jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Zpracování seismických dat
část A: Seismický signál jako
vlnová funkce
I. Seismický signál jako funkce času
Josef Havíř
havir@ipe.muni.cz
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
a) vlnová funkce jako součet goniometrických funkcí
Představme si seismický signál jako jednoduchou harmonickou vlnu.
V případě, že tato vlna vyjadřuje posunutí, projevuje se v daném bodě
kontinua kmitáním s frekvencí f (respektive periodou T, T=1/f)
a amplitudou A, tj. s výchylkou u(t):
 f.t2πAsinu(t) .
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Příklad součtu tří vlnových
funkcí:
).t9,0.2sin(.10(t)u1 
).t7.2sin(.30(t)u2 
).t23.2sin(.20(t)u3 
).t23.2sin(.20).t7.2sin(.30
).t9,0.2sin(.10(t)u4




jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
b) Fourierova řada
Každou jakkoli složitou a nepravidelnou vlnovou funkci lze popsat jako
součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus (Fourierova řada)
Joseph Fourier
(1768-1830)
𝑢 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝑏1 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓0 𝑡 +
+ 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜋2𝑓0 𝑡 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛 2𝜋2𝑓0 𝑡 +
...+ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Koeficienty an a bn ve Fourierově řadě kvantifikují míru zastoupení
sinusovek o frekvenci n.f v součtu reprezentujícím celkovou vlnovou funkci.
Výhodou vyjádření Fourierovy řady pomocí goniometrických funkcí je
relativně snadná představitelnost významu jednotlivých parametrů.
Nevýhodou je existence dvou koeficientů pro jednu frekvenci a nesnadnost
integrace goniometrických funkcí.
určuje sledovanou
frekvenci
určuje míru zastoupení sinusovek o dané
frekvenci v celkovém signálu
jejich vzájemný poměr určuje fázi
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
c) konstanty Fourierovy řady
konstanty a0, an a bn si můžeme obecně vyjádřit.
Rozložme vlnovou funkci pro periodu T0
(předpokládejme periodickou funkci o základní
periodě T0) do součtu sinusovek a konstanty a0.
Nyní můžeme sledovat plochu vymezenou
křivkami jednotlivých členů. Přitom plocha
vymezená křivkou libovolné spojité funkce y(t)
odpovídá hodnotě určitého integrálu dané funkce.
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Vidíme, že plocha Z vymezená jednotlivými sinusovkami, je nulová.
Plocha vymezená křivkou a0 je rovna součinu a0.T0. Tj. také velikost
plochy vymezené vlnovou funkcí u(t) odpovídá součinu a0.T0.
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Velikost plochy vymezené vlnovou funkcí u(t)
odpovídá součinu a0.T0.
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑇0 𝑎0 𝑎0 =
1
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑑𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Dále vynásobme vlnovou funkci u(t) výrazem cos(2.t/T0) a podívejme
se, jakou plochu nyní budou vymezovat jednotlivé křivky Fourierovy řady.
Křivka a1.cos(2.t/T0).cos(2.t/T0) vymezuje plochu a1.(T/2):
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Plochy vymezené všemi ostatními křivkami jednotlivých členů
Fourierovy řady jsou nulové.
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Je tedy zřejmé, že velikost plochy vymezené vlnovou
funkcí u(t).cos(2.t/T0) odpovídá součinu a1.(T0/2).
Analogicky lze ukázat, že platí:
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎1
2
𝑇0
𝑎1 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑛
2
𝑇0
𝑎 𝑛 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Stejně bychom mohli odvodit, že velikost plochy
vymezené vlnovou funkcí u(t).sin(2.t/T0) odpovídá
součinu b1.(T0/2).
Analogicky lze ukázat, že platí:
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏1
2
𝑇0
𝑏1 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏 𝑛
2
𝑇0
𝑏 𝑛 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Pro konstanty Fourierovy řady tedy platí obecné vztahy:
𝑎0 =
1
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑑𝑡
𝑎 𝑛 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
𝑏 𝑛 =
2
𝑇0
−
𝑇0
2
𝑇0
2
𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑛
2𝜋
𝑇0
𝑡 𝑑𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
d) komplexní tvar Fourierovy řady
Nevýhody vyjádření Fourierovy řady pomocí goniometrických funkcí řeší
komplexní tvar Fourierovy řady. Vychází z geometrického významu
komplexního čísla a z tzv. Eulerovy věty.
Leonhard Paul Euler
(1707-1783)
𝑢 𝑡 =
𝑛=−∞
∞
𝐶 𝑛 𝑒 𝑖𝑛2𝜋𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
vyjdeme z eulerova vzorce:
provedeme substituci:
získáme vztahy:
vhodným součtem těchto vztahů si vyjádříme goniometrické funkce:

sin.cos iei

tn 
tnitne
tnitne
tin
tin




sin.cos
sin.cos



 
 tintin
tintin
ee
i
tn
eetn








2
1
sin
2
1
cos
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Do rovnice Fourierovy řady můžeme dosadit komplexní členy:
 
 tintin
tintin
ee
i
tn
eetn








2
1
sin
2
1
cos
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
   










1
0
22
)(
n
tintinntintinn
ee
i
b
ee
a
atu 
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Rovnici můžeme upravit a zjednodušit:
   










1
0
22
)(
n
tintinntintinn
ee
i
b
ee
a
atu 
   








1
0
2
1
2
1
)(
n
tin
nn
tin
nn eibaeibaatu 
 
  


 
T
tin
nnn
T
tin
nnn
dtetu
T
ibaB
dtetu
T
ibaA
0
0
)(
1
2
1
)(
1
2
1


 




1
0)(
n
tin
n
tin
n eBeAatu 
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Vyjdeme-li ze vztahu:
Lze ukázat, že rozšíříme-li n na všechna celá čísla (tj.i na hodnotu 0 a
na záporná čísla,pak platí:



T
tin
n dtetu
T
A
0
)(
1 
n
T
tin
T
tni
n
TT
ti
Bdtetu
T
dtetu
T
A
adttu
T
dtetu
T
A







00
)(
0
00
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1


jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
V komplexním tvaru si tedy můžeme všechny koeficienty (a0, An, Bn)
vyjádřit jediným koeficientem, rozšíříme-li n na všechna celá čísla, a
Fourierovu řadu můžeme zjednodušit na tvar:
Kde:




n
tin
neCtu 
)(



T
tin
n dtetu
T
C
0
)(
1 
𝑢 𝑡 =
𝑛=−∞
∞
𝐶 𝑛 𝑒 𝑖𝑛2𝜋𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Komplexní tvar převádí goniometrické funkce sinus a cosinus na
vyjádření pomocí exponenciální funkce ex s komplexní proměnnou.
V tomto tvaru si pak můžeme všechny koeficienty (a0, an, bn) vyjádřit
jediným (ovšem komplexním) koeficientem.
určuje sledovanou
frekvenci
určuje míru zastoupení sinusovek o dané
frekvenci v celkovém signálu
protože je to komplexní číslo, zahrnuje také
informaci o fázi