Příklad k samostatnému řešení, cvičení 7
Třídění lebek Tibeťanů (Příklad je převzat z knihy Meloun M., Militký J., Hill, M.:
Počítačová analýza vícerozměrných dat v příkladech. Academia Praha 2005)
Datový soubor lebky.sta obsahuje údaje o 32 lebkách nalezených na pohřebištích v Tibetu.
Sledují se tyto proměnné:
ID … identifikátor (1 pro lebky z okolí Sikkimu, 2 pro lebky z okolí Lhasy)
Ldelka … největší délka lebky (v mm)
Lsirka … největší horizontální šířka lebky (v mm)
Lvyska … výška lebky (v mm)
Ovyska … výška horní části obličeje (v mm)
Osirka … šířka obličeje mezi body lícních kostí (v mm)
1
ID
2
Ldelka
3
Lsirka
4
Lvyska
5
Ovyska
6
Osirka
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1 190,5 152,5 145,0 73,5 136,5
1 172,5 132,0 125,5 63,0 121,0
1 167,0 130,0 125,5 69,5 119,5
1 169,5 150,5 133,5 64,5 128,0
1 175,0 138,5 126,0 77,5 135,5
1 177,5 142,5 142,5 71,5 131,0
1 179,5 142,5 127,5 70,5 134,5
1 179,5 138,0 133,5 73,5 132,5
1 173,5 135,5 130,5 70,0 133,5
1 162,5 139,0 131,0 62,0 126,0
1 178,5 135,0 136,0 71,0 124,0
1 171,5 148,5 132,5 65,0 146,5
1 180,5 139,0 132,0 74,5 134,5
2 183,0 149,0 121,5 76,5 142,0
2 169,5 130,0 131,0 68,0 119,0
2 172,0 140,0 136,0 70,5 133,5
2 170,0 126,5 134,5 66,0 118,5
2 182,5 136,0 138,5 76,0 134,0
2 179,5 135,0 128,5 74,0 132,0
2 191,0 140,5 140,5 72,5 131,5
2 184,5 141,5 134,5 76,5 141,5
2 181,0 142,0 132,5 79,0 136,5
2 173,5 136,5 126,0 71,5 136,5
2 188,5 130,0 143,0 79,5 136,0
2 175,0 153,0 130,0 76,5 142,0
2 196,0 142,5 123,5 76,0 134,0
2 200,0 139,5 143,5 82,5 146,0
2 185,0 134,5 140,0 81,5 137,0
2 174,5 143,5 132,5 74,0 136,5
2 195,5 144,0 138,5 78,5 144,0
2 197,0 131,5 135,0 80,5 139,0
2 182,5 131,0 135,0 68,5 136,0
Úkolem je najít Fisherovu lineární diskriminační funkci, která pomocí proměnných Ldelka až
Osirka umožní rozlišit lebky z okolí Sikkimu od lebek z okolí Lhasy.
Výsledky (s částečným návodem)
Testování hypotézy o normalitě sledovaných proměnných v daných dvou skupinách pomocí
Lilieforsovy varianty K-S testu a pomocí S-W testu:
Testy normality (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=1
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
13 0,149568 p > .20 0,971258 0,908822
13 0,188580 p > .20 0,946284 0,543198
13 0,196329 p < ,20 0,900168 0,134439
13 0,176191 p > .20 0,944919 0,523649
13 0,148589 p > .20 0,954446 0,666891
Testy normality (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=2
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
19 0,121226 p > .20 0,946640 0,345905
19 0,099534 p > .20 0,973572 0,844925
19 0,116289 p > .20 0,969669 0,769812
19 0,149966 p > .20 0,965452 0,683230
19 0,180030 p < ,10 0,873328 0,016463
Vidíme, že ve 2. skupině zamítá S-W test hypotézu o normalitě proměnné Osirka na hladině
významnosti 0,05, Lilieforsův test nikoli.
N-P plot pro proměnnou Osirka v 1. a 2. skupině
Normální p-graf z Osirka; kategorizovaný ID
lebky.sta 6v*32c
ID: 1
115 120 125 130 135 140 145 150
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
115 120 125 130 135 140 145 150
Odhad vektorů středních hodnot v 1. skupině:
Popisné statistiky (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=1
Proměnná Průměr
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
175,1923
140,2692
132,3846
69,6923
131,0000
Krabicové grafy všech proměnných v 1. skupině:
Krabicový graf
Zhrnout podmínku: ID=1
Medián
25%-75%
Min-Max
Ldelka Lsirka Lvyska Ovyska Osirka
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Odhad vektorů středních hodnot ve 2. skupině:
Popisné statistiky (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=2
Proměnná Průměr
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
183,1842
138,2368
133,9211
75,1579
135,5526
Krabicové grafy všech proměnných ve 2. skupině:
Krabicový graf
Zhrnout podmínku: ID=2
Medián
25%-75%
Min-Max
Ldelka Lsirka Lvyska Ovyska Osirka
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Rozmístění objektů na ploše prvních dvou hlavních komponent:
Bodový graf z Faktor 2 proti Faktor 1; kategorizovaný ID
Faktorová skóre podle korelací (lebky.sta) v PS 1 3v*32c
Faktor 1
Faktor2
ID: Sikkim
ID: Lhasa
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Odhad varianční matice v 1. skupině:
Kovariance (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=1
Proměnná Ldelka Lsirka Lvyska Ovyska Osirka
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
50,02244 17,52724 25,02404 22,85577 20,04167
17,52724 47,31731 25,57532 -0,76442 32,35417
25,02404 25,57532 36,83974 5,89904 12,27083
22,85577 -0,76442 5,89904 22,64744 10,29167
20,04167 32,35417 12,27083 10,29167 53,25000
Odhad varianční matice ve 2. skupině:
Kovariance (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: ID=2
Proměnná Ldelka Lsirka Lvyska Ovyska Osirka
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
90,31140 7,3012 20,1126 31,64985 39,07310
7,30117 47,2880 -14,6747 10,68275 30,51462
20,11257 -14,6747 38,1462 8,66594 4,42105
31,64985 10,6827 8,6659 22,14035 25,13012
39,07310 30,5146 4,4211 25,13012 51,05263
Odhad společné varianční matice
Proměnná Ldelka Lsirka Lvyska Ovyska Osirka
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
74,19582 11,3916 22,07716 28,13222 31,46053
11,3916 47,29973 1,425304 6,10388 31,25044
22,07716 1,425304 37,62362 7,559177 7,560965
28,13222 6,10388 7,559177 22,34318 19,19474
31,46053 31,25044 7,560965 19,19474 51,93158
Boxův test shody variančních matic:
Boxův M test (lebky.sta)
Efekt: ID
(Vypočteno pro všechny proměnné)
Boxovo M Chí-kv. sv p
Boxovo M 22,65281 18,40191 15 0,242126
Hypotézu o shodě variančních matic nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05,
protože p-hodnota = 0,242 je větší než 0,05.
Test shody vektorů středních hodnot:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin – OK – Proměnné –
Závisle proměnné Ldelka až Osirka, Grupovací proměnná ID – OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Vícerozměrný test – Výpočet
t-testy; grupováno: ID (lebky.sta)
Skup. 1: 1; Skup. 2: 2
T2(celé případy 14,0638 F(5,26)=2,4377 p<,06127
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
175,1923 183,1842 -2,57771 30 0,015102 13 19 7,072654 9,503231 1,805418 0,298973
140,2692 138,2368 0,82101 30 0,418115 13 19 6,878758 6,876628 1,000620 0,970788
132,3846 133,9211 -0,69592 30 0,491837 13 19 6,069575 6,176261 1,035463 0,976491
69,6923 75,1579 -3,21246 30 0,003136 13 19 4,758932 4,705353 1,022903 0,938035
131,0000 135,5526 -1,75517 30 0,089438 13 19 7,297260 7,145112 1,043041 0,909092
Testová statistika se realizuje hodnotou 2,4377, odpovídající p.hodnota je menší než 0,06127,
tedy na hladině významnosti 0,056 nezamítáme hypotézu o shodě vektorů středních hodnot.
Individuální t-testy však prokázaly, že na hladině významnosti 0,05 se liší střední hodnoty
proměnných Ldelka a Ovyska.
Stanovení odhadů apriorních pravděpodobností:
59375,0
32
19
n
n
p,40625,0
32
13
n
n
p 2
2
1
1 ======
Stanovení odhadu Fisherovy lineární diskriminační funkce:
Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Diskriminační analýza - Pro-měnné –
Grupovací proměnná ID, Seznam nezávislých proměnných Ldelka až Osirka – OK – OK – na
záložce Klasifikace zvolíme Klasifikační funkce. Do výstupní tabulky přidáme novou
proměnnou, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme =v1-v2
Klasifikační funkce; grupovací : ID (lebky.sta)
Proměnná
G_1:1
p=,40625
G_2:2
p=,59375
NProm
=v1-v2
Ldelka
Lsirka
Lvyska
Ovyska
Osirka
Konstant
1,168 1,202 -0,03346
2,820 2,692 0,128157
2,748 2,722 0,025791
0,280 0,454 -0,17415
-0,385 -0,302 -0,0839
-467,373 -475,503 8,130393
Posouzení účinnosti diskriminace resubstituční metodou:
Na záložce Klasifikace zvolíme Klasifikační matice.
Klasifikační matice (lebky.sta)
Řádky: pozorované klasifikace
Sloupce: předpovězené klasifikace
Skup.
%
správnýc
Sikkim
p=,40625
Lhasa
p=,59375
Sikkim
Lhasa
Celkem
69,23077 9 4
84,21053 3 16
78,12500 12 20
Pro určení chybně zařazených případů zvolíme na záložce Klasifikace možnost Klasifikace
případů. Zjistíme, že v 1. skupině došlo k mylnému zařazení u lebek č. 5, 8, 9 a 13, ve 2.
skupině u lebek číslo 15, 16, 17.
Porovnání s náhodnou klasifikací:
Odhad celkové pravděpodobnosti mylné klasifikace je
2p1(1- p1) =
32
19
32
13
2 ⋅⋅ = 0,4824.
Použitím diskriminační analýzy jsme tedy dosáhli značného zlepšení, pravděpodobnost mylné
klasifikace klesla na 0,22.