Cvičení 5 – příklady u tabule
Přehled vzorců pro náhodný výběr z normálního rozložení
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(µ, σ2
). Pak platí
M ~ N(µ,
n
2
σ
), tedy U =
n
M
σ
µ−
~ N(0, 1), K = 2
2
S)1n(
σ
−
~ χ2
(n-1), T =
n
S
M µ−
~ t(n-1).
Interval spolehlivosti pro µ při neznámém σ: ( m -
n
s
t1-α/2(n-1), m +
n
s
t1-α/2(n-1) ).
Interval spolehlivosti pro σ při neznámém µ:
( )
( )
( )
( )







−χ
−
−χ
−
αα− 1n
s1n
,
1n
s1n
2/
2
2
2/1
2
2
.
Jednovýběrový t-test:
n
s
cm
t0
−
= , ( ) ( ) )( ∞−∪−−∞−= α−α− ,1nt1nt,W 2/12/1 .
Test o rozptylu:
( )
c
s1n
t
2
0
−
= , ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Párový t-test: Nechť 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
K je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, 2n ≥ .
Označíme 21 µ−µ=µ a zavedeme rozdílový náhodný výběr nnn111 YXZ,,YXZ −=−= K ,
o němž předpokládáme, že pochází z normálního rozložení. Test hypotézy o rozdílu středních
hodnot 21 µ−µ se nazývá párový t-test a provádí se stejně jako jednovýběrový t-test
aplikovaný na rozdílový náhodný výběr
Příklad 1.: (viz př. 6.4.1. ze skript) Lze předpokládat, že hmotnost pomerančů dodávaných do
obchodní sítě se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 170 g a směrodatnou
odchylkou 12 g. Jaká je pravděpodobnost, že celková hmotnost 9 náhodně vybraných
pomerančů balených do síťky překročí 1,5 kg?
Příklad 2.: (viz př. 6.4.4. ze skript) Při provádění určitého pokusu bylo zapotřebí udržovat
v laboratoři konstantní teplotu 26,5°C. Teplota byla v jednom pracovním týdnu 46x
namátkově kontrolována v různých denních a nočních hodinách. Z výsledků měření byly
vypočteny realizace výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky: m = 26,33°C, s =
0,748°C. Za předpokladu, že výsledky měření teploty se řídí rozložením N(µ,σ2
), vypočtěte
95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ i pro směrodatnou odchylku σ.
Příklad 3.: (viz př. 6.4.6. ze skript) U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví
s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný objem nápoje. Výběrový průměr činil m = 1,99 l
a výběrová směrodatná odchylka s = 0,1 l. Předpokládejme, že objem nápoje v láhvi je
náhodná veličina s normálním rozložením. Na hladině významnosti 0,05 ověřte tvrzení
výrobce, že směrodatná odchylka je 0,08 l.
Příklad 4.: (viz př. 6.4.7. ze skript) Bylo vybráno šest nových vozů téže značky a po určité
době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. Výsledky:
(1,8; 1,5), (1,0; 1,1), (2,2; 2,0), (0,9; 1,1), (1,5; 1,4), (1,6; 1,4). Za předpokladu, že rozdíly
uvedených dvojic tvoří náhodný výběr z normálního rozložení s vektorem středních hodnot,
testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě pneumatiky se sjíždějí stejně rychle.
Přehled vzorců pro dva nezávislé náhodné výběry z normálních rozložení
Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů:








−−−− αα )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
.
Interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot při shodných rozptylech:
(m1 – m2 –
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2), m1 – m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2)), kde
2nn
s)1n(s)1n(
s
21
2
22
2
112
*
−+
−+−
= .
Příklad 5.: (viz př. 7.3.1. ze skript) Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene.
Šesti z nich byla předepsána výkrmná dieta č. 1 a zbylým pěti výkrmná dieta č. 2. Průměrné
denní přírůstky v Dg za dobu půl roku jsou následující:
dieta č. 1: 62, 54, 55, 60, 53, 58
dieta č. 2: 52, 56, 49, 50, 51.
Zjištěné hodnoty považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů pocházejících
z rozložení N(µ1, σ1
2
) a N(µ2, σ2
2
).
a) Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
b) Za předpokladu, že data pocházejí z rozložení N(µ1, σ2
) a N(µ2, σ2
), sestrojte 95%
empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot µ1 - µ2.
Pro usnadnění výpočtů máte k dispozici následující číselné charakteristiky:
m1 = 57, m2 = 51,6, s1
2
= 12,8, s2
2
= 7,3.