrné a jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy AxB, t. j. C2, je střední (X, xxi.). Pročež C je střední (»'&.). A ježto A: B = C: D, avšak A, B jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy též C, D jsou jen ve dvojmoci souměřitelné. I jest C střední; pročež i D je střední (X. xxní.). Tedy C a D jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pravím, že objímají útvar změrný. Neboť ježto A:B=C: D, střídavě tedy A : C= B : D. Avšak A:C=C:B, pročež C:B—B:D. Tedy CX D = B*; B* však je změrné, pročež i CXD je změrné.
Jsou tedy nalezeny přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, takže objímají útvar změrný; což právě bylo dokázati.
D
B
XXVIII.
Najdi přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, aby objímaly útvar střední (srv. X. xxv.)
Přímkami změrnými, jen ve dvojmoci souměřitelnými, buďtež A, B, Ca za střední úměrnou přímek A, B vezměme D a učiňme B:C=D:E.
Ježto A, B jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, jest tedy Ax B, t. j.
D
E
12
t 78
179
D*, střední (X. xxi.); tedy D je střední. A ježto B, C jsou jen ve dvojmoci souměřitelné a B:C=D:E, tedy také D, ZTjsou jen ve dvoj-moci souměřitelné. Avšak D je střední, pročež i E je střední (X. xxní.); tcdy D, E jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pravím již, že též objímají útvar střední. Neboť ježto B: C— D: E, střídavě tedy B: D=C:E; avšak B:D = D:A, pročež i D:A — C:E. Tedy 4XC = />X-E; A X C však je střední, pročež i DX^ je střední.
Jsou tedy nalezeny přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, takže objímají útvar střední, což právě bylo dokázati.
Výtěžek L
tA
Najdi dvě čísla čtvercová, by též součet jejích byl čtvercový. Mějme dvě čísla AB, BC, a budtež (pokaždé obě) buďto sudá buďto lichá. A ježto zbytek jest sudý, ať se odečte sudé od sudého, ať liché od lichého; zbytek tedy AC jest sudý. Rozpolme AC v D. Buďte pak též AB, BC buďto podobné roviny buďto čtverce, jež i samy jsou podobné roviny. Tedy ABXBC-\-CD* = BD* (II. ví.). I jest ABxBC čtverec, ježto bylo dokázáno (IX. i.), když dvě podobné roviny12) vespolek se znásobí, že vzniklé číslo je čtverec. Jsou tedy nalezena dvě čísla čtvercová AB~X. BC a CD*, jejichžto součet je čtverec BD"-.
I jest patrno, že opět nalezeny jsou dva čtverce BD'1 a CD*, takže rozdíl jejich ABxBC je čtverec, jsou li AB, BC podobné roviny. Pakli to nejsou podobné roviny, nalezeny jsou dva čtverce BD*, DC*, jejichžto rozdíl AB X BC není čtverec ; což právě bylo dokázati.
n
Výtěžek II.
Najdi dvě čísla čtvercová, by součet jejich nebyl čtvercový.
Nuže budiž ABxBC, jak jsme pravili (výt. I.), čtvercem a CA sudým a rozpolme CA v D; patrno zajisté, že ABx BC+CD* = BD*(yýi.\.). Odečtěme jednotku DE; tedy(,4BX BC-\-CE*)<BD*. Pravím již, že součet čtverců ABX BC-\-CE* není čtverec.
Neboť bude-li to čtverec, buď jest roven čtverci BE* buď jest menší než BE*, nikoli však také větší, aby se jednotka nestala zlomkem.13)
Budiž dříve, možno-li, ABX BC-\- CE* — BE* a budiž G A = 2 DE. A ježto celek AC = 2CD, z čehož AG = 2 DE, tedy též zbytek GC=2EC;   pročež GC jest v E rozpůleno. Tedy GBxBC + CE* = BE* (II. ví.). Avšak dle podmínky též ABX BC-\-CE* = BE*. Tedy OB X BC + CE* = AB X BC + CE*; a ode-
A
G
D F
C
B
12) T. čísla plošného obsahu dvou podobných rovin.
ls) Neboť součet jest menší než BD2,  a byl-li by větší než BE2, byl by rozdíl menší než jednotka, tedy zlomek.
t
čteme-li společné CE*, nabýváme výsledku, že AB=GB; což právě nemožné. Pročež AB X BC -f- CE* nerovná se čtverci BE*; Pravím již, že není ani menší než BE*. Nuže, možno-li, budiž to rovno čtverci BF* a HA — 2ĽE, i dospějeme opět toho, že HC — 2CF; atak i CH jest rozpůleno v F, a proto HB x BC -f- FC'1 — BF*. Je však dle podmínky též ABxBC+CE* = BF*. Tedy bude též HBX BC-\- FC*=i AB\ BC A- CE*; což pravé nemožné. Tedy ABXBC+CE* není rovno čtverci menšímu než BE*. Bylo pak dokázáno, že ani čtverci BE*. Pročež AB X BC -f- CE* není čtverec ;14) což právě bylo dokázati.
XXIX.
Najdi dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, tak aby rozdíl čtverců z delší a z kratší byl čtverec přímky s delší souměřitelné dle délky.
Nuže mějme nějakou změrnou AB a dvě čísla čtvercová CD, DE, tak aby rozdíl jejich CE nebyl čtverec a narýsován bud na AB polokruh  AFB a učiňme DC-.CE—BA*: AT1* (X. ví. důsl.) a veďme spojnici FB.
Ježto BA*:AF* — DC:CE, tedy BA* má se k AF* jako číslo DC k číslu CE; pročež BAa je s AF souměřitelné. Avšak AB* je změrné, změrné tedy je též AF*, pročež je změrná též AF. A ježto DC nemá se k CE jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, nemá se tedy ani BA* k AF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež AB je s AF dle délky nesouměřitelná (X. ix.); tedy AB, AF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. A ježto DC:CE — BA*:AF*, AF* (V. vým. 16.). CD však má se k DE jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, pročež také AB* má se k BF* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy AB je s BF dle délky souměřitelná (X. ix.). I jest
E
tedy zvratně CD: DE = AB*
AB*=AF*-\-FB* řitelné.
Pročež AB* > AF* o čtverec z BF s AB soumě-
Nalezeny jsou tedy dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné BA, AF, takže rozdíl čtverců z delší a z kratší je čtverec přímky s delší souměřitelné dle délky; což právě bylo dokázati.
XXX.
Najdi dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, tak aby rozdíl čtverců z delší a z kratší byl čtverec přímky s delší nesouměřitelné dle délky.
Mějme změrnou AB a dvě čísla čtvercová CE, ED, tak aby součet
4) Další asi tři řádky nepocházející od Eukl.
12*
i ho
1b1
jejich CD nebyl čtverec a narýsujme na AB polokruh AFB a učiňme '/)C:CE=BA*:AF* (X. ví. důsl.) a veďme spojnici FB.
Podobně zajisté jako svrchu dokážeme, že BA, AF jsou změrné,
jen ve dvojmoci souměřitelné. A ježto DC:CE=BA*:AF*, tedy z vratně CD: DE= AB*:BF* (V. vým. 16.). Avšak CD nemá se k DE jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; ani tedy AB* nemá se k Ä?2 jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Pročež AB je s BF dle délky nesouměřitelná. I jest ABa~>AFa o čtverec přímky FB s AB nesouměřitelné.
Jsou tedy AB, AF změrné, jen ve dvojmoci   souměřitelné   a   AB* > AF1 dle délky nesouměřitelné; což právě bylo
B
o čtverec přímky FB s dokázati.
D
Á B
XXXI.
Najdi dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, aby objímaly útvar změrný a rozdíl čtverců z delší a z kratší aby byl čtverec přímky s delší sou-měřitelnédledélky.
Mějme dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, A, B, tak aby rozdíl čtverců přímky delší A a kratší B byl čtverec přímky
s delší souměřitelné dle délky (X. xxix.). I budiž C* = A X B. Avšak A X B je střední (X. xxi.); tedy též C* je střední. A budiž CX^ = 5S; B* však je změrné, pročež i CXB je změrné. A ježto A :B—A X B:B*, avšak AXB=C* a B"-= CXD, tedy A:B= C2: CXD- Avšak Ca:CxD = C:D; pročež také A:B—C:D. Jest pak A s B jen ve dvojmoci souměřitelná; pročež i C je s Z) souměřitelná jen ve dvojmoci. I jest C střední; střední je tedy též D (X. xxiii.) A ježto A:B=C:D a A*> B* o čtverec přímky s A souměřitelné, také C* > A      B     C     D      D* o čtverec přímky s C souměřitelné (X. xiv.)
Jsou tedy nalezeny dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, C, D, jež objímají útvar změrný, a rozdíl čtverců z přímek C a D je čtverec přímky s C souměřitelné dle délky.
Podobně ovšem dokážeme také, že rozdíl je čtverec přímky nesouměřitelné, když A*>B* o čtverec přímky s A nesouměřitelné (viz X. xxx.).
XXXI í.
Najdi dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, aby objímaly útvar střední a rozdíl čtverců
]
By
z přímky delší a kratší aby byl čtverec přímky s delší souměřitelné.
Mějme tři přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, A, B, C, tak aby byla A* > C* o čtverec přímky s A souměřitelné (X. xxix.), a budiž A X B = D2. PročežD* je střední; i D je tedy střední. Budiž pak .B X C —
DXE.  A ježto AXB:BXC=A:C,     A'-1
avšak AxB = D* a BXC = DXE, teáy A: C—D*:DXE. Avšak Í»2:ZJX E—D:E; pročežtaké A : C = D:E. Jest pak As C ve dvojmoci souměřitelná; tedy též D s E jen ve dvojmoci souměřitelná. Avšak D je střední, střední je tedy též E IX. xxní). A ježto A:C = D:E, A* pak     C* o čtverec přímky s A souměřitelné, tedy bude též D*~>E* o čtverec přímky s D souměřitelné. Pravím již, že také je DX.E střední. Neboť ježto BxC=zDXE, BxC však je střední (X. xxi.) [neboť B, C jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné]; pročež i DxEje střední.
Jsou tedy nalezeny dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, D, E, objímající útvar střední, takže rozdíl čtverců z přímky delší a kratší je čtverec přímky s delší souměřitelné.
Podobně ovšem opět dokážeme také, že rozdíl je čtverec přímky nesouměřitelné, když A*y-C* o čtverec přímky s A nesouměřitelné (viz X. xxx.).
jenž má pravý úhel A,
Výtěžek.16)
Budiž ABC trojúhelníkem pravoúhlým a veďme kolmici AD; pravím, že CBX B D = BA*,  BCXCD=CA* a BDx DC = AD* a též BC X AD = BA X AC.
A nejprve, že CBxBD = BA*.
Neboť ježto v trojúhelníku pravoúhlém jest od pravého úhlu na základnu vedena kolmice AD, [\ABD^>f\ADC ~/\ABC. A ježto A ABC ~ ABD, tedy CB:BA = BA:BD; pročež CBX BD — AB*. ~\
Z  téže  příčiny   ovšem  i  BC X ^--''^ CD = AC*. ŕ
A ježto v trojúhelníku pravoúhlém, když se vede od úhlu pravého na základnu kolmice, ta je střední úměrnou úseček základny, tedy BD: DA = DA:DC; pročež BDX DC—DA*.
Pravím, že též BC X AD — BA X AC. Neboť ježto jest, jak jsme
6) Náleží jinam, nepochybné do kn. VI.
182
pravili, ABC^ABD, tedy BC: CA = BA: AD. Pročež BCXAD=BáX AC; což právě bylo dokázati.
XXXIII.
Najdi dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitel n é, aby součet čtverců jejich byl změrný, pravoúhelník však střední.
Mějme dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, AB, BC, tak aby čtverec z delší, t. AB*, byl větší nežli čtverec přímky
kratší, t. BC*, o čtverec přímky s AB nesouměřitelné (X. xxx.) a rozpolme F BC v D a ku přímce AB přistavme
\ rovnoběžník, tak aby se mu nedostá-
Vy valo doplňku čtvercového (VI. xxviii.),
_J-1-1     a budiž to AEX^B, a narýsujme na
A E B      D   c     AB polokruh AFB a vztyčme na AB
kolmici EF a veďme spojnice AF, FB. A ježto přímky AB, BC jsou nestejné a AB* > BC2 o čtverec přímky s AB nesouměřitelné a ku přímce AB přistaven jest rovno-
/ BC \*
běžník16) rovný čtvrtině čtverce BC*, t-J-Hp) > a nedostává se mu doplňku čtvercového a je to AE X ĚB, tedy jest AE s EB nesouměřitelná (X. xvni.). I má se AE: EB = BAxAE: ABXBE; a BAX AE= AF*, AB X BE—BF*, pročež jsou čtverce AF* a FB* nesouměřitelné (X. xi.); tedy AF, FB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné. A ježto AB je změreá, změrný tedy jest i čtverec AB*; pročež i součet AF* -f FB* je změrný (I. xlvii.). A ježto dále AE X BB — EF* a dle podmínky též AExEB — BD*, tedy FE=BD; pročež BC=2FE. A tak též AB X BC jest s AB X E F souměřitelné. AB X BC však je střední (X. xxi.); pročež i AB X EF je střední. Avšak ABXhF = AFXFB: tedy též AFXFB je střední. Bylo pak také dokázáno, že součet čtverců jejich je změrný.
Jsou tedy nalezeny dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné AF, FB, takže součet čtverců jejich je změrný, pravoúhelník (součin) však střední; což právě bylo dokázati.
XXXIV.
Najdi dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné, aby součet čtverců jejich byl střední, pravoúhelník všakzměrný.
Mějme dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, AB, BC, aby jejich pravoúhelník byl změrný a byla AB*^>BC* 0 čtverec přímky s AB nesouměřitelné (X. xxxi.), a narýsujme na AB polokruh ADB a rozpolme BC v E a přistavme ku přímce AB rovnoběžník AExFB, stejný se čtvercem BE*, tak aby se mu nedostávalo doplňku
i au
čtvercového (VI. xxvm.);  tu jest AF s FB dle délky nesouměřitelná (X. xviii.). I vztyčme v F na AB kolmici FD a veďme spojnice AD, DB.
Ježto AF je s FB nesouměřitelná, --
teáy téz BAX AF]est s ABXBF ne- / souměřitelné. Avšak BA X AF= AD*,      { \\
AB x B F — DB*; pročež také AD* je      if-_I_\
s DB* nesouměřitelné. A ježto AB* je     Á F    fí      E c
střední, tedy též součet AD* -j- DB* je
střední. A ježto BC=2DF, tedy též AB X BC — 2 AB X FD. AB X BC však je změrné, směrné jest tedy také ABxFD. Avšak ABx FD = AD X DB; pročež také AD x DB je změrné.
Jsou tedy nalezeny dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné AD, DB, takže součet čtverců jejich je střední, pravoúhelník však změrný; což právě bylo dokázati.
XXXV.
Najdi dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné, aby součet čtverců jejich byl střední a pravoúhelník střední a mimo to se součtem čtverců jejich nesouměřitelný.
Mějme dvě přímky střední ve doj moci nesouměřitelné AB, BC,17) aby objímaly útvar střední a rozdíl čtverců jejich aby byl čtverec přímky s AB nesouměřitelné (X. xxxii.), a narýsujme na AB polokruh ADB a ostatek upravme podobně jako svrchu.
A ježto AF je s FB dle délky nesouměřitelná, jest také AD s DB ve dvojmoci nesouměřitelná (X. xi.). A ježto AB* je střední, tedy též součet AD* -j- DB* je střední. A ježto AFX FB — BE* = DF*, jest tedy BE — DF; pročež BC=2FD; atak též AB X BC — 2 AB x FD. Avšak ABXBC je střední, pročež také AB X FD je střední. I je stejné AD X DB; tedy též AD X DB je střední. A ježto AB je s BC dle délky nesouměřitelná, CB však s BE souměřitelná, tedy též AB je s BE dle délky nesouměřitelná; a tak i čtverec AB* je s ABxBE nesouměřitelný. Avšak AD*-\-DB* = AB* a ABX FD, t. j. ADX DB = AB x BE; pročež součet AD*-\-DB°~ je s ADxDB nesouměřitelný.
Jsou tedy nalezeny dvě přímky AD, DB ve dvojmoci nesouměřitelné, takže součet čtverců jejich je střední i pravoúhelník z nich je střední a mimo to se součtem čtverců jejich nesouměřitelný; což právě bylo dokázati.
XXXVI.
Když se sečtou dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, celá jest nezměrná; i nazývejme j i dvoucástuou (d v o u č á s t n i c í).
16) Třeba si na obrazci domysliti.
") Dle vyobr, předešlého.
r
184
Nuže buďte sečteny dvě přímky změrné AB, BC, jen ve dvojmoci souměřitelné; pravím, že celá AC jest nezměrná.
Neboť ježto AB je s BC dle délky nesouměřitelná (neboť jsou jen ve dvojmoci souměřitelné) a AB:BC — ABX /:C:BC*,  tedy jest
ABXBC s  BC1   nesouměřitelné. Avšak
,_x___|     s ABxBC je 2 ABXBC souměřitelné a
A. Jj       ~~c     s BC'2 jest souměřitelný součet AB"- -f- BC*
(neboť AB, BC jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné); tedy 2 AB xBC je s AB2 -\- BC* nesouměřitelné. A sou-četně 2ABXBCA-AB'tArBC1, t. j. AC*, je s AB*-\-BC* nesouměřitelné (X. xvi.). Avšak AB*-\-BC* je změrné, pročež ^4C2je nezměrné; a tak též AC jest nezměrná, i nazývejme ji dvoučástnou ; což právě bylo dokázati.18)
XXXVII.
Když se sečtou dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, jež objímají útvar změrný, celá jest nezměrná; i nazývejme ji dvoustřednicí první.
Nuže buďte sečteny dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, AB. BC\ jež objímají útvar změrný (X. xxvn.); pravím, že celá AC jest nezměrná.
Neboť ježto AB je s BC dle délky nesouměřitelná, tedy též AB* -f BC* je s 2ÄBxBC nesouměřitelné ;'a součetně AB'2 A-BC* -f 2 ABx AC,  t. j. AC* jest s ABxBC nesouměřitelné j jí     £     (X. xvi.). Avšak AB x BC je změrné, neboř dle
i---1-'       podmínky AB, BC objímají útvar změrný; pročež
AC* jest nezměrné;  nezměrná tedy jest AC; i nazývejme ji dvoustřednicí první; což právě bylo dokázati.
XXXVIII.
Když se sečtou dvě přímky střední, jen ve dvoj moci  souměřitelně,  jež  objímají  útvar  střední, celá j e s t n e z m ě r n á; i nazývejme j i dvoustřednicí druhou.
Nuže buďte sečteny dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, AB, BC, jež objímají útvar střední (X. xxvin.); pravím, že AC
jest nezměrná.
Nuže mějme změrnou DE a přistavme k DEútv&rDFrovný čtverci^'C*, šířkou činící DG. A ježto AC* = AB* A-BC*A-2 ABxBC, tož přistavme k DE útvar EH stejný s AB* -|- BC*; zbývající tedy HF=2ABxBC. A ježto AB, BC jsou střední, jest tedy střední též Ab*A-BC*. Střední však je dle podmínky též 2ABx^ BC. Také AB4-f BC* = EH a 2ABxBC = FH; tedy EH i HF jsou střední.  A jsou
X. XXI. pozn. 9 . jest nezměrnou dvoučástnou CD.
Iftl\
přistaveny ke změrné DE; pročež DH i HO jsou změrné a s Dli dle délky nesouměřitelné (X. xxn.). Ježto tedy AB je s BC dle délky nesouměřitelná a AB: BC = AB*: AB x BC, tedy AB* je s ABxBC nesouměřitelné. Avšak s AB* jest AB*-\-BC* souměřitelné (X, xv.) a s ABxBC jest souměřitelné 2 ABxBC. Pročež AB*-\-BC* je s 2 ABx BC nesouměřitelné. Avšak AB*-\-BC* = EH a 2ABxBC = HF. Proto EH je s HF nesouměřitelné; a tak i DH je s HG dle délky nesouměřitelná. Tedy DH, HG jsou změrné, jen dle dvojmoci souměřitelné. Pročež DG jest nezměrná (X. xxxvi.). DE však je změrná; pravo-úhelník pak objímaný nezměrnou a změrnou jest nezměrný. Tedy útvar DF jest nezměrný, a přímka ve dvojmoci mu rovná jest nezměrná. Avšak Í)F=AC*; tedy AC jest nezměrná; i nazývejme ji dvoustřednicí druhou. Což právě bylo dokázati.
XXXIX.
Když se sečtou dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné a součet jejich čtverců je změrný, pravoúhclník však střední, celá přímka jest nezměrná; i nazývejme ji (nezměrnou) vetší.
Nuže buďte sečteny dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné AB, BC, řečeným podmínkám vyhovující (X. xxxin.); pravím, že AC jest nezměrná.
Neboť ježto ABxBC je střední, též 2AB X BC střední jest Avšak AB*ArBC*\e změrné, tedy 2 ABXBC je s AB*~\-BC* nesouměřitelné;   a  tak též  AB* -f BC" -f-2ABxBC, což jest právě AC\ jest s AB*-j-    A~ % }'■
BC* nesouměřitelné (X. xvi.).  Pročež AC* jest
nezměrné; tedy též AC jest nezměrná; i nazývejme ji větší. Což právě bylo dokázati.
XL.
Když  se  sečtou  dvě přímky ve  dvojmoci nesouměřitelné  a součet   čtverců  jejich je střední, pravoúhclník pak změrný,  celá přímka jest nezměrná,  i nazývejme ji základnicí útvaru změrného a slředniho.
Nuže buďte sečteny dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné AB, BC, řečeným podmínkám vyhovující (X. xxxiv.); pravím, že AC jest nezměrná. i#
Neboť ježto součet AB*-\-BC* je střední a 2ABxBC změrné, tedy AB* -+- BC* je s 2 ABXBC nesouměřitelné; pročež také AC'1 je s 2 AB X BC nesouměřitelné. Avšak 2 AB X BC je změrné; pročež AC* jest nezměrné. AC je tedy nezměrná; i nazývejme ji základnicí útvaru změrného a středního.19)
19) Eukl.: frjxov *al jiéaov 9uva[iévv), t. j. přímka, která jest základem čtverce stejného se součtem útvaru změrného a středního.
1
186
XLI.
Když se sečtou dvě přímky ve dvoj moci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední i právo-úhelník střední a také se součtem čtverců jejich nesouměřitelný, celá přímka jest nezměrná, i nazývejme j i základnicí dvou útvaru středních.
Nuže budte sečteny dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné AB, BC, řečeným podmínkám vyhovující (X. xxxv.); pravím, že AC jest nezměrná.
Mějme změrnou DE a k DE přistavme DF stejné s AB*ArBC1 a GH stejné s 2 AB X BC; tedy celek DH—AC*. A ježto AB*A-BC* je střední a stejné s DF, tedy též DF je střední. Také jest přistaveno ke změrné DÉ; pročež DO je změrná a s DE dle délky nesouměřitelná (X. xxii.). Z téže příčiny ovšem i GK je změrná a s GF, t. j. DE dle délky nesouměřitelná. A ježto AB*ArBC* s 2 AB X BC jest nesouměřitelné, je DF s OH nesouměřitelné; pročež i DG je s GK nesouměřitelná. A jsou změrné; tedy DG, OK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež DK jest nezměrná řečená dvoučástná. Změrná však DE; tedy DH jest nezměrné i čtverec mu rovný jest nezměrný. Základem pak čtverce stejného s HD jest AC; pročež AC jest nezměrná, i nazývejme ji zá-kladnicí dvou útvarů středních.*^) Což právě bylo dokázati.
Výtěžek.
Ze však řečené přímky nezměrné jen jednako se dělí v ty úsečky, z nichž se skládají, tvoříce jimi žádané útvary, dokážeme teprve vy-ložíce napřed tento výtěžek.
Mějme přímku AB a rozdělme celou v části nestejné v C a. v D a budiž podmínkou, že ACy DB; pravím, že (AC*Ar CB*) y (AD"1 + DB*).
Nuže rozpolme AB v E. A ježto AC > DB, odejměme společnou DC; zbývající tedy ADyCB. Avšak AE = EB; pročež DE< EC;
tedy body C, D nejsou stejně vzdáleny
!_. _ bodu rozpolovacího. A ježto ACXCB -j-
A DEC        B    EC* = EB* (II. v.), avšak zajisté též AD X
DB Ar DE*—EB'1, tedy ACX CB+ECa= AD X DB + DE*, z čehož DE*<EC*; pročež zbývající ACXCB < AD X DB, takže též 2 AC X CB <2 AD x DB. Tedy též zbývající21) {AC*ArCB*)y {AD*-\-DB*); což právě bylo dokázati.
!()) Eukl.: SOo u-éaa Sovauivy), jejíž čtverec jest roven součtu dvou útvarů středních. 21) To patrno z rovnice ACz-\- CB'1 ~|- 2 j4CX CB — AD2 -j- DB--\- 2 AD X -DB.
XLII.
Nezměrná přímka dvoučástná dělí se ve své části jen v jediném bodě.
Dvoučástnicí budiž AB, rozdělena jsouc ve své části v C; tedy AC, CB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. xxxvi.). Pravím, •že AB nedělí se v jiném bodě na dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné.
Nuže, možno-li, bud rozdělena též v D, takže by též AD, byly změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné.
Patrno arci, že AC není s DB totožná. Nuže, možno-li, budiž (totožná). Bude zajisté též AD = C.B. I bude se míti AC: CB = BD : D A, a bude AB rozdělením v D na stejno rozdělena jako v C, což právě proti podmínce. Pročež AC není s DB totožná. Proto zajisté také body C, D nejsou stejně vzdáleny bodu rozpolovacího. Jaký tedy jest rozdíl .mezi AC* A-CB* a AD*A-
DB
ta
D
DB*, takový je též mezi 2 AD x DB a 2ACxCB proto, ze
též AC*A~CB* + 2ACXCB = AB*=AD*ArDB*Ar2ADX DB.**) Avšak rozdíl mezi AC*A-CB* a AD* A- DB* je změrný, neboť to i ono je změrné; pročež i 2 AD X DB a 2ACXCB mají rozdíl změrný, ač jsou střední; což právě nemožno, neboť rozdíl útvaru středního a středního není změrný (X. xxvi.).
Pročež přímka nezměrná dvoučástná nedělí se v bodech rozličných ; tedy pouze v jediném; což právě bylo dokázati.
C
XLIII.
Dvoustřednice první dělí se jen v jediném bodě.
Dvoustřednicí první budiž AB, rozdělena jsouc v bodě C, tak aby úsečky AC, CB byly střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímaly útvar změrný; pravím, že se AB nedělí v bodě jiném. (___(__|_
Nuže, možno-li, budiž rozdělena také    j D c B
v D, takže by též AD, DB byly střední, jen
ve dvojmoci souměřitetné, a objímaly útvar změrný. Ježto tedy, jaký jest rozdíl mezi 2 AD X DB a 2ACxCB, takový jest mezi AC3Ar CB2 a AD* Ar DB* a rozdíl mezi 2 AD X DB a 2 ACX GB je změrný (neboť to i ono je změrné); tedy AC*A-CB* a AD*A-DB* mají též rozdíl změrný, ač jsou střední; což právě nemožné. (X. xxvi.).
Pročež dvoustřednice první nedělí se ve své části v bodech rozličných ; tedy pouze v jediném; což právě bylo dokázati.
XLIV.
Dvoustřednice druhá dělí se jen v jediném bodě. Dvoustřednicí druhou budiž AB, rozdělena jsouc v C, tak aby AC, CB byly střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímaly útvar
!') Všeobecně: a-\-c-=b-\-d; z toho a — b — d—c nebo b— a —c — d.
188
střední (X. xxxviii.) ; patrno zajisté, že C není bod rozpolovací, ježto nejsou dle délky souměřitelné. Pravím, že AB se nedělí v bodě jiném.
Nuže, možno-li, budiž rozdělena také v D, tak aby AC nebyla s DB totožná, nýbrž dle podmínky AC větší (patrno zajisté, jak jsme svrchu (X. xli. výt.) dokázali, že též AD* A-DB* < AC* A-CB*) a aby AD, DB byly střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímaly útvar střední. A mějme za změrnou EF a přistavme k EF rovnoběžník pravoúhlý EK rovný čtverci AB'1 a oddělme EG rovné součtu AC* A- CB*; zbytek
tedy HK=2ACxCB. Dále již oddělme EL, rovné součtu AD* A-DB* (o němž jsme dokázali, že jest menší než AC* 4-CB*)\ tedy též zbývající MK=2ADX DB. A ježto AC2\- CB* je střední, tedy také EG je střední. A přistaveno jest ke změrné EF; pročež EH je změrná a s EF dle délky nesouměřitelná (X. xxii.). Z téže příčin}' ovšem i HN je změrná a s EF dle délky nesouměřitelná. A ježto AC, CB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy AC je s CB dle délky nesouměřitelná. Avšak AC:CB = AC*:ACXCB; pročež AC* je s ACX CB nesouměřitelné. Avšak AC* je souměřitelné s AC*-\- CB*, neboť AC, CB jsou ve dvojmoci souměřitelné. S ACXCB však jest souměřitelné 2 ACX. CB; pročež také AC* + CB* jest nesouměřitelné s2ACXCB. Avšak AC*A~CB"- = EG a 2 ACX CB — HK; tedy EG je s HK nesouměřitelné. A tak též EII\est dle délky nesouměřitelná s HN. A jsou změrné; pročež EH, HN jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Když pak sečteme dvě přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, celá jest nezměrná, řečená dvoučástná (X. xxxvi.); tedy EN je dvou-částná, rozdělená v H. Týmž způsobem zajisté dokážeme, že též EM, MN jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; i bude EN dvou-částnicí v rozličných bodech, totiž H a M, rozdělenou, [což nemožno (X. xlii.)], a není EH s MN totožná, ježto {AC*-\- CB*) > {AD* -f DB"-): pročež také AC*-\-CB*, t. j. EG, o mnoho větší než 2 AD X DB, t. j. MK; a tak též EH~>MN. Tedy EH není s MN totožná; což právě bylo dokázati.
XLV.
Nezměrná větší dělí se jen v jediném bodě. Nezměrnou větší budiž AB, rozdělena jsouc v C, tak aby byly AC, CB ve dvojmoci nesouměřitelné a součet ^4C2-f-CB* aby byl změrný, ACXCB však nezměrné; pravím, že se AB nedělí v bodě jiném.
Nuže, možno-li, budiž rozdělena také v D, takže by též AD, DB byly ve dvojmoci nesouměřitelné a součet AD* A- DB* byl změrný, pravoúhelník však jejich střední. A ježto rozdíl, jaký jest mezi AC*A-CB* a AD*-\-DB*, takový jest i mezi 2 AD x DB a 2ACXCB, avšak rozdíl mezi AČ*-{-CB* a AD*-f-DB* je změrný (neboť to i ono je změrné); tedy též 2ADX DB a 2ACXCB mají rozdíl změrný, ač jsou střední; což právě ne-
- D
-O
B
188
možno (X. xxvi). Pročež nezměrná větší nedělí se v rozličných bodech; tedy se dělí v bodě jediném ; což právě bylo dokázati.
XLVI.
změrného a středního dělí se
Základnice útvaru jen v jediném bodě.
Základnicí útvaru změrného a středního budiž AB, jsouc rozdělena v C, tak aby AC, CB byly ve dvojmoci nesouměřitelné a součet AC*-\-CB* aby byl střední, 2 ACXCB však změrné (X. xl.) ; pravím, že se AC nedělí v bodě jiném.
Nuže, možno-li, budiž rozdělena také v D,- takže by též AD, DB byly ve dvojmoci nesouměřitelné a součet AD* Ar DB* byl střední, 2 AD X DB však změrné. Ježto tedy rozdíl, jaký jest mezi 2ACxCB a 2 AD X DB, takový jest i mezi AD* + DB* aAC*4-CB*, avšak 2ACxCB a 2ADxDB mají rozdíl změrný; tedy též AD* 4- DB* a AC*A- CB* mají rozdíl změrný, ač jsou střední; což právě jest nemožné (X. xxvi.). Pročež základnice útvaru změrného a středního nedělí se v rozličných bodech. Tedy se dělí v bodě jediném ; což právě bylo dokázati.
tá
D C
-b
XLVII.
Základnice dvou útvarů středních dělísejen vjetí i n é m bodě.
Základnicí dvou útvarů středních budiž AB, jsouc rozdělena v C, tak aby AC, CB byly ve dvojmoci nesouměřitelné a součet ^4C2-j-CB* aby byl střední a ACXCB střední a také se součtem AC*A- CB* nesouměřitelné (X. xli.); pravím, že se AB, vyhovujíc řečeným podmínkám, nedělí v bodě jiném.
Nuže, možno-li, budiž rozdělena v D, takže by opět patrně AC nebyla stejná s DB, nýbrž aby dle podmínky AC byla větší, a mějme za změrnou EF a přistavme k EF útvar
EG, rovný součtu AC^CB*, a HKstejné T-4 e mu n s 2ACXCB; tedy celek EK= AB*. Dále již přistavme k EF útvar EL stejný s AD* -f-DB*; tedy zbývající 2 ADXDB —MK. A ježto součet AC* -f- CB* dle podmínky je střední, tedy rovněž EG je střední. Také jest přistaveno ke změrné EF; pročež HE je změrná a s EF dle délky nesouměřitelná. Z téže příčiny ovšem i HN je změrná a " f l o k s EF dle délky nesouměřitelná.   A ježto
součet AC*A-CB* je s 2ACXCB nesouměřitelný, tedy též GE je s GN nesouměřitelné; a tak též EH jest nesouměřitelná s HN. A jsou změrné; pročež EH, HN jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy EN jest nezměrná dvoučástná, jsouc rozdělena v H (X. xxxvi.). Podobně ovšem dokážeme, že je také rozdělena v M. I není EH s MN stejná; nezměrná tedy dvoučástná jest rozdělena v rozličných bodech;
100
191
což právě jest nemožné (X. xlii.). Pročež základnice dvou útvarů středních nedělí se v rozličných bodech; tedy se dělí jen v jediném.
Výméry druhé.
1. Dána-li přímka změrná a nezměrná dvoučástná, rozdělená ve své části, kteréž ve dvojmoci mají za rozdíl čtverec přímky s větší částí souměřitelné dle délky, když s danou změrnou jest dle délky souměřitelná část větší, [celá] nazývej se dvoučástnicí první.
2. Když pak menší část jest dle délky souměřitelná s danou změrnou, nazývej se dvoučástnicí druhou.
3. Když pak žádná z těch částí není dle délky souměřitelná s danou změrnou, nazývej se dvoučástnicí třetí.
4. Když zase naopak mají ve dvojmoci za rozdíl čtverec přímky s větší částí nesouměřitelné dle délky, jest-li s danou změrnou dle délky souměřitelná část větší, nazývej se dvoučástnicí čtvrtou
5. Pakli menší část,23) pátou.
6. Pakli žádná,23) šestou.
XLVIII.
Najdi dvoučástnicí první.
Mějme dvě čísla AC, CB, aby se měl součet jejich AB k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, k CA však aby se neměl jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a mějme nějakou přímku změrnou D a. s D budiž dle délky souměřitelná EF. Tedy jest rovněž EF změrná. A učiňme BA: AC = EF2:FG"- (X. ví. důsl.). Avšak AB: AC jako číslo k číslu; tedy též EF*:FG* jako číslo k číslu; pročež EF* je s FG'1 souměřitelné. I jest EF změrná, změrná tedy je také
FG. A ježto BA nemá se k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani
D'-1  JI*-1    tedy EF* nemá se k FG* jako čtvercové
číslo k číslu čtvercovému; pročež EF je s FG dle délky nesouměřitelná. Tedy EF,
Ei_i_i    FG jsou změrné, jen ve dvojmoci soumě-
F G    řitelné; pročež EG jest nezměrná dvou-
částná (X. xxxvi.).
Pravím, že také první. Neboť ježto BA: AC = EF*: FG* a BA > AC, tedy též EF'1 > FG*. Budiž tedy EF* = FG* + H*. A ježto BA:AC = EF*: FG*, zvratně tedy AB:BC—EF*:E*. Avšak AB: BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému ; pročež i EF*: H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Tedy EF je s H dle délky souměřitelná; proto jest EF ve dvojmoci větší než FG o čtverec přímky s EF souměřitelné. I jsou EF, FG změrné, a EF je s D dle délky souměřitelná.
Pročež EG je dvoučástnice první (vým. druhých č. 1.); což právě bylo dokázati.
A
c
—i—
Ľ
2S) Rozuměj; jest — není — dle délky souměřitelná s danou změrnou.
c
B
E
XLIX.
Najdi dvoučástnicí druhou.
Mějme dvě čísla AC, CB, aby se měl součet jejich AB k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, k AC však aby se neměl jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a mějme změrnou D a s D budiž dle délky souměřitelná EF; tedy jest EF změrná. Učiňme již také CA : AB — EF*: FG*. Tedy též FG je změrná. A ježto se nemá CA k AB jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému, nemá se ani EF* k FG* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Tedy EF, jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež EG jest nezměrná dvoučástná.
Má se již dokázati, že též druhá. z) ji
Neboťježto obráceně BA.: AC = GF*: FE*, avšak BA > AC, tedy též GF*> FE* Bndxž GF-= EF* + H*; zvratně tedy AB: BC =FG*: H*. Avšak AB : BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy též FG*: H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Jest tedy FG s H dle délky souměřitelná; pročež jest FG ve dvojmoci větší než FE o čtverec přímky s FG souměřitelné. I jsou FG, FE změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a menší část EF je s danou přímkou změrnou D dle délky souměřitelná.
Pročež EG je dvoučástnice druhá; což právě bylo dokázati (vým. druhých č. 2.).
L.
a
i—
c
—t—
E t~
B
—i
n
Najdi dvoučástnicí třetí.
Mějme dvě čísla AC, CB, aby se měl součet jejich AB k BC jako čtvercové číslo k číslu čtercovému, k AC však aby se neměl jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Mějme pak i jiné číslo nečtvercové D a to neměj se ani k AB ani k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a mějme nějakou přímku změrnou E a učiňme D:AB — E*: FG* (X. ví. důsl.); tedy E* je s FG* souměřitelné. I jest E změrná; změrná jest tedy též FG. A ježto se nemá D:AB jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani E* nemá se k FG* jako čtvercové
číslo k číslu čtvercovému; pročež D jest dle délky s FG nesouměřitelná. Učiňme již dále BA:AC=FG*: GH*; tedy FG* je s GlP souměřitelné. Avšak FG je změrná; změrná je tedy též GH. A ježto se nemá BA k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani FG* se nemá k HG* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež FG je
G
H
s GH dle délky nesouměřitelná. Tedy FG, GH jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné ; proto FH jest nezměrná dvoučástná (X. xxxvi.). Pravím ovšem, že také třetí.
Neboť ježto D:AB=E*:FG* a BA: AC = FG*: GH2, tedy stejno-řadně D:AC=E*: GH*. Avšak D nemá se k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, pročež ani E* nemá se ku GH2 jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy E je s GH dle délky nesouměřitelná. A ježto BA:AC — FG*:GH*, jest tedy FG*~> GH*. Budiž tedy FG* = GH*A-K*; zvratně tedy AB: BC = FG*: K*. Avšak AB se má k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež i FG* má se ke K* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy FG je s K dle délky souměřitelná. A tak FG jest ve dvojmoci větší než GH o čtverec přímky s FG souměřitelné I jsou FG, GH přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a žádná z nich není s E dle délky souměřitelná.
Tedy FH jest dvoučástnice třetí (vým. druhých č. 3.); což právě bylo dokázati.
LI.
Najdi dvoučástnici čtvrtou.
Mějme dvě čísla AC, CB, tak aby se nemělo AB.kBC, ani ovšem k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému.  A mějme změrnou přímku D a s D budiž dle délky souměřitelná EF;  změrná je tedy A učiňme BA: AC— EF'1: FG*; tedy EF* jest souměřitelné pročež i FG jc změrná. A ježto se nemá BA k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani EF'2 se \F     nemá k FG4 jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy jest EF s FG dle délky nesouměřitelná. Pročež EF a FG jsou přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; a tak EG je dvoučástná (X. xxxvi.). C{        I Pravím ovšem, že také čtvrtá.
Neboť ježto BA: AC = EF*:FG* [a BA > AC], tedy EF*>• FG*. Budiž tedy EF2 = FG*-\-^ H*. Proto zvratně AB: BC = EF*: H'2. Avšak
~     AB nemá se k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému ; tedy ani EF11 nemá se k H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Pročež EF je s H dle délky nesouměřitelná; tedy FE* > FG* o čtverec přímky s EF nesouměřitelné. I jsou EF, FG přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a EF je s D dle délky souměřitelná.
Tedy jest EG dvoučástnice čtvrtá (vým. druhých č. 4.); což právě bylo dokázati.
též EF. s FG*:
n
LIL
Najdi dvoučástnici pátou.
Mějme dvě čísla AC, CB, tak aby se AB nemělo k žádnému z nich jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému a mějme nějakou přímku změrnou D, i budiž EF s D souměřitelná; jest tedy EF změrná. A učiňme CA: AB = EF*: FG*. CA však nemá sek AB jako
188
D
H
f
čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy ani     A1 T Tj»
EF2 nemá se k FG* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Pročež EF, FG jsou přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy EG jest dvoučástná.
Pravím ovšem, že také pátá.
Neboť ježto CA: AB = EF*: FG*, obráceně BA : AC = FG*:EF*; pročež GF*>FE*. Budiž tedy GF* = EF* -4- H*. Pročež zvratně AB: B C = GF*: H*. AB však nemá se k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; ani
tedy FG* nemá se k H* jako čtvercové číslo " k číslu čtvercovému.   Pročež FG je s H dle
délky nesouměřitelná; a tak FG* > FE* o čtverec přímky s FG nesouměřitelné. I jsou GF, FE přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a část menší EF je s danou změrnou D dle délky souměřitelná.
Tedy jest EG dvoučástnice pátá (vým. druhých č. 5.); což právě bylo dokázati.
LIII.
Najdi dvoučástnici šestou.
Mějme dvě čísla AC, CB, tak aby se AB. nemělo k žádnému z nich jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; budiž pak i jiné číslo nečtvercové ľ> a neměj se ani k BA ani k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a mějme nějakou změrnou přímku E a učiňme D:AB = E*: FG*; tedy E* je s FG* souměřitelné. I jest
E změrná; pročež také FG je změrná. A ježto e se nemá D k AB jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy ani E* nemá se k FG* jako čtvercové číslo  k číslu čtvercovému; pročež jest E s FG dle délky nesouměřitelná. Učiňme již opět BA:AC=FG*:GH*\ tedy FG* je s GI1* souměřitelné. Pročež jest HG'2 změrné ; H G jest tedy změrná. A ježto se nemá BA k AC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani FG* nemá se ku GH* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; jest tedy FG s GH dle délky nesouměřitelná. Pročež FG,  GH jsou přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy FH je dvoučástná Třeba již dokázati. že také šestá.
Neboť ježto D: AB = E*: FG* a též BA: AC= FG*: GH*, tedy stejnořadně D:AC — E*: GH'1. Avšak D nemá se k .4(7 jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; nemá se tedy ani E* ku Giíjako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež E je s GH dle délky nesouměřitelná. Bylo pak dokázáno, že je též s FG nesouměřitelná. Tedy jest i FG i GH s E dle délky nesouměřitelná. A ježto BA: AC= FG*: GH*, tedy FC > GH*. Budiž tedy FG*=GH* -f- IC1; pročež zvratně
is
a
C
d
f
G
194
19í
AB:BC = FG*:K*. Avšak AB nemá se k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; a tak ani FG* nemá se ke K* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. Tedy jest FG s K dle délky nesouměřitelná; pročež FG*~y> GH* o čtverec přímky s FG nesouměřitelné. I jsou FG, GH přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné a žádná z nich není dle délky souměřitelná s danou změrnou E.
Tedy jest FH dvoučástnice šestá (vým. druhých č. 6.); což právě bylo dokázati.
Výtěžek.
Budtež AB, BC dvěma čtverci a DB čiň s BE přímku, tedy též FB činí s BG přímku. I doplňme rovnoběžník AC; pravím že AC je čtverec a že AB, BC mají za střední úměrnou DG a také že AC, GB mají za střední úměrnou DC.
Neboť ježto DB=BF, BE— BG, celá tedy DE = FG. Avšak DE=AH=KC, FG = AK— HC; pročež také AH, KC, AK, HC jsou
navzájem stejné. Tedy rovnoběžník AC je stejnostranný; jest pak i pravoúhlý; tedy AC je čtverec. A ježto FB: BG — DB: BE, avšak FB : BG =AB : DG a DB: BE — DG-.BC, tedy AB: DG — DG : BC; pročež DG je střední úměrnou mezi AB, BC.
	
	b
E
D ^
Pravím již, že také DC střední úměrnou mezi AC. CB.
Neboť ježto AD : DK= KG: GC (neboť jsou střídavě stejné) a součetně AK:KD = a f        u    KC:CG, avšak AK:KD = AC: CD a KC:
CG = DC:CB, tedy též AC: DC — DC:BC; pročež DC je střední úměrnou mezi AC, CB; což se mělo dokázati.
L1V.
Když útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice první, strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná řečená dvoučástná. G E    f    d Nuže útvar AC objímejte změrná AB
a dvoučástnice první AD; pravím, že strana čtverce  s útvarem AC stejného jest nezměrná řečená dvoučástná. ^     k Neboť ježto AD jest dvoučástná první,
Q rozdělena budiž ve své části v E, a větší
částí bud AE. Zjevno zajisté, že AE, ED 0         jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné
b
h
k r
M
a že AE*~>ED* o čtverec přímky s AE souměřitelné a že jest .á/i souměřitelná dle délky s danou změrnou AB (vým. druhých č. 1.). Tož rozpolme ED v bodě F. A ježto
siE*~> ED* o čtverec přímky s AE souměřitelné, když tedy přUta-víme k větší AE čtverec rovný čtvrtině čtverce části menší, t. čtverci EF*, tak aby se nedostávalo doplňku čtvercového, rozděluje ji (AE) v části souměřitelné (X. xvn.). Přistavme tedy k AE útvar s EFt stejný, t. AGX, GE; jest tedy AG s EG dle délky souměřitelná. I veďmež od G, E, F s AB, CD rovnoběžky GH, EK, FL a sestavme čtverec SN stejný s rovnoběžníkem AH a s GK stejný NQ, i budtež MN, NO v přímce; v přímce tedy jsou též RN, NP; a budiž do-, plněn rovnoběžník SQ; jest tedy SQ čtverec. A ježto AGXGE = EFa', tedy AG: EF=FE:EG; pročež také AH:EL — EL: KG; jest tedy EL střední úměrnou veličin AH, GK. Avšak AH=SN a OK=NQ; pročež EL je střední úměrnou veličin SN, NQ. Je však týchž veličin SN, NQ střední úměrnou též MR; tedy EL = MR, atak též EL = PO (I. xliii.). Také však AH-{-GK=SN-\-NQ; pročež celek AC= SQ, t. j. MO*; tedy AC=MO*.
Pravím, že MO jest nezměrná dvoučástná.
JVeboť ježto AG je s GE souměřitelná, též AE jest souměřitelná s AG i s GE. Dáno však, že AE je též s AB souměřitelná; tedy též AG, GE jsou s AB souměřitelné. I jest AB změrná, pročež změrné jsou též AG, GE; změrné jsou tedy útvary AH, GK (X. xix.) a jest AH s GK souměřitelné. Avšak AH = SN a GK— NQ; pročež i SN, NQ, t. j. MN*, NO*, jsou útvary změrné a souměřitelné. A ježto AE jest dle délky s ED nesouměřitelná, avšak AE s AG jest nesouměřitelná, DE pak souměřitelná s EF, tedy též AG nesouměřitelná s EF (IX. xiii.) ; a tak i útvar AH je s EL nesouměřitelný. Avšak AH= SN a EL = MR; pročež i útvar SN jest nesouměřitelný s MR. Avšak SN-.MR — PN:NR; tedy PN je s NR nesouměřitelná. Avšak PN — MN a NR = NO; tedy MN je s NO nesouměřitelná. 1 jest čtverec MN* s NO* souměřitelný a oba změrné; MN, NO jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné.
Pročež MO je dvoučástnice (X. xxxvi.) a čtverec její stejný je s AC; což právě bylo dokázati.
LV.
Když útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice druhá, strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná řečená dvoustřednice první.
Nuže objímejtež útvar ABCD zmôrriá AB a dvoučástnice druhá AD; pravím, že strana čtverce rovného útvaru AC je dvoustředuice první.
Neboť ježto AD je dvoučástnice druhá, rozdělena bud ve své části v E, tak aby větší částí bylo AE; tedy AE, ED jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné a AE*> ED* o čtverec přímky s AE souměřitelné a menší část ED je s AB souměřitelná dle délky (vým. druhých č. 2.). Rozpolme ED v F a přistavme k AE útvar AG X GE stejný s EF*, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového; tedy AG je s GE dle délky souměřitelná (X. xvn.). I vedme z G, E, F přímky GH, EK, FL rovnoběžně s AB, CD a sestavme čtverec SN stejný s rovnoběžníkem AH a čtverec NQ stejný s GK a budiž MN
13*
196
197
// k r
M
	
n b	
o
s
s NO v přímce; jest tedy též RN s NP v přímce. A doplňme čtverce SQ: patrno zajisté z toho, co svrchu dokázáno (X. líh. výt), že
MR je střední úměrná veličin SN, NQ a X G E   F   D     stejná s EL a že MO*=AC.
Má se tedy dokázati, že MO je dvou-střednice první.
Ježto AE je dle délky s ED nesouměřitelná, ED však s AB souměřitelná, tedy AE je s AB nesouměřitelná. A ježto AO je souměřitelná s EG, také AE jest souměřitelná s AG i s GE. Avšak AE je dle délky s AB nesouměřitelná; tedy též AG, GE jsou s AB nesouměřitelné. Pročež BA, AG, GE jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; a tak AH, GK jsou útvary střední (X. xxi.). A tak i SN, NQ jsou střední. Také tedy MN, NO jsou střední. A ježto AG je s GE dle délky souměřitelná, souměřitelný je též útvar AH s GK, t. j. SN s NQ, t. j. MN2 s NO* (X. xi.). A ježto AE je s ED dle délky nesouměřitelná, avšak AE jest souměřitelná s AG, ED pak souměřitelná s EF, tedy AG je s EF nesouměřitelná; a tak je též nesouměřitelný útvar AH s EL, t. j. SN s MR, t. j. PN s NB, t. j. MN s NO jest délky nesouměřitelná. Bylo pak dokázáno, že MN, NO jsou také střední a ve dvojmoci souměřitelné; jsou tedy MN, NO střední, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pravím již, že též objímají útvar změrný. Neboť ježto dáno jest, že DE jest souměřitelná s AB i s EF, tedy jest EF souměřitelná s EK. A obě jsou změrné; změrný jest tedy útvar EL, t. j. MB; MR vlak = MNX NO. Když pak se sečtou dvě přímky střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, objímajíce útvar změrný, celá jest nezměrná i nazývá se dvoustřednicí první (X. xxxvu.). Tedy .1/0 je dvoustřednice první; což právě bylo dokázati.
LVI.
Když  útvar objímají přímka změrná  a dvoučást-n i c e třetí, strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná   řečená dvoustřednice druhá.
Nuže objímejtež útvar ABCD přímka změrná AB a dvoučástnice třetí AD rozdělena jsouc ve své části v E, z nichž větší jest AE; pravím, že strana čtverce s útvarem AC stejného jest nezměrná řečená dvoustřednice druhá. O Nuže upravme totéž jako svrchu.
A ježto AD je dvoučástná třetí, tedy AE, ED jsou přímky změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a AE* > ED* o čtverec přímky s AE souměřitelné a žádná z pří-
A
G E
D
B
h k
R
m
	
n c	
l q
S
mek AE, ED není s AB dle délky souměřitelná.   Podobně ovšem, jako svrchu dokázáno, dokážeme, že MO* = AC a že MN, NO jsou střední jen ve dvojmoci souměřitelné; a tak MO jest dvoustřednice. Má se ovšem dokázati, že též druhá.
Ježto DE je dle délky nesouměřitelná s AB, t. j. s EK. souměřitelná však je DE s EF, tedy EF je s EK dle délky nesouměřitelná. I jsou změrné; tedy FE, EK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pročež EL, t. j. MR, jest útvar střední (X. xxi.); a objímají jej MN, NO; tedy MNX NO jest útvar střední.
Tedy MO je dvoustřednice druhá (X. xxxvni.); což právě bylo dokázati.
LVU.
Když útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice čtvrtá, strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná řečená větší.
Nuže objímejtež útvar AC přímka změrná AB a dvoučástnice čtvrtá AD, rozdělena jsouc ve své části v E, z nichž větší budiž AE; pravím, že strana čtverce s útvarem AC stejného jest nezměrná řečená větší.
Neboť ježto AD je dvoučástnice čtvrtá, tedy AE, ED jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a AFŕ^ED* o čtverec přímky s AE nesouměřitelné, a dle délky jest AE s AB souměřitelná (vým druhých čís. 4.).
Rozpolme DE v F a k AE přistavme rovnoběžník AG X GE stejný s EF*; tedy AG je s GE dle délky nesouměřitelná (X. xvin.). Vedme s AB rovnoběžky  GH, EK, FL a
ostatně totéž upravme jako dříve; zjevno      a_g e    f n
zajisté, že strana čtverce s útvarem AC stejného jest MO. Má se ovšem dokázati, že MO jest nezměrná řečená větší. Ježto AG s EG dle délky jest nesouměřitelná, B nesouměřitelné je AR s GK, t. j. SN s NQ; pročež MN, NQ jsou ve dvojmoci nesouměřitelné. A ježto AE jest dle délky s AB souměřitelná, AK je změrné, i jest AK — MN*-\-NQ*; tedy také součet MN*-\-NQ* je změrný. A ježto DE je s AB, t. j. s EK, dle délky nesouměřitelná, avšak DE jest S P
souměřitelná s EF, EF tedy je s EK dle
délky nesouměřitelná. Pročež EK, EF jsou změrné jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy LE' t. j. AIR, jest střední (X. xxi). A objímají je MN, NO; tedy MNXNO je střední. Také jest MN*-\-N0* změrné a MN, NO jsou ve dvojmoci nesouměřitelné. Když pak se sečtou dvě přímky ve dvojmoci nesouměřitelné, činící součet svých čtverců změr-ným, pravoúhelník pak středním, celá jest nezměrná a slove větší (X. xxxix.).
H K
R
	
N d	
Q
O
198
190
Tedy MO jest nezměrná řečená větší, a čtverec její roven jest útvaru AC; což právě bylo dokázati.
LVIII.
G E
d
b
"I
M
S
	
n e	
Když útvar objímají přímka změrná a dvoučást-nice pátá, strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná řečená základnice útvaru změrného a středního.
Nuže objímejtež útvar AC přímka změrná AB a dvoučástnice pátá AD, rozdělena jsouc ve své části v E, tak aby větší částí bylo AE; pravím, že strana čtverce s útvarem AC stejného jest nezměrná řečená základnice útvaru změrného a středního.
Nuže upravme totéž jako v důkazech předešlých; zjevno zajisté, že stranou čtverce s útvarem AC stejného jest MO. Třeba ovšem dokázati, že MO jest základnice útvaru změrného a středního. Neboť
ježto AG je s GE nesouměřitelná (X. xviii.), nesouměřitelné jest tedy též AH s HE, t. j. MN* s NO*; pročež MN, NO jsou ve dvojmoci nesouměřitelné.
A ježto AD je dvoučástnice pátá a úsečka její menší jest ED, tedy ED je s AB dle délky souměřitelná (vým. druhých č. 5). Avšak AE je s ED nesouměřitelná; proto též AB je s AE dle délky nesouměřitelná; tedy AK, t. j. MN"- + NQ*, je střední. A ježto DE je s AB, t. j. s EK, dle délky souměřitelná, avšak DE jest souměřitelná s EF, tedy též EF je souměřitelná s EK. I jest EK změrná; proto též EL, t. j. MR, t. j. MNx NO je změrné (X. xix.); pročež MN, NO jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců svých činí středním, pravoúhelník pak změrným.
Tedy MO jest základnice útvaru změrného a středního (X. xl.) a čtverec její roven jest útvaru AC; což právě bylo dokázati.
LIX.
Když útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice š es t á,^ strana čtverce s útvarem stejného jest nezměrná řečená základnice dvou útvarů středních.
Nuže objímejtež útvar ABCD přímka změrná AB a dvoučástnice šestá AD rozdělena jsouc ve své části v E, tak aby části větší bylo AE; pravím, že strana čtverce s AC stejného jest základnice dvou útvarů středních.
Upravme totéž jako v důkazech předešlých. Patrno zajisté, že strana čtverce s AC stejného jest MO a že MN je s NO ve dvojmoci ne-
r
	
n	
l
q
souměřitelná. A ježto EA je s AB dle délky ne-   a q e    f _d
souměřitelná, tedy EA, AB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné ; pročež AK, t. j.
MN* -(- NO*, je střední (X. xxi). Dále, ježto _
ED je s AB dle délky nesouměřitelná, ne-   /?          // k souměřitelná tedy je též íE s EK; pročež FE, EK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy EL, t. j. MR, t. j. MNx NO,      m\-^-\0
je střední. A ježto AE je s EF nesouměřitelná, též AK je s EL nesouměřitelné. Avšak AK — MN* + NO* a EL = MN X NO, tedy MN*A-NO* je s MNxNO nesouměřitelné. s A to i ono je střední, a MN, NO jsou ve dvojmoci nesouměřitelné.
Tedy MO je základnice dvou útvarů středních (X. xli), a MO* ■ AC; což právě bylo dokázati.24)
LX.
Čtverec přímky dvoučástné přistavený25) ke změrné šířkou činí dvoučástnici první.
Dvoučástnicí budiž AK, rozdělena jsouc ve své části v C, tak, aby větší částí bylo AC, a dána buď změrná DE a k DE přistavme útvar DEFG stejný s AB*, šířkou činící DG; pravím, že DG je dvoučástnice první.
Nuže budiž k DE přistaven útvar DH stejný s AC* a KL stejný s BC*, zbývající tedy 2 AC XCB — MB. Rozpolme MG v N a veďme s ML, DF rovnoběžku NO. Tedy MO — NF= ACX CB. A ježto AB jest dvoučástná, rozdělena jsouc ve své části v C, tedy AC, CB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X, xxxvi.); proto čtverce AC*, CB* jsou změrné a navzájem souměřitelné;26) pročež i součet AC* A- CB* je změrný, a je stejný s DL; DL tedy je změrné. A jest přistaveno ke změrné DE; pročež DM je změrná a s DE dle délky souměřitelná (X. xx.). Dále, ježto AC, CBjsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy 2 ACXCB, t. j. MF, je střední (X. xxi.).   I jest
přistaveno ke změrné ML; tedy též MG je změrná a s ML, t. j. s DE nesouměřitelná. Jest pak též MD změrná a s DE dle délky souměřitelná; pročež DM je s MG dle délky nesouměřitelná. A jsou změrné;
d
k m
n
G
e
a
t—
// l
C
—i—
o
B
f
24) Následuje výtěžek, že (a2-f-b2) > 2 ab, když a^b, nejspíše podvržený (srv. X. XL1V. ke konci).
*"') Ve způsobe obdélníku.
-s) Mějme a:b = a:b; znásobíce jeden poměr veličinou a, druhý veličinou b nabudeme úměry a2: ab = ab : b2.
200
201
proto DM, MG jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy DG je dvoučástnice (X. xxxvi.).
Má se ovšem dokázati, že také první.
Ježto AC*, CB* mají za střední úměrnou ACXCB26), tedy rovněž DH, ML mají za střední úměrnou MO. Pročež DH:M0 — MO-.KL, t. j. DK: MN= MN: MK; tedy DKX KM—MN*. A ježto AC* je s CB* souměřitelné, také Z)i? jest souměřitelné s KL; a tak i DK jest souměřitelná s KM, A ježto (AC* A-CB*) > 2 ACX CB (pozn. 24.), tedy též DL > JŕF; a tak i DM> MO. Také DK X KM= MN* = \MG*, a DK je s iOí souměřitelná. Když pak jsou dvě přímky nestejné a přistaví se k delší části útvar rovný čtvrtině čtverce části kratší, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a dělí ji (delší) v úsečky souměřitelné, rozdíl čtverců jejich (těch přímek) je čtverec přímky s delší souměřitelné (X. xvii.). Tedy DM* > MG* o čtverec přímky s DM souměřitelné. I jsou DM, MG změrné, a DM jsouc částí delší jest dle délky souměřitelná s danou změrnou DE.
Tedy DG je dvoučástnice první (vým. druhých č. 1.); což právě bylo dokázati.
LXI.
Čtverec dvoustřednice první přistavený35) ke změrné šířkou činí dvoučástnici druhou.
Dvoustřednicí první budiž AB rozdělena jsouc ve své úsečky střední v C, z nichž delší AC, a dána buď změrná DE a k DE přistavme rovnoběžník stejný s AB*, šířkou d k  m     N      o     činící DO; pravím, že je DG dvou-
~|    l        I        I       částnice druhá.
Nuže upravme totéž jako před p tím. A ježto AB je dvoustřednice první,
e h   l      o      f     jsouc rozdělena v C, tedy AC, CB
jsou  střední, jen  ve  dvojmoci sou-
,_,      , měřitelné,   objímajíce   útvar změrný
A       C    B (X. xxxvii.);  pročež také AC*, CB*
jsou střední (X. xxi.); tedy DL je střední. A jest přistaveno ke změrné DE; tedy MD je změrná a s DE dle délky nesouměřitelná (X. xxii.). Dále, ježto 2ACXCB je změrné, změrné jest i MF. A přistaveno jest ke změrné ML; pročež také MG je změrná a dle délky souměřitelná s ML, t j. DE; tedy DM je s MG dle délky nesouměřitelná. A jsou změrné; tedy DM, MG jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež DG je dvoučástnice.
Třeba ovšem dokázati, že též druhá.
Neboť (AC* + CB*) > 2 AC X CB, tedy též DL > MF, a tak i DMyMG. A ježto AC1 je s CB* souměřitelné, tuké DH jest souměřitelné s KL; a tak i DK jest souměřitelná s KM. I jest Z>A'X KM — MN*; tedy rozdíl čtverců DM*, MG* je čtverec přímky s DM souměřitelné. Také jest MG s DE dle délky souměřitelná.
Tedy DG je dvoučástnice druhá (vým. druhých č. 2.)
LXII.
Čtverec dvoustřednice druhé přistavený'25) ke změrné šířkou činí dvoučástnici třetí.
Dvoustřednicí druhou budiž AB, jsouc rozdělena ve své střednice v C, tak aby delší úsečkou bylo AC, změrnou pak jakousi buď DE, a k DE přistavme rovnoběžník DF
stejný s AB*, který šířkou činí DG; pra-    d_ k M    X O
vím, že DG je dvoučástnice třetí. I Cl 1
Upravme  totéž jako v důkazech předešlých. A ježto AB je dvoustřednice r
druhá, jsouc rozdělena v C, tedy AC. CB   jjj-hl     o f
jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné,
objímajíce útvar střední (X. xxxvin ); a A C B
tak i součet AC* A- CB* je střední, a jest 1 1 1
rovcn útvaru DL, pročež i DL je střední.
A přistaven je ke změrné DE; změrná tedy jest i MD a dle délky s DE souměřitelná. Z téže příčiny zajisté i MG je změrná a s ML, t. j. DE, nesouměřitelná; tedy DM i MG jsou změrné a s DE dle délky nesouměřitelné. A ježto AC je dle délky nesouměřitelná s CB a AC: CB = AC'1: ACx CB, také jest AC* s AC X CB nesouměřitelné. A tak i součet AC* + CB* je nesouměřitelný s 2iCX CB, t. j. DL s MF; a tak i DM jest nesouměřitelná s MG. A jsou změrné. Proto DG je dvoučástnice (X. xxxvi). Má se dokázati, že také třetí.
Podobně ovšem jako dříve při tom uvážíme, že MD>MGa že DK }e souměřitelná s KM. A DKxKM= MN*; tedy rozdíl čtverců DM* a MG* je čtverec přímky s DM souměřitelné (X. xVil.). A žádná z přímek DM, MG není s DE dle délky souměřitelná.
Tedy DG je dvoučástnice třetí (vým. druhých č. 3.); což právě bylo dokázati.
LXI1I.
Čtverec nezměrné větší přistavený25) ke změrné šířkou činí dvoučástnici čtvrtou.
Nezměrnou větší budiž AB, jsouc rozdělena v C, tak, aby byla AC > CB, změrnou pak DE, a k DE přistavme DF stejné s AB*, šířkou činící DG; pravím, že DG jest dvoučástnice čtvrtá.
Upravme totéž jako v předešlých důkazech. A ježto AB jest nezměrná větší, jsouc rozdělena v C, jsou AC, CB ve dvojmoci nesouměřitelné, součet čtverců činíce změrným, pravoúhelník pak středním (X. xxxix.). Ježto tedy součet AC* ~\- CB* je změrný, tedy změrné jest i DL; pročež i DM je změrná a s DE dle délky souměřitelná. Dále, ježto 2^4C"X CB, t. j. MF, je střední a přistaveno ke změrné ML, změrná tedy jest i MG a s DE dle délky nesouměřitelná (X. xxii.) ; pročež i DM je s MG dle délky nesouměřitelná. Tedy DM, MG jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež DG je dvoučástnice.
Má se dokázati, že také čtvrtá
202
2 03
E
j) K M   N    G Podobně zajisté jako dříve doká-
žeme, že DM> MG a ĎKx KM = MN*. Ježto tedy AC* je s CB* nesouměřitelné, .    proto nesouměřitelné jest i DH s KL; H L    O     Fa. tak i DK je s KM nesouměřitelná.
Když pak jsou dvě přímky nestejné a k větší se přistaví rovnoběžník rovný
*-g—čtvrtině čtverce přímky menší, tak aby
se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a dělí ji v části nesouměřitelné, rozdíl čtverců jejich bude čtverec přímky s delší nesouměřitelné dle délky (X xviu.); tedy DM*y>MG* o čtverec přímky s DM nesouměřitelné. Také jsou DM, MG změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a DM jest souměřitelná s danou změrnou DE.
Tedy DG je dvoučástnice čtvrtá (vým. druhých č. 4.); což právě bylo dokázati.
LXIV.
Čtverec základnice útvaru z měrného a středního přistavený-5; ke změrné šířkou činí dvoučástnici pátou.
Základnicí útvaru změrného a středního budiž AB. jsouc rozdělena v úsečky v C, tak aby delší byla AC, a dána buď změrná DE, a k DE přistavme útvar DF stejný s AB*, šířkou činící DG; pravím, že DG je dvoučástnice pátá.
Upravme totéž jako před tím. Ježto tedy AB jest základnice útvaru změrného a středního, jsouc rozdělena v C, tedy AC, CB jsou
ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední, pravoúhelník pak změrný
D
KM    N G
E
hl
O
a
C B
(X. xl). Ježto tedy AC* A-CB* je střední, střední tedy jest DL; a tak DM je změrná a dle délky nesouměřitelná s DE (X. xxn.). Dále, ježto změrné jest 2 ACx CB, t. j. MF, změrná tedy jest MG a s DE souměřitelná. Pročež DM je s MG nesouměřitelná; tedy DM, MG jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; a tak DG je dvoučástnice. Pravím ovšem, že i pátá.
Podobně totiž dokážeme, že DKX KM=MN* a že DK je s KM dle délky nesouměřitelná; tedy DM*"ýMG* o čtverec přímky s DM nesouměřitelné (X. xviu). 1 jsou DM, MG jen ve dvojmoci souměřitelné, a kratší MG s DE dle délky souměřitelná.
Tedy DG je dvoučástnice pátá (vým. druhých č. 5.); což právě bylo dokázati.
LXV.
Čtverec základnice dvou útvarů středních přistavený"6) ke změrné šířkou činí dvoučástnici šestou.
K M     N G
Základnicí dvou útvarů středních budiž AB, jsouc rozdělena v C, změrnou pak budiž DE, a k DE přistavme útvar DF stejný s AB'1, šířkou činící DG; pravím, že DG je dvoučástnice šestá.
Nuže upravme totéž jako dříve. A ježto AB jest základnice dvou útvarů středních, jsouc rozdělena v C, tedy AC, CB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední a také součet čtverců ^ jejich s pravoúhelníkem nesouměřitelný <~ (X. xli.1,  a tak dle důkazů předešlých
DL i MF jsou střední. A jsou přistaveny_______
ke změrné DE;  změrná tedy jest DM H L      O F
i MG a s DE dle délky nesouměřitelná. A ježto součet AC* A- CB* jesžACXCB nesouměřitelný, tedy DL je s MF nesouměřitelné. Pročež i DM jest nesouměřitelná s MG; tedy DAT, MG jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; proto DG je dvoučástnice. Pravím ovšem, že také šestá.
Podobně zajisté opět dokážeme, že DKX KM = MN3 a že DK je s KM dle délky nesouměřitelná; & z téže příčiny ovšem DM3 > MG* o čtverec přímky s DM dle délky nesouměřitelné (X xvm.). A žádná z úseček DM, MG není dle délky souměřitelná s danou změrnou DE.
Tedy DG je dvoučástnice šestá (vým. druhých č. 6); což právě bylo dokázati.
C B
-a-1
LXVI.
Přímka s dvoučástnici dle délky souměřitelná i sama je dvoučástnice a v pořadí táž.
Dvoučástnici budiž AB a s AB dle délky souměřitelnou budiž CD; pravím CD je dvoučástnice a v pořadí táž jako AB.
Nuže, ježto AB je dvoučástnice, rozdělena buď ve své části v E a větší částí budiž AE; AE, EB jsou tedy změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. xxxvi.). Učiňmež, aby se měla AB : CD =— AE : CF (VI. xn); tedy také zbývající EB : FD = AB : CD. AB však je s CD dle délky souměřitelná;
souměřitelná tedy je též AB s CF a EB       _ E B
s FD. I jsou AE, EB změrné; změrné       '-1-1
jsou tedy též CF. FD. A ježto AE: CF = EB: FD, střídavě tedy AE: EB = CF: FD. Avšak AE, EB jsou jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež i CF, FD jsou jen
ve dvojmoci souměřitelné. A jsou změrné'; tedy CD je dvoučástnice.
Pravím ovšem, že je v pořadí táž jako AB.
Neboť rozdíl čtverců AE* a EB'1 je buďto čtverec přímky s AE souměřitelné nebo nesouměřitelné. Jestli tedy rozdíl čtverců AE*, EB* čtverec přímky s AE souměřitelné, také CF* bude větší než FD* o čtverec přímky s CF souměřitelné (X. xiv.). A jestli AE souměřitelná s danou změrnou, také CF bude s ní souměřitelná (X. xn.), a
C
i—
D
204
206
z té příčiny jsou AB i CD dvoučástnice první, t. j. v pořadí tytéž. Pakli EB jest souměřitelná s danou změrnou, také FD je s ní souměřitelná, a z té příčiny opět bude [CD) v pořadí táž jako AB; neboť obě budou dvoučástnice druhé. Pakli žádná z -úseček AE, EB není souměřitelná s danou změrnou, žádná z úseček CF; FD nebude s ní souměřitelná (X. ni.), a obě jsou (dvoučástnice) třetí. Pakli AE*~J>EB* o čtverec přímky s AE nesouměřitelné, také CF*~J>FD* o čtverec přímky s CFnesouměřitelné (X. xrv.). A jestli ^^souměřitelná s danou změrnou, také CF je s ní souměřitelná (X. xri.), a obě jsou čtvrté. Pakli EB, též FD, a obě jsou páté. Pakli žádná z úseček AE, EB, také žádná z úseček AE, EB. také žádná z úseček CF, FD není souměřitelná s danou změrnou. i budou obě šesté (vým. druhé).
A tak přímka s dvoučástnicí dle délky souměřitelná je dvoučástnice a v pořadí táž; což právě bylo dokázati.
LXVII.
Přímka s dvoustřednicí dle délky souměřitelná i sama je dvoustřednice a v pořadí táž.
Dvoustřednicí budiž AB a s AB dle délky souměřitelnou buď CD; pravím, že CD je dvoustřednice a v pořadí táž jako AB.
Nuže, ježto AB je dvoustřednice, rozdělena buď ve své střednice v E; AE, EB jsou tedy střední, jen ve dvojmoci souměřitelné. I učiňme, aby se měla AB: CD = AE: CF; tedy také zbývající EB: FD =z
AB: CD. AB však dle délky souměřitelná A F £     s CD, souměřitelná tedy jak AE tak EB
' ' '      i s CF i s FD. Avšak AE, EB jsou střední;
střední tedy též CF, FD. A ježto AE: Efí
_= CF: FD a jen. ve dvojmoci souměři-
£> p       T) telné jsou  AE, EB, také CF, FD jsou
jen ve dvojmoci souměřitelné. Bylo pak dokázáno, že také střední; tedy CD je dvoustřednice. Pravím ovšem, že je také v pořadí táž jako AB. Neboť ježto AE : EB — CF : FD, tedy též AE* : AE X EB = CF*:CFxFD; střídavě AE*: CF* — AExEB -. CFxFD. Avšak AE*, CF* jsou souměřitelné; tedy souměřitelné jsou též součiny A E x EB, CFXFD(X. xr.). Jestli tedy AEX EB zmhvné, také CFXFD je změrné (a z té příčiny jest přímka dvoustřednice první); pakli střední, střední; a obě přímky jsou (dvoustřednice) druhé (X. xxxvn. xxxvirr).
A proto CD bude v pořadí táž jako AB; což právě bylo dokázati.
LXVIIJ.
Přímka s nezměrnou větší souměřitelná i sama jest nezměrná větší.
Nezměrnou větší budiž AB, a s AB souměřitelnou buď CD; pravím, že CD jest nezměrná větší.
\F
D
Budiž AB rozdělena v E; AE, EB jsou tedy ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je  změrný, pravoúhelník pak střední (X. xxxix.);  a učiňme totéž jako dříve.  A ježto AB: CD = AE: CF, rovněž AB: CD = EB:FD, tedy též AE: CF = EB:FD.  Avšak AB je s CD souměřitelná; souměřitelná je tedy též AE i EB s CF i FD.  A ježto AE : CF — EB : FD,  také střídavě AE : EB = CF : FD; pročež   i součetně  AB : BE = CD : DF; tedy rovněž AB*:BE*=CD*:DF*. Podobně zajisté dokážeme, že též AB*: AE* = CD*: CF*.   Tedy také AB*: (AE* + EB*) = CD*: (CF* + FD*). Pročež i střídavě AB*: CD* = (AE* A- E\ EB*):{CF*a)~FD*). Avšak AB* je s CD* souměřitelné; 1 tedy souměřitelné jest i AE*a-EB* s CF* + FD*. I jest AE*A-EB* spolu změrné,  i CF*a~ FD* je tedy spolu změrné.   Podobně pak i 2 AE X EB je  souměřitelné B^-s 2 CFXFD. A 2 AE X EB je střední; střední tedy též 2 CFX FD. Proto CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné (X. xm) a součet čtverců jejich je spolu změrný a pravoúhelník střední; pročež celá CD jest nezměrná řečená větší.
Tedy přímka s nezměrnou větší souměřitelná jest nezměrná větší; což právě bylo dokázati.
LXIX.
Přímka se základnicí útvaru z měrného a středního souměřitelná jest i (sama) základnice útvaru změrného a středního.
Základnicí útvaru změrného a středního budiž AB, a s AB souměřitelnou buď CD; má se dokázati, že i CD jest základnice útvaru změrného a středního. „ r
Rozdělena budiž AB ve své úsečky v E; tedy AE, EB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je sťřednír pravoúhelník však změrný (X. xl.) ; a upravme totéž jako dříve. Podobně zajisté dokážeme, že také CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a že AE* -f- EB* je s CF* A-FD* souměřitelné, součin pak AExEB s CFXFD; a tak i součet CF*+FD* je střední, CF XFD však změrné.
Tedy CD jest základnice útvaru změrného a středního; což právě bylo dokázati.
■E
b
±F
D
LXX.
Přímka se základnicí dvou útvarů středních souměřitelná jest základnice dvou útvaru středních.
Základcicí dvou útvarů středních budiž AB, a s AB souměřitelná buď CD; má se dokázati, že také CD jest základnice dvou útvarů středních.
1
206
207
E
b
F
d
Nuže, ježto AB jest základnice dvou útvaru středních, rozdělena buď ve své úsečky v E; AE, EB jsou tedy ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich střední a pravoúhelník střední a rovněž součet AE*-\- EB* s AE~X EB* nesouměřitelný (X. xli.) ; i upravme totéž jako dříve. Podobně zajisté dokážeme, že také CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a že souměřitelné jest AE*-\- EB* s CF*A-FD* a AE X EB s CF X FD ; pročež i součet CF* -f- FD* je střední i CFXFD střední a mimo to CF* + FD* s CFXFD nesouměřitelné.
Tedy CD jest základnice dvou útvarů středních; což právě bylo dokázati.
LXXI.
Když se přidruží27) útvar změrný ke střednímu, vznikají čtyři přímky nezměrné: buď dvoučástnice nebo dvoustřednice první nebo nezměrná větší nebo základnice útvaru změrnébo a středního.
Změrným útvarem budiž AB, středním pak CD; pravím, že přímka ve dvojmoci s útvarem AD stejná jest buďto dvoučástnice nebo dvoustřednice první nebo nezměrná větší nebo základnice útvaru změrného a středního.
Nebot AB>CD neb AB<.CD. Budiž dřivé AB>CD; a dána buď změrná EF a k EF přistavme EG stejné s AB, šířkou činící EH; a přistavme k EF (t. j. k HG) útvar FFI stejný s DC, šířkou činicí HK. A ježto AB je změrné a stejné s EG, změrné tedy také EG.
A jest přistaveno k EF, šířkou činíc EH; EH tedy je změrná a s EF dle délky souměřitelná (X xx.). Dále ježto CD je střední a stejné s HI, střední tedy jest i HL A jest přistaveno ke změrné EF, šířkou činíc HK; HK je tedy změrná a dle délky nesouměřitelná s EF (X. xxii). A ježto CD je střední, AB však změrné, tedy AB je s CD nesouměřitelné; a tak i EG jest nesouměřitelné s HI. Avšak EG : HI = EH : HK; pročež EH je s HK dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; tedy EH, HK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; jest tedy EK dvoučástnice, jsouc rozdělena v H. A ježto AB > CD, avšak AB = EG a CD\=HI, tedy též EG>HI; pročež i EH>HK. Buďto tedy EH* >■ HK* o čtverec přímky s E H dle délky souměřitelné nebo nesouměřitelné. — Budiž dříve větší o čtverec sou-
d
;7) Ve způsobe obdélnikův, aby jednu stranu měly společnou.
měřitelné; a delší HE jest souměřitelná s danou změrnou EF; tedy EK je dvoučástnice první (vým. druhých č. 1.). EF pak je změrná; když pak útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice první, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná je dvoučástnice (X. liv.). Přímka tedy ve dvojmoci s El stejná je dvoučástnice; a tak i přímka stejná ve dvojmoci s AD dvoučástnice jest. — Nuže buď již EH'1 > HK* o čtverec přímky s EH nesouměřitelné; a delší EH jest dle délky souměřitelná s danou změrnou EF; pročež EK je dvoučástnice čtvrtá (vým. druhých č. 4.). EF pak je změrná; když pak útvar objímají změrná a dvoučástnice čtvrtá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná jest nezměrná řečená větší (X. lvu.). Tedy přímka ve dvojmoci stejná s útvarem Zíljest nezměrná větší; a tak i přímka ve dvojmoci stejná s AD jest nezměrná větší.
Nuže buď již AB < CD, tedy též EG < HI a tak i EH<.HK. Avšak HK*> EH* buď o čtverec přímky s HK souměřitelné nebo nesouměřitelné. Dříve buď větší o čtverec přímky souměřitelné dle délky; a kratší EH je dle délky souměřitelná s danou změrnou EF; tedy EK je dvoučástnice druhá (vým druhých č. 2.). EF pak je změrná; když pak útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice druhá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná je dvoustřednice první (X lv.). Pročež přímka ve dvojmoci stejná s El je dvoustřednice první; a tak i přímka ve dvojmoci stejná s AD je dvoustřednice první. — Nuže již bud HK*>HE* o čtverec přímky s HK nesouměřitelné. A kratší EH jest souměřitelná s danou změrnou EF; EK je tedy dvoučástnice pátá (vým. druhých č. 5.). EF pak je změrná; když pak útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice pátá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná jest základnice útvaru změrného a středního (X. lviii.) ; a tak i přímka ve dvojmoci stejná s útvarem AD jest základnice útvaru změrného a středního.
Když se tedy přidruží útvar změrný ke střednímu, vznikají čtyři přímky nezměrné: buďto dvoučástnice nebo dvoustřednice první nebo nezměrná větší nebo základnice útvaru změrného a středního; což právě bylo dokázati.
H
LXXIl.
Když se k sobě přidruží27) dva útvary střední, vespolek nesouměřitelné, ze dvou zbývajících přímé k28) stanou se nezměrné: buďto dvoustřednice druhá nebo základnice dvou útvarů středních.
Buďte k sobě přidruženy dva útvary střední AB, CD, vespolek
2ä) Kromě strany společné a jejích rovnoběžek, s ní stejných.
208
B
D
E
H K
F
g j
nesouměřitelné;   pravím, že přímka ve dvoj moci s AD stejná jest buďto dvoustřednice druhá nebo základnice dvou útvarů středních Neboť buďto  AB>CD   nebo  AB<CD.   Budiž dříve třebas AB>CD; a dána buď změrná EF,  a k EF přistavmež útvar EG s AB stejný, šířkou činící EH, a s CD stejný HI, šířkou činící HK.
A ježto AB i CD jsou střední, střední jsou tedy též EG i HL A jsou přistaveny ke změrné FE, šířkami činíce EH, SK; pročež EH i HK jsou změrné a s EF dle délky nesouměřitelné (X. xxii.). A ježto AB je s CD nesouměřitelné a AB — EG, CD=H1, tedy nesouměřitelné je též EG s HL Avšak EG: HI= EH: HK; pročež EH je s HKále délky nesouměřitelná. Tedy EH, HK jsou změrné, jen ve dvoj-moci souměřitelné; pročež EK je dvoučástnice. Avšak EH* > HK* o čtverce přímky s EH souměřitelné nebo nesouměřitelné. Budiž dříve větší o čtverec přímky dle délky souměřitelné. A není ani EH ani HK dle délky souměřitelná s danou změrnou EF; tedy EK je dvoučástnice třetí (vým. druhých č. 3.). EF pak je změrná; když pak útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice třetí, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná je dvoustřednice druhá (X. lvi.). Tedy přímka ve dvojmoci stejná s El, t. j. s AD, je dvoustřednice druhá. - Nuže buď jíž EH*> HK* o čtverec přímky s EH nesouměřitelné I jsou EH i HK dle délky nesouměřitelné s EF; tedy EK je^dvoučástnice šestá (vým. druhých č. 6.). Když pak útvar objímají přímka změrná a dvoučástnice šestá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná jest základnice dvou útvarů středních (X. lix.). A tak i přímka ve dvojmoci stejná s AD jest základnice dvou útvarů středních.
(Podobně zajisté dokážeme, i když AB<. CD, že přímka ve dvojmoci s AD stejná buď je dvoustřednice druhá nebo základnice dvou útvarů středních)
Když se tedy k sobě přidruží dva útvary střední, vespolek nesouměřitelné, ze dvou zbývajících přímek stanou se nezměrné: buďto dvoustřednice druhá nebo základnice dvou útvarů středních.
Přímka dvoučástná a nezměrné od ní odvozené ani se střednicí ani navzájem nejsou totožné. Neboť čtverec přímky střední přistavený ke změrné šířkou činí přímku změrnou^ a nesouměřitelnou dle délky s tou, k níž jest přistaven (X. xxii.). Čtverec pak dvoučástnice přistavený ke změrné, šířkou činí dvoučástnici první (X. Lx.). A čtverec dvoustřednice první v přistavený ke změrné šířkou činí dvoučástnici druhou (X. lxi.). Čtverec pak dvoustřednice druhé přistavený ke změrné šířkou činí dvoučástnici třetí (X. lxil). A čtverec nezměrné větší přistavený ke změrné šířkou činí dvoučástnici čtvrtou (X. lxiii ). Čtverec pak základnice útvaru změrného a středního přistavený ke změrné šířkou činí dvoučástnici pátou (X. lxiv.). A čtverec základnice
dvou útvarů středních přistavený ke změrné šířkou činí dvoučástnici šestou (X. lxv.). Řečené pak šířky liší se jak od přímky prvotní tak havzáiem; od prvotní, poněvadž je to změrná, navzájem pak, ježto v pořadí nejsou tytéž; a tak i samy přímky nezměrné navzájem se liší.
LXXIII.
Když se oddělí od přímky změrné změrná, jen ve dvojmoci s celou souměřitelná, zbývající částjestne-změrná; i nazývej se úsečnicí.
Nuže budiž od změrné AB oddělena změrná BC jen ve dvojmoci s celou souměřitelná; pravím, že zbývající AC jest nezměrná řečená úsečnice.
Neboť ježto AB je s BC dle délky nesouměřitelná a AB:BC= AB*: ABXBC, tedy nesouměřitelné jest
AB* s AB X BC. Avšak s AB* souměři- ^ _
telné jsou čtverce AB* + BC* (X. xv.) a     j[ B sABXBC souměřitelné jest 2ABXBC. A jelikož AB* -}- BC* = 2AB X BC + CA*
(II. vil), tedy též se zbývajícím AC* nesouměřitelné jest AB*-\-BC". j4však AB* -f- BC* je změrné; tedy AC jest nezměrná; nazývej se úsečnicí. Což právě bylo dokázati.
LXXIV.
Když se od přímky sřední  oddělí střední, jen ve dvojmoci s celou souměřitelná, objímající s celou útvar změrný, zbývající část jest nezměrná; ^ i nazývej se střednicovou úsečnicí první.
Nuže budiž od přímky střední AB oddělena střední BC, jen ve dvojmoci s AB souměřitelná, s AB však činící útvar změrný ABXBC; pravím, že zbývající AC jest nezměrná;
1 nazývej se střednicovou úsečnicí první.
Neboť, ježto AB, BC jsou střední, střední jsou i čtverce AB*, BC*. Změrné však 2 ABXBC; tedy AB* 4-BC* je s 2ABXBC nesouměřitelné; pročež i se zbývajícími AC* jest
2 ABXBC nesouměřitelné, ježto, když i s jednou částí celek jest nesouměřitelný, i prvotní veličiny budou nesouměřitelné (X. xvi.). Avšak 2 AB X BC je změrné, proto AC* jest nezměrné. Tedy AC jest nezměrná; i nazývej se střednicovou ±A úsečnicí první.
LXXV.
Když se od přímky střední oddělí střední, jen ve dvojmôci s celou souměřitelná, objímající s celou ú tvar středni, zbývající část jest nezměrná; i nazývej
s e střednicovou úsečnicí druhou.
14
c
-t—
b
Nuže budiž od přímky střední AB oddělena střední BC, jen ve dvojmoci s celou AB souměřitelná, objímající však s celou AB útvar střední AByC^BG (X. xxvnx.); pravím, že zbývající ACjest nezměrná; i nazývej se střednicovou úsečnicí druhou.
Nuže dána buď změrná Dl, a k Dl přistavmež útvar DE stejný s AB* A- BC1, šířkou činící DG, a přistavme k Dl útvar DH stejný s 2ABXBC, šířkou činící DF; zbývající tedy FE=AC* (II. vil.). A ježto čtverce AB* i BC* jsou střední a souměřitelné, tedy střední jest i DE, a přistaveno jest ke změrné Dl, šířkou činíc DG; změrná tedy jest i DG a s Dl dle délky nesouměřitelná. Dále, ježto ABXBC
je střední, tedy též 2^4 5 X BC je střední. A je stejné s DH; pročež i DH je střední. A jest přistaveno ke změrné Dl, šířkou činíc DF; tedy DF je změrná a s Dl dle délky nesouměřitelná (X. xxn). A ježto AB, BC jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy AB je s BC dle délky nesouměřitelná; pročež nesouměřitelný jest i čtverec AB* s AB X BC. Avšak s AB* souměřitelné jest AB* + BC* (X. xv.), a s AB X BC souměřitelné jest 2 AB X BC; tedy 2 AB X BC je s AB^A-BC* nesouměřitelné. Avšak AB* A- BC* = DE a 2 AB X -#C = Tedy Z>/i' je s DH nesouměřitelné. A DE.DH— GD: DF; pročež GD je s DF nesouměřitelné. A obě jsou změrné; tedy GD, DF jsou změrné jen ve dvojmoci souměřitelné; proto FG jest úsečnice (X. lxxiii.). Dl však je změrná; útvar pak objímaný přímkou změrnou a nezměrnou jest nezměrný (X. xx.), a přímka s ním ve dvojmoci stejná nezměrná jest. A AC* — FE; tedy AC jest nezměrná. I nazývej se střednicovou úsečnicí druhou; což právě bylo dokázati.
LXXVI.
Když se oddělí od přímky přímka, ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, a s celou činí zároveň součet čtverců změrný, pravoúhelník pak střední, zbývající část nezměrná jest; i nazývej se nezměrnou menší.
Nuže budiž od přímky AB oddělena BC ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, vyhovujíc daným  podmínkám (X. xxxní.); pravím,
že zbývající AC jest nezměrná řečená ,_,__,    ' menší.
A       C b Neboť, ježto AB* -4- BC* je změrné
a 2 AB X BC střední, tedy AB* A-BC* je s 2 ABXBC nesouměřitelné, a zvratně se zbývajícím AC* nesouměřitelné jest AB*A-B& (X. xvi.).   Avšak AB* A-BC* je změrné;
pročež AC* jest nezměrné. Tedy AC jest nezměrná; i změrnou menší; což právě bylo dokázati.
nazývej se ne-
LXXVII.
Když  se oddělí od- přímky přímka, ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, a s celou činí součet čtverců střední   a dvojnásobný  pravoúhelník změrný, zbývající část nezměrná jest; i nazývej se xáklad-dnicí útvaru se xměrným celku střednímu rovného.
Nuže budiž od přímky AB oddělena přímka BC, ve dvojmoci s AB nesouměřitelná, vyhovujíc daným podmínkám (X. xxxiv.); pravím, že zbývající AC je svrchu řečená nezměrná.
Neboť, ježto AB*ArBC* je střední a 2 ABXBC změrné, tedy AB*A~BC* je s 2 AB XBC nesouměřitelné; tedy též ,c zbývající AC* jest nesouměřitelné s 2 ABXBC (X. xvi.). A 2 ABXBC je změrné; tedy AC* jest nezměrné. Pročež AC jest nezměrná; i nazývej se základnicí útvaru se změrným celku střednímu rovného.
LXXVIII.
Kdyžse oddělí od přímkypřímka, vedvojmoci s celou nesouměřitelná, a s celou činí jak součet čtverců střední tak i dvojnásobný pravoúhelník střední a také součet čtverců s dvojnásobným pravoúhelníkem nesouměřitelný, zbývající část nezměrná jest; i nazývej se xákladnicl útvaru se středním celku střednímu rovného.
Nuže budiž od přímky AB oddělena přímka BC, jsouc ve dvojmoci s AB nesouměřitelná, vyhovujíc daným podmínkám (X. xxxv); pravím, že zbývající AC jest nezměrná řečená základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Nuže buď dána změrná Dl, a k Dl přistavmež útvar DE stejný s AB* Ar BC*, šířkou činící DG, a oddělmež útvar DH stejný s 2AB X BC (šířkou činící DF). Tedy zbytek FE = AC*; a tak AC je stranou čtverce stejného s F E. A ježto AB*ArBC* je střední a stejné s ĎE, tedy DE je střední. A přistaveno jest ke změrné Dl, šířkou činíc DG; pročež DG je změrná a s Dl dle délky nesouměřitelná. Dále, ježto 2 AB XBC je střední a stejné s DH; tedy DH je střední. A jest přistaveno ke změrné Dl, šířkou činíc DF; pročež také DF je změrná a s Dl dle délky nesouměřitelná. A poněvadž AB* -f BC* je s 2 X -5C nesouměřitelné, tedv též DE je s DH nesouměřitelné. A DE:DH = DG: DF; pročež ĎG jest nesouměřitelná s DF. A obě jsou změrné; tedy DG, DF jsou změrné jen ve dvojmoci souměřitelné. Pročež FG iest úsečnice (X. lxxiii); FH pak změrná. Útvar však objímaný přímkou změrnou a úsečnicí jest nezměrný (srv. X. xxvi.), a přímka
14*
D			F	o
J			ir	e
	i- A	-1- C	-"b	
212
its
ye dvojmoci s ním stejná jest nezměrná. I jest FE = AC*; tedy AC jest nezměrná; i nazývej se základnicí.útvaru se středním celku střednímu rovného; což právě bylo dokázati.
LXXIX.
K úsečnici pouze jediná přísluší přímka změrná, celou jen ve dvojmoci souměřitelná.
Úsečnici budiž AS a k ní příslušej BC; tedy AC,  CB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné ; pravím, že k AB jiná 4     nepřísluší změrná, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná.
Nuže, možno-li, příslušej ÄD; též AD, BD tedy jsou jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiii.).  A ježto (AD* 4- DB*) B     - 2 AD X DB — (AC* + CB*) - 2 AC X CB (neboť rozdíl tu
1 onde jest AB* [II. vu.]); tedy střídavě (AD* -f DB*) — (AC* -4-CB*) =2ADX DB-2ACX CB. Avšak (AD* 4- DB*)—(AC* + CB*) je změrné, neboť to i ono je změrné. Pročež i 2ADxDB —
2 ACxCB je změrné; což právě jest nemožné; neboť to i ono ■C    je střední (X. xxi.), rozdíl pak útvarů středních není změrný J-/)     (X. xxvi.). Tedy k AB jiná nepřísluší přímka změrná, s celou
jen ve dvojmoci souměřitelná.
Tedy k úsečnici vPOUze jediná přísluší přímka změrná, celou jen ve dvojmoci souměřitelná; což právě bylo dokázati.
LXXX.
K střednicové úsečnici první pouze jediná přišlu š í p ří m k a s t ře d n í, s c el o u j e n v e dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar změrný.
Nuže buď střednicovou úsečnici první AB a k AB příslušej BC; tedy AC, CB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné a objímají útvar změrný ACXCB (X. lxxiv.); pravím, že k AB jiná nepřísluší přímka střední, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar změrný.
Nuže, možno-li, příslušej také DB ; tedy AD, DB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímají útvar změrný ADxDB. A ježto (AD* + DB*) —2ADxDB=(AC*-]- CB"-) — 2 ACXCB (neboť tu i onde je týž rozdíl AB* [II. vil.]); tedy střídavě (AD* -f DB*) — (AC* -f CB*) = 2 AD X DB — 2ACXCB. Avšak 2ADX DB — 2ACXCB \e změrné, neboť to i ono je změrné Pročež také (AD*-\-DB*) —(AC* + CB3) je změrné; což právě jest nemožné; neboť obojí je střední (X. lxxiv.). Rozdíl pak útvarů středních není změrný (X. xxvi.).
Tedy k střednicové úsečnici první pouze jediná přísluší přímka střední, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar změrný; což právě bylo dokázati.
b-
c
LXXXI.
K střednicové úsečnici druhé pouze jediná přísluší přímka střední, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar střední.
Střednicovou úsečnici druhou budiž AB a. k AB příslušej BC, tedy AC, BC jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímají útvar střední ACxCB (X, lxxv.); pravím, že k AB jiná nebude pří-slušeti přímka střední, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar střední.
Nuže, možno-li, příslušej BD; tedy též AD, DB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímají útvar střední ADXDB.
1 buď dána změrná EF, a k jEFpřistavmež útvar EG stejný s AC*-\-CB*, šířkou činící EM; oddělmež útvar HG stejný s 2ACxCB, šířkou činící HM; tedy zbývající EL = AB9; a tak AB je stranou čtverce stejného s EL. Opět již přistavme k EF útvar El stejný s AD* -+- DB*, šířkou činící EN; jest pak rovněž EL = AB*; zbývající tedy Ftl=
2 ADX DB (II. vu.). A ježto AC, CB jsou střední, střední tedy také jest AC* + CB*. A AC*Ar CB* = EG; pročež i EG je střední. A přistaveno jest ke změrné EF, šířkou činíc EM; tedy EM je střední a s EF dle délky nesoumětitelná. Dále, ježto ACxCB je střední, též 2 AC x CB je střední (X. xxii. důsl.). A je stejné s HG; tedy též HG je střední. A jest přistaveno ke změrné EF, šířkou činíc HM; pročež i HM je změrná a s EF dle délky nesouměřitelná. A ježto AC, CB jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy AC je s CB
dle délky nesouměřitelná. Avšak AC:CB-- AC*: ACxCB; pročež AC* je s ACXCB nesouměřitelné. Avšak s AC* jest souměřitelné AC* -f- CB* a s AC X CB souměřitelné jest 2 AC X CB; tedy AC* -f BC* je s 2 ACXCB nesouměřitelné. I jest AC* + CB*== EG a2ACXCBz= GH; pročež EG je s GB nesouměřitelné. A EG: HG = EM: HM; tedy EM je s HM dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; proto EM, MH jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Tedy EH jest úsečnice (X. lxxiii.), a přísluší k ní HM. Podobně zajisté dokážeme, že též HN k ní přísluší; tedy k úsečnici jiná a jiná přísluší přímka, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná; což právč jest ne-nemožné (X lxxix.).
Tedy k střednicové úsečnici druhé pouze jediná přísluší přímka střední, s celou jen ve dvojmoci souměřitelná a objímající s celou útvar střední; což právě bylo dokázali.
LXXXII.
K nezměrné menší pouze jediná přísluší přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, činící s celou součet čtverců změrný á dvojnásobný pravoúhelník střední.
214
Nezměrnou menší budiž AB, a k AB příslušej BC; tedy AC, CB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a činí součet čtverců změrný a
dvojnásobný pravoúhelník střední (X. lxxvi.); A      b CD    pravím, že k AB jiná přímka nebude pří -
1-1 1  1      slušeti týmž podmínkám vyhovující.
Nuže, možno-li příslušej BD; tedy též AD, BD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, vyhovujíce svrchu řečeným podmínkám. A ježto (AD* + DB*) — {AC* + CB*) = 2 AD X DB — ZACxCB a (AD*ArDB*) — (AC*A~CB*) je změrné (neboť to i ono je změrné), také tedy 2 AD X DB — 2 AC X CZ? je změrné, což právě jest nemožné (X. xxvi.), neboť obojí je střední.
Tedy k nezměrné menší pouze jediná přísluší přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná a činící s celou součet čtverců zároveň změrný, dvojnásobný pak pravoúhelník střední; což právě bylo do-kázati.
LXXX1II.
K základnici útvaru se z měrným celku střednímu rovného pouze jediná přísluší přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, činící s celou součet čtverců střední a dvojnásobný pravoúhelník změrný.
Základnici útvaru se změrným celku střednímu rovného budiž AB a k AB příslušej BC; tedy AC, CB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, daným podmínkám vyhovujíce (X. lxxvii.) ; pravím, že k AB
nebude jiná přímka příslušeti týmž pod-A b     C D    mínkám vyhovující.
' 1       1  1 Nuže, možno-li,  příslušej BD; tedy
též přímky AD, DB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, daným podmínkám vyhovujíce. Ježto tedy stejně jako před tím (X. lxxxii ) AD* A- DB1) — (AC1A- CB*)z= 2 AD x DB — 2ACxCB, avšak 2 AD X DB — 2 ACx CB je změrné (neboť to i ono je změrné); tedy též {AD* -f DB*) — (AC* + CB*) je změrné; což právě jest nemožné, neboť to i ono je střední (X. xxvi.). Tedy k AB nebude jiná příslušeti přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná a vyhovující s celou svrchu řečeným podmínkám; tedy bude příslušeti pouze jediná; což právě bylo dokázati.
LXXX1V.
K z ák 1 ad n i c i ú t v ar u se středním celku sřednímu rovného pouze jediná přísluší přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, činící s celou součet čtverců střední a dvojnásobný pravoúhelník .střední a také se součtem čtverců nesouměřitelný.
Základnici útvaru se středním celku střednímu rovného budiž AB, a k ní příslušej BC; tedy AB, CB jsou ve dvojmoci nesouměři-
b
telné, vyhovujíce svrchu řečeným podmínkám. Pravím, že k AB nebude jiná přímka příslušeti oněm podmínkám vyhovující.
Nuže, možno-li, příslušej BD, takže by též AD, DB byly ve dvojmoci nesouměřitelné a činily zároveň AD* A-DB"1 středním a 2 ADX DB středním a rovněž AD*A~DB* nesouměřitelným s 2 ADX DB; a dána bud změrná EF, ak£f přistavmež EG stejné s AC* A- CB*, šířkou činící EM, a přistavme k EF útvar HG stejný s 2ACXCB, šířkou činící HM; tedy zbývající AB* — EL (II. vn.); tedy AB je strana čtverce stejného s EL. Dále přistavme k EF útvar El stejný s AD* Ar DB*, šířkou činící EN. Jest pak rovněž AB* — EL. Tedy zbývající 2 AD X DB = Hl (II. vil.) A ježto AC* A- CB* je střední a stejné s EG, tedy též EG je střední. A jest přistaveno ke změrné EF, šířkou činíc EM; pročež EM je změrná a dle délky s EF nesouměřitelná (X. xxii.). Dále, ježto 2ACXCB je střední a stejné s HG, tedy též HG je střední. A jest
přistaveno ke změrné EF, šířkou činíc HM; pročež EM je změrná a dle délky s EF nesouměřitelná. A ježto AC* -j- CB* je s 2ACxCB nesouměřitelné, nesouměřitelné jest i EG sGH; tedy též EM je s MH dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; tedy EM, MH jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pročež EH jest úsečnice (X. lxxiii.), a k ní přísluší HM. Podobně zajisté dokážeme, že opět EH jest úsečnice a že k ní přísluší HN. Tedy k úsečnici jiná a jiná přísluší přímka změrná, jen ve dvojmoci s celou souměřitelná; což dokázáno nemožným (X. lxxix.). Nebude tedy k AB příslušeti přímka jiná.
Tedy k AB pouze jediná přísluší přímka ve dvojmoci s celou nesouměřitelná, činící s celou součet čtverců zároveň střední a dvojnásobný pravoúhelník střední a také součet čtverců jejich s dvojnásobným pravoúhelníkem nesouměřitelný ; což právě bylo dokázati.
Výměry třetí.
1. Dána-li přímka změrná a úsečnice, když celá ve dvojmoci jest větší než příslušná o čtverec přímky s celou souměřitelné dle délky a celá jest souměřitelná dle délky s danou změrnou, nazývej úsečnici první.
2. Když pak příslušná jest souměřitelná dle délky s danou změrnou a celá ve dvojmoci jest větší než příslušná o čtverec přímky s celou souměřitelné, nazývej se úsečnici druhou.
3. Když  pak žádná29) není  dle délky  souměřitelná s danou
9) T. j. ani přímka celá ani ta, která k úsečnici přísluší.
216
117
změrnou, celá však jest ve dvojmoci větší než příslušná o čtverec přímky s celou souměřitelné, nazývej se úsečnicí třetí.
4. Když naopak celá ve dvojmoci jest větší než příslušná o čtverec přímky s celou nesouměřitelné (dle délky), celá-li je dle délky souměřitelná s danou změrnou, nazývej se úsečnicí čtvrtou.
5. Pak-li příslušná30), pátou.
6. Pak-li žádná, šestou.
LXXXV. Najdi úsečnicí první.
Mějme přímku změrnou A, a bud" s A dle délky souměřitelnou BG; z měrná tedy jest i BG, A mějme dvě čísla čtvercová DE, EF,
rozdíl však jejich FD nebuď čtvercový; B C_O tedy nemá se ani ED k DF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému. I učiňme ED:DF — BG*: GCa (X. ví. důsl.); tedy BG* je s GC* souměřitelné. BG* však
A h
H      I-h-
E  F D   Je změrné; změrné tedy též GC2; pročež
i GC je změrná. A jelikož nemá se ED k DF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani tedy BG* nemá se ku GC3 jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež BG je s GC dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; BG, GC jsou tedy změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež BC jest úsečnice (X. lxxiii.).
Pravím ovšem, že také první.
Nuže budiž BG*—GC*=H*. A ježto ED: FD = BG* -.GC*; tedy také zvratně DE: EF = GB*: H*. Avšak DE má se k EF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, neboť to i ono je čtverec; tedy též GB* má se k H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež BG je s H dle délky souměřitelná. A BG*—GC* — H*; tedy BG jest ve dvojmoci větší než GC o čtverec přímky souměřitelné dle délky s B G. IJest celá BG souměřitelná s danou změrnou A; pročež BC jest úsečnice první (vým. tř. č. 1.).
Tedy nalezena jest úsečnice první BC; což právě bylo nalézti.
LXXXVI. Najdi úsečnici druhou.
Mějme změrnou přímku A, a budiž s A dle délky souměřitelnou GC. Tedy GC je změrná. A mějme dvě čísla čtvercová DE, EF, rozdíl však jejich DF nebuď čtvercový. I učiňmež FD:DE —CG*: GB* (X. ví. důsl.). Tedy CG* je s GB* souměřitelné. CG* však je změrné, změrné tedy jest i GB*; pročež BG je změrná. A ježto GC* nemá se ku GB* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, CG je s GB dle
30) T. je dle délky souměřitelná s danou změrnou.
B C
t-H—
F
G
délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; tedy CG, GB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné'; pročež BC jest úsečnice (X. lxxiii.).
Pravím ovšem, že také druhá.
Budiž ' BG*—GC* = H*.   Ježto tedy BG*: GC* = ED: DF, tedy zvratně BG*:H*= h" DE:EF. I jest jak DE tak EF čtverec; pročež BG* má se k H* jako čtvercové E_ číslo k číslu čtvercovému; tedy BG je s H dle délky souměřitelná. A BG*—- GC* == H*;
a tak BG jest ve dvojmoci větší než GC o čtverec přímky s BG souměřitelné dle délky. A přímka příslušná CG je s danou změrnou A souměřitelná; pročež BC jest úsečnice druhá (vým. tř. č. 2.).
Tedy nalezena jest úsečnice druhá BC; což právě bylo dokázati.
Z>
LXXXVII. Najdi úsečnici třetí.
Mějme přímku změrnou A a mějme tři čísla E, BC, CD, aby se neměla k sobě jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, avšak CB měj se k BD jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a učiňme E:BC = A*:FG* a BC : CD = FG*: GH*. Ježto tedy E:BC = A*:FG*, tedy A* je s FG* souměřitelné. A* však je změrné; proto změrné také FG*; FG je tedy změrná.  A ježto
se nemá E k BC jako čtvercové číslo _A_
k číslu čtvercovému, ani tedy A* nemá se k FG* jako čtvercové číslo  k číslu
čtvercovému ; pročež A je s FG dle délky     E     h_G
nesouměřitelná.   Dále, ježto BC:CD = FG*: GH*, tedy FG* je s GH* souměřitelné. FG* však je změrné; změrné tedy     1 'K též GH*; proto GH je změrná. A ježto
BC nemá se k CD jako čtvercové číslo     ,_-\E
k číslu čtvercovému, ani tedy FG* nemá
se ku GH* jako čtvercové číslo k číslu     B     D_C
čtvercovému; pročež FG je s GH nesouměřitelná  dle   délky.   A  obě jsou
změrné; tedy FG, GH jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež FH jest úsečnice.
Pravím ovšem, že také třetí.
Neboť, ježto E:BC= A*: FG* a BC: CD — FG*: HG*, tedy stejno-řadně E:CD = A*:HG*. Avšak E nemá se k CD jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, ani tedy A* nemá se k HG* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež 4 je s GH dle délky nesouměřitelná. Tedy ani FG ani GH není s danou změrnou A dle délky souměřitelná. I budiž FG*—GH* = K*. Ježto tedy BC:CD = FG*\ GH*, tož zvratně BC: CD — FG*: K*. BC pak má se k BD jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy také FG* má se ke Z2 jako čtvercové číslo
218
1218
k číslu čtvercovému. Pročež FG je s K dle délky souměřitelná, i jest FG ve dvoj moci větší než GH o Čtverec přímky s FG souměřitelné. A není ani FG ani GH s danou změrnou A dle délky souměřitelná; pročež F/Y .jest úsečnice třetí (vým. tř. č. 3.)
Tedy nalezena jest úsečnice třetí FH\ což právě bylo dokázati.
LXXXVIII. Najdi úsečnici čtvrtou.
Mějme přímku změrnou i a s i dle délky souměřitelnou BG; tedy změrná jest i BG. A mějme dvě čísla DF, FE, tak aby se celá DE neměla ani k DF ani k EF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému I učiňme DE: EF=BG*: GC*;
|    |      |         !_!   tedy BG* je s GC* souměřitelné.
3  J    O h Avšak BG* je změrné ; pročež i GC*
je  změrné; tedy  GC je změrná. .   A ježto DE nemá se k EF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, q ~q      gr  1      y     1   tedy ani BG* nemá se ku GC* jako
čtvercové číslo k číslu čtvercovému ; pročež BG je s GCdle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; proto BG, GC jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy BC jest úsečnice. Pravím ovšem, že také čtvrtá.
Budiž tedy BG*—GC* = H*. A tak, ježto DE: EF = BG*: GC2, také zvratně tedy ED: DF— GB*:H*. ED však se nemá k DF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež ani GB* nemá se k H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy BG je s // dle délky nesouměřitelná. I jest BG*— GC* — h*; proto BG jest ve dvojmoci větší než GC o čtverec přímky s BG nesouměřitelné. A celá BG je dle délky s danou změrnou A souměřitelná; pročež BC jest úsečnice čtvrtá (vým. tř. č. 4.).
Tedy nalezena jest úsečnice čtvrtá; což právě bylo dokázati.
B
-C
D
LXXXIX.
Najdi úsečnici pátou. Mějme přímku změrnou A, a bud s A dle délky souměřitelná cg; tedy cg je změrná. A mějme dvě čísla DF, FE, tak aby se opět nemělo DE ani k DF ani k FE jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; a učiňme FE:ED = H   cg*: gb*. Tedy změrné jest i gb*; pročež i bg je změrná. A ježto DE: EF= bg*: gc*, DE však nemá se k EF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy ani bg* nemá se ku gc* jako q -     čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež bg
je s bc dle délky nesouměřitelná. A obě jsou ~ změrné; tedy bg, gc jsou změrné, jen ve dvoj-
moci souměřitelné; pročež fíďjest úsečnice.
Pravím ovšem, že také pátá.
Nuže budiž BG*—GC* = H*. Ježto tedy BG2: GC1 = DE: EF, proto zvratně ED: DF = BG*: H'1. ED však nemá se k DF jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy ani BG* nemá se k H* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež BG je s H dle délky nesouměřitelná. A BG*—GC*=H*; tedy GB jest ve dvojmoci větší než GC o čtverec přímky s GB dle délky nesouměřitelné. A příslušná CG je dle délky souměřitelná s danou změrnou A; pročež BC jest úsečnice pátá (vým. tř. č. 5.).
Tedy nalezena jest úsečnice pátá BC; což právě bylo dokázati
XC.
Najdi úsečnici šestou.
Mějme přímku změrnou A a tři čísla E, BC, CD, která se nemají k sobě jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; mimo to pak také neměj se CB k BD jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, a učiňmež Ě: BO=A*:FG* a BC: CD = FG*: GH*.
Ježto tedy E: BC = A*: FG*, tu jest A* s FG* souměřitelné. Avšak A* je změrné; změrné tedy také FG*; proto změrná jest i FG. A ježto E nemá se k BC jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy nemá se ani A* k FG* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež A je s FG dle délky nesouměřitelná. Dále, ježto BC:CD — FG*: GH*, tedy FG* je s GH* souměřitelné.
FG*  však  je   změrné;  pročež i  GH* je    ^,_,
změrné; změrná tedy jest i GII.   A ježto
BC nemá se k CD jako čtvercové číslo__
k číslu čtvercovému, tedy nemá se ani FG*      p q ku GH* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež FG je s GH dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; proto 1 FG, GH jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Tedy FH jest úsečnice. 2?i-1
Pravím ovšem, že také šestá.
Neboť, ježto E:BC= A*:FG'Z a.BC:CD       ._ ,
= FG*: GH*,   stejnořadně  tedy  E:CD—      B D C
A*: GH*.   Avšak E nemá se k CD jako
čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež nemá se ani A* ku GH* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy A je s GH dle délky nesouměřitelná; pročež ani FG ani GH není dle délky se změrnou A souměřitelná. .Budiž tedy FG°—GH*=K*. Ježto tedy BC:CD = FG*: GH*, proto zvratně CB: BD — FG*: K*. Avšak CB nemá se k BD jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému, tedy ani FG* nemá se ku K* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; pročež FG je s K dle délky nesouměřitelná. A FG*—GH*= K*; protož FG jest ve dvojmoci větší než GH o čtverec přímky s FG nesouměřitelné dle délky. Také ani FG ani GH není s danou změrnou A dle délky souměřitelná. Pročež FH jest úsečnice šestá (vým. tř. č. 6.).
820
Tedy nalezena jest úsečnice  šestá FH; což právě bylo dokázali.
D
XCI.
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice první, přímka ve dvoj moci s útvarem stejná jest úsečnice.
Nuže objímejtež útvar AB přímka změrná AC a úsečnice první AD; pravím, že přímka ve dvojmoci s AB stejná jest úsečnice.
Nuže, ježto AD jest úsečnice první, příslušej k ní DG; tedy AG, GD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiii.). A celá AP~ Jestvsouměřitelná s danou změrnou AC, a AG jest ve dvojmoci větší než GD o čtverec přímky s AG souměřitelné dle délky (vým. tř. č. 1.); když se tedy k AG přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce
DG*, aby se mu nedostávalo doplňku E  F G     čtvercového, dělí ji v části souměřitelné (X. xvii.). Rozpolme DG v i? a k AG přistavmež útvar stejný s EG*, aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a b      n ^f~k    bud t0 AFxFG; tedy AFje s FG sou-N    ľ měřitelná. A z bodův E, F, G veďme
s AC rovnoběžné EH, Fl, GK.
"1   V! Y ' Iq a ie^t0 ÄF Je s    dle delkysou"
měřitelná, tedy též AG jest i s AF i s FG dle délky souměřitelná. Avšak AG jest souměřitelná s AC; pročež také AFiFG
jl        -p-M jsou dle délky souměřitelné s AC. I jest
AC změrná; tedy AFiFG jsou změrné; a tak i útvary AI, FK jsou změrné. A ježto DE je dle délky souměřitelná s EG, tedy také DG jest souměřitelná dle délky s DE i s EG. Avšak DG je změrná a s AC dle délky nesouměřitelná (X. xni); proto též DE, EG jsou změrné a s AC dle délky nesouměřitelné; tedy útvary DH, EK jsou střední (X. xxi.).
Tož dejme tomu, že AI rovno čtverci EM, a oddělme čtverec NO, stejný s FK, mající LPM společný; tedy LU, NO jsou na téže úhlopříčce (VI. xxvi.). Budiž úhlopříčkou jejich PR a obrazec buď vyznačen.*) Ježto tedy pravoúhelník AFX FG — EG*, proto AF\EG = EG: FG. Avšak AF: EG == AI: EK a EG: FG = EK: FK; tedy AI, KF mají za střední úměrnou EK. Mají však i LM, NO za střední úměrnou MN, jak bylo dříve (X. liii. výt.) dokázáno, i jest AI— LM a KF — NO; pročež i MN==EK. Avšak FK==DH a MN=LO; pročež DK rovno soudélníku UVX spolu s NO. Jest pak též AK— L M A~ NO; tedy zbývající AB = 8T. ST však jest LN*; pročež LN* — AB; LN je tedy ve dvojmoci stejná s AB. Pravím ovšem, že LN jest úsečnice.
Neboť, ježto AT, FK jsou útvary změrné a stejné s LM, NO, *) V dol. obr. mylně RPM m. správného označení RTM.
uc"	
	X
tedy LM, t. j. LP*, a NO, t. j PN*, jsou útvary změrné; pročež i LP, PN jsou změrné. Dále, ježto DH je střední a stejné s LO, též LO je střední. Ježto tedy LO je střední, NO pak změrné, tedy LO je s NO nesouměřitelné. A LO: NO = LP: PN; pročež LP je s PAŕ dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; tedy LP, PN jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež LN jest úsečnice (X. lxxiii.). A jest ve dvojmoci rovna útvaru AB; a tak přímka ve dvojmoci rovná útvaru AB jest úsečnice.
Když tedy útvar objímají přímka změrná atd.
D
E    F G
XCII.
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice druhá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná je střed-nicová úsečnice první.
Nuže objímejtež útvar AB přímka změrná AC a úsečnice druhá AD; pravím, že přímka ve dvojmoci s útvarem AB stejná je střednicová úsečnice první.
Nuže k AD příslušej DG; tedy AD, GD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiii.); a příslušná DG jest souměřitelná s danou změrnou AC, celá pak AG jest ve dvojmoci větší než příslušná GD o čtverec přímky s AG souměřitelné dle délky. Ježto tedy rozdíl mezi AG* a GD* je čtverec přímky s AG souměřitelné, proto když ^ se k AG přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce GD*, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, rozděluje ji v části souměřitelné. Rozpolme tedy DG v E a k AG přistavmež útvar rovný čtverci EG*, aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to AFXFG; tedy AF je s FG dle délky souměřitelná. Pročež AG je dle délky souměřitelná s AF i s FG (X. Xv.). Avšak AG je změrná a s AC dle délky nesouměřitelná; proto též AF, Jl FG jsou změrné a s AC dle délky nesouměřitelné; tedy AI, FK jsou útvary DE jest souměřitelná s EG, tedy také
b
A p
k
X!''	
	U) í U
O
m
střední (X. xx.).  Dále, ježto DG jest souměřitelná s DE i s EG. Avšak DG jest souměřitelná dle délky s AC; pročež DH, EK jsou útvary změrné.
Zřiďme tedy čtverec LM=* AI a oddělmež NO = FK, které má s LM týž <$.LPM; tedy čtverce LM, NO jsou na téže úhlopříčce. Budiž úhlopříčkou jejich PR a obrazec buď vyznačen. Ježto tedy AI, FK jsou útvary střední a stejné s LP*, PN*, též LP*, PN" jsôu střední; proto jsou též LP, PN střední, jen ve dvojmoci souměřitelné. A ježto AFXFG —EG*, tedy AF:EG — EG:FG; avšak AF:EG=t AI-.EK; a EG : FG = E K: F K. Pročež AI, FK mají za střední úměrnou EK. Avšak i LM, NO mají za střední úměrnou MN; i jest AI== LM
222
a FK= NO; tedy též MN= EK. Avšak EK= DH a MN=LO; pročež celé DK rovná se soudélníku UVX spolu s NO. Ježto tedy celé AK= LM-\-NO, z čehož DK=UVX + NO, proto zbývající AB=TS. TS pak jest LA/'*; tedy LN* je stejné s útvarem AB; pročež LN rovná se ve dvoj moci útvaru AB.
Pravím, že LN je střednicová úsečnice první.
Neboť, ježto EK je změrné a-stejné s LO, tedy LO, t. j. LPX PN, je změrné. Dokázáno pak, že NO je střední;, pročež LO je s. iVO nesouměřitelné. A LO:NO = LP:PN; tedy LP, PN jsou dle délky nesouměřitelné (X. xi.). A tak LP, PN jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné, a objímají útvar změrný; pročež LN je střednicová úsečnice první (X. lxxiv.) ; a jest LN*=AB.
Tedy přímka ve dvojmoci stejná s útvarem AB je střednicová úsečnice první; což právě bylo dokázati.
AC a úsečnice třetí AB stejná je středni-
sou změrné, jen ve GD není dle délky
A
D
E     F G
XCIII.
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice třetí, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná je střednicová úsečnice druhá.
Nuže objímejtež útvar AB přímka změrná AD; pravím, že přímka ve dvojmoci s útvarem cová úsečnice druhá.
Nuže k AD příslušej DG; tedy AG, GD dvojmoci souměřitelné, a žádná z přímek AG,
souměřitelná s danou změrnou AG, celá však AG jest ve dvojmoci větší než příslušná DG o čtverec přímky s AG souměřitelné. Ježto tedy
AG* > GD* o čtverec přímky s AG souměřitelné, proto když se k AG přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce DG2, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, bude ji děliti v části souměřitelné. Rozpolme tedy DG v E a. k AG přistavmež útvar rovný čtverci EG*, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to AFX FG. A veďme z bodův E, F, G přímky s AC rovnoběžné EH, FI, GK; jsou tedy AF, FG souměřitelné; pročež také AI je s F K souměřitelné. A ježto AF, FG jsou dle délky souměřitelné, tedy též AG je dle délky souměřitelná s AF i s FG (X. xv.). AG však je změrná a s AC dle délky nesouměřitelná, a tak rovněž AF, FG (X. xni). Tedy AI i FK jsou střední (X. xx.). Dále ježto DE je s EG dle délky souměřitelná, tedy rovněž DG je dle délky souměřitelná s DE i s EG. GD však je změrná a s AC dle délky nesouměřitelná; pročež i DE, EG jsou změrné a dle délky s AC nesouměřitelné; tedy DH, EK jsou útvary střední.   A ježto AG, GD jsou jen
b
N
k
	.j/
uí	
	f ;
	X
	T
r
O
ve dvojmoci souměřitelné, tedy AG je s GD nesouměřitelná dle délky. Avšak AG je dle délky souměřitelná s AF a DG s EG; pročež AF je s EG dle délky nesouměřitelná. Též AF: EG = AI: EK; tedy AI je s EK nesouměřitelné.
Zřiďme tedy čtverec LM=AI a oddělmež NO = FK o témž úhlu ako LM; pročež LM, NO jsou na téže úhlopříčce. Úhlopříčkou jejich jbudiž PB a útvar buď vyznačen. Ježto tedy AFXiFG = EG*, tedy AF: EG = EG : FG. Avšak AF: EG = AI: EK a EG :FG = EK: FK; proto též AI: EK= EK.FK; tedy AI, FK mají za střední úměrnou EK. Také však LM, NO mají za střední úměrnou MN (X. liii. výt.); i jest AI = LM a FK= NO; pročež i EK=MN. Avšak MN = LO a EK— DH; tedy DK= UVX-\-NO. Jest pak také AK = LMA-NO; tedy také zbývající AB = ST, t. j. LN*; pročež LN jest ve dvojmoci stejná s útvarem AB.
Pravím, že LN je střednicová úsečnice druhá.
Neboť, ježto bylo dokázáno, že AI, FK jsou střední a stejná s LP2, PN*, tedy střední jsou též LP*, PN*; pročež LP, PN jsou střední. A ježto AI je s FK souměřitelné, tedy též LP* jest souměřitelné s PN*. Dále, ježto bylo dokázáno, že AI je s EK nesouměřitelné, tedy rovněž LM jest nesouměřitelné s MN, t. j. LP* s LPXPN: a tím též LP je dle délky nesouměřitelná s PN; tedy LP, PN jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné.
Pravím ovšem, že" objímají též útvar střední.
Neboť, ježto bylo dokázáno, že jest EK střední a stejné s LPX PN, tedy rovněž LPXPN je střední; a tak LP, PN jsou střední jen ve dvojmoci souměřitelné a objímají útvar střední. Pročež LN je střednicová úsečnice druhá (X. lxxv.), a LN* — AB.
Tedy přímka ve dvojmoci stejná s útvarem AB je střednicová úsečnice druhá; což právě bylo dokázati.
XCIV.
D
E
F G
b
n
s
xí	T7
/ T	"v
r
M
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice čtvrtá, přímka ve d v oj moci s útvarem stejná jest nezměrná menší.
Nuže objímejtež útvar AB přímka změrná AC a úsečnice čtvrtá AD; pravím, že přímka ve dvojmoci s útvarem AB stejná jest nezměrná menší.
Nuže k AD příslušej DG; tedy AG, GD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a AG jest dle délky souměřitelná s danou změrnou AC, celá pak AG jest ve dvojmoci větší než příslušná DG o čtverec přímky s AG nesouměřitelné dle délky. Ježto tedy AG*> GD* o čtverec přímky s AG dle délky nesouměřitelné, proto
j k
když se k AG přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce DG*, tak, aby se
224
SIS
mu nedostávalo doplňku čtvercového, bude ji děliti v části nesouměřitelné (X. xvm.). Rozpolme tedy DG v E a k AG přistavmež útvar stejný s EG*, aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to AFxFG; tož jest AF s FG dle délky nesouměřitelná. Veďme tedy 2 bodův E, F, G přímky s AC, BD rovnoběžné EH, FI, GK. Ježto tedy AG je změrná a s AC dle délky souměřitelná, proto celé AK je změrné. Dále, ježto DG je s AC nesouměřitelná dle délky a obě jsou změrné, DK tedy je střední. Dále, ježto AF je s FG dle délky nesouměřitelná, proto též AI jest souměřitelné s FK. Zřiďme tedy čtverec LM = AI a oddělmež NO=FK o témž <$.LPM. Tedy čtverce LM, NO jsou na téže úhlopříčce. .Budiž úhlopříčkou jejich PB, a obrazec buď vyznačen. Ježto tedy AFX FG — EG*, proto AF:EG = EG • FG • avšak AF: EG — AI: E K a EG:FG = EK:FK; tedy AI, FK mají za* střední úměrnou EK. Rovněž pak mají LM, NO za střední úměrnou MN, také jest AI—LM a FK= NO; tedy též EK— MN. Avšak EK— DH a MN=LO; proto celé DK= UVXA-NO. Ježto tedy celé AK = LM-\-NO, z čehož DK^ UVX + NO, proto zbývající AB = ST, t. j. LN*; tedy LN jest ve dvojmoci stejná s útvarem AB.
Pravím, že LN jest nezměrná řečená menší.
Neboť, ježto AK je změrné a rovno čtvercům LP*A-PN*, tedy LPt+PN* je změrné. Dále, ježto DKje střední a DK=*2LPXPN, tedy 2LPXPN je střední. A jelikož bylo dokázáno, že Aľ je sřř nesouměřitelné, proto také čtverec LP* jest nesouměřitelný s PiV2. Tedy LP, PN jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, činíce součet čtverců změrný, dvojnásobný pak pravoúhelník střední. Pročež LN jest nezměrná řečená menší (X. lxxvi.), a LN* = AB.
Tedy přímka ve dvojmoci stejná s AB jest nezměrná menší; což právě bylo dokázati.
XCV.
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice pátá, přímka ve  dvojmoci  s  útvarem  stejná jest základ n i c e útvaru sezměrným celku střednímu rovného. Nuže cbjímejtež útvar AB přímka změrná AC a úsečnice pátá
AD; pravím, že přímka ve dvojmoci
A_ D B     F Q     s útvarem AB stejná jest základnice
útvaru se změrným celku střednímu rovného.
Nuže k AD příslušej DG; tedy AG, GD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a príslušná GD je dle délky souměřitelná s danou zmeral-JCr i \Q nou AC, celá pak AG jest ve dvojmoci větší než příslušná DG o čtverec přímky s AG nesouměřitelné. Když se tedy k AG přistaví útvar rovný JI ~              *M             čtvrtině čtverce DG*, tak aby se mu
nedostávalo doplňku čtvercového, bude ji děliti v části nesouměřitelné. Nuže rozpol me DG v bodě E a při-
fí
y  II p   j k
U;	-x/
/ t	x
stavme k AG útvar stejný s EG*, aby se mu nedostávalo doplnku čtvercového, a budiž to AFy^FG; tedy jest AF s FG dle délky nesouměřitelná. A ježto AG s CA je dle délky nesouměřitelná a obě jsou změrné, proto AK je střední. Dále, ježto DG je změrná a s AC dle délky souměřitelná, DK je změrné. Zřiďme tedy čtverec LM=AI a oddělmež NO=FK o témž <J LPM; proto jsou LM, NO na téže úhlopříčce. Budiž úhlopříčkou jejich PR a obrazec bud vyznačen. Podobně zajisté dokážeme, že LN* — AB.
Pravím, že LN jest základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného.
Neboť, ježto bylo dokázáno, že jest AK střední a rovno součtu LP°-A-PN*, tedy LP"--\-PN* je střední. Dále ježto DK je změrné a stejné s 2L/JXJW< i t0 )e změrné. A ježto AI je s FK nesouměřitelné, proto nesouměřitelné jest i LP* sPN*;^ tedy LP, PN jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a činí součet čtverců střední, dvojnásobný pak pravoúhelník změrný. Pročež zbývající LN jest nezměrná řečená základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného (X. lxxvii.) ; a LN* = AB.
Tedy přímka ve dvojmoci s útvarem AB stejná jest základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného; což právě bylo dokázati.
XCVI.
Když útvar objímají přímka změrná a úsečnice šestá, přímka ve dvojmoci s útvarem stejná jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Nuže objímejtež útvar AB přímka změrná AC a úsečnice šestá AD; pravím, že přímka ve dvojmoci s útvarem AB stejná jest základnice   útvaru  se  středním celku střednímu rovného.
Nuže k AD příslušej GD; tedy AG, GD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a žádná z nich není dle délky souměřitelná s danou změrnou AC, celá pak AG jest ve dvojmoci větší než příslušná DG o čtverec přímky s AG dle délky nesouměřitelné. Ježto tedy AG*~>GD* o čtverec přímky s AG dle délky nesouměřitelné, proto když se k AG přistaví útvar rovný čtvrtině čtverce DG*, tak aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, bude ji děliti v části nesouměřitelné (X. xvm.). Rozpolme tedy DG v £ a k AG přistavmež útvar stejný s EG*, aby se mu nedostávalo doplňku čtvercového, a budiž to AFxFG; tedy AF je s FG dle délky nesouměřitelná. A AF:FG —AI-.FK; pročež AI je s FK nesouměřitelné. A ježto AG, AC jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, AKje střední (X. xxi.). Dále ježto AC, DG jsou změrné a dle délky nesouměřitelné, také DK
15
F G
•S'
R
UÍ.-t	
	"x t
n „ r k
o
227
jo střední. Ježto tedy AG, GD jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, jest proto AG s GD dle délky nesouměřitelná. A AG: GD = AK: KD; pročež AK je s KD nesouměřitelné. Zřidme tedy čtverec LM = AI a oddělmež NO=FK o témž úhlu; tedy LM, NO jsou na téže úhlopříčce. Úhlopříčkou jejich budiž PR a budiž obrazec vyznačen.. Podobně zajisté jako svrchu dokážeme, že LN* = AB.
Pravím, že LN jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Neboť, ježto bylo dokázáno, že AK je střední a stejné s LP* -J-PN*, tedy LP*ArPN* je střední.' Ježto dále bylo dokázáno, že DK je střední a stejné s 2LPXPK, také 2 LPX^N je střední. A ježto shledáno bylo AK s DK nesouměřitelným, také součet LP*-\-PNl jest nesouměřitelný s 2LPxPN. A ježto AI je sM nesouměřitelné, tedy nesouměřitelné též LP* s IW*; pročež LP, PN jsou ve^ dvojmoci nesouměřitelné, činíce součet čtverců střední a dvojnásobný pravoúheiník střední a mimo to součet čtverců s dvojnásobným pravo-úhelníkem nesouměřitelný. Pročež LN jest ne'zmerná řečená základnice útvaru se středním celku střednímu rovného (X. lxxviii.); a LA2 — AB.
Tedy přímka ve dvojmoci s útvarem stejná jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného; což právě bylo dokázati.
LCVII.
Čtverec úsečnice přistavený ku přímce změrné šířkou činí úsečnici první.
Úsečnicí budiž AB. změrnou pak CD, a k CD buď přistaveno CE stejné s AB*, takže šířkou činí CF; pravím, že CF jest úsečnice první.
Nuže k AB příslušej BG; tedy AG, GB jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiii.). 1 přistavme k CD útvar CEt stejný s AG* a KL stejný s BG*. Tedy celé CL = AG* + GB*, z čehož CE = AB*; pročež zbývající FL = 2AGxGB. Rozpolmež FM v bodě N a z   N veďme NO  rovnoběžně s  CD;   tedy  FO — LN = AG X GB.
A ježto AG* + GL* je změrné a AG* + A       Ľ     G GB*=.DM, proto DM je změrné; a jest
i-1_i přistaveno ke změrné CD, šířkou činíc
CM;  tedy CM je změrná a s CD dle délky souměřitelná (X. xx.).  Dále, ježto K M   2AGX GB je střední (X. xxi) &2AGX GB = FL, tedy FL je  střední;  a jest přistaveno ke změrné CD, šířkou činíc _      FM; pročež FM je změrná a s CD dle D      E        O    H   L    délky nesouměřitelná (X. xxii.). A ježto
AG*A-GB* je změrné a 2AG X GB střední, tedy AG*+GB* je s 2AGxGB nesouměřitelné. A AG*A-GB* = CL, 2AGX GB = FL; proto DM je s nesouměřitelné. Avšak DM: FL — CM: FM; pročež CM" je s FM dle délky nesoumě-
n
řitelná. A obě jsou změrné; tedy CM, MF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; pročež CF jest úsečnice (X. lxxiii.). Pravím ovšem, že také první.
Neboť, ježto AG*, GB* mají za střední úměrnou AGxGB (X. xxr. výt.) a AG*=CH, BG* = KL, AG X GB — NL, tedy mají též Cfi, KL za střední úměrnou NL Pročež CH: NL= NL:KL. Avšak C H: NL = CK: MN a N L: KL = NM: KM; tedy CKx KM = NM* = t FM*. A ježto AG* je s GB* souměřitelné, také CH je s KL souměřitelné. Rovněž CH:KL— CK: KM; pročež CK je s KM souměřitelná. Ježto tedy CM, MF jsou dvě přímky nestejné a k CM je přistaven útvar CKx KM, rovný čtvrtině čtverce FM*, takže se mu nedostává -doplňku čtvercového, a CK jest souměřitelná s KM, tedy CMl>MF* o čtverec přímky s CM dle délky souměřitelné (X. x-vn.). A CM je dle délky souměřitelná s danou změrnou CD; pročež CF jest úsečnice první (vým. tř. č. 1.).
Tedy čtverec úsečnice přistavený ku přímce změrné šířkou činí úsečnici první; což právě bylo dokázati.
A
i—
B
-i—
G
XCVJII.
Čtverec střednicové úsečnice první přistavený ku přímce změrné šířkou činí úsečnici druhou.
Střednicovou úsečnicí první budiž AB, přímkou pak změrnou CD a k CD přistaven buď útvar CE, stejný s AB*, takže šířkou činí CF; pravím, že CF jest úsečnice druhá.
Nuže k AB příslušej BG; tedy AG, GB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné a objímají útvar změrný (X. LXXIV.). A k CD přistavmež útvar CH, stejný s AG*, takže šířkou činí CK, a KL stejný -s GB*, šířkou činící KM; celé tedy LC' = AG* + G B*; pročež i CL je strední. A jest přistaveno ke změrné CD, šířkou činíc CM; tedy CM je změrná a s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxii.). A ježto CL — AG*-\- GB*, z čehož AB*= CE; proto zbývající 2 AG X GB — FL. Avšak 2ÄGXGB je změrné; tedy FL je změrné. A přistaveno jest ke změrné FE, šířkou činíc FM; proto též EM je změrná a s CD dle délky souměřitelná (X. xx.). Ježto tedy AG*A-GB*, t. j. CL, je střední, avšak 2^4GX GB, i. j. FL, změrné,  proto  CL je s FL
nesouměřitelné. A CL: FL — CM: F M; tedy CM je s FM dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné;  pročež CM, MF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy CF jest úsečnice (X. lxxiii). Pravím ovšem, že také druhá.
Nuže rozpolme FM v N a z Ar veďme NO rovnoběžně s CD; tedy FO = NL —AGXGB. A ježto čtverce AG*, GB* mají za střední úměrnou AGXGB a AG* = CH, AGXGB —NL, BG'2 = KL, proto též CH, KL mají za střední úměrnou NL; tedy CH: NL= NL: KI^.
15*
C
N
km
I>
O     II L
228
Avšak CH: NL — CK: NM a NL : KL = NM: MK; pročež CK: NM = NM--KM; tedy CKx^.M — NM2, t. j. čtvrtině čtverce FM2. Ježto tedy CM, MF jsou dvě přímky nestejné a k delší CM přistaven útvar ckx KM, rovný čtvrtině čtverce MF1, takže se mu nedostává doplňku čtvercového, a dělí ji v části souměřitelné31), tedy CM2> MF2 o čtverec přímky s CM dle délky souměřitelné (X. xvn). A příslušná FM je dle délky souměřitelná s danou změrnou CD; pročež CF jest úsečnice druhá (vým. tř. č. 2.).
Tedy čtverec střednicové úsečnice první přistavený ku přímce změrné šířkou činí úsečnici druhou; což právě bylo dokázati.
a
K .1/
IC.
Čtverec střednicové úsečnice druhé přistavený ku příimce změrné šířkou činí úsečnici třetí.
Střednicovou úsečnici druhou budiž AB, přímkou pak změrnou CD a k CD přistaven bud útvar CE stejný s AB*, takže šířkou činí CF; pravím, že CF jest úsečnice třetí.
Nuže k AB příslušej BG; tedy AG, GB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné a objímají útvar střední (X. lxxv.). A k CD přistavmež útvar CM stejný s AG2, takže šířkou činí CK, a ke KH přistavmež útvar KL stejný s BO2, takže šířkou činí KM; celé tedy CL = AQ2ArGB2 (a AG2 + GB2 je střední);  pročež i CL je střední.
A přistaveno jest ke změrné CD, šířkou činíc CM; tedy CM je změrná a s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxnA A ježto celé CL = A02Ar GB2, z čehož CE = AB2, proto zbývající LF —2 AGXGB. Rozpolme tedy FMv bodě lYa s CD veďme rovnoběžku NO ; tož FO = NL = AG X GB. Avšak AGX OB je střední; střední tedy jest i FL. A jest přistaveno ke změrné EF, šířkou činíc FM; pročež i FM je změrná a dle délky s CD nesouměřitelná. A ježto AG, GB jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, tedy dle délky jest AG s GB nesouměřitelná; pročež také AG2 je s AG"x OB nesouměřitelné (X. xxi. výt). Avšak s AG2 souměřitelné jest AG'--\- GB2, AGX GB pak s 2AGXGB; tedy AG2ArGB2 je s 2AGXOB nesouměřitelné. Avšak AG2 -f GB2 = CL a 2 AG X GB = FL; pročež CL je s FL nesouměřitelné. A CL:FL = CM:FM; tedy CM je s FM dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné; pročež CM, MF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy CF jest úsečnice (X. lxxiii.). Pravím ovšem, že také třetí.
Neboť, ježto AG2 jest souměřitelné s GB2, souměřitelné tedy též CH s KL; a tak i CK s KM. A ježto AG'2, GB2 mají za střední úměrnou AGxGB a AG2 — CH, GB2 — KL, AG X GB = NL, tedy také CH, KL mají za střední úměrnou NL ; pročež CH: N L — NL :KL.
!1) Neboť A& je s BG'2 souměřitelné a AG2: GB-— CH: KL = CK: KM.
Avšak CH: N L = CA.': NM a NL: KL = NM: KM; tedy CK:MN = MN:KM; pročež CKX KM—MN2, t. j. jFM2. Ježto tedy CM, MF jsou dvě přímky nestejné a k CM jest přistaven útvar rovný čtvrtině čtverce FM2, takže se mu nedostává doplňku čtvercového a dělí ji v části souměřitelné, tedy CM2~>MF2 o čtverec přímky s Ci/souměřitelné. A žádná z přímek CM, MF" není dle délky souměřitelná s danou změrnou CD; pročež CF jest úsečnice třetí (vým. tř. č. 3).
Tedy čtverec střednicové úsečnice druhé  přistavený  ku přímce změrné šířkou činí úsečnici třetí; což právě bylo dokázati.
C
Čtverec přímky nezměrné menší přistavený ku přímce změrné šířkou činí úsečnici čtvrtou.
Nezměrnou menší budiž AB, změrnou pak CD a ke změrné CD přistavmež útvar CE stejný s A b2, šířkou činící CF; pravím, že CF jest úsečnice čtvrtá.
Nuže k AB příslušej BG; tedy AG, GB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a činí součet AG2 -f- GB2 změrný a 2 AG xGB střední {X. lxxvi.). I přistavme k CD CH stejné s AG2, šířkou činící CK, a KL stejné s GB2, šířkou činící KM; pročež celé CL = AG2 A- GB2. A AG2-\- GB2 je změrné; změrné tedy také CL. A přistaveno jest ke změrné  CD. šířkou  činíc  CM; pročež
i CM je změrná a dle délky s CD sou- a fí G
měřitelná (X. xx,).   A ježto celé CL— 1 1-1
AG2 -f- GB2, z čehož CE — AB'1; proto
zbývající   FL = 2 AG X GB.   Rozpolme    C_F____.V    K M
tedy FM v bodě N a z N veďme s CD nebo s ML rovnoběžnou NO ; tedy FO — AL = AGX GB.   A ježto 2 AGX GB je
střední a stejné s FL, tedy také FL je    /;       ,   E        O    H L střední.   A přistaveno jest k FE, šířkou
činíc FM; pročež FM je změrná a s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxti). A ježto AG2-\-GB2 je změrné a 2AGxGB střední, tedy AG2-\- GB2 je s 2 AG X GB nesouměřitelné. Avšak AG2 + GB2=CL a 2AGXGB — FĹ; pročež CL je s FL nesouměřitelné. A CL:FL — CM:FM; tedy CM je s MF nesouměřitelná dle délky. A obě jsou změrné; pročež CM, MF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné ; tedy CF jest úsečnice (X. lxxiii.). Pravím ovšem, že také čtvrtá.
Neboť, ježto AG, G li jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, tedy též AG2 je s Gb2 nesouměřitelné. A AG2—CH, GB2 — KL; pročež nesouměřitelné jest CH s KL. Avšak CH: KL = CK: KM; tedy CATje s KM dle délky nesouměřitelná. A ježto AG2, GB2 maií za střední úměrnou AGxGB a AG2—CH GB2—KL, AGX GB — NL, tedy CH, KL. mají za střední úměrnou NL; pročež CH: NL — NL: ICL. Avšak CH:NL—CK: NM a NL : K L — NM: KM; tedy CK: M N — M N: KM. Pročež CKX KM=MN2—^FM2. Ježto tedy CM, MFjsou dvě přímky nestejné a k CM jest přistaven útvar CKX KM stejný se | ALF2, takže
230
sa t
se mu nedostává doplňku čtvercového, a dělí ji v části nesouměřitelné, proto CM*>MF* o čtverec přímky s CM nesouměřitelné (X. xvni.). Acelá CMje dle délky souměřitelná se změrnou CD; pročež CF jest úsečnice čtvrtá (vým. tř. č. 4.).
Tedy čtverec přímky nezměrné menší atd.
s e ku
z m e r n ý m celku přímce   z rr. ě r n é
C
F
N    K M
CI
Čtverec základnice útvaru, střednímu rovného, přistavený šířkou činí ú s e č n i c i pátou.
Základnicí útvaru se změrným celku střednímu rovného budiž. AB, změrnou pak CD a k CD přistaven bud útvar CE stejný s AB*, šířkou činící CF; pravím, že CF jest úsečnice pátá.
Nuže k AB příslušej BO;  tedy přímky AG, GB jsou ve dvoj-moci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední, dvojnásobný pak pravoúhelník změrný (X. lxxvii.). A k ČD přistavmež útvar CFf stejný s AG- a KL stejný s GB-; celé tedy CL = AGiAr GB*. A součet AG*-\- GB'1 jest zároveň střední, pročež i CL je střední. I jest přistaveno ke změrné CD, šířkou činíc CM; tedy CM je změrná a s CD nesouměřitelná (X. xxii.). A ježto celé CL = AG*A-GB*, z čehož CE=AB*, proto zbývající FL —z 2 AG X GB.   Rozpolme tedy FM v A7 a vedme z N s CD nebo ML rovnoběžnou NO; pročež FO =zNL = AG X GB.   A ježto 2AGXOB je změrné a stejné s FL, tedy FL je změrné. A přistaveno jest ke změrné EF, šířkou činíc FM; pročež FM je změrná a s CD dle délky souměřitelná (X. xx.).   A ježto CL je střední, FL pak změrné; tedy CL je s FL nesouměřitelné. Avšak CL: FL — CM: FM; pročež CM je s MF nesouměřitelná. A obě jsou změrné ; CM, MF jsou tedy změrné,. jen ve dvojmoci souměřitelné;  pročež CF jest úsečnice. (X lxxiii.). Pravím ovšem, že také pátá.
Podobně zajisté dokážeme, že CKX KM— NM* = -\ FM- A ježto-AG* je s GB* nesouměřitelné a AQ*—Cti, GB* — KL, ledy CH je s KL nesouměřitelné. A CH: KL= CK:IíM': pročež CK je s KM dle délky nesouměřitelná. Ježto tedy CM, MF jsou dvě přímky nestejné a k CM přistaven jest útvar stejný se i-FM*, takže se mu nedostává doplňku čtvercového, a rozděluje ji v části nesouměřitelné, tedy CM*>MF* o čtverec přímky s CM nesouměřitelné (X. xvni.). A příslušná F M je s danou změrnou CD souměřitelná; tedy CF jest úsečnice pátá (vým. tř. č. 5.); což právě bylo dokázati.
D
E
O    II L
B G
CIL
Čtverec základnice útvaru se středním celku střednímu rovného přistavený kt změrné šířkou činí úsečnici šestou.
F
N    K M
d
E
o  n L
B G
Základnicí útvaru se středním celku střednímu rovného budiž AB, přímkou pak změrnou CD a k CD přistaven bud útvar CE stejný s AB*, takže šířkou činí CF; pravím, že CF jest úsečnice šestá.
Nuže k AB příslušej BG; tedy AG, GB jsouve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední a 2 AG X GB střední a AG*-\-GB* s 2AGx GB nesouměřitelné (X. lxxviii.). Nuže přistavme k CD útvar CH stejný s AG*, šířkou činící CK, a KL stejný s GB*; celé tedy CL — AG* + GB*; střední tedy také CL. A přistaveno jest ke změrné ČD, šířkou činíc CM; pročež CM je změrná a s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxn.). Ježto tedy CL=^AG*A- GB*, z čehož C£ = AB*, proto zbývající FL — 2 AGxGB. A 2AG X GB je střední; pročež i FL je střední. A přistaveno jest ke změrné FE, šířkou činíc FM; tedy FM je změrná a
s CD dle délky nesouměřitelná (X. xxn.). A ježto AG* A- GB* jest nesouměřitelné s 2 AG XGB a AG" + GB2 = CL, 2 AGX GB — FL ; proto CL je s FL nesouměřitelné. A CL:FL—CM:FM; tedy CM je s MF dle délky nesouměřitelná. A obě jsou změrné. Pročež CM^ MF jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy  CF jest úsečnice
(X. lxxiii.).
Pravím ovšem, že také šestá.
Nuže, ježto FL = 2AGXGB, rozpolmež FM v N a z N vedme NO rovnoběžně s CD; tedy FO = NL — AGX GB. A ježto AG, GB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, tedy AG* je s GB* nesouměřitelné. Avšak AG* — CH a GB*=KL; pročež CH je s KL nesouměřitelné. A CH: KL — CK: KM; tedy CK je s KM nesouměřitelná. A ježto AG", GB* mají za střední úměrnou AG XGB a AG'1 — CH, GB* = KL, AGXGB — NL; tedy rovněž CH, KL mají za střední úměrnou NL. Pročež CH: NL = NL: KL. A proto právě CM*>MF* o čtverec přímky s CM nesouměřitelné (X. xvin.). A žádná z nich není souměřitelná s danou změrnou CD; tedy CD jest úsečnice šestá (vým. tř. č. 6.); což právě bylo dokázati.
Clil.
Přímka s úsečnici "dle délky souměřitelná jest úsečnice a v pořadí táž. ■
Úsečnici budiž AB a s AB bud dle délky souměřitelnou CD; pravím, že i CD jest úsečnice a v pořadí táž jako AB.
Nuže, ježto AB jest úsečnice, příslušej k ní BE; AE, EBjsou tedy změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiii.). A učiňmež AB: CD — BF: DF; a jako člen ke členu, tak součet k součtu; tedy též celá AE: CF= AB: CD. Avšak AB je s CD dle délky souměřitelná, pročež také AE jest souměřitelná s CF a BE s DF. I jsou AE, EB změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy také CF, FD jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; (pročež CD jest úsečnice.
2,')2
181
Pravím ovšem, že také v pořadí táž jako AB). Ježto tedy AE:CF = BE: DF, proto střídavě AE: EB = CF: FD. Buďto zajisté AE*>EB"- o čtverec přímky s AE souměřitelné nebo
nesouměřitelné. Jestliže  tedy  AE* > EB* A B    E        o čtverec přímky souměřitelné, také bude
CF*>FD* o čtverec přímky s CF souměřitelné (X. xiv.).  A jestli AE souměřitelná
,_,_,    dle délky s danou změrnou, také CF, pakli
C D F  BE, také D F, pakli  žádná z přímek AE,
EB, také ani CF ani FD. Pakli Ah*>EB* o čtverec přímky s AE nesouměřitelné, také bude CF2^> FD* o čtverec nesouměřitelné. A jestli AE souměřitelná dle délky s danou změrnou, také CF, pakli BE, také DF, pakli žádná z přímek AE, EB, tož ani CF ani FD.
Tedy CD jest úsečnice a v pořadí táž jako AB; což právě bylo dokázati.
CIV.
Přímka se střednicovou úsečnicí souměřitelná je střednicová úsečnice a v pořadí táž.
Střednicovou úsečnicí budiž AB a s AB dle délky TC   souměřitelnou buď CD; pravím, že i CD je střednicová úsečnice a v pořadí táž jako AB.
Nuže, ježto AB je střednicová úsečnice, příslušej k ní EB;  tedy AE, EB jsou střední, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. lxxiv. n.). I učiňmež AB: CD= BE: FD; #4- souměřitelná tedy je též AE s CF a BE s DF. Avšak
AE,  EB jsou  střední, jen ve dvojmoci souměřitelné;' pročež i- CF, FD jsou střední, jen ve dvojmoci souměři-E telné; tedy CD je střednicová úsečnice.
Pravím ovšem, že také v pořadí je táž jako AB Ježto AE : EB = CF : FD (avšak AE: EB = AF?1: AEXEB a CF:FD=CF°-:CFXFD\ tedy též AE*: lF AE X FB = CF*: CFx FD (a střídavě AE*: ČF* = AEx EB: CFXFD). AE* však jest souměřitelné s CF*; proto též AExEB jest souměřitelné s CFxFD. Jestli tedy AEXEB změrné, změrné bude též CFXFD, pakli AEXEB střední, střední též CFXFD.
Tedy CD je střednicová úsečnice a v pořadí táž jako AB; což právě bylo dokázati.
CV.
Přímka s nezměrnou  menší souměřitelná jest nezměrná menší.
Nuže  bud nezměrnou  menší  AB a s AB souměřitelnou CD; pravím, že i CD jest nezměrná menší.
Nuže upravme totéž; a ježto AE, E B jsou ve dvojmoci nesouměřitelné, tedy ve dvojmoci nesouměřitelné jsou i CF, FD. Ježto tedy AE:EB — CF:FD, proto též AE*: EB* = CF*: FD*. Tedy součetně (AE*-\-EB*): EB* = (CF* -j- FD*): FD* (i střídavě); BE* však je s DF'1 souměřitelné ; pročež i AE* + EB* jest souměřitelné s C/''1 4-FD"-.   Avšak AE* 4- EB* je změrné, změrné je tedy též ... CF* -\-FD*. Dále, ježto AE*: AEX EB = CF*: CFX VD Ť" a AE* je s CF* souměřitelné,  tedy též AExEH jest souměřitelné  s  CFxFD.   AExEB však je  střední -E (X. lxxvi.), střední tedy také CFXFD; Proto CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je změrný, pravoúhelník pak střední.
Tedy CD jest nezměrná menší (X. lxxvi.) ; což právě bylo dokázati.
CVI.
Přímka se základ n icí útvaru, se z měrným celku střednímu rovného, souměřitelná jest základnice útvaru se z měrný m celku střednímu rovného.
Základnicí útvaru se změrným  celku střednímu rovného budiž AB a s AB souměřitelnou CD; pravím, A že i CD jest základnice  útvaru   se  změrným celku •střednímu rovného.
Nuže k AB příslušej BE; tedy AE, EB jsou ve •dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich AE*A-EB* je střední, pravoúhelník pak změrný (X. fixxvn.). B A upravme totéž. Podobně zajisté jako dříve (X. cv.) dokážeme, že CF: FD == AE: EB a že souměřitelné /> jest AE'1 -f EB* s CF* -f FD* a AEX FB s CFX FD ; a tak i CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a CF*-\-FD* je střední, CFXFD však změrné.
Tedy CD jest základnice útvaru  se změrným celku střednímu rovného; což právě bylo dokázati.
C VII.
Přímka se základnicí útvaru, se středním celku střednímu rovného, souměřitelná i sama jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Základnicí útvaru se středním celku střednímu rovného budiž AB a s AB budiž souměřitelnou CD; pravím, že i CD jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Nuže k AB příslušej BE a budiž upraveno totéž; tedy AE, EB jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich je střední i pravoúhelník střední a také součet čtverců jejich s tím pravoúhelníkem nesouměři-
!Í4
A C
b
lE
23 i
telný (X. Lxxvm.). A jak bylo dokázáno (X. civ.), jsou AE, EB souměřitelné s C F, FD a AE*A-EB* s CF*A-FD* a AE X FB s CFX FD; pročež i CF, FD jsou ve dvojmoci nesouměřitelné a součet čtverců jejich střední i pravóúhelník střední a také součet čtverců jejich s tím pravoúhelníkem nesouměřitelný.
Tedy CD jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného ; což právě bylo dokázali.
A
E B
C
D,
G
CVIII.
Oddělíme-li od útvaru změrného střední, přímka ve dvojmoci útvaru zbývajícímu rovná jest jedna ze dvou nezměrných, buď úsečnice nezměrná menší.
Nuže oddělmež od útvaru změrného BC střední BD; pravím, že přímka ve dvojmoci rovná útvaru zbývajícímu EC jest jedna ze dvou
nezměrných, bud úsečnice bud nezměrná menší.
Nuže mějme přímku změrnou l'G a k FG přistavme pravoúhlý rovnoběžník GH stejný s BC a oddělme G K stejné s DB; pročež zbývající EC — LH. Ježto tedy BCje změrné, BD však střední a BC = GH, BD = GK, tedy GII je změrné a GK střední. A přistavena jsou ke změrné FG; pročež FH je změrná a s FG dle délky souměřitelná (X. xx.), FK pak změrná a s FG dle délky nesouměřitelná (X. xxii.); tedy FH je s FK dle délky nesouměřitelná (X. xiii.). Proto FH, FK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy KH jest úsečnice a k ní přísluší KF (X. lxxiii ). Buďto zajisté HF* > FK'1 o čtverec přímky souměřitelné nebo nikoliv.
Budiž větší dříve o čtverec souměřitelné. I jest celá HF s danou změrnou FG dle délky souměřitelná; tedy KH jest úsečnice první (vým. tř. č. 1.). Přímka však ve dvojmoci stejná s útvarem, jejž objímají přímka změrná a úsečnice první, jest úsečnice (X. xci.). Tedy přímka ve dvojmoci stejná s ĹH, t. j. s EC, jest úsečnice.
Pakli HF*y>FK* o čtverec přímky s HF nesouměřitelné a celá FH je s danou změrnou FG dle délky souměřitelná, KH jest úsečnice čtvrtá (vým. tř. č. 4.). Přímka pak ve dvojmoci stejná s útvarem, jejž objímají přímka změrná a úsečnice čtvrtá, jest nezměrná menši (X. xciv.); což právě bylo dokázati.
K
CIX.
Oddělíme-li od útvaru středního změrný, jinévzni-kajídvě přímky nezměrné, buďto střednicová úsečnice první nebo základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného.
tu
k ii
G
Nuže oddělmež od útvaru středního BC zmčmý BD; pravím, £• přímka ve dvojmoci stejná se zbytkem EC jest jedna ze dvou I\tm změrnýcb, buďto střednicová úsečnice první nebo zák!«dnäea útViľU se změrným celku střednímu rovného.
Nuže mějme přímku změrnou FG a přistavmež útvary podobnS. Stejně zajisté jest FH změrná a dle délky s FG nesouměřitelná a KF změrná a dle délky s FG souměřitelná; tedy FH, FK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné (X. xm.); pročež KH jest úsečnice (X. lxxiii.) a k ní přísluší FK. Buďto zajisté HF* > FK" o čtverec přímky s HF souměřitelné nebo nesouměřitelné.
Jestli tedy HF'1 > FK'1 o čtverec souměřitelné a příslušná FK je dle délky s danou změrnou FG souměřitelná, KH jest úsečnice druhá (vým. tř. č. 2). Avšak FG změrná; tedy přímka ve dvojmoci stejná s LU., t. j. s EC, je střednicová úsečnice první (X. xoii.).
Pakli HF* > FIC- o čtverec nesouměřitelné a příslušná FK je dle délky s danou změrnou FG souměřitelná, KH jest úsečnice pátá (vým. tř. č. 5.);  pročež přímka^ ve dvojmoci stejná s EC jest základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného (X xcv.); což právě bylo dokázati.
CX.
Oddělíme-li od útvaru středního střední, s celkem nesouměřitelný, vznikají dvě ostatní přímky nezměrné, buďto střednicová úsečnice druhá nebo základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Nuže  oddělmež jako v dosavadních  vyobrazeních  od útvaru středního BC střední BD, s celkem nesouměřitelný; pravím, že přímka, ve dvojmoci s EC stejná jest jedna ze dvou nezměrných, buďto střednicová úsečnice  druhá nebo základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.
Neboť ježto BC, BD jsou střední (a BC s BD jest nesouměřitelné), stejně budou FH, FK změrné a s FG dle délky nesouměřitelné (X. xxii.). A ježto BC je s BD, t j. GH s GK, nesouměřitelné, také HF je s FK nesouměřitelná; tedy FH, FK jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné ; pročež KH jest úsečnice
(X. lxiii.) (a k ní přísluší FK. Buďto zajisté FH* > FK* o čtverec přímky s FH souměřitelné nebo nesouměřitelné).
K H
B
E
D   C G
23«
A jestli ovšem FH* >- FK* o čtverec přímky s FH souměřitelné a žádná z přímek FH, FK není dle délky souměřitelná s danou změrnou FG, KH jest úsečnice třetí (vým. tř. č. 3.). KL však je změrná, a pravoúhelník, jejž objímají přímka změrná a úsečnice třetí, jest nezměrný a přímka ve dvojmoci jemu rovná nezměrná jest, i slově střednicová úsečnice druhá (X. xcni.); a tak i přímka ve dvojmoci s LH, t. j. s EG, stejná je střednicová úsečnice druhá.
Pakli FH*>FK* o čtverec nesouměřitelné a žádná z přímek HF, FK není s FG dle délky souměřitelná, KH jest úsečnice šestá (vým. tř. č. 6.). Přímka pak ve dvojmoci stejná s útvarem, jejž objímají přímka změrná a úsečnice šestá, jest základnice útvaru se středním celku střednímu rovného (X. xovi.). Tedy přímka ve dvojmoci stejná s LH, t. j. s EC, jest základnice útvaru sě středním celku střednímu rovného; což právě bylo dokázati.
CXT.
Úsečnice není stejná s dvou'částnicí. Usečnicí budiž AB; pravím, že AB není stejná s dvoučástnicí. Nuže, možno-li, budiž; i dána buď změrná DC a k CD přistavme pravoúhelník CE stejný s AB'1, šířkou činící DE   Ježto tedy AB jest úsečnice, DE jest úsečnice první (X. xcvn.). K ní příslušej EF; tedy DF, FE jsou změrné, jen ve dvojmoci  souměřitelné, a DF* > FĚ*
o čtverec přímky s DF souměřitelné a DF je dle délky souměřitelná s danou změrnou DC (vým. tř. č. 1.). Dále, ježto AB je dvou-částnice, DE je tedy dvoučástnice první (X. lx.). Rozdělena bud ve své části v G a větší částí buď DG ; proto DG, GE jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné, a DG*y GE* o čtverec přímky s DG souměřitelné a větší část DG je dle délky souměřitelná s danou změrnou DC (vým. dr. č. 1.). Tedy také DF je d'e délky souměřitelná s DG; pročež i zbývající GFjest souměřitelná dle délky s DF. (Ježto tedy DF jest souměřitelná s GF a DF je změrná, proto jest i GF změrná. Ježto tedy DF je dle délky souměřitelná s GF) a DF je dle délky nesouměřitelná s EF; nesouměřitelná tedy dle délky s EF jest i FG. Pročež GF, FE jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné; tedy EG jest úsečnice. Avšak i změrná; což právě jest nemožné.
Tedy úsečnice není stejná s dvoučástnicí; což bylo dokázati.
Úsečnice a přímky nezměrné od ní odvozené nejsou ani se střednicí ani vespolek stejné. Neboť čtverec střednice, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí přímku změrnou a s tou, k níž jest přistaven, dle délky nesouměřitelnou (X. xxn.); čtverec pak úsečnice, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí úseěnici první (X. xcvii.) ; a čtverec střed-
Iftf
nicové úsečnice, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí úsečnici druhou (X. xcviii.) ; a čtveiec střednicové úsečnice druhé, přistaven Jiä k t změrné, šířkou činí úsečnici třetí (X. xcix.); čtverec pak nezmirné menší, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí úsečnici čtvrtou (X. c.); čtverec pak základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí úsečnici pátou (X. Ol.); a čtverec základnice útvaru se středním celku střednímu rovného, přistaven jsa ke změrné, šířkou činí úsečnici šestou (X. en.). Ježto tedy řečené šířky jak od první tak i navzájem se liší, od první, jelikož to přímka změrná, navzájem pak, ježto nejsou v pořadí tytéž, patrno, že i samy přímky nezměrné navzájem se liší. A ježto bylo dokázáno, že úsečnice není stejná s dvoučástnicí, a přímky od úsečnice odvozené, přistaveny jsouce ke změrné. šířkami činí úsečnice, každá dle svého pořadí, přímky pak od dvoučástnice odvozené činí dvoučástnice i samy dle svého pořadí; jedny tedy jsou odvozeninami úsečnice a druhé odvozeninami dvoučástnice, takže všech nezměrných přímek je v pořadí třináct:
1. střednice,
2. dvoučástnice,
3. dvoustřednice první,
4. dvoustřednice druhá,
5. nezměrná větší,
6. základnice útvaru změrného a středního,
7. základnice dvou útvarů středních,
8. úsečnice,
9. střednicová úsečnice první,
10. střednicová úsečnice druhá,
11. nezměrná menší,
12. základnice útvaru se změrným celku střednímu rovného,
13. základnice útvaru se středním celku střednímu rovného.*)
Kniha jedenáctá. Výměry.
Q 1. Těleso jest, co má délku a šířku a výšku. 0 2. Hranicí pak tělesa plocha.
3. Přímka jest na rovině kolmo, když se všemi přímkami, s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině, tvoří úhly pravé.
4. Rovina jest na rovině kolmo, když přímky v jedné z rovin, vedené kolmo na společnou průsečnici rovin, jsou na druhé rovině kolmo.
5. Sklonem přímky k rovině jest, když se od vyvýšeného konce přímky spustí na rovinu kolmice a od paty její k patě přímky na rovině se vede spojnice, úhel sevřený spojnicí a přímkou vztýčenou.
*) Dále jsou ve vyd. Heibg. ještě poučky CX1I.—CXV., nepochybně dodavek cizí.
2:?s
7.
8.
9.
10.
11.
* 12, «• 13.
'j 14.
15,
16,
17,
*^ 18.
19,
20.
o 21.
22,
23,
24,
í-25. «26.
Sklonem roviny k rovině jest úhel sevřený kolmicemi v obou rovinách vedenými k témuž bodu na společné průsečnici. Pravíme, že jest rovina k rovině stejně skloněna jako jiná k jiné, když jsou řečené úhly sklonů navzájem sobě rovny. Rovnoběžné jsou roviny nesbíhavé.
Podobny jsou útvary tělesové omezené podobnými rovinami, na počet stejnými.
Stejné pak i podobné (shodné) jsou útvary tělesové omezené rovinami podobnými, stejnými počtem i velikostí. Tělesový úhel je sklon více než dvou čar navzájem se stýkajících, a to v netéže ploše, ke všem těm čarám.*) Jinak: tělesový úhel jest úhel sevřený více než dvěma úhly rovinnými, v netéže rovině jsoucími, v jednom bodě vrcholícími.
Jehlan jest útvar tělesový omezený rovinami od jedné roviny k jednomu bodu se sbíhajícími.
Hranol jest útvar tělesový omezený rovinami, z nichž dvě protější jsou stejné i podobné a rovnoběžné, ostatní pak rovnoběžníky.
Koule jest útvar omezený tím, že sc kolem pevného průměru polokruhu polokruh otočí, až se opět vrátí na totéž místo, odkud se počal otáčeti.
Osou koule jest ona přímka pevná, kolem níž se polokruh otáčí (14.).
Střed koule je týž jako polokruhu (14.).
Průměrem pak koule jest nějaká přímka vedená středem a na obou stranách zakončená povrchem koule.
Kužel jest útvar omezený tím, že se trojúhelník pravoúhlý otočí kolem pevné jedné ze stran pravý úhel svírajících, až se opět vrátí na totéž místo, odkud se počal otáčeti. A když pevná přímka se rovná druhé při úhlu pravém se otáčející, kužel bude pravoúhlým, pakli je menší, tupoúhlým, pakli větší, ostroúhlým.**) Osou kužele jest pevná přímka, kolem níž se otáčí ten trojúhelník (18,).
Základnou pak kruh rýsovaný otáčenou přímkou (18.), . Válec jest útvar omezený tím, že se rovnoběžník pravoúhlý otočí kolem pevné jedné ze stran rovnoběžníku pravý úhel svírajících, až se opět vrátí na totéž místo, odkud se počal otáčeti. Osou válce jest pevná přímka, kolem níž se otáčí ten rovnoběžník (21.).
Základnami pak jsou kruhy rýsované pohybem dvou přímek protějších (21.).
Podobny jsou kužele a válce, které mají úměrné osy a průměry základen.
Krychle jest útvar tělesový omezený šesti stejnými čtverci. Osmistěn jest útvar tělesový omezený osmi trojúhelníky stejnými a stejnostrannými.
27. Dvacetistěn jest útvar tělesový omezený dvaceti trojúhelníky Stejnými a stejnostrannými.
•28. Dvanáctistěn jest útvar tělesový omezený dvanácti pětiúhelníky stejnými a stejnostrannými i stejnoúhlými.
I.
Není možno, by nějaká část přímky byla na roviněpoložené, nějaká pak část na zvýšené.
Nuže bud, možno-li, nějaká část AB přímky ABC na rovině položené a nějaká část BC na zvýšené.
Bude tedy nějaká přímka s přímkou AB nepřetržitě v přímce na rovině položené. Bud to BD; dvou tedy přímek ABC, ABD společnou úsečkou jest AB; což práve'nemožno, jelikož průměry, když ze středu B a rozpětím AB narýsujeme kruh1), zaberou nestejné oblouky kruhu.
Tedy není možno, by nějaká část přímky
II.
Když se dvě přímky navzájem proti nají, jsou v jediné rovině, a každý trojúhelník jest v jediné rovině.
Nuže protínejte se navzájem přímky AB, CD v bodě E; pravím, že AB, CD jsou v jediné rovině a každý trojúhelník jest v jediné rovině.
Nuže vytkněme na EC, EB nahodilé body F, G a veďme spojnice CB, FG a protněme je přímkami FH, GK; pravím nejprve, že /\ ECB jest v jediné rovině. Neboť jestli část trojúhelníku ECB, buď FHC nebo GBK, v rovině položené, ostatek pak v jiné, také nějaká ■část přímky EC nebo EB bude v rovině položené, druhá pak v jiné; pakli část
FCBG trojúhelníku ECB jest v rovině položené, ostatek pak v jiné, také nějaká část přímky EC i EB bude v rovině položené, druhá pak v jiné; což dokázáno nesmyslným (XI. i.). Tedy /\ECB jest v jediné rovině. Ve které však je /\ECB, v té také EC i EB; ve které však EC i EB, v té též AB, CD. Pročež přímky AB, CD jsou v jediné rovině i každý trojúhelník jest v jediné rovině; což právě bylo do-kázati.
*) Snad od některého Eukleidova předchůdce, **) Hledí se k úhlu v temeni.
*) Totiž v rovině ACD, oblouk AC je menší, obi. ACD větší.
240
III.
Když se dvě roviny navzájem  protínají, společný průsek jejich jest přímka.
Nuže protínejte se navzájem roviny AB, BC a společným průsekem jejich budiž čára DB; pravím, že čára DB je přímka.
Nuže, není-li, spojme D a B v rovině AB přímkou DEB a v rovině BC přímkou DFB. Budou míti zajisté obě přímky DEB a DFB společné konce a budou patrně objímati plochu ; což právě nesmyslné. Tedy DEB, DFB nejsou přímky. Podobně zajisté dokážeme, že ani žádná jiná z D do B vedená čára nebude pnmka kromě DB, společného to průseku rovin AB, BC.
Když se tedy dvě roviny navzájem protínají, společný průsek jejich je přímka; což právě bylo dokázati.
IV.
Když se postaví přímka na přímky dvě navzájem se protínající ve společném průseku kolmo, i na jejich2) rovině bude kolmo.
Nuže budiž z E vztýčena nějaká přímka EF na dvou přímkách AB, CD navzájem v bodě i? se protínajících kolmo; pravím, že EF
jest kolmo i na rovině přímek AB, CD.
Nuže odřízněmež úsečky navzájem stejné AE, EB, CE, ED a veďme bodem E jakkoli přímku GEH a spojnice AD, CB a ještě z nahodilého bodu F3) veďme spojnice FA, FG, FD, FC, FH, FB. A ježto dvě strany AE, ED jsou stejné s CE, EB a svírají stejné úhly (vrcholové), tedy základna AD=CB a bude /\ AED = CEB; a tak i^.DAE—EBC. Také všakAEG = BEB. Oba zajisté trojúhelníky AGE, BEH mají po dvou úhlech střídavě stejných a po jedné straně stejné při stejných úhlech, t. AE = EB; pročež i ostatní strany budou míti s ostatními stranami stejné. Tedy G E = EH, AG—BH. A ježto AE — EB, společnou pak kolmice FE, tedy základna FA = FB. Z téže příčiny ovšem i FC = FD. A ježto AD=CB a též FA = FB, jest zajisté po dvou stranách, FA, AD a FB, BC, střídavě stejných; také dokázáno, že základna FD = FC; pročež i ^.FAD—FBC. A ježto dále bylo dokázáno, že AG=BH, avšak zajisté i FA — FB; obě tedy FA, AG jsou s FB, Bil střídavě
2) Eukl. Ttp 81 kůtov éranéSíp, na rovině jimi proložené. *) Ovšem na Kolmici EF, třebas i prodloužené
141
stejné. Také dokázáno, že <$.FAG~FBH; tedy základna FGeaFH. A ježto dále bylo dokázáno, že GE = EH, společnou pak EF, Obi zajisté GE, EF jsou střídavě stejné s HE, EF; i základna FG — FH\ pročež GEF= HEF. Tedy GEF=HEF= R. Proto FE^n& EE, nahodile bodem E vedené, jest kolmo. Podobně zajisté dokážeme, ŽB FE i se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v položené rovině bude činiti úhly pravé. Přímka pak jest na rovině kolmo, když se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v téže rovině činí úhly pravé; tedy FE stojí na položené rovině kolmo. Položená pak rovina je ta, jež proložena přímkami AB, CD. Tedy FE jest na rovině přímek AB, CD kolmo.
Když se tedy postaví přímka na přímky dvě navzájem se protínající ve společném průseku kolmo, i na jejich rovině bude kolmo; což právě bylo dokázati.
V.
Když se přímka na třech přímkách navzájem se stýkajících ve společném průseku postaví kolmo, ty tři přímky jsou v jediné rovině.
Nuže postavme nějakou přímku AB na třech přímkách BC, BD, BE ve styčném bodě B kolmo ; pravím, že BC, BD, BE jsou v jediné rovině.
Nuže nebuďte, nýbrž, možno-li. buďte BD, BE v rovině položené, BC však ve zvýšené, a proložme přímkami AB, BC rovinu; bude zajisté společným průsekem v položené rovině přímka (XI. iu). Budiž jí BF. Pročež jsou v jediné rovině, proložené přímkami AB, BC, tři přímky AB, BC, BF. A ježto AB jest na BD i BE kolmo, tedy jest AB kolmo také na rovině přímek BD, BE. Rovina pak přímek BD, BE jest položená; pročež AB jest kolmo na rovině položené. A tak i se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v té položené rovině činiti bude AB pravé úhly. Stýká pak se s ní BF, jsouc v rovině položené; tedy ABF— R. Dáno však, že též ABC=R; pročež <íABF = ABC. A jsou v jediné rovině4); což právě jest nemožné. Tedy přímka BC není v rovině zvýšené; pročež tři přímky BC, BD, BE jsou v jediné rovině.
Když se tedy přímka ■--5).
VI.
Když jsou dvě  přímky  na téže  rovině  kolmo, ty přímky budou rovnoběžné.
") Totiž ABFC.
Slova ze záhlaví tuto se opakují s dodavkem, >což právě bylo dokázati*.
16
242
148
na položené rovině kolmo;
veďme DE=
rovině
Nuže buďte dvě přímky AB, CD pravím, že AB\\CD.
Nuže sbíhejte se s položenou rovinou v bodech B, D, i spojnici BD a zřiďme na položené rovině DE \_BD a budiž
AB a veďme spojnice BE, AE, AD A ježto AB jest na položené kolmo, také se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v položené rovině bude činiti úhly pravé. Stýkají pak se s AB i BD i BE, jsouce v položené rovině; pročež <f.ABD= ABE= R. Z téže příčiny ovšem i C DB =■ CDE= R. A ježto AB — DE a společnou BD, obě zajisté strany AB, BD jsou střídavě stejné s ED, DB, a svírají úhly pravé; tedy základna AD = BE. A ježto AB — DE, avšak téžAD = BE, obě zajisté AB, B E jsou střídavě stejné s ED, DA; a základna jejich AE je společná; tedy -^.ABE = EDA. Avšak ABE = R, pročež i ~$.EDA = R; tedy jest E D J_ D A Je však kolmo též na BD i DC; tedy ED stojí kolmo na třech přímkách BD, DA, DC v bodě styčném. Pročež tři přímky BD, DA, DC jsou v jediné rovině (XI. v.). Ve které však jsou DB, DA, v té také AB, neboť každý trojúhelník jest v jediné rovině; jsou tedy přímky AB, BD, DC v jediné rovině. A <$.ABD, BDC jsou pravé; pročež AB j| CD (I. xxviix.). Když jsou tedy dvě přímky--
VII.
Když jsou dvě přímky rovnoběžné a vytkne se na Obou po nahodilém bodě, spojnice těch bodů je v téže rovině jako ty rovnoběžky.
Dvěma přímkami rovnoběžnými budtež AB, CD, a vytkněme na
obou nahodilé body E, F; pravím, že B    spojnice bodův E, F je v téže rovině jako ty rovnoběžky.
Nuže nebuď, nýbrž, možno-li, budiž ve zvýšené jako EGF, a veďme přímkou EGF rovinu; průsekem zajisté činiti bude v rovině položené přímku (XI. ni.). Buď
_ jí EF; a tak dvě přímky EGF, EF budou
€ FD   objímati plochu ; což právě jest nemožné.
Tedy spojnice bodův E, F není v rovině zvýšené; pročež přímka body E, F spojující jest v rovině rovnoběžek AB, CD.
Když jsou tedy dvě přímky rovnoběžné--
VIII.
K d y ž j s o u dvě přímky rovnoběžné a jedna z nich jest na nějaké rovině kolmo, i zbývající bude na téže rovině kolmo.
E
Dvěma přímkami rovnoběžnými budtež ÁB,CD, jedna pftk 2 fllch, AH, buď na položené rovině kolmo; pravím, že také zbývající OD bude na téže rovině kolmo.
Nuže stýkejte se AB, CD s rovinou položenou v bodech B, D, a veďme spojnici BD; tedy AB, CD, BD jsou v jediné rovině (XI. vn.). Veďme k BD v položené rovině kolmici DE a buď DE = AB a vedme spojnice BE, AE, AD. A ježto AB jest na rovině položené kolmo, tož i na všech přímkách s ní sé stýkajících a jsoucích v položené rovině jest AB kolmo; pročež ABD — ABE = R. A ježto přímka BD prochází rovnoběžkami AB, CD, tedy ^ ABD + CDB = 2 R. ABD však jest úhel pravý; pročež i CDB jest pravý; tedy CD \_BD. A ježto AB = DE, společnou pak BD, obě zajisté AB, BD jsou s ED, DB střídavě stejné a <£ ABD = EDB, neboť jsou oba pravé; tedy základna AD = BE. A ježto AB-DE a BE==. AD, obě zajisté AB, BE jsou střídavě stejné s ED, AD a základnou jejich společnou AE; pročež ^.ABE — EDA. ABE však jest pravý, pravý tedy též EDA; tedy ED j_AD. Avšak jest kolmo též na DB; pročež ED jest kolmo i na-rovině přímek BD, DA. Také tedy se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině BDA bude činiti ED úhly pravé. Avšak v rovině BDA jest DC, jelikož právě v rovině BDA jsou AB, BD, & ve které AB, BD, v té jest i DC. Tedy ED \_DC; a tak i CD J_ DE. Avšak i CD \_BD. Pročež CD stojí na dvou přímkách DE, DB, navzájem se protínajících, v průseku D kolmo; a tak CD jest kolmo též na rovině DE, DB. Rovina pak přímek DE, DB jest položená; pročež CD jest na rovině položené kolmo.
Když jsou tedy dvě přímky rovnoběžné — —
IX.
Přímky s touž přímkou rovnoběžné, ikdyž s ní nejsou v téže rovině, také navzájem jsou rovnoběžné.
Nuže budtež AB, CD rovnoběžné s EF, nejsouce s ní v téže rovině; pravím, že AB\\CD.
Nuže vytkněme na EF nahodilý bod G a v něm na rovině přímek EF, AB vedme k EF kolmici GH, v rovině pak přímek FE, CD vedme opět k EF kolmici GK. A ježto EF jest na GH i G K kolmo, tedy .£Fjest kolmo též na rovině přímek GH, GK (XI. iv.). A EF 11 AB; pročež také AB jest kolmo na rovině HGK (XI. vin.). Z téže příčiny ovšem i CD jest kolmo na rovině hGK; tedy AB i CD jsou na
16*
244
Ml
rovině HGK kolmo. Když pak jsou dvě přímky na téže rovině kolmo, ty přímky jsou rovnoběžné (XI. ví.); pročež AB || CD; což právě bylo dokázati.
X.
Když dvě přímky navzájem se stýkající jsou rovnoběžné se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími a nejsou s nimi v téže rovině, budou svírati stejné úhly.
Nuže buďte dvě přímky navzájem se stýkající AB, BC rovnoběžné se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími DE, EF a nebuďte
s nimi v téže rovině; pravím, že <žLABC — DEF.
Nuže vezměme BA, BC a ED, EF střídavě za stejné a veďme spojnice AD, CF, BE, AC, DF. A ježto BA = ED a jsou rovnoběžné, též AD je s RE stejná a rovnoběžná (I. xxxiii.). Z téže příčiny ovšem i CF je s BE stejná a rovnoběžná; tedy AD, CF jsou s BE stejné i rovnoběžné. Přímky pak s touž přímkou rovnoběžné, byť i nebyly s ní v téže rovině, jsou i navzájem rovnoběžné (XI. ix.); pročež AD je s CF rovnoběžná a stejná. A stýkají se s nimi AC, DF; tedy též AC je s DF stejná i rovnoběžná. A ježto obě strany AB, BC jsou s DE, EF střídavě stejné i základna AC = DF, proto     ABC —DEF.
Když tedy dvě přímky navzájem se stýkající--
XI.
Z daného bodu zvýšeného spusť na danou rovinu kolmici.
Daným bodem zvýšeným budiž A, danou pak rovinou položená; má se tedy z bodu A na položenou rovinu spustiti kolmice.
Nuže veďme v položené rovině nějakou nahodilou přímku BC a z bodu A zřiďme na BC kolmici AD (I. xn). Jestli tedy AD kolmo i na položené rovině, byl by úkol vykonán. Pakli ne, veďme z bodu D na položené rovině k BC kolmici DE a veďme z A k DE kolmici /IF a bodem F veďme OH rovnoběžně s BC
A ježto BC jest na DA i DE kolmo, ' tedy BC jest i na rovině EDA kolmo. -A s ní rovnoběžná jest OH; když pak jsou   dvě přímky   rovnoběžné   a jedna
z nich jest na nějaké rovině kolmo, i zbývající na téže rovině bude kolmo (XI. vin.); pročež i OH jest kolmo na rovino přímek ED, DÁ, I na všech tedy přímkách s ní se stýkajících a jsoucích v rovlnl přímek ED, DA jest GH kolmo. Stýká však se s ní AF, jsouc V rovině přímek ED, DA; pročež GH jest na FA kolmo; a tak i FA I HG. Také však AF _j_ DE; tedy AF jest kolmo na GH i DE. Kdýl pak se postaví přímka na dvě přímky navzájem se stýkající ve styčném bodě kolmo, také na jejich rovině bude kolmo. Tedy FA jest kolmo na rovině přímek ED, GH. Rovina pak přímek ED, G H jest rovin* položená; pročež AF jest na položené rovině kolmo.
Z daného tedy bodu zvýšeného A spuštěna jest na položenou rovinu kolmice AF; což právě bylo vykonati.
b
li
XII.
Vztyč na dané rovině  z  daného  na ní bodu k m i c i.
Danou rovinou budiž rovina položená a bodem na ní bud* má se tedy z bodu A na položené rovině vztýčiti kolmice.
' Mysleme si nějaký zvýšený bod Be) & z B spusťme na položenou rovinu kolmici BC (XI. xi.) a z bodu A veďme AD rovnoběžně s BC.
Ježto tedy dvě přímky AD, GB jsou rovnoběžné a jedna z nich BC jest na položené rovině kolmo, proto i zbývající AD jest na položené rovině kolmo (XI. vin).
Tedy jest na dané rovině z bodu na ní A vztýčena kolmice AD; což právě bylo vykonati.
Ol-
A)
XIII.
V t é m ž b o d e n a t é z e rovine mek kolmo na téže straně.
Nuže, možno-li, buďte v témž bodě A na položené rovině postaveny na téže straně přímky dvě AB, AC a proložme přímkami AB, AC rovinu; průsekem zajisté bodem A v položené rovině činiti bude přímku. BudjíDAE; tedy AB, AC, DAE jsou v jediné rovině. A ježto CA jest na položené rovině kolmo, tedy též se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v položené rovině bude činiti pravé úhly. Stýká pak se s ní DAE, jsouc v položené rovině; proto <£CAE = R
nepostavíš dvou pří-
Z téže příčiny ovšem
6) Bod B jsem položil nahoru, C dolů (u Heiberga opačně); neboť B bod zvýšený.
246
147
i <^.BAE=R; pročež CAE = BAE. A jsou v téže rovině; což právě jest nemožné.
Tedy v témž bodě na téže rovině--
XIV.
Na kterých rovinách táž přímka viny budou rovnoběžné. Nuže bud nějaká přímka
jest kolmo, ty ro-
AB G
kolmo na rovinách CD i ĚF; pravím, že jsou ty roviny rovnoběžné.
Nebof, nejsou-li, prodlužovány jsouce setkají se. Stýkejte se; budou zajisté společným průsekem činiti přímku.   Budiž to GH; a vytkněme na GH nahodilý bod K a veďme spojnice AK, BK. A ježto AB jest kolmo na rovině EF, tedy také na přímce BK. která jest v prodloužené rovině EF, jest AB kolmo; pročež ABK— R Z téže příčin}' ovšem i <$BAK=R.  Tedy v A ABK součet dvou úhlů ABK A- BA K jest roven dvěma pravým; což právě jest nemožné. Pročež roviny CD, EF prodlužovány jsouce se nesetkají; jsou tedy roviny CD, EF rovnoběžné. Na kterých tedy rovinách — —
XV.
Když jsou dvě přímky navzájem se stýkající se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími rovnoběžné, nejsouce s nimi v téže rovině, roviny jejich jsou rovnoběžné.7)
Nuže budle dvě přímky navzájem se stýkající AB, BC rovnoběžné se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími DE, EF, nejsouce s nimi v téže rovině; pravím, že roviny přímek AB, BC a DE, EF prodlužovány, jsouce navzájem se nesetkají. 8)
Nuže veďme z bodu B na rovinu přímek DE, EF kolmici BG a ta dopadej na rovinu v bodě G s. z G veďme GH\\ ED a GK\\EF. A ježto BG jest kolmo na rovině přímek DE, EF, tedy také se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině přímek DE, EF bude činiti úhly pravé. Stýkají se pak s ní GH GK, jsouce v rovině přímek DE, EF; pročež <řj BOH— BGK= R.
') Totiž roviny obou dvojic.
S) Nesmí ovšem úhel přímkami sevřený býti 2i? ani AR.
A ježto AB\\ GH (XI. ix.), tedy ^ OBA + BGH — 2R. Aviák <4BGH=R, tedy též <£. GB A = É; pročež GB A. BA. Z též« přfSlny
ovšem GB ±BC. Ježto tedy přímka GB na dvou přímkách BÁ, BC vzájemně se stýkajících stojí kolmo, proto GB jest i na rovino přlrntk BA, BC kolmo.3) Na kterých však rovinách táž přímka jest kolmo, ty roviny jsou rovnoběžné (XI. xiv.); pročež rovina přímek AB, BC je s rovinou přímek DE, EF rovnoběžná.
Když jsou tedy dvě přímky navzájem — -■
XVI.
Když dvě roviny rovnoběžné protíná nějaká rovina, společné jejich průseky jsou rovnoběžné.
Nuže protínej dvě rovnoběžné roviny AB, CD rovina EFQH a společnými jejich průseky buďtež EF, GH;- pravím, že Eľ\\ OFI.
Nuže, není-li tomu tak, EF, GH jsouce prodlužovány setkfljl S8 bud na straně F, H bud na straně E, G. Prodlouženy buďte na Straně F, H a stýkejte se nejprve v K. A ježto EFK jest v rovině AB, proto i všechny body na EFK jsou v rovině AB. A jedním z bodů na přímce EFK jest K; tedy K jest v rovině AB. Z téže příčiny ovšem jest K i v rovině CD; pročež roviny AB, CD jsouce prodlužovány setkají se. Nestýkají se však, jelikož dáno jest, že jsou rovnoběžné; tedy přímky EF, GH jsouce prodlužovány na straně F, H se nesetkají. Podobně ovšem dokážeme, žepřímky EF, GH jsouce prodlužovány nesetkají se ani na straně E,G. Přímky pak -na žádné straně se nestýkající jsou rovnoběžné; pročež EF\\HQ. Když tedy dvě rovnoběžné roviny — —
XVII.
K d y ž j s o u dvě přímky pro-tí n ányrov n oběžnými rovinami, budou protínány v týchž poměrech
Nuže buďte přímky AB, CD protínány rovnoběžnými rovinami GH, KL, MN v bodech A, E, B, C, F, D; pravím, že AE-.EB—CF: FD
Nuže veďme spojnice AC, BD, AD a protínej AD rovinu KL v bodě O a veďme spojnice EO, OF. A ježto dvě ro-
9) Následuje několik řádků zbytečných, nepochybně cizích.
248
141
D
G
viny rovnoběžné KL, MN protíná rovina EBĽO, společné jejich průseky EO, BD jsou rovnoběžné (X, xvi.). Z téže príčiny ovšem, ježto dvě roviny rovnoběžné GH, EL protíná rovina AOFC, společné jejich průseky AC, OF jsou rovnoběžné. A ježto v f\ABD jest EO\\BD, tedy AE:EB=AO:OD (VI. n.). Ježto dále v A ADC jest OF\\AC, AO: OD = CF:LD. Bylo však dokázáno, že též AO: 0D= AE:EB; pročež také AE: EB = CF:FD.
Když jsou tedy dvě přímky protínány — —
XVIII.
Když je přímka na nějaké rovině kolmo, také všecky roviny jí proložené budou na téže rovině kolmo.
Nuže buď nějaká přímka AB na položené rovině kolmo; pravím, že také všecky roviny přímkou AB proložené jsou na položené rovině kolmo.
Nuže proložme přímkou AB rovinu DE a společným průsekem roviny DE a roviny položené budiž CE, a vytkněme na CE nahodilý
bod F a. z F vztyčme na CE v rovině DE kolmici FG. A ježto AB jest na položené rovině kolmo, proto i na všech přímkách s ní se stýkajících a jsoucích v položené rovině jest AB kolmo (vým. 3.), a tak i na CE jest kolmo; tedy <$ABF= R. Avšak \*$.QFB = R; pročež AB\\FG. AB však jest kolmo na rovině položené; tedy též / /        FG jest kolmo na rovině položené (XI. tíh,),
l—-' I jest rovina na rovině kolmo, když přímky
v jedné rovině vedené kolmo na společný průsek rovin jsou na rovině druhé kolmo (vým. 4.). A dokázáno bylo, že FG v jedné z rovin, t. v DE, na společném průseku jejich CE vztýčena byvši kolmo, jest kolmo na rovině položené; pročež rovina DE jest na položené kolmo. Podobně zajisté se dokáže, že také všecky roviny přímkou AB proložené jsou na rovině položené kolmo. Když je tedy přímka na nějaké rovině — —
XIX.
Když jsou dvě roviny navzájem se protínající na nějaké rovině kolmo, také společný jejich průsek na téže rovině bude kolmo.
Nuže buďte dvě roviny AB, BC kolmo na rovině položené, společným pak jejich průsekem BD; pravím, že BD jest kolmo na rovině položené.
Nuže nebuď tak a z bodu D vztyčme v rovině AB na přímce AD kolmici DE, v rovině pak BC na CD kolmici DF.
F
B
A ježto rovina AB jest na položené kolmo a na společném prflltku jejich AD vztýčena v rovině AB kolmice DE, tedy DE jest kolmo rlft rovině položené (vým. 4.). Podobně ovšem dokážeme, že i df Je«t ni položené rovině kolmo. Pročež jsou z téhož bodu d na rovinS položené dvě přímky vztýčeny kolmo na téže straně; což právě jest nemožné (XI. xiii.). Proto na položené rovině z bodu D nevztýčíš kolmice kromě DB, společného to průseku rovin ab, bc.
Když jsou tedy dvě roviny navzájem se protínající — —
XX.
Když úhel tělesový svírají tři úhly rovinné, dva kterékoli, jakkoli střídány jsouce, jsou větší než zbývající.
Nuže svírejtež úhel tělesový A tři úhly rovinné BAC, CAD, DAB; pravím, že z úhlův BAC, CAD, DAB dva kterékoli, jakkoli střídány jsouce, jsou větší než zbývající.
Jsou-li ovšem úhly BAC, CAD, DAB navzájem stejné, patrno, že dva kterékoli jsou větší než zbývající. Pakli ne, větší buď BAC10), a zřiďme na přímce AB z bodu na ní A v rovině BAC-^. BAE stejný s DAB a budiž AE=AD, a bodem £ prodloužena jsouc BEC protínej přímky AB, AC v bodech B, c, a veďme spojnice DB, DC. A ježto DA—AE, společnou pak
AB, dvě střídavě dvěma rovné, \<$.DAB = BAE; tedy základna DB = BE. A ježto (BD-\- DC)>BC, z nichžto, jak dokázáno, DB — BE, proto zbývající DC>EC. A ježto DA — AE a společnou AC a. základna DC>EC, tedy ^.DAC> EAC (I. xxv.). Bylo pak dokázáno, že též     DAB — BAE; pročež (*$DAB + DAC)>BAC1'). Podobně zajisté dokážeme, že též ostatní po dvou brány jsouce jsou větší než zbývající.
Když tedy úhel tělesový — —
XXI.
Každý tělesový úhel svírají úhly rovinné menší než čtyři pravé.
Tělesový úhel A svírejtež úhly rovinné BAC, CAD, DAB; pravím, že součet *$.BAC+ CAD A-DAB jest menší než čtyři pravé.
Nuže vytkněme na přímkách AB,
AC, AD nahodilé body B, C, D a veďme
10) Totiž větší než BAD.
") K nerovnosti <-PylC> EAC přičtěme na obou stranách < EAB (= DAB), bude {DAB + DAC) > (EAB + EAC) neboli (DAB -f DAC) > BAC.
250
spojnice BC, CD, DB. A ježto tělesový úhel B objímají tři úhly rovinné CBA, ABD, CBD, dva kterékoli jsou větší než zbývající (XI. xx.); pročež (<J CBA -j- ABD) > CBD. Z téže příčiny ovšem i (JkBCAA-ACD)~>BCD a (<J CD A -f- ADB) > CDB; tedy šest úhlů (CBA + ARD-f 5<?-4 + -áCD + CA4 -f ADB) >(CBD-f PCD -f CDB). Avšak *$.CBD-\-BCD-\-BDC = 2R (I. xxxn.); pročež oněch šest (CZM -f-PCA + AC^ + CRl + ADPO^/r. A ježto v každém z tioj-úhelníkův yíPC, ACD, ADB tři úhly (vnitřní) rovnají se dvěma pravým, tedy v těch třech trojúhelnících devět úhlů CBA Ar ACB Ar BAC A-ACD Ar CBA A- CAD -f ADB A- DBA A- B AD = QR, z nichžto šest (ABCArBCAArACDArCDAArADBArDBA)>2R; pročež tři zbývající BAC A-CAD A-ĎAB, jež svírají úhel tělesový, jsou menší než čtyři pravé.
Každý tedy tělesový úhel svírají — —
XXII.
Když jsou tři úhly rovinné, z nichžto dva jakkoli střídány jsouce jsou větší než zbývající, a s v í r a j í j e ramena stejná, ze spojnic těch stejných ramen jest možno sestaviti trojúhelník.
Třemi úhly rovinnými bud'tež ABC, DEF, QHK, z nichžto dva, jakkoli střídány jsouce, jsou větší   než  zbývající,  totiž (<$.ABCA-
DEE) > GHK, (<£ DEF Ar GHK) > ABC a též (<$ GHK Ar ABC) > DEF, a ramena AB, BC, DE, EF, GH, H K buďte stejná, i veďme spojnice AC, DF, GK; pravím, že možno je z přímek stejných s AC, DF, GK sestaviti trojúhelník, t. j. že dvě kterékoli z přímek AC, DF, GK jsou delší než zbývající.
Jsou-li ovšem <£ABC, DEF, GHK K  stejné, patrno, že též AC, DF, GK jsou stejné a že ze stejných AC, DF, GK možno jest sestaviti trojúhelník. Pak-li F ne, buďtež nestejné, a zřiďme na přímce
HK při bodě na ní H <$.KHL stejný s ABC, a budiž HL rovna některému z ramen AB, BC, DE, EF, GH, HK a veďme spojnice KL, L G 12).  A ježto dvě strany AB, BC
jsou, s KH, HL stejné a <£B= KHL, tedy zákla'cma AC— KL. A ježto (<£ ABC Ar GHK) > DEF a ABC = KUL, tedy <$GHL> DEF. A ježto dvě strany GII, HL se dvěma DE, EF jsou stejné a GHL > DEF, proto základna GL > DF. Avšak {GKA- KL) > GL ; tedy G.Äľ-{-/fL jest mnohem větší než DF. KL však je stejná s AC; pročež AC-\-GK jest větší než zbývající DF.   Podobně ovšem
2) Vyobr. druhé, u Heiberga nesprávné, tuto jest opraveno.
dokážeme, že také {AC-\- DF) > OK a rovněž (DF-r GK) > AC. Tidy jest možno z přímek stejných s AC, DF, GK sestaviti trojúhalnlk; což právě bylo dokázati.
XXIII.
Ze tří rovinných úhlů, z nichžto dva jakkoli střídány jsouce jsou větší než zbývající, sestav úheMS-lesový; nutno jest ovšem, aby ty tři byly čtyř pravých menší.
Danými třemi úhly rovinnými buďtež ABC, DEF, GHK, z nichžto dva jakkoli střídány jsouce jsou větší než zbývající a mimo to ty tři čtyř pravých menší; má se tedy z úhlu stejných s ABC, DEF, GHK sestaviti úhel tělesový.
Odřízněme ramena stejná AB, BC, DE, EF, GH, H K a veďme spojnice AC, DF, GK; tedy jest možno z přímek stejných s AC, DF, GK sestaviti trojúhelník (XI. xxii.). Se-stavmež LMN, tak, aby byla AC = LM, DF — MN a též GK = NL, a opišme kolem /\LMN kruh LMN a vytkněme střed jeho a budiž to 0 a veďme spojnice LO, MO, NO; pravím, že AB>LO.  Neboť, není-li, jest AB
buď stejná s LO nebo jest menší. Budiž nejprve stejná, Aježto^l/i = LO, avšak AB = BC a OL= OM; dvě tedy AB, BC jsou se dvěma LO, OM stejné i základna AC položena za stejnou s LM; pročež ^.ABC=LOM. Z téže příčiny ovšem i <$.DEF=M0N a rovněž ^GHK—NOL; tedy tři úhly ABC, DEF, GHK jsou jednotlivě stejné s LOM, MON, NOL. Avšak tři.<$L0i¥-f MON-\- NOL —AR. pročež i tři ^ ABC + DEF-\- GHK= 4 R. Podmínkou však, že jsou také menší než čtyři pravé; což právě nesrovnalé. Tedy není AB— LO. Pravím již, ze AB není ani menší než LO. Nuže, možno-li, budiž, a vezměmež OP za stejnou s AB a OQ za stejnou s BC a veďme spojnici PQ. A ježto AB — BC, také OP— OQ, a tak i zbývající LP— QM. Pročež LM || PQ a A LMO s PQ O stejnoúMý (I. xxix.); tedy 0L:LM= OP.PQ; střídavě LO: 0P= LM: PQ. Avšak LO > OP, pročež i LM> PQ. Avšak LM vzata za stejnou s AC, tedy AC> PQ. Ježto tedy dvě AB, BC se dvěma PO, OQ AOPQ, proto <}.ABC>P0Q. Podobně i      DEF Z> MON a      GHK> NOL. Tedy
jsou stejné a základna ovšem   dokážeme, že
^ „  ^____________ tři      ABC + DEF+
Gb3c)>(^L0MA- MON -f NOL). Avšak podmínkou jest, ze(^ABC
252
253
4-DEF+GIIKXAR;  pročež  součet ^.LoMA-MON-\-NOL jes o mnoho menší nežli 4R.  Avšak též stejný; což právě nesmyslné* Tedy není AB<:LO.   Bylo  pak dokázáno, že ani stejná; pročež-AB>LO.
Vztyčme tedy v bodě O v rovině kruhové LMN kolmici OR, a budiž AB* — LO* = OJ?2 a veďme spojnice RL, RM, RN. A ježto RO jest kolmo na rovině kruhové LMN, tedy též na každé z přímek LO, MO, NO jest RO kolmo. A ježto LO—OM, společnou pak jest kolmice OR, proto základna RL = RM. Z téže příčiny ovšem také RN= RL — RM; tedy tři RL, RM, RN jsou navzájem stejné. A ježto AB* — LO*=OR*, tedy AB* = LO* A-OR*. Součet pak LO* A-OR* — LR*, neboť <$.LOR = R; pročež AB* = LR*; tedy AB = RL. Avšak AB — BC = DE -- EF= G H == HK a RL=RM=RN; a tak ^4#, BC, ZXff, EF, GH, HK, RL, RM, RN jsou stejné. A ježto dvě LR, RM jsou stejné se dvěma AB, BC a podmínkou jest, že základna LM=AC, tedy <£LRM= ABC. Z téže příčiny ovšem i <iMRN = DEF a LRN= GHK.
Ze tří tedy úhlů rovinných LRM, MRN, NRL, jež jsou stejné se třemi danými *$ABC, DEF, OHK, sestaven jest úhel tělesový R, jejž svírají úhly LRM, MRN, NRL; což právě bylo vykonati.
Výtěžek.
Jakým však způsobem AB*—LO* možno vzíti za stejné s OR*, dokážeme takto: Mějme přímky AB, LO a ^ budiž AB větší  a zřiďme na  ní polokruh
ABC a v polokruh ABC zapusťmež AC stejnou s LO, jež není větší13) než průměr AB, a veďme spojnici CB. Ježto tedy <£ACB je v polokruží ACB, tedy <$ACB = R (III. xxxi.). Pročež AB* — AC* + CB*. A tak AB*-AC* = CB*. Avšak AC = LO; tedy AB*—LO*=CB*. Vezmeme-li tedy OR za stejnou s BC, bude AB*— LO*=OR*; což se mělo vykonati.
XXIV.
Když těleso omezují roviny rovnoběžné, [protější roviny jeho jsou stejné rovnoběžníky14).
Nuže omezujtež těleso CDHG roviny rovnoběžné AC a OF, AH a DF, BF a AE; pravím, že protější jeho roviny jsou stejné rovnoběžníky.
Neboť ježto dvě roviny rovnoběžné BG, CE protíná rovina AC, společné průseky jejich jsou rovnoběžné; tedy AB\\ DC.   Dále, ježto
13) Ba dokonce menší býti musí.
u) Výrok jen za některých podmínek pravdivý. Tak na př. o osmistěnu, kdež taKC dvě a dvě protější roviny jsou rovnoběžné, výrok ten platnosti nemá. Eukl. patrně míní plochami meznými šest čtyřuhelníků.
dvě roviny rovnoběžné BF, AE protíná rovina AC, společné průseky jejich jsou rovnoběžné"; tedy BC || AD. Bylo pak dokázáno, že též AB || DC; tedy AC jest rovnoběžník. Podobně zajisté dokážeme, že také DF, FO, GB, BF, AE jsou rovnoběžníky 15).
Veďme spojnice AH, DF. A ježto AB || DC, BH || CF, dvě tedy přímky AB, BH navzájem se stýkající jsou rovnoběžné se dvěma přímkami DC, CF v netéže rovině; pročež budou svírati stejné úhly (XI. xv.); tedy *$.ABH=DCF. A ježto AB, BH jsou se dvěma DC, CF střídavě stejné a -^.ABH=DCF, tedy základna AH= DF a /\ABH=DCF. I jest rovnoběžník BG = 2 ABH a CE—2DCF; pročež rovnoběžník BG — CE. Podobně ovšem dokážeme, že také AC=GF a BF—AE.
Když tedy těleso omezují roviny rovnoběžné, — —
XXV.
a bud s přímkou AE stejných HM,  MN, a
ne-do-
Q    M    U D Z T
Když rovnoběžnostěn16) protne rovina rovnoběžná s rovinami protějšími, bude se mí ti základna k základně jako těleso k tělesu.
Nuže protínej rovnoběžnostěn ABCD rovina FG, rovnoběžná s protějšími rovinami RA, DE; pravím že AEFV: EHCF— ABFU: EGCD.
Nuže prodlužme AH na obě strany, kolik stejných AK, KL a s EH několik plňme rovnoběžníky LP, KV, HX, M6 a tělesa LQ, KR. DM, MT. A ježto LK— KA = AE, také rovnoběžníky LP, KV, AF jsou si rovny, rovněž KO, KB, AG a též ĽY, KQ, AR; nebot jsou protější (XI. xxív.). Z téže příčiny ovšem také rovnoběžníky EC, HX, MS jsou si rovny, rovněž HG, Hl, IN a též DH, MZ, NT; tedy tři roviny těles LQ, KR, AU jsou třem
rovinám rovny. Avšak ty tři jsou rovny třem rovinám protějším; pročež ta tři tělesa LQ, KR, AU jsou si rovna (XI. xxív.). Z téže příčiny ovšem i tři tělesa ED, DM, MT jsou si rovna. Tedy kolikrát větší jest LF než základna AF, tolikrát větší je též těleso LU než AU. Z téže příčiny ovšem, kolikrát větší jest základna NF než FH, tolikrát větší je též těleso NU než HU.   A jestli základna LF=NF,
A A bA\ gA				A	A	/
	\p	\v	F	c		
	/	/	/	/	/	/
K   A     E H M N
S
lb) Kdyby však bylo boků na př. šest, také po dvou protějších rovnoběžných, byly by roviny BG CB třebas také rovnoběžné, avšak šestiúhelníky.
I6) Těleso omezené šesti rovnoběžníky, z nichž dva a dva protější rovnoběžné (viz vyobr. předešlé).
254
255
také těleso LU= NU, a jestli základna LF>NF, také těleso Lř7> NU, a jestli menší, menší. Když jsou tedy čtyři veličiny, dvě základny AF, FH a dvě tělesa AU, UH, vzata jest základna LF a těleso LU za stejný násobek základny AF a tělesa AU i základna NF a těleso NU za stejný násobek základny HF a tělesa HU; také dokázáno jest, jestli základna LF větší než FN, že také těleso LU jest větší než NU, pakli stejná; stejné, pakli menší, menší. Tedy základna AF má se k základně FH jako těleso A U k tělesu UH; což právě bylo dokázati.
XXVI.
Na dané přímce a při bodě na ní sestav úhel tělesový danému úhlu tělesovému rovný.
Danou přímkou bud AB a daným na ní bodem A, daným pak úhlem tělesovým D, jejž svírají úhly rovinné EDC, FDF, FDC; má se tedy na přímce AB při bodě na ní A sestaviti úhel tělesový rovný úhlu tělesovému D.
Nuže vytkněme DF nahodilý bod F a spusťme z F na rovinu přímek ED, DC kolmici FG, a dopadej na rovinu v G, a veďme spojnici DG i sestavme na přímce AB v bodě na ní A <£BAL stejný s EDC & <£BAK stejný s EDG, a budiž AK=DG, a vztyčme z bodu
K na rovinu BAL kolmici KH, a budiž KH=z FG, i veďme spojnici HA; pravím, že tělesový <£A, sevřený úhly BAL, BAH, HAL, roven jest úhlu tělesovému D, sevřenému úhly EDC, EDF, FDC.
Nuže odřízněme stejná ramena AB, DE a veďme spojnice HB, KB, FE, GE. A ježto FG jest na rovině položené kolmo, tedy také se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině položené či-niti bude úhly pravé; pročež <$.FGD = FGE—R. Z téže příčiny ovšem \^.HKA = HKB — R. A ježto strany KA, AB]sou střídavě stejné s GD, DE a svírají stejné úhly, tedy základna KB = GE. Avšak též KH= GF, a svírají (t. KH s KB a FG s GE) stejné úhly; pročež HB=FE. Dá\e ježto AK, KH jsou střídavě stejné s DG, GF a svírají stejné úhly, tedy základna AH= FD. Jest pak také AB = DE; pročež BA, AB jsou sřídavě stejné s DF. DE, i základna HB = FE; tedy BAH = EDF. Z téže příčiny ovšem i HAL = FDC17). Jest pak i     BAL = EDCls).
Na dané tedy přímce AB v bodě na ní A sestaven jest úhel tělesový A stejný s daným úhlem tělesovým D; což právě bylo vy-konati.
17) Následuje část zbytečná a beze vší pochybnosti cizí.
ls) Tedy sestavený úhel tělesový jest sevřen stejnými úhly rovinnými jako daný. Ze lakové úhly tělesové jsou stejné, jest tu axiómatem.
XXVII.
Nadané přímce narýsuj rovnoběžnostěn danému rovnoběžnostěnu podobný a podobně položený.
Danou přímkou budiž AB, daným pak rovnoběžnostěnem CD; má se tedy na dané přímce AB narýsovati rovnoběžnostěn danému rovnoběžnostěnu CD podobný a podobně položený.
Nuže sestavme na přímce AB při bodě na ní A tělesový úhel stejný s C, sevřený úhly BAH, HAK. KAB, tak aby *$BAH byl stejný ECF, BAK s ECG a KAH s KÔF (XI. xxvi.); i učiňmež EC: CG = BA:AKaGC:CF — K.4 .- A H. Tedy také stejnořadně EC:CF — BA:AH. A doplňme rovnoběžník HB i těleso AL.
A ježto EC: CG = BA: AK a strany při stejných <$ECG, BAK jsou úměrné, tedy rovnoběžník GE^KB. Z téže příčiny ovšem i rovnoběžník KH^GF a rovněž FE^jHB; tři tedy rovnoběžníky tělesa CD podobny jsou třem rovnoběžníkům tělesa AL. Avšak jedna trojice jest rovna i podobna třem rovinám protějším i druhá trojice jest rovna i podobna třem rovinám protějším; pročež celé těleso CD^AL.
Tedy na dané přímce AB jest narýsován rovnoběžnostěn AL, danému rovnoběžnostěnu CD podobný a podobně položený; což právě bylo vykonati.
XXVIII.
Když   se   rovnoběžnostěn   protne   rovinou úhlopříček   protějších   rovin, těleso tou rovinou se rozpůlí.
Nuže protněme rovnoběžnostěn AB rovinou CDEF úhlopříček protějších rovin CF, DE; pravím, že těleso AB rovinou CDEF se rozpůlí.
Neboť, ježto A CGF — CFB a A ADE = DEH. také však rovnoběžník CA = EB (neboť  jsou   protější)   a  GE— CH, tedy i hranol omezený dvěma trojúhelníky CGF, ADE a třemi rovnoběžníky GE, AC, CE roven jest hranolu omezenému dvěma trojúhelníky CFB, DEH a třemi rovnoběžníky CH, BE, CE, neboť jsou omezeny rovinami počtem i velikostí stejnými   (vým.  10.). Pročež celé těleso AB rovinou CDEF jest rozpůleno; což právě bylo dokázati.
256
267
XXIX.
Rovnoběžnostěny o téže základně a téže výšce, jejichžto přímky zvýšené19) stýkají se s týmiž přímkami, jsou si rovny.
Rovnoběžnostěny CM, CN mějte touž základnu AB a touž výšku a zvýšené přímky jejich AG, AF, LM, LN, CD, CE, BH, BR stýkejte se s týmiž přímkami FN, DK; pravím, že těleso CM=CN.
Neboť, ježto CH i CK jsou rovnoběžníky, CB je stejné s DH i s EK, a tak i DH=EK. Společnou EH odečtěme ; tedy zbývající DE=HK. A tak i A DCE= HBK a rovnoběžník DG = HN.   Z  téže příčiny ovšem také A AFG = MLN.   Jest  pak i rovnoběžník CF = BM a CG—BN, neboť jsou protější;  pročež i hranol omezený dvěma A AFG, DCE a třemi rovnoběžníky AD, DG, CG jest roven hranolu omezenému dvěma /\MLN, HBK a třemi rovnoběžníky BM, HN, BN.   Přičtěme společné těleso, jehož základnou jest rovnoběžník AR a protější rovinou EGHM; celý tedy rovnoběžnostěn CM—CN.
Tedy rovnoběžnostěny o téže základně a téže výšce, — —
XXX.
Rovnoběžnostěny o téže základně a téže výšce, jejichžto přímky zvýšené19) nestýkají se s týmiž přímka m i, j s o u si rovny.
Rovnoběžnostěny CM, CN mějte touž základnu AB i touž výšku
a zvýšené přímky jejich AF, AG, LM, LN, CD, CE, BH, BK nestýkejte se s týmiž přímkami; pravím, že těleso CM=CN.
Nuže prodlužme NK, DH a stýkejte se v R, a ještě prodlužme FM, GE do P, Q a veďme spojnice AO, LP„CQ, BR. Tu těleso CM, jehož základnou jest rovnoběžník ACBL a protější rovinou její FDHM, rovno je tělesu CP, jehož základnou jest ACBL a protější rovinou její OQRP; neboť jsou na téže základně ACBL a mají touž výšku a zvýšené přímky jejich AF, AO, LM, LP, CD, CQ, BH, BR stýkají se s týmiž přímkami
") Míní se hrany poboční.
FP, DR (X. xxix.). Avšak těleso CP, jehož základnou jest rovnoběžník ACBL a protější rovinou její OQRP, jest rovno tělesu CN, jehož základnou rovnoběžník ACBL, protější pak rovinou GEKN; neboť opět jsou na téže základně ACBL i mají touž Výšku a zvýšené přímky jejich AG, AO, CE, CQ, LN, LP, BK, BR stýkají se s týmiž přímkami GQ, NR. A tak i těleso GM= CN.
Tedy rovnoběžníky o téže základně a téže výšce, — —
XXXI.
Rovnoběžnostěny o  stejných základnách ä téže výšce jsou si rovny.
Rovnoběžnostěny AE, CF mějte stejné základny AB, CD a touž výšku; pravím, že těleso AE — CF.
Dříve tedy buďte zvýšené přímky HK, BE, AG, LM a PQ, DF, CO, RS*) na základnách AB, CD kolmo, a prodlužme CR přímo o RT a sestavme na přímce RT a při bodě na ní R <$.TRU stejný s ALB, a budiž RT=AL a RU—LB, á doplňme základnu RX a těleso TU. A ježto dvě strany TR, RU jsou střídavě stejné s AL, LB a svírají stejné úhly, tedy rovnoběžník RX^HL (VI. xiv.). A ježto dále AL = RT a LM= FS a svírají úhly pravé, tedy rovnoběžník RYsiAM. Z téže příčiny ovšem též LE^SU. Pročež tři rovnoběžníky tělesa AE jsou se třemi rovnoběžníky tělesa TU stejné a jim podobné (t. j. shodné). Avšak jedna i druhá trojice je shodná jednotlivě se třemi rovinami protějšími; tedy celý rovnoběžnostěn AE= TU. Prodlužme DR, XU, a stýkejte se v Z, a bodem T veďme s DZ rovnoběžku aTe a prodlužme PD do a a doplňme tě-
tesa ZT, RI. Těleso TZ, jehož základnou jest rovnoběžník RT, protější pak rovinou její Zd, zajisté rovná se tělesu TU, jehož základnou jest rovnoběžník RT, protější pak rovinou UV; neboť jsou na téže základně RT a mají touž výšku a zvýšené přímky jejich RZ, RU, Te, TX, Sb, Sc, Td, TV stýkají se s týmiž přímkami ZX, bV. Avšak těleso TÚ=AE; pročež i těleso TZ=AE. A ježto rovnoběžník R UXŤ=± ZT, neboť mají touž základnu RT a jsou mezi týmiž rovnoběžkami RT, ZX, avšak RUXT=^CD; tedy též rovnoběžník ZT—CD. Jiný pak jest DT; pročež základna CD: DT= ZT: DF. A ježto rovnoběžnostěn Cl protíná rovina RF, rovnoběžná s rovinami protějšími, základna CD má se k DT jako těleso CF k RI. Z téže příčiny ovšem, ježto rovnoběžnostěn ZI protíná rovina RT, rovnoběžná s rovinami pro-
*) Tak má býti v hořejší části obrazce m. RP.
17
258
'269
tějšími, základna ZT má se k mjako těleso ZY k Rí. Avšak CD: DT= ZT-.DF; tedy také CF:RI= ZY: RI. Pročež CF i mají k Rl týž poměr; tedy těleso CF=ZY. Avšak bylo dokázáno, že ZY=AE; pročež také AE = CF.
Nehučíte již přímky zvýšené AG, HK, BE, LM, CN*0),' PQ, DF,
RS (vyobr. druhé) kolmo na základnách AB, CD; pravím opět, že AE— CF. Nuže spusťme z bodů R~, E, G, M, Q, F, N, S na rovinu položenou kolmice KO, ET, GU, MV, a QX, FY, NZ, SI, a stýkejte se v rovině v bodech 0, T, U, V a X, Y, Z, I, a vedme spojnice OT, OU, UV, TV a XY, XZ, ZI, IY ' Jest zajisté těleso KV= QI, neboť jsou na stejných základnách KM, QS a mají touž výšku a zvýšené přímky jsou na základnách kolmo. Avšak těleso KV— AE a 01= CF, neboť mají touž základnu a touž výšku a zvýšené přímky nestýkají se s týmiž přímkami (XI. xxx.). Pročež také těleso AE=CF.
Tedy rovnoběžnostěny o stejných základnách — —
XXXII.
Rovnoběžnostěny o téže výšce mají sek sobě jako
základny. y
Rovnoběžnostěny ÁB, CD mějte touž výšku; pravím, že rovnoběžnostěny  AB,  CD mají se k sobě jako základny, t. j. AB : CD — AE: CF. 'E Nuže k FG přistavme FH, stejné
A s AE, a na základně FH do téže výšky
jako CD doplňme rovnoběžnostěn GK. Těleso AB zajisté je stejné s GK, neboť jsou na stejných základnách AE, FH El   I     . .'   /      a mají touž výšku. A ježto rovnoběž-
____nostěn CK protíná rovina DG, rovno-
C G II     běžná s rovinami protějšími, tedy zá-
kladna CF: FH— CD: DH (XI. xxv.). Avšak základna FH=AE a těleso DH=AB; pročež také AB:CD = AE: CF ' ■
Tedy rovnoběžnostěny o téže výšce — —
XXXIII.
Podobné  rovnoběžnostěny   mají se   k  sobě jako trojmoci stejnolehlých hran.
I0) Ve vyd. Heibg. písmena.'y textu s písmeny v obr. se neshod
Podobnými rovnoběžnostěny bud'tež AB, CD*) a budiž AE s CF stejnolehlou; pravím, že AB: CD = AE3: CF3.
Nuže prodlužme přímo AE, GE, HE o úsečky FK, EL, EM a budiž EK=CF, EL — FN a rovněž EM= FR a doplňme rovnoběžník KL i těleso KP. A ježto dvě strany KE, EL dvěma CF, FN jsou střídavě rovny; avšak i <$iKEL—CFN, jelikož právě pro podobnost těles AB, CD i *$.AEG=CFN, tedy rovnoběžník KLqíCN. Z téže příčiny ovšem také rovnoběžník KM^ CR a rovněž EP^DF; tedy tři rovnoběžníky tělesa KP jsou shodné se třemi
rovnoběžníky  tělesa  CD.   Avšak  jedna j} o
i druhá trojice je shodná jednotlivě se třemi rovinami protějšími; tedy celé těleso KPc±> CD. Doplňme rovnoběžník GK a na základnách GK, KL do stejné výšky jako AB doplňme tělesa EO, LQ. A ježto pro podobnost těles AB, CD máse AE: CF= EG: FN= EH: FR a CF=EK, FN= EL, FR — EM, tedy AE: EK — GE: EL = HE: ■EM. Avšak AE: EK—AG :GK a GE: EL — GK:KL a HE:EM— QE:KM; pročež také rovnoběžníky: &K= G R: KL = ^ 7~D QFr.KM. Avšak AG: GK— AB: EO a GK: ' KL — OE: QL a QE: KM — QL: KP. (XI. xxxil.); tedy též AB: EO = EO: QL— QL-.KP. Když pak jsou čtyři veličiny spojitě úměrné,, první se má ke čtvrté jako trojmoc z první ke trojmoci z druhé (V. vým. 30. pozn. 5.); pročež AB : KP= AB3: EO3. Avšak AB-.EO — AG: GK= AE: EK; a tak i těleso'AB:KP—'AL3:EK3. Avšak těleso KP^=CD a hrana EK—CF; proto teleso AB má se k tělesu CD jako trojmoc stejnolehlé hrany jeho AE ke trojmoci stejnolehlé; hrany CF. . Tedy podobné rovnoběžnostěny mají se k sobě — —
JtF R
Důsledek.*1) -
Z toho zajisté patrnOj když jsou čtyři přímky úměrné "(spojitě), že první bude se míti ke čtvrté jako rovnoběžnostěn z první k rovnoběžnostěnu z druhé podobnému a podobně sestrojenému, ježto také první má se ke čtvrté jako tťojmoc z první ke troj-moci z druhé.
xxxiv.        ;'        ~.
Základny stejných rovnoběžnostěnů mají se k.sobě obráceným poměrem výšek; a kterých, rovnoběžnostěnů základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek, ty jsou-stejné.
Stejnými rovnoběžnostěny buďtež AB, CD; pravím, že základny rovnoběžnostěnův AB, CD mají se k sobě obráceným poměrem výšek,
*) Ňa konci prodloužené 'KE budiž roh označen A (omylem vypuštěno). sl) Nejspíše cizí. .-.        < 1
17*
260
261
Jt	D	
\		\
\		
Q	T	
		
\		
a to základna EH k základně NQ jako výška tělesa CD k výšce tělesa AB.
Nuže budte dříve zvýšené přímky AG, EF, LB, HK a CM, NO, PD, QR na základnách jejich kolmo; pravím, že základna EH:NQ — CM-.AG.
Jest-li tedy základna EH—NQ, jest pak i těleso AB— CD, bude též CM—AG. Neboť rovnoběžnostěny o stejné výšce mají se k sobě
jako základny (XI. xxxn.22) I bude základna EH:NQ = CM: AG, i patrno, že základny rovnoběžnostěnů mají se k sobě obráceným poměrem výšek.23) O Nebuď již základna EH — NQ, nýbrž
větší buď EH. Jest pak i těleso AB — CD; pročež i CM> AG.**) Budiž tedy AG= CT, a doplňme na základně NQ do výšky CTrovnoběžnostěn C v. A ježto těleso AB= CD, vedle toho pak jest CV, q -y stejné pak veličiny mají k témuž poměr týž, tedy AB:CV—CD: C v. Avšak AB: CV = EH-.NQ (XI. xxxn.), neboť tělesa AB, CV jsou stejně vysoká; a CD:CV=MQ: TQ=CM: CT; pročež i základna EH:NQ = MC: CT. Avšak CT— AG; pročež i základna EH:NQ—MC: AG. Tedy základny rovnoběžnostěnův AB, CD mají se k sobě obráceným poměrem výšek.
Mějte se již naopak základny rovnoběžnostěnův AB, CD k sobě obráceným poměrem výšek, a to měj se EH k NQ jako výška tělesa CD k výšce tělesa AB; pravím, že těleso AB=CD.
Buďtež opět přímky zvýšené na základnách kolmo. A jestli EH— NQ, a má se EH k NQ jako výška tělesa CD k výšce tělesa AB, tedy je také výška tělesa CD rovna výšce tělesa AB. Rovnoběžnostěny však o stejných základnách a o téže výšce jsou si rovny (XI. xxxi.); pročež těleso AB — CD.
Nebuď již základna EH=NQ, nýbrž větší bud EH; větší tedy jest i výška tělesa CD než výška tělesa AB, t. j CM>AG. Budiž opět AG — CT a podobně doplňme těleso CV. Ježto EH: NQ — MC: AG a AG — CT, tedy EH: NQ — CM: CT. Avšak EH:NQ = AB: CV, nebot jsou tělesa AB, CV stejně vysoká; a CM: CT= MQ: QT= CD ■ CV. Proto také AB: CV= CD:CV; tedy AB, CD mají k CV týž poměr. Tedy těleso AB—CD.
Nebuďte již přímky zvýšené [vyobr. druhé 24)] FE, BL, GA, HK, a ON, DP, MC, RQ*) na základnách jejich kolmo, i veďme z bodův F, G, B, K a O, M, D, R na roviny EH, NQ35} kolmice, a stýkejte
22) Následující, tuto vynechané řádky jsou asi podvrženy. s3) V tomto případě i poměrem přímým, jelikož výšky jsou stejné. 24) V obrazci dolejším za kolmý pokládám hranol DY, ne naopak, jako u Heibga; dle toho jsem písmena zaměnil.
*) Označení rohu Q (RQ, PQ, CQ) budiž doplněno (nedopatřením vypuštěno. 2V) Pro lepší zřetelnost otoč dolejší obr. rovinou DOMU nahoru.
se s rovinami v bodech S, T, U, V a X, Y, Z, m, a doplňme telesa FV OZ- pravím, že i tak, jestli AB = CD, základny mají se k sobe obráceným poměrem výšek, a to EH k NQ jako výška tělesa CD k výšce tělesa AB. v
Ježto AB == CD, avšak AB — BT, neboť maji touz základnu FK a touž výšku, a CD — DY, neboť opět mají touž základnu RO a touz výšku; tedy BT= DY. Pročež FK má se k OR jako výška tělesa DY k výšce tělesa BT. Avšak F K = EH a OR = NQ; tedy základna -EW má se k základně NQ jako výška tělesa DY k výšce tělesa BT. Tělesa však DY s DG a. BT s mají touž výšku; pročež EH má se k NQ jako výška tělesa DC k výšce tělesa AB*6). Tedy základny rovnoběžnostěnův ^4B, CD maji se k sobě obráceným poměrem výšek.
Mějte se již naopak základny rovnoběžnostěnův AB, CD k sobě obráceným poměrem výšek, a to základna EH měj se k NQ jako výška tělesa CD k výšce tělesa AB; pravím, že těleso AB — CD.
Neboť, vykonáme-li touž úpravu, ježto EH má se k NQ jako výška tělesa CD k výšce telesa AB a Fif jakož i NQ—OR; tedy má se k OR jako výška telesa CD k výšce tělesa AB. Avšak tělesa 4B s SA a CD s D Y mají touz výšku - pročež FK má se k 0^ jako výška tělesa DY k výšce telesa BT Tedy základny rovnoběžnostěnů BT, DY mají se k sobe obraceným poměrem výšek; pročež těleso BT=DY. Avšak -ff^^Ä*. neboť mají touž základnu FK a touž výšku. A těleso U ľ —DL ); tedy jest i těleso AB=CD; což právě bylo dokázati.
XXXV.
Když jsou dva rovinné úhly stejné a vztýčíme na jejich vrcholích přímky, svírající s přímkami počátečními střídavě stejné úhly, a vytkneme na přímkách vztýčených nahodilé body a 7 nich na roviny počátečních úhlů spustíme kolmice a z bodů vzniklých na rovinách vedeme k počátečním úhlům (vrcholům) spojnice, svírati budou s přímkami vztýčenými stejné úhl y.
Dvěma stejnými úhly přímkovými buďte BAC, EDF, a v bodech A, D vztyčme přímky AG. DM, aby svíraly s přímkami počátečními37) střídavě stejné úhly, MDE stejný s GAB, MDF s GAC, a vytkněme na AG, DM nahodilé body G, M a spusťme z bodů G, M na roviny BAC, EDF kolmice GL, MN, a stýkejte se s rovinami v N, L, a veďme spojnice LA, ND; pravím, že     GAL = MDN.
2B) Jako by to byly rovnoběžnostěny kolmé. 2T) Totiž s rameny těch úhlův.
202
263
Budiž DM— AH, a bodem H vedme HK rovnoběžně s GL; G Ĺ však jest kolmo na rovině BAC, pročež i HK jest na rovině BAC kolmo. .Veďme z bodů K, N na AB. AC, DF, DE kolmice KC, NF, KB, NE a spojnice HC, CB*8), MF, FE*9). Ježto HA* — HK* -j- KA* a KA*=KC2A-CA*, tedy též HA* — HK*A~KC*A-CA*. A HK*A-KC* = HC*; pročež HA* = HC* -4- CA*; tedy ^ HCA jest pravý. Z téže
příčiny ovšem i <£DFMjest pravý. Proto <$ACH=DFM. Jest pak též <$HAC = MDF. Jsou.tedy dva trojúhelníky HAC, MDF, kteréž mají po dvou úhlech střídavě stejných a po jedné stejné straně při jednom ze stejných úhlů, t. HA — MD\ budou tedy míti též ostatní strany ostatním stranám střídavě rovné. Pro^ čež AC—DF. Podobně zajisté dokážeme, že též AB — DE**). Ježto tedy AC — DF a AB = D£, dvě strany tedy CA, AB jsou střídavě rovny dvěma stranám FD, DE. Avšak i ^CAB = FDE; pročež základna BC=EF a trojúhelník trojúhelníku a ostatní úhly ostatním úhlům; tedy ACB — DFE. Jest pak i pravý ACKroven pravému DFN; pročež i zbývající BCK= EFN. Z téže příčiny ovšem i <$.CBK=FEN. Dva jsou tedy trojúhelníky BCK, EFN, kteréž mají po dvou úhlech střídavě stejných a po jedné stejné straně při stejných úhlech, t. BC=EF; pročež i ostatní' strany ostatním stranám budou míti rovné. Tedy CK — EN. Jest pak -též AC—DF; dvě tedy AC, CK jsou střídavě rovny dvěma DF, FA'; a svírají stejné úhly. Proto základna AK — DN. A ježto AH— DM, také AH* = DM*. Avšak AI r — AK* A-KH*, neboť ^.AKH—R, a DM* = D A'* -j- NM*, neboť <$DNM=R; tedy AK* + KH* = DN* Ar NM*, z čehož A K "- = DN* ; tedy zbývající KH* = NM*; pročež HK=ArM. A ježto dvě strany HA, AK jsou střídavě rovny dvěma MD, DN i základna HK, jak bylo dokázáno, je stejná s MN, proto ^ HA K = MDN.
Když jsou tedy dva rovinné úhly stejné--
Důsledek.
JZ toho zajisté patrno, když dva úhly rovinné jsou stejné a vztýčí se ha nich stejné přímky/svírající s přímkami počátečními střídavě stejné úhly, že kolmice29) od nich spuštěné na.roviny, v nichžťo jšou'póčáteční úhly, jsou si rovny (což právě bylo dokázati).
XXXVI.
Jsou-li tři přímky (spojitě) úměrné, r o v n o běž no-
,8) U Heiberga v obr. vynechána.
29) V úkolu předešlém jsou to KH, MI.
Ča-
stěn z těch tří rovná se rovnoběžnostěn u z prostřední, stejnostrannému a s řečeným stejnoúhlému.
Třemi úměrnými přímkami budtežyá, B, C,\. A:B — B:C; pravím, že těleso z A,. B, C rovná se tělesu z B, stejnostrannému a s řečeným stejnoúhlému30).
Mějme tělesový úhel při E, jejž svírají úhly DEG,  GEF, FED, a budiž DE— GE—EF= B, a doplňme rovnoběžnostěn EK, a budiž LM= A, a sestavme na přímce LM při bodě na ní L úhel tělesový stejný s E, aby jej svíraly úhly NLG,  OLM, MLN, a budiž LO=B . a LN— G A ježto A: B— B : C a A = LM, B—LO—ED,C—LN; tedy LM: EF— DE:LN. A tak strany při stejných úhlech NLM, DEF mají se k sobě poměrem obráceným ; pročež rovnoběžník MN=DF (VI. xiv.). A ježto dva rovinné úhly přímkové DEF, NLM- jsou si rovny a z nich (t. z vrcholů jejich) vztýčeny jsou přímdy L O, EG a svírají  s  počátečními přímkami střídavě stejné úhly, tedy kolmice spuštěné z bodů G, O na roviny MLN, DEF31) jsou si rovny (XI. xxxv. důsl.); pročež tělesa LH, EK mají stejnou výšku. Rovnoběžnostěny pak mající stejné základny a stejné výšky jsou si rovny (XI. xxxi.); proto těleso HL = EK. A těleso LH je z A, li, C a těleso EK z B; tedy rovnoběžnostěn z A, B,  C jest roven tělesu z B, stejnostrannému a s řečeným stejnoúhlému ; což právě bylo dokázati.
XXXVII.
Když jsou čtyři přímky úměrou, také rovnoběžnostěny z nich podobné a podobně sestrojené budou úměrou; a když rovnoběžnostěny
z nich podobné a podobně sestro- __u ,—■_Ľ
j en é jsou úměrou, i samy přímky    f'y_______A A_
budou úměrou. V .     V    \/"
Buďtež úměrou čtyři přímky AB, CD,    A        11 (f~ EF,  GB, tak že AB: CD =EF: GH,  a sestrojme z AB, CD, EF, GH rovnoběžnostěny podobné a podobně položené RA, LC, MĚ, NG; pravím, že KA:LC = ME:NG.
Neboť, ježto rovnoběžnostěn KA^LC, tedy K A: LC = AB3 : CD* (XI. xxxm.). Z téže příčiny ovšem též ME: NG = EF3: GH3. Také AB: CD =EF:GH; pročež také AK: LC= ME: NG3*).
30) Z vyobr. u Heiberga patrno, že to nejsou tělesa stejná; opravil jsem.
31) Roviny MLN, DEF třeba si mvsiiti položenými.
.    -v  as       ef   .     './aby<     i ef v. -) Jest-1. tohZ _ = —, jest take (—) = (WJ -
Ž64
265
Avšak již se měj těleso AK: LC = ME: NG; pravím že přímka AB: CD = EF: GH.
Neboť, poněvadž opět KA :LC= AB3: CD3 a též ME:NG = EF3:GH* a KA: LC— ME: NG, tedy též AB: CD = EF: GH.
Když jsou tedy čtyři přímky úměrou,--
v bodech K, L, M, N,
XXXVIII.
Když se v krychli rozpůlí strany protějších rovin a body rozpolovacími se proloží roviny, společný průsek rovin a úhlopříčka té krychle navzájem se půlí. Nuže rozpolme v krychli AF strany protějších rovin CF, AH 0, P, Q, R a body rozpolovacími proložme roviny KN, OR, a společným průsekem rovin budiž US a úhlopříčkou krychle AF budiž DG; pravím, že UT— TS a DT— TG.
Nuže vedme spojnice D U, UE, BS, SG. A ježto DO \\ PE, střídavé úhly D OU, UPE jsou si rovny (I. xxix.). A ježto DO—PE, 0U= U F a svírají stejné úhly, tedy základna DU— UE a L\D0U je stejný s /SPUE i ostatní úhly jsou stejné s úhly ostatními; pročež OUD=PUE. Proto zajisté D UE jest přímka (I. xiv.) Z téže příčiny ovšem i BSG jest přímka a BS= SG. A ježto CA je s DB stejná i rovnoběžná, avšak CA je také s EG stejná i rovnoběžná, tedy je též DB stejná i rovnoběžná s EG. A spojují (protínají) je přímky DE, BG; pročež DE\\BG (I. xxxní.). Proto -Š.EDT—BGT, neboť jsou střídavé, a<$DTU=GTS. Tedy D TU, GTS jsou dva trojúhelníky, jež mají po dvou stejných úhlech a po jedné stejné straně při jednom ze stejných úhlů, t. DU= GS, neboť jsou to poloviny přímek DE, BG; i ostatní strany budou míti s ostatními stranami stejné. A tak DT—TG a UT=.TS. Když se tedy v krychli rozpůlí strany — —
m
XXXIX.
Když mají dva hranoly stejnou výšku a jeden má za základnu rovnoběžník, druhý pak trojúhelník a rovnoběžník je dvojnásobkem trojúhelníku, ty hranoly budou stejné33),
Dvěma hranoly o stejné výšce budtež ABCDEF a GHKLMN a onen
33) Hranolem, jehož základnou jest rovnoběžník, míní se tu klín, s jehož základnou jest rovnoběžná přímka, nikoli rovina.
měj za základnu rovnoběžník AF, tento pak trojúhelník GHK, a budiž AF=2 GHK; pravím, že hranol ABCDEF jest roven hranolu GHKLMN.
Doplňme telesami?, GP. Ježto rovnoběžník AF=2 L\ GLTR a též rovnoběžník HK—2/\GHK, tedy AF — HK. Rovnoběžnostěny pak o stejných základnách a téže výšce jsou si rovny (XI. xxxi.); pročež těleso AO—GP. I jest hranol ABCDEF polovinou tělesa AO a polovinou tělesa GP hranol GHKLMN; tedy hranol ABCDEF= GHKLMN.
Když tedy mají dva hranoly stejnou výšku — —
Kniha dvanáctá.
Podobné mnohoúhelníky do kruhů vepsané mají se k sobě jako čtverce průměrů.
Kruhy budtež ABC, FGH a v nich podobnými mnohoúhelníky budtež ABCDE, FGHKL, průměrv pak těch kruhů buďte BM, ON; pravím, že ABCDE: FGHKL — BM*:GN*.
Nuže veďme spojnice BE, AM, OL, FN. A poněvadž ABCDE~ FGHKL, také ^BAE—GFL a BA; AE= GF:FL. Jsou tedy dva trojúhelníky BAE, GFL, kteréž mají po jednom úhlu stejném, <$.BAE — GFL, a při stejných úhlech úměrné strany; pročež A ABE je s A FGL stejnoúhlý (VI. ví). Tedy <$AEB = FT.G. Avšak <^AEB = AMB, neboť jsou na témž oblouku (III. xxvn.), a ^.FLG — FNO; pročež i <$.AMB — FNG. Jest pak také ^.BAM—R — OFN; tedy též zbývající je zbývajícímu roven. Pročež A ABM je s A F^N stejnoúhlý. Tedy BM: GN==BA\ GF. Avšak dvojmocné větší než BM: GN jest BM*: GN*, a dvojmocně větší než BA: GF jest ABCDE: FGHKL (VI. xx.); pročež také ABCDE: FGHKL = BM*: GN*.
Tedy podobné mnohoúhelníky do kruhů vepsané — —
II.
Kruhy mají se k sobě jako čtverce průměrů.
Kruhy budtež ABCD, EFGH, průměry pak jejich BD, FH; pravím, že ABCD: EFGH— BD*: FH*.
Neboť nemá-li se ABCD: EFGH = BD*. FH*, bude se míti BD* k FH* jako kruh ABCD buď k menšímu útvaru než je kruh EFGH nebo k většímu. Měj se dříve jako k menšímu, totiž k S. I vpišme do kruhu
200
267
EFGH čtverec EFGH1); vepsaný čtverec je zajisté větší'něž polovina kruhu EFGH, ježto právě, když body E, F, G, H, vedeme tečné kruhu, polovina čtverce kolem kruhu opsaného je čtverec EFGH*) a kruh jest menší než opsaný .čtverec; pročež vepsaný čtverec EFGH jest větší než polovina kruhu EFGH3). Rozpolme oblouky EF, EG, GH, HE. v bodech K, L. M~, N a vedme spojnice EK,KF,FL, EG, GM, MH, HN, NE; jest tedy i každý z trojúhelníkův EKF, FLG, GMH,-HNE větší než příslušné úseče kruhové, ježto právě, když body iT, L, M, N vedeme tečné kruhu a doplníme na přímkách EF, FG, GH,
HE rovnoběžníky, každý z trojúhelníkův EKF, FLG, GMH, HNE bude polovinou příslušného rovnoběžníku, avšak příslušná úseč jest rovnoběžníku menší; a tak každý z trojúhelníkův EKF. FLG, GMH, HNE jest větší než polovina příslušné úseče kruhové. Tedy rozpolujíce zbývající oblouky a vedouce spojnice a to stále činíce ostavíme nějaké úsečnice kruhové, které budou menší než rozdíl kruhu EFGH a útvaru S. Dokázáno bylo totiž v první poučce knihy desáté, dány-li dvě veličiny nestejné, když se od větší odečte část větší něž polovina a od zbytku větší než polovina a to stále se děje, že zbude nějaká veličina, jež bude menší než daná veličina menší. Zbývej tedy, a buďtež úseče EK, KF, FL. LQ, GM, MH, HN, NE kruhu EFGH menší než rozdíl kruhu EFGH a útvaru S. Pročež zbývající mnohoúhelník EKFLGMHN > 6'. Vpíšme též do kruhu ABCD mnohoúhelník AOBPCQDR podobný mnohoúhelníku EKFLGMHN; tedy BD*:FH* = AOBPCQDR: EKFLGMEN. Avšak též BD2: FH* = kruh ABCD:S; pročež i kruh ABCD: S — mnohoúhelník AOBPCQDR: EKFLGMHN; tedy střídavě kruh ABCD má se ke svému mnohoúhelníku jako útvar 8 k mnohoúhelníku EKFLGMHN. Ale kruh ABCD jest větší než mnohoúhelník vepsaný, pročež i útvar S>EKFLGMHN. Avšak i menší; což právě jest nemožné. Tedy BD'1 nemá se k FH* jako kruh ABCD k nějakému útvaru menšímu než jest kruh EFGH. Podobně zajisté dokážeme, že nemá se ani FH* ' k BD* jako kruh EFGH k nějakému útvaru menšímu než jest kruh ABCD.
Pravím již, že nemá se BD* k FH* ani jako kruh ABCD k nějakému útvaru většímu než jest kruh EFGH.
') Naznačil jsem přímkami čárkovanými (u Heiberga vůbec nenaznačen). !) Neboť čtverec opsaný, tř«bas Z, jest čtverec průměru, t. d2, čtverec vepsaný z d2 Z jest -y- (viz I. xlvii.); tedy s =        Dotud nedokázáno.
3) Neboť, jestli (pozn. 2.) Z=1z a jestli 1 z větší než celý kruh,  bude z větší než polovina kruhu.
Nuže, možno-li, měj se jako k většímu T.*) Obráceně tedy má se FH* k DB* jako útvar T ke kruhu ABCD. Avšak útvar T má se ke kruhu ÁBCD jako kruh EFGH k nějakému útvaru menšímu než jest kruh ABCD; .pročež také FH* má se k BD* jako kruh EFGH k útvaru menšímu než jest kruh. ABCD; což právě dokázáno nemožným. Tedy nemá se BD* k FH* jako kruh ABCD k nějakému útvaru většímu než jest kruh EFGH. Dokázáno pak bylo, že ani jako, k menšímu; a tak BD*: FH* = kruh ABCD:EFGH.   . .
Tedy kruhy mají se k sobě — —5)
III.
Každý jehlan, mající za základnu trojúhelník, dělí se ve dva jehlany stejné a navzájem i celému podobné, jež mají za základny trojúheln í ky6), a ve dva stejné hranoly; a ty dva hranoly jsou větší než polovina celého jehlanu.
Mějme jehlan, jehož základnou jest j\ABC, temenem pak bod D; pravím že jehlan ABCD dělí se ve dva jehlany navzájem stejné,. mající za základny trojúhelníky, a celému podobné a ve dva stejné hranoly; a ty dva hranoly jsou větší než polovina celého jehlanu.
Nuže rozpolme AB. BC, CA, AD, DB, DC v bodech E, F, G, H, K, L a vedme spojnice HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF, FG. Ježto AE = E/1, AH = DH, tedy EH\\B K (VI. n.). Z téže příčiny ovšem i HK11 AB. * Pročež HEBK jest rovnoběžník; tedy HK= EB. Avšak EB = EA; pročež také AE—HK. Jest pak také AH—HD; obě tedy EA, AH jsou oběma KH, HD střídavě .rovny; i EAH = KHD; pročež EH= KD. Proto též A AEH^ HKD. Z téže příčiny ovšem i A ABG 3i HLD. A ježto dvě přímky navzájem se stýkající EH, HG jsou rovnoběžné se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími KD, DL v netéže rovině, budou svírati stejné úhly (XI. x.). Pročež EHG = KDL A ježto dvě přímky (strany) EH, HG jsou se dvěma KD, Z>Lstřídavě stejné a<$.EHG = KDL, tedy základna EG = KL; pročež A EHG &s KDL. Z téže příčiny ovšem i /\AEG(^HKL. Tedy jehlan, jehož základnou je l\AEG a temenem bod H, jest roven i podoben jehlanu, jehož základnou jest A HKL a temenem bod D (XI. vým. 10.). A ježto v /\ADB jest vedena k jedné straně AB rovnoběžka HK, A 4DB je s DHK stejnoúhlý, a mají strany úměrné; pročež A ADB ~ DHK. Z téže příčiny zajisté. i A DBC~ DKL a A AĎC~ DLH. A ježto dvě přímky navzájem se stýkající BA, AC
'*) Eukl. má tu opět S, takže S pokládá poprvé za menší, podruhé za větší; přizpůsobil jsem obrazec i označení, aby rozdílnost byla patrná. 5) Následuje výtěžek nepochybně cizí. B) Dodavek zbytečný; jsouť celému podobny.
268
209
jsou rovnoběžné se dvěma přímkami navzájem se stýkajícími KH, HL v netěže rovině, svírati budou stejné úhly. Tedy <JBAC — KHL A BA: AC = KH: HL; pročež /\ ABC ^ HKL. Tedy též jehlan, jehož základnou /\ABC a temenem bod D, podoben jest-jehlanu, jehož základnou A HKL a temenem bod D. Avšak dokázáno bylo, že jehlan, jehož základnou A HKL a temenem bod D, jest podoben jehlanu,' jehož základnou A AEG a temenem bod H [takže i jehlan, jehož základnou /\ABC a temenem D, podoben jest jehlanu, jehož základnou A AEG a temenem H], Pročež oba jehlany AEGH i HKL D jsou podobny celému jehlanu ABCD.
A ježto BF = FC, rovnoběžník EBFG — 2 GFC. A poněvadž, když jsou dva hranoly stejné výšky a jeden má za základnu rovnoběžník, druhý pak trojúhelník, a rovnoběžník je dvakrát větší než trojúhelník, ty hranoly jsou stejné (XI. xxxix. a pozn.); tedy hranol omezený dvěma trojúhelníky BKF, EHG a třemi rovnoběžníky EBFG, EBKH, HKFG rovná se hranolu omezenému dvěma trojúhelníky GFC, HKL a třemi rovnoběžníky KFCL, LCGH, HKFG. I jest patrno, že i hranol, jehož základnou rovnoběžník EBFG a jí protilehlou přímka HK, i ten, jehož základnou A GFC a protilehlým A HKL, jest větší než jeden z jehlanů, jejichžto základnami jsou /\AEG, HKL a temeny body H, D, ježto právě, když vedeme spojnice EF, EK, hranol, jehož základnou rovnoběžník EBFG a protilehlou HK, větší jest než jehlan, jehož základnou A BBF a temenem bod K. Avšak jehlan, j«hož základnou /\EBF a temenem bod K, rovná se jehlanu, jehož základnou A AEG a temenem bod H; neboť je omezují shodné roviny. A tak i hranol, jehož základnou rovnoběžník EBFG a protilehlou přímka HK, větší jest než jehlan, jehož základnou A AEG a temenem bod H. Avšak hranol, jehož základnou rovnoběžník EBFG a protilehlou přímka HK, rovná se hranolu, jehož základnou A GFC a protilehlým /\HKL; jehlan pak, jehož základnou A AEG a temenem bod H, rovná se jehlanu, jehož základnou /\HKL a temenem bod D. Pročež řečené dva hranoly jsou větší než řečené dva jehlany, jejichžto základnami A AEG, HKL a temeny body H, D.
Tedy celý jehlan, jehož základnou A ABC a temenem bod Ľ, dělí se ve dva jehlany navzájem stejné a ve dva stejné hranoly, a ty dva hranoly jsou větší než polovina jehlanu celého; což právě bylo dokázati.
IV.
Když jsou dva jehlany téže výšky, mající za základny trojúhelníky, a jeden i druhý se rozdělí ve dva jehlany stejné a celému podobné a ve dva stejné hranoly, základna jednoho jehlanu bude se mí ti k základně jehlanu druhého jako součet hranolů vjehlaně jednom k součtu hranolů stejného počtu v jehlane druhém.
Mějme dva jehlany téže výšky, jež mají za základny A ABC, DEF, za temena pak body G, H, a rozdělen buď jeden i druhý ve
dva jehlany stejné a celému podobné a ve dva stejné hranoly ;^pravím, že se má základna ABC k DEF jako součet hranolů v jehlane ABCG k součtu hranolů stejného počtu v jehlane DEFH.
Neboť, ježto B0=z OC, AL — LC, tedy LO \\ AB a <$.ABC~LOC. Z téže příčiny ovšem i A DEF ^> RVF. A ježto BC—2CO a EF = 2FV, tedy BC: CO — EF: FV. A sestrojeny jsou při BC, CO podobné a podobně položené útvary přímkové ABC, LOC a při EF, FV podobné a podobně položené DEF, RVF; pročež £\ABC:LOC = ĽEF-.RVF; střídavě tedy ABC:DEF = LOC:RVF (VI. xxii.). Avšak jako se má /\,LOC k RVF, tak hranol, jehož základnou ^LOC a protilehlým PMN, k hranolu, jehož základnou A RVF a protilehlým STU (viz násl. výt.); pročež také A ABC má se k DEF jako hranol, jehož základnou A LOC a protilehlým PMN, k hranolu, jehož základnou /\ RVF a protilehlým STU. A jako se mají k sobě řečené hranoly, tak hranol, jehož základnou rovnoběžník KBOL a protilehlou přímka PM, k hranolu, jehož základnou rovnoběžník QEVR a protilehlou přímka ST (XI. xxxix. XII. in). Tedy také dva hranoly, ten, jehož základnou rovnoběžník KBOL a protilehlou přímka PM, a ten, jehož základnou /\L0C a protilehlým PMN, mají se k hranolům, z nichž jednomu základnou QEVR a protilehlou přímka ST a druhému základnou l\RVF a protilehlým STU (V. xn.). Pročež i základna ABC má se k DEF jako řečené dva hranoly k řečeným dvěma hranolům.
A podobně, když se rozdělí jehlany PMNG, STUH každý ve dva hranoly a dva jehlany, bude se míti základna PMN k STU jako dva hranoly v jehlane PMNG ke dvěma hranolům v jehlane STUH. Avšak základna PMN: STU—ABC: DEF, neboť /\PMN=LOC, STU = RVF. Tedy také jako ABC:DEF, tak ty čtyři hranoly k oněm čtyřem hranolům (V. xn.). Podobně pak, i když rozdělíme zbývající jehlany (při temenech) každý ve dva jehlany a ve dva hranoly, základna ABC bude se míti k základně DEF, jako součet hranolů v jej hlaně ABCG k součtu hranolů stejného počtu v jehlane DEFH; což právě bylo dokázati.
VýtěZek"7).
Že však má se /\L0C k RVF jako hranol, jehož základnou /\LOC a protilehlým PMN, k hranolu, jehož základnou RVF a protilehlým STU, dlužno dokázati takto.
Nuže mysleme si v témž vyobr. z bodů G, H na roviny ABC, DEF spuštěné kolmice, právě stejné, jak patrno z toho,, žetyjehlance
"•) Sotva Eukleidův.
270
271
předem položeny za stejně vysoké. A ježto dvě přímky, t. GU a z G spuštěnou kolmici, protínají rovnoběžné roviny ABC, PMN, protínali je budou v týchž poměrech (XI. xvn.). I jest GC rovinou PMN v N rozpůlena, tedy též-kolmice z G spuštěná na rovinu ABC bude rovinou PMN rozpůlena. Z téže příčiny ovšem i kolmice spuštěná z H na rovinu DEF bude rozpůlena rovinou STU. Také :kolmíce z bodů G, H na roviny ABC, DEF spuštěné jsou stejné; pročež stejné jsou i kolmice spuštěné z trojúhelníků PMN, STU na roviny ABC, DEF. Tedy hranoly, jimž jsou základnami /\L0C, RVF a protějšími PMN, STU, mají stejné výšky. A tak i rovnoběžnostěny z řečených hranolů sestrojené jsou stejně vysoké a mají se k sobě jako základny (XI. xxxii.). Pročež i řečené hranoly, jsouce poloviny8), mají se k sobě jako základna LOG k RVT; což právě bylo dokázati.
V.
Jehlany stejně vysoké, mající z a-základny.trojúhelníky, mají se k sobě jako základny.
Mějme stejně vysoké jehlany, jež mají za základny f\ABCt DEF a za temena body G, H (vyobr. jako k poučce IV.); pravím že ABC: DEF= ABCG: DEFH.
Neboť nemá-li se ABC: DEF = ABCG : DEFH, bude se míti ABC k DEF jako jehlan ABCG k tělesu menšímu než \eDEFH nebo k většímu. Měj se dříve jako k menšímu X (vyobr. zde), a rozdělme jehlan DEFH ve dva jehlany stejné a celému podobné a ve dva stejné hranoly; ty dva hranoly zajisté jsou větší než polovina celého jehlanu (XII. ní.). A jehlany vzniklé rozdělením opět podobne rozdělmež a.to stále čiňmež, až zbudou z jehlanu DEFH nějaké jehlany, které jsou menší než rozdíl jehlanu DEFH a tělesa X. Zbývejtež, a buďte to třebas DQRS a STUH; tedy zbývající hranoly v jehlane DEFH jsou větší než těleso X. Rozdělmež i jehlan ABCG podobně a stejným počtem jako jehlan DEFG; tedy základna ABC má se k DEF jako hranoly v jehlane ABCG k hranolům v ie-hlaně DEFH (XII. iv.). Avšak též ABC:DEF—ABCG:X; pročež také ABCG k X jako hranoly v jehlane ABCG k hranolům v jehlane DEFH; tedy střídavě jehlan ABCG ke svým hranolům jako těleso X k hranolům v jehlane DEFH. Jehlan však ABCG jest větší než jeho hranoly, pročež i těleso X je větší než hranoly v jehlane DEFH. Avšak i menší; což právě jest nemožné. Tedy nemá se základna ABC k DEF jako jehlan ABCG k nějakému tělesu menšímu než je DEFH Podobně zajisté dokážeme, že ani se nemá základna DEF k ABC jako jehlan DEFH k nějakému tělesu menšímu než jest ABCG.
Pravím již, že nemá se ABCG ani k žádnému tělesu většímu než je DEFH jako základna ABC k DEF.
Nuže, možno-li, měj se k většímu X; obráceně tedy DEF: ABC'=
	
i X	
	
8) Rozumej : poloviny oněch rovnoběžnostěnů.
X-.ABCG. A jako se má. X'k jehlanu ABCG, tak jehlan DEFH k něčemu menšímu než jest ABCG, jak svrchu bylo dokázáno; pročež také DEF má se k ABC jako DEFH k něčemu menšímu než jest ABCG; což právě dokázáno nesmyslným. Tedy nemá se ABC k DEF jako ABCG k nějakému většímu tělesu než je DEFH. Dokázáno pak bylo, že ani jako k menšímu. Pročež ABC: DE F — ABCG : DEFH; což právě bylo dokázati.
VI.
Jehlany stejně vysoké, i když mají za základny mnohoúhelníky, mají se k s o b ě j a k o základny.
Mějme stejně vysoké jehlany, jež mají za základny mnohoúhelníky A B CD E, FGHKL a za temena body M, N; pravím, že ABCDEM: FGHKLN= ABCDE: FGHKL.
Nuže veďme spojnice AG, AD, FH, FK. Ježto tedy jsou dva jehlany ABCM, ACDM, jež mají za zá- , kladny trojúhelníky a stejnou výšku, mají se k sobě jako základny (XII. v.); pročež   ABC : ÄCD = ABCM : ACDM. A   součetně  ABCD -. ACD = ABCDM: ACDM. Avšak též ACD: ADE — ACDM: ADEM. Tedystejnořadně ABC£>: ADE= ABCDM: ADEM.    A   opět součetně ABCDE: ADE = ABCDEM: ADEM Podobně ovšem dokážeme, že též FGHKL: FGH— FGHKLN: FGHN. A ježto jsou dva jehlany ADEM, FGHN, které mají za základny trojúhelníky a stejnou výšku, tedv ADE: FGH— ADEM:FGHN. Avšak AĎE:ABCDE— ADEM: ABCDEM. Pročež  stejnořadně  ABCDE: FGH — ABCDEM: FGHN.   Avšak zajisté 'i- FGH: FGHKL — FGHN: FGHKLN.   Tedy   stejnořadně ABCDE: FGHKL = ABCDEM: FGHKLN; což právě bylo dokázati.
VII.
Každý hranol, jenž má za základnu trojúhelník, dělí se ve tři stejné jehlany, jež mají za základny troj-úhelní ky.
Mějme hranol, jehož základnou je l\ABC a protilehlým DEF; pravím, že hranol ABCDEF dělí se ve tři stejné jehlany, jež mají za základny trojúhelníky.
Veďme spojnice BD, EC, CD. Ježto ABED jest rovnoběžník a úhlopříčkou jeho BD, tedy A ABD = EBD; pročež i jehlan, jehož základnou je /\ABD a temenem bod C, rovná se jehlanu, jehož, základnou je A DEB a temenem bod C, Avšak jehlan, jehož základnou je A DEB a temenem bod C, je týž jako jehlan, jehož základnou je A EBC a temenem D, neboť jest omezen týmiž rovinami. Tedy též jehlan, jehož základnou" A ABD a temene.m bod D, rovná se jehlanu,
272
273
jehož základnou ř\EBC a temenem bod D.  Dále, ježto FCBE jest
rovnoběžník a úhlopříčkou jeho CE, A C£F= CBE. Proto též jehlan, jehož základnou A BCE a temenem D, rovná se jehlanu, jehož základnou A ECF a temenem D. Jehlan pak, jehož základnou A BCE a temenem D, rovná se, jak dokázáno, jehlanu, jehož základnou &ABD a temenem C; tedy též jehlan, jehož základnou A CEF a temenem D, roven jehlanu, jehož základnou ABD a temenem C; dělí se tedy hranol ABCDEF ve tři stejné jehlany, jež mají za základny trojúhelníky.
A ježto jehlan, jehož základnou /\ABD a temenem bod C, je týž jako jehlan, jehož základnou A CAB a temenem D, neboť je omezují tytéž roviny, a jehlan, jehož základnou A ABD a temenem bod C, jest, jak dokázáno, třetinou hranolu, jehož základnou A ABC a proti-lehlým DEF; tedy jehlan, jehož základnou /\ABC a temenem bod D, je tretina hranolu, jenž má touž základnu, totiž ABC, a protilehlý A DEF. , ť y
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že každý jehlan je třetina hranolu o téže základně a téže výšce9); což právě bylo dokázati.
VIII.
Jehlany podobné, mající za základny trojúhelníky, mají se ksobějako krychlestejnolehlých hran10).
Mějme podobné a podobně položené jehlany, jejichž základnami jsou A ABC, DEF a temeny body G, Ff; pravím, že ABCG: DEFH — BC3:EF3.
Nuže doplňme rovnoběžnostěny BGML, EHOP. A ježto jehlan ABCG~ DEFH, tedy     ABC = DEF,     GBC = HEF a <$ABG =
DEH a AB:DE = BC:EF= BG-.EH. A ježto AB: DE = BC: EF a strany při stejných úhlech jsou úměrné, tedy rovnoběžník BM<*> EQ.'Z téže příčiny ovšem i BN<*>ER a BK^EO. A tak tři MB, BK, BN jsou střídavě podobny třem EQ, EO, ER. Avšak tři MB, BK, BN shodují se s protějšími a také tři EQ, EO, ER jsou s protějšími shodné. Pročež tělesa BGML, EHQP jsou omezena po-
") Další čtyři řádky nepochybně cizí a konec kusý. 10) Eukl. dí: nXsuřffiv, stran.
dobnými rovinami stejného počtu. Tedy těleso BGML <*> EHQP. Podobné pak rovnoběžnostěny mají se k sobě jako krychle stejnolehlých hran (XI. xxxin.). Pročež BGML:EHQP — BC3:EFa. Avšak BGML: EHQP'= ABCG: DEFH, ježto jehlan jest šestina tělesa (rovnoběžnostěnu), protože hranol11) jsa polovinou rovnoběžnostěnu je třikrát větší než jehlan12) (XII. vn.). Tedy též ABCG: DEFH = BC3: EF3; což právě bylo dokázati.
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že podobné jehlany, i když mají za základny mnohoúhelníky, mají se k sobě jako krychle stejnolehlých hran. Neboť když se rozdělí v jehlany v nich obsažené, mající za základny trojúhelníky, tím, že se dělí podobné mnohoúhelníky základní v trojúhelníky podobné a počtem stejné i s celky stejnolehlé (VI. xx.), jako se má v jednom jeden jehlan, mající za základnu trojúhelník, k jednomu v druhém, majícímu za základnu trojúhelník, tak se bude míti též součet jehlanů v jednom, majících za základny trojúhelníky, k součtu jehlanů v druhém, jež mají za základny trojúhelníky, t. j. sám jehlan, jemuž základnou mnohoúhelník, k jehlanu, jemuž základnou mnohoúhelník. Jehlan však, jenž má za základnu trojúhelník, má se k jehlanu, jenž má za základnu trojúhelník, poměrem krychlí stejnolehlých hran (XII. vm.); pročež i ten, jemuž základnou mnohoúhelník, má se k tomu, jenž má základnu podobnou, právě jako krychle hrany ke krychli hrany.
IX.
Ve stejných jehlanech základny tvaru trojúhelníkového mají se k sobě obráceným poměrem výšek; a ve kterých jehlanech základny tvaru trojúhelníkového mají se k sobě obráceným poměrem výšek, ty jsoustejné.
Nuže mějme jehlany, jimž základnami jsou A ABC, DEF a temeny body G, H; pravím, že základny jehlanův ABCG, DEFH mají se k sobě obráceným poměrem výšek, a jako se má základna ABC k DEF, tak výška jehlanu DEFH k výšce jehlanu ABCG.
Nuže doplňme rovnoběžnostěny BGML, EHQP. A ježto jehlan ABCG — DEFH a těleso BGML—6 ABCG a těleso EHQP= 6 DEFH (XII. vm.); tedy těleso BGML —EHQP. Ve stejných pak rovnoběžnostěnech základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek (XI. xxxiv.); proto má se základna
n) Jehož základnou je totiž trojúhelník.
12) Totiž ten, jenž má stejnou základnu i výšku.
18
BM k EQ jako výška tělesa EHQP k výšce tělesa BGML. Avšak BM:EQ = 'j\ABC:DEF. Pročež má se i & ABC k DEF jako výška tělesa EHQP k výšce tělesa BCML. Avšak výška tělesa EHQP je táž jako výška jehlanu DEFH, a výška tělesa BGML je táž jako výška jehlanu ABCG) má se tedy základna AlJC k DEF jako výška jehlanu DEFH k výšce jehlanu .-JBČtf. Pročež základny jehlanů ABCG, DEFH mají se k sobě obráceným poměrem výšek.
Avšak mějte se již zálíladny jehlanův ABCG, DEFH k sobě obráceným poměrem výšek, a jako základna ABC k DEF, tak měj se výška jehlanu DEFH k výšce jehlanu ABCG: pravím, že jehlan ABCG= DEFH.
Neboť, vykonáme-li touž úpravu, ježto základna ABC má se k DEF jako výška jehlanu DEFH k výšce jehlanu ABCG, avšak ABC: DEF— BM.EQ, tedy též BM k EQ jako výška jehlanu DEFH k výšce jehlanu ABCG. Avšak výška jehlanu DEFH je táž jako výška rovnoběžnostěnu EHQP a výška jehlanu ABCG je táž jako výška rovnoběžnostěnu BGML; má se tedy BM k EQ jako výška rovnoběžnostěnu EHQP k výšce rovnoběžnostěnu BGML. Ve kterých pak rovnoběžnostěnech základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek, tv jsou si rovny; pročež rovnoběžnostěn BGML —EHQP. I jost ÄBCG = iBGML a DEFH — }EHQP; tedy jehlan ABCG—DEFH
Ve stejných tedy jehlanech základny — —
X
Každý kužel je třetina  válce,  majícího  touž základnu a stejnou výšku.
Nuže měj kužel touž základnu jako válec, totiž kruh ABCD, a stejnou výšku; pravím, že kužel je třetina válce, t. j. že válec je trojnásobek kužele.
Neboť není-li válec trojnásobek kužele, bude válec bud větší než trojnásobek kužele buď menší než trojnásobek. Budiž dříve větší než trojnásobek, a vpišme do kruhu ABCD čtverec ABCD ; čtverec ABCD zajisté větší jest než polovina kruhu ABCD (pozn. 2. 3.). I postavme na čtverci ABCD hranol stejné výšky jako válec. Postavený tedy hranol jest větší než polovina válce, poněvadž právě, když kolem kruhu ABCD opíšeme čtverec, čtverec do kruhu ABCD vepsaný jest polovinou opsaného (pozn. 2. 3.); a na nich postavená tělesa jsou rovnoběžnostěnné hranoly13) stejné výšky; rovnoběžnostěny pak o stejné výšce mají se k sobě jako základny (XI. xxxu.); pročež i hranol postavený na čtverci ABCD jest polovinou hranolu na čtverci
13) T. j. hranoly, jejichž steny po dvou jsou rovnoběžné; zde jsou to arci pravé rovnoběžnostěny.
kol kruhu ABCD opsaném ; a válec jest menší než hranol postavený na čtverci kol kruhu ABCD opsaném ; tedy hranol postavený na čtverci ABCD, stejně vysoký jako válec, jest větší než polovina válce14). Roz-polmež oblouky AB, BC, CD. DA v bodech E, F, G, H a veďme spojnice AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA; tedy též každý z trojúhel-níkův AEB, BFC, CGD, DHA jest větší než polovina příslušné úseče kruhu ABCD, jak jsme svrchu (XII. n.) dokazovali. Postavme na A AEB, BFC, CGD, DHA hranoly stejné výšky jako válec; tedy též každý z postavených hranolů jest větší než polovina příslušného úseku válcového, ježto právě, když body E, F, G, H vedeme rovnoběžky k AB, BC, CD, DA a doplníme na AB, BC, CD, DA rovnoběžníky a na nich postavíme rovnoběžnostěny stejné s válcem výšky, polovinou každého z nich jsou hranoly na l\AEB, BFC, CGD, DHA; a úseky válcové jsou menší než postavené rovnoběžnostěny; a tak i hranoly na AEB, BFC, CGD, DHA jsou větší než poloviny příslušných úseků válcových, Rozpolujíce tedy zbývající oblouky a vodíce spojnice a na každém z trojúhelníků stavějíce hranoly stejně vysoké, jako jest válec, a to stále činíce, ostavíme nějaké úseky válcové, jež budou menší než rozdíl válce a trojnásobného kužele. Ostavmež, a buďte to ty, které jsou na AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HAlb); zbývající tedy hranol, jehož základnou mnohoúhelník. AEBFCGDH a výška táž jako válce, jest větší než trojnásobný kužel. Avšak hranol, jehož základnou mnohoúhelník AEBFCGDH a výška táž jako válce, je třikrát větší než jehlan, jehož základnou mnohoúhelník AEBFCGDH a temeno totéž jako kužele (XII vil. důsl.); pročež i jehlan, jehož základnou mnohoúhelník AEBFCGDH a temeno totéž jako kužele, jest větší než kužel, jemuž základnou kruh ABCD. Avšak i menší, neboť je v něm obsažen; což právě jest nemožné. Tedy válec není větší než trojnásobek kužele.
Pravím již, že válec není ani menší než trojnásobek kužele.
Nuže, možno-li, buď válec menší než trojnásobek kužele. Obráceně tedy kužel jest větší než třetina válce. Vpišme tedy do kruhu ABCD čtverec ABCD; čtverec ABCD je tedy větší než polovina kruhu ABCD. A na čtverci ABCD postavme jehlan mající totéž temeno jako kužel; tož postavený jehlan jest větší než polovina kužele, jelikož právě, jak jsme svrchu dokazovali, když se kol kruhu opíše čtverec, bude čtverec ABCD polovinou čtverce kol kruhu opsaného; a když se na těch čtvercích postaví rovnoběžnostěny stejné výšky jako kužel, jež se zovou též hranoly18), bude postavený na čtverci ABCD polovinou postaveného na čtverci opsaném kolem kruhu, neboť se mají k sobě jako základny (XI. xxxu.). Pročež tak tomu i s třetinami, tedy též jehlan, jemuž základnou čtverec ABCD, jest polovina jehlanu postaveného na čtverci kol kruhu opsaném. I jest jehlan postavený na čtverci kol kruhu opsaném větší než kužel, neboť ten jest v onom
,4) Vnější hranol, větší patrně než válec, rovná se totiž dvojnásobnému hranolu vnitřnímu, tedy dva vnitrní jsou větší než válec, pročež jeden vnitřní jest větší než polovina válce.
Soudím, že m. m AE, EB--třeba čisti iá žnt -cruv AE, EB--, a dle
toho jsem i přeložil.
I6) Zde zajisté jsou to hranoly, jakož vůbec každý rovnoběžnostěn jest hranol, ale ovšem ne každý hranol rovnoběžnostěn.
18*
276
277
obsažen. Pročež jehlan, jemuž základnou čtverec ABCD a temeno totéž jako kuželi, jest větší než polovina kužele (pozn. 2. 3.). Rozpolmež oblouky AB, BC, CD, DA v bodech E, F, G, H a veďme spojnice AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA; tedy též každý z trojúhelníků v AEB, BFC, CGD, DHA jest větší než polovina příslušné úseče kruhu ABCD. A postavme na A AEB, BFC, CGD, DHA jehlany mající totéž temeno jako kužel; tedy též každý z postavených jehlanů z téhož důvodu větší jest než polovina příslušného úseku kuželového. Rozpolu-jíce tedy zbývající oblouky a vodíce spojnice a stavějíce na všech trojúhelnících jehlany, mající totéž temeno jako kužel, a to stále činíce ostavíme nějaké úseky kuželové, jež budou menší než rozdíl kužele a třetiny válce. Ostavmež, a buďte to ty, které jsou na AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA; tedy zbývající jehlan, jemuž základnou mnohoúhelník AEBFCGDH a temeno totéž jako kuželi, jest větší než třetina válce. Avšak jehlan, jemuž základnou mnohoúhelnik AEBFCGDH a temeno totéž jako kuželi, je třetina hranolu, jenž má za základna mnohoúhelník AEBFCGDH a touž výšku jako válec; pročež hranol, jemuž základnou mnohoúhelník AEBFCGDH a táž výška jako válci, jest větší než válec, jenž má za základnu kruh ABCD. Avšak i menší, neboť je v něm obsažen ; což právě jest nemožné. Pročež válec není menší než trojnásobek kužele; tedy válec je trojnásobek kužele; atak jest kužel třetina válce.
Tedy každý kužel je třetina válce,--
XI.
Kužele a válce téže výšky mají se k sobě jako základny 17).
Touž výšku mějte kužele a válce, jimž jsou základnami kruhy ABCD, EFGH a osami KL, MN, a průměry základen AC, EG; pravím, že kužel AL : EN— ABCD: EFGH.
Neboť, neni-li tomu tak, bude se míti kruh ABCD k EFGH jako kužel AL bud k nějakému tělesu menšímu než EN nebo k většímu.
Měj se dříve jako k menšímu 0, a budiž EN— 0=Y; pročež EN = 0 + Y. Vpišme do kruhu EhGH čtverec EFGH; tedy čtverec jest větší než polovina kruhu (XII. li. pozn. 2. 3.). Postavme na čtverci EFGH jehlan stejné s kuželem výšky; tedy postavený jehlan jest větší než polovina kužele, ježto pravě, když kolem kruhu opíšeme čtverec a na něm postavíme jehlan stejné s kuželem výšky, vepsaný jehlan jest polovinou opsaného, neboť se mají k sobě jako základny (XII. ví.); a kužel jest menší než opsaný jehlan. Rozpolmež oblouky EF, FG, GH, HE v bodech P, Q, R, S a veďme spojnice HP, PE, EQ, QF,
") T. j. kužele ke kuželům a válce k válcům.
FR, RG, GS, SH. [Každý tedy z trojúhelníkův HPE, EQF, FRG, GSH jest větší než polovina příslušné úseče kruhové. Postavme na A HPE, EQF, FRG, GSH jehlany stejné výšky, jako má kužel; každý tedy z postavených jehlanů jest větší než polovina příslušného úseku kuželového. Rozpolujíce zbývající oblouky a vodíce spojnice a stavějíce na všech trojúhelnících jehlany téže výšky, jako má kužel, a to stále činíce ostavíme zajisté nějaké úseky kuželové, jež budou menší než těleso Y. Ostavmež, a buďte to ty, které jsou na HPE, EQF. FRG, GSH: pročež zbývající jehlan, jemuž základnou mnohoúhelník HPEQFRGS a výška táž jako kuželi, větší jest než těleso O. Vpišme též do kruhu ABCD mnohoúhelník DTAUBVCX mnohoúhelníku HPEQFRGS podobný a podobně položený a postavme na něm jehlan stejné výšky, jako má kužel AL. Ježto tedy AC*: EG* —DTAUBVCX: HPEQFRGS a AC*: EG* — kruh ABCD: EFGH (XII. n.); tedy též kruh ABCD: EFGH— DTAUBVCX:HPEQFRGS. Avšak kruh ABCD: EFGH= AL: O, a DTAUBVCX k HPEQFRGS jako jehlan, jehož základnou mnohoúhelník DTAUBVCX a temenem bod L, k jehlanu, jehož základnou HPEQFRGS a temenem bod N. Pročež i AL má se k 0 jako jehlan, jehož základnou DTAUBVCX a temenem L, k jehlanu, jehož základnou HPEQFRGS a temenem A?"; tedy střídavě kužel AL k jehlanu v něm obsaženému jako těleso O k jehlanu v kuželi EN. Kužel AL však jest větší než jehlan v něm obsažený; pročež i těleso 0 jest větší než jehlan v kuželi EN. Avšak i menší; což právě jest nemožné. Tedy kruh ABCD nemá se ke kruhu EFGH jako kužel AL k nějakému tělesu menšímu než jest kužel EN. Podobně zajisté dokážeme, že ani se nemá kruh EFGH ke kruhu ABCD jako kužel EN k nějakému tělesu menšímu než jest AL.
Pravím již, že ani se nemá kruh ABCD k EFGH jako kužel AL k většímu nějakému tělesu než jest EN.
Nuže, možno-li, měj se jako k většímu O; obráceně tedy kruh EFGH: ABCD — 0 : AL. Avšak 0 má se k AL jako EN k nějakému tělesu menšímu než jest AL18); pročež také kruh EFGH k ABCD jako EN k nějakému tělesu menšímu než jest AL; což právě bylo (svrchu) dokázáno nemožným. Tedy nemá se kruh ABCD k EFGH jako kužel AL k většímu nějakému tělesu než jest EN. Dokázáno pak bylo, že ani jako k menšímu; pročež kruh ABCD:EFGH— kužel AL: EN.
Avšak jako kužel ke kuželi, tak se má válec k válci; neboť tyto jsou každý třikrát větší než ony (XII. x.). Pročež jako kruh ABCD ke kruhu EF'GH, tak se mají k sobě i válce stejně vysoké, postavené na nich.
Tedy kužele a válce téže výšky — —
XII.
Podobné   kužele a válce17)   mají se  k  sobě jako krychle z průměrů základen.
18) Bylo totiž připuštěno, že O "> EN; tedy čtvrtý člen nutně jest menší než druhý (V. XIV.).
278
279
Mějme podobné kužele a válce, jejichž základnami kruhy ABCĽ, EF6H a průměry základen BD. FH, osami pak kuželův i válců KL, MN; pravím, že kužel, jehož základnou kruh ABCD a temenem bod L, má se ke kuželi, jehož základnou EFGH a temenem N, jako BD3 k FH3.
Neboť, nemá-li se ABCĽL : EFGHN = BD3: FH3, bude se míti, jako BD3 k FH3, tak kužel ABCDL buďto k menšímu nějakému tělesu, než jest EFGHN, nebo k většímu. Měj se dříve k menšímu 0, a vpišme do kruhu EFGH čtverec EFGH; tedy čtverec EFGH jest větší než polovina kruhu EFGH (pozn. 2. 3.). A postavme na čtverci EFGH jehlan, mající s kuželem totéž temeno; tož jest postavený jehlan větší než polovina kužele (XII. X. v ii. části). Rozpolme již oblouky EF, FG, GH, HE v bodech P, Q, R,  S a veďme spojnice
EP, PF, FQ, QG, G Jí. RH, HS, SE. Tedy též každý z trojúhelníkův EPF, FQG, GRH, HSE jest větší než polovina příslušné úsečekruhuEFGH. I postavme na a EPF,FQG, GRH, FISEjehlany téže výšky jako kužel; pročež i každý z postavených jehlanů větší jest než polovina příslušného úseku kuželového. Rozpolujíce tedy zbývající oblouky a vodíce spojnice a stavějíce na trojúhelnících jehlany téže výšky jako kužel a to stále činíce ostavíme nějaké úseky kuželové, jež budou menší než rozdíl kužele EFGHN a tělesa 0. Ostavmež, a buďte to ty, které jsou na EP, PF, FQ, QG, GR. RH, HS, SE; pročež zbývající jehlan, jehož základnou mnohoúhelník EPFQGRHS a temenem bod N, větší jest než těleso 0. Vpišme také do kruhu ABCD mnohoúhelník ATBUCVDX podobný mnohoúhelníku FFFQGRHS a podobně položený a postavme na mnohoúhelníku ATBUCVDX jehlan, mající totéž temeno jako kužel, a jedním z trojúhelníkův omezujících jehlan, jehož základnou ATBUCVDX a temenem bod L, budiž LBT, z těch pak trojúhelníků, jež omezují jehlan, jehož základnou EPFQGRHS a temenem N, jedním bud NFP, a veďme spojnice RT, AIP. A ježto kužel ABCDL cv EFGHN, tedv BD :FH= osa KL: MN (XI, vým. 24.) A BD:FH= BK-.FM; pročež i BK: FM= KL : MN. Také střídavě BK : KL — FM : MN. Také stranv při stejných úhlech BKL, FMN jsou úměrné; tedy ABEL^FMN (VI. ví.). Ježto dále BK: KT— FM: MP a při stejných úhlech BKT, FMP (ježto právě, jakým dílem jest <^BKTctyr pravých kolem středu K, týmž dílem jest i ^FMPčtyr pravých kolem středu M), ježto tedy při stejných úhlech strany isou úměrné, tedy A BKT FMP. Dále, ježto bylo dokázáno, že BK: KL = FM: MN a B K = K T, FM= PM, tedy TK: KL= PM:MN. A při stejných úhlech TKL, FMN (neboť jsou pravé)19) strany jsou úměrné; pročež a LKT^jNMP. A ježto pro podobnost trojúhelníkův LKB, NMF LB: BK— NF:FM
a pro podobnost A S JÍT, FMP, JCB : BT=MF: FP, proto stejno-řadně LB: BT= N F: FP. Dále, ježto pro podobnost a LTJí, NPM LT: TK=NP: PM a pro podobnost ATKB, PMF KT: TB= MP: rjF, tedy stejnořadně LT: TB—NP:PF. Bylo však dokázáno, že i TB: BTj = PF:FN. Pročež stejnořadně TL:LB= PN:NF. Tedy v A^TB, NPF jsou strany úměrné;, pročež A^TB, NPFjsou stejno-úhlé, a tím i podobné. Tedy též jehlan, jehož základnou a BKT a temenem bod L, jest podoben jehlanu, jehož základnou a FMP a temenem N; neboť je omezují roviny podobné a počtem stejné (XI. vým. 9). Podobné však jehlany, mající za základny trojúhelníky, mají se k sobě jako krychle ze stejnolehlých stran (XII. vm.). Pročež jehlan BKTL: FMPN= BK*:J-M3. Podobně zajisté, spojujíce A, X, D, V, C, U s K a E, S, H, R, G, Q s M a stavíce na trojúhelnících jehlany, mající táž temena jako kužele, dokážeme, že i každý ze stejnolehlých jehlanů má se ke každému z jehlanů stejnolehlých jako krychle ze stejnolehlých stran BK3 k FM3, t. j. BD3 k FH3. A jako přední člen k zadnímu, tak se má součet předních k součtu zadních (V. xii). Pročež také, jako se. má jehlan BKTL k FMPN, tak celý jehlan, jehož základnou ATBUCVDX a temenem L, k celému jehlanu, jehož základnou EPFQGRHS a temenem jv; a tak i jehlan, jehož základnou ATBUCVDX & temenem L, má se k jehlanu, jehož základnou EPFQGRHS a temenem N, jako BD3 k FH3. Připustili jsme však, že i kužel, jehož základnou kruh ABCD a temenem Z, má se k tělesu 0 jako BD3 k FH3; tedy kužel, jehož základnou kruh ABCD a temenem L, má se k tělesu 0 jako jehlan, jehož základnou ATBUCVDX a temenem L, k jehlanu, jehož základnou EPFQGRHS a temenem N; pročež střídavě kužel, jehož základnou kruh ABCD a temenem L, k jehlanu v něm obsaženému, jehož základnou ATBUCVDX a temenem L, jako 0 k jehlanu, jehož základnou EPFQGRHS a temenem N. Řečený však kužel jest větší než příslušný jehlan, neboť je v něm obsažen; proto větší jest i těleso 0 než jehlan, jehož základnou EPFQGRHS a temenem N. Avšak i menší; což právě jest nemožné. Tedy kužel, jehož základnou kruh ABCD a temenem L, nemá se k žádnému tělesu menšímu, než jest kužel, jehož základnou kruh EJ^GH a temenem N, tak jako BD3 k FH3. Podobně zajisté dokážeme, že nemá se ani kužel EFGHN k žádnému tělesu menšímu, než jest kužel ABCDL, tak jako FH3 k BD3.
Pravím již, že kužel ABCDL nemá se ani k žádnému většímu tělesu, než jest kužel EFGHN, jako BD3 k FH3.
Nuže, možno-li, měj se k většímu 0. Obráceně tedy 0: ABCDL = FH3: BD3. Jako však těleso 0 ke kuželi ABCDL, tak se má kužel EFGHN k nějakému tělesu menšímu než jest kužel ABCDL (pozn. 18.). Pročež i kužel EFGHN má se k nějakému télesu menšímu, než jest ABCDL, jako FH* k BD3; což právě se ukázalo nemožným. Tedy nemá se kužel ABCDL k žádnému většímu tělesu, než jest FJFGHN. tak jako BD3 k FH3. Bylo pak dokázáno, že ani k menšímu. Pročež ABCDL : EFGHN = BD3: FH3.
-") Míní se tedy kužele kolmé.
280
281
Avšak jako kužel ke kuželi, tak se má válec k válci; neboť válec na téže základně jako kužel a stejně vysoký je třikrát větší než kužel. Proto též válec má se k válci jako BD3 k FH3.
Tedy podobné kužele a válce — —
XIII.
Když se protne válec rovinou, s rovinami protějšími rovnoběžnou, bude se mí ti válec k válci jako osa kose.
Nuže protněme válec AD rovinou GH, s protějšími rovinami AB, CD rovnoběžnou, a rovina GH sbíhej se v bodě K s osou ; pravím, že válec BG:GD = osaEK: KF.
Nuže prodlužmež osu EF na obě strany do bodův L, M, a budiž EK — EN = N L (jakýkoli počet) a FK— FO = OM (jakýkoli počet), a mysleme si na ose LM válec PX, jehož základnami jsou kruhy PQ, VX. A proložme body N, O roviny rovnoběžné s AB, CD i se základnami válce PX, a vznikejte tím kruhy RS, TU kolem středů N, O. A ježto osy LN, NE, EK jsou stejné, tedy válce QR, RB, BG mají se k sobě jako základny (XII. xi.)19). Základny však jsou stejné; pročež i válce QR, RB, BG jsou si rovny. Ježto tedy osy LN, NE, EK jsou stejné a též válce QR, RB, BG jsou si rovny a počet roven počtu, tedy kolikrát větší jest osa KL než EK, tolikrát i válec QG
bude větší než GB. Z téže příčiny ovšem i kolikrát větší jest osa MK než KF, tolikrát větší jest i válec XG než GD. A jestli KL = KM, bude též QG = GX, pakli 03a osy větší, větší též válec válce, pakli menší, menší. Když jsou tedy čtyři veličiny, osy EK, KF a válce BG, GD, osa LK a válec QG jsou vzaty za stejné násobky osy EK a válce BG, osa pak KM a válec GX za stejné násobky osy KF a válce GD, a dokázáno jest, když osa KL> KM, že též válec ~QG>GX, a když osy stejné, stejné i válce, a když menší, menší20).
Tedy válec BG:GD=osa. EK:KF; což právě bylo dokázati.
XIV.
Kužele a válce na stejných základnách mají se k sobě jako výšky17).
Nuže buďte válce (kolmé) EB, FD na stejných základnách, totiž na kruzích AB, CD; pravím, že E B: FD = GH: KL.
Nuže prodlužmež osu KL do bodu N a budiž LN= GH, a kolem osy LN mysleme si válec CM. Ježto tedy válce EB, CM mají touž výšku, mají se k sobě jako základny
') Rozuměj, že stejným poměrem.
(XII. xi.). Základny však jsou stejné; pročež stejné jsou i válce EB, CM. A ježto válec FM proťat jest rovinou CD, s rovinami protějšími rovnoběžnou, válec CM: FD = osa LN: KL (XII. xiii.). Avšak válec CM— EB a osa LN=GH; tedy válec EB: FD — osa GH: KL. Jako však se má válec EB k FD, tak kužel ABG k CDK (XII. x.). Pročež ABG:CDK=GH:KL = EB: FD; což právě bylo dokázati.
XV.
Ve stejných kuželích a válcích základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek; a ve kte.rých kuželích a válcích mají se k sobě základny obráceným poměrem výšek, ty jsou stejné.
Mějme stejné (obsahem) kužele a válce, jejichž základnami jsou kruhy ABCD, FFGH, průměry pak jejich AC, EG a osami KL, MN*), jěž jsou také výškami kuželů nebo válců, a doplňme válce AO, EP; pravím, že ve válcích AO, EP základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek, a to ABCD: EFGH = MN: KL.
Výška LK je zajisté s výškou MN buď stejná nebo nikoli. Budiž dříve stejná. Je však i válec AO = EP. A kužele i válce stejné výšky mají se k sobě jako základny ; tedy též základna ABCD — EFGH. A tak jsou k sobě také v poměru obráceném, ABCD : EFGH — MN: KL. ^
Avšak již nebuď výška LK stejná s MN, nýbrž větší buď MN, a od výšky
MN odřízneme QN stejnou s KL a v bodě Q protněme válec EP rovinou TÍ7S21) rovnoběžnou s rovinami kruhovými EFGH, RP, a na základně EFGH do výšky NQ mysleme si válec ES. A ježto válec AO—EP, tedy AO: ES = EP: ES. Avšak AO: ES —ABCD : EFGH, neboť válce AO, ES mají touž výšku (XII. xi.). A EP:ES — MN: QN, neboť válec EP jest proťat rovinou rovnoběžnou s rovinami protějšími (XII. xiii.). Pročež ABCD: EFGH = MN: QN. Avšak QN = KL; tedy ABCD: EFGH—MN-.KL. Tedy ve válcích AO, EP základny mají se k sobě obráceným poměrem výšek.
Avšak mějte se již základny válců k sobě obráceným poměrem výšek, takže ABCD: EFGH = MN: KL ; pravím, že válec AO — EP.
Neboť, vykonáme-li touž úpravu, ježto ABCD: EFGH= MN: KL a K L = QN, tedy ABCD: EFGH = MN: NQ. Avšak ABCD: EFGH = válec A O: ES, neboť mají touž výšku; a výška MN: QN = válec EP: ES; pročež AO:ES — EP:ES. Tedy AO=EP(V. ix.). A právě tak tomu i s kuželi; což právě bylo dokázati.
XVI.
Dány-li dva kruhy kolem téhož s třed u (soustředné),
	L \
i	-A
*) Střed kruhu EFGH označ N, což nedopatřením vypuštěno. 21) Písmě T u Heiberga v obrazci vynecháno; doplnil jsem.
282
283
vpíš do kruhu většího mnohoúhelník s t e j n o s t r a n n ý i sudostranný, aby se nedotýkal kruhu menšího.
Danými dvěma kruhy kolem téhož středu Kbuďtež ABCD, EFGH; má se tedy do většího kruhu ABCD vepsati mnohoúhelník stejno-stranný i sudostranný, aby se nedotýkal kruhu EFGH.
Nuže veďme středem K přímku BKD a v bodě G vztyčme na BD kolmici GA a prodlužme ji do C; tedy AC dotýká se kruhu
EFGH (III. xvi. důsl.). Rozpolujíce tedy oblouk ABD i polovinu jeho a to stále činíce ostavíme oblouk menší než AD. Ostavmež, a budiž to LD, a z Z. spusťme na BD kolmici ZM a prodlužme ji do N a veďme spojnice LD, DN; tu jest LD = DN (III m.). A ježto LN\\AC, AC pak dotyká se kruhu EFGH, tedy Z zv kruhu EFGH se nedotýká; pročež mnohem více LD, DN kruhu EFGH se nedotýkají. Když tedy zapustíme do kruhu ABCD spojitou řadou přímky stejné s LD, vepsán bude do kruhu ABCD mnohoúhelník stejno-stranný i sudostranný, tak aby se nedotýkal menšího kruhu EFGH; což právě bylo vykonati.
XVII.
Dány-li dvě koule soustředné, vpiš do větší koule mnohostěn, aby se povrchu menší koule nedotýkal*) JVlysleme si dvě koule kolem téhož středu A; má se tedy vepsati do větší koule mnohostěn, aby se povrchu menší koule nedotýkal.
Protněme koule středem nějakou rovinou; řezy zajisté budou kruhy, ježto právě tím, že průměr zůstával pevný a polokruh se otáčel, vznikala koule (XI. vým. 14.); a tak také, v jakékoli poloze si pomyslíme polokruh, rovina jím vedená bude činiti kruh. I jest na jevě, že také největší, ježto právě průměr kulový, kterýžto průměr, jak patrno, náleží i polokruhu i kruhu, jest větší než jakékoli přímky do kruhu nebo koule zapuštěné. Mějme tedy ve větší kouli kruh BCDE, v menší pak kouli kruh FGH, a veďme v nich dva průměry na sobě
") V obr. dole v levo od C m. i budiž označení A'.
kolmé BD, CE, a majíce dva kruhy soustředné BCDE, FGH vpišme do kruhu většího BCDE mnohoúhelník stejnostranný i sudostranný, aby se nedotýkal menšího kruhu FGH, a stranami jeho ve čtverníku BE buďte BK, KL, LM, ME, a spojnici KA prodlužme do Na. vztyčme v bodě A na rovině kruhu BCDE kolmici AO, a ta stýkej se s povrchem kulovým v O, a přímkami (AO), BD, EN proložme roviny; budou zajisté z důvodu řečeného činiti na povrchu koule největší kruhy. Čiňtež, a polokruhy jejich na průměrech BD, KN budtež BOD, KON. A ježto AO jest na rovině kruhu BCDE kolmo, tedy také všechny roviny kolmicí OA proložené jsou kolmo na rovině kruhu BCDE; a tak i polokruhy BOD. KON jsou na rovině kruhu BCDE kolmo, A ježto polokruhy BED, BOD, KON jsou stejné (mají totiž stejné průměry BD, KN), také čtverníky BE, BO, KO jsou stejné. Kolik tedy je stran mnohoúhelníku ve čtverníku BE, tolik i ve čtverníku BO i v K O stejných s BK. KL, LM, ME. Vpišme je, a buďte to BP, PQ, QR, RO, KS, ST, TU, UO, a veďme spojnice SP, TQ, UR a z bodů P, S na rovinu kruhu BCDE spusťme kolmice; dopadnou zajisté na společné průseky rovin BD, KN, ježto právě též roviny BED, KON jsou kolmo na rovině kruhu BCDE. Dopadejtež, a buďte to PV, SX, a veďme spojnici XV. A ježto v stejných polokruzích J30D, KON odříznuty stejné tětivy BP, AS a spuštěny kolmice PV, SX, tedy P\ =SX a BV — KX**). Také však celá BA = KA; pročež i zbývající VA = XA. Tedy B V: VA = KX-.XA; pročež XV\\KB. A ježto PV i SX jsou na rovině kruhu BCDE kolmo, jest PV\\ SX. Bylo však dokázáno, že jsou i stejné; tedy XV, SP jsou i stejné i rovnoběžné (I. xxxm.). A ježto XV\\SP, avšak XV\\KB, tedy též SP\\KB. A protínají je BP, KS; pročež čtyřúhelník (čtyř-stran) KBPS jest v jedné rovině, jelikož právě, když jsou dvě přímky rovnoběžné a na obou se vytknou nahodilé body, spojnice těch bodů jest v téže rovině jako rovnoběžky (XI. vn.). Z téže příčiny ovšem i čtyřúhelníky SPQT, TQRU jsou každý v jedné rovině; jest pak v jedné rovině i A URO. Když si tedy pomyslíme z bodů P, S, Q, T, R, U do A vedené spojnice, sestaven bude jakýsi útvar mnoho-stěnný mezi oblouky BO, KO, složený z jehlanů, jejichž základnami jsou čtyřúhelníky KBPS, SPQT, TQRli a A URO, temenem pak bod A. Když pak také na každé z přímek KL, LM. ME jako právě na BK upravíme totéž a rovněž na ostatních třech čtvernících, sestaven bude jakýsi útvar mnohostěnný, vepsaný do koule, složený z jehlanů, jejichž základnami jsou řečené čtyřúhelníky a A URO i útvary stejnolehlé, temenem pak bod A.
Pravím, že řečený mnohostěn se nedotýká povrchu koule menší, na níž jest kruh FGH.
Veďme z bodu A na rovinu čtyřúhelníku KBPS kolmici AT, a stýkej se s rovinou v bodě T, a veďme spojnice TB, YK. A ježto AT \_KBPS, tedy též na všech přímkách s ní se stýkajících a jsoucích v rovině čtyřúhelníku jest kolmo. Pročež ATj^BT, AT \_KT. A ježto AB—AK, též AB* = AK*.   A ABn- = AT*-f TB*, neboť      T jest
Neboť &BPV^:KSX (I. xxvi.).
284
pravý; a AK* = AY* -f- YK*. Pročež AY* -\- YB* — AY* A- YK* Odečtěme společné AY*\ tedy zbývající BY* = YK*; proto BY— YK-Podobně zajisté dokážeme, že také spojnice bodu Y s P, Sjsou stejné s BY, YK. Tedy kruh rýsovaný ze středu Y a rozpětím ÝB neb YK zasáhne i body P, S, a čtyřúhelník KBPS bude v kruhu. A ježto KB^> XV a XV=SP, tedy KB > SP. Avšak KB — KS=BP; pročež i KS> SP, BP> SP. A ježto čtyřúhelník KBPS jest v kruhu a KB, BP, KS jsou stejné, PS však menší a 5Y jest poloměrem kruhu, tedy KB*~> 2BY**a). Vedme z Z na 5F kolmici KV**). A ježto ÄD < 2DV a BD: £>V=BDxBV:ĽVXSV; narýsujeme-li z Ä F čtverec a dopl-níme-li na VD rovnoběžník, tedy též DBxBV<2 DVX VB. A ve-deme-li spojnici KD, jest DBXBV=BK**i) a DVX VB = KV*; pročež ZS2<2ZF2. Avšak KB*>2BYl, tedy Xí/2>5F2. A ježto 54 = .£4, tedy BA*=KA*. A BA*=BY*\-YA* a KA*—KV*A-VA*; pročež £7^+ T^2 = isT^-f V A*, z čehož ZV2>£F2; tedy zbývající VA*<.YA*. Pročež AY>AV; tedy o mnoho větší jest_4F než AG. I dosahuje A Y jedné základny mnohostěnu, AG pak povrchu menší koule; a tak mnohostěn povrchu menší koule nebude se do-týkati.
Dány-li tedy dvě koule soustředné, do větší koule jest vepsán mnohostěn, takže se nedotýká povrchu koule menší; což právě bylo vykonati.
Důsledek.
Když pak se vpíše i do jiné koule mnohostěn podobný mnohostěnu v kouli BCDE, mnohostěn v kouli BCDE má se k mnohostěnu v kouli druhé jako krychle z průměru koule BCDE ke krychli z průměru koule druhé. Neboť rozdělí-li se ta tělesa v jehlany stejného počtu a stejnolehlé, budou to jehlany podobné. Podobné jehlany mají se k sobě jako krychle stejnolehlých hran (XII vin. důsl.); tedy jehlan, jehož základnou čtyřúhelník KBPS a temenem bod A, má se k stejnolehlému jehlanu v kouli druhé jako krychle stejnolehlé hrany ke krychli hrany stejnolehlé, t. j. jako krychle poloměru AB té koule, jejímž středem jest A, ke krychli poloměru koule druhé. Podobně i každý jehlan v kouli, jejímž středem jest A, ke každému stejnolehlému jehlanu v kouli druhé bude se míti tak, jako AB3 ke krychli poloměru koule druhé. A jako se má jeden člen přední k jednomu zadnímu, tak součet předních k součtu zadních; a tak celý mnohostěn v kouli, jejímž středem A, bude se míti k celému mnohostěnu v kouli druhé jako AB3 ke krychli poloměru koule druhé, t. j. jako krychle průměru BD ke krychli průměru koule druhé; což právě bylo dokázati.
2S) KB je totiž delší než strana s čtverce vepsaného;  a s' = 2 c! (zde 2 BY2); tedy KB1 > 2 5Y2.
24) V orig. KQ, avšak dopadne práve do V; dle toho všude dále opraveno. 25* BK2= KV- + BV\   KVi — BVxVD;   tedy   BKl ■= BV x VD -f- BV* —
BV(VD-\-BV)=*BVxBD.
XVIII.
28 5
Koule mají se k sobě jako krychle vlastních průměrů.
Mysleme si kulemi ABC, DEF, průměry pak jejich BC, EF; pravím, že ABC: DEF = BC3:EF3.
Neboť, nemá-li se ABC: DEF—BC3 : EF3, bude se tedy míti koule ABC bud k nějaké kouli menší, než jest DEF, nebo k větší tak, jako BC3 k EF3. Měj se dříve k menší GHK, a mysleme si DEF soustřednou s GHK a vpišme do větší koule DEF mnohostěn, tak aby se nedotýkal povrchu menší koule GHK (XII. xvn.), a vpišme rovněž do koule ABC mnohostěn mnohostěnu v kouli DEF podobný; tedy mnohostěn v ABC má se k mnohostěnu v DEF jako BC3 k EF3 (XII. xvn. důsl.). Avšak i koule ABC: GHK— BC3:EFS; pročež má se koule ABC ku GHK jako mnohostěn v ABC k mnohostěnu v DEF; střídavě tedy koule ABC ke svému mnohostěnu jako koule GHK k mnohostěnu v DEF. Koule ABC však jest větší než vepsaný mnohostěn ; pročež i koule GHK jest větší než mnohostěn v DEF. Avšak i menší, neboť
jest v něm obsažena. Tedy koule ABC nemá se ke kouli menší, než jest DEF, jako BC3 k EF3. Podobně zajisté dokážeme, že ani koule DEF nemá se ke kouli menší, než jest ABC, jako EF3 k BC3.
Pravím již, že koule ABC nemá se ani ke kouli větší, než jest DEF, jako BC3 k EF3.
Nuže, možno-li, měj se k větší LMN; obráceně tedy LMN:ABC = EF3:BC3. Jako však LMN k ABC, tak se má koule DEF k nějaké menší kouli, než jest ABC, ježto právě LMN>DEF (viz XII. xi. pozn. 18.) [jakož bylo svrchu dokázáno). Pročež také se má koule DEF k nějaké menší kouli, než jest ABC, jako EF3 k BC3; což právě dokázáno bylo nemožným. Proto koule ABC nemá se k žádné kouli větší, než jest DEF. jako BC3 k EF3. Dokázáno však, že ani k menší. Tedy ABC: DEF = BC3: EF3; což právě bylo dokázati.
Kniha třináctá.
i.
Když se rozdělí přímka poměrem krajním a středním, čtverec z větší úsečky, zvětšené o polovici celé, rovná se pa(eronásobnému čtverci z polovice.
Nuže   buď přímka AB rozdělena poměrem  krajním   a středním v bodě C a větší úsečkou buď AC a buď AC prodloužena v přímém
AB
směru o AD a buď AD = —7r—; pravím, že
ML
O
c
D
]b
čtverec z CD=5DA*.
Nuže sestrojme z AB, DC čtverce AE, DF a DF vylinkujme a prodlužme FC do G. A ježto AB je v C rozdělena poměrem krajním a středním, jest ABX RC — AC'1. I jest AB X BC = CE a AC"- = F H; tedy CE = FH. A ježto BA — 2 AD a BA = K A a AD — AH, tedy též KA — 2AH. Avšak K A: AH = CK: CH\ tedy CK—2CH. Jest pak i LH-A-HC=2HC (I. xliii.).   Pročež  KC = LH + HC. Dokázáno pak bylo, že také CE—HF; tedy celý čtverec AE=MNO. A ježto BA — 2AD, jest B A* = 4 AD'2, t. j. AE—4DH. Avšak AE=zMNO; tedy též soudélník MNO = 4 DÄ Tedy celý DF= b DII (n. ylP). I jest DF=DC", AP pak = DA"-. Tedy CDa = 5DA*. Když se tedy rozdělí přímka — —
G
E
F
II.
Když je čtverec přímky pateronásobkem čtverce z úsečky její, rozdělí-li se řečená úsečka zdvojnásobena jsouc poměrem krajním astředním, větší úsečka (nová) je zbývající částí přímky počáteční.
Nuže bud AB"- = 5 A O2 a CD — 2AC; pravím, že větší úsečkou přímky CD, když se rozděluje poměrem krajním a středním, jest BC.
Nuže narýsujeme z AB i z CD čtverec AF, CG a vylinkujeme AF a veďme .RE. A ježto BA* = ĎAC\ jest AF= 5 AH. Tedy soudélník MArO = 4 /ířř. A ježto DC = 2 C^l, tedy Z>C2 = 4C/á2, t. j. CG = 4AH. Dokázáno pak bylo, že též soudélník MNO — 4AH, tedy soudélník MNO —CG. A ježto DC= 2 CA a £>C = CJT, AC=CH, tedy též KB — 2 BH. (VI. i.) Avšak též LHA-HB = 2 5// (I. xliii.), tedy KB = LHA- HB. Bylo pak dokázáno, že též celý soudélník MNO je roven celému CO, tedy též zbývající HF=BG. I jest BG = CDx DB, neboť CD — DO; a HF — CB*; tedy CDXDB^CB*. Pročež DC:CB=CB:DB. Avšak DB>CB; tedy také CB>BD (V. xiv.). Tedy větší úsečkou přímky CD, když se dělí poměrem krajním a středním, jest BC.
			
	MÍ		
		II j	
		0	B
A		c	
K			E
G
Výtěžek.')
Je pak 2 ACy BC, takto třeba dokázati.
Nuže, není-li tomu tak, budiž, možno-li, BC—2AC. Tedy BC'2 — A C A2. Podmínkou však jest, že&42 = 5 042; tedy BA2 = BC* -f CM2, což právě nemožno (II. iv.). Tedy není CB = 2 AC. Podobně ovšem dokážeme, že ani menší než CB není dvakrát větší než CA; neboť to je mnohem nemožnější.
Tedy 2AC^BC; což právě bylo dokázati.
III.
D
G	O í	
	/q	
/	K	F
Když se rozdelí přímka poměrem krajním a středním, čtverec menší úsečky zvětšené o polovici úsečky větší rovná se pateronásobnému čtverci z polovice úsečky větší.
Nuže rozdělme nějakou přímku AB v bodě C poměrem krajním a středním a větší úsečkou buď A C a. bud AC v D rozpůlena; pravím že BD* = 5 DC*.
Nuže narýsujme z AB čtverec AE a dvojitě vylinkujeme. Ježto AC=2DC, tedy AC'l—4DC2, t. j. RS=4FG. A ježto ABX BC—AC"- a ABX BC — CE. tedy CE = Ktj.. Avšak KS=4FO, tedy též CE=4FG. Ježto dále AD=DC, též HK—KF. Pročež také OF=HL. Tedy GK=KL, t. j. MN=NE, pročež také MF = FE. Avšak MF—CG, tedy ji též CG—FE. Společným přičtěme CN; tedy soudélník OPQ—CE. Avšak dokázáno, že CE=40F; tedv též soudélník OPQ = 4FG Pročež OPQ A-FG — b FG. Avšak OPQ +FG =
DN. I jest DN = DB'2 a FG = DC'X; tedy DB2 = 5DC2; což právě bylo dokázati.
M
E
IV.
Když se přímka rozdělí poměrem krajním a středním, součet čtverců z celé a z úsečky menší je třikrát větší nežli čtverec úsečky větší.
Mějme přímku AB a rozdělme ji poměrem krajním a středním v G a větší úsečkou buď AC; pravím, že AB"- A- BC2 = 3 CA*.
Nuže narýsujme z AB čtverec ADF.B a útvar vylinkujme.
*) Pochybného původu.
288
289
JĽ
B
í F	
	
G
Ježto tedy AB jest rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AC, tedy ABx BC=AC*.
1 jest ABXBC= AK, AC* = HG, tedy AK— HG. A ježto AF— F E (I. xliii.), společným přičtěme CK; tedy celý AK rovná se celému CE; tedy AK-\-CE =
2 AK. Avšak AK A- CE= LMN4- CK; tedy LMN-j- CK = 2 AK. Avšak bylo zajisté dokázáno, že též AK= HG, tedy LMN+ CK + HG = 3HGA jest soudélník LMNAr CK-\-HG = AEA- CK, což právě jsou čtverce z AB a BC, GH pak čtverec
z       Tedy ,4£2 + BC* = 3 4(7; což právě bylo dokázati.
V.
Když se přímka rozdělí poměrem krajním a středním a připojí se k ní rovná úsečce větší, celá přímka rozdělena jest poměrem krajním a středním, a větší úsečkou jest přímka počáteční.
Nuže bud přímka AB rozdělena poměrem krajním a středním v bodě C a větší úsečkou buď AC a bud AD — AC; pravím, že přímka DB jest v A rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou že je přímka počáteční AB.
Nuže narýsujme z AB čtverec AE a útvar vylinkujme. A ježto AB je v C rozdělena poměrem krajním a středním, tedy jest ABXBC=AC*. I jest AB X BC=CE, AC* = CH; tedy CE—CH. Avšak CE=HE a CH — DH, tedy též DH= EH. Pročež celé DK—AE. I jest DK= BDxDA, neboť AD = DL; AE puk = AB*; tedy BD X BA = AB*. Pročež DB : BA = BA: AD. Avšak DB > BA, tedy též BA >AD.
Tedy DB jest v A rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AB; což právě bylo dokázati2).
VI.
Když se přímka změrná rozdělí poměrem krajním a středním, každá z úseček je nezměrná, nazývaná ús eč nicí.
Přímkou změrnou buď AB a bud rozdělena v C poměrem krajním a středním, a větší úsečkou bud AC; pravím, že AC i CB jest nezměrná, nazývaná úsečnicí.
BA
Nuže prodlužme BA a buď AD = ——.  Ježto tedy přímka AB
rozdělena je v C poměrem krajním a středním  a k úsečce větší AQ AB
připojena AD, jsouc tedy CD*=5DA* (XIII. i.). Tedy CD* má
se k DA* jako číslo k číslu; jest tedy CD* s DA* souměřitelné. D A* však je změrné, neboť DA je změrná, jsouc polovicí změrné přímky AB, tedy též CD* je změrné; pročež i CD je změrná (X. ví. a vým. 3. 4.). A ježto CD* nemá se k DA* jako
číslo čtvereční k číslu čtverečnímu, tedy    D_A_C B
CD je s DA dle délky nesouměřitelná l—'       ' ' *
(X. ix.);  pročež CD, DA jsou změrné,
jen dle dvojmoci souměřitelné.   Tedy AC jest úsečnice (X. lxxiil).
Dále, ježto AB je rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AC, tedy AB X BC — AC*. Tedy čtverec úsečnice AC přistavený ke změrné AB šířkou činí BC. Čtverec úsečnice však, ke změrné přistavený, šířkou činí úsečnici první (X- xcfn.). Tedy CB jest úsečnice první. Bylo pak dokázáno, že též CA jest úsečnice.
Když se tedy přímka změrná rozdělí —
VII.
Když jsou v stejnostranném pětiúhelníku tři úhly buď pořadem buď mimo pořad sobě rovny, pětiúhelník bude stejnoúhlý.
Nuže buďte v pětiúhelníku stejnostranném ABCDE nejprve pořadem tři úhly A, B, C sobě rovny; pravím, že pětiúhelník ABCDE je stejnoúhlý.
Nuže veďme spojnice AD, BE, FD. <$CBA — BAE, tedy základna AC — BE úhly rovny budou úhlům ostatním, proti nimž leží stejné strany, <šf.BCA—BEA, <^.ABE—CAB, pročež i strana AF= BF. Bylo pak dokázáno, že též celá^lC — BE; tedy též zbývající FC= FE. Jest pak i CD —DE; tedy FC, CD jsou stejné s FE, ED a základnou jejich společnou
A ježto CB = BA = AE a a /\ ABC— ABE i ostatní
2) Buď o = fe-|-c, a též a: b*=b:c; b :a = (o—6) :b, z toho (b + a): a = a:b.
FD; tedy F CD = FED. Bylo pak dokázáno, že též <^BCA = AEB, pročež i celý <$BCD = AED. Avšak jest podmínkou, že <$.BCD = A = B; tedy též AED — A — B. Podobně ovšem dokážeme, že též <$.CDE = A i B i C; tedy pětiúhelník ABCDE jest stejnoúhlý.
Avšak již nebuďtež úhly po řadě stejné, nýbrž stejné buďte při bodech A, C,D; pravím, že i takto pětiúhelník ABCDE je stejnoúhlý.
Nuže veďme spojnici BD. A ježto strany BA, AE—BC, CD a svírají stejné úhly, tedy základna BE— BD a /\ABE = BCD, i ostatní úhlv rovny budou ostatním úhlům, proti nimž leží stejné strany; tedy <$.AEB = CDB. Jest pak i ^BED = BDE, ježto i strana BE— BD. Pročež i celý <^iAED=CDÉ. Avšak jest podmínkou, že <$.CDE= A, C; tedy též <^.AED = A, C. Z téže příčiny ovšem i -š^ABC — A,
19
I
.i i*
290
291
C, D. Tedy pětiúhelník ABCDE je stejnoúhlý; což právě bylo do-kázati.
VIII.
Když jsou vpěti úhelní ku stejnostranném a stejno-úhlém proti dvěma sousedním úhlům úhlopříčky, protínají se navzájem poměrem krajním a středním, a větší jejich úsečky rovnají se stranám pětiúhelníku.
Nuže budte v pětiúhelníku stejnostranném a stejnoúhlém ABCDE po řadě proti dvěma úhlům A, B úhlopříčky AC, BE navzájem se
protínající v bodě H; pravím, že jedna i druhá rozdělena je v bodě H poměrem krajním a středním a větší jejich úsečky že se rovnají stranám pětiúhelníku. ,
Nuže opišme kolem pětiúhelníku ABCDE kruh ABCDE. A ježto dvě strany EA, AB rovnají se dvěma stranám AB, BC a svírají stejné úhly, tedy základna BE = AC a Á ABE — ABC i ostatní úhly budou jednotlivě rovny ostatním úhlům, proti nimž leží stejné strany. Tedy <3LBAG = AB£; pročež *3i AHE = 2 BAH. Jest pak i <$EAC= 2BAC, ježto zajisté i oblouk EDC=2CB; tedy <£HAE = AHE; pročež i přímka HE=EA, t. AB. A ježto BA — AE, též <^.ABE — AEB. Avšak dokázáno, že <$.ABE=BAH; tedy též <%BEA = BAH. A společným úhlem obou trojúhelníkův ABE, ABH jest -šf.ABE; tedy zbývající BAE= AHB; pročež <$.ABE je s ABH stejnoúhlý: tedy EB :BA — AB:BH. Avšak BA = EH, tedy BE:EH— EH:HB. BE však > EH, tedy též EHy-HB. BE tedy je rozdělena v H poměrem krajním a středním, a větší úsečka HE rovná se straně pětiúhelníku. Podobně ovšem dokážeme, že též AC je v H rozdělena poměrem krajním a středním a že větší úsečka její CH rovná se straně pětiúhelníku, což právě bylo dokázati.
IX.
Když se sečtou strana šestiúhelníku a strana desetiúhelníku, do téhož kruhu vepsaných, celá přímka jest rozdělena poměrem krajním a středním a její úsečkou větší je strana šestiúhelníku.
Mějme kruh ABC a útvarů do kruhu ABC vepsaných, a to desetiúhelníku bud stranou BC, šestiúhelníku pak CD, a čiňte přímku ; pravím, že celá přímka BD je rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou její že je CD:
Nuže vezměme za střed kruhu bod E a vedme spojnice EB, EC, ED a prodlužme BE do A. Ježto stranou desetiúhelníku stejno-
stranného jest BC, tedy oblouk ACB je pětkrát větší než oblouk BC, pročež obi. AC = 4 obi. CB. A jako se 1 má obl. AC k ôbl. CB, tak <$AEC k <$CEB; tedy <^AEC = 4 CEB. A ježto <$.EBC = ECB, tedy ^,AEC=2ECB. A ježto EC = CD, neboť jedna i druhá z nich rovná se straně šestiúhelníku do kruhu ABC vepsaného; též 4: CED = CDE. Tedy <$.ECB = 2EDC. Avšak dokázáno, že *$AEC = 2ECB, tedy <$AEC = 4 EDC. Dokázáno pak, že též <^AEC—4BEC; pročež <^EDC = BEC. Oběma však trojúhelníkům, BEC i BED, společný jest -QEBD; pročež i zbývající <$BED = £CB; tedy & EBD je s ĺ\EBC stejnoúhlý. Proto DB: BE= EB:
BC. Avšak EB — CD. Pročež BD:DC — DC:CB. Avšak BD > DG; tedy též DC>CH. Tedy přímka BD jest rozdělena poměrem krajním a středním, a větší úsečkou její jest DC; což právě bylo dokázati.
X.
Když se do kruhu vpíše pětiúhelník stej n ostranný, čtverec strany toho pětiúhelníku rovná se čtvercům strany šestiúhelníku a desetiúhelníku, vepsaných do téh o ž kruhu.
Kruhem budiž ABCDE, a vpišme do kruhu ABCDE stejnostranný pětiúhelník ABCDE; pravím, že čtverec strany pětiúhelníku ABCDE rovná se čtvercům strany šestiúhelníku a desetiúhelníku, vepsaných do kruhu ABCDE.
Nuže vezměme za střed kruhu bod E a prodlužme spojnici AI1 do bodu G a vedme spojnici FB a. z F vedme na AB kolmici FH a prodlužme ji do K a vedme spojnice AK, KB a opět vedme z bodu F na AK kolmici FL a prodlužme ji do M i spojme A's N. A ježto obi. ABCG — AEDG, z čehož ABC — AED, tedy zbývající obl. CG = GD. CD však náleží pětiúhelníku; pročež CG desetiúhelníku. A ježto FA — FB a FH jest kolmice, tedy též *$AFK — KFB. A tak i obl. AK—KB; protož obl. AB — 2 BK; tedy přímka AK je strana desetiúhelníku. Z téže příčiny ovšem též obl. AK—2KM. A ježto obl. AB = 2BK a obl. CD = AB, tedy též obl. CD—2BK.
Jest pak i obl. CD = 2 CG; pročež i obl. CG — BK. Avšak obl. BK=l* 2 KM, ježto i KA3); tedy CG = 2 KM. Avšak zajisté i obl. CB = 2BK,
') Rozuměj : obl. KA = 2 KM.
19*
293
neboť obi. CB « obi. BA. Proto též celý obl. OB = 2 BM; a tak i GFB = 2BFM (VI. xxxiii.). Také však -$.GFB = 2FAB, neboť ^.FAB = ABF. Tedy též <$BFN= FABA). Avšak <$ABF je společný oběma A ABF a ÚFA7, tedy zbývající <$AFB — BNF; pročež A ABF je s i?F7V stejnoúhlý. Tedy strana AB: BF == BF:BN; pročež ABXBN=BF*. Dále, ježto AÍ/ = L2T, společnou však jest kolmice ZA7, tedy základna KN—AN, pročež i <$.LKN=zLAJ\T. Avšak *$.LAN KBN; tedy též <$.LKN=KBN. A <M je společný trojúhelníkům jl&B, ^A". Zbývající tedy AKB = KNA ; pročež trojúhelník je s KNA stejnoúhlý. Tedy strana BA: AK— AK: AKi. Proto BAXAW=AK*. Bylo však dokázáno, že též AB x BN = BF*; tedy JBX ÄV-j-BA x AN = BA*=BF*A- AK* (II. n.). I jest BA strana pětiúhelníku, BF šestiúhelníku, AK desetiúhelníku.
Tedy čtverec strany pětiúhelníku —
XI.
Když se do kruhu, jehož průměr je změrný, vpíše stejnostranný pětiúhelník, strana toho pětiúhelníku jest nezměrná, řečená menší.
Nuže do kruhu ABCĽE, jehož průměr je změrný, vpišme stejnostranný pětiúhelník ABCDE; pravím, že strana toho pětiúhelníku jest nezměrná, řečená menší.
Nuže vezměme za střed kruhu bod F a veďme spojnice AF, FB a prodlužme je do bodů G, H*) a spojme A s C, a budiž FK— \ AF. AF pak je změrná, pročež změrná jest i FK. Jest pak i BF změrná, pročež celá BK je změrná. A ježto pbl. ACO — ADG, z čehož ABC=z AED, tedy zbývající CG — GD A když spojíme A s D, shledáváme, že úhly při L jsou pravé a CD—2 CL. Z téže příčiny ovšem i úhly
při M jsou pravé a AC—2CM. Ježto tedy ^.ALC—AMF a *$.LAC je společný trojúhelníkům AMF, ACL. proto zbývající <$.ACL==MFA; tedy [\ACL je s AMF stejnoúhlý; pročež LC: CA = MF:FA; a vezmou-li se přední členy dvojnásobně, 2 LC : CA == 2 MF: FA. Avšak 2 MF:FA = MF:\FA; pročež také 2LC:CA — MF:\FA. A vezme-me-li zadních členů poloviny, tedy 2LC: \CA = MF:\FA. I jest 2LC=DC, \CA=CM a \FA=FK; pročež Z>C: Či/=MF:FJf. Také součetně (DC+ CM):CM=MK:FK; tedy též (DC-A-CM)*: CM* = MK*: KF*. A ježto větší úsečka úhlopříčky při sousedních stranách pětiúhelníku, jako jest AC, jest-li rozdělena poměrem krajním a středním, je stejná se stranou pětiúhelníku, t. j. s DC (XIII.
vílí.) a čtverec větší úsečky, zvětšené o polovinu celé, rovná se pa-teronásobnému čtverci z poloviny (XIII. í.) a polovinou celé AC jest CM, tedy (DC Ar CM)* — 5 CM*. Avšak dokázáno bylo, že (DCA-CM)*: CM* = MK*: KF*; proto MK* — 5 KF*. A KF* je změrné, neboť průměr je změrný; tedy změrné jest i MK*; pročež MATje změrná. A ježto BF=4FK, tedy B K = 5 KF; pročež BK*=^25KF*. Avšak MK* = 5KF*; tedy BK* — 5KM*; proto nemá se BK* ke KM* jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy BK není s KM dle délky souměřitelná. A každá z nich je změrná. Pročež BK, KM jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Když pak se od změrné odečte změrná, jen Ve dvojmoci s celou souměřitelná, zbývající jest nezměrná* t. úseč-nice; tedy MB jest úsečnice a příslušnou k ní MK. Pravím již, že také čtvrtá. Nuže, oč BK* > KM*, tomu rovnej se N*; pročež BK* — KM*A-N*. A ježto KF je s FB souměřitelná, také součetně KB jest souměřitelná s FB. Avšak BF jest souměřitelná s BH; tedy též BK jest souměřitelná s BH. A ježto BK* = 5 KM*, tedy BK2: KM* =5:1. Pročež zvratně (V. vým. 16.) BK*^:JV2 = 5:4, nikoli jako čtvercové číslo k číslu čtvercovému; tedy BK je s A7" nesouměřitelné (X. ix.). Pročež BK* > KM* o čtverec přímky s BK nesouměřitelné. Ježto tedy celá BK jest ve dvojmoci větší než příslušná KM o čtverec přímky s BK nesouměřitelné a celá BK jest souměřitelná s danou žměrnou BH, tedy jest MB úsečnice čtvrtá (X. vým. třetích č. 4.), Pravoúhelhík pak objímaný změrnou a úsečnicí Čtvrtou jest nezměrný, a přímka vě dvojmoci jemu rovná jest nezměrná, i slove menší (X. xciv.). Avšak HBx BM= AB*, ježto vedením spojnice AB?) stává se A ^ÄňTstejno-úhlým s l\ABM a HB: BA — AB: BM.
Tedy v pětiúhelníku strana AB jest nezměrná, řečená menší; což právě bylo dokázati.
XII.
Když se vp íšédo k ruhutr o j úhelník stejnostranný, čtverec strany tohoto trojúhelníku je třikrát větší nežli čtverec k r u h o vé h o poloměru.
Kruhem budiž ABC, a do něho vpišme stejnostranný [\ABC; pravím, že čtverec jedné strany trojúhelníku ABC je třikrát větší nežli čtverec poloměru kruhu ABC.
Nuže za střeď kruhu ABC vezměme D a spojnici AD prodlužme do E a spojme B s E. A ježto l\ABC je stejnostranný, tedy obl. BEC je třetina obvodu kruhu ABC. Pročež obl. BE jest šestina kružnice; náleží tedy přímka BE šestiúhelníku, pročež je stejná s poloměrem DE. A ježto AE= 2 DE, jest AE*=ADE*, t. j. 4 BE*. Avšak AE* — Ab* -f- BE*; tedy AB*A.-BE*=4 BE*.
Pročež odečtením AB* = 3 BE2. Avšak BE = DE; a tak AB* = 3 DE*.
4) Neboí < BFN je týž jako BFM.
*) Styčný bod H tětiv AH, BH má býti až nft obvodě kruhu.
'') V obr. jsem přidal.
204
295
Tedy čtverec strany toho trojúhelníku rovná se trojnásobnému čtverci (kruhového) poloměru; což právě bylo dokázati.
XIII.
Sestrojjehlan aopišdanou kulí adokaž, že čtverec kulového průměru jest půldruhakrát větší nežli čtverec jehlanové strany (hrany).
Průměrem dané koule budiž AB a buď rozdělen v bodě C tak, aby bylo AC=2CB; a narýsujme na AB polokruh ADB a zřiďme v bodě C na AB kolmici CD ä veďme spojnici BA; mějme též kruh EFG poloměru stejného s DC a v pišme do kruhu EFG stejnostranný /\^EFG a za střed kruhu vezměme H a veďme spojnice EH, HF, HG; i vztyčme v bodě H na rovině kruhu EFG kolmici HK a odřízněme od HK úsečku HK stejnou s AC a veďme spojnice KE, KF,
KG 6). A ježto HK jest na rovině kruhu EFG kolmo, tedy také se všemi přímkami s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině kruhu EFG bude činiti úhly pravé. Stýkají však se s ní HE, HF, HG; pročež HK jest na HE, HF, HG kolmo. A ježto HK— AC a HE — CD a svírají pravé úhly, tedy základna KE — D A. Z téže příčiny ovšem i KF— D A i KG — DA; tedy KE=KF — KG. A ježto AC=2CB, tedy AB = 3hC. Avšak AB : BC— AD'1 :DC'\ jakož ihned potom bude dokázáno (výt.). Pročež AD* = 3 DC2. Jest pak i FE* = 3EH* (XIII. xn.) a DC = ĚH; tedy DA = EF. Avšak bvlo dokázáno, že DA=KE = KF= KG; pročež EF, FG, GE jsou stejné s KE, KF, KG. Tedy čtyři trojúhelníky EFG, KEF, KFG, KEG jsou stejnostranné. Pročež jehlan sestaven je ze čtyř stejnostranných trojúhelníkův a základnou jeho, jest /\ EFG a temenem bod K.
Má se ovšem též opsati danou kulí a dokázati, že čtverec kulového průměru jest půldruhakrát větší nežli čtverec strany jehlanové.
Nuže prodlužme přímku KU přímým směrem, aby vznikla HL, a budiž HL = CB. A ježto AC: CD — CD : CB a AC—KH, CD—-HE a CB = HL. tedy KH-. HE= EH: HL; pročež KB X HL — EH"-. A ^.KHE i EHL jsou pravé; tedy polokruh rýsovaný na KL půjde" i bodem E [ježto právě spojením E s L tvoří se pravý jcLEK tím, že vzniká /\ELK s (\ELH, EHK stejnoúhlý7)]. Když pak se kolem pevné osy KL polokruh otočí, až se opět vrátí do téhož postavení, odkud se počal otáčeti, bude procházeti i body F, G, a spojnicemi FL, LG podobně také vznikají při F, G úhly pravé; i bude jehlan danou kulí opsán. Neboť průměr kulový KL je stejný s průměrem AB koule dané, ježto právě za pravdu vzato, že KH = AC a CB — HL.
6) Tuto část vyobr. učinil jsem trochu zřetelnější.
7) Slova v závorkách nejspíše cizí.
Pravím, již, že čtverec kulového průměru jest půldruhakrát větší nežli čtverec strany jehlanové. -
Neboť, ježto AC — 2CB, tedy AB—3BC; pročež zvratně£-á = -}AC. A BA:AC=BA*:AD* [ježto právě, spojíme-li D s B, BA : AD — DA-.AC pro podobnost A DAB a DAC a proto, že první veličina má se ke třetí jako čtverec z první ke čtverci z druhé (V. vým. 9. pozn. 4.)7)]. Tedy též AB* = 1 AD*8) A BA jest průměr dané koule, AD pak rovná se straně toho jehlanu.
Tedy čtverec průměru kulového jest půldruhakrát větší nežli čtverec strany jehlanové ; což právě bylo dokázati.
Výtěžek.
Má se dokázati, že AB :BC = AD*: DC*. Mějme nárys polokruhu a veďme spojnici DB a sestrojme z AC čtverec EC a doplňme rovnoběžník FB. Ježto tedy proto, že /\, DAB je stejnoúhlý s DAC, BA: AD — DA:AC, tedv BAxAC = AD*. A poněvadž AB: BC= ĚB.BF a EB — BA x AC, neboť EA—AC, a BF— ACX CB, tedy AB:BC = BA X AC: AC X CB. I jest BA X AC— AD*9) a ACXCB = DC'2, neboť kolmice DC je střední úměrnou úseček základny AC, CB, jelikož -$.ADB jest pravý. Pročež AB:BC= AD*-DC*; což právě bylo dokázati.
	c \j
	
B
F
narý-
XIV.
Sestroj osmistěn a opiš kulí, jako již dříve, a dokaž, že čtverec kulového průměru je dvakrát větší nežli čtverec strany osmistěnové.
Za průměr dané koule mějmež AB a rozpolme sujme na AB polokruh ADB a vztyčme v C na A B kolmici CD a veďme spojnici DB i mějme čtyřúhelník EFGH aby každá strana jeho byla stejná s DB, a veďme spojnice HF, EG a postavme v bodě K na rovině čtverce EFGH kolmici KL a prodlužme ji na druhou stranu roviny, aby vznikla KM, a od každé z přímek KL, KM odřízněme úsečky KL, KM rovné některé z přímek EK, FK, GK. HK a veďme spojnice LE, LF, LG, LH, ME, MF, MG, MB.   A ježto KE = KH a -$EKH=R
«) Neboť BA:AC=3 :2 = BA*: AD1, z toho 2BA2 = 2AD~, BA1 -») Neboť &ABDtv ACD.
■■ l AD\
2
296
297
tedy HE*=i2EK*. Dále, ježto LK—KE a *$LKE=R, tedy EL* = 2EK*. Bylo pak dokázáno, že též HE=±2EK*; pročež LE* == EEP; proto LE — EH. Z téže příčiny ovšem i LH—HE; tedy /\ LEH je stejnostřaňný. Podobně zajisté dokážeme, že též každý z ostatních trojúhelníků, jejichž základnami jsou strany čtyřúhelníku EFGH a vrcholy body L, M, je stejnostřaňný; sestaven je tedy osmistěn, omezený osmi stejnostraňnými trojúhelníky.
Má se ovšem také opsati danou kulí a dokázati, že čtverec kulového průměru je dvakrát větší nežli čtverec strany osmistěnové.
Ježto tedy tři přímky LK, KM, KE jsou navzájem stejné, tedy polokruh rýsovaný na LM půjde též bodem E. A z téže příčiny, když se polokruh ten otočí kolem pevné osy LM, až se vrátí do téhož postavení, odkud se počal otáčeti, bude procházeti též body F, G, H, a osmistěn bude opsán kulí. Pravím již, že také danou. Neboť, ježto LK—KM a společnou KE a svírají pravé úhly10), tedy základna LE = EM. A ježto <$LEM=R, neboť je v polokruhu tedy LMl = 2LE*. Dále, ježto AC=CB, jest AB=2BC. A AB: BC— AB*: BD* (VI. vin. V. vým. 9.); tedy AB* = 2BD*. Bylo však dokázáno, že též LM* = 2LE*. Také DB* = LE*, neboť EH (=EL) vzali jsme za stejnou s DB. Tedy též AB* = LM*; pročež AB=LM. I jest AB průměr dané koule; a tak LM se rovná průměru koule dané.
Tedy osmistěn jest opsán danou kulí; a spolu dokázáno jest, že čtverec průměru kulového je dvakrát větší nežli čtverec osmistěnové strany; což právě bylo dokázati.
XV.
Sestroj krychli
a
a opiš kulí, jako prve jehlan, dokaž, že čtverec průměru kulového je třikrát větší nežli čtverec krychlové strany.
Za průměr dané koule mějmež AB a rozdělme jej v C tak, aby byla AC=2CB a narýsujme na AB polokruh ADB a v C vztyčme na AB kolmici CD a veďme spojnici DB; i mějme čtyřúhelník EFGH, aby strana jeho byla stejná s DB, a z bodův E, F,   G,  H vztyčme na rovině čtverce EFGH kolmice EK, FL, GM, HN a odříz-němež od přímek EK, FL, GM, HN úsečky EK, FL, GM, HN, jednotlivě stejné s některou z přímek EF, FG, GH, HE, a veďme spojnice KL, LM, MN, Nh ; tedy sestavena jest krychle FN, omezena šesti stejnými čtyřúhelníky (čtverci). Má se ovšem též opsati danou kulí a dokázati, že čtverec průměru kulového je třikrát větší nežli čtverec krychlové strany (hrany).
Nuže veďme spojnice KG, EG. A ježto ^KEQ — R, protože i KE
1<s) Totiž se společnou KE, t. j. <£LKE--") obvodový (lil. xx.).
--EKM—R.
jest na rovině EG i, jak patrno, na přímce EG kolmo, tedy polokruh rýsovaný na KG půjde též bodem E. Dále ježto GF jest kolmo na FL i FE, také tedý na rovině FK jest GF kolmo; a tak, když spojíme též F s K, kolmo bude GF i na FK; & z té příčiny opět polokruh na GK rýsovaný půjde i bodem F. Podobně půjde též ostatními body (rohy) té krychle. Když se tedy polokruh otočí kolem pevné oSy KG, až se vrátí do téhož postavení, odkud počal se otáčeti, krychle bude opsána kulí. Pravím ovšem, že také danou. Poněvadž totiž OF=FE a při F—R. tedy EG* = 2 EF*. Avšak EF* = EK*; pročež EG* = 2EK*; a tak GE* + EK* (t. j. GK*) == 3 EK*. A ježto AB = 3 BC a AB:BC — AB*:BD* (VI. vin. V. vým. 9.), tedy AB* = 3BD*. Bylo však dokázáno, že též GK* = 3 KE*. A KE vzata za stejnou s DB; pročež také KG=AB. I jest AB průměr dané koule; proto i KG se rovná průměru koule dané.
Tedy danou kulí jest krychle opsána; a spolu dokázáno jest, že čtverec kulového průměru je třikrát větší nežli čtverec krychlové strany; což právě bylo dokázati.
XVI.
Sestroj dvacetistěn a opiš kulí, jako již svrchu jmenované obrazce, a dokaž, že shana dvacetistěnu jest nezměrná, řečená menší.
Za průměr dané koule mějmež AB a rozdělme jej v C tak, aby byla AC—4CB, a narýsujme na AB polokruh ADB a vztyčme na AB v C kolmici CD a veďme spojnici DB a mimo to mějme kruh EFGHK, jehož poloměrem budiž DB, a do kruhu EFGHK vpišme pětiúhelník stejnostřaňný a stejno-úhlý EFGHK a v bodech L, M, N, O, P rozpolmež oblouky EF, FG, GH, HK, KE a veďme spojnice LM, MN, NO, OP, FL, EP. Tedy pětiúhelník LMNOP je stejnostřaňný a přímka EP náleží desetiúhelníku12). I vztyčme v bodech E, F, G, H, K na rovině kruhové kolmice EQ, FR, OS, HT,KU, stejné s poloměrem kruhu EFGHK, a veďme spojnice OR, RS, ST, TU. UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ. A ježto EQ i KU jsou na téže rovině kolmo, tedy EQ\\KU. Jsou pak i stejné; přímky však, spojující stejné rovnoběžky na téže straně, jsou Stejné a rovnoběžné (I. xxxiH.). Pročež QU je s EK stejná i rovnoběžná. EKvšak náleží stejnostrannému pětiúhelníku; tedy rovněž QU náleží stejnostrannému pětiúhelníku, vepsanému do kruhu EFGHK. Z téže příčiny zajisté i každá z přímek
12) Je stranou desetiúhelníku pravidelného.
298
299
Q Ä, RS, ST, TU náleží stéjnostrannému pětiúhelníku, vepsanému v kruh EFGHK; pročež pětiúhelník QRSTU je stejnostranný. A ježto QE náleží šestiúhelníku. EV pak desetiúhelníku a ^.QEP — R, tedy QP je strana pětiúhelníku; neboť čtverec strany pětiúhelníkové rovná se součtu čtverců ze stran šestiúhelníku a desetiúhelníku, vepsaných do téhož kruhu (XIII, x.). Z téže příčiny ovšem i PU je strana pětiúhelníku. Rovněž pak i Q U náleží pětiúhelníku Pročež A QPUje stejnostranný. Z téže příčiny ovšem i trojúhelníky QLR, RMS, SNT, TOU jsou stejnostranné. A ježto bylo dokázáno, že QL i QP náleží pětiúhelníku a téžZ.Pje strana pětiúhelníku, tedy A QLPje stejnostranný. Z téže, příčiny zajisté i všechny trojúhelníky, LRM, MSN, NTO, OUP jsou stejnostranné. Vezměme za střed kruhu EFGHK bod V a v bodě V vztyčme na rovině kruhové kolmici VZ a prodlužme ji na druhou stranu o VY a odřízněme stranu šestiúhelníkovou VX a desetiúhelníkové VY, XZ i veďme spojnice QZ, QX, UZ, EV, L V, LY, YM. A ježto VX, QE jsou na rovině kruhové kolmo, tedy VX\\ QE. Jsou pak i stejné; pročež i EV, QX jsou stejné a rovnoběžné. EV však náleží šestiúhelníku; tedy též QX je strana šestiúhelníku. A ježto QX náleží šestiúhelníku a XZ desetiúhelníku a <df.QXZ=R, tedy QZ je strana pětiúhelníku. Z téže příčiny ovšem také UZ náleží pětiúhelníku, ježto právě, když vedeme spojnice VK, XU, budou stejné a protější, a VK jsouc poloměrem náleží šestiúhelníku; pročež XU je strana šestiúhelníku. XZ pak náleží desetiúhelníku &<£UXZ=k; tedy UZ jest strana pětiúhelníku. Jest pak i Q U strana pětiúhelníku; pročež /\QUZ je stejnostranný. Z téže příčiny ovšem i ostatní trojúhelníky, jejichž základnami jsou přímky QR, RS, ST, TU, vrcholem pak bod Z, jsou stejnostranné. Dále, ježto VL náleží šestiúhelníku a VY desetiúhelníku a <^.LVY= R, tedy LY je strana pětiúhelníku. Z téže příčiny ovšem, když vedeme spojnici MV, jež je stranou šestiúhelníku, shledáváme, že též MY náleží pětiúhelníku. Jest pak i LM strana pětiúhelníku; pročež l\LMYje stejnostranný. Podobně zajisté se dokáže, že též ostatní trojúhelníky, jejichž základnami jsou MN, NO, OP, PL a vrcholem bod Y, jsou stejnostranné. Tedy sestrojen jest dvacetistěn, omezený dvaceti stejnostrannými trojúhelníky.
Má se ovšem též opsati danou kulí a dokázati, že strana (hrana) dvacetistěnu jest nezměrná, řečená menší.
Poněvadž je totiž VX strana šestiúhelníku a XZ desetiúhelníku, tedy VZ je v Xrozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou její jest VX (X\\\, ix.); pročež ZV: VX= VX:XZ. Avšak VX= VE a HZ— VY; tedy ZV: IE=EV: VY. A ^ZVE—k—EVY. Když tedy vedeme spojnici EZ, bude YEZ= R pro podobnost trojúhel-níkův YEZ a VEZ (VI. vin.). Z téže příčiny zajisté, ježto ZV: VX= VX:XZ a. ZV—YX, VX=XVlä), tedy YX:XQ— QX:XZ. A proto, když opět vedeme spojnici QY, bude při Q—R; pročež polokruh na YZ rýsovaný půjde i bodem Q. A když polokruh, .otoče se kolem pevné osy YZ, vrátí se opět do téhož postavení, odkud počal se otá-'
3) Strany pravid. šestiúhelníku.
.četi, protínán" bude i Q i ostatní body (rohy) dvacetistěnu, a dvacetistěn opsán- bude kulí. Pravím ovšem, že také danou. Nuže rozpolme VX v A'. A ježto přímka VZ rozdělena je y X poměrem krajním a středním a menší její úsečkou je ZX, tedy A'Z3 =5 A' T2. Také ZY= 2A'Z a VX = 2A'X; pročež ZY* = 5XV*. A ježto AC = 4CB, tedy AB — 5BC. Též AB:BC=AB*:BD* (VI. vin. V. vým. 9.); pročež AB* — 5ÄD2. Bylo však dokázáno, že též ZY* = 5 VX9. A DB = VX; neboť ta i ona rovná se poloměru kruhu EFGHK; tedy též AB — YZ. I jest AB průměr dané koule; pročež také YZ rovná se průměru koule dané. Tedy dvacetiúhelník opsán jest kulí danou.
Pravím již, že strana dvacetistěnu jest nezměrná, řečená menší. Neboť, ježto průměr koule je změrný a čtverec jeho rovná se pateronásobnému čtverci z poloměru kruhu EFGHK, tedy též poloměr kruhu EFGHK je změrný, pročež změrný jest i jeho průměr. Když pak se do kruhu, jehož průměr je změrný, vpíše stejnostranný pětiúhelník, strana pětiúhelníku jest nezměrná, řečená menší (XIII. xi.; viz X. xliv) Avšak strana pětiúhelníku EFGHK je hranou dvacetistěnu. Tedy hrana dvacetistěnu jest nezměrná, řečená menší14).
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že čtverec kulového průměru se rovná pateronásobnému čtverci z poloměru kruhu, v němž narýsován dvacetistěn, a že průměr té koule se skládá ze strany, šestiúhelníku a dvou stran desetiúhelníku, vepsaných do téhož kruhu. Což právě bylo dokázati.
XVII. •
Sestav dvanáctistěn a opiš kulí, jako již svrchu jmenované obrazce, a dokaž, že strana (hrana) dvanáctistěnu jest nezměrná, řečená úsečnice.
Mějme z krychle svrchu řečené (XIII. xv.) dvě roviny ABCD, CBEF, jež jsou na sobě kolmo, a přímky AB, BC, CD, DA. EF, EB, FC rozpolme v bodech G, H, K, L, M, N, O a veďme spojnice GK, HL, MH, NO a každou z přímek NP, PO, HQ, rozdělme v bodech R, S, T poměrem krajním a středním, a většími úsečkami jejich buďtež PR. PS, TQ, a postavme v bodech R, S, T na rovinách krychlových na vnější strany té krychle kolmice RU. SV, TX, a ty buďte stejné s RP, PS, TQ. a veďme spojnice^ UB, BX, XC, C V, VU. Pravím, že U B XC V jest pětiúhelník stejnostranný i v jediné rovině a spolu stejnoúhlý. Nuže veďme spojnice RB, SB, VB. A ježto přímka NP rozdělena v R poměrem kraj-
14)  Obr. druhý  ve vydání Heibergově vypadá takto:
£00
301
NĹ
	"z /
	T/
x	
	Q
a	l
k
ním a středním a větší úsečkou jest RP, PN1 A-NR*—3 RP2 (XIII. iv.). A PN= NB, PR = RU, pročež BN* A- NR? ==3RU*. Avšak B.V24-NR* = BR*; tedy RR*=3RU*. A tak BR* A-RU*—4RU*. Je však BR*-\-RU* = BU*; pvočež BU* —4 UR*; tedy BU—2RU. Avšak též VU=*2UR, poněvadž právě též SR^2PR (t. j. 2 i?Z7); tedy BUUV. Podobně zajisté dokážeme, že také BX, XC, C Fjšou jednotlivě s BU i V U stejné. Tedy pětiúhelník BUVCX je stejrtošträrtný. Pravím ovšem, že je též v jediné rovině. Nuže veďme z Pna vnější stranu krychle s RU i s SV rovnoběžku PT a spojnice YH, HX; pravím, že' YHX je přímka. Neboř, ježto HQ jest rozdělena v T poměrem
krajním a středním a větší její úsečkou jest QT. tedy HQ : QT= QT: TH. Avšak HQ=HP a QT=TX = PY; pročež HP: PF= AÍ: 27/. AÄP|| TX, neboť obě jsou na rovině BD kolmo; a TH=PY, neboť obě jsou kolmo na rovině BF. Když pak se dva trojúhelníky sestaví při jednom úhlu tak, jako YPH, HTX, a mají po dvou stranách úměrných, takže stejnolehlé strany jejich jsou také rovnoběžné, zbývající strany budou činiti přímku (VI. xxxn.); tedy YH činí s HX přímku. Každá však přímka jest v jediné rovině; tedy pětiúhelník ČJBÁíCFjest v jediné rovině. Pravím ovšem, že je také stejnoúhlý.
Poněvadž totiž přímka NP jest rozdělena v R poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest PR1Si) a PR=PS1B), tedy NS jest rozdělena v P poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest NP (XIII. v.). Pročež NS* -f SP* = 3 NP* (XIII. iv.). Avšak NP— NB a PS=SV; tedy NS* -\-SV* = 3 NB2; & tak l/S*-\~ SN" A-NB* = 4NB* Avšak SN*JrNB*=SB*; pročež BS*ArSV* (t. j. BT*, neboť VSB = R) = 4NB*; tedy BV=2NB. Také však BC=2BN, pročež BF== BC. A ježto dvě přímky BřT, UV jsou střídavě stejné se dvěma BX, XC i základna BV=BC, tedy <^.BUV =±=BXC. Podobně zajisté dokážeme, že též *$.UVC= BXC; pročež *$BXC, BUV, UVC navzájem jsou si rovny. Když pak jsou v pětiúhelníku stejnostranném tři úhly navzájem stejné, ten pětiúhelník bude stejnoúhlý (XIII. vil); tedy pětiúhelník BUVCXje, stejnoúhlý. Bylo však dokázáno, že také stejno-stranný; pročež pětiúhelník BUVCX je stejnostranný i stejnoúhlý, a sestrojen jest rta jedné straně (hraně) krychlové BC. Když tedy na každé z dvanácti hran krychlových upravíme totéž, sestaven bude jakýsi útvar tělesový, Omezený dvanácti stejnostrannými a stejnoúhlými pětiúhelníky, jenž slove dvanáctistěn.
Má se tedy též opsati danou  kulí  a dokázati, že hrana toho dvanáctistěnu jest nezměrná, řečená úsečniCe.
Nuže prodlužme YP do Z; stýká se tedy FZ s průměrem (úhlo-
1S) Následující úměra zbytečná a nepochybně cizí.
příčkovým) té krychle a ty navzájem se půlí; to bylo totiž v předpo--slední poučce knihy jedenácté dokázáno (XI xxxviil). Stýkejte se v Z; pročež Z je střed koule, objímající krychli, a ZP jest polovina krychlové hrany. Veďme tedy spojnici UZ. A ježto přímka NS rozdělena jest v P poměrem krajním a středním a její větší úsečkou jest NP, tedy NS*A-SP*—3NP*. A NS=YZ, ježto právě též NP=PZ% YP— PS. Avšak zajisté i PS= YU, ježto také PS = RP; pročež ZY2 \ YU* — 3NP*, A ZY'2 -f- YU* — U Z*; tedy UZ*=3NP*. Také však čtverec z poloměru koule, objímající krychli, je třikrát větší nežli čtverec z poloviční'krychlové hrany; neboť svrchu jsme ukázali, jak sestrojiti krychli a opsati kulí a dokázati, že čtverec z průměru kulového jest třikrát větší nežli čtverec hrany krychlové (XIII. xv.). A jak tomu se čtverci z celků, tak se čtverci z polovin. I jest NP polovina krychlové hrany; tedy UZ]e stejná s poloměrem koule, objímající krychli. A Z je střed koule, která objímá krychli; pročež bod U jest na obvodě kulovém. Podobně zajisté dokážeme, že též ostatní úhly (tělesové, t. j. rohy) dvanáctistěnu jsou na obvodě kulovém; tedy dvanáctistěn jest opsán danou kulí.
Pravím již, že hrana dvanáctistěnu jest nezměrná, řečená úsečnice.
Neboť, ježto NP jest rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest RP a ježto PO jest rozdělena poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest PS, když se tedy rozdělí celá NO poměrem krajním a středním, větší úsečkou jest RS. A tak, ježto NP: PR = PR:RN, tak i dvojnásobky, neboť díly mají se k sobě stejným poměrem jako násobky, tedy NO:RS — RS:(NR4-SO). Avšak NO> RS; pročež také RS>(NR-\-SO); tedy NO rozdělena jest poměrem krajním a středním a větší její úsečkou jest RS. Avšak RS= UV; když se tedy NO rozdělí poměrem krajním a středním, větší úsečkou jest UV. A ježto průměr té koule je změrný a čtverec jeho je třikrát větší nežli čtverec hrany krychlové; tedy NO, jsouc rovna hraně krychlové, je změrná. Když pak se přímka změrná rozdělí poměrem krajním a středním, ta i ona úsečka jest nezměrná úsečnice (XIII. ví. X. lxxiil). Pročež UV, jsouc hranou dvanáctistěnu, jest nezměrná úsečnice16).
Důsledek.
Z toho zajisté patrno, že když se hrana krychlová rozdělí poměrem krajním a středním, větší úsečka jest hranou dvanáctistěnu; což právě bylo dokázati.
XVIII.
Urči hrany těch pěti útvarův a navzájem přirovnej.
Průměrem koule dané budiž AB, a rozdělme jej v C tak, abv byla AC — CB, a v D tak, aby byla AD—2DB, a
ie) Dvanáctistěn s řečenou krychlí vypadal by takto:
302
303
na AB narýsujme polokruh AEB a v bodech C, D vztyčme na AB kolmice CE, DF a veďme spojnice AF, FB, EB. A ježto AD = 2 DB, tedy AB — 3BD. Pročež zvratně BA = ^AD. A BA: AD —BA*: AF* (V. vým. 9. pozn.); tedy A AFB.]e s A -AFZ) stejnoúhlý; pročež BA* — IAF*. Jest pak i čtverec kulového průměru půldruhakrát větší nežli čtverec hrany jehlanové (XIII. xiii.). A průměrem kulovým jest AB; AF tedy se rovná hraně jehlanové17).
Dále, ježto AD —2 DB, tedy AB — 3 BD. Avšak AB: BD — AB*: BF* (VI. vin. V. vým. 9. pozn.); pročež AB2 — 3 BF*. Jest pak i čtverec průměru kulového třikrát větší nežli čtverec hrany krychlové (XIII. xv.) A průměrem kulovým jest AB;  tedy BF jest hrana krychlová.
v A ježto AC==CB, tedy AB==2BC. Avšak AB: BC=AB* ■ BE*; pročež AB* = 2BE*. A čtverec průměru kulového je také dvakrát větší nežli čtverec hrany osmistěnové (XIII. xiv.). I jest AB průměrem dané koule; tedy BE jest hrana osmistěnová.
Vztyčme již v bodě_A na přímce AB kolmici AG. a budiž AG — AB, a veďme spojnici GC a z H spusťme na AB kolmici HK. A ježto GA — 2AC (neboť GA = AB) a G A: AC= HK: KC, tedv HK=2KC. Proto HK*=4KC*; tedy HK* + KC*(=HC*) = 5 KC*. ' Avšak HC = CB; pročež BC2 = 5KC*. A ježto AB = 2CB, z čehož AD = 2 tedy zbývající BD = 2DC. Pročež BC = SCD; tedy BC* = 9CD*. Avšak BC* — 5CK*: pročež CK*> CD*; tedy CK>CD. Dejme tomu, že C/<= CL, a vztyčme v L na ^45 kolmici Itf a veďme spojnici ilf/í. ^A ježto BC*=5CK* aQ AB= 2BC i KL = 2CK, tedy A32 = b KE". Jest pak i čtverec průměru kulového roven pateronásobnému
čtverci kruhového poloměru, na němž narýsován dvacetistěn (XIII. xvi. důsl.). A průměrem kulovým jest AB; pročež KE jest poloměrem kruhu, na němž narýsován dvacetistěn ; tedy KL je stranou šestiúhelníku (pravid.) v řečeném kruhu. A ježto průměr kulový se skládá ze strany šestiúhelníku a ze dvou stran desetiúhelníku, vepsaných v řečený kruh (XIII. xvi. důsl.), a průměrem kulovým jest AB, stranou pak šestiúhelníkovou KL a AK=LB, tedy AK, LB jsou stranami desetiúhelníku, vepsaného v kruh, na němž narýsován dvacetistěn. A ježto LB přísluší desetiúhelníku a ML šestiúhelníku (neboť ML —KL ježto též ML = HK, poněvadž jsou od středu stejně vzdáleny, a HK— 2KC = KL), tedy MB přísluší pětiúhelníku (XIII. x.). Strana pak pětiúhelníková je hranou ďvacetistěnovou (XIII. xvi.); pročež MB přísluší dvacetistěnu.
A ježto FB jest hranou krychlovou, rozdělme ji v N poměrem
17) Rozumí se : hraně jehlanu pravidelného, do koule vepsaného.
18) Obě jsou poloměry.
krajním a. středním, a větší úsečkou budiž NB; tedy NB jest hranou dvanáctistěnovou (XIII. xvn. důsl.).
A ježto bylo dokázáno, že čtverec kulového průměru jest půldruhakrát větší než AF*, čtverec to hrány jehlanové, a dvakrát větší nežli BE* hrany osmistěnové a třikrát větší nežli FB* hrany krychlové, jakých dílů má tedy ve dvojmoci průměr kulový šest, 'takové hrana jehlanová ve dvojmoci čtyři, osmistěnová tři a krychlová dva. Pročež hrana jehlanová ve dvojmoci rovná se čtyřem třetinám hrany osmistěnové nebo dvojnásobku hrany krychlové (ve dvojmoci), hrana pak osmistěnová rovná se ve dvojmoci půldruhanásobné hraně krychlové. Tedy řečené hrany těch tří útvarů, míním-totiž jehlanu a Osmistěnu a krychle, mají se k sobě poměry změrnými. Ostatní pák dvě, míním totiž ďvacetistěnovou a dvanáctistěnovou, ani k sobě ani k oněm jmenovaným nemají se poměry změrnými; jsou totiž nezměrné, ona totiž nezměrná menší, tato úsečnice (XIII. xvi. xvn).
Že hrana dvacetistěnová MB jest větší než dvanáctistěnová NB, dokážeme takto.
Poněvadž totiž AFDB je s A FAB stejnoúhlý, DB:BF=BF: BA. [A ježto tři přímky jsou úměrné, první má se ke třetí jako čtverec z první ke čtverci z druhé]; pročež DB : BA = DB* : BF*. Tedy obráceně AB: BD = FB2: BD*. Avšak AB = 3 BD, pročež FB* = 3 BD* Také však AD* = 4DB*, neboť AD = 2DB; tedy AD*>FB*; pročež AD>FB; a tak AL jest mnohem větší než FB. A když se AL rozdělí poměrem krajním a středním, větší úsečkou jest KL, ježto právě LK náleží šestiúhelníku, KA však desetiúhelníku (XIII. ix.); když pak FB rozdělíme poměrem krajním a středním, větší úsečkou jest NB; tedy KL~>NB. A KL = LM; pročež LM>NB. Tedy MB, jsouc hranou dvacetistě-novou, jest o mnoho větší než hrana dvanáctistěnová NB; což právě bylo dokázati.
Pravím ještě, že kromě řečených pětiútvarův nesestrojíš útvaru jiného, jenž by byl omezen stejnými úhelníky stejnostrannými a stejnoúhlými.
Ze dvou trojúhelníkův anebo vůbec rovin zajisté úhel tělesový se nesestrojí (XI. vým. 11.). Ze tří pak trojúhelníkův úhel jehlanový, ze čtyř osmistěnový a z pěti dvacetistěnový; ze šesti však trojúhelníků stejnostranných a stejnoúhlých, při jednom bodě sestavených, úhel tělesový nevznikne; poněvadž totiž úhel stejnostranného trojúhelníku rovná se dvěma třetinám pravého, těch šest bude rovno čtyřem pravým ; což právě nemožné, neboť každý úhel tělesový svírají úhly (rovinné). součtem menší nežli čtyři pravé (XI. xxi.). Z téže příčiny ovšem nemožno úhlu tělesového sestrojiti ani z více úhlů rovinných nežli ze šesti19). Třemi pak čtverci omezen jest úhel krychlový; čtyřmi však to nemožno, neboť opět to budou čtyři pravé. Pětiúhelníky stejnostrannými a stejnoúhlými, a to třemi, omezen dva-náctistěnový; čtyřmi však to nemožno; poněvadž totiž úhel stejnostranného (a stejnoúhléhO) pětiúhelníku rovná se  pravému a pětině,
w) Totiž z úhlů trojúhelníků' pravidelných; tedy ani ze šesti ani z více nežli šesti.
304
305
úhl tak
ty čtyři úhly budou čtyř pravých větší; což právě nemožné. Ani zajisté jinými útvary mnohoúhlými nebude omezen úhel tělesový pro touž nemožnost.
Tedy kromě řečených pěti útvarův nesestrojíš jiného útvaru tělesového, omezeného úhelníky stejnostrannými a stejnoúhlými; což právě bylo dokázali.
Výtěžek.
Ze pak úhel pětiúhelníku stejnostranného a stejno-ého rovná se pravému a pětině, dokázati třeba to.
Nuže budiž pětiúhelníkem stejnostranným a stejnoúhlým ABCDE,
a opišme kolem něho kružnici ABCDE a za střed její vezměme F, i veďme spojnice FA, FB, FC, FD, FE. Ty zajisté rozpolují úhly v pětiúhelníku při A, B, C, D, E. A ježto pět úhlů při F rovná se čtyřem pravým a jsou stejné, tedy jeden z nich, na př. AFB, rovná se pravému bez pětiny; pročež zbývající (v A AFB) součet <$FABA-ABF rovná se pravému a pětině. Avšak <£FAB=* FBC; tedy celý úhel pětiúhelníkový ABC jest roven pravému a pětině; což právě bylo dokázati.
Jiné důkazy a doplňky
ke kn. X. I. Jinak.
Mějme dyě nestejné veličiny AB, C; a ježto Cjest menší, násobením bude někdy větší než AB. Budiž jako FM, a tato budiž rozdělena v díly stejné s C, totiž MH, HG, OF, a odřízněmež od AB část větší než jest polovina, t. BE, a od EA větší než polovinu, t. ED, a
to stále čiňmež, až se části v FM počtem A  D   E        b      c      vyrovnají částem v AB.  Buďtež to BE,
ED, D A, a budiž DA = KL = LN= NO, M     H      q     F a to tak, aby se díly v KO počtem vy-
rovnaly dílům veličiny FM. K L N O A ježto   BE>\BA a BE>EA,
'   '   '   ' tedy jest BE mnohem větší než DA.
Avšak D A = ON, tedy BE>NO. Ježto dále ED > | E A, bnáeED>DA. Avšak DA = NL, pročež ED>NL. Tedy celá DB > OL. Avšak D A = LK; tedy* celá BA> OK. Avšak BA ■< MF; pročež MF jest mnohem větší než OK. A ježto ON= NL = LK a MH =■ HG = GF a počet dílů v MF se rovná počtu dílů v OKr
tedy KL:FG = K0:FM; ale FM>KO ; pročež i GF> LK. AFG=z C a KL=AD, tedy C>AD; což právě bylo dokázati.
VI. Jinak.
Nuže mějte se k sobě dvě veličiny A, B jako číslo C k číslu D; pravím, že jsou ty veličiny souměřitelné.
Neboť kolik je .v C jednotek, v tolikéž dílů j.....
bud rozděleno A  a jednomu  z  nich se
rovnej E; tedy \:C=E:A (V. xv.). Také   Si E,_,
však C :D = A: B, tedy stejnořadně (V. xxn.)
\:D=E:B.   A jednotka jest také měrou    qx_, jj,_,
čísla D; tedy rovněž JSjest měrou veličiny
B. Je však i E měrou veličiny A, ježto i jednotka čísla C; pročež E jest měrou veličiny A i B; tedy jsou A, B souměřitelné a společnou jejich měrou jest E; což právě bylo dokázati.
A* B + C
e*
IX. Jinak.
Poněvadž totiž A je s B souměřitelná, mají se k sobě jako číslo k číslu. Mějtež se jako C k i, a C samo sebou znásobeno jsouc dej E & D znásobeno číslem C dej Fa D samo sebou znásobeno jsouc dej G. Ježto tedy CXC=E a CXD = F, tedy C:D (t. j. A:B) = E:F (VII. xvn.). Avšak AiB^A*: AXB, pročež A* :AX B = E: F. Ježto dále DxD=G a CxDxF, tedy C:D (t j. A:B) = F:G. Avšak A:B = AXB: BQ; pročež AXB: B1= F: G. Avšak mělo se A"-\ AxB = E:F; tedy stejnořadně^2: B* = E:G. Jsou pak E i G čtverce, neboť
E=Ca a G = D2; pročež se má A* k B'1 ' '-'
jako číslo čtvercové k číslu čtvercovému; ^__
což právě bylo dokázati.
Avšak měj  se již A* k B* jako číslo čtvercové E k číslu čtvercovému G; pravím, že jestli s B souměřitelná.
Nuže budiž C stranou čtverce E & D čtverce G a budiž CX D = F; tedy E, F, G jsou po řadě úměrné dle poměru C:D (VIII. xi.). A ježto A*:AXB = AXB:B* a E:F=F:G; tedy A*:AXB = E:F. A AXB:B"- = F: G; avšak A*: AX B= A:B. Pročež A, B jsou souměřitelné, neboť se mají k sobě jako číslo E k číslu F, t. j. jako C: D; neboť C:D = E:F; jest totiž CxC = E a CXD = F. Pročež C:D = E:F.
X.
Tedy k dané přímce změrné, která jest, jak jsme pravili, měřítkem, na př. A, nalezena jest souměřitelná ve dvojmoci přímka D, totiž změrná, jen ve dvojmoci souměřitelná, nezměrná pak E. Neboť
20
306
£07
nezměrnými vůbec nazývá ty, které jsou se změrnou i dle délky i dle dvojmoci nesouměřitelné.
XIII.
K výtěžku této poučky důkaz z nemožnosti opaku.
Když jsou dvě veličiny a jedna je s touž (třetí) veličinou souměřitelná, druhá však nesouměřitelná, budou ty veličiny nesouměřitelné.
Nuže buďte dvě veličiny A, B*), jiná pak C, a budiž A s C souměřitelná, B však s C nesouměřitelná; pravím, že též A je s B nesouměřitelná.
Neboť jest-li A s B souměřitelná, rovněž pak C s A, tedy též C je s B souměřitelná (X. xn); což proti podmínce.
XVIII.
Změrnými totiž nazývá přímky s danou změrnou buďto dle délky i dle dvojmoci souměřitelné neb i jen dle dvojmoci. Jsou však i jiné přímky, jež jsou dle délky sice s danou změrnou nesouměřitelné, jen dle dvojmoci však souměřitelné, a proto se opět nazývají změrnými a vespolek souměřitelnými, jelikož jsou změrné, avšak vespolek souměřitelnými patrně buďto dle délky i dle dvojmoci nebo jen dle dvojmoci. A jestliže dle délky, i ty samy se zovou změrnými, dle délky souměřitelnými, při čemž se vyrozumívá, že i dle dvojmoci; pakli jen dle dvojmoci jsou vespolek souměřitelné, i ty se takto zovou změrnými, jen dle dvojmoci souměřitelnými. Že pak přímky změrné jsou souměřitelné, vysvítá z tohoto: ježto jsou totiž změrné přímky s danou změrnou souměřitelné, veličiny pak s touž veličinou souměřitelné jsou i vespolek souměřitelné, tedy změrné jsou souměřitelné.
XX.
Výtěžek. ■
Přímka ve dvojmoci rovná ploše (čtverci) nezměrné jest nezměrná. Nuže budiž A* rovna ploše nezměrné*); pravím že A jest nezměrná.
Neboť jest-li A změrná, bude i čtverec její změrný (tak totiž star-noveno ve výměrech); není však; tedy A jest nezměrná, což právě bylo dokázati.
XXIII. Důsledek.
Jsou pak dále i jiné přímky, jež jsou dle délky sice se střední nesouměřitelné a jen ve dvojmoci souměřitelné, a opět se zovou střední, protože jsou se střední ve dvojmoci souměřitelné a souměřitelné vespolek, jelikož jsou střední, avšak vespolek souměřitelné jsou buď dle délky a patrně i ve dvojmoci nebo jen ve dvojmoci. A jestliže dle délky, šlovou i tyto střední, dle délky souměřitelné, a spolu se rozumí,
že i ve dvojmoci; pakli jsou jen ve dvojmoci souměřitelné, šlovou i tak střední, jen ve dvojmoci souměřitelné.
Že pak přímky střední jsou souměřitelné, třeba dokázati takto. Ježto přímky střední jsou s nějakou střední souměřitelné a veličiny s týmž souměřitelné jsou i vespolek souměřitelné, jsou tedy přímky střední souměřitelné.
XXVII. Výtěžek.
Dána-li dvě čísla jakéhokoli poměru v a nějaké číslo jiné (třetí), dlužno učiniti, aby se mělo číslo k číslu, jako třetí k nějakému jinému.
Danými dvěma čísly jakéhokoli poměru buďtež AB, CD, jiným pak nějakým CE; dlužno vykonati? což uloženo.
Nuže narýsujme z DC, CE pravoúhlý rovnoběžník DE a k AB přistavme stejný s DE rovnoběžník BF o šířce AF. Ježto tedy rovnoběžník DE= BF a jsou i stejnoúhlé, strany pak stejných a stejno-úhlých rovnoběžníků při stejných úhlech
jsou k Sobě v poměru obráceném (VI. xiv.), tedy AB: CD = CE: AF což právě bylo dokázati.
XXIX.
Vútii
A C
B
D
Ľ,
Dána-li dvé čísla a přímka, dlužno učiniti, aby se mělo číslo k číslu jako čtverec z oné přímky ke čtverci z nějaké jiné.
Danými dvěma čísly buďtež A, B, přímkou pak C; i dlužno vykonati, což uloženo. Nuže učiňmež, aby se mělo A; B = C:D a vezměmež E za střední úměrnou přímek C, D. Ježto tedy A:B—C: D a C-.D — C^-.E* (V. vým. 9.). tedy A: B — C1: E*.
XXXI. VýtS£ek.
Když jsou dvě přímky nějakého poměru, bude se míti přímka ku přímce jako pravoúhelník z obou ke čtverci z kratší. *)
E >
*) Vyobr. zbytečné; vynechal jsem.
*) V řec.   textu  IXk^íottjs  (nejmenší, nejkratší).   Tento   úkol i další dokážeme pouhým násobením zcela krátce.
20*
30S
309
Nuže buďte dvěma přímkami nějakého poměru AB, BC; pravím, že AB: BC = ABXBC: BC":
Nuže   narýsujme   z   BC čtverec BDEC a doplňme rovnoběžník AD. Patrno   zajisté,   že   AB : BC—AD: BE. I jest AD — AB X BC, neboť BC=BD, a BE = BC*. Tedy AB:BC=ABxBC:BC'2; což právě bylo dokázati.
XXXII.
Výtěžek.
Když jsou tři přímky nějakého poměru, bude se míti první ke třetí jako pravoúhelník z první (neidelší) a prostřední k pravoúhelníku
z prostřední a nej kratší.
Třemi přímkami nějakého poměru buďtež AB, BC, CD; pravím, že AB: CD = ABXBC:BCX OD.
Nuže veďme z bodu A na AB kolmici AE a budiž AE=BC, a bodem E veďme k AD rovnoběžku ĚK a body B, C, D veďme k AE rovnoběžky FB, CH, DK. A ježto AB: BC— AE: BH a BC: CD — BH-.CK,  stejnořadně tedy AB: CD = AF: CK   I jest AF = ABXBC, neboť AE — BC, a CK=BCXCD, neboť BC=zCH. Když jsou tedy tři přímky — —
1               b       c d		
		
F
H K
stejná ramena AB, BC, DE, EF, gh, hk, a veďme spojnice AC, DF, gk. Pravím, že možno je z přímek stejných s AC, DF, gk sestavili trojúhelník, t. j. opět, že dvě jsou delší než zbývající, jakkoli střídány jsouce.
Jsou-li tedy opět úhly při bodech B, E, h stejné, stejné budou též AC, DF, gk, a dvě budou větší než zbývající. Pakli ne, buďtež úhly při bodech B, E, h nestejné, a to B y> E a <£.B > h; pročež bude i přímka AC > DF a též AC>gk. I jest patrno, že (AC + DF) > gk, (AC + gk) > DF. Pravím, že také (DF -f- g k) > A C. Sestavme na přímce AB a v bodě na ní B^.ABL, stejný s ^ghk, a BL
rovnej se jedné z přímek AB, BC, DE, EF, gh, hk, a veďme spojnice AE, LC. A ježto dvě strany AB, BL jsou jednotlivě stejné s gh, hk a svírají stejné úhly, tedy základna AL—gk. A ježto úhly při bodech E, h jsou větší součtem než ABC, z nichž *^.ghk= ABTj, proto zbývající <^.E>LBC. A ježto dvě strany LB, BC jsou jednotlivě stejné s DE, EF i <$.DEF>LBC, tedy základna DF> LC. Bylo pak dokázáno, že gk — AÍ^; pročež (DF-f-gk) >(/íL-\-LC); avšak (AL -f- LC) > AC; tedy DF-j- gk jest o mnoho větší než AC. A tak z přímek AC, DF, gk dvě jsou větší než zbývající, jakkoli střídány jsouce; možno tedy z přímek stejných s AC, DF, gk sestaviti trojúhelník; což právě bylo dokázati.
(Dále obsahují doplňky ke kn. X. ještě 16 čísel a scholion. Z toho uvádím jen tyto vysvětlivky.
K poučce XXXVI. se praví, že zove onu přímku dvoučástnicí (■q sx Sóo óvo|Acrai)v), ježto se skládá ze dvou částí změrných a veličinu změmou nazývá 8vo[j,a (v překlade část).
K poučce XXXVII. připomenuto, že přímku nazval dvoustřednicí první, ježto obě části objímají útvar změrný a veličina změrná má přednost.
K XXXVIII. Přímku nazval dvoustřednicí druhou, ježto obě části její objímají útvar střední a střední jest za změrným.
K XXXIX. Přímku nazval nezměrnou větší, ježto změrný součet AB*A-BC* jest větší než střední součin 2ABXBC.
Podobně se vykládají i některé jiné názvy přímek nezměrných, které z pouček samých a z příslušných důkazů snadno vysvětliti.)
1. XI. xxii. Jinak.
Danými třemi úhly rovinnými buďtež ABC, DEF, GHK, z nichž dva buďte větší než zbývající, jakkoli střídány jsouce, a svírejtež je
2. XI. xxiii.
Avšak buď již střed kruhu na jedné ze stran toho trojúhelníku totiž na MS*), a buď jím O, a veďme spojnici OM. Pravím opět, že AB> LO. Neboť není-li tomu tak, buďto AB—LO nebo AB<LO. Buďte dříve stejné. Dvě tedy AB, BC, t. j. DE, EF jsou s MO, OL, t. j. s MN, stejné. Avšak dáno jest, že MA7= DF; pročež také DE-\-EF—DF; což právě jest nemožné. Tedy není AB stejná s LO. Podobně zajisté ani menší než LO, neboť tu jest ještě větší nemožnost. Proto AB>LO. A když podobně postavíme na rovinu kruhu kolmici OR, aby bylo OE1 — AB"-- LO*, úloha (strojná) bude vykonána.
Avšak bud již střed kruhu vně trojúhelníku LMN a buď jím O
*) Ta ovšem musí býti nejdelší.
311
a vedme spojnice LO, MO. Pravím ovšem i takto, zeAB>LO. Neboť není-li tomu tak, buďto AB — LO nebo AB<ZLÓ. Buďte dříve stejné. Dvě tedy AB, i?C jsou jednotlivě stejné s MO, OL i základna AČ — ML; tedy ABC = MOL. Z téže příčiny ovšem i GHK= L ON. Pročež celý MON = ABC -f- GHK. Avšak (<$.ABCA- GHK)> DEF. Tedy též MON> DBF. A ježto dvě ramena DE, ZTF jsou stejná s MO, ON i základna DF=MN, tedy <$.MON je stejný s D£F. Ukázalo se však že také větší) což právě nesrovnalé. Není tedy AB = ZO. Ihned pak dokážeme, že ani menší. Tedy jest větší. A když na rovině kruhu opět vztýčíme kolmici OR, tak aby bylo OR* = AB*— LO*, úloha bude vykonána.
Pravím  tedy,  že ani není AB<iLO.   Nuže,  možno-li, budiž. A dejme tomu, že AB = OR a BC=OQ, a veďme spojnici PQ.
A ježto AB = BC, též OP= OQ. A tak i zbývající PL = QM. Tedy LM\\QP a ALMO je s QOP stejnoúhlý. Protož OL: LM= OP: PQ a střídavě LO: 0P= LM: PQ. Avšak LOy OP; tedy též LM>PQ. Avšak LM=AC; pročež také AC> PQ. Ježto tedy dvě AB, BC jsou jednotlivě stejné s PO, OQ i základna AC> FQ, tož ^.ABC>POQ. Podobně zajisté, i když se vezme O U za. stejnou s OP neb OQ a když vedeme spojnici PO, dokážeme, že též <JG/YÄT> POU. Sestavme již na přímce LO a v bodě na ní O *$LOS=ABC a <$LOT=GHK. a budiž OS = PO= OT, a veďme spojnice PS, PT, ST. A poněvadž dvě AB, BC jsou stejné s PO, OS a <$.ABC= POS. tedy zá-zPS. Z téže příčiny ovšem i LN= PT. A ježto dvě ML, LN jsou stejné s SP, PT a <$.MLN> SPT, tedy základna MN~> ST. Avšak MN =■ DF; pročež i DF>ST. Ježto tedy dvě DE, EF jsou stejné s SO, OT i základna DF> ST, proto <$.DEF~^> SOT. Avšak < SOT> (ABCA- GHK); pročež DEF > (;4BC -f Avšak <£DEF je též menší; což právě nemožné.
3. Obecně XI. xxxvm.
Když jest rovina na rovině kolmo a z některého bodu v jedné
rovině vede se na druhou rovinu kolmice, vedená kolmice padne na společnou průsečnici rovin.
Nuže budiž rovina CD na rovině AB kolmo a společnou jejich průsečnici budiž AD, i vytkněme na rovině CD nahodilý bod E; pravím, že kolmice vedená z E na rovinu Ali padne na AD.
Nuže nebuď tak, nýbrž, možno-li. dopadej mimo jako EF a stýkej se s rovinou AB v bodě F, & z F
kladna AC (t. j. LM):
veďme na DA v rovině AB kolmici FG, kterážto i na rovině CD jest kolmo, a veďme spojnici EG. Ježto tedy FG jest kolmo na rovině CD a sbíhá se s ní EG, jsouc v rovině CD, tedy <$.FGE = R. Avšak též EF jest na rovině AB kolmo ; pročež <$.EFG=R. Tedy v A EFG jsou dva úhly pravé; což právě nemožné. Pročež kolmice vedená z bodu E na rovinu AB nepadne mimo D A. Tedy dopadne na DA; což právě bylo dokázati.
4. XII. iv.
A ježto ty dva hranoly v jehlane ABCG jsou si rovny, avšak zajisté i ony dva hranoly v jehlane DEFH jsou si rovny, tedy hranol, jemuž základnou rovnoběžník BKLO a protilehlou přímka MP, má se k hranolu, jemuž základnou A LOC a protilehlým A FMN, jako hranol, jehož základnou QERV a protilehlou ST, k hranolu, jehož základnou A R VF a protilehlým A STU. Pročež součetně (KBOLMPA-LOCMNP) : LOCMNP = (QEVRST A- RVFS1U): RVFSTU. Tedy střídavě (KBOLMP -f- LOCMNP): (QEVRST4- R VFSTU) = LOCMNP: RVFSTU. Bylo však dokázáno, že LOCMNP: RVFSTU = LOC: RVF= ABC: DEF. Pročež také A ABC má se k DEF jako dva hranoly v jehlane ABCG ke dvěma hranolům v jehlane DEFH. Podobně pak, i když rozdělíme zbývající jehlany, na př. MNPG, STUH, týmž způsobem, dva hranoly v jehlane MNPG budou se míti ke dvěma hranolům v jehlane STUH jako základna MNP k základně STU. Avšak MNP:STU= ABC:DEF. A jako se má tedy základna ABC k DEF, tak i dva hranoly v jehlane ABCG ke dvěma hranolům v jehlane DEFH i dva hranoly v MNPG ke dvěma hranolům v jehlane STUH i ty čtyři k těm čtyřem. A totéž se dokáže o hranolech, které vzniknou rozdělením jehlanův AKLP a DQRS a vůbec o všech stejného počtu; což právě bylo dokázati.
5. XII. xvir.
Možno zajisté i případněji dokázati, že AY>AG. Zřiďme v G na AG kolmici G A' a veďme spojnici A A'. Rozpolujíce tedy obi. EB a rovněž polovinu jeho a to stále činíce ostavíme nějaký oblouk, který jest menší než oblouk kruhu BCDE příslušný k tětivě stejné s GA'. Ostavmež, a budiž to obl. KB. Tedy tětiva KB < GA'. A ježto čtyřúhelník BKSP jest v kruhu*) a PB, BK, KS jsou stejné a Pb jest menší, <$.BYK jest tupý**). Proto strana KB> BY. Avšak GA'> KB; tedy o mnoho jest GÄ > BY; pročož i A'G* > B Y*. A ježto AA' = AB, také A'A*=.AB'2. Avšak A'A2= AG* A- Ä G* a AB* = BY* A- Y A*; tedy AG* A~ A'G* = BY* A- YA*. z čehož BY* > A'G*; pročež zbývající YA*>AG*; tedy AY>AGf).
*) T. v kruhu opsaném kolem toho ctyrúhelníku. **) Ve ctyřúh. KBPS, jehož strana PS jest menší než ostatní, <£(Ä -|- B) < 2 R, tedy součet polovin < (BKY + KBY) < R; pročež     BYK > R. f) Následuje přídavek ke XIII. VI., místy nejasnjŕ a chybný.
312 l
6. XIII. v. i
Jinak. w
Když se přímka rozdělí poměrem krajním a středním, celá s větší i; úsečkou bude se míti k celé jako celá k úsečce větší.
Nuže buď nějaká přímka 45 roz-D A C B dělena v C poměrem krajním a střed-1 1 1     1        ním a větší úsečkou budiž AC; pravím,
že (BA-\-AC) :AB—AB:AC.
Nuže dejme tomu, že AC=AD; D A c      B Pravím>  že BD:BA = BA:AC. Neboť
i-i-1-1  ježto AB jest rozdělena v C poměrem
krajním a středním a větší úsečkou jest AC, tedy BA : AC— AC: CB. Avšak AC= DA; pročež BA: AD = AC-CB; obráceně |
A        D        C_B   tedy T>A: AB — BC-.CA; a tak součetně §
DB:BA = BA: AC. Avšak DA — AC; I tedy (BA + AC) :AB=BA: AC. A ježto bylo dokázáno, že DB:BA= I 54: 4C a CL4 = D A, tedy D5: BA = BA: AD. ^ A tak i DB j sst roz- 1 dělena v A poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest přímka j počáteční AB; což právě bylo dokázati. i
7. XIII. i-v. I
Co jest analyse (rozbor) a co synthese (soubor). j
Analyse jest dokazování věci vyšetřované, jakoby již byla uzná- f vána, sousledky k nějaké pravdě uznávané vedoucími. ^ |
Synthese  pak dokazování věci uznávané sousledky k nějaké ™ pravdě uznávané vedoucími.*) -
Analyse a synthese  poučky I.  bez vyobrazení (pomocného). 'ř Analyse. Nuže rozdělme nějakou přímku AB**) poměrem krajním a středním v C, a větší úsečkou budiž AC a budiž AD=.^AB; pravím, že CD* = 5 AD*.
Neboť, ježto CD* = 5 AD* a CD* = CA* + AD* + 2 CA X AD, tedy CA*-\-AD*Ar2CAxAD — 5 AD*; pročež odečtením 4C2 + 2CAxAD = 4 AD*. Avšak 2 CA X AD — BA x 4C, neboť BA = 2 AD; a CA* = ABXBC, neboť 45 jest rozdělena poměrem krajním a středním; tedy BAx AC A-ABX BC = 4 AD*. Avšak 54x4C-f 45 X BC — AB*. Pročež AB* = 4 AD*. A je tomu tak skutečně, neboť 45 = 2 4D.
Synthese. Ježto tedy 452=4 AD* a. BA* —BAx AC A-ABX BC, tedy 54X AC + AB X 5C = 4 4D2. Avšak54 X AC— 2 D4 X AC a 45x5C=4C2; pročež 4C2 + 2D4x AC= 4 AD*. A tak D42 + 4C2 + 2JD4x4C=5 5>4'2. Avšak DA* A-AC*-\-2 DAxAC = CD*. Tedy CD2 = 54D2; což právě bylo dokázati.
*) Smysl je tento: analyse, vycházejíc od pravdy, jež se má dokázati, a předem ji připouštějíc, vede k nějaké pravdě vůbec uznávané; synthese, vycházejíc od podmínek daných, vede ku pravdě, jež se má dokázati.
*') Sem patří druhá část vyobr. předešlého.
3:3
Analyse a synthese poučky n. bez* vyobrazení.
Analyse. Nuže budiž nějaká přímka CD (vyobr. k poučce i.) ve dvojmoci rovna pateronásobnému čtverci své úsečky DA a budiž AR = 2DA: pravím, že 46 jest rozdělena v bodě C poměrem krajním a středním a že větší úsečkou jest AC, kterážto jest zbývající částí přímky počáteční.
Ježto 45 jest rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AC, tedy ABxBC=AC*. Také však 54X4C=: 2 D A X AC, neboť 54=2 41?; pročež ABXBC+ BAXAC (což právě jest AB1)— 2DAXAC + AC*. Avšak AB*—4DA*; tedy též 2 5>4X-4C + 4C2 = 4 4Z)2; a tak D A* + AC* -f- 2 Z>4 X AC (což jest CD2) = 5 5>42. A je tomu tak skutečně.
Synthese. Ježto tedy CD* = 5DA* a CD* = D A* + 4C2 + 25-4X4C, tedy DA*A-AC* + 2DAX AC—bDA*. Odečtením 25-4X 4C + 4C2r=44Z>2; jest pak také AB*—4AD*; pročež 2/)4x^C (t. j. BA XAC)A- AC*=AB*. Avšak AB* = ABXBC-{-ABxAC; tedy 54X4C + 45x5C=54X4C+4C2. A odečtením veličiny společné BAXAC zbývající tedy ABXBC=AC*. Pročež 45:4C = AC:BC. Avšak 54>4C, tedy též 4C>C5; a tak 45 rozdělena je v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest 4C; což právě bylo dokázati.
Analyse a synthese poučky m.
Analyse. Nuže budiž přímka 45*) rozdělena v bodě C poměrem krajním a středním a větší úsečkou budiž AC a CD polovinou úsečky AC; pravím, že IW2 = 5CD*.
Ježto je totiž BD" = 5CD2 a DB* — AB XBC + DC* (II. ví), tedy ABXBC + DC* = 5DC*; odečtením ABXJ>C = 4DC*. Avšak ABXBC—AC*, neboť 45 jest rozdělena v C poměrem krajním a středním ; pročež 4C2 = 4 5>C2. A tak tomu skutečně, neboť 4C=2 DC.
Synthese. Ježto 4C=25>C, AC*=4DC*. Avšak AC* — ABX BC; pročež ABxBC—4DC*. Tedy součetně 45XBC4-DC* (t. j. DB*) — 5DC*; což právě bylo dokázati.
Analyse a synthese poučky iv.
Analyse. Nuže budiž přímka 45 rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou budiž AC (vyobr. jako k poučce i. — bez AD); pravím, že AB* + BC*— 3 AC*.
Neboť, ježto AB* -4- BC* = 3 AC*, avšak 452 + RC*= 2 ABx BC+AC* (II. vn.), tedy 2 45X5C + 4C2=34C2; pročež odečtením 2 AB X BC — 2 AC*; a tak 45x HC= AC*. A skutečně tomu tak, neboť 45 jest rozdělena v C poměrem krajním a středním.
Synthese. Ježto 45 jest rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest 4C, tedy ABXBC—AC*, pročež 2ABXBC—2AC*; přičítáním tedy 245 X BC + AC*= 3AC*. Avšak 2 45X5C + 4C2 = 452 + 5C2; proto 452-f-5C2= 3 4C2; což právě bylo dokázati.
*) Sem patří třetí část vyobr. předešlého.
314
Aaalyse a synthese poučky v.
Analyse. Nuže budiž nějaká přímka AB rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou budiž AC a budiž AI) = AC (vyobr. jako k doplňku 6.); pravím, že DB jest rozdělena v A poměrem krajním a středním a že větší úsečkou jest AB.
Ježto je totiž DB rozdělena v A poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AB, tedy DB: BA—BA:AD. Avšak AD = AC; pročež DB :BA = AB: AC; tedy z vratně BD:DA = AB: BC; a tak odčetně BA: AD = AC: BC. Avšak AD — AC; tedy BA: AC= AC: CB. A tak tomu skutečně, neboť AB jest rozdělena v C poměrem krajním a středním.
Synthese. Ježto AB jest rozdělena v C poměrem krajním a středním, tedy BA : AC= AC: CB. Avšak AC — AD; pročež BA:AD — AC:CB; součetně BD: D A = AB: BC; zvratně DB: BA — BA: AC. Avšak AC = AD; tedy DB : BA = BA : AD. A tak DB jest rozdělena v A poměrem krajním a středním a větší úsečkou jest AB; což právě bylo dokázati.
8. XIII. xvii.
Nuže buď změrná přímka AB rozdělena v C poměrem krajním a středním a větší úsečkou budiž AC. Mimo to pak budiž AD— \ AB (vyobr. jako k analysi poučky i.). Tedy též AD je změrná. A ježto CD* — bDA* (XIII. i.), tedy CD, D A jsou změrné, jen ve dvojmoci souměřitelné. Pročež AC jest úsečnice (X. lxxiii ). AB však je změrná. Čtverec*) pak z úsečnice, přistaven jsa ku přímce změrné, šířkou činí úsečnici (X. xcvn.); tedy BC jest úsečnice. Pročež AC i CB jsou úsečnice; což právě bylo dokázati. A příslušnou k AC jest AD, k CB pak CD.
9. XIII. xviii.
Jiný důkaz, že MB>NB.
Ježto je totiž AD — 2 DB, tedy AB = 3 BD. Též AB: BD = AB"':BF*, protože /\ FAB je s FDB stejnoúhlý. Pročež AB* — 3 BF2. Bylo pak dokázáno, že AB* = 5 KL* (XIII. xvni.). Tedy 5KL* =3 BF*. Avšak 3FB*>QNB*. Proto též 5KL*>6NB*. A tak i KL*>NB*. Pročež KL > NB. Avšak KL — LM. Tedy LM~>NB.^ Pročež MB jest mnohem větší než BN; což právě bylo dokázati. Ze však 3FB*~y> 6NBq, dokážeme takto: poněvadž totiž BN^>NF, tedy FBXBN> BFX FN. Pročež (FB XBN + B F X^N) > 2 BFX FN. Avšak FB X BNA-BFxFN — FB* a BF x FN= NL*. Tedy FB* ^> 2 NB*. A tak t 3FB*>QBN"-; což právě bylo dokázati**).
I
F
i
Chyby tiskové.
Str. 33. XIII. ř. 2. místo čtverec čti čtverce. »   35. II. místo vezmou, vezměme čti vytknou, vytkněme; a tak v této části častěji,
pokud se hodí sloveso vytknouti místo vzíti. »   69. vým. 10. na konci místo úměrou čti úměru. »    69. pozn. 4. místo a : b = a : c čti a : b = b : c. »    69. pozn. 8. čti (a + b) : b = (o -f- d) : d.
*) Třebas i ve způsobe obdélníku.
"*) Ve vyd. Heibergově za touto částí následuje ještě druhý přídavek (appendix). Obsahuje jiné výklady od XI. xxxvi. do konce a celé kn. XII. kromě poučky vi. ■ je však pln chyb opisovačských a bez obrazcův. Z té příčiny jsem tohoto přídavku nepřeložil.