1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Celkem	11	12
												
Vstupní písemka ze semináře z matematiky II, únor 2018
Max. počet bodů J^O
la. Napište definici lineární nezávislosti vektorů v\, v2, ■ ■ ■, ffc ve vektorovém prostoru V.     (1 bod)
lb. Mějme lineární zobrazení ip : U —> U a vektory u\, u2, ■ ■ ■, £ U. Dokažte: Jsou-li vektory (p(ui), p(u2), ■ ■ ■ ,f(uk) lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i vektory u\, u2,. .. , u^.   (3 body)
2a. Napište definici lineárního zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory. (1 bod)
2b. Napište, jak vypadají všechna lineární zobrazení z Rn do Rk. (3 body)
3a. Napište definici jádra lineárního zobrazení a definici podprostoru ve vektorovém prostoru.
(2 body)
3b. Dokažte: Jádro ker<y9 lineárního zobrazení ip : U —> V je vektorový podprostor ve V.     (2 body)
4. Dokažte: Lineárního zobrazení ip : U —> V je prosté, právě když jeho jádro ker<y9 obsahuje pouze nulový vektor. body)
5a. Pomocí množinového zápisu a lineárních kombinací napište definici lineárního obalu vektorů u\, 112,.. ., Mfe ve vektorovém prostoru U. (1 body)
5b. Dokažte, že lineární obal vektorů u\, u2, ■ ■ ■, ve vektorovém prostoru U definovaný v předchozím úkoluje roven nejmenšímu vektorovému podrostoru v U obasahujícímu všechny vektory u\, 112, ■ ■ ■, itfc-(3 body)
6a. Napište definici suprema množiny M C R. [2 body)
6b. Se všemi potřebnými předpoklady zformulujte základní větu, která platí o supremu podmnožin reálných čísel. (2 body)
7a. Napište definici limity posloupnosti reálných čísel. (1 bod)
7b. Pomocí věty o supremu z předchozí úlohy dokažte: Každá rostoucí posloupnost záporných reálných čísel má limitu. (3 body)
8a. Napište definici limity reálné funkce / v bodě ael. (Předpokládejte, že limita je reálné číslo.)
(i bod)
8b. Z definice limity dokažte:
lim(/(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x),
x—>a x—>a x—>a
pokud limity vpravo existují. (3 body)
9a. Pomocí kvantifikátorů napište negaci definice liiíix^af(x) = L. (1 bod)
9b. Dokažte pomocí předchozího, že limita v bodě 2 funkce / : R —>• R takové, že f(x) = 0 pro x iracionální a f(x) = 1 pro x racionální, není rovna 0. (3 body)
10a. Napište pomocí kvantifikátorů definici spojitosti reálné funkce v bodě a e M bez odkazu na definici limity. (i bod)
10b. Dokažte z předchozí definice: Jestliže jsou dvě funkce / a g spojité v bodě a£R, pak je v tomto bodě spojitý i jejich součin. (3 bod)
1
2
Pro ty, kteří už mají všechno hotovo
11. Nechť U je vektorový prostor a ip : U —> U lineární zobrazení takové, že ip o ip = id. Pak prostor U lze zapsat jako direktní součet dvou podprostorů
U = ker((p — id) ® ker(p + id).
Dokažte. (4 body)
12. Nechť / : R —>• R je rostoucí funkce. Dokažte, že množina bodů nespojitosti této funkce je nejvýše spočetná. (4 body)