Cvičení 8 – neparametrické testy o mediánech
Přehled vzorců pro jednovýběrové testy
Popis situace: X1, …, Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení s mediánem x0,50. Na
hladině významnosti α testujeme H0: x0,50 = c proti H1: x0,50 ≠ c. Utvoříme rozdíly Yi = Xi – c,
i = 1, ..., n. Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.
Postup při párovém testu: přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru.
Znaménkový test: Zavedeme statistiku SZ
+
, která udává počet těch rozdílů, které jsou kladné.
Kritický obor: n,kk,0W 21 ∪= . Pro n = 6, 7, …, 20 a α = 0,05 či 0,01 jsou tabelované
kritické hodnoty k1, k2.
Asymptotická varianta testu: Lze použít pro n > 20. Platí-li H0, pak
( )
( ) 4
n
2
n
Z
Z
ZZ
0
S
SD
SES
U
−
=
−
=
+
+
++
≈ N(0,1). Kritický obor: W = ( )∞∪−∞− α−α− ,uu, 2/12/1 .
Jednovýběrový Wilcoxonův test: Absolutní hodnoty │Yi│uspořádáme vzestupně a
spočteme pořadí Ri. Statistika ∑
>
++
=
0Y
iW
i
RS je součet pořadí přes kladné hodnoty Yi,
statistika ∑
<
−−
=
0Y
iW
i
RS je součet pořadí přes záporné hodnoty Yi. Přitom platí, že SW
+
+ SW
=
n(n+1)/2. Testová statistika = min(SW
+
, SW
).
Kritický obor: k,0W = . Pro n = 6, 7, …,
30 a α = 0,05 či 0,01 jsou tabelované kritické hodnoty k.
Asymptotická varianta testu: Lze použít pro n ≥ 30. Platí-li H0, pak
( )
( ) 24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
W
W
WW
0
S
SD
SES
U
++
++
+
++
−
=
−
= ≈ N(0,1). Krit. obor: W = ( )∞∪−∞− α−α− ,uu, 2/12/1 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dvouvýběrový Wilcoxonův test: X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry
ze dvou spojitých rozložení s mediány x0,50 a y0,50. Distribuční funkce se mohou lišit pouze
posunutím. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli
mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné.
Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme vzestupně podle velikosti. Součet
pořadí hodnot 1. výběru označíme T1. Součet pořadí hodnot 2. výběru označíme T2.
Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 – T1 ,U2 = mn + m(m+1)/2 - T2. Platí U1 + U2 = mn.
Testová statistika = min(U1,U2), kritický obor k,0W = Kritické hodnoty k jsou tabelované
pro n = 1, …, 20, m = 1, …, 30, α. = 0,05. Značení: n = min{m,n} a m = max{m,n}.
Asymptotická varianta testu: Lze použít pro n, m > 20. Platí-li H0, pak
12
)1nm(mn
2
mn
1
0
U
U
++
−
= ≈
N(0,1). Kritický obor: W = ( )∞∪−∞− α−α− ,uu, 2/12/1 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kruskalův–Wallisův test: Máme r ≥ 3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n1, ... , nr.
Pocházejí ze spojitých rozložení. Označme n = n1 + ... + nr. Chceme testovat hypotézu, že
všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení.
Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti a určíme pořadí každé hodnoty. Označme
Tj součet pořadí hodnot z j-tého výběru, j = 1, ..., r (platí T1 + ... + Tr = n(n+1)/2). Platí-li H0,
pak ∑
=
+−
+
=
r
1j j
2
j
)1n(3
n
T
)1n(n
12
Q ≈ χ2
(r-1). Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1rW 1
2
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metody mnohonásobného porovnávání
Zamítneme-li hypotézu, že všechny náhodné výběry pocházejí z téhož rozložení, zajímá nás,
které dvojice náhodných výběrů se liší na zvolené hladině významnosti. Testujeme H0: k-tý a
l-tý náhodný výběr pocházejí z téhož rozložení,
k, l = 1, .., r, k ≠ l proti H1: aspoň jedna dvojice výběrů pochází z různých rozložení.
Neményiho metoda: Všechny výběry mají týž rozsah p (třídění je vyvážené).
- Vypočteme │Tl - Tk│.
- V tabulkách najdeme kritickou hodnotu (pro dané p, r, α ).
- Pokud│Tl - Tk│≥ tabelovaná kritická hodnota, pak na hladině významnosti α zamítáme
hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení.
Obecná metoda mnohonásobného porovnávání
- Vypočteme
k
k
l
l
n
T
n
T
− .
- Ve speciálních statistických tabulkách najdeme kritickou hodnotu hKW(α ). Při větších
rozsazích výběrů je možno ji nahradit kvantilem χ1-α
2
(r-1).
- Jestliže )(h)1n(n
n
1
n
1
12
1
n
T
n
T
KW
klk
k
l
l
α+





+≥− , pak na hladině významnosti α
zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad 1.: Jsou naměřeny hodnoty 17, 23, 11, 20, 18, 32, 30, 24, 26, 17. Vypočtěte medián
těchto 10 hodnot a na hladině významnosti 0,05 ověřte a) znaménkovým, b) jednovýběrovým
Wilcoxonovým testem hypotézu, že odchylka vypočteného mediánu od hodnoty 17 je
způsobena pouze náhodnými vlivy.
Příklad 2.: Skupina 11 studentů absolvovala paměťový test před a po speciálním tréninku
paměti. Doby řešení testu před a po (v s): (87, 50), (61, 45), (98, 79), (90, 90), (93, 88), (74,
65), (83, 52), (72, 79), (81, 84), (75, 61), (83, 52).
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že trénink neměl na výkony studentů žádný
vliv. Použijte: a) párový t-test, b) párový Wilcoxonův test, c) párový znaménkový test.
Příklad 3.: Výkon 18 gymnastek byl ohodnocen stanovením jejich pořadí od nejlepší (pořadí
1) po nejslabší (pořadí 18). V hodnocené skupině bylo 11 žákyň trenérky A a 7 žákyň
trenérky B. V tabulce je uvedeno pořadí žákyň obou trenérek:
A 1 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17
B 2 3 6 9 12 15 18
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výukové metody obou trenérek jsou stejně
účinné proti oboustranné alternativě.
Příklad 4.: (viz př. 9.6.3. ze skript) Výrobce koláčů v prášku má 4 nové recepty a chce zjistit,
zda se jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů z každého druhu a dal je porotě k ohodnocení.
recept A: 72 88 70 87 71, recept B: 85 89 86 82 88, recept C: 94 94 88 87 89,
recept D: 91 93 92 95 94.
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že recepty se neliší. V případě
zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které dvojice receptů se liší na asymptotické hladině
významnosti 0,05.