Cvičení 9 – příklady u tabule
I. Test dobré shody
H0: náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení s distribuční funkcí Φ(x).
Testová statistika
( )
∑=
−
=
r
1j j
2
jj
np
npn
K ≈ χ2
(r-p-1), když H0 platí.
Přitom:
p je počet odhadovaných parametrů daného rozložení,
nj je absolutní četnost j-tého třídicího intervalu pro veličinu X resp. j-té varianty veličiny X,
npj je teoretická četnost j-tého třídicího intervalu pro veličinu X resp. j-té varianty veličiny X.
Platí-li nulová hypotéza, pak pj = Φ(uj+1) - Φ(uj) resp. [ ]( ) ( )
[ ]
[ ]( )j
xx
jj xXPxlimxp
j
==Φ−Φ=
−→
.
Kritický obor: ( ) )∞−−χ= α− ,1prW 1
2
. Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické
hladině významnosti α.
Aproximace se považuje za vyhovující, když npj ≥ 5, j = 1, ..., r.
Při nesplnění podmínky npj ≥ 5, j = 1, ..., r je třeba některé intervaly resp. varianty slučovat.
II. Jednoduchý test exponenciálního rozložení (Darlingův test)
H0: náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního rozložení.
Testová statistika
( )
2
2
M
S1n
K
−
= ≈ χ2
(n-1), když H0 platí.
Přitom M je výběrový průměr a S2
je výběrový rozptyl daného náhodného výběru.
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
III. Jednoduchý test Poissonova rozložení
H0: náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení.
Testová statistika
( )
M
S1n
K
2
−
= ≈ χ2
(n-1), když H0 platí.
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Příklad 1.: (viz př. 10.5.3. ze skript) Při parlamentních volbách získaly 4 nejsilnější strany
30%, 20%, 15% a 10% hlasů, zbytek hlasů byl rozdělen mezi ostatní strany. Při volbách do
obecního zastupitelstva v jedné obci získaly zmíněné strany (ve stejném pořadí) 1400, 900,
900 a 600 hlasů z 5000 odevzdaných hlasů. Na asymptotické hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu, že rozložení hlasů při parlamentních a místních volbách (v uvedené obci) je
stejné.
Příklad 2.: (viz př. 10.5.4. ze skript) Z 300 výrobků je 160 první jakosti, 110 druhé, 20 třetí a
10 čtvrté. Dodavatel se zavázal dodat výrobky v tomto složení: 50 %, 35 %, 12 %, 3 %. Na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že dodávka odpovídá kontraktu.
Příklad 3.: Za 2. světové války byl Londýn bombardován řízenými střelami. Jeho jižní část
byla rozdělena na oblasti o ploše 0,25 km2
a bylo zkoumáno, kolik řízených střel dopadlo na
každou z těchto oblastí.
Počet střel 0 1 2 3 4 a víc
Počet oblastí 229 211 93 35 8
Na asymptotické hladině významnosti testujte hypotézu, že počet řízených střel, které
dopadly na jednu oblast, se řídí Poissonovým rozložením. Úkol vyřešte
a) pomocí testu dobré shody,
b) pomocí jednoduchého testu Poissonova rozložení.
Příklad 4.: Bylo zkoumáno 43 automobilů téže značky a měřena vzdálenost (v tisících km),
kterou ujely, než se vyskytla první vážná porucha:
5 48 7 30 15 18 7 1 15 90 25 17 32
32 27 19 16 74 9 8 11 12 21 8 9 58
14 24 12 1 5 13 69 23 4 10 3 2 83
6 10 5
Pro úsporu času máte uveden průměr 20,2558 a rozptyl 506,4806. Na asymptotické hladině
významnosti testujte pomocí Darlingova testu hypotézu, že vzdálenost do první vážné
poruchy se řídí exponenciálním rozložením.