Dvouvýběrové testy
Parametrický případ
Dvouvýběrový t-test
Máme dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozložení N(µ1, σ2
) a má rozsah n1 ≥ 2,
druhý pochází z rozložení N(µ2, σ2
) a má rozsah n2 ≥ 2.
Označme M1, M2 výběrové průměry,
S1
2
, S2
2
výběrové rozptyly,
2nn
S)1n(S)1n(
S
21
2
22
2
112
*
−+
−+−
= vážený průměr výběrových rozptylů.
Na hladině významnosti α testujeme H0: µ1 – µ2 = c proti H1: µ1 – µ2 ≠ c (často volíme c = 0).
Testová statistika:
( )
21
*
21
0
n
1
n
1
S
cMM
T
+
−−
=
. Platí-li H0, T0 ~ t(n1 + n2 – 2).
Kritický obor: ( ) ( ) )( ∞−+∪−+−∞−= α−α− ,2nnt2nnt,W 212/1212/1
⇒∈WT0 H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Před provedením dvouvýběrového t-testu ověřujeme shodu rozptylů F-testem.
Na hladině významnosti α testujeme H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
≠ 1.
Testová statistika: 2
2
2
1
0
S
S
T =
. Platí-li H0, T0 ~ F(n1-1, n2 – 1).
Kritický obor: ( ) ( ) )( ∞−−∪−−= α−α ,1n,1nF1n,1nF,0W 212/1212/
⇒∈WT0 H0 zamítáme na hladině významnosti α.
V tomto případě použijeme pro test shody středních hodnot dvouvýběrový t-test se
samostatnými odhady rozptylů.
Síla dvouvýběrového t-testu
100(1- α)% interval spolehlivosti pro parametrickou funkci µ1 – µ2 má meze:
( )2nnt
n
1
n
1
SMMD 212/1
21
*21 −++−−= α− , ( )2nnt
n
1
n
1
SMMH 212/1
21
*21 −+++−= α−
Silofunkce γ(c) dvouvýběrového t-testu je dána vztahem:
( ) ( )( )H,DcPc:Rc ∉=γ∈∀ ,
tedy pro dané reálné číslo c vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou test vypoví, že nulová hypotéza
neplatí.
Po určitých úpravách dospějeme k vyjádření:
( ) ( ) ( )














+
+−+Φ−














+
−−+Φ−=γ∈∀ α−α−
11
*
212/1
11
*
212/1
n
1
n
1
S
c
2nnt
n
1
n
1
S
c
2nnt2c:Rc
,
kde ( )xΦ je distribuční funkce Studentova rozložením t(n1 + n2 - 2). Při konkrétním výpočtu síly
testu nahradíme číslo c rozdílem realizací výběrových průměrů. Síla testu by se měla pohybovat
nad 0,8.
Upozornění: t-testy jsou při větších rozsazích výběrů (nad 30) robustní vůči porušení
předpokladu normality. Pro výběry malých rozsahů lze použít např. Boxovu – Coxovu
transformaci nebo je možné provést některý z neparametrických testů.
Neparametrický případ
Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Máme dva nezávislé náhodné výběry, první pochází ze spojitého rozložení s mediánem x0,50 a má rozsah n,
druhý pochází ze spojitého rozložení s mediánem y0,50 a má rozsah m. Předpokládáme, že distribuční funkce
těchto dvou rozložení se mohou lišit pouze posunutím. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto
rozložení jsou shodné (neboli mediány jsou shodné) proti alternativě, že jsou rozdílné.
Všech n + m hodnot uspořádáme vzestupně podle velikosti. Zjistíme součet pořadí hodnot 1. výběru a
označíme ho T1. Součet pořadí hodnot 2. výběru označíme T2.
Vypočteme statistiky U1
= mn + n(n+1)/2 – T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2
.
Přitom platí U1
+ U2
= mn.
Pokud min(U1
,U2
) ≤ tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané α), pak nulovou
hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme na hladině významnosti α.
Pro velká n, m (prakticky n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky U1. V případě platnosti H0
má statistika
12
)1nm(mn
2
mn
1
0
U
U
++
−
=
asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro oboustrannou alternativu
má tvar: W = ( )∞∪−∞− α−α− ,uu, 2/12/1 . (Analogicky pro jednostranné alternativy.) H0 zamítáme na
asymptotické hladině významnosti α, když WU0 ∈ .
Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
Máme dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou lišit
nejenom posunutím, ale také tvarem. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou
shodné, tj., že všech n+m veličin pochází z téhož rozložení proti alternativě, že distribuční funkce jsou
rozdílné.
Označme { }xX;icard
n
1
)x(F i1 ≤= výběrovou distribuční funkci 1. výběru,
{ }yY;icard
m
1
)y(F i2 ≤= výběrovou distribuční funkci 2. výběru.
Testová statistika: )x(F)x(FmaxD 21
x
−=
∞<<∞−
.
H0 zamítáme na hladině významnosti α, když D ≥ Dn,m(α), kde Dn,m(α) je tabelovaná kritická hodnota.
Pro větší rozsahy n, m lze kritickou hodnotu aproximovat vzorcem α
+ 2
ln
nm2
mn
.
Ukázka dvouvýběrových testů
Uvažme pacienty s Nalbuphinem.
H0: Rozložení věku je stejné ve skupinách pacientů bez tachykardie a s tachykardií.
H1: Rozložení věku je rozdílné ve skupinách pacientů bez tachykardie a s tachykardií
Pomocí N-P grafu ověříme normalitu dat v obou skupinách.
Normální p-graf z Věk; kategorizovaný Tachykardie
Nalbuphin_Rapifen.sta 15v*114c
Zahrnout jestliže: v1=1
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Tachykardie: tachykardie byla
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Tachykardie: tachykardie nebyla
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tachykardie: tachykardie byla Věk: SW-W = 0,8965; p = 0,0007
Tachykardie: tachykardie nebyla Věk: SW-W = 0,8969; p = 0,1693
Pro skupinu pacientů, u nichž se vyskytla tachykardie, S-W test zamítá hypotézu o normalitě rozložení věku.
Tečky se však od přímky odchylují jen málo a rozsah souboru je velký (45), data budeme považovat za
normálně rozložená.
Výsledky dvouvýběrového t-testu:
t-testy; grupováno:Tachykardie (Nalbuphin_Rapifen.sta)
Skup. 1: tachykardie byla
Skup. 2: tachykardie nebyla
Zhrnout podmínku: v1=1
Proměnná
Průměr
tachykardie byla
Průměr
tachykardie nebyla
t sv p Poč.plat
tachykardie byla
Poč.plat.
tachykardie nebyla
Sm.odch.
tachykardie byla
Sm.odch.
tachykardie nebyla
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
Věk 4,844444 6,000000 -2,10450 54 0,040005 45 11 1,637009 1,612452 1,030692 1,000000
Pacientů s tachykardií bylo 45, průměrný věk pacientů byl 4,84 roku a směrodatná odchylka činila 1,63 roku.
Pacientů bez tachykardie bylo 11, průměrný věk pacientů byl 6 let a směrodatná odchylka činila 1,61 roku.
F-test nezamítá hypotézu o shodě rozptylů na hladině významnosti 0,05 (testová statistika = 1,0307, phodnota
= 1).
Dvouvýběrový t-test zamítá hypotézu o shodě středních hodnot věku na hladině významnosti 0,05 (testová
statistika = -2,1045, p-hodnota = 0,04).
Krabicový graf
Krabicový graf : Věk
Zhrnout podmínku: v1=1
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
tachykardie byla tachykardie nebyla
Tachykardie
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
Věk
Uvažme pacienty s Rapifenem.
H0: Rozložení věku je stejné ve skupinách pacientů bez tachykardie a s tachykardií.
H1: Rozložení věku je rozdílné ve skupinách pacientů bez tachykardie a s tachykardií
Pomocí N-P grafu ověříme normalitu dat v obou skupinách.
Normální p-graf z Věk; kategorizovaný Tachykardie
Nalbuphin_Rapifen.sta 15v*114c
Zahrnout jestliže: v1=2
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Tachykardie: tachykardie byla
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Tachykardie: tachykardie nebyla
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tachykardie: tachykardie byla Věk: SW-W = 0,853; p = 0,00004
Tachykardie: tachykardie nebyla Věk: SW-W = 0,7522; p = 0,0028
Pro obě skupiny pacientů S-W test zamítá hypotézu o normalitě rozložení věku. Tečky se v obou případech
odchylují od přímky výrazněji. Použijeme raději neparametrické testy.
Výsledek dvouvýběrového Wilcoxonova testu:
Mann-Whitneyův U Test (w/ oprava na spojitost) (Nalbuphin_Rapifen.sta)
Dle proměn. Tachykardie
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Zhrnout podmínku: v1=2
Proměnná
Sčt poř.
tachykardie byla
Sčt poř.
tachykardie nebyla
U Z p-hodn. Z
upravené
p-hodn. N platn.
tachykardie byla
N platn.
tachykardie nebyla
2*1str.
přesné p
Věk 1243,000 468,0000 162,0000 -2,17867 0,029357 -2,20654 0,027347 46 12 0,028026
U pacientů s Rapifenem se tachykardie vyskytla ve 46 případech, ve 12 případech nikoliv.
Zajímá nás p-hodnota označená jako 2*1str. přesné p (používá se pro rozsahy výběrů pod 30). V našem
případě p = 0,028, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že rozložení věku je
stejné ve skupinách pacientů s tachykardií a bez tachykardie.
Výsledek dvouvýběrového K- S testu:
Kolmogorov-Smirnovův test (Nalbuphin_Rapifen.sta)
Dle proměn. Tachykardie
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Zhrnout podmínku: v1=2
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
p-hodn. Průměr
tachykardie byla
Průměr
tachykardie nebyla
Sm.odch.
tachykardie byla
Sm.odch.
tachykardie nebyla
N platn.
tachykardie byla
N platn.
tachykardie nebyla
Věk -0,373188 0,047101 p > .10 5,260870 7,250000 2,727920 3,864171 46 12
Odpovídající p-hodnota je větší než 0,1, tedy K – S test na hladině významnosti 0,05 nezamítá hypotézu o
shodném rozložení věku v obou skupinách pacientů.
Krabicový graf
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: Věk
Zhrnout podmínku: v1=2
Medián
25%-75%
Min-Max
tachykardie byla tachykardie nebyla
Tachykardie
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Věk
Cohenův koeficient věcného účinku (doplnění významu dvouvýběrového t-testu)
Cohenův koeficient slouží k posouzení velikosti rozdílu průměrů, který je standardizován pomocí
odmocniny z váženého průměru výběrových rozptylů. Jedná se o tzv. věcnou významnost neboli velikost
účinku skupiny na variabilitu hodnot sledované náhodné veličiny.
Počítá se podle vzorce:
*
21
s
mm
d
−
= , kde m1, m2 jsou výběrové průměry a s*
2
je vážený průměr výběrových
rozptylů.
Velikost účinku hodnotíme podle následující tabulky:
Hodnota d účinek
aspoň 0,8 velký
mezi 0,5 až 0,8 střední
mezi 0,2 až 0,5 malý
pod 0,2 zanedbatelný
Vypočteme Cohenův koeficient pro věk pacientů s Nalbuphinem, u nichž se vyskytla resp. nevyskytla
tachykardie.
Zjistíme, že d = 0,71, tedy vliv skupiny na variabilitu věku můžeme hodnotit jako středně silný.
Výpočet síly dvouvýběrového t-testu ve STATISTICE
Postup výpočtu ukážeme pro test shody středních hodnot věku pacientů s Nalbuphinem, u nichž se vyskytla
resp. nevyskytla tachykardie.
Vyjdeme z výstupní tabulky dvouvýběrového t-testu:
t-testy; grupováno:Tachykardie (Nalbuphin_Rapifen.sta)
Skup. 1: tachykardie byla
Skup. 2: tachykardie nebyla
Zhrnout podmínku: v1=1
Proměnná
Průměr
tachykardie byla
Průměr
tachykardie nebyla
t sv p Poč.plat
tachykardie byla
Poč.plat.
tachykardie nebyla
Sm.odch.
tachykardie byla
Sm.odch.
tachykardie nebyla
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
Věk 4,844444 6,000000 -2,10450 54 0,040005 45 11 1,637009 1,612452 1,030692 1,000000
Vypočítáme odmocninu z váženého průměru výběrových rozptylů:
632,1
54
612,110637,144
2nn
S)1n(S)1n(
S
22
21
2
22
2
11
* =
⋅+⋅
=
−+
−+−
=
Statistiky – Analýza síly testu – Výpočet síly testu – Dva průměry, t-test – nezávislé vzorky – OK.
Zadáme parametry. Mí1: 4,844, Mí2: 6, N1: 45, N2: 11, Sigma: 1,632 – OK – Vypočítat sílu.
Dostaneme tabulku:
Výpočet síly testu (Nalbuphin_Rapifen.sta)
Dva průměry, t-test, nezáv. vzorky
H0: Mí1 = Mí2
Hodnota
Populační průměr: Mí1
Populační průměr: Mí2
Populač. sm.odch. (sigma)
Standardiz. efekt (Es)
Velikost vzorku N1
Velikost vzorku N2
Chyba prvního druhu (Alfa)
Kritická hodnota t
Síla
4,8440
6,0000
1,6320
-0,7083
45,0000
11,0000
0,0500
2,0049
0,5432
Vidíme, že síla tohoto testu je pouze 0,543, tedy nepravdivou nulovou hypotézu odhalí pouze
s pravděpodobností 0,543.
Na řádku označeném Standardiz. efekt (Es) najdeme Cohenův koeficient věcného účinku.