■^■^^1  äocaani     ^^H^^^B u N STE n 5-vn Školství . ohmimu
■   fofldvCR   EURÓPSKA UNIE ři tvt ■ .- tanu—i^™*
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Přibližné vyjádření funkce
Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. a Mgr. Veronika Švandová Obsah
1 Diferenciál funkce 2
1.1 Teorie........................................... 2
1.2 Řešené příklady...................................... 3
1.3 Příklady k procvičení................................... 3
2 Taylorův polynom 4
2.1 Teorie........................................... 4
2.2 Řešené příklady...................................... 4
2.3 Příklady k procvičení................................... 5
V této kapitole si ukážeme dva způsoby přibližného vyjádření funkce v blízkosti jejího libovolného bodu. První přístup bude používat rychlejší, ale méně přesnou aproximaci, druhý přístup bude sice složitější, ale výpočetně náročnější metodu.
1   Diferenciál funkce
Při tomto přístupu nahrazujeme danou funkci v blízkosti zadaného bodu její tečnou v daném bodě. Situaci znázorňuje následující obrázek. Intuitivně již cítíme, že tato aproximace je výhodná ve velmi blízkém okolí daného bodu a se zvětšující se vzdáleností od tečného bodu narůstá chyba aproximace.
df(a)(h)
x=a+h
Obrázek 1: Diferenciál funkce
1.1 Teorie
Nechť má funkce f(x) v bodě a spojitou derivaci /'(a). Diferenciálem funkce f(x) v bodě a při přírůstku h e R nazýváme číslo df(a)(h) = f'(a)h.
Jak je vidět z předcházejícího obrázku, platí: tana = f (a) = => df(a)(h) = f'(a)h.
Přírůstkem funkční hodnoty A/(a) nazveme diferenci funkce f(x) mezi body a a a + h. Přírůstek h proměnné x obvykle značíme h = x — a = dx.
Pokud má funkce y = f (x) v bodě a spojité derivace až do řádu n včetně (to znamená, že existují derivace f (a), /"(a), f^-n\a)). Diferenciálem řádu n funkce f{x) v bodě a při přírůstku h e R nazýváme číslo:
dnf{a){h) = f^{a)hn
Diferenciály (i vyšších řádů) bývá zvykem značit:
2
df(a)(h) = f'(a)h = f'(a)dx = f'(a)(x - a).
Pokud pro výpočet funkční hodnoty v bodě a + h použijeme diferenciál, dopustíme se určité chyby, kterou lze vyjádřit následovně:
R(h) = \Af(a)-df(a)(h)\
a dále platí
hm m = 0.
x^O h
1.2 Řešené příklady
Příklad 1. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu funkce f{x) = arctan(x) v bodě a = 0.98.
Řešení. Nejdříve si zvolíme vhodný funkční bod, pro který snadno vypočítáme funkční hodnotu a který je dostatečně blízko bodu a = 0.98. Jako nejvhodnější se jeví bod a = 1 pro funkci y = arctan(x). Nejdříve vypočteme přírůstek funkce h = x — a = 0.98— 1.00 = —0.02. Pro výpočet diferenciálu budeme nejprve potřebovat první derivaci zadané funkce. Ta je rovna (arctan(x))' = ■ Hodnota první derivace v bodě x = 1 je rovna (arctan(l))' = ^.
Příklad 2. Vypočtěte diferenciál funkce f{x) = sin(x).
Řešení. Protože v tomto příkladu není zadán ani bod a a ani přírůstek funkce h, bude výpočet pouze obecný. Nejdříve vypočítáme první derivaci zadané funkce f'{x) = cosx. Diferenciál funkce má tedy tvar:
df{x) = f'{x)dx = cosxdx. Příklad 3. Pomocí diferenciálu funkce vypočtěte přibližnou hodnotu \/382.
Řešení. Nejbližší nám známý bod, pro který známe přesně hodnotu druhé odmocniny je xq = 400. Přírůstek funkce h = 382 — 400 = —18. Funkce, pro kterou budeme počítat difeneciál má tvar f(x) = \[x. Její derivace má tvar f'(x) = -j^j- Po dosazení do vzorce pro diferenciál dostaneme:
/(382) = /(400) + ^— = 20+ ^ (-18) = 20 - ^ = 19.55.
1.3 Příklady k procvičení
Příklad 4. 1) Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu lni.3
2) Vypočtěte diferenciál funkce f(x) = x2 + x + 1 v bodě xq = 2 pro přírůstek h = 0.1
3) Vypočtěte diferenciál funkce f(x) = x3 v bodě xq = 4.
4) Vypočtěte diferenciál funkce f{x) = \/x2 + 1 v bodě x o = 1 Řešení. 1) 0.3
2) 0.5
3
3) 48h
4) &h
2   Taylorův polynom
V předchozí kapitole jsme pro výpočet funkční hodnoty v daném bodě použili aproximaci funkce pomocí přímky, tedy pomocí lineární funkce - polynomu prvního stupně. Ukázali jsme si, že tato aproximace může být velmi nepřesná. V této kapitole si ukážeme aproximaci pomocí polynomů vyšších stupňů. Ukážeme si, že tato aproximace je mnohem přesnější a můžeme si sami určit stupeň polynomu v závislosti na požadované chybě.
2.1 Teorie
Pokud ná funkce f(x) v intervalu < a, a + h > (pro záporné h v intervalu < a + h, a > spojité derivace až do řádu n včetně a dále v intervalu (a, a + h), resp. (a + h, a) spojitou derivaci (n+1) - řádu, pak polynom
/(a + h) = f[a) H--——h H--—h H-----1--;—h  + Rn+i
1! 2! n\
nazveme Taylorovým polynomem a výraz Rn+\ nazveme Taylorovým zbytkem.
Přepíšeme-li přírůstek h ve tvaru h = x — a, dostaneme častěji používaný tvar Taylorova polynomu:
f[x) = f (a) + —— [x - a) + —— [x - a)  +■■■ +-j—(x - a)   + Rn+i
1! 2! n\
Taylorovým polynomem stupně n v bodě a nazýváme polynom
Tn(x)=f(a) + ^(x-a) + Í^(x-a)2 + --- + Í^(x-ar 1! 2! n\
Zvláštním případem Taylorova polynomu je polynom v bodě a = 0. Tento polynom se nazývá Maclaurinův polynom. Tento polynom má tedy tvar:
m.m+mx+m^+...+im^
2.2   Řešené příklady
Příklad 5. Zapište Taylorův polynom 5. stupně pro funkci f(x) = ex v okolí bodu a = 0
Řešení Nejprve musíme určit derivace funkce až do stupně 5. Je ale zřejmé, že derivace funkce f(x) = ex je rovna f'(x) = ex. Funkce v bobě a = 0 i její derivace nabývají hodnoty e° = 1. Taylorův polynom bude tedy mít tvar:
4
1 1    9        1    ,        1    4        1 .
T5(x) = 1 + -x + -x2 + -o;3 + -é + -x\
Příklad 6. Funkci y = cos x v okolí bodu xq = O nahraďte polynomem čtvrtého stupně.
Řešení Opět nejdříve vypočítáme derivace až do 4 stupně (pokud existují) a určíme jejich funkční hodnotu v bodě xq. Také určíme funkční hodnotu funkce f{x) = cos(O). Rada derivací a jejich funkční hodnoty budou vypadat následovně: /(O) = cos 0 = l,/'(0) = — sinO = 0,
/"(O) = -cos(0) = -l,/'"(0) = sín(0) = 0,/(4)(0) = cos(0) = 1.
Maclaurinův polynom má tedy tvar:
f(x) = cos(x) « 1 - — + —
2.3   Příklady k procvičení
Příklad 7.1) Vyjádřete Maclaurinův polynom 4- stupně pro funkci f{x) = sin(x).
2) Vyjádřete Taylorův polynom 3. stupně pro funkci f{x) = yfx v bodě xq = 1.
3) Vyjádřete Maclaurinův polynom 3. stupně pro funkci f{x) = xe~x.
4) Vyjádřete Taylorův polynom 4- stupně pro funkci f{x) = ex sin(x). Řešení. 1) sin(x) = 0 + x — ^x3.
2) T3(x) = 1 + \{x    1) - ±(x    l)2 + ^{x If
3) x ■ e~x = 0 + x - x2 + ±x3 - ±x4.
2
4) ex sin(x) = 0 + x + x2 + ^-
5