Cvičení 3: Základní pojmy matematické statistiky
Úkol 1.: Průzkum chování výběrového průměru a výběrového rozptylu
1. Vytvořte nový datový soubor o 103 proměnných a 100 případech. Pomocí programu
gener.svb, který si stáhnete z Učebních materiálů, se naplní prvních 100 proměnných 100
realizacemi náhodných veličin Xi ~ Rs(0,1), i = 1, …, 100, do proměnné v101 se uloží
pořadová čísla 1 až 100, do proměnné v102 (resp. v103) se uloží průměry (resp. rozptyly)
proměnných v1 až v100.
Zdrojový text programu gener.svb:
Option Base 1
Sub Main
Dim s As Spreadsheet
Set s = ActiveSpreadsheet
For i = 1 To 100
s.Variable(i).FillRandomValues
'do promennych v1 az v100 se ulozi nahodna cisla z intervalu(0,1)
Next i
s.VariableLongName(101) = "=v0"
'do promenne v101 se ulozi poradova cisla 1 az 100
s.VariableLongName(102) = "=mean(v1:v100)"
'do promenne v102 se ulozi prumery promennych v1 az v100
s.VariableLongName(103) = "=stdev(v1:v100)^2"
'do do promenne v103 se ulozi rozptyly promennych v1 az v100
s.Recalculate
End Sub
(Program se spouští pomocí modré šipky na panelu nástrojů.)
Proměnnou v101 přejmenujte na PORADI, v102 na PRUMER a v103 na ROZPTYL.
2. Graficky znázorněte hodnoty některé z proměnných v1, …, v100 (např. v1) a hodnoty
proměnné PRUMER.
Návod: Grafy – Bodové grafy – Typ grafu Vícenásobný – vypneme Lineární proložení –
Proměnné X PORADI, Y v1, PRUMER, OK, OK. Vidíme, že hodnoty proměnné v1 se
nacházejí mezi 0 a 1, zatímco hodnoty proměnné PRUMER se koncentrují v úzkém pásu
kolem 0,5. Znamená to, že průměr funguje jako těžiště dat - eliminuje příliš velké i příliš malé
hodnoty.
Bodový graf z více proměnných proti poradi
Tabulka1 103v*100c
Prom1
prumer
-20 0 20 40 60 80 100 120
poradi
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3. Vypočtěte průměr a rozptyl např. proměnné v1 a proměnné PRUMER. Průměr proměnné
v1 by měl být blízký 0,5, rozptyl 1/12 = 0,083. Průměr proměnné PRUMER by se měl blížit
0,5, zatímco rozptyl by měl být 100 x menší než 1/12, tj. 0,00083. Dále vypočtěte průměr
proměnné ROZPTYL. Měl by se blížit 1/12 = 0,083.
Popisné statistiky (uniform)
Proměnná Průměr Rozptyl
Prom1
PRUMER
0,536605 0,078676
0,503984 0,000783
Popisné statistiky (uniform)
Proměnná Průměr
ROZPTYL 0,083143
4. Nakreslete histogram pro proměnnou v1 a pro proměnnou PRUMER. První histogram se
blíží úsečce, druhý Gaussově křivce.
Hist ogram z Prom1
Tabulka1 103v*100c
0,0107 0,1197 0, 2287 0,3377 0,4467 0,5557 0,6647 0,7737 0,8827 0,9917
Prom1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Početpozorování
Histogram z prumer
Tabulka1 103v*100c
prumer = 100*0,0128*normal(x; 0,5029; 0,026)
0,4422 0,4551 0,4679 0,4808 0,4936 0,5065 0,5193 0,5321 0,5450 0,5578
prumer
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Početpozorování
Úkol 2.: Ilustrace nestrannosti výběrové distribuční funkce
1. Vytvořte nový datový soubor o třech proměnných a 1000 případech.
2. Do proměnné v1 uložte 1000 realizací náhodné veličiny s rozložením N(0,1) tak, že
v Dlouhém jménu použijte příkaz =vnormal(rnd(1);0;1)
3. Hodnoty proměnné v1 setřiďte podle velikosti: Data - Setřídit.
4. Proměnnou v2 transformujte tak, že v Dlouhém jménu použijte příkaz =v0/1000. Tím
získáme hodnoty výběrové distribuční funkce.
5. Do proměnné v3 uložte hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1). Do Dlouhého jména
napište příkaz =INormal(v1;0;1)
6. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, kde na osu x vyneste v1 a na osu y v2 a v3.
Bodový graf z více proměnných proti Prom1
Tabulka2 3v*1000c
Prom2
Prom3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Prom1
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Vidíme, že průběh výběrové distribuční funkce F1000(x) (modrá čára) je velmi podobný
průběhu distribuční funkce Ф(x) (červená čára).
7. Postup zopakujte pro rozsah výběru n = 100. Uvidíte, že průběh výběrové distribuční
funkce F100(x) se od průběhu distribuční funkce Ф(x) liší výrazněji.
Úkol 3.: Vlastnosti výběrového průměru z normálního rozložení
Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně
rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Najděte
pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů.
Návod:
X1, ..., X10 je náhodný výběr z N(72, 81). Počítáme P(M > 80), přičemž výběrový průměr M
má normální rozložení se střední hodnotou E(M) = µ = 72 a rozptylem D(M) =
10
81
n
2
=
σ
=
8,1. Tedy P(M > 80) = 1 - P(M ≤ 80) = 1 – Φ(80), kde Φ(80) je hodnota distribuční funkce
rozložení N(72; 8,1) v bodě 80.
Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o
jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme =1 – INormal(80;72;sqrt(8,1)).
Zjistíme, že 1 - Φ(80) = 0,00247005. Funkce INormal(x;µ;σ) počítá hodnotu distribuční
funkce rozložení N(µ,σ2
) v bodě x.
Úkol 4.: Výpočet mezí intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozložení
při známém rozptylu
Rychlost letadla byla určována v pěti zkouškách. Z jejich výsledků byl vypočten průměr
m = 870,3 m/s. Z dřívějších měření je známo, že rychlost letadla se řídí normálním
rozložením se směrodatnou odchylkou 2,1 m/s. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti
pro neznámou střední hodnotu rychlosti µ.
Upozornění: Meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu při
známém rozptylu se počítají podle vzorců: d = m -
n
σ
u1-α/2, h = m +
n
σ
u1-α/2.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a jednom případu. Proměnnou v1
pojmenujeme DM, v2 HM. Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme
=870.3-2.1*VNormal(0.975;0;1)/sqrt(5)
a do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme
=870.3+2.1*VNormal(0.975;0;1)/sqrt(5).
Dostaneme výsledek ( )1,872;5,868∈µ s pravděpodobností aspoň 0,95.