1
Stochastické metody interpolace
I. Strukturní analýza
(variografie)
Strukturní analýza a metody krigingu
• počet bodů nutných k výpočtu lokálního průměru
• velikost orientaci a tvar okolí
• zda neexistuje jiná cesta k definování vah než funkce vzdálenosti
bodů
• jaké jsou chyby a nejistoty spojené s interpolovanými hodnotami
Odpovědi poskytují geostatistické postupy založené na tzv.
strukturní analýze. Její výsledky jsou využitelné
v interpolačních postupech krigingu.
Žádná z dosud zmíněných interpolačních metod neřešila následující
problémy:
Základní komponenty spojitého povrchu
I – trendová složka – drift
ii – regionalizovaná proměnná
iii – náhodná složka
( ) '',
)()( εεµ ++= xxxZ
Základní komponenty spojitého povrchu
x - pozice v 1, 2 či 3 rozměrném prostoru
Z - interpolovaná proměnná
Z(x) - hodnota proměnné v bodě x
µ(x) - deterministická složka (trend)
ε’(x) - stochastická složka (regionalizovaná proměnná) - lokálně
proměnné, ale prostorově závislé reziduum od µ(x)
ε’’ - náhodná, prostorově nezávislá složka, gaussovský šum
s nulovým průměrem a s rozptylem σ2.
Velké písmeno Z značí, že se jedná o náhodnou funkci a ne o
měřenou hodnotu proměnné z.
[ ] 0)()( =+− hxZxZE
Odhad jednotlivých komponent
1) Trendová složka se odhadne vhodnou funkcí a odečte. Pokud je trend nulový,
potom µ(x) bude rovno průměru hodnot z.
Průměrný (očekávaný E = expected) rozdíl mezi jakýmikoliv dvojicemi hodnot kde
Z(x) a Z(X+h) bude nula
Z(x) a Z(X+h) jsou odhady hodnot náhodné proměnné z v poloze x, x+h.
2) Rozptyl rozdílů závisí pouze na vzdálenosti mezi místy, ne na poloze
(podmínka stacionarity) tedy:
{ }[ ] { }[ ] )(2)(')(')()(
22
hhxxEhxZxZE γεε =+−=+−
γ(h) - semivariance
Pokud máme odhad proměnné µ(x), zbývající kolísání má konstantní rozptyl a
diference mezi dvěma místy jsou pouze funkcí jejich vzdálenosti:
( ) ''
)()( εγµ ++= hxxZ
( ) '',
)()( εεµ ++= xxxZ
Strukturní analýza - variografie
• Geostatistická strukturní analýza - procedura zahrnující výpočet
strukturálních funkcí, výběr a konstrukci odpovídajících teoretických modelů a
jejich aplikace, interpretaci průběhu strukturálních funkcí.
• Cílem je popsat takové vlastnosti jako jsou kontinuita, homogenita,
stacionarita či anizotropie pole studovaných prostorových proměnných
veličin.
• Tyto vlastnosti jsou popisovány prostřednictvím měr prostorové autokorelace
a prostorové variability.
• Ke kvantifikaci prostorové autokorelace, která vyjadřuje skutečnost, že
objekty blízké si jsou více podobné než objekty vzdálenější slouží strukturální
funkce - měří sílu korelačního vztahu jako funkci vzdálenosti.
• Strukturální analýza je výchozím krokem geostatistického modelování.
• Sama o sobě ale poskytuje řadu velmi důležitých informací o struktuře
náhodného pole jako modelu konkrétního objektu v krajinné sféře.
2
Příklad výpočtu měr prostorové variability pro 1D - řadu hodnot
průměr = (1+3+6+5+3+1+2+3)/8=3,0
rozptyl=[(1-3)2+(3-3)2+(6-3)2+(5-3)2+(3-3)2+(1-3)2+(2-3)2+(2-3)2]/8=2,75
kovariance(1)=[(1-3)*(3-3)+(3-3)*(6-3)+(6-3)*(5-3)+(5-3)*(3-3)+(3-3)*(1-3)+(1-
3)*(2-3)+(2-3)*(3-3)]/7=1,14
semivariance(1)=[(1-3)2+(3-6)2+(6-5)2+(5-3)2+(3-1)2+(1-2)2+(2-3)2]/7=3,43
semivariance(2)=[(1-6)2+(3-5)2+(6-3)2+(5-1)2+(3-2)2+(1-3)2]/6=9,83
semivariance(3)=[(1-5)2+(3-3)2+(6-1)2+(5-2)2+(3-3)2]/5=12,50
Semivariance jako strukturální funkce
Jsou-li dva body blízko sebe (h je malé), bude rozdíl hodnot studované
veličiny Z(x) těchto bodech malý.
S růstem vzdálenosti si budou hodnoty méně podobné.
Grafickým vyjádřením závislosti semivariance na vzdálenosti je strukturální
funkce nazývaná semivariogram.
Semivariogram (1) je mírou nepodobnosti. Jinou strukturální funkcí je
kovarianční funkce – ta je mírou podobnosti (2). Obě jsou měrami prostorové
autokorelace.
[ ]2
)()(
2
1
)( hxZxZh +−=γ
Experimentální semivariogram
Strukturní analýza – výpočet semivariogramu z naměřených dat:
n - počet dvojic bodů pozorování proměnné s atributem z vzdálených o
hodnotu h
h - tzv. lag - vzdálenost dané dvojice bodů.
Experimentální semivariogram (+) s charakteristickými hodnotami pro
vzdálenosti h (•) a proložený teoretický model semivariogramu (plná čára)
( ) ( ) ( )( )∑=
+−=
n
i
ii hxzxz
n
h
1
2
2
1
ˆγ
Prvky semivariogramu
a - dosah (range), c0 - zbytkový rozptyl (nugget), c=c0 + c1 - práh
(sill), h – lag (krok vzdálenosti), d – rozpětí
Efekt anizotropie
Princip grupování hodnot semivariancí na základě podobné
vzdálenosti a plošný graf semivariance (4).
Efekt anizotropie
Povrch vykazující efekt anizotropie a odpovídající empirické semivariogramy
Anizotropní semivariogram se liší především odlišnou hodnotou dosahu pro
specifické směry, další charakteristiky semivariogramu (typ, práh, zbytkový
rozptyl) se většinou nemění.
Takovouto anizotropii označujeme jako geometrickou.
V případě, že nelze použít stejný model semivariogramu resp. stejné hodnoty
prahu a zbytkového rozptylu hovoříme o tzv. zonální anizotropii.
3
Parametry tzv. směrových semivariogramů
• úhlová tolerance
• šířka pásma
• délková tolerance (lag)
Efekt anizotropie je vyjádřením
náhodného procesu chování
studované veličiny. Nelze ho
zaměňovat s trendovou složkou.
Teoretický semivariogram
Je to model, který nejlépe aproximuje průběh experimentálního
semivariogramu v okolí počátku a prahu.
Právě proces hledání teoretického semivariagramu se někdy
označuje jako strukturní analýza.
Modely semivariogramů se dělí podle chování v okolí počátku a v
„nekonečnu“ do několika skupin:
• modely přechodového typu - tj. s prahem (sférický,
kvadratický, gaussovský, exponenciální),
• modely bez přechodu (lineární, logaritmický),
• modely s oscilujícím prahem (sinový, cosinový),
• čistě náhodný model
Sférický model














−∗+=
3
10
2
1
2
3
)(
a
h
a
h
cchγ
10)( cch +=γ ah >
ah ≤pro
pro
Exponenciální model
[ ])/exp(1)( 10 dhcch −−∗+=γ da 3=kde
Lineární model
bhch += 0)(γ kde b je směrnice přímky
Sinový model






−+=
gh
gh
cch
)sin(
1)( 10γ ωπ /=gkde
4
Složené modely
Náhodný model
...)()()()( 321 +++= hhhhT γγγγ
0)( ch =γ
Indikátorové modely semivariogramů - konstruují se a využívají
při strukturální analýze nominálních (kvalitativních) dat (barva, druh horniny).
Analýza a interpretace
strukturálních funkcí I.
• K dosažení stabilních hodnot se doporučuje 20–30, v některých případech však
až 50-100 hodnot. Je-li jejich počet nízký, stoupá chyba odhadu.
• Hladší průběh semivariogramu lze docílit zvětšením velikosti vyhledávacího
okna (větším h).
• Vzdálenosti mohu být modifikovány efektem anizotropie - potom je nutné měnit
tvar okolí. Anizotoropie však může být výsledkem i nedostatečného počtu vzorků.
• Lag (h) se volí jako průměrná minimální vzdálenost mezi sousedními body.
• Výpočet experimentálních semivariogramů se doporučuje provádět do
vzdálenosti h ≤ L/2, kde L je maximální vzdálenost míst pozorování v poli.
• Konstrukci semivarioagramu a odvození
teoretického modelu by měla předcházet
důkladná analýza vstupních dat (ESDA)
• Důležitý je počet bodů uvažovaných pro
vyjádření hodnot semivariance pro daný lag
(h). Značný podíl šumu ve variogramu
může být způsoben malým rozsahem
vzorku použitého k výpočtu.
Analýza a interpretace
strukturálních funkcí II.
• Přednost má jednodušší teoretický model semivariogramu, který dobře
vystihuje hlavní rysy experimentálních hodnot, před modelem složitějším.
• V případě výpočtu experimentálního semivariogramu z nepravidelně sítě
pozorování je nutno počítat s vyšší „rozkolísanosti“ stanovených bodů kolem
teoretického modelu.
• Úroveň prahu se obvykle doporučuje volit podle hodnoty statistického rozptylu.
• Je-li hodnota dosahu použitého teoretického semivariagramu malá vzhledem
k hodnotám empirickým, je možné zmenšit hodnotu kroku h a naopak
• Při prokládání tečny počátkem experimentálního semivariogramu pro určení
rozpětí musíme respektovat skutečnost, že funkce semivariogramu je vždy
kladná. Hodnota rozpětí je důležitá pro aplikaci oscilačních semivarigramů.
• Při interpretaci zbytkového rozptylu musíme uvážit i možný vliv chyb měření
(technických chyb) výchozích pozorování.
Analýza a interpretace strukturálních funkcí III.
• Pro účely interpolace a metodou krigování je účelné zvolit jednoduchý a
robustní model, vystihující chování a okolí počátku až do úrovně prahu.
• Při interpretaci je důležité vycházet z dobré znalosti objektu v krajinné sféře a z
využití všech informací o jeho parametrech.
• Při analýze anizotropie je podle zkušenosti dobré volit pro všechny směrové
semivariogramy stejný teoretický model.
• Obecně je účelné postupovat tak, že v počáteční fázi aplikace geostatistických
metod na přírodní objekt se provede podrobná interpretace strukturálních funkcí a
v následných fázích se podle získaných zkušeností použije zjednodušený
základní model.
• Analýza semivariogramu je podstatným krokem k určení optimálních vah pro
interpolaci. Jestliže ve semivariogamu dominuje náhodná složka (ε’’), potom
data obsahují takový šum, že interpolace nemá smysl. Jako nejlepší odhad z(x) je
vhodné použít průměrnou hodnotu.
Charakteristiky pole popsané
strukturní analýzou
Kontinuita – je vyjádřena hodnotou dosahu. Pole s větší kontinuitou se vyznačuje
vyšší prostorovou autokorelací.
Nehomogenita – projevuje se tzv. oscilací hodnoty prahu. Délka poloviny periody
odpovídá průměrnému rozměru elementů nehomogenity. Nehomogenity na dané
úrovni pozorování nepostižitelné se projeví jako zbytkový rozptyl.
Nestacionarita - projevuje se zpravidla parabolickým nárůstem křivky
semivariogramu. Prokazatelná je případech, kdy dochází k parabolickému růstu
křivky až za hodnotou dosahu, tedy na stabilizované části křivky. Nestacionarita
pole dokládá změnu průměrné hodnoty proměnné v poli.
Anizotropie - lze ji popsat pomocí modelů jednotlivých směrových
semivariogramů (tj. semivariogramů vypočtených na různých směrech v poli).
Projevuje se změnami parametrů (dosahu, prahu, zbytkového rozptylu), jednak v
rozdílech typů směrových semivariogramů. Rozlišujeme geometrickou a zonální
anizotropii.
a - dosah
d – rozpětí
c0 - zbytkový rozptyl
c=c0 + c1 - práh
h – lag (krok vzdálenosti)