KRIGING – geostatistické metody interpolace
Krigování je základní geostatistickou metodou určování lokálního odhadu. Metoda se často
označuje akronymem BLUE (Best Linear Unbiased Estimator – tedy nejlepší lineární
nezkreslený odhad). Toto označení má vystihnout výchozí podmínky krigování:
• odhadovaná hodnota je vypočtena jako lineární kombinace vstupních hodnot:
∑=
⋅=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(ˆ λ
kde pro váhy platí
∑=
=
n
i
i
1
1λ
• nezkreslený (nestranný) odhad značí, že průměrná chyba tohoto odhadu je rovna
nule
0)ˆ( =−∑ ii zz
• je minimalizován rozptyl odhadu
.min)ˆ(
2
=−∑ ii zz
Pokud prostorově závislá náhodná kolísání nejsou překryta nekorelovaným šumem, potom
může být semivariogram využit k určení vah λi potřebných pro interpolaci. Procedura je
podobná jako v případě metody vážených klouzavých průměrů s tím rozdílem, že právě váhy
jsou odhadnuty geostatistickými metodami. Váhy λi jsou zvoleny tak, aby odhad )(ˆ 0xz byl
nestranný a odhad rozptylu 2
eσ byl menší, než jakákoliv jiná lineární kombinace
pozorovaných hodnot (minimální).
Přitom pro minimální rozptyl hodnot )(ˆ 0xz platí výraz :
∑=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(ˆ φγλσ
kde:
∑=
=+
n
i
jjii xxxx
1
0 ),(),( γφγλ pro všechna j.
Hodnota ),( ji xxγ je semivariance proměnné z mezi body xi a xj. Hodnota ),( 0xxiγ je
semivariance proměnné z mezi bodem xi a bodem x0, pro který je hodnota proměnné
z zjišťována. Obě hodnoty lze získat z vhodného teoretického modelu semivariogramu.
Hodnota φ je tzv. Lagrangeův multiplikátor, který zajišťuje požadavek minimalizace odchylek
a zároveň podmínku, že suma vah je rovna jedné.
Uvedená metoda se označuje jako základní (ordinary) kriging a je možné ji použít pro
interpolaci v pravidelné mřížce hodnot, ke konstrukci map (např. izolinií).
PŘÍKLAD: Výpočet neznámé hodnoty v bodě metodou základního krigingu.
Na základě změřených hodnot veličiny Z v pěti bodech (i=1,…, 5) (viz. obrázek) máme za úkol
odhadnout hodnotu Z bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5) metodou krigingu.
Obr. 1 Vstupní data pro lokální odhad metodou základního krigování (podtržená čísla značí hodnotu
atributu v bodě)
Na základě předem provedené strukturní analýzy použijeme sférický semivariogram.














−∗+=
3
10
2
1
2
3
)(
a
h
a
h
cchγ ……….. pro ah ≤
10)( cch +=γ ……….. pro ah >
Parametry použitého teoretického semivariogramu jsou:
c0 = 2,5
c1 = 7,5
a = 10,0 (dosah)
Data v pěti měřených bodech mají následující souřadnice
i x y z
1 2 2 3
2 3 7 4
3 9 9 2
4 6 5 4
5 5 3 6
Pokud budeme dále značít:
A – matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů
b – vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným
λ – vektor vah jednotlivých bodů
Φ – tzv. Lagrangeův člen
potom základní vztah pro odhad metodou krigování lze psát jako:
bA =⋅λ
Pro vlastní řešení je nutné vypočítat váhy λ, které musí splňovat podmínku 1=∑λ
Uvedený základní vztah lze vyjádřit jako soustavu rovnic:






















=












































1
.
.
.
.
.
.
*.
01...11
1...
...
...
...
1...
1...
0
20
10
2
1
21
22221
11211
nnnnnn
n
n
γ
γ
γ
φ
λ
λ
λ
γγγ
γγγ
γγγ
V tomto zápisu poslední řádek a poslední sloupec v první matici a hodnota Lagrangeova členu Φ jsou
použity pro zajištění podmínky sumy vah 1=∑λ . Hodnota Lagrangeova multiplikátoru Φ také slouží
pro výpočet rozptylu odhadnuté hodnoty. Uvedená soustava rovnic nám poskytne hodnoty všech vah
λ a hodnotu Φ. V maticovém zápisu lze tedy psát:






=⋅−
φ
λ
bA 1
Aby bylo možné vyčíslit hodnoty semivariancí, je v prvním kroku zapotřebí vytvořit matici vzdáleností
mezi datovými body:
i 1 2 3 4 5
1 0,000 5,099 9,899 5,000 3,162
2 5,099 0,000 6,325 3,606 4,472
3 9,899 6,325 0,000 5,000 7,211
4 5,000 3,606 5,000 0,000 2,236
5 3,162 4,472 7,211 2,236 0,000
Vektor vzdáleností mezi měřenými body a bodem predikovaným:
i 0
1 4,234
2 2,828
3 5,657
4 1,000
5 2,000
Těchto vzdáleností využijeme k výpočtu semivariancí pro sférický model semivariogramu s výše
uvedenými parametry c0 , c1 , a – tedy k sestavení matice A a vektoru b:
Matice A:
i 1 2 3 4 5 6
1 2,500 7,739 9,999 7,656 5,939 1,000
2 7,739 2,500 8,667 6,381 7,196 1,000
3 9,999 8,667 2,500 7,656 9,206 1,000
4 7,656 6,381 7,656 2,500 4,936 1,000
5 5,939 7,196 9,206 4,936 2,500 1,000
6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,000
Ve výše uvedené matici má řádek navíc (i=6) zajistit podmínku, že váhy budou mít sumu rovnu jedné.
Vektor b:
i 0
1 7,151
2 5,597
3 8,815
4 3,621
5 4,720
6 1,000
Inverzní matce A
-1
:
i 1 2 3 4 5 6
1 -,172 ,050 ,022 -,026 ,126 ,273
2 ,050 -,167 ,032 ,077 ,007 ,207
3 ,022 ,032 -,111 ,066 -,010 ,357
4 -,026 ,077 ,066 -,307 ,190 ,030
5 ,126 ,007 -,010 ,190 -,313 ,134
6 ,273 ,207 ,357 ,003 ,134 -6,873
Řešením výše uvedené soustavy rovnic lze pro jednotlivé vzdálenosti získat hodnoty vah λ:
i λ
1 0,0175
2 0,2281
3 -0,0891 vypočtené hodnoty vah
4 0,6437
5 0,1998
6 0,1182 vypočtená hodnota Φ
Pro váhy i=1,…5 platí, že jejich suma se rovná jedné, v posledním řádku je hodnota Lagrangeova
členu Φ.
Vzdálenosti měřených bodů od bodu predikovaného, již přísluší výše určené váhy:
i 0
1 4,234
2 2,828
3 5,657
4 1,000
5 2,000
Potom odhad hodnoty Z v bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5):
Z(xi=0) = 0,0175*3+0,2281*4-0,0891*2+0,6437*4+0,1998*6 =
Z(xi=0) =4,560
Rozptyl odhadu:
σe
2
= [0,0175*7,151+0,2281*5,597-0,0891*8,815+0,6437*3621+0,1998*4,720]+ φ =
σe
2
= 3,890 + 0,1182 =
σe
2
= 4,008