Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta A
Datum: 9. 5. 2018
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) nemá žádné samodružné body;
(b) zobrazuje přímku p : X = [0, 0, 0]+t(1, 1, 1) na rovinu α : X = [1, 1, 1]+s(1, 1, 1)+r(0, 0, 1)
(c) má právě přímku samodružných bodů.
2) O zobrazení f v A3 víte, že se jedná o shodnost, má samodružný bod O[3, 2, 0] a vlastní směry
(1, 0, 2), (1, 1, 1) a (−2, 1, 1).
(a) (1 b.) Určete, kolik takových zobrazení f existuje (včetně počtu jednotlivých druhů takových
zobrazení)
(b) (2 b.) Napište rovnice jedné z rovinových souměrností, které vyhovují zadání.
3) Afinní zobrazení f v A3 je zadáno rovnicemi:
f : x =
1
3
x −
1
3
y +
1
3
z + 2
y = −
1
3
x +
5
6
y +
1
6
z + 1
z =
1
3
x +
1
6
y +
5
6
z − 1
(a) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(b) (2 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory zobrazení f.
(c) (1 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice zobrazení f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice zobrazení vůči tomuto repéru.
(d) (1 b.) Uveďte, o jaké zobrazení se jedná.
(e) (1 b.) Zobrazte přímku a : X = [1, 2, 3] + t(2, 1, −1)
Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta B
Datum: 9. 5. 2018
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má vlastní čísla 2, 3 a 4 a přímku samodružných bodů.
(b) je podobností a nemá počátek [0, 0, 0] za samodružný bod.
(c) zobrazuje vektor (0, 0, 1) na vektor (1, 1, 0) a bod [0, 0, 0] na bod [1, 3, 4].
2) O zobrazení f v A3 víte, že se jedná o shodnost, má přímku samodružných bodů p : X =
[3, 0, 1] + t(2, 1, 1). Kromě toho má další dva vlastní vektory (1, 0, 1), (1, −1, −1).
(a) (1 b.) Určete, kolik takových zobrazení f existuje (včetně počtu jednotlivých druhů takových
zobrazení)
(b) (2 b.) Napište rovnice jedné z rovinových souměrností, které vyhovují zadání.
3) Zobrazení f v A3 je zadáno rovnicemi:
σ : x =
1
2
x −
1
2
y −
√
2
2
z + 1
y = −
1
2
x +
1
2
y −
√
2
2
z + 1
z =
√
2
2
x +
√
2
2
y
(a) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(b) (2 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(c) (1 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice afinity vůči tomuto repéru.
(d) (1 b.) Uveďte, o jaké zobrazení se jedná.
(e) (1 b.) Zobrazte přímku a : X = [0, 0, 0] + t(1, −1, 0)
Řešení A
1. (a) Nejjednodušším příkladem je posunutí. Matice A je jednotková, matice B souřadnice
vektoru, o který se posunuje.


x
y
z

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z

 +


u1
u2
u3


(b) Neexistuje, protože takové zobrazení by nebylo bijektivní (podmínka afinity), dokonce
by nebylo ani prosté.
(c) Má-li mít zobrazení právě přímku samodružných bodů, bude jejímu směrovému vektoru
(a žádnému jinému) příslušet vlastní číslo 1, tedy se vektor v asociavaném lineárním
zobrazení zobrazí sám na sebe. Kdybychom měli informace o dalších vektorech,
mohli bychom klasicky doplnit "dvojmatici"a upravit ji na (En|AT
). To můžeme ale
udělat i tak, prostě dva z řádků doplníme libovolně, jen s podmínkou, že se vektory
v nich nezobrazí samy na sebe. Když navíc zvolíme za přímku samodružných bodů
přímku procházející počátkem, zmizí nám dokonce matice B.
Řekněme, že naše samodružná přímka bude p : X = [0, 0, 0] + (1, 2, 3). Máme první
řádek do matice, zbytek doplníme (skoro) libovolně:


1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 2 2
1 0 0 0 1 1

 ∼ · · · ∼


0 1 0 5 2 1
1 1 1 2 2 2
0 0 1 -3 -1 0


A máme AT
.
Ještě jednodušší je zvolit si za přímku SB jednu ze souřadných os. Její vektor se
zobrazí sám na sebe, zbylé dva zobrazíme na libovolné jiné vektory, matici AT
, resp.
A dostaneme okamžitě, počátek je opět samodružný a B tedy opět zmizí.
2. Stejný příklad, jen s jinými čísly se řešil na hodině.
(a) 8: identita, 3 rovinové, 3 přímkové a 1 středová symetrie.
(b) Pro rovinové symetrie vždy dvěma vektorům přísluší vlastní číslo 1, a tyto dva vektory
spolu s bodem O budou určovat rovinu, podle které děláme souměrnost. Třetí
vektor, k této rovině kolmý pak přísluší vlastnímu číslu -1. Z těchto informací už lze
zjistit podobu matice A, B se zjistí zobrazením počátku (počátkem P vedu kolmici
k rovině, zjistím průsečík, který je středem P a P’,...)
Samozřejmě lze taky vytvořit matice pomocí čtyř bodů, kde nejsnáze volím tři samodružné
z příslušné roviny, za čtvrtý počátek a jeho obraz.
Rovnice zobrazení pak jsou:
• symetrie podle roviny 1 : 2x − y − z − 4 = 0


x
y
z

 =
1
3


−1 2 2
2 2 −1
2 −1 2




x
y
z

 +


8
3
−4
3
−4
3


• symetrie podle 2 : x + 2z − 3 = 0:


x
y
z

 =
1
5


3 0 −4
0 1 0
−4 0 −3




x
y
z

 +


6
5
0
12
5


• Symetrie podle 3 : x + y + z − 5 = 0:


x
y
z

 =
1
5


1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1




x
y
z

 +


10
3
10
3
10
3


3. (a) rovina SB 2x + y − z − 6 = 0
(b) λ1 = 0 pro vektor u1 = (2, 1, −1), λ23 = 1 pro zaměření roviny SB, tedy např.vektory
u2 = (1, 0, 2), u3 = (−1, 2, 0)
(c) v repéru R [SB ], u1, u2, u3 je vyjádření f:


x
y
z

 =


0 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z


(d) jde o rovnoběžnou projekci na rovinu SB : 2x + y − z − 6 = 0 ve směru vektoru
u1 = (2, 1, −1)
(e) dosadí-li se bod [1, 2, 3] do rovnic zobrazení, dostaneme, že se zobrazí na bod [8
3
, 17
6
, 13
6
].
Protože je směrový vektor přímky zároveň směrem projekce (tj. vektorem příslušným
vlastnímu číslu 0), zobrazí se celá přímka do tohoto bodu.
Řešení B
1. (a) Neexistuje, silně samodružné přímce by odpovídalo vlastní číslo 1.
(b) Nejjednodušší podobností je stejnolehlost, tedy matice A = κEn. Nemá-li zobrazení
počátek za SB, bude matice B nenulová. Například tedy:


x
y
z

 =


3 0 0
0 3 0
0 0 3




x
y
z

 +


1
2
3


(c) Matici A získáme podobně jako ve variantě A, tentokrát na zbylé vektory ale neklademe
žádné podmínky. Třetí sloupeček matice A bude mít čísla 1,1,0, dále je v
zadání dáno, že počátek se zobrazí na [1, 3, 4], čímž je dána matice B.
Mimochodem, velmi podobný příklad jako se objevil v písemkách z loňska, které
jste měli k dispozici. Tam zadání zní: "udejte příklad afinity, která zobrazuje přímku
p : X = [0, 0, 1] + t(1, 1, 0) na q : X = [0, 0, −1] + t(2, −1, 0)". Víte-li, na co se
zobrazuje počátek, je to varianta o půlku jednodušší.
2. (a) 4: identita, 2 rovinové (k dané přímce se vždy vybere jeden z dalších vektorů, aby
byla určena rovina symetrie, ten bude mít vl. číslo 1, zbylý vektor bude mít vl. číslo
-1), 1 přímková symetrie (symetrie podle zadané přímky)
(b) • souměrnost podle 1 : x − y − z − 2 = 0:


x
y
z

 =
1
3


1 2 2
2 1 −2
2 −2 1




x
y
z

 +


4
3
−4
3
−4
3


• souměrnost podle 2 : x + z − 4 = 0:


x
y
z

 =


0 0 −1
0 1 0
−1 0 0




x
y
z

 +


4
0
4


3. (a) přímka pX : X = [1, 0,
√
2
2
] + t(1, −1, 0)
(b) λ1 = 1, u1 = (1, −1, 0);
λ2,3 = ±i, u2 = (0, 0, 1), u3 = (
√
2
2
,
√
2
2
, 0)
(c) v repéru R [bodpX], u1, u2 tvar:


x
y
z

 =


1 0 0
0 0 1
0 −1 0




x
y
z


4. Jedná se o otočení kolem přímky SB p o úhel π
2
.
5. Směrový vektor je vlastním vektorem zobrazení příslušný vl. číslu 1, přímka se tedy zobrazí
na rovnoběžku. Stačí tedy dosadit počátek do původních rovnic. Zobrazí se na bod [1, 1, 0].