Cvičení 3 – Základní pojmy matematické statistiky I
Přehled vzorců:
Výběr. průměr: ∑=
=
n
1i
iX
n
1
M ,výběr. rozptyl: ( ) 





−
−
=−
−
= ∑∑ ==
n
1i
22
i
n
1i
2
i
2
nMX
1n
1
MX
1n
1
S ,
výběr. distr. funkce: { }xX;icard
n
1
)x(F in ≤= , vážený průměr. výběrových rozptylů:
( )
rn
S1n
S
r
1j
2
jj
2
*
−
−
=
∑=
, výběrová kovariance:
( )( ) 





−
−
=−−
−
= ∑∑ ==
21
n
1i
ii2i
n
1i
1i12 MnMYX
1n
1
MYMX
1n
1
S , výběrový koeficient korelace:
21
12
12
SS
S
R =
Vlastnosti M: E(M) = µ, ( )
n
MD
2
σ
= . Pro výběr z N(µ, σ2
) platí: M ~ N(µ,
n
2
σ
)
Meze 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu µ při známém rozptylu σ2
jsou:
D = 2/1u
n
M α−
σ
− , H = 2/1u
n
M α−
σ
+ .
Stanovení minimálního rozsahu výběru z normálního rozložení tak, aby šířka 100(1-α)%
intervalu spolehlivosti pro µ při známém σ2
nepřesáhla ∆: 2
2
2/1
2
u4
n
∆
σ
≥ α−
Příklad 1.: Ve 12 náhodně vybraných prodejnách ve městě byly zjištěny následující ceny
určitého výrobku (v Kč): 102, 99, 106, 103, 96, 98, 100, 105, 103, 98, 104, 107. Těchto
12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X1, ..., X12 z rozložení, které má střední
hodnotu µ a rozptyl σ2
.
a) Vypočtěte realizaci výběrového průměru a výběrového rozptylu.
b) Najděte výběrovou distribuční funkci F12(x) a nakreslete její graf.
Příklad 2.: Máme k dispozici výsledky testů ze dvou předmětů zjištěné u osmi náhodně
vybraných studentů určitého oboru.
Číslo studenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Počet bodů v 1. testu 80 50 36 58 42 60 56 68
Počet bodů ve 2. testu 65 60 35 39 48 44 48 61
Vypočtěte a interpretujte výběrový koeficient korelace. Pro usnadnění výpočtů máte tyto
součty: 23214yx,20836y,26684x,400y,450x
8
1i
ii
8
1i
2
i
8
1i
2
i
8
1i
i
8
1i
i ===== ∑∑∑∑∑ =====
Příklad 3.: Je známo, že týdenní výdaje domácností na určité potravinářské zboží se řídí
normálním rozložením se střední hodnotou 90 Kč a směrodatnou odchylkou 14 Kč. Jaká je
pravděpodobnost překročení hranice 100 Kč pro průměrné výdaje pěti náhodně vybraných
domácností?
Příklad 4.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(µ, 0,04). Jaký musí být
minimální rozsah výběru, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro µ nepřesáhla číslo 0,16?