Cvičení 4.: Vícerozměrná jednofaktorová analýza rozptylu (MANOVA)
Na 45 vzorcích rudy pocházejících ze tří ložisek byly zjištěny hodnoty těchto čtyř
proměnných:
X1 … obsah vanadu v popelu (v promile)
X2 … obsah železa v popelu (v promile)
X3 … obsah nasycených uhlovodíků (v setinách procenta)
X4 … obsah aromatických uhlovodíků (v setinách procenta)
Data jsou uložena v souboru ropa. sta.
Úkol 1.: Ve všech třech skupinách vypočtěte průměry a směrodatné odchylky proměnných
X1, X2, X3, X4. Zjistěte rovněž rozsahy skupin. Vytvořte krabicové grafy proměnné Xi ve
všech třech skupinách, i = 1, 2, 3, 4.
Řešení: Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X1,
X2, X3, X4 – OK – Anal. skupin – zaškrtneme Zapnuto a Sloučit tabulkové výsledky v jedné
tabulce a zrušíme Výsledky za všech. skupiny – zadáme Skupin. proměnná ID – OK –
Detailní výsledky – zrušíme Minimum a maximum – Výpočet
Souhrnné výsledky
Popisné statistiky (ropa.sta)
Proměnná ID N platných Průměr Sm.odch.
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
1 7 36,571 15,6403
1 7 38,714 7,6966
1 7 679,571 141,4318
1 7 1082,571 226,1260
2 8 50,6250 18,0471
2 8 35,7500 9,5581
2 8 653,2500 90,2754
2 8 518,1250 346,3580
3 30 76,5333 14,9406
3 30 21,4667 5,8882
3 30 457,4667 95,2430
3 30 614,8667 230,5085
Komentář: Počty vzorků z jednotlivých nalezišť se liší. Zatímco z 1. a 2. naleziště bylo
odebráno 7 a 8 vzorků, ze třetího pak 30 vzorků.
Obsah vanadu je nejmenší na 1. nalezišti a největší na 3. nalezišti.
U obsahu železa je tomu naopak – nejvíce železa je ve vzorcích z 1. naleziště, naopak
nejméně je ho na 3. nalezišti.
Obsah nasycených uhlovodíků se u 1. a 2. naleziště liší jen málo, na 3. nalezišti je nejnižší.
Obsah aromatických uhlovodíků je největší na 1. nalezišti, nejmenší na 2. nalezišti.
Nejvariabilnější obsah vanadu je ve vzorcích z 2. naleziště, naopak nejstabilnější je ve
vzorcích z 3. naleziště.
Obsah železa nejvíce kolísá u vzorků 2. naleziště, největší stabilitu obsahu železa vykazují
vzorky ze 3. naleziště.
U nasycených uhlovodíků pozorujeme největší variabilitu u vzorků z 1. naleziště, nejmenší u
vzorků z 2. naleziště.
Variabilita obsahu aromatických uhlovodíků je u vzorků z 1. a 3. naleziště podobná, největší
je u vzorků z 2. naleziště.
Grafy – 2D grafy – Krabicové grafy – Typ grafu: Vícenásobný – Proměnné – Závisle
proměnné X1 – Grupovací proměnná ID – Detaily – Střední bod – Průměr – Odlehlé hodnoty
– Vypnuto – OK
Tentýž postup zopakujeme pro proměnné X2, X3, X4.
Krabicový graf z X1 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
0
20
40
60
80
100
120
X1
Krabicový graf z X2 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
0
10
20
30
40
50
60
X2
Krabicový graf z X3 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
X3
Krabicový graf z X4 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
X4
Úkol 2.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že proměnné X1, X2, X3, X4 se ve
všech třech skupinách řídí normálním rozložením.
Řešení: Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X1,
X2, X3, X4 – OK - Anal. skupin – zaškrtneme Zapnuto a Sloučit tabulkové výsledky v jedné
tabulce a zrušíme Výsledky za všech. skupiny – zadáme Skupin. proměnná ID – OK – OK –
záložka Normalita – zaškrtneme S-W test a zrušíme K-S test – Testy normality
Souhrnné výsledky
Testy normality (ropa.sta)
Proměnná
ID N max D Lilliefors
p
W p
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
1 7 0,279595 p < ,10 0,837889 0,094950
1 7 0,256734 p < ,20 0,894783 0,300555
1 7 0,164851 p > .20 0,944596 0,680404
1 7 0,218850 p > .20 0,886488 0,256840
2 8 0,268226 p < ,10 0,812765 0,039143
2 8 0,222404 p > .20 0,916727 0,403873
2 8 0,222340 p > .20 0,891501 0,241660
2 8 0,270404 p < ,10 0,798241 0,027410
3 30 0,114117 p > .20 0,955701 0,239602
3 30 0,165019 p < ,05 0,939091 0,085977
3 30 0,189553 p < ,01 0,884710 0,003623
3 30 0,115612 p > .20 0,954858 0,227664
Komentář: Lilieforsův test zamítá na hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě obsahu
železa a obsahu nasycených uhlovodíků u vzorků ze 3. naleziště. S-W test zamítá na hladině
významnosti 0,05 hypotézu o normalitě obsahu vanadu a aromatických uhlovodíků u vzorků
z 2. naleziště a také obsahu nasycených uhlovodíků u vzorků ze 3. naleziště. Normalita je
však porušena jen mírně. Nedopustíme s závažné chyby, budeme-li předpokládat, že datová
matice je realizací výběru ze čtyřrozměrného normálního rozložení.
Úkol 3.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že varianční matice proměnných X1,
X2, X3, X4 jsou ve všech třech skupinách shodné.
Řešení: Statistiky – ANOVA – Jednofaktorová ANOVA – OK – Proměnné – Seznam,
závislých proměnných X1, X2, X3, X4 - Kategor. nezávislá proměnná (faktor) ID – OK – OK
– Více výsledků – záložka Předpoklady – Boxův M test
Boxův M test (ropa.sta)
Efekt: ID
(Vypočteno pro všechny proměnné)
Boxovo M Chí-kv. SV p
Boxovo M 35,34766 27,23627 20 0,128747
Komentář: Test shody tří variančních matic poskytl p-hodnotu 0,1287, což je větší než 0,05,
tedy dále budeme varianční matice považovat za shodné.
Lze konstatovat, že důležité předpoklady vícerozměrné analýzy rozptylu jsou splněny.
Úkol 4.: Pomocí maticových grafů prověřte, že vztahy mezi proměnnými X1, X2, X3, X4
jsou ve všech třech skupinách přibližně lineární.
Řešení: Grafy – Maticové grafy - Proměnné X1, X2, X3, X4 – OK – Filtr případů – Zapnout
filtr ID=1 – OK – OK
(Analogicky pro 2. a 3. naleziště, zadáme ID=2 resp. ID=3)
Maticový graf
ropa.sta 5v*45c
Zahrnout jestliže: ID=1
X1X3X4
X1
X2
X3
X4
Vidíme, že pro vzorky ropy z 1. naleziště je v některých případech linearita porušená.
Podobně to dopadne i pro data z 2. a 3. naleziště. Musíme si být vědomi toho, že výskyt
nelinearit snižuje sílu testů v MANOVĚ.
Úkol 5.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty proměnných X1,
X2, X3, X4 jsou ve všech třech skupinách shodné. Použijte Wilksův, Pillaiův, Hotellingův –
Lawleův a Royův test.
Řešení: Návrat do ANOVA – záložka Detaily – zaškrtneme vš. Vícerozměrné testy – Test
všech efektů
Vícerozměrné testy významnosti. (ropa.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice efektivní hypotézy
Efekt
Test Hodnota F Efekt
SV
Chyba
SV
p
Abs. člen
ID
Wilksův 0,01616 593,4657 4 39 0,000000
Pillaiův 0,98384 593,4657 4 39 0,000000
Hotellng 60,86828 593,4657 4 39 0,000000
Royův 60,86828 593,4657 4 39 0,000000
Wilksův 0,17959 13,2570 8 78 0,000000
Pillaiův 1,08176 11,7808 8 80 0,000000
Hotellng 3,11290 14,7863 8 76 0,000000
Royův 2,53997 25,3997 4 40 0,000000
Komentář: Všechny čtyři testy zamítají na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že střední
hodnoty proměnných X1, X2, X3, X4 jsou ve všech třech skupinách shodné. S rizikem omylu
nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že aspoň mezi dvěma nalezišti existuje rozdíl z hlediska
obsahu sledovaných látek.
Úkol 6.: Pomocí simultánního testu založeného na Wilksově statistice testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že proměnné X1, X2, X3, X4 nezpůsobují rozdíly mezi
skupinami.
Řešení: Simultánní testy STATISTICA neposkytuje. Můžeme však s její pomocí vypočítat
matici E reziduální variability a matici T celkové variability. Z těchto matic použijeme
diagonální prvky pro výpočet všech čtyř testových statistik
jj
jj
j
t
e
ln1
2
rp
nK 





−
+
−−= , j = 1, 2, 3, 4. Platí-li nulová hypotéza, Kj se asymptoticky řídí
rozložením ( )( )1rp2
−χ . Nulovou hypotézu o proměnné Xj tedy zamítneme na asymptotické
hladině významnosti α, když ( )( ) )∞−χ∈ α− ,1rpK 1
2
j . V našem případě n = 45, p = 4, r = 3.
Výpočet matice E reziduální variability:
Návrat do ANOVA – záložka Matice – v části ozn. Meziskupinové efekty vybereme SČ chyb.
Matice SSCP (Z' Z) reziduí (ropa.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice efektivní hypotézy
Efekt proměnné X1 X2 X3 X4
Chyba X1 10221,1 -1826,1 -16205,0 47988
X2 -1826,1 2000,4 9266,1 -15263
X3 -16205,0 9266,1 440130,7 403609
X4 47988,2 -15262,7 403609,3 2687436
Výpočet matice T celkové variability (je to matice v pravém dolním rohu):
Návrat do ANOVA – záložka Matice – v části ozn. Meziskupinové schéma vybereme Z’Z
odchylek.
Matice SSCP (Z' Z) odchylek (ropa.sta)
Matice SSCP (Z' Z) odchylek
vektorů matice v matici schématu X
Efekt
Úroveň Sloupec Efekt
(P/N)
Sloup.1
Abs.člen
Sloup.2
ID
Sloup.3
ID
Sloup.4
X1
Sloup.5
X2
Sloup.6
X3
Sloup.7
X4
Abs. člen
ID
ID
X1
X2
X3
X4
1 Pevný
1 2 Pevný 25,244 18,756 -528,6 240,84 3149,9 4552
2 3 Pevný 18,756 27,244 -445,4 229,16 3092,1 448
4 -528,644 -445,356 21499,2 -7068,04 -85138,3 -35738
5 240,844 229,156 -7068,0 4487,64 42154,5 17095
6 3149,911 3092,089 -85138,3 42154,51 875634,6 805853
7 4551,711 448,289 -35737,5 17094,91 805853,4 4154653
K dalším výpočtům použijeme STATISTIKU jako inteligentní kalkulačku. Otevřeme nový
datový soubor o jednom případu a s pěti proměnnými K1, K2, K3, K4 a kvantil.
Do Dlouhého jména proměnné K1 napíšeme: =-40,5*log(10221,1/21499,2)
Do Dlouhého jména proměnné K2 napíšeme: =-40,5*log(2000,4/4487,64)
Do Dlouhého jména proměnné K3 napíšeme: =-40,5*log(440130,7/875634,6)
Do Dlouhého jména proměnné K4 napíšeme: =-40,5*log(2687436/4154653)
Proměnná kvantil obsahuje kvantil ( )895,0
2
χ , tedy do jejího Dlouhého jména napíšeme:
=VChi2(0,95;8)
Vypočtené testové statistiky pro simultánní testy a kritická hodnota:
1
K1
2
K2
3
K3
4
K4
5
kvantil
1 30,114241 32,723182 27,859025 17,643474 15,507313
Komentář: Vidíme, že všechny čtyři statistiky se realizují v kritickém oboru
)∞= ,5073,15W . S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že všechna tři naleziště
se liší v obsahu všech čtyř zkoumaných látek.
Úkol 7.: Na hladině významnosti 0,05 proveďte vícerozměrnou obdobu mnohonásobného
porovnávání, tj. zjistěte, které dvojice skupin se liší.
Řešení: Vícenásobnou obdobu mnohonásobného porovnávání STATISTICA neposkytuje.
Problém vyřešíme tak, že provedeme všechna tři porovnání (1-2, 1-3, 2-3) pomocí
vícerozměrného dvouvýběrového t-testu založeného na Hotellingově statistice T2
a získané phodnoty
porovnáme s hladinou významnosti korigovanou podle Bonferroniho, tj. s číslem
601,0
3
05,0
2
3
==






α
.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin – OK – Proměnné –
Závisle proměnné X1, X2, X3, X4 – Grupovací proměnná ID – OK – Kód pro skup. 1: 1, Kód
pro skup. 2: 2 – na záložce Možnosti zaškrtneme Vícerozměrný test (Hotellingovo T2
) -
Výpočet
Výsledek pro 1. a 2. skupinu:
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 1; Skup. 2: 2
Hotellingovo 45,6734 F(4,10)=8,7833 p<,00261
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
36,571 50,6250 -1,59930 13 0,133764 7 8 15,6403 18,0471 1,331443 0,743087
38,714 35,7500 0,65470 13 0,524074 7 8 7,6966 9,5581 1,542203 0,613888
679,571 653,2500 0,43578 13 0,670148 7 8 141,4318 90,2754 2,454458 0,265396
1082,571 518,1250 3,67238 13 0,002814 7 8 226,1260 346,3580 2,346116 0,318519
Vypočtenou p-hodnotu (tj. 0,00261) porovnáme s 601,0 . Vidíme, že 1. a 2. skupina se liší.
Výsledek pro 1. a 3. skupinu
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 1; Skup. 2: 3
Hotellingovo 125,397 F(4,32)=28,662 p<,00000
Proměnná
Průměr
1
Průměr
3
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
3
Sm.odch.
1
Sm.odch.
3
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
36,571 76,5333 -6,32043 35 0,000000 7 30 15,6403 14,9406 1,095851 0,776819
38,714 21,4667 6,58961 35 0,000000 7 30 7,6966 5,8882 1,708565 0,309137
679,571 457,4667 5,05771 35 0,000013 7 30 141,4318 95,2430 2,205100 0,142430
1082,571 614,8667 4,84954 35 0,000025 7 30 226,1260 230,5085 1,039138 1,000000
I v tomto případě nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výsledek pro 2. a 3. skupinu:
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 2; Skup. 2: 3
Hotellingovo 44,5444 F(4,33)=10,208 p<,00002
Proměnná
Průměr
2
Průměr
3
t sv p Poč.plat
2
Poč.plat.
3
Sm.odch.
2
Sm.odch.
3
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
50,6250 76,5333 -4,17559 36 0,000180 8 30 18,0471 14,9406 1,459063 0,441637
35,7500 21,4667 5,31026 36 0,000006 8 30 9,5581 5,8882 2,634953 0,061803
653,2500 457,4667 5,21782 36 0,000008 8 30 90,2754 95,2430 1,113082 0,958255
518,1250 614,8667 -0,94544 36 0,350739 8 30 346,3580 230,5085 2,257752 0,116036
Vidíme, že i 2. a 3. skupina se liší na hladině významnosti 0,05.
Úkol 8.: Na hladině významnosti 0,05 zjistěte, které proměnné způsobují rozdíly mezi
jednotlivými dvojicemi skupin. (Těchto testů je nutno provést
( )
2
1rpr −
, v našem případě tedy
( ) 12
2
1334
=
−⋅
.)
Řešení: Posouzení rozdílů mezi jednotlivými proměnnými v rámci skupin STATISTICA
neposkytuje. Pro každou proměnnou tedy provedeme dvouvýběrový t-test, abychom ji
porovnali ve dvojicích skupin 1-2, 1-3, 2-3 a zjistíme, zda vypočtené p-hodnoty jsou menší
nebo rovny korigované hladině významnosti 0042,0
12
05,0
= .
Podíváme-li se na tabulky v úkolu 7, můžeme konstatovat, že:
- naleziště 1 a 2 se liší pouze v obsahu aromatických uhlovodíků
- naleziště 1 a 3 se liší v obsahu všech čtyř látek
- naleziště 2 a 3 se neliší pouze v obsahu aromatických uhlovodíků.