Cvičení 2.: Úlohy na ANOVU a neparametrické testy
Příklad 1: Máme k dispozici kraniometrické údaje o výšce horní části tváře 163 mužů
(proměnná X, v mm), což je přímá vzdálenost mezi body nasion a prosthion. Kromě toho je
známo, z jaké populace muži pocházejí (proměnná ID, varianty: 1 – německá … 19 mužů, 2 –
bantuská … 13 mužů, 3 – malajská … 69 mužů, 4 – čínská … 18 mužů, 5 – peruánská … 44
mužů).
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty výšky horní tváře mužů
jsou ve všech pěti populacích stejné. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice
populací se liší.
(Data jsou uložena v souboru vysky_tvare.sta.)
Řešení: Úloha vede na analýzu rozptylu jednoduchého třídění. Mezi její předpoklady patří
nezávislost všech náhodných výběrů (to je splněno), jejich normalita a homogenita rozptylů
ve všech náhodných výběrech.
Výšku horní tváře německých mužů považujeme za realizace náhodného výběru X1,1, …,
X1,19 z rozložení N(µ1,σ1
2
) atd. až výšku horní tváře peruánských mužů považujeme za
realizace náhodného výběru X5,1, …, X5,44 z rozložení N(µ5,σ5
2
).
Ověření normality výšky horní části tváře
Hypotézu o normalitě pro všech pět výběrů ověříme pomocí S-W testu a současně vykreslíme
N-P plot.
Návod: Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – zaškrtneme S-W test a
odškrtneme Neurčovat průměrnou pozici svázaných pozorování - Proměnné X – OK – na
záložce Kategorizovaný vybereme u Kategorie X Zapnuto, zaškrtneme Změnit proměnnou –
Proměnná ID - OK – OK.
Normální p-graf z X; kategorizovaný ID
vyska_tvare.sta 2v*163c
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
ID: německá
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
-3
-2
-1
0
1
2
3
ID: bantuská
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
ID: malajská
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
ID: čínská
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
-3
-2
-1
0
1
2
3
ID: peruánská
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
ID: německá X: SW-W = 0,8964; p = 0,0419
ID: bantuská X: SW-W = 0,938; p = 0,4321
ID: malajská X: SW-W = 0,9855; p = 0,6080
ID: čínská X: SW-W = 0,8972; p = 0,0513
ID: peruánská X: SW-W = 0,9847; p = 0,8175
Na hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě zamítáme pouze pro německou populaci.
Odchylky od normality jsou však nepatrné, nadále budeme považovat data za normálně
rozložená.
Vypočteme výběrové průměry a výběrové rozptyly:
Návod: Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK –
Proměnné – Závislé – X, Grupovací - ID – OK – Skupiny tabulek - zaškrtneme Rozptyly -
Výpočet.
Rozkladová tabulka popisných statistik (vyska_tvare.sta)
N=163 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID X
průměr
X
N
X
Rozptyl
německá 71,89474 19 14,65497
bantuská 70,69231 13 29,06410
malajská 70,13043 69 24,52685
čínská 72,00000 18 20,82353
peruánská 70,61364 44 16,89376
Vš.skup. 70,71779 163 21,24085
Vidíme, že největší průměrnou výšku horní části tváře mají čínští muži, naopak nejmenší
malajští muži. Největší variabilitu vykazují bantuští muži, naopak nejmenší němečtí muži.
Vykreslíme krabicové grafy.
Aktivujeme Statistiky dle skupin – vybereme záložku Jednotlivé tabulky – OK – Kategoriz.
krabicový graf.
Kategoriz. krabicový graf: X
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
německá bantuská malajská čínská peruánská
ID
67
68
69
70
71
72
73
74
75
X
Nyní ověříme předpoklad shody rozptylů.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Levenův test – Výpočet.
Leveneův test homogenity rozpylů (vyska_tvare.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 28,05679 4 7,014196 1146,488 158 7,256251 0,966642 0,427520
Vidíme, že p-hodnota Levenova testu je 0,4275, tedy větší než hladina významnosti 0,05.
Hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Přistoupíme k testu hypotézy o shodě středních hodnot.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Analýza rozptylu – Výpočet.
Analýza rozptylu (vyska_tvare.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 80,20180 4 20,05045 3360,817 158 21,27099 0,942619 0,440945
Jelikož p-hodnota = 0,4409 je větší než hladina významnosti 0,05, hypotézu o shodě středních
hodnot nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Neprokázaly se odlišnosti ve výšce horní
části tváře mužů ve sledovaných pěti populacích.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad 2.: Jednovýběrový Wilcoxonův test
Ve skupině 12 studentů se sledovala srdeční frekvence při změně polohy z lehu do stoje.
Získaly se tyto rozdíly počtu tepů srdce za 1 minutu: -2 4 8 25 -5 16 3 1 12 17 20 9. Na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že u poloviny studentů se srdeční frekvence
zvedne o 15 tepů a u poloviny studentů klesne o 15 tepů.
Návod: Testujeme H0: x0,50 = 15 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 15. Jde o úlohu na
jednovýběrový znaménkový či Wilcoxonův test.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor srdecni_frekvence.sta. V proměnné X jsou zjištěné rozdíly tepových
frekvencí, v proměnné konst je číslo 15.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam
proměnných X, 2. seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (srdecni_frekvence.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z p-hodn.
X & konst 12 14,00000 1,961161 0,049861
Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky (ozn. T), hodnotu asymptotické testové
statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. (STATISTICA tedy nezohledňuje omezení n ≥ 30 pro
použití U0.)
Vidíme, že p-hodnota 0,0499, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině
významnosti 0,05. Nejsou však splněny předpoklady pro použití asymptotické varianty testu
(příliš malý rozsah výběru).
Korektní provedení testu tedy spočívá v porovnání testové statistiky s kritickou hodnotou.
Tabelovaná kritická hodnota pro n = 12 a α = 0,05 je 13, testová statistika = 14.
Protože 14 > 13, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad 3.: Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Vědci krmili laboratorní potkany dvěma různými dietami po delší dobu. Bylo vybráno
náhodně 10 potkanů, kteří byli krmeni dietou A a deset potkanů, kteří byli krmeni dietou B.
Poté byl změřen obsah železa v játrech těchto potkanů. Na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že dieta nemá vliv na obsah železa v játrech:
Dieta A 2,12 3,98 1,43 4,11 1,08 2,03 3,67 1,11 3,92 4,33
Dieta B 1,33 0,59 1,19 1,65 1,12 0,96 2,17 2,14 1,51 1,08
Návod: Jde o úlohu na dvouvýběrový test. Dvouvýběrový t-test nelze použít, protože je
porušena normalita v 1. výběru. Přejdeme tedy k dvouvýběrovému Wilcoxonovu testu a na
hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti oboustranné alternativě
H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor potkani_diety_A_B.sta. V proměnné X jsou uloženy obsahy železa
v játrech potkanů, v proměnné ID je hodnota 1 pro dietu A a hodnota 2 pro dietu B.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK –
Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID – OK – M-W
U test.
Mann-Whitneyův U Test (w/ oprava na spojitost) (potkani_diety_A_B.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
skup. 1
Sčt poř.
skup. 2
U Z p-hodn. Z
upravené
p-hodn. N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
2*1str.
přesné p
X 132,5000 77,50000 22,50000 2,041008 0,041251 2,041776 0,041175 10 10 0,035463
Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky min(U1, U2) ozn. U,
hodnota asymptotické testové statistiky U0 (ozn. Z), p-hodnota pro U0 a přesná p-hodnota
(ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30).
V našem případě přesná p-hodnota = 0,0355, tedy H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme prokázali odlišnost v obsahu železa v játrech dvou skupin
potkanů.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem typu Medián/kvartily/rozpětí.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2
ID
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
X
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad 4.: V souboru tri_skupiny_opic.sta jsou data týkající se skupiny opic stejného druhu,
které byly náhodně rozděleny do tří experimentálních skupin. Každé opici byla ukázána série
předmětů. Úkolem bylo vybrat určitý předmět. Za správnou volbu byla opice odměněna. Pro
korektní rozhodnutí bylo v první skupině důležité dobře určit tvar, ve druhé skupině barvu a
ve třetí skupině velikost. Na základě počtu pokusů potřebných k úspěšnému výběru chceme
s rizikem omylu nejvýše 5 % rozhodnout, zda jsou úlohy založené na rozpoznání tvaru, barvy
a velikosti pro konkrétní druh opic stejně obtížné.
X
ID
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
6 tvar
11 tvar
12 tvar
20 tvar
24 tvar
21 tvar
18 tvar
15 tvar
14 tvar
10 tvar
8 tvar
14 tvar
31 barva
7 barva
9 barva
11 barva
16 barva
19 barva
17 barva
11 barva
22 barva
23 barva
27 barva
26 barva
13 velikost
32 velikost
31 velikost
30 velikost
28 velikost
29 velikost
25 velikost
26 velikost
26 velikost
27 velikost
26 velikost
19 velikost
Návod:
V případě, že by se všechny tři výběry řídily normálním rozložením, úloha by vedla na
analýzu rozptylu jednoduchého třídění. Načteme datový soubor tri_skupiny_opic.sta
(proměnná X udává počty pokusů před prvním úspěchem, proměnná ID nabývá hodnot 1, 2, 3
pro 1., 2. a 3. skupinu opic) a pomocí N-P plotu a S-W testu ověříme normalitu dat:
Normální p-graf z X; kategorizovaný ID
tri_skupiny_opic.sta 2v*36c
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
ID: tvar
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
ID: barva
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
ID: velikost
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
ID: tvar X: SW-W = 0,9754; p = 0,9587
ID: barva X: SW-W = 0,9591; p = 0,7710
ID: velikost X: SW-W = 0,8525; p = 0,0394
Vzhledem k tomu, že u třetí skupiny je normalita porušena, použijeme Kruskalův – Wallisův
test.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků - OK – Seznam
závislých proměnných X, Nezáv. (grupovací) proměnná typ – OK – Shrnutí: KruskalWallisova
ANOVA a mediánový test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W
testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (tri_skupiny_opic.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 36) =13,84438 p =,0010
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
Prům.
Pořadí
tvar
barva
velikost
1 12 139,0000 11,58333
2 12 200,0000 16,66667
3 12 327,0000 27,25000
Mediánový test, celk. medián = 19,5000; X (tri_skupiny_opic.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Chi-Kvadr. = 8,666667 sv = 2 p = ,0131Závislá:
X tvar barva velikost Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
9,00000 7,00000 2,00000 18,00000
6,00000 6,00000 6,00000
3,00000 1,00000 -4,00000
3,00000 5,00000 10,00000 18,00000
6,00000 6,00000 6,00000
-3,00000 -1,00000 4,00000
12,00000 12,00000 12,00000 36,00000
Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných třech skupinách. K-W test má phodnotu
0,001, p-hodnota pro mediánový test je 0,0131.
Grafické znázornění výsledků: návrat do Kruskal-Wallisova ANOVA a mediánový test –
Krabicový graf – Proměnná X – OK – Typ grafu: Medián/kvartily/Rozpětí – OK.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-Max
tvar barva velikost
ID
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
X
Je vidět, že počet pokusů před prvním úspěchem je nevyšší pro skupinu opic, která měla
rozeznávat velikost předmětů, zatímco pro skupinu opic, která měla rozeznávat tvar předmětů,
je nejnižší.
Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice skupin opic se
liší na hladině významnosti 0,05: návrat do Kruskal-Wallisova ANOVA a mediánový test,
Vícenás. porovnání průměrného pořadí pro vš. sk.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.); X (tri_skupiny_opic.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 36) =13,84438 p =,0010
Závislá:
X
tvar
R:11,583
barva
R:16,667
velikost
R:27,250
tvar
barva
velikost
0,711794 0,000810
0,711794 0,041614
0,000810 0,041614
Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší skupiny (tvar, velikost) a (barva, velikost).