Cvičení 8.: Mnohonásobná a parciální korelace
Příklad 1.: Výnosy pšenice (příklad je převzat ze skript Michálek Jaroslav, Osecký Pavel,
Pešek Josef, Rod Jan, Vondráček Jiří: Biometrika, SNTL Praha 1982)
Během 30 let od roku 1913 do roku 1942 byly na 20 vybraných farmách ve Švédsku v oblasti
Kalmar sledovány následující čtyři náhodné veličiny:
Y … průměrný výnos pšenice z podzimní setby (v kg/ha)
X1 … průměrná teplota vzduchu během předchozí zimy (říjen – březen) v oblasti Kalmar (ve
°C)
X2 … průměrná teplota vzduchu během vegetačního období (duben – září) v oblasti Kalmar
(ve °C)
X3 … celkové srážky během vegetačního období, počítané jako průměr ze tří různých
meteorologických stanic (v mm)
Data jsou uložena v souboru psenice.sta.
1
Y
2
X1
3
X2
4
X3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1990 2,7 12,8 230
1950 3,1 13,7 268
1630 1,9 12 188
1720 1,3 11,7 315
1560 1 12,7 180
1680 1,6 12 261
1980 2,3 12,2 216
2180 1,7 12,8 346
2370 3,1 13,1 131
1790 1,1 11,8 256
2400 1,6 11,2 327
1410 0,1 11,8 320
2570 3,7 13,2 382
2180 1,1 12,5 279
2150 2,5 12,2 351
2530 0,8 10,5 324
2100 0,8 10,9 196
2330 3,6 12,4 381
1850 1,6 10,7 237
2230 1,9 12,5 289
2310 2,2 11,9 338
2600 3 13,5 267
2480 3,2 12,3 372
1940 2,8 12,3 367
2770 2,1 13,5 358
2570 3,3 12,9 202
2510 3,8 13,4 311
1420 -1,1 11,3 172
810 -0,4 11,3 194
1990 -2,4 11,2 261
Úkol 1.: Měli bychom předpokládat, že náhodný vektor (Y, X1, X2, X3)’ se řídí
čtyřrozměrným normálním rozložením, tedy naše data jsou realizacemi náhodného výběru
rozsahu 30 z tohoto normálního rozložení. Přesvědčíme se alespoň o jednorozměrné normalitě
sledovaných proměnných.
Normalitu proměnných Y, Xl, X2, X3 posuďte Andersonovým - Darlingovým testem s hladinou
významnosti 0,05.
Řešení:
A-D test je dostupný v modulu Rozdělení & simulace, Proložení dat rozděleními. Dostaneme
tyto výsledky:
AD stat. AD p-hodn.
Y
X1
X2
X3
0,322445 0,920115
0,493906 0,751739
0,185603 0,993464
0,405985 0,841766
Na hladině významnosti 0,05 nelze ani v jednom případě zamítnout hypotézu o normalitě.
Úkol 2.: Pomocí dvourozměrných tečkových diagramů znázorněte závislost mezi všemi
dvojicemi náhodných veličin..
Řešení:
Grafy – Maticové grafy – Proměnné – Vybrat vše – OK
Maticový graf
psenice.sta 4v*30c
Y
X1
X2
X3
Úkol 3.: Vypočtěte výběrové korelační koeficienty pro všechny dvojice náhodných veličin a
na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o nezávislosti. Najděte 95% intervaly
spolehlivosti pro všech šest korelačních koeficientů.
Řešení:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam proměnných –
Proměnné 1-4 – OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Zobrazit r, úrovně p, počty N a
zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných – Výpočet
Korelace (psenice)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1 X2 X3
Y: výnos
X1: zimni teploty
X2: letni teploty
X3: srazky
1,0000 ,5962 ,4188 ,4542
p= --- p=,001 p=,021 p=,012
,5962 1,0000 ,6703 ,3205
p=,001 p= --- p=,000 p=,084
,4188 ,6703 1,0000 ,1370
p=,021 p=,000 p= --- p=,471
,4542 ,3205 ,1370 1,0000
p=,012 p=,084 p=,471 p= ---
Vidíme, že korelační koeficient mezi:
a) výnosem a zimní teplotou je 0,5962, p-hodnota je 0,001, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X1;
b) výnosem a letní teplotou je 0,4188, p-hodnota je 0,021, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X2;
c) výnosem a srážkami je 0,4542, p-hodnota je 0,012, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X3;
d) zimní teplotou a letní teplotou je 0,6703, p-hodnota je 0,000, tedy na hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X2;
e) zimní teplotou a srážkami je 0,3205, p-hodnota je 0,084, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X3;
f) letní teplotou a srážkami je 0,137, p-hodnota je 0,471, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X2 a X3.
Meze intervalů spolehlivosti pro koeficienty korelace získáme pomocí modulu Analýza síly
testu.
Např. koeficient korelace mezi výnosem a zimní teplotou se s pravděpodobností přibližně
0,95 nachází v intervalu (0,3; 0,79).
Úkol 4.: Vypočtěte všechny výběrové parciální korelační koeficienty mezi Y a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o jejich nevýznamnosti.
Řešení:
Postup ukážeme na výpočtu 21 X.X,Yr , tj. při zkoumání závislosti výnosu na zimních teplotách
při vyloučení vlivu letních teplot a na výpočtu 1.2 XX,Yr , tj. při zkoumání závislosti výnosu na
letních teplotách při vyloučení vlivu zimních teplot.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Zobrazit r, úrovně p, počty N a zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných,
na záložce Detaily zvolíme Parciální korelace – 1. seznam proměnných Y, X1, druhý seznam
proměnných X2 – OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1
Y: výnos
X1: zimni teploty
1,0000 ,4682
p= --- p=,010
,4682 1,0000
p=,010 p= ---
Vidíme, že výběrový parciální korelační koeficient 211 X.X,Yr je 0,4682, p-hodnota je 0,01, tedy
na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti 21 X.X,Yρ .
Analogicky 1. seznam proměnných Y, X2, druhý seznam proměnných X1 – OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X2
Y: výnos
X2: letni teploty
1,0000 ,0322
p= --- p=,868
,0322 1,0000
p=,868 p= ---
V tomto případě výběrový parciální korelační koeficient 12 X.X,Yr je 0,0322, p-hodnota je 0,868,
tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nevýznamnosti 12 X.X,Yρ .
Interpretace: Výběrový korelační koeficient 5962,0r 1X,Y = , což je podstatně více než
4188,0r 2X,Y = . Mohlo by to znamenat, že vliv zimních teplot na výnosy pšenice je vyšší než
vliv letních teplot. Pokud zkoumáme závislost Y na X1 při vyloučení vlivu X2, dostaneme
výběrový parciální korelační koeficient 0,4682, což je poněkud nižší než 0,5962. Ovšem když
zkoumáme závislost Y na X2 při vyloučení vlivu X1, dostaneme výběrový parciální korelační
koeficient 0,0322, což je zcela nevýznamná korelace.
Stejným způsobem vypočteme a prozkoumáme další parciální korelační koeficienty. Pro
kontrolu: 31 X.X,Yr = 0,534, p = 0,033, 32 X.X,Yr = 0,4041, p = 0,03, 13 X.X,Yr = 0,346, p = 0,066,
23 X.X,Yr = 0,4412, p = 0,017, ( )321 X,X.X,Yr = 0,388, p = 0,041, ( )312 X,X.X,Yr = 0,0756, p = 0,702,
( )213 X,X.X,Yr = 0,3519, p = 0,066.
Z těchto výsledků vyplývá, že na výnosy mají silný vliv zimní teploty a srážky, zatímco vliv
letních teplot je způsoben silnou korelací mezi zimními a letními teplotami.
Úkol 5.: Vypočtěte výběrový koeficient mnohonásobné korelace mezi výnosy a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o jeho nevýznamnosti.
Řešení:
Statistiky – Vícenásobná regrese – Proměnné – Závislá proměnná Y, seznam nezáv.
proměnných X1, X2, X3 – OK – OK.
Koeficient ( )321 X,X,X,Yr najdeme v záhlaví výstupní tabulky pod označením Vícenás. R =
0,6602.
Hodnota testové statistiky pro test nevýznamnosti koeficientu mnohonásobné korelace
( )321 X,X,X,Yρ je 6,6963, počet stupňů volnosti čitatele je 3, jmenovatele 26, odpovídající phodnota
je 0,001691, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že výnosy
pšenice nejsou závislé na zimních teplotách, letních teplotách a srážkách.
Upozornění: Povšimněte si, že všechny výběrové párové korelační koeficienty veličiny Y
s ostatními proměnnými jsou v absolutní hodnotě menší než výběrový koeficient
mnohonásobné korelace: 1X,Yr = 0,5962, 2X,Yr = 0,4188, 3X,Yr = 0,4542, zatímco ( )331 X,X,X,Yr =
0,6602.
Příklad 2.: U 19 vzorků potravinářské pšenice byl zjišťován obsah zinku v zrnu (proměnná
Y), v kořenech (proměnná X1), v otrubách (X2) a ve stonku a listech (X3). Data jsou uložena
v souboru zinek.sta.
1
Y
2
X1
3
X2
4
X3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
175 164 198 162
169 160 198 159
175 158 211 164
181 162 211 162
539 520 567 523
526 502 540 491
344 339 355 334
475 460 500 446
820 683 813 695
841 731 832 714
828 710 846 697
775 716 818 709
622 543 635 563
661 577 712 580
579 505 596 531
936 790 946 814
903 806 946 834
927 793 912 824
889 820 919 807
a) Normalitu proměnných Y, Xl, X2, X3 posuďte Lilieforsovým testem s hladinou
významnosti 0,05.
b) Závislost mezi dvojicemi proměnných (Y,X1), (Y,X2), (Y,X3) znázorněte
dvourozměrnými tečkovými diagramy.
c) Vypočtěte výběrovou korelační matici všech čtyř proměnných a pro α = 0,05
otestujte významnost jednotlivých korelačních koeficientů.
d) Vypočtěte výběrové parciální korelační koeficienty ( )321 X,X.X,Yr , ( )312 X,X.X,Yr ,
( )213 X,X.X,Yr a porovnejte je s výběrovými párovými korelačními koeficienty 1YXr , 2YXr , 3YXr .
Na hladině významnosti a = 0,05 testujte hypotézy o nevýznamnosti parciálních korelačních
koeficientu ( )321 X,X.X,Yρ , ( )312 X,X.X,Yρ , ( )213 X,X.X,Yρ .
Řešení: Načteme datový soubor zinek.sta.
ad a) Výsledky Lileforsova testu normality
proměnná testová statistika p-hodnota
Y 0,15792 > 0,2
X1 0,15613 > 0,2
X2 0,18177 < 0,1
X3 0,16420 < 0,2
Na hladině významnosti 0,05 nelze ani v jednom případě zamítnout hypotézu o normalitě.
ad b)
Dvourozměrné tečkové diagramy dvojic (Y,X1), (Y,X2), (Y,X3) svědčí o existenci dosti silné
přímé lineární závislosti.
100 200 300 400 500 600 700 800 900
X1
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000Y
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
100 200 300 400 500 600 700 800 900
X3
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
ad c) Výběrová korelační matice proměnných Y, X1, X2, X3 spolu s odpovídajícími p-
hodnotami:
Proměnná Y X1 X2 X3
Y
X1
X2
X3
1,0000 ,9947 ,9981 ,9959
p= --- p=,000 p=0,00 p=0,00
,9947 1,0000 ,9954 ,9980
p=,000 p= --- p=,000 p=0,00
,9981 ,9954 1,0000 ,9962
p=0,00 p=,000 p= --- p=0,00
,9959 ,9980 ,9962 1,0000
p=0,00 p=0,00 p=0,00 p= ---
Na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti jednotlivých korelačních
koeficientů.
ad d)
Výběrový koeficient parciální korelace ( )321 X,X.X,Yr
Proměnná Y X1
Y
X1
1,0000 -,0390
p= --- p=,882
-,0390 1,0000
p=,882 p= ---
Výběrový koeficient korelace 1YXr je 0,9947, zatímco ( )321 X,X.X,Yr je -0,039.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X2, X3, tak mezi proměnnými Y a X1 existuje velmi
slabá nepřímá lineární závislost, která není na hladině 0,05 významná.
Výběrový koeficient parciální korelace ( )312 X,X.X,Yr
Proměnná Y X2
Y
X2
1,0000 ,7515
p= --- p=,001
,7515 1,0000
p=,001 p= ---
Výběrový koeficient korelace 2YXr je 0,9981, zatímco ( )312 X,X.X,Yr poklesl na 0,7515.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X1, X3, tak mezi proměnnými Y a X2 existuje silná
přímá lineární závislost, která je na hladině 0,05 významná.
Výběrový koeficient parciální korelace ( )213 X,X.X,Yr
Proměnná Y X3
Y
X3
1,0000 ,2230
p= --- p=,390
,2230 1,0000
p=,390 p= ---
Výběrový koeficient korelace 3YXr je 0,99589, zatímco ( )213 X,X.X,Yr je pouze 0,223.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X1, X2, tak mezi proměnnými Y a X3 existuje slabá
přímá lineární závislost, která není na hladině 0,05 významná.
Vidíme, že existují značné rozdíly mezi párovými a parciálními výběrovými korelačními
koeficienty.