Kontingenční tabulky a testy nezávislosti nominálních veličin
Nechť X,Y jsou dvě nominální náhodné veličiny (tj. obsahová interpretace je možná jenom u relace
rovnosti). Nechť X nabývá variant x[1], ..., x[r] a Y nabývá variant y[1], ..., y[s].
Označme:
[ ] [ ]( )kjjk yYxXP =∧==π … simultánní pravděpodobnost dvojice variant (x[j], y[k])
[ ]( )j.j xXP ==π … marginální pravděpodobnost varianty x[j]
[ ]( )kk. yYP ==π … marginální pravděpodobnost varianty y[k]
Simultánní a marginální pravděpodobnosti zapíšeme do kontingenční tabulky:
y
x πjk
y[1] ... y[s] πj.
x[1] π11 ... π1s π1.
... ... ... ... ...
x[r] πr1 ... πrs πr.
π.k π.1 ... π.s 1
Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) rozsahu n z rozložení, kterým se řídí
dvourozměrný diskrétní náhodný vektor (X, Y). Zjištěné absolutní simultánní četnosti njk dvojice variant
(x[j], y[k]) uspořádáme do kontingenční tabulky:
y
x njk
y[1] ... y[s] nj.
x[1] n11 ... n1s n1.
... ... ... ... ...
x[r] nr1 ... nrs nr.
n.k n.1 ... n.s n
nj. = nj1 + ... + njs je marginální absolutní četnost varianty x[j]
n.k = n1k + ... + nrk je marginální absolutní četnost varianty y[k]
Simultánní pravděpodobnost πjk odhadneme pomocí simultánní relativní četnosti
n
n
p
jk
jk = , marginální
pravděpodobnosti πj. a π.k odhadneme pomocí marginálních relativních četností
n
n
p
.j
.j = a
n
n
p k.
k. = .
Testování hypotézy o nezávislosti
Testujeme nulovou hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti alternativě
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny.
Kdyby náhodné veličiny X, Y byly stochasticky nezávislé, pak by platil multiplikativní vztah
r,,1j K=∀ , s,,1k K=∀ : πjk = πj. π.k neboli
n
n
n
n
n
n k..jjk
⋅= , tj.
n
nn
n
k..j
jk = .
Číslo
n
nn k..j
se nazývá teoretická četnost dvojice variant (x[j], y[k]).
Testová statistika: ∑∑= =






−
=
r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K . Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)).
Kritický obor: ( )( )( ) )∞−−χ= α− ,1s1rW 1
2
.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α,
když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
Podmínky dobré aproximace
Rozložení statistiky K lze aproximovat rozložením χ2
((r-1)(s-1)), pokud teoretické četnosti
n
nn k..j
aspoň
v 80% případů nabývají hodnoty větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20% neklesnou pod 2. Není-li splněna
podmínka dobré aproximace, doporučuje se slučování některých variant.
Měření síly závislosti
Cramérův koeficient: )1m(n
K
V
−
= , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot mezi 0 a 1. Čím
blíže je k 1, tím je závislost mezi X a Y těsnější, čím blíže je k 0, tím je tato závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
Carl Harald Cramér (1893 – 1985): Švédský matematik
Čtyřpolní tabulky
Nechť r = s = 2. Pak hovoříme o čtyřpolní kontingenční tabulce a používáme označení:
n11 = a, n12 = b, n21 = c, n22 = d.
YX
y[1] y[2]
nj.
x[1] a b a+b
x[2] c d c+d
n.k a+c b+d n
Test nezávislosti ve čtyřpolní tabulce
Testovou statistiku pro čtyřpolní kontingenční tabulku lze zjednodušit do tvaru:
( )
( )( )( )( )dbcadcba
bcadn
K
2
++++
−
= .
Platí-li hypotéza o nezávislosti veličin X, Y, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
(1).
Kritický obor: ( ) )∞χ= α− ,1W 1
2
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když K∈W.
Pro čtyřpolní tabulku navrhl R. A. Fisher přesný (exaktní) test nezávislosti známý jako Fisherův
faktoriálový test.
Princip spočívá v tom, že pomocí kombinatorických úvah se vypočítají pravděpodobnosti toho,
že při daných marginálních četnostech dostaneme tabulky, které se od nulové hypotézy
odchylují aspoň tak, jako daná tabulka.
Statistický software poskytuje p-hodnotu pro Fisherův přesný test. Jestliže vyjde p ≤ α, pak
hypotézu o nezávislosti zamítáme na hladině významnosti α.
Fisherův test se používá při malých rozsazích výběrů (pokud n ≤ 20 nebo pokud 20 < n ≤ 40 a
některá z teoretických četností je menší než 5).
Podíl šancí ve čtyřpolní kontingenční tabulce
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů ku počtu neúspěchů za okolností I je
c
a
(šance na úspěch za okolností I).
Poměr počtu úspěchů ku počtu neúspěchů za okolností II je
d
b
(šance na úspěch za okolností II).
Podíl těchto dvou poměrů je podíl šancí: bc
ad
d
b
c
a
OR ==
.
Pokud OR =1, pak okolnosti nemají vliv na výskyt jevu.
Pokud OR > 1, pak za okolností I je vyšší šance na výskyt jevu než za okolností II.
Pokud OR < 1, pak za okolností I je nižší šance na výskyt jevu než za okolností II.
Podíl šancí považujeme za odhad neznámého teoretického podílu šancí
2112
2211
o
ππ
ππ
=ρ .
Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, pak k..jjk ππ=π , tudíž teoretický podíl šancí 1=ορ . Závislost veličin X, Y bude tím
silnější, čím více se ορ bude lišit od 1. Avšak )∞∈ορ ,0 , tedy hodnoty ορ jsou kolem 1 rozmístěny nesymetricky.
Z tohoto důvodu často používáme logaritmus teoretického či výběrového podílu šancí.
Interval spolehlivosti pro podíl šancí
Logaritmus teoretického podílu šancí oρ má přibližně normální rozložení a směrodatná odchylka jeho
odhadu, tj. logaritmu podílu šancí OR, je
d
1
c
1
b
1
a
1
+++ .
Meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro ln oρ jsou
2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln α−α− +++++++− .
Odlogaritmováním dostaneme meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro oρ:








++++=







+++−= α−α− 2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexph,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexpd
Testování nezávislosti ve čtyřpolních tabulkách pomocí podílu šancí
Na asymptotické hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny (tj. oρ = 1) proti alternativě H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. oρ ≠ 1).
Testování nezávislosti lze provést pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí
ορ :








++++=







+++−= α−α− 2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexph,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexpd
Jestliže interval spolehlivosti neobsahuje 1, pak hypotézu o nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině
významnosti α .
Relativní riziko ve čtyřpolní kontingenční tabulce
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů za okolností I ku celkovému počtu úspěchů a neúspěchů je
ca
a
+
(riziko úspěchu za
okolností I).
Poměr počtu úspěchů za okolností II ku celkovému počtu úspěchů a neúspěchů je
db
b
+
(riziko úspěchu za
okolností II).
Podíl těchto dvou rizik je relativní riziko:
( )
( )cab
dba
db
b
ca
a
RR
+
+
=
+
+=
.
Pokud RR =1, pak okolnosti nemají vliv na výskyt jevu.
Pokud RR > 1, pak okolnosti I zvyšují četnost výskytu jevu.
Pokud RR < 1, pak okolnosti I snižují četnost výskytu jevu.
Relativní riziko považujeme za odhad neznámého teoretického relativního rizika
112
211
r
•
•
ππ
ππ
=ρ .
Interval spolehlivosti pro relativní riziko
Logaritmus teoretického rizika rρ má přibližně normální rozložení a směrodatná odchylka jeho odhadu, tj.
logaritmu relativního rizika RR, je ( ) ( )dbb
d
caa
c
db
1
b
1
ca
1
a
1
+
+
+
=
+
−+
+
− .
Meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro ln rρ jsou
( ) ( ) ( ) ( ) 2/12/1 u
dbb
d
caa
c
RRln,u
dbb
d
caa
c
RRln α−α−
+
+
+
+
+
+
+
− .
Odlogaritmováním dostaneme meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro rρ:
( ) ( ) ( ) ( ) 







+
+
+
+=







+
+
+
−= α−α− 2/12/1 u
dbb
d
caa
c
RRlnexph,u
dbb
d
caa
c
RRlnexpd .
Testování nezávislosti ve čtyřpolních tabulkách pomocí relativního rizika
Na asymptotické hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny (tj. rρ = 1) proti alternativě H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. rρ ≠ 1).
Testování nezávislosti lze provést pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro relativní
riziko rρ:
( ) ( ) ( ) ( ) 







+
+
+
+=







+
+
+
−= α−α− 2/12/1 u
dbb
d
caa
c
RRlnexph,u
dbb
d
caa
c
RRlnexpd .
Jestliže interval spolehlivosti neobsahuje 1, pak hypotézu o nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině
významnosti α .