Cvičení 11 – Korelační analýza
Výběrový Spearmanův koeficient pořadové korelace:
( ) ( )∑=
−
−
−=
n
1i
2
ii2S QR
1nn
6
1r ,
kde n je rozsah dvourozměrného náhodného výběru (X1, Y1), ..., (Xn, Yn), Ri pořadí náhodné
veličiny Xi a Qi pořadí náhodné veličiny Yi, i = 1, ..., n.
Testování nezávislosti ordinálních veličin
Na hladině významnosti α testujeme H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné veličiny proti
H1: X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny
Jako testová statistika slouží Spearmanův koeficient pořadové korelace rS.
H0 zamítáme na hladině významnosti α, když ( )nrr 21,SS α−≥ , kde ( )nr 21,S α− je kritická
hodnota, kterou pro α = 0,05 nebo 0,01 a n ≤ 30 najdeme v tabulkách.
Asymptotická varianta testu
Pro n > 20 lze použít testovou statistiku ( )2nt
r1
2nr
T
2
S
S
0 −≈
−
−
= za platnosti H0.
Kritický obor ( ) ( ) )( ∞−∪−−∞−= α−α− ,2nt2nt,W 2/12/1
Výběrový Pearsonův koeficient korelace: jinak0,0SSpro
SS
S
R 21
21
12
12 =>=
Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin
Důležitý předpoklad: daný náhodný výběr (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) pochází z dvourozměrného
normálního rozložení s koeficientem korelace ρ. Pak jsou pojmy „stochastická nezávislost“ a
„nekorelovanost“ ekvivalentní.
Na hladině významnosti α testujeme H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny
(tj. ρ = 0) proti H1: X, Y jsou stochasticky závislé náhodné veličiny (tj. ρ ≠ 0).
Testová statistika ( )2nt~
R1
2nR
T
2
12
12
0 −
−
−
= za platnosti H0.
Kritický obor: ( ) ( ) )( ∞−∪−−∞−= α−α− ,2nt2nt,W 2/12/1
Porovnání koeficientu korelace s danou konstantou
Testujeme H0: ρ = c proti H1: ρ ≠ c.
Pro n ≥ 10: testová statistika
( )
( )1,0N3n
1n2
c
c1
c1
ln
2
1
ZU ≈−





−
−
−
+
−= za platnosti H0,
přičemž
12
12
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= je tzv. Fisherova Z-transformace.
Kritický obor: ( )∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1 .
Porovnání dvou korelačních koeficientů
Máme dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n*
z dvourozměrných normálních
rozložení s korelačními koeficienty ρ a ρ*
. Testujeme H0: ρ = ρ*
proti H1: ρ ≠ ρ*
.
Označme R12 výběrový korelační koeficient 1. výběru a R12
*
výběrový korelační koeficient 2.
výběru. Položme
12
12
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= a *
12
*
12*
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= .
Platí-li H0, pak testová statistika
3n
1
3n
1
*
*
ZZ
U
−−
+
−
= má asymptoticky rozložení N(0,1).
Kritický obor: ( )∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1 .
Interval spolehlivosti pro koeficient korelace
( ) 





−
= α−
3n
u
Ztghh,d 2/1
m , přičemž xx
xx
ee
ee
xtgh −
−
+
−
= .
Příklad 1.: (viz př. 11.5.2 ze skript) 12 různých softwarových firem nabízí speciální
programové vybavení pro vedení účetnictví. Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou
komisí složenou z počítačových odborníků a komisí složenou z profesionálních účetních.
Úkolem bylo doporučit vhodný program na základě stanovení pořadí jednotlivých programů.
Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Příklad 2.: Pět mužů, kteří bydlí v jednom panelovém domě, se rozhodlo zjistit a zapsat svou
hmotnost [kg] a výšku [cm]. Zapsané hodnoty jsou: (76, 170), (86, 177), (73, 169), (84, 174),
(79, 175). Najděte realizaci výběrového koeficientu korelace a na hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu, že hmotnost a výška jsou nezávislé veličiny proti oboustranné alternativě.
Pro úsporu času máte uvedeny tyto číselné realizace: 5,16s,5,11s,3,29s 12
2
2
2
1 === .
Příklad 3.: V pedagogicko – psychologické poradně bylo vyšetřeno 12 hochů a 15 dívek.
Mimo jiné byla zjišťována jejich verbální složka IQ a performační složka IQ. Předpokládáme,
že v obou skupinách dětí se zjištěná data řídí dvourozměrným normálním rozložením,
v prvním případě s koeficientem korelace ρ, ve druhém případě s koeficientem korelace ρ*
.
Ve skupině hochů nabyl výběrový koeficient korelace mezi verbálním a performačním IQ
hodnoty 0,6033, u dívek pak 0,5833.
a) Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro ρ.
b) Na hladině významnosti 0,05 testujte H0: ρ = ρ*
proti oboustranné alternativě H0: ρ ≠ ρ*
.