jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Zpracování seismických dat
část A: Seismický signál jako
vlnová funkce
II. Seismický signál jako funkce
frekvence
Josef Havíř
havir@ipe.muni.cz
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
a) Fourierova transformace
Fourierova řada kvantifikuje míru zastoupení sinusovek o frekvenci n.f
v součtu reprezentujícím celkovou vlnovou funkci.
Amplituda u(t) je přitom vyjádřena jako funkce času.
𝑢 𝑡 = 𝑎0 +
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛𝑓0 𝑡
𝑢 𝑡 =
𝑛=−∞
∞
𝐶 𝑛 𝑒 𝑖𝑛2𝜋𝑓0 𝑡
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Míru zastoupení různých frekvencí v signálu v určitém zvoleném
časovém okně lépe vyjádří funkce ukazující závislost amplitudy U(f)
nikoli na čase, ale na frekvenci.
Převod signálu z funkce času na funkci frekvence se nazývá
Fourierova transformace
)( fU
)(tu
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Nejsnáze si matematicky představíme princip Fourierovy transformace,
když vyjdeme z komplexního tvaru Fourierovy řady:
A z vyjádření koeficientu Cn:




n
tin
neCtu 
)(



T
tin
n dtetu
T
C
0
)(
1 
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Dosaďme do vztahu Fourierovy řady komplexní výraz pro koeficient Cn:




n
tin
neCtu 
)(




2
2
)(
1
T
T
tin
n dtetu
T
C 
 















n
tin
T
T
tin
edtetu
T
tu 
2
2
)(
1
)(
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Položíme-li, že T jde k nekonečnu, můžeme vztah přepsat:
 















n
tin
T
T
tin
edtetu
T
tu 
2
2
)(
1
)(
dfedtetutu
edtetuftu
ftifti
n
tfin
T
T
tfin
T
nn
 
 






























22
2
2
2
2
)()(
)()( lim
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Výraz v hranaté závorce je pouze funkcí frekvence, protože integrujemeli
pro čas t od -do , je čas fixován. Můžeme jej nazvat U(f):
dfefUtu
dfedtetutu
fti
ftifti

 

















2
22
)()(
)()(
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Výsledný vztah je vztahem Fourierovy transformace
dfefUtu
dtetufU
fti
fti











2
2
)()(
)()(
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
- Funkce U(f) závislá na frekvenci se nazývá spektrum.
- Spektrum je komplexní veličina.
velikost udává tzv.amplitudové spektrum
úhel representuje tzv. fázové spektrum
dtetufU fti




 2
)()(
)( fU
 )(arg fU
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
V čem je podstata vztahu pro Fourierovu transformaci?
dtetufU fti




 2
)()(
dttfA
t
t

2
1
)(
Integrál funkce času f(t) od t1 do t2 je plocha pod křivkou dané funkce
ve stanoveném intervalu.
jde tedy o plochu pod křivkou funkce
f(t), kde
f(t) = u(t).e-2ft,
a to v celém rozsahu křivky (pro čas
od minus nekonečna do nekonečna)
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
V čem je podstata vztahu pro Fourierovu transformaci?
dtetufU fti




 2
)()(
Vymezením času od minus nekonečna do nekonečna je však čas
fixován – ať do vztahu dosadíme za čas t jakoukoli hodnotu, plocha
pod křivkou daná integrálem bude stejná.
Tedy – přestože f(t) [f(t)= u(t).e-2ft] je funkcí času, daný integrál již
funkcí času není (nezávisí na času t)!
Současně vidíme, že plocha pod křivkou funkce f(t) bude různá pro
různé frekvence f ... tedy, že daný integrál je funkcí frekvence!
integrál není
funkcí času
integrál je funkcí frekvence
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Fourierovu transformaci si můžeme demonstrovat na příkladech dvou
speciálních funkcí - jednoduché sinusovky a píku.
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
jednoduchá sinusoida
je funkce popsaná jednou konkrétní hodnotou frekvence F a jednou
konkrétní hodnotou amplitudy A. Její frekvenční popis je tedy funkce,
která má nenulovou hodnotu pouze v bodě o frekvenci F, všude jinde je
nulová (tzv. impuls neboli pík).
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
pík
lze popsat jako součet sinusoidových křivek. V tomto případě
potřebujeme sčítat nekonečně mnoho křivek (musíme použít všechny
možné frekvence) a že amplituda všech jednotlivých křivek je stejná (v
píku jsou obsaženy stejnou měrou všechny frekvence).
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
b) Spektrum signálu - posunutí, rychlost a zrychlení
Seismický záznam může zachycovat kmitání částic kontinua ve smyslu:
- posunutí polohy částice
- rychlost posunutí polohy částice
- zrychlení posunutí polohy částice
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Různé typy přístrojů mohou přímo měřit amplitudy různých veličin
charakterizujících kmitavý pohyb:
-mechanické seismometry – posunutí
-elektromagnetické seismometry – rychlost
- akcelerometry - zrychlení
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Při převedení téhož signálu z posunutí na rychlost či zrychlení vidíme,
že změna amplitudy v různých typech signálů je závislá na frekvenci.
posunutí
rychlost
zrychlení
 f.t.2πAsin(t)u0 
t
(t)u
(t)v 0
0



 f.t.2πf.Acos.2π(t)v0 
t
(t)v
(t)s 0
0


    f.t.2π.Asinf.2π(t)s
2
0 
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Pro jednoduchou sinusovku platí, že derivací se frekvence signálu
nemění. Mění se ale fáze a amplituda, přičemž změna amplitudy závisí
na frekvenci.
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
Spektrum signálu se tedy liší podle toho, zda jde o spektrum posunutí,
rychlosti či zrychlení.
jaro 2018, Brno Zpracování seismických dat
V případě jednoduché sinusovky platí, že vztahy pro přepočet mezi
amplitudami posunutí, rychlostí a zrychlení jsou lineární.
 f.t.2πAsin(t)u0   f.t.2πf.Acos.2π(t)v0     f.t.2π.Asinf.2π(t)s
2
0 
 f.2πAA uv   f.2πAA vs   2
us f.2πAA 