Nelineární dynamika a její aplikace Lenka Přibylová jaro 2016 isf INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ * Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu CR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.l.07/2.2.00/15.0203). evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost Obsah Dynamické systémy 5 Lineárni algebra - opakování 21 Spojité dynamické systémy 23 Lineárni systém - opakování 24 Nelineární autonomní systém 72 Diskrétní dynamické systémy 95 Lineární systém - opakování 96 Nelineární autonomní systém 126 Systémy závislé na parametrech, bifurkace 144 Jednoparametrické bifurkace ve spojitém případě 150 Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitní bod 151 Hystereze a náhlé skoky 171 Teorie katastrof 179 Další jednoparametrické bifurkace počtu singulárních bodů 192 Hopf ova bifurkace 196 Víceparametrické bifurkace 212 Redukce na centrální varietu 227 Jednoparametrické bifurkace v diskrétním případě 244 Bifurkace typu fold, sedlo-uzel 245 BBI Q 19 199 Bifurkace typu flip 248 Zdvojování periody a univerzalita 252 Deterministický chaos 256 Neimark-Sackerova bifurkace 282 Poincarého zobrazení a bifurkace cyklů 286 Chaos ve spojitých systémech 291 Model Lorenzova atraktoru 295 Literatura, software a applety 303 BBI Q 19 199 Dynamické systémy Definice: Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, <£>ŕ}, kde (T, +) je číselná grupa (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a <£>ŕ je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem ŕ G T definovaných jako zobrazení (p* : X —>► X, které zobrazuje počáteční stav xq G X na nějaký stav xt = <£>ŕx0 G X. V případě, že T = Z mluvíme o diskrétním dynamickém systému, je-li T = R mluvíme o spojitém dynamickém systému. Poznámka 1. Fakticky může jít o cokoliv měřitelného, co se mění v čase. Teplota hrnku kafe, kurz koruny, počet studentů v daném semestru... Definice: Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {T, X, tp1} splňující podmínku V>° = id, kde id je identita na X, tj. Vx G X : idx = x. Tato vlastnost říká, že systém spontánně nemění svůj stav. Poznámka 2. Touto podmínkou vylučujeme náhodné jevy, např. kurz koruny nebo počet studentů v daném semestru... i když prakticky vše je důsledkem toho, co již bylo... anebo tomu tak není? Z hlediska kvantové mechaniky je zase vše náhodné. Takže jde vlastně o náš přístup k věci. Definice: Autonomním dynamickým systémem rozumíme deterministický systém {T, X, <£>ř} splňující podmínku tj. Vx G X : (ft+sx = <£>ř(<£>sx), pokud jsou definovány obě strany rovnice. Tato vlastnost říká, že se „zákony evoluce" nemění během času. v_ Poznámka 3. Autonomní systémy jsou dány předchozími v čase měnícími se stavy, nikoliv samotným časem. Typickýcm spojitým příkladem je v čase měnící se stav x{t) podle obyčejné diferenciální rovnice x — f (x). Typickým diskrétním příkladem je v čase skokově měnící se stav x(n + 1) = f{x{n)). x(t) = x(t) + t x(t) = (x(t) + 1)2 / , i\ x(ri) x(n + l) = -y / , -i \ x(n) x{n + 1) = -5^ není autonomní je autonomní není autonomní je autonomní Mezi autonomní rovnice se lehce zahrnou i ty, které jsou vyššího řádu, tj. obsahují v případě diferenciálních rovnic i derivace vyššího řádu nebo v případě diferenčních rovnic členy posloupnosti závisí na konečném počtu předchozích členů. BBI Q 19 199 x (t) + x(t) +2x(t) = O můžeme zapsat jako systém X\{t) = x2(t) Xl(t) = —2xi(t) — X2(t), kde x — X\ a x — x2. Vektorové je to zápis '*i(t)\ = (f\{^{t\x2{t))\ = ( x2{t) M1)) \f2(xi(t),x2(t))J y-ix^t) - X2(t) tj. x = f (x), kde x = a f = (^j^j • Je—li funkce x lineární (jako v tomto případě), mluvíme o lineárni rovnici a lze jej zapsat maticové takto x = Ax. V našem případě je matice A = ^ ^ ^ V autonomním lineárním systému jsou prvky matice čísla. V obecném lineárním systému to mohou být funkce času. 5BI Cl 19 ias x (n + 2) + x (n + 1) + 2x(n) = O můžeme zapsat jako systém x\{n + 1) = x2{n) xi{n + 1) = —2xi(n) — x2{n), kde x (n) = X\{n) a x (n + 1) = x2{n). Vektorové je to zápis xi(n + l)\ = //i(xi(n),x2(^))A = ( x2(n) x2(n + 1)) \f2(xi(n),x2(n))J \-2x1(n) - x2(n) tj. x(n + 1) = f (x(n)), kde x = ^X|^|^ af = (j^J • Stejně jako ve spojitém případě mluvíme o lineární rovnici, pokud ji můžeme zapsat maticově jako x(n + 1) = Ax(n). Neautonomní systémy lze zapsat jako autonomní ve vyšší dimenzi: x{t) -x(t) +etx2(t) = 0 můžeme zapsat pomocí substituce x = x\, x = xi, t = X3 jako systém X\ — X2 ±2— X2 — eX3 x\ nebo vektorově x3 = 1 'fl(x1,X2,X3)\ í X2 f2(x1,x2,x3) = x2-eX3xl h{xXfX2,X3)) \ 1 tj. x = f (x), kde x = 5BI Cl 19 ias Podobně pro diskrétní systémy: x(n + 2) — x(n + 1) + nx2(n) = 0 můžeme zapsat pomocí substituce x\{n) = x(n), x2(n) = x(n + l), x3(n) —n jako systém x\{n + 1) = x2{n) xi{n + 1) = x2(n) ~ x$(n)x\{n) x3(n + 1) = x3(n) + 1 nebo vektorově *i(n + l)\ / fi(x1(n),x2(n),x3(n))\ / x2(n) x2(n + l) = l/2(*i(n),*2(tt)/*3(tt)) = x2(n) -x3(n)x?(n) x3(n + 1)/ \f3(xi(n),x2{n),x3(n))) \ x3(n) +1 M(n)\ //A tj. x(n + 1) = f (x(n)), kde x(n) = ^(n) a f = I /2 I • \x3(n); V/3/ BBI Q 19 199 /- Definice: Trajektorie s počátečním bodem xq G X je uspořádaná podmnožina fázového prostoru X {x G X : x = <£>ŕxo, Vř G T, pro které je <£>rxo definováno} V případě spojitého systému jde o orientované křivky v X, v případě diskrétního systému jsou to posloupnosti bodů v X. Fázovým portrétem dynamického systému rozumíme rozmístění trajektorií ve fázovém prostoru X. Trajektorie je průmětem grafu řešení počáteční úlohy v T x X do fázového prostoru X. Příklad. Nakreslete graf řešení a trajektorii rovnice x = — x s počátečním bodem (podmínkou) Xq = 1. Trajektorie diskrétního systému můžeme také zakreslovat pomocí tzv. pavučinového diagramu: Příklad. Nakreslete trajektorii x(n + 1) = jx(n) s počátečním bodem (podmínkou) x(0) = 1. Nakreslete ji v X i v T x X. Nakreslete také pavučinový diagram (x(n + l) versus x(n)). EEI Q Q OS Definice: Dynamický systém D\ — {T,Rn,<£>r} se nazývá topologicky ekvivalentní dynamickému systému D2 = {T,Rn,^ř}, jestliže existuje homeomorfismus h : Rn Rn, které zobrazuje trajektorie systému D\ na trajektorie systému D2, přičemž zacho-vává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. Poznámka 4. Homeomorfismus je invertibilní zobrazení, které je spojité a jehož inverzní zobrazení je také spojité. Poznámka 5. Trajektorie systému D\ se tedy dají jednoznačně přiřadit (i s orientací, resp. uspořádáním) k trajektoriím systému D2 tak, aby si vzájemně odpovídaly „sousední" body, lokální okolí. Nezajímají nás geometrické vzdálenosti a vztahy, ale topologické vlastnosti. Topologicky ekvivalentní spojitá dynamika v rovině: Topologicky ekvivalentní spojitá dynamika v rovině: Definice: Bod xq G X nazýváme singulárním bodem (nebo též rovnovážným, stacionárním, pevným bodem) dynamického systému, jestliže pro všechna t G T platí (pfx0 = x0. Definice: Cyklem rozumíme periodickou trajektorii L, která není singulárním bodem, splňující Vxq G L (fit+T°x0 = <£>řx0, pro nějaké Tq > 0, Vř G T. Nejmenší takové Tq nazýváme periodou cyklu L. Poznámka 6. V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v X. Cyklem diskrétního systému je konečná uspořádaná fc-tice bodů z X. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly. Poznámka 7. U diskrétního systému x(n + 1) = f (x(n)) mluvíme často o cyklu délky k — Tg, protože jde o uspořádanou fc-tici x(0),x(l),x(2), ...x(fc-l), pro kterou platí x(l) = f(x(0)), x(2) = f(x(l)), x(fc) = x(0) = f(x(fc— 1)). Uvědomme si navíc, že x(0) = f (x(* - 1)) = f (f (x(* - 2))) = • • • = fW(x(0)) a tedy x(0) je nutně pevným bodem dynamického systému x(n + l) = fW(x(n)). BBI Q 13 199 Definice: Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující x0GS ^ <£>řx0 G S Vř G T. Poznámka 8. Singulární bod i cyklus jsou invariantní množiny. Definice: Invariantní množina S se nazývá stabilní, jestliže VU D S libovolně malé okolí invariantní množiny existuje okolí V D S takové, že Vx G V a Vř > 0 platí ^x G U (tento typ stability nazýváme Ljapunovskou stabilitou), existuje okolí Uo D S takové, že ()(<£>ŕx, S) —>► 0 pro x G Uo a ř ^ oo, kde q je metrikou ve fázovém prostoru. Tento typ stability nazýváme asymptotickou stabilitou. Lineární algebra - opakování Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A £ Rn x n příslušné vlastnímu vektoru v £ Rn platí Av = A v, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - AI) = 0. Matice A má často v komplexním oboru n různých vlastních hodnot {Ai,..., An} a příslušné vlastní vektory {v^ ,..., v\n } tvoří bázi Cn. Matice T tvořená vlastními vektory (po sloupcích) pak splňuje (A, • • • 0 \ A T = T 0 '•. 0 {o • • • A„/ V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru zobecněné vlastní vektory Jde o vektor splňující Av = Av a další vektor w, který splňuje Aw = Aw + v. Pokud je násobnost vlastní hodnoty vyšší než dva, bude se takto vytvářet kaskáda zobecněných vlastních vektorů wz+i splňující Awz+i = Awz+i + wz-, která bude spolu s vektorem v tvořit bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. Lineární regulární transformace A i—T_1 AT převádí na komplexní Jordánův kanonický tvar. Reálný tvar s reálným blokem vektorů v a v reálnou a imaginární část u a w vektoru v = u + zw. matice T v tomto případě tvoří tzv. dostaneme, pokud použijeme místo komplexně sdružených Spojité dynamické systémy Nejprve budeme studovat deterministický autonomní dynamický systém, který je dán systémem diferenciálních rovnic: Definice: Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém X = f (x), (1) kde x £ X = Rn a vektorová funkce f : Rn —>► Rn je dostatečně hladká. Symbolem x rozumíme derivaci x podle času t £ T = R. Poznámka 9. Singulární body autonomního systému (1) splňují systém rovnic f (x) = 0. BBI Q |3J 133 Lineární systém - opakování Uvažujme lineární autonomní systém x = Ax, (2) kde x e X = Rn a A e Rnxn. Nechť A e C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A £ R je ř i—eAřv reálným řešením rovnice (2). • V případě A e R, které je fc-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou ř i—eAř ^ (z-y)*! /Z = 1/ • • - ^ reálnými řešeními rovnice (2), kde ví je systém fc zobecněných vlastních vektorů (Avi = Avi a Av; = Avz- + vz-_i pro z > 1). • V případě A = oc je vlastní vektor v = u±iwa reálnými řešeními rovnice (2) jsou pak ř i->> čař(coSjSí • u - sinjSí • w),ř ^ eař(sin/3í • u + cos j8ř • w). sol ci ia las V případě násobných komplexních vlastních čísel je situace složitější, ale analogická. Uvedená řešení jsou lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru řešení. Jejich lineární kombinace je také řešením (2). Maticové zobrazení ŕ i—O(r) těchto řešení se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému (2). Singulárním bodem systému (2) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud mají všechny vlastní hodnoty zápornou reálnou část. V případě, že má některá vlastní hodnota kladnou reálnou část, je počátek nutně nestabilní. V případě nulové vlastní hodnoty má systém (2) konstantní nenulová řešení (počátek tedy nemůže být asymptoticky stabilní), v případě ryze imaginárních vlastních hodnot existují periodická řešení (a také nemůže být počátek asymptoticky stabilní). Lineární diferenciální rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx^m\t) +am_1j(m-1)(ŕ) H-----\-aix(t) +a0x(t). V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_iAm_1 + • • • + uq. Poznámka 10. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f{t) = ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného reseni príslušne lineárni homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). BBI Q |3J 133 Polynom p (A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — AI) lineárního systému Xm(t) = -±(am-ixm(t) H-----hflo*i(í))/ kde Xi(ř) = x(t) Příklad . Dokažte uvedené tvrzení pro 0 = ax + b x + cx tj. ukažte, že kořeny p(A) jsou vlastní čísla Jacobiho matice jistého dvourozměrného lineárního systému. BBI Q 19 199 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému x\ — 4xx + 5x2 ±2 = —X\ — 2X2- Příklad. Najděte obecné v Řešení: řešení lineárního systému x\ — 4xx + 5x2 ±2 = —X\ — 2X2- Matice systému Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ ±2 4xi +5%2 — X\ — Ixi- Řešení: A = -1 -2 det(A - AI) = 4 — A 5 -1 -2 - A = A2 - 2A-3 = (A-3)(A + 1) = 0 Matice systému má vlastní čísla Ai = 3 a A2 = — 1. 5BI-El-IU l££ Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: 4 5 -1 -2/ \- A -1 1 5 -1 -5 A = det(A - AI) = Ai = 3 : X\ %2 4xi +5%2 — X\ — Ixi- 5 -2-A vi = = A2 - 2A-3 = (A-3)(A + 1) = 0 -1 a příslušné vlastní vektory splňují Avi = 3vi SBI-El-IM l££ Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: 4 5 -1 -2/ \- A -1 1 5 -1 -5 5 5 -1 -1 A = det(A - AI) = Ai = 3 : Ao = -1 : *1 X2 4xi + 5%2 —Xi — 2%2. 5 -2-A vi = v2 = = A2 - 2A-3 = (A-3)(A + 1) = 0 -1 1 -1 x = Tu x = Ax Tú = ATu Zaveďme vhodnou lineární transformaci. ^ EH El Q 133 x = Tu =>- x = Ax Tů = ATu ů = T_1ATu 3 O Matice systému bude v Jordánově tvaru ( _ ^ ), pokud T = (v1/v2). Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. BBI Q 13 133 x = Tu =^ Řešení: U\{t) = C\e , 1/2(0 = c2e • x = Ax Tú = ATu • u = T_1ATu úA _ (3 0\ ú2) [O -l) Ú\ = 3u\ Ú2 = — í/2 = C2e~l x = Tu x = Ax Tú = ATu ú = r!ATu úi\ _ Í3 O \ (u\ ú2) ~ \0 -l) \u2 ú\ — 3ui Ú 2 = —í/2 Řešení: U\{t) = Cie3t, 1*2(ŕ) = ŕ x = T 5cie3t + c2e t 3ŕ —t —C\e — c2e v I Řešení původního systému tedy dostaneme zpětnou transformací. 5BI-BI-IM l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = — X\ + 6x2 ±2 — 2xi + 3x2- Příklad. Najděte obecné v Řešení: řešení lineárního systému X\ — — X\ + 6x2 ±2 = 2x\ + 3x2- Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = — X\ + 6x2 ±2 = 2x\ + 3x2- v Řešení: = A2-2A-15= (A-5)(A + 3) =0 det(A - Aí) = -1 - A 6 2 3-A Najdeme vlastní čísla Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ — — X\ + 6x2 ±2 — 2x\ + 3x2- v Řešení: det(A - Aí) = Ai = 5 : -6 2 •1 — A 2 6 -2 6 3-A vi = = A2 -2A- 15 = (A-5)(A + 3) = 0 1 1 a příslušné vlastní vektory. ■ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = —X\ + 6x2 ±2 = 1X\ + 3X2- Řešení: det(A - Aí) = Ai = 5 : A? = —3 : -6 2 '2 2 •1 — A 6 2 3-A -2) Vl=(l ó) V2=(-l = A2 -2A- 15 = (A-5)(A + 3) = 0 a příslušné vlastní vektory. ssi—El—IM l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = —X\ + 6x2 ±2 = 1X\ + 3X2- Řešení: det(A - Aí) = -1 - A 6 2 3-A = A2 -2A- 15 = (A-5)(A + 3) = 0 -6 2 A2 = -3 : ^ Ai = 5 : 6 -2 > 6 6 5ř Vl = V2 = x = 1 -1 3t 1 1 3 -1 c\e — c^e -3t -3t v Řešení je násobkem matice složené z vlastních vektorů a vektoru exponenciál. 5BI-El-IU l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému x\ — 3xi — 2x2 ±2 = 2X\ — 1X2- Příklad. Najděte obecné v Řešení: řešení lineárního systému x\ — 3xi — 2x2 ±2 = 2X\ — l%2. Matice systému Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ ±2 3xi —2%2 1X\ — 1X2 Řešení: A = 3 -2 2 -1 det(A - AI) = 3 — A 2 -2 1 - A = A2-2A + 1 = (A-l)2 = 0 Matice systému má dvojnásobné vlastní číslo X\ = 1. SBI-El-IM l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: ±2 3xi— 2%2 2x\ — 1X2 A = 3 -2 2 -1 det(A - XI) = Ai = 1 : 2 2 3 — A 2 > -2 -2 -2 -1 - A = A2-2A + 1 = (A-l)2 = 0 vi = 1 1 s deficientním vlastním vektorovým prostorem. SBI-El-IM l££ Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ ±2 Řešení: A = 3 -2 2 -1 det(A - Aí) = 3-A -2 -1 - A Aí = 1 : 2 -2 2 -2 vi = 1 1 = A1V2 + vi : 2 -2 1 2-2 1 3xi— 2%2 2x\ — IX2 = A2-2A + 1 = (A-l)2 = 0 v2 = 1 1 2 Vytvoříme proto druhý vektor splňující AV2 = A1V2 + vi. Vektory {vi, V2} tvoří bázi tzv. zobecněného prostoru vlastních vektorů. 5BI-Cl-ILJ ISS x = Tu Tú = ATu x = Tu Tú = ATu ú = T_1ATu Pro T = (vi, V2) bude matice systému v Jordánově tvaru. ■ x = Tu =4> = ATu T_1ATu ^Násobením matic dostáváme: ^ T_1AT = -1 2 W3 -2\ /l 0W1 1 2 -2) {2 \)-\2 -2)\l \ 1 1 0 1 V případě, že by šlo o nedeficientní prostor vlastních vektorů a nevytvářeli bychom zobecněný vlastní vektor, byla by v pravém ^horním rohu Jordánovy matice nula._ x = Tu Tú = ATu T_1ATu = U 2 Systém se tentokrát nerozpadne na dvě samostatné rovnice, ale lze jej "zespodu vyřešit". BBI Q 13133^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ x = Tu Tú = ATu Řešení: u Tú = ATu • u = T"1 ATu - í1 ^ ú2) - [o l) Ú\ = U\ + IÍ2 Ú2 = í/2 U2 v / \ -f Rešení: w2(ŕ) = c2£ , dosazením do první rovnice máme Ú\—U\ — c2čŕ Jde o nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu. 5BI-BI-IM l££ x = Tu =>■ Tů = ATu ů = T_1ATu ú2J [O 1) {u2 Úl = Ui + IÍ2 Ů2 = U2 Řešení: 1*2 (ř) = C2č , dosazením do první rovnice máme ú\—u\ — C2el U\e — U\e = —j|— = C2- Můžeme ji řešit např. vynásobením faktorem e Alŕ nebo variací konstanty Násobení faktorem e~t bude rychlejší. x = Tu =>■ Tů = ATu ů = T_1ATu ů2) \0 l) \u2 Úi = Ui+ u2 Ú2 = U2 Řešení: u2\i) = , dosazením do první rovnice máme ú\—u\ — c^e1 U\e — U\e = —— = C2- Odtud u\ — {c\ + c2t)é BBI Q 19 199 x = Tu =4> Tú = ATu • u = T"1 ATu - í1 ^ ú2) - [o l) Ú\ = U\ + IÍ2 Ú2 = í/2 U2 v / \ -f Rešení: U2\t) — c^fŕ, dosazením do první rovnice máme ú\—u\ — C2el U\e — U\e = —— = C2- Odtud u\ — {c\ + C2Í)e t x = T (£)= (v„ v2> ((^f ) = (* H- c2t)e> (|) + C2e< Q Řešení původního systému dostaneme zpětnou transformací. J SBI-BI-IM l££ x = Tu =>■ Tů = ATu ů = T_1ATu ů2) \0 l) \u2 Úi = Ui+ u2 Ú2 = U2 Řešení: U2\t) — c^e , dosazením do první rovnice máme ú\—u\ — c^e1 U\e — U\e = —— = C2- Odtud u\ — {c\ + C2t)e t x = T ft)=<™ )((nfO=(c,+C2řy(0w (ci + c2ř + c2)eř (ci +c2t + hc2)eí) ' Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ — X\ — 4X2 X2 = X\ + %2- BBI Q 19 199 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ — X\— 4X2 ±2 = Xi + X2- v Řešení: Matice systému BBI Q 13 133 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ — X\ — 4X2 X2 = X\ + X2- v Řešení: A = 1 -4 1 1 det(A - Aí) = 1 - A -4 1 1-A = A - 2A + 5 = 0 Matice systému má komplexně sdružená vlastní čísla A^ = 1 ± 2i. sbi ^ei—19 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému X\ — X\ — 4X2 X2 = X\ + %2- v Řešení: A = 1 -4 1 1 Ai = 1 + li: det{A - Aí) = -li -4 1 -2i vi = 1 - A 1 2z" 1 -4 1-A = A - 2A + 5 = 0 a příslušné komplexní vlastní vektory splňují Avi = (1 + 2i)vi J sh-c'l-im »x Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: a = 1 -4 1 1 Ai = 1 + li: \i = l-2i: %2 = X\+ %2- det(A - Aí) = -2i -4 1 -2i 2i -4 1 2/ vi = v2 = 1 - A 1 2z" 1 -2z" 1 -4 1-A = A - 2A + 5 = 0 a Av2 = (1 — 2i) v2, jsou komplexně sdružené vi = v2 5BI-Cl-IU l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A = 1 -4 1 1 Ai = 1 + li: \i = l-2i: x = %i = X\ — 4X2 %2 = X\+ X2- det{A - XI) = -li -4 1 -2i 2i -4 1 2i (l+2í)ř (1—2í')ř VI = V2 = 1 - A 1 2Í 1 -2z" 1 -4 1-A = A - 2A + 5 = 0 v Řešení v komplexním oboru tedy najdeme již známou metodou vlastních vektorů, přitom C\,C2 £ C. sbi-Bl-ilj iss Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a V2 = u — zw. BBI Q 19 199 Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a V2 = u — zw. Pak platí x = (u + zw, u — zw) ^ c\é (cos 2t + i sin 2ŕ) C2^ŕ (cos 2t — i sin 2i) Řešení můžeme rozepsat. J 5bi-Cl-IM l££ Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — zw. Pak platí /cičŕ(cos2ŕ + zsin2ŕ)\ Vc2eŕ(cos2ŕ-zsin2ŕ)y = C\el cos 2ŕu — C\el sin 2ŕw + c^e1 cos 2ŕu — c^e1 sin 2ŕw +kief cos 2ŕw + zcičŕ sin 2ŕu — ic^é cos 2ŕw — ic^é sin 2ŕu x = (u + zw, u — zw) Upravujeme. Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — zw. Pak platí /cičŕ(cos2ŕ + zsin2ŕ)\ Vc2eŕ(cos2ŕ-zsin2ŕ)y = C\el cos 2ŕu — C\el sin 2ŕw + c^e1 cos 2ŕu — c^e1 sin 2ŕw +kief cos 2ŕw + zcičŕ sin 2ŕu — ic^é cos 2ŕw — ic^é sin 2ŕu = (ci + Cj)é cos2ŕu — (ci + c^e1 sin2ŕw +z(ci — C2)ef cos2ŕw + z(ci — C2)é sin2ŕu x = (u + zw, u — zw) Upravujeme. BBI Q 13 133 Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — zw. Pak platí x = , , . . x (C\e (cos2ŕ + zsm2ŕ)\ (u + zw,u —zw) f) . . _( v 7 Vc2^ (cos2ŕ-zsm2ŕ)y = C\é cos 2ŕu — C\é sin 2ŕw + c2eŕ cos 2ŕu — c2čŕ sin 2ŕw +kief cos 2ŕw + zcičŕ sin 2ŕu — zc2čŕ cos 2ŕw — zc2čŕ sin 2ŕu = (ci + c2)čŕ cos2ŕu — (ci + c2)čŕ sin2ŕw +z(ci — c2)čŕ cos2ŕw + i{c\ — c2)čŕ sin2ŕu = é (fci cos 2ŕ + fc2 sin 2ŕ)u + é (fc2 cos 2ŕ — k\ sin 2ŕ) w Konstanty fci = C\ + c2 a fc2 = z(ci — c2) jsou obecně komplexní, pokud jsou reálné, dostáváme reálné řešení x. Označme u = Re V| a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — zw. Pak platí í i • \ (^et x = (u + zw,u —zw) V1 c\é (cos 2t + i sin 2ŕ) c2čŕ (cos 2ř — z sin 2ř) = C\é cos 2řu — Cieř sin 2řw + c2eř cos 2řu — c2eř sin 2řw v Řešení se budou po spirále vzdalovat od počátku. Je zřejmé, že xi(0) = k\, x2(0) = fc2. = é (fci cos 2ř + fc2 sin 2ř)u + £ř (fc2 cos 2ř — fci sin 2í) w Maticově lze řešení zapsat jako x = TR fc2e kde T = (u, w) a R = f COS ^, S*n ^ j je matice rotace o úhel 2ŕ, v y y — sm2ŕ cos2ŕJ } 5Bi bi ia las Nelineární autonomní systém Nelineární úlohu (1) se singulárním bodem xq lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x = Ax + g(x), (3) kde A = Df (xq) je Jacobiho matice f v singulárním bodě xq a g(x) = o( ) pro 11 x 11 —0, což znamená, že g(x) llxIK° x v Často dokonce g(x) < k x 2 na = 0. na x < a (a > 0, k > 0). Je-li t i—>► O(ŕ) fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému tvaru (2), pak metodou variace konstanty dostáváme řešení úlohy (3) s počáteční podmínkou x(řo) = £ tvaru x(ř) = *(ŕ)*_1(ŕo)£+*(ŕ) /"rO-1(s)g(x(s))ds. sbi bi 19 ias V případě, že A má pouze vlastní hodnoty se zápornými reálnými částmi odtud lze (pomocí Gronwallova lemmatu) ukázat, že existují a, b, c > 0 takové, že každé řešení (3) s počáteční podmínkou x(0) = £, || £ || < b splňuje pro t > íq x(r) \\► —oo, můžeme analogicky odvodit Ljapunovovu větu pro nestabilní „odpuzující" singulární bod (tzv. repeler). V takovém případě musí všechna vlastní čísla splňovat Re A/ > 0. Definice: Singulární bod xq systému (1) nazveme hyperbolickým singulárním bodem, jestliže žádná z vlastních hodnot příslušné Jacobiho matice J = D f (xq) neleží na imaginární ose. Věta (Grobmanova-Hartmanova, věta o linearizaci): Systém (1) je v okolí svého hyperbolického singulárního bodu xq lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x = Df (xq)x. Důkaz naleznete např. v originálním článku a také v mnoha monografiích. Poznámka 12. Systémy tvaru (1) v okolí hyperbolických singulárních bodů xo a Yo Jsou tedy lokálně topologicky ekvivalení právě tehdy, když tyto singulární body mají stejný počet n_ a n+ vlastních hodnot s Re A < 0 a Re A > 0. Poznámka 13. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x = f (x), x = (Xl,X2)T G ÍR2/ kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = xq je singulární bod, tj. f (xq) = 0, a J = Df (xq) je příslušná Jacobiho matice v tomto bodě. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J - AI) = A2 - aX + A = 0, kde a = tr J = X\ + X^_ je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability singulárního bodu spojitého systému (1) v rovině jsou podmínky A = detj > 0 a cr = trj<0. Topologická klasifikace hyperbolického singulárního bodu v rovině: (n+,n_) Vlastní hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) *■-—* uzel stabilní ohnisko J -<-é-► sedlo nestabilní (2,0) <-9+^—► uzel nestabilní ohnisko Příklad . Najděte vlastní čísla a x = y = v okolí jeho singulárního bodu. podle nich klasifikujte systém x + y2 —y + x — 2y2 Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém i 2 x = x + y ý = -y + x - 2y2 v okolí jeho singulárního bodu. v Rešení: Singulární body jsou dva 0,0 a — 1 /9, — 1 /3]. Z nulovosti pravé strany první rovnice máme x = — y , což dává po dosazení do pravé strany druhé rovnice -y-y2-2y2 = -y(l + 3y) = 0. Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém i 2 x = x + y ý = -y + x - 2y2 v okolí jeho singulárního bodu. v Řešení: Singulární body jsou dva [0,0 J = Df(*,y)=(j ), a — 1 /9, — 1 /3]. Jacobiho matice je Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém i 2 x = x + y ý = -y + x - 2y1 v okolí jeho singulárního bodu. v Rešení: Singulární body jsou dva [0,0 a [—1/9,-1/3]. Jacobiho matice je J = Df(*,y)=(j _12^4y),ij.J(0,0)= (j ^ Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x — x + y ý = -y + x - 2y2 v okolí jeho singulárního bodu v Rešení: Singulární body jsou dva [0,0 a [—1/9,-1/3]. Jacobiho matice je J = Df(*,y)=(j _12^4y),ij.J(0,0)= (j det(J - AI) = -1 -4y 1-A 0 1 -1-A = -(l-A)(l + A)/ Vlastní čísla splňují det(J — AI) = 0 sbi-bi-im l££ Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x — x + y ý = -y + x - 2y2 v okolí jeho singulárního bodu v Rešení: Singulární body jsou dva [0,0 a [—1/9,-1/3]. Jacobiho matice je J = Df(*,y)=(j _12^4y),ij.J(0,0)= (j det(J - AI) = -1 -4y 1-A 0 1 -1-A = -(1 - A)(l + A), [0,0] je SEDLO ] Ai = 1 > 0, A2 = -1 < 0 H8ľ sbi—bi—ia ': v) V1 3/ 1 1 V1 3 det(J - AI) = 1 --A 1 = (1-A)( A) + -=A2 A + l, Vlastní čísla splňují det(J — AI) = 0 sei-El-im iss 1 1 n-\'-\) = det(J - AI) = 1 1, 9'~3- 1 --A = (1-A)(| A) + | = A — -A + 1, je NESTABILNÍ OHNISKO. 1 1 n-\'-\) = det(J - AI) = 1 1, 9'~3- 1 3"A = d-A)(| A) + ^ = A2--A + 1, je NESTABILNÍ OHNISKO. V programu XPPAUT spustte přikladl .ode V tomto okamžiku shrňme informace pro spojitý autonomní systém. Na nelineární systém můžeme v okolí hyperbolických singulárních bodů hledět jako na mírně deformovaný lineární systém (mluvíme o tzv. perturbovaném systému), jehož chování se od nelineárního nijak kvalitativně neliší. Pro stabilitu či nestabilitu singulárního bodu jsou podstatná znaménka reálné části vlastních hodnot matice (pouze !!!) prvních parciálních derivací funkce /, tzv. Jacobiho matice. Oscilace jsou způsobeny komplexními vlastními hodnotami. Nic nevíme o situaci, kdy vlastní hodnoty mají v singulárním bodě nulovou reálnou část, tj. v případě, kdy nejde o hyperbolický singulární bod. BBI q |3j 133 Model Michaelis-Mentenové, enzymatická kinetika Chemické a biochemické reakce je vhodné popisovat pomocí diferenciálních rovnic. Elementární reakce podléhají kinetické rovnici, která popisuje rychlost, se kterou interagují dvě látky a vytvářejí třetí: a + b\c Koncentrace látek se značí v hranatých závorkách a uvedenou reakci můžeme popsat rovnicí kde derivace koncentrace [C] je okamžitá změna koncentrace [C], tedy rychlost, s jakou je tvořen produkt reakce. Konstanta k je rychlostní konstanta, která vlastně konstantou není - závisí např. na teplotě nebo homogenitě směsi. Budeme ale předpokládat, že se teplota nemění a látky jsou dobře promíchané. BBI q |3j 133 Většina biochemických reakcí probíhá oběma směry: A + B^C k- Změna koncentrace [A] pak splňuje *$ = -k+[A][B]+k-[C\. Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic. Enzymy E jsou katalyzátory chemických reakcí, při kterých pomáhají ze substrátu S vytvořit produkt P, přičemž z reakce vycházejí samy v nezměněné formě. Enzym Komplex enzym-substrát E + S +± C%E + P BBi q q rag Kinetické rovnice reakcí tedy můžeme popsat následujícími diferenciálními rovnicemi: m = k-M - hm], dt d\E dt d[C] dt d[P] dt = (fc_1+fc2)[C]-fc1[S][E]/ = kilSM-iki + k-^C], = k2[C}. Navíc předpokládáme, že produkt P okamžitě odebíráme, aby nešel do zpětné reakce. Je evidentní, že platí d[E] d[C] _ n dt tj. [E] + [C] = čo ]e počáteční koncentrace enzymu, [E] tedy můžeme eliminovat. Rovnici produktu můžeme oddělit a integrovat zvlášť. Označme [S] = s a [C] c. Úpravou tedy dostáváme dvě diferenciální rovnice: c s k-\c — kis(eo — c), kis(eo - c) - (k2 + k-i)c s počátečními podmínkami c(0) = 0as(0) =Sq >> £o- Příklad. Dokažte, že počátek je asymptoticky stabilní singulární bod. Příklad. Nakreslete fázový portrét a graficky analyzujte systém a nakreslete přibližně tvar řešení s uvedenou počáteční podmínkou. Příklad. Prozkoumejte model v programu XPPAUT. Spusťte XPPAUT a otevřte soubor MichaelisMenten.ode. Prostudujte článek o modelu diety. Prozkoumejte model v programu XPPAUT. Diskrétní dynamické systémy Definice: Autonomním systémem diferenčních rovnic rozumíme systém x(n + l) = f(x(n)), (4) kde x(n) G X = Rm a vektorová funkce f : Rm -> Rm je dostatečně hladká. Poznámka 14. Pevné body xq autonomního systému (4) splňují systém rovnic f (x0) = x0. Lineární systém - opakování Uvažujme lineární diferenční autonomní systém x(n+ 1) = Ax(n), (5) kde x(n) G Rm, A G Rmxm, n G N0 s počáteční podmínkou x(0) = x0. Odtud x(n) = Anxg. Nechť A G C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A G R je x(n) = Anv reálným řešením rovnice (5). • V případě A G R, které je fc-násobným kořenem charakteristického polynomu se zobecněnými vlastními vektory ví, i = 1,..., k, jsou 1 _i^iľll ^'ví x(n) = ^ l+] Ji^Jy. /z = 1/ • • • ^ reálnými řešeními rovnice (5). V případě \ = otázifi, q> = arctg je vlastní vektor v = u ± i w a reálnými řešeními rovnice (5) jsou pak 5bi Cl 19 ias x(n) = |A|n(cos (pn • u ±sin (pn • w),x(n) = |A|n(sin | A21 > • • • > | Am |. Protože xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci nezávislých vlastních vektorů {vAl,..., vAm } (tvoří bázi): *0 = fclvAi + fav\2 H-----h fcmVAm, můžeme řešení x(n) zapsat obdobně jako v následujícím případě různých vlastních hodnot vytknutím A^ takto x(n) = An(fcivAl + fc2vA2 + • • • + ^vAJ = ^iAívAl + k2^2 VA2 + • • • + ^A>Affl Pevným bodem systému (5) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud | Ai | < 1. V případě | Ai | > 1 je počátek nutně nestabilní. Je-li | Ai | = 1, nemůže být počátek asymptoticky stabilní. Lineární diferenční rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx{n + ní) + am_\x{n + m — 1) + • • • + aox(n). V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_iAm_1 + ---+#o* Poznámka 15. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f(t) — ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného reseni príslušne lineárni homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). BBI q |3j 133 Polynom p(A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — XI) lineárního systému xi(n + l) = xj_{n), Xm-i(n + l) = xm{n), xm(n + 1) = -^(am-ixm{n) H-----h a0*iO)), kde x\{n) = x(n). BBI Q 19 199 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Xi(n + 1) = %i(n) + \%2(n) X2{n + 1) = x\(n) + \%2(n). BBI Q 19 199 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému xi(n + l) = Xi(n) + ^X2(n) x2(n + l) = xi(n) + ^x2(n). v Řešení: Matice systému Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: Xi(n + 1) = x\(n) + \x2(n) X2(n + 1) = Xi(n) + ix2(n). A = 1 i 1 2 1 2 det(A - AI) I \ 1 1 2 5 - A = A2-|A + 1 = (A-2)(A-i) =0 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi(n + 1) = x\(n) + \x2(n) X2(n + 1) = xi(n) + §X2(n) Řešení: A = 1 i 1 2 1 2 det(A - AI) A 2 : -1 1 — A 1 1 2 1 -i 1 2 1 2 5 - A vi = = A2- 1 2 §A + 1 = (A-2)(A- i) =0 a příslušné vlastní vektory splňují Avi = 2v\ SBI-El-IU l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: Xi(n + 1) = x\(n) + \x2(n) X2(n + 1) = xi(n) + §X2(n) A = 1 i 1 2 1 2 det(A - AI) A 2 Xo = l -1 1 — A 1 1 2 1 -i 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 5 - A = A2- §A + 1 = (A-2)(A- i) =0 vi = 1 2 v2 1 -1 x = Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) Zaveďme vhodnou lineární transformaci. x = Tu =^ x(n + l) Tu(n + 1) u(n + l) Ax(n) ATu(n) T_1ATu(n) 2 O Matice systému bude v Jordánově tvaru I i ], pokud T = (vi,v2). o * x = Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) u\{n + \)\ _ (2 0\ (u\{n) Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. J x = Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) u\{n + \)\ _ (2 0\ (u\{n) u2(n + l)J ~ \0 iy \u2(n) u\{n + \) = 2u\{n) U2(n + 1) = \u2{n) Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. J x = Tu x(n + l) Tu(n + 1) u(n +1) fUl(n + l)\ \u2(n + l)J u\{n +1) u2(n +1) Řešení: u\{ri) = c\2n, u2(n) = c2(j) Ax(n) ATu(n) T-1ATu(n) /2 0\ /ttl(«)\ Vo ^Uw 2u\{n) \u2{n) x = Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Mi(n + 1)\ = /2 0\ /mi(n) u2(n + l)J V° 2/ U(^) wi(n + l) = 2u\{n) u2(n + l) = \u2(n) x = T Řešení: wi(n) = Ci2n, 1*2 (?0 = ^2(5) ci2w + c2(i) Cl2"+1-c2(I) )=^^(Ä=Cl2"(2)+^)"(-1l V I Řešení původního systému tedy dostaneme zpětnou transformací. 5BI-BI-IM l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému Xi(n + 1) = — 4*i (n) + 9%2{n) xi(n + \) = — 4*i (n) + &X2(n). BBI Q 19 199 Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému XiO + 1) = -4*i (w) +9x2(n) x2(n + l) = -4x1(n) + 8x2(n). v Řešení: Matice systému Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému xi(n + l) = x2(n + l) = Řešení: A = -4 9 -4 8 det(A - AI) = 4-A 9 -4 8-A —Ax\{n) + 9x2(n) —Ax\{n) + Sx2(n) = A2 - 4A + 4 = (A - 2)2 = 0 Matice systému má dvojnásobné vlastní číslo X\ = 2. SBI-El-IM l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému xi(n + l) = x2(n + l) = Řešení: A = -4 9 -4 8 det(A - AI) = Ar = 2 : -6 -4 ■4-A 9 -4 8-A ó) Vl=l2 —4*i (n) + 9%2{n) —4xi(n) + 8*2 (ft) = A2-4A + 4= (A-2)2 = 0 s deficientním vlastním vektorovým prostorem. SBI-El-IU l££ Příklad. Najděte obecné řešení lineárního systému xi(n + l) = x2(n + l) = Řešení: A = -4 9 -4 8 det(A - AI) = Ar = 2 : Av2 = X\v2 + vi : -4-A 9 -4 8-A -6 9\ Í3 -4 6) Ví={2 -6 9 3 -4 6 2 —Ax\{n) + 9x2(n) —Ax\{n) + Sx2(n) = A2 - 4A + 4 = (A - 2)2 = 0 v2 = Vytvoříme proto druhý vektor splňující Av2 = X\v2 + v\. Vektory {vi, V2} tvoří bázi zobecněného prostoru vlastních vektorů. d 19—ias x = Tu =^ Tu(n + 1) = ATu(n) Zaveďme vhodnou lineární transformaci. | ppi q rag x = Tu Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Pro T = (vi, V2) bude matice systému v Jordánově tvaru. ■ x = Tu =^ Tu(n + 1) u(n + l) Mi(n +1) u2(n +1) ATu(n) T_1ATu(n) 2 A /Mi(n) O 2J \u2(n) ''Násobením matic dostáváme: 1 -l\ f-4 9\ [3 1\ _ / 0 1\ (3 1 -2 3 / 1-4 8/ V2 lj ~ 1-4 61 V2 1 T_1AT = 2 1 0 2 V případě, že by šlo o nedeficientní prostor vlastních vektorů a nevytvářeli bychom zobecněný vlastní vektor, byla by v pravém horním rohu Jordánovy matice nula. x = Tu Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Mi(n + 1)\ = /2 l\ /«i(n) u2(n + l)) ~ \0 2 J \u2(n) u\{n + l) = 2ui(n)+u2(n) u2(n + l) = 2u2(n) Systém se tentokrát nerozpadne na dvě samostatné rovnice, ale lze jej "zespodu vyřešit". EBI Q 13 133 x = Tu ==> Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + 1) = T_1ATu(n) /ui(n + l)\ /2 l\ /Ml(n)\ V«2(« + l)>/ V° V W(»)J u^n + l) = 2«1(n)+M2(n) «2(n + l) = 2u2(n) ■v Řešení: u2{n) = C22n, x = Tu =>- Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Mi(n + 1)\ = (2 l\ (ux(n) u2(n + l)) {O 2) \u2(n) u\(n + l) = 2u\(n) + u2(n) u2(n + l) = 2u2(n) ■V Řešení: u2{n) = c^X1, dosazením do první rovnice máme u\{n + 1) — 2u\{n) = c22 n Jde o nehomogenní lineární diferenční rovnici 1. řádu. Můžeme ji řešit např. vynásobením faktorem 2~n nebo variací konstanty. x = Tu =>- Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Mi(n + 1)\ = (2 l\ (ux(n) u2(n + l)) {O 2) \u2(n) u\(n + l) = 2u\(n) + u2(n) u2(n + l) = 2u2(n) ■V Řešení: u2{n) = c^X1, dosazením do první rovnice máme u\{n + 1) — 2u\{n) = c22 n mi (n + 1)2"" - 2mi(m)2-m = - fÉ? = = c2 Násobení faktorem 2 " bude rychlejší. j SĚĚ-BI-l>J »X x = Tu ==> Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T-1ATu(n) fUl(n + l)\ [2 l\ fUl(n)\ \u2(n + l)J \0 2) \u2(n)J u\(n + l) = 2u\(n) + u2(n) U2(n + 1) = 2u2(n) Ul(n + l)2~n - 2Ul(n)2-n = - §^ = c2. Odtud — ci + c2nr tj- Ul(n) = {ci+c2n)2n~1 Posloupnost w{n) — -r^rr posloupnost s diferencí c2. má konstantní diference, je to lineární BBI Q 19 199 x = T I (c1 + c1n)2«-1 {-A +c22 (V!,v2) ^ + Ccp ift —1 n~l 1 3A + c22n (\ Řešení původního systému dostaneme zpětnou transformací. J 5BI-BI-IM l££ »=T ft)=<™) ((CI +S")2"1= («.+^g)+^(l)-f\++^,++y)- Nelineární autonomní systém Nelineární úlohu (4) s pevným bodem xq lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x(n + 1) = Ax(n) + g(x(n)), kde A = Df (xq) je Jacobiho matice f v singulárním bodě xq a (6) na g(x) = o(|| x II) pro || x ||—>► 0, často dokonce || g(x) ||< k || x | x || < a {a > 0, k > 0). Podobně jako pro spojitý systém lze pomocí diskrétní analogie Gronwallova lemmatu ukázat, že v případě, že A má pouze vlastní hodnoty s absolutní hodnotou menší než 1, existují 0 < a < 1 ab,c > 0 takové, že každé řešení (6) s počáteční podmínkou x(0) = £, || £ || < splňuje pro n > Uq xO) ll< c II £ a n—ľiQ Dostáváme tedy analogii Ljapunovovy věty pro diskrétní případ, tedy následující tvrzení: Věta (analogie Ljapunovovy věty): Uvažujme systém (4) a jeho pevný bod xq. Označme J = D f (xq) Jacobiho matici v bodě xq. Pak xq je stabilní, jestliže všechna vlastní čísla Ai, A2,..An matice J splňují |A/| < 1. (Takový pevný bod nazýváme atraktorem.) Definice: Pevný bod xq systému (4) nazveme hyperbolickým pevným bodem, jestliže žádná z vlastních hodnot příslušné Jacobiho matice J = Df (xq) nemá jednotkovou velikost. Věta (analogie Grobmanovy-Hartmanovy věty o linearizaci): Systém (4) je v okolí svého hyperbolického pevného bodu xq lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x(n + l) = Df(x0)x(n). Poznámka 16. Fázové portréty dvou systémů tvaru (4) v okolí hyperbolických pevných bodů xq a yo jsou lokálně topologicky ekvivalení právě tehdy, když tyto pevné body mají stejný počet m_ a ra+ vlastních hodnot s | A| < 1 a |A| > 1. BBI q |3j 133 Poznámka 17. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x(n + l) = f(x(n)), x = (x1,x2)T e R2, kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = xq je pevný bod zobrazení /, tj. f(xo) = xq, a J = Df(xo) je příslušná Jacobiho matice. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J - AI) = A2 - a\ + A = 0, kde a = tr J = Ai + A2 je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability pevného bodu diskrétního systému (4) v rovině jsou podmínky A 1 -cr + A 1+cr + A I detj| < 1, 1 - trj + detj > 0 1 + trJ + detJ > 0. Poznámka 18. Dostali jsme zcela analogické výsledky jako ve spojitém případě. Nelineární systém můžeme v okolí hyperbolických pevných bodů vnímat jako mírně deformovaný lineární systém, jehož chování se od nelineárního nijak kvalitativně neliší. BBI q |3j 133 Topologická klasifikace hyperbolického pevného bodu v rovině: vlastní hodnoty fázový portrét stabilita (0,2) uzel ohnisko stabilní 1,1, sedlo nestabilní (2,0) uzel • ^ • ohnisko •<ě nestabilní Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r £ (0,1). Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná ogistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r £ (0,1) v Řešení: Pevné body jsou dva 0,0 a r—1 r—1 r ' r J * Z druhé rovnice máme y = x, což dává po dosazení do první rovnice rx(l — x) = x. Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r £ (0,1). v Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a . Jacobiho matice je J = Df(»,y)=(r(1-J') ""), BBI q |3j 133 Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r £ (0,1). v Řešení: Pevné body jsou dva 0,0 a ^r-, ^—jr-] ■ Jacobiho matice je r 0 ] = dí(x,y)=^\ y] orX),tj.J(0,0)= ([ 0 ' Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r G (0,1). v Řešení: Pevné body jsou dva 0,0 a r—1 r—1 r / r ] = dí(x,y)=^\ y] orX),tj.J(0,0)= . Jacobiho matice je r 0\ OJ' det(J - AI) = r - A 0 1 -A = -A(r- A), Vlastní čísla splňují det(J — AI) = 0 SBI-El-IM l££ Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n + l) = rx(n)(l — y(n)), y(n + l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r £ (0,1). v Řešení: Pevné body jsou dva 0,0 a r—1 r—1 r / r ] = dí(x,y)=^\ y] orX),tj.J(0,0)= . Jacobiho matice je r 0\ OJ' det(J - AI) = r - A 0 1 -A = -A(r - A), [0,0] je STABILNÍ UZEL. bei q q rag J( r-1 r^l\ (1 > r ) \l det(J - AI) = 1 1-r 0 1-A 1-r 1 -A = A2 - A - (1 - r), Vlastní čísla splňují det(J — AI) = O SBI-El-im l££ r—l r—l J(^ det(J - AI) = r—l r—l 1 l-r O 1-A l-r 1 -A = A2 - A - (1 - r), je NESTABILNÍ (sedlo). Poznámka 19. Proč pro spojitý případ je u vlastních hodnot kritickou mezí Re A = 0 a pro diskrétní |A| = 1? Uvažujme nejjednodušší lineární diferenciální rovnici s vlastní hodnotou A X — /\-X • Jejím řešením je x (i) — ceAt = c(eAy. Tato funkce bude konvergovat k počátku, pokud |čA| < 1, resp. Re A < 0. Pro opačné nerovnosti bude divergovat. Analogická lineární diferenční rovnice s vlastní hodnotou A je x{n + 1) = Ax(n). Jejím řešením je x (ti) = cXn. Tato posloupnost bude konvergovat k počátku, pokud |A| < 1 a pro opačnou nerovnost bude divergovat. BBI Q 19 199 Co se stane s trajektoriemi v okolí singulárního bodu, který není hyperbolický, je těžké říct. Rozhodně nám na odpověď na tuto otázku nestačí znát pouze první derivace funkcí popisujících dynamiku. Ukazuje se, že je situace ještě daleko složitější, než by se na první pohled mohlo zdát. Nelineární perturbace mohou v okolí singulárních bodů ovlivňovat nejenom jejich stabilitu, ale mohou být původci nelineárních jevů, které jsme zatím neviděli. Nelineární dynamika může vysvětlovat vznik limitních cyklů (v ekonomii modelovat vznik endogenních hospodářských cyklů, v biologii cykly populací predátora a kořisti), hysterezi a bistabilní stavy (v enzymatické kinetice modeluje biochemické procesy dělení buňky, v neuroscience modeluje excitabilitu neuronů, v populační biologii jevy nenadálých přemnožení apod.), dále např. vznik chaotického chování a citlivosti na počáteční podmínky (v modelech počasí, populačních modelech nebo modelech srdečního rytmu). BBI q |3j 133 Všechny tyto modely mají společné to, že v "běžné"situaci jsou ustáleny právě do stabilního stavu, stabilního singulárního bodu a vychýlení z počátečních podmínek nebo malá změna parametrů systému toto nijak kvalitativně neovlivní. V situaci, kdy tyto "běžné"hodnoty parametrů opustíme, může dojít (a ve výše uvedených modelech také dochází) ke kvalitativní změně chování dynamického systému. Tato změna se nazývá BIFURKACE DYNAMICKÉHO SYSTÉMU. BBI Q 13 193 Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x = f(x,£), (7) kde x G X = Rm je vektor proměnných, e G R^ je vektor parametrů a vektorová funkce f : Rm xR^ Rm je dostatečně hladká. Jestliže f (xq,£o) = 0/ má systém (7) singulární bod xq pro parametr £ = £() a linearizovaný systém v tomto bodě je ú = Df(x0,£0)u, kde Df (xq,£o) značí Jacobiho matici v bodě xq pro parametr e = £q. Je-li pro £o singulární bod xq hyperbolický, je lineární transformace Df (xq,£o) : ^m ~~^ ^m invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně existenci a jednoznačnost křivky £ i—>► j8(e), která splňuje j8(£q) = xq a f {fi{e),e) = 0, tedy j8(e) odpovídá singulárnímu bodu pro parametr £. Navíc, pokud D f (xq,£o) má ra+ a ra_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí, bude mít v okolí £q Jacobiho matice Df {fi{e),e) stejný počet ra+ a ra_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí. Uvažujme systém diferenčních rovnic s parametrem tvaru x(n + l) = f(x(n),e), (8) kde x G X = Rm je vektor proměnných, e G R^ je vektor parametrů a vektorová funkce f : Rm xR^ Rm je dostatečně hladká. Jestliže f (xq,£o) = x0/ má systém (8) pevný bod xq pro parametr e = £q a linearizovaný systém v tomto bodě je u(n + l) = Df(x0,£0)u(n), kde Df (xq,£o) značí Jacobiho matici v bodě xq pro parametr e = £q. Je-li pro £o pevný bod xq hyperbolický, je lineární transformace Df (xq,£o) ~~ I : ^m ~~^ ^m invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně existenci a jednoznačnost křivky £ i—>► j8(e), která splňuje j8(£q) = xq a f {fi{e),e) = j8(e), tedy j8(£) odpovídá pevnému bodu pro parametr £. Navíc, pokud D f (xq,£o) má ra+ a ra_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než 1, bude mít v okolí £q Jacobiho matice Df {fi{e),e) stejný počet ra+ a m_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než 1. Hyperbolický rovnovážný bod bude mít tedy pro parametry £ dostatečně blízké £q stejné kvalitativní vlastnosti (stabilitu, nestabilitu, dimenze stabilní a nestabilní variety). V okolí hyperbolického rovnovážného bodu závislého na parametru je tedy tento systém tzv. strukturálně stabilní, tj. perturbovaný systém je s ním lokálně topologicky ekvivalentní. V případě, že má Jacobiho matice Df (xq,£o) nějakou vlastní hodnotu s nulovou reálnou částí ve spojitém případě nebo s velikostí rovnou 1 v diskrétním případě (rao ^ 0), není zaručena existence ani jednoznačnost křivky j8(£), tj. při perturbaci může dojít k zániku rovnovážného bodu (v každém okolí £q), nebo k vzniku nové větve rovnovážných řešení (odtud vznikl název, rozvětvení = bifurkace) a samozřejmě při přechodu £q může dojít ke změně stability, dimenze stabilní a nestabilní variety, tedy obecně k lokální kvalitativní změně chování systému. Definice: Lokální bifurkací systému (7) resp. (8) v okolí rovnovážného bodu (xq,£o) s kritickou hodnotou parametru e — £q rozumíme výše uvedenou kvalitativní změnu dynamiky v okolí kritické hodnoty £q, tj. fázové portréty v okolí singulárního bodu xq při přechodu přes bifurkační parametr £q nejsou lokálně topologicky ekvivalentní. Poznámka 20. V okolí nehyperbolického singulárního bodu, kde dochází k bifurkaci, je systém strukturálně nestabilní. BBI q |3j 133 Jednoparametrické bifurkace ve spojitém případě V následujících kapitolách se zblízka podíváme na situace, kdy se chování spojitého systému lokálně kvalitativně mění právě díky nehyperbolicitě singulárního bodu. Půjde o bifurkace závislé na změně jednoho parametru, proto mluvíme o jednoparametrické bifurkaci, někdy o bifurkaci kodimenze jedna. V prostoru k parametrů je totiž taková bifurkační hranice oddělující od sebe strukturálně stabilní oblasti (k — 1) - rozměrnou varietou, má tedy kodimenzi 1. BBI q |3j 133 Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitní bod Uvažujme diferenciální rovnice s parametrem tvaru x = e - x2, x e R, e G R. (9) Singulární body splňují f (x, e) :— e — x2 — 0, tj. leží na křivce e = x2. Pro e < 0 systém (9) nemá žádný singulární bod, pro e = 0 je singulární bod Xq = 0 a pro £ > 0 jsou singulární body dva x = Parametr e = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod (xq, Sq) = (0,0) je tzv. limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D/(0,0) = 0. Bifurkační diagram bifurkace typu fold: Křivka odpovídající stabilnímu singulárnímu bodu se zakresluje plnou čarou (plný bod), nestabilnímu bodu pak čárkovaně (prázdný bod). r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f{x,oi), xGR, ol G R, (10) kde / je hladká funkce, má pro ol = 0 singulární bod x = 0 a A = /r(0,0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /**(0,0) ^0 /«(0,0)/0 podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je (10) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace ý = ±e±y Bifurkace tohoto typu (fold) se nazývá také bifurkace sedlo-uzel. Systém (9) je tzv. normálním tvarem pro bifurkaci sedlo-uzel. Znaménko fXx(0,0) pak určuje znaménko ux2 v normálním tvaru, znaménko /a(0,0) určuje znaménko u e. Každá jednoparametrická diferenciální rovnice tvaru (10) splňující podmínky věty je lokálně topologicky ekvivalentní s jejím normálním tvarem. Ti, kteří chtějí vědět, jak najít onen neznámý homeomorfismus z definice topologické ekvivalence, klikněte ZDE. Podmínka nedegenerovanosti zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace, podmínka transverzality zaručuje, že při přechodu parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní změně (vzniku či zániku singulárních bodů). Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě jednu vlastní hodnotu s nulovou reálnou částí, a to A = 0, hledáme tedy det J = 0. Jednoduchým vícerozměrným případem je dvourozměrný systém 2 — C- i/V , jehož centrální varieta je osa x, jejíž dynamika je výše popsána, a osa y je stabilní jednorozměrnou varietou. Při přechodu přes bifurkační hodnotu parametru e = 0 tedy dochází ke kvalitativní změně - typu sedlo-uzel. Odtud název bifurkace. e< 0 e = 0 e>0 Animace. Model výlovu Uvažujme konstantně lovenou populaci (např. tuňáků) modelovanou logistickou rovnicí x = rx(l — j) — h = f (x,h) s mírou růstu r > 0, výlovem h > 0 a kapacitou prostředí K > 0. Výlov /z je parametrem, který ovlivňuje existenci rovnovážného stavu x* K±Jg_hK Bifurkace typu fold nastává v případě, že pro singulární bod v kritické hodnotě parametru platí fx(x*,h*)=r-%x* = 0, tj. pokud platí A 2 / 5BI Cl 19 ias což je právě splynutí singulárních bodů X\ a x2 v jediný. To nastává pro kritickou hodnotu parametru h: h* — ľK Protože fxx = — jr 7^0a//z = —1^0, jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzality bifurkace typu fold. Pokud výlov překročí tuto prahovou hodnotu /z*, populace nutně vymře. Příklad. Analyzujte model v programu Matcont. BBl Q 19 199 Příklad. Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2 — 2x — e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. BBI Q 19 199 Příklad. Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2 — 2x — e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. v Řešení: Singulární bod splňuje y — 2(y — 1)— £ = 0, Dosazením x = y — 1 do pravé strany druhé rovnice. Příklad. Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2 — 2x — e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. v Řešení: Singulární bod splňuje y2 — 2(y — 1) — £ = 0, tj. y\^_ = 1 ± y/e — 1 Příklad. Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2 — 2x — e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. v Řešení: Singulární bod splňuje y2 — 2(y — 1) — £ = 0, tj. y\^_ = 1 ± y/e — 1 pro £o = 1 je singulární bod [0,1] limitní, pro e < 1 singulární body nejsou pro £ > 1 jsou singulární body dva [± ye—T, 1 ± — 1 BBI Q 19 199 Jacobiho matice má tvar Df (x, y) = 1 -1 -2 2y Jacobiho matice má tvar Df (x,y) — v singulárním bodě tedy Jacobiho matice má tvar Df (x,y) v singulárním bodě tedy J = Df(±Ve-l, 1 ± Ve-1) = det J = ±2 Ve - 1 = ATA2 1 -1 -2 2yľ Jacobiho matice má tvar Df (x, y) = v singulárním bodě tedy j = Df (± V^T, i±ÍT) = (j2 ±^rl) det J = ±2\Ze - 1 = A:A2 tr J = 3 ± 2\/e- 1 = h + A2 > 0 pro e > 1 v okolí 1. 1 -1 -2 lyľ Jacobiho matice má tvar Df (x, y) = v singulárním bodě tedy j = Df(± vT^t, i ± Vľ^t) = (j2 ±-^TÍ) detj = ±2Ve - 1 = AXA2 tr J = 3 ± 2Ve- 1 = Ai + A2 > 0 pro e > 1 v okolí 1 Bod [s/e — 1,1 + vš — 1] je tedy nestabilní uzel a bod [—y/e — 1,1 — vš —1] sedlo. 1 -1 -2 2yľ Jacobiho matice má tvar Dí(x,y) — v singulárním bodě tedy j = D£(±V^T,i±ÍT) = (j2 ±^rl)) . det J = ±2- 1 = AiA2 tr J = 3 ± 2Ve- 1 = Ax + A2 > 0 pro £ > 1 v okolí 1. Bod [ve —1/1 + v£—T] je tedy nestabilní uzel a bod [—y/e 1,1 — Vč — 1] sedlo. V kritické hodnotě parametru Sq = 1 dochází k bifurkaci typu sedlo-uzel. o x LP: o 1\ nestabilní uzel e sedlo 5Bi bi ia las Pro hledání vhodných "adeptů"pro jednoparametrickou bifurkaci sedlo-uzel vícerozměrného víceparametrického systému tvaru (7) x = f (x,fi) můžeme použít jednoduchý algoritmus. Hledáme řešení soustavy rovnic: f(x,£) = 0, detDf(x,£) = 0 vzhledem k x a jednomu vybranému parametru. Kromě jedné tedy fixujeme všechny složky £. Zda skutečně dochází k bifurkaci sedlo-uzel můžeme ověřit až spočtením vlastních hodnot Jacobiho matice Df (x,e) v okolí kritické hodnoty £q, přitom Jacobiho matice je vypočtena v singulárním bodě x = j8(£), který závisí na parametru. Druhá možnost je vhodně transfomovat systém (7) tak, aby se "vyloupla"jedna diferenciální rovnice, která bifurkaci způsobuje a zde použít větu o jednodimenzionální jednoparametrické bifurkaci sedlo-uzel. Říká se tomu redukce systému na centrálni varietu. Když se nad tímto trochu zamyslíme, zjistíme, že ani jedno nebude pro složitější systémy "ručně^spočitatelné. Proto pro vícerozměrné systémy nastupují kontinuační programy jako je XPPAUT s AUTO nebo Matcont, v jejichž pozadí ovšem jedna z těchto metod běží alespoň numericky. BBI q |3j 133 Hystereze a náhlé skoky Systém s hysterezí má paměť. V deterministickém systému bez hystereze je možné předpovědět výstup pouze v závislosti na čase, v systému s hysterezí to nelze, kromě času musíme znát i "cestu"vstupu, tedy trajektorii, kterou vstup prošel, než dosáhl určité hodnoty. Hystereze vykazuje typicky zpoždění při návratu do původního stavu. Známá je hystereze u feromagnetických materiálů, které po vystavení magnetickému poli vykazují nějakou dobu magnetické vlastnosti, poté dojde k zániku vnitřního magnetického pole. Tento jev se ale objevuje i v jiných oborech - biologii, medicíně, ekonomii apod. 2. stabilní stav ferromagnetu - zmagnetizovaný LP LP 1. stabilní stav ferromagnetu - nezmagnetizovaný parametr - síla vnějšího magnetického pole Model populace obaleče Choristoneura Occidentalis Spruce Budworm Model V roce 1978 byl vytvořen model populace obaleče, který je v Kanadě škůdcem jehličnatých lesů. Model umožnil pochopit dynamiku populace obaleče a mechanismus vzniku skokových změn, kdy dochází k jeho přemnožení. Na základě modelu je možné populaci obaleče řídit. Populace obaleče bude modelována logistickým modelem růstu kde N je populace, r > 0 míra růstu populace a K > 0 kapacita prostředí (v případě obaleče je dána hustotou jehličí). Singulární bod N = K je asymptoticky stabilní, počátek nestabilní, řešení lze dokonce nalézt v explicitním tvaru. BBI q |3j 133 V modelu populace obaleče je na pravé straně navíc funkce predace BN2 ptáky p(N) = ^2 _|_ jsj2 (anaiyzujte průběh funkce), která má sigmoidní charakter (A, B > 0), tj. *=h) - ä přičemž rg > 0 značí nikoliv míru růstu populace (birth - death rate), ale míru přírůstku nově vylíhlé populace, birth rate. V této rovnici lze zmenšit počet parametrů (změnou měřítka populace . v , . . N Bt ArB K a casu) substituci x — —, r — —, r — ——, q = — a dostaneme tak } A A B * A (x \ x2 '--J-TTŕ- <12) Je zřejmé, že x = 0 je nestabilní singulární bod (proč?). Další singulární body splňují rovnici / x\ x r 1 - - = ej J 1 + x 2' sol ci ia ias Graficky můžeme singulární body najít jako průsečíky přímky s nelineární křivkou: Je zřejmé, že v případě vyznačeném na obrázku jsou nenulové singulární body tři, vnější dva stabilní, vnitřní nestabilní. Při malé změně parametrů může dojít k zániku jednoho z těchto stabilních BBI q |3j 133 bodů. Při zániku bodu x\ tedy dochází i při relativně nízké velikosti populace k prudkému přemnožení, které navíc vykazuje hysterezi. Varietu odpovídající singulárním bodům můžeme zobrazit závisle na obou parametrech - r a q. Tento typický ohyb (fold - přeložení) vzniká v blízkosti tzv. katastrofy bodu vratu - cusp catastrophe. Jde o bifurkaci dvouparametrickou. Schéma bifurkačního diagramu se v takovém případě zakresluje do prostoru parametrů, který je bifurkačními hranicemi (odpovídají limitním bodům bifurkace sedlo-uzel) rozdělen na strukturálně stabilní oblasti, tj. oblasti s topologicky ekvivalentními fázovými portréty 1 singulární bod Příklad. Analyzujte model v programu XPPAUT a vykreslete bifurkační diagram pomocí programu AUTO nebo v programu Matcont. BBI Q 19 199 Zkuste interaktivní aplet Model vznícení Prostudujte model vznícení. Hezky česky. Model koroze homogenního kovu Vytvořte ode soubor podle vědeckého článku. Příklad. Najděte model (v knize, článku), který je popsán diferenciálním systémem, v němž dochází k bifurkaci sedlo-uzel. BBI q |3j 133 Teorie katastrof Katastrofa bodu vratu - cusp catastrophe - je jednou z tzv. elementárních katastrof, které vznikají v dynamických systémech. Velmi typické jsou takové systémy, které mají pomalou změnu řídících parametrů a rychlou změnu stavových proměnných, k přechodu do rovnováhy tedy dochází téměř okamžitě. Pokud v takovém případě varieta rovnovážných stavů vykazuje ohyb např. typu cusp, změna parametrů má za následek v předchozí části popsaný jev hysterese a náhlého skoku. Na druhou stranu, pokud v dynamickém systému pozorujeme jev hysterese, náhlé skoky a bistabilitu (dva různé stabilní stavy), můžeme se domnívat, že bude možné toto chování vysvětlit modelem, ve kterém dochází ke katastrofě. Základními elementárními katastrofami jsou fold, cusp, swallowtail a butterfly katastrofy, které jsou jevy na jednorozměrném stavovém prostoru s jedním až čtyřmi bifurkačními parametry Bifurkaci typu fold a cusp jsme již vysvětlili, k dvourozměrné bifurkaci typu cusp se ještě vrátíme. Donedávna se zdálo, že bychom mohli takto katalogizovat katastrofické chování dynamických systémů pro různé dimenze stavových prostorů a kontrolních parametrů. V roce 1985 ale Arnold, Gusein-Zade a Varchenko ukázali, že od dimenze 11 je počet takovýchto katastrof nekonečný. To ale nic nemění na tom, že základní elementární katastrofy mohou popisovat a vysvětlovat chování mnohých dynamických systémů, protože ve strukturálně nestabilní oblasti parametrů bývá často jen jeden (fold bifurkace) nebo dva parametry (cusp bifurkace), přitom ostatní parametry dynamického systému sice ovlivňují systém jako celek, ale nikoliv dramatickým způsobem. BBI q |3j 133 Příklady takovýchto dynamických jevů najdeme v mnohých oblastech. Ve fyzice to může být přechod látky z plynného do kapalného stavu a naopak (stavová proměnná je hustota) v závislosti na teplotě a tlaku (kontrolní bifurkační parametry). Skoková změna je zde var a kondezace. Při vysokém tlaku již plyn od kapaliny nerozlišujeme -přešli jsme kritický bod vratu. Další oblastí, kde hysterese vysvětluje příčinu náhlých skoků je biologie (viz model přemnožení obaleče). Ukazuje se ale, že také na biochemické úrovni tento matematický model vysvětluje tzv. biochemické přepínače. Neuron vyšle signál, buňka se začne dělit, rytmus srdce se změní. Jak dojde k této skokové změně? Vstupní napětí u v axonu se nemění skokově, ale postupně, přesto najednou překročí kritickou hranici a axonem projde signál. Dělení buňky ovlivňuje koncentrace cyklinu. Proč dojde k jednorázovému dělení při překročení určité koncentrace a dále se již buňka nedělí? A kde mechanismus havaruje a dojde k nekontorlovanému dělení a vzniku rakoviny? Kde je hranice, která běžný tep srdce změní na arytmii? Moderní biochemie hledá odpověď právě v matematickém modelu s hysteresí. Za posledních 20 let tato disciplína prodělala obrovský rozvoj právě díky matematickým modelům. Stránky matematického biologa Prof. Johna J. Tysona. BBI q |3j 133 Ekonomie je oblastí, kam vstupuje matematické nelineární modelování, teorie bifurkací a teorie katastrof paradoxně pomalu, i když první pokusy zasahují již do 70. let minulého století. Je na vás to změnit. Náhlé skoky a hysterese jsou přece typickými jevy na finančních trzích, v dynamice míry nezaměstnanosti nebo mezd. Inspiraci můžete čerpat na stránkách ekonomů, kteří nelineární modely propagují: Stránky Prof. J. Barkley Rossera. Stránky Prof. Petera Flaschela. Stránky Prof. Oliviera Bruna. BBI q |3j 133 Psychologie, sociologie ... BEI Q 19 199 Psychologie, sociologie BEI EJ |3j 133 Psychologie, sociologie ... BEI Q 19 199 Psychologie, sociologie BEI Q 19 199 Psychologie, sociologie ... BEI Q 19 199 Psychologie, sociologie ... BEI EJ |3j 133 Psychologie, sociologie BEI EJ |3j 133 Psychologie, sociologie . BEI EJ |3j 133 Další jednoparametrické bifurkace počtu singulárních bodů Normální forma transkritické bifurkace 2 — ov _ y — ti/V iA- Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace — £"v _ ■v - t-iA- i/V Příklad. Nakreslete jejich bifurkační diagramy. Nejdříve analyzuji ručně, poté využijte Matcont nebo XPPAUT a AUTO. BBI Q 19 199 r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f{x,oi), xGR, ol G R, (15) kde / je hladká funkce tvaru f(x,oc) = xg(x,A:), má pro oc = 0 nehyperbolický singulární bod x = 0 (A = /x(0,0) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky £*(0,0)/0 £«(0,0)^0 podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je (15) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě transkritické bifurkace ý = ±ey ± y BBI q |3j 133 r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f{x,oi), xGR, ol G R, (16) kde / je v okolí počátku lichá funkce, má pro oc = 0 nehyperbolický singulární bod x = 0 (A = /x(0,0) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /***(0,0) ^0 /*«(0,0) ^0 podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je (16) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě vidličkové bifurkace ý = ±sy ± f Poznámka21. Jak v případě fold, tak v případě transkritické bifurkace znaménko u y2 odpovídá znaménku levé strany podmínky nedegenerovanosti. Podobně u vidličkové bifurkace je znaménko u y znaménkem levé strany podmínky nedegenerovanosti. Znaménko u e odpovídá znaménku levé strany podmínky transversality. BBI Q 19 199 Hopf ova bif urkace také Andronovova bifurkace nebo bifurkace vzniku limitního cyklu. Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x — ux — 1/ — x(x2 + y2), 2 2 (17) kde x, y £ R a }i £ R je parametr. Singulárním bodem systému je počátek a Jacobiho matice systému v něm má tvar ^ . Vlastní hodnoty jsou tedy A12 = Pro < 0 je tedy počátek stabilním ohniskem, pro ]A > 0 je nestabilním ohniskem. Kritická hodnota parametru = 0 je bifurkační hodnotou Hopfovy bifurkace, při jejím přechodu se mění kvalitativní vlastnost - stabilita - singulárního bodu. Systém (17) je normálním tvarem Hopfovy bifurkace. Zaveďme komplexní proměnnou z = x + iy. Pak ž = x + iy — ]i{x + iy) + i (x + iy) — (x + iy){x2 + y2), ž=hi + i)z-z\z\2. Eulerův tvar komplexního čísla z = pel(p pak dává polární tvar systému (17): p = p^-p1), (18) q> = 1. (19) Rovnice (18) je normálním tvarem vidličkové bifurkace. Pro \i < 0 je tedy počátek jediným stabilním singulárním bodem rovnice (18). Pro ]i > 0 vzniká další singulární bod p = y/ji (zápornou hodnotu můžeme vynechat, nemá v této reprezentaci smysl, jde o vzdálenost). Počátek je v tomto případě \i > 0 nestabilní, singulární bod p = ^/ji je stabilní. Tento odpovídá stabilnímu limitnímu cyklu v okolí počátku. O O . . O \ß bei ej q rag Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální jednoparametrický systém x = í{x,oc), (20) kde x e IR , a: e IR, f = (/1//2) hladká funkce, má pro a: z okolí 0 singulární bod x = 0 a J = Df(0,0) má vlastní hodnoty A12 = jí(cc) ± icv(a), kde ^(0) = 0 a o;(0) = c^o > 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /i(0)^0 V*(0) Ť^O podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je (20) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Hopfovy bifurkace ů = ±eu — v ± u(u + v ), v = u + ±ev ±v(u2+ v2). Poznámka 22. Číslo h(0) se nazýva první Ijapunovův koeficient nebo první Ijapunovovo číslo. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů v normálním tvaru. V případě, že Zi(0) < 0, je systém ekvivalentní námi dříve studovanému se stabilním limitním cyklem, mluvíme o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě Zi(0) > 0 jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem. Pokud je první Ijapunovův koeficient nulový, jde o Bautinovu bifurkaci, kterou je třeba popsat dvěma parametry a při které dochází např. k vzniku a zániku dvou blízkých limitních cyklů. Výpočet Ijapunovova koeficientu je založen na transformaci původního systému do lokálně topologicky ekvivalentního systému v normální formě. My si uvedeme pouze "kuchařku"na jeho výpočet. Znaménko u e určuje zase podmínka transversality. Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty Ve dvourozměrném případě tedy hledáme tr J = 0 za předpokladu det J > 0. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = 7T/ protože řešení (20) je blízké funkci elcvt = cos cot + i sin cot. BBI q |3j 133 Matice J = Df (0,0) má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty X\^_ = ±íojq. Jim příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Označme T matici složenou z reálné a imaginární části vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě —ícoq, tj. T = (Re v,Im v). Pak platí a transformace x = Tu pak převádí systém x = f(x,0) = Jx + F(x), na systém ů = T"1JTu + T"1F(Tu). (21) Právě nelineární část ( ^í^1' Ul\ J = T 1F(Tu) je podstatná pro \U\ulf u2)) výpočet prvního ljapunovova koeficientu Zi(0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. Označme Pm 3. derivaci nelineární části prvního řádku podle první složky U\ vektoru u = {u\, U2)T v nule, tj. p _ d3P(ulru2) i m — ——— lil =0,112=0 ■ Podobně např. Q12 bude značit 2. derivaci nelineární části druhého řádku podle první a druhé složky vektoru u v nule, tj. n d2Q(ulru2) ><12 du1du2 Ml=0,M2=0- První ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce 8^(^111 + Pl22 + Qíl2 + q222) + ^[P12(Pn + P22) - QuiQn + Q22) - P11Q] h(0) = hi + P22Q22]' Je super, že máme kontinuační numerické programy jako XPPAUT a nemusíme to vždy dělat... Chemický model Bruselátor Uvažujme chemické reakce A x B + X Y + C 2X + Y 3X X k^ D za předpokladu, že C a. D dále do reakcí nevstupují a koncentrace [A] a B] se udržují konstantní, kinetické rovnice reakce popisuje systém = h[A]-k2[B}[X]+k3[X}2[Y}-U[X\, « = k2[B][X]-k3[X]2[Y]. EBI EJ Q OS Označme x=[X]^y= [Y] , a=[A]k^,b pak lze systém zjednodušit na tvar x — a — (b + l)x + x2y, ý — bx — x2y. B 2 n- _ (22) Příklad. Ukažte, že pro b = 1 + a dochází v systému (22) k superkritické Hopfově bifurkaci. BBI Q 19 199 Selkovův model glykolýzy Příklad. Prostudujte dynamiku modelu glykolýzy, který má (po zmenšení počtu parametrů) tvar x = —x + ay + x2y, 2 (23) ý = b — ay — x y. Analyzujte pomocí XPPAUTu nebo Matcontu. Původní Selkovův článek. Animace. Model neuronu FitzHugh-Nagumův Model V roce 1948 provedl Alan Lloyd Hodgkin pokusy, při kterých zaváděl stejnosměrný proud různých velikostí do axonů nervových buněk a sledoval, že některé hodnoty proudu vyvolaly série impulzů o různých frekvencích, jiné vyvolávaly jen jeden impulz nebo byly bez odezvy V roce 1952 pak A. L. Hodgkin a Andrew Fielding Huxley publikovali sérii článků, ve kterých popsali toky elektrických proudů povrchovou membránou nervového vlákna matematickým modelem, který je dnes známý jako Hodgkin-Huxleyho model. Sestává ze soustavy 4 nelineárních diferenciálních rovnic, které velmi dobře popisují chování neuronu. V roce 1961 Richard FitzHugh publikoval zjednodušený model, který vykazuje obdobné chování, protože je zjednodušením projekce 4-rozměrného Hodgkin-Huxleyho modelu na jeho tzv. centrální varietu. BBI q |3j 133 V= v(a-V)(V-l)-zv + I, zv = bV — czv. (24) V zastupuje membránové napětí, I je velikost vstupujícího proudu. Ostatní parametry i stavová proměnná w vycházejí z popisu kinetiky chemických reakcí na membráně axonu (přenos signálu je zprostředkován změnami koncetrací iontů řC+, Na+, Cl~ a anionty bílkovin). Druhá rovnice je obnovovací, má pomalejší odezvu a umožňuje vznik impulzu, který následně ukončí. Na paramer a neklademe zatím znaménkové podmínky, b, c > 0. Příklad. Najděte podmínky pro vznik Hopfovy bifurkace a ukažte, že pokud vzniká, jde o superkritickou bifurkaci. Příklad. Vytvořte bifurkační diagram pro vhodné parametry. Model šíření reklamy Příklad. Na základě vědeckého článku vytvořte ode soubor a pomocí XPPAUTu ověřte tvrzení z kapitoly 2.1 o vzniku superkritické Hopfovy bifurkace. Příklad. Spočtěte kritickou hodnotu parametru oc Hopfovy bifurkace a první ljapunovův koeficient. Model dělení buňky Otevřte webovou stránku modelu. bbi q q rag Víceparametrické bif urkace Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc, rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit • ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty (nulová reálná část v případě spojitého, jednotková velikost v případě diskrétního systému) • nebo narušení některé z podmínek zaručujících bifurkaci daného typu - ať už narušením podmínky typu vlastní hodnoty nebo narušením podmínky nedegenerovanosti. BBI q |3j 133 Spojitým příkladem může být • již zmíněná bifurkace typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), • Bogdanov-Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule • nebo fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě nulová vlastní hodnota. Uvedeme si pouze některé normální tvary a nakreslíme bifurkační diagramy v okolí kritických hodnot parametrů. EBI EJ Q OS r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální dvouparametrický systém (rovnice) x = f{x,ot), x G R, a = {oc\,Oi2)T £ Rz, kde / je hladká funkce, má pro ol = 0 singulární bod x = 0 a platí A = /x(0,0) = 0, fxx(fi/ 0) = 0- Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /***(0,0) ^0 (foCifxOC2 ~ foC2fxOCi)(0,0) 0 podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě bifurkace bodu vratu - cusp ý = £1+£2y± y3 BBI q |3j 133 Na příkladu této bifurkace bodu vratu si ukážeme, jak vypadá bifurkační diagram pro dva parametry Singulární body leží na varietě M : e1 + e2y ± y3 = 0, přitom nulová první derivace, tedy podmínka pro bifurkaci typu fold (sedlo-uzel) je splněna na křivce splňující navíc e2 ± 3y2 = 0. Pokud z těchto dvou rovnic vyloučíme y, dostaneme křivku typického tvaru V 27e\ + 44 = 0 resp. 27e\ -4^ = 0 s bodem vratu v počátku. Jednotlivé větve T\, T2 odpovídají zánikům dvojice singulárních bodů v ohybech variety M, tedy jsou to bifurkační hranice bifurkace sedlo-uzel. Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze. BBI q |3j 133 27ej = 4e32 Oblasti označené 1 a 2 jsou strukturálně stabilní oblasti, ve kterých má systém 3 resp. 1 singulární bod. T\ a T2 odpovídají jednoparametrické bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v 2-rozměrném prostoru parametrů. Jejich průnikem je bod vratu, který má dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozměrném prostoru parametrů. BBI q |3j 133 Obecně v fc-rozměrném prostoru parametrů bude mít jednoparametrická bifurkace kodimenzi 1, bude tedy {k — l)-rozměrnou varietou. Průniky variet příslušných jednoparametrické bifurkaci budou variety příslušné víceparametrickým bifurkaci m vyšší kodimenze. Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém x = f(x,a), x e IR2, ol e R2, kde f = (f\, fi)T je hladká funkce, má pro a = 0 singulární bod x = 0 a J = Df (0,0) má vlastní hodnoty Ai^ = y>{ct) ± ico{ct), kde //(O) = 0, o;(0) =o;o > 0 a /i(0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky h(o) ŕ o, a —>► /i(a)) je v a = 0 regulární. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v komplexní normální formě Bauti-novy bifurkace z = (si + i)z + 82z\z\2 + sgnl2(0)z z BBi Q 13 199 Číslo je tzv. druhý ljapunovův koeficient a jeho výpočet je založen na podobném principu, jako výpočet prvního. Nebudeme jej uvádět, lze jej najít v literatuře např. Kuznecov str. 310. Bautinova bifurkace způsobuje, že vlivem druhého parametru dochází k narušení podmínky nedegenerovanosti u Hopfovy bifurkace. Zavedením polárních souřadnic z = pelcp dostáváme normální formu ve tvaru (případ sgn l2(0) = —1) p = p(e1 + e2p2-p4), = 1, Přitom rovnovážná řešení první rovnice odpovídají limitním cyklům. Je zřejmé, že p = 0 odpovídající počátku je vždy singulárním bodem. Kvadratická rovnice ale může mít 0 až 2 řešení - mohou tedy vznikat a zanikat limitní cykly. BBI q |3j 133 Bifurkační diagram ukazuje hraniční křivku Hopfovy bifurkace H = {(či,£2) : £1 = 0 } a křivku zániku dvou limitních cyklů T = {(či,£2) : £2 = 0,^2 > 0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty o BBI q |3j 133 r Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém x = f (x, a), x G R2, oĺ G R2, (25) kde f = (f\, fi)T je hladká funkce, má pro a = 0 singulární bod x = 0aJ = Df(0,0) 0 má dvě nulové vlastní hodnoty Předpokládejme, že jsou splněny podmínky s = sgn(č?2o0*20 + frn)) Ť^O, (x, a) —>► (f(x, a),tr Df(x, a),detDf(x, a)) je v počátku regulární| Pak je systém (25) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Bogdanov-Takensovy bifurkace ýi = y2 ýi = £i + £2í/i + y\ + sym v Čísla #20/ ^11 a ^20/ z podmínky nedegenerovanosti jsou příslušné koeficienty Taylorových rozvojů F\(y\,y2) = \a2^yi + • • • a Fiiyifyi) = 5&2oy? + &nyi]/2 + • • • transformované pravé strany systému (25) transformací x = Ty na tvar y A = í° A (yA + (F^yi>yi) ý2J \0 OJ \y2) ^ \F2(yi,y2) pomocí matice T složené z vlastních vektorů D f (0,0) (analogický postup jsme použili u výpočtu prvního ljapunovova koeficientu). BBI q |3j 133 Bogdanov-Takensova bifurkace se někdy nazývá také double-zero, protože v kritické hodnotě parametrů ex = 0 má systém dvě nulové vlastní hodnoty V okolí cx = 0 mohou tedy vlastní hodnoty měnit znaménko a mohou přecházet i přes imaginární osu. Dochází k degenerování Hopfovy bifurkace i bifurkace sedlo-uzel (fold), což způsobuje zánik limitního cyklu na tzv. smyčce separatrix sedla. Analýzou systému v normálním tvaru Bogdanov-Takensovy bifurkace pro s = — 1 získáme bifurkační diagram s hraniční křivkou Hopfovy bifurkace H = {(či,£2) : £1 = 0, £2 < 0 } a křivkou zániku dvou limitních bodů (bifurkace sedlo-uzel) T = {(81,82) ' 4ei — 8^_ — 0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty. Ve třetím kvadrantu ale navíc dochází k nelokální bifurkaci zániku smyčky separatrix (jde o tzv. homoklinickou bifurkaci smyčky separatrix sedla), která má v okolí počátku tvar P = {(elf82) : 81 = -J^822 + o(822),82 < 0}. Všechny uvedené jedno a dvouparametrické bifurkace spojitých systémů byly lokálními bifurkacemi v okolí singulárních bodů. V jejich blízkosti ale obecně vznikají také nelokální bifurkace (zdvojení limitního cyklu, smyčka separatrix sedla). Další bifurkace mohou vznikat např. v okolí homoklinických a heteroklinických trajektorií, tedy trajektorií vystupujících z jednoho singulárního bodu a navracejících se do něj nebo jiného singulárního bodu. Toto je ovšem již nad rámec našeho učiva. Významnou bifurkací z hlediska dynamiky a aplikací je Šilnikovova bifurkace, která může vzniknout až pro trojrozměrný systém s homoklinickou trajektorií vycházející ze sedlo-ohniska (dvě vlastní hodnoty komplexně sdružené se zápornou reálnou částí a jedna kladná reálná vlastní hodnota). V jeho okolí může dojít k „divoké" dynamice se spočetně mnoha cykly a ke vzniku tzv. spirálního atraktoru. Další významnou nelokální bifurkací limitního cyklu je bifurkace blue-sky. Redukce na centrální varietu Podrobně jsme prozkoumali systémy v okolí hyperbolických singulárních bodů i rovnice či systémy, které mají vlastní hodnoty s nulovou reálnou částí. Co se bude dít v situaci, kdy některé vlastní hodnoty mají nulové a jiné nenulové reálné části říká následující věta. Věta (Věta o centrální varietě): Nechť xq = 0 je singulární bod systému (1), který není hyperbolický (tj. počet vlastních čísel s nulovou reálnou částí Uq ^ 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc(0), která je lokálně dána grafem funkce v : Rn° Rn" x Rn+, která splňuje i/(0) = 0 a Di/(0) = 0. Varietu Wc(0) nazýváme centrální varietou. Důkaz této věty je založen na Banachově větě o kontrakci. Lze jej nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, Springer 1999 str. 286-297. BBI q |3j 133 Uvažujme systém (1) se singulárním bodem xq a vlastními hodnotami D f (xq) s nekladnými reálnými částmi (tj. Uq ^ 0, n_ ^0an+ =0) převedený do tvaru *= Acx + gl(x,y) ý= Asy + g2(x/y). Nulové řešení je v takovém případě stabilní (ne nutně asymptoticky). Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku (0,0) invariantní centrální varieta daná grafem funkce v : Rn° —t Rn~, tj. y = i/(x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána rovnicí ů = Acu + gl (11,1/(11)), u G Rn°. (27) Trajektorie systému (26), které neleží na centrální varietě, se k ní exponenciálně přibližují pro ř —± oo. Chování takového systému je tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, kterým je invariantní centrální varieta. Definice: Rovnice (27) se nazývá redukcí rovnice (26) na centrální varietu. Poznámka 23. Je evidentní, že pokud je stabilní počátek redukovaného systému, je stabilní také singulární bod xq původního systému (1) s n+ = 0. Vzhledem k tomu, že centrální varieta je v okolí počátku hladká, bude platit ý = Di/(x)x, tj. dosazením y = i/(x) a pravých stran rovnic systému (26) dostáváme rovnici pro centrální varietu Asi/(x) + g2(x,i/(x)) = Di/(x)(Acx + gi(x,i/(x))). (28) Řešení y = ľ (x) můžeme aproximovat Taylorovým polynomem alespoň 2. stupně (pro dostatečně hladkou f máme lokálně zaručenu dostatečnou hladkost), navíc nutně i/(0) = 0a Di/(0) = 0. EBI Q Q OS Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. v Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. v Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je BBI q |3j 133 Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. v Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*.y>=(2 _r-2y)^-D^0)=(o -i)- Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. v Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*,y)=(2 .r'^D/M-(J \). Vlastní hodnoty jsou tedy Ai = 0, A2 = — 1. BBI q |3j 133 Příklad. Redukujte systém x = — xy ý = -y + X2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. v Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*.y)=(2 _-_x2y),tj.D/(o,o)=(° _° Vlastní hodnoty jsou tedy Ai = 0, A2 = — 1. Hledáme tedy centrální oo varietu jako graf funkce y = v (x) = ^ v okolí počátku, která je k=2 řešením —v(x) + x2 — v2(x) — vr (x)(—xv (x)). sbi la las Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — (Yl UkXk) ~ ~XY UkXk Y ^c^_1 k=2 k=2 k=2 k=2 BBI Q 19 199 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v{x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — (Yl akxk) — ~XYL akxk akkxk k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, > x2 : —a2 + 1 = 0 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — y akxk+x2 — (y akxk) — ~xyl akxk akkxk k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, #3 = 0 a x3 : —#3 = 0 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v{x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — (Yl akxk) — ~XYL akxk akkxk k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, #3 = 0 a #4 = 1, x : — #4 — a2 = —#2 ' 2 ■ Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — y akxk+x2 — {yl akxk) — ~xyla^xk akk^~x k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, #3 = 0 a #4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — (Yl UkXk) — ~XY UkXk Y ^c^_1 k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, 03 = 0 a #4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = —xv(x) = - Y akXk+1 = —x3 — x5 + 0(x6) k=2 sbi ia las Dosazením Taylorova rozvoje funkce v{x) dostáváme oo oo oo oo — y akxk+x2 — {yl akxk) — ~xyla^xk äkkx^1 k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, #3 = 0 a #4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = — xv(x) = — y ^kxk+1 — ~x?> — j5 + 0(x6). k=2 Počátek je tedy asymptoticky stabilní. /- V levém okolí počátku je na invariantní varietě x > 0, trajektorie směřují k počátku, v pravém okolí je x < 0, trajektorie směřují k počátku. v_ Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — (Yl akXk) — ~XY akXk Y akkxk_1 k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme #2 = 1, 03 = 0 a #4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = —xv(x) = - Y akXk+1 = —x3 — x5 + 0(x6) k=2 Počátek je tedy asymptoticky stabilní. Program XPPAUT, spusťte priklad2.ode sbi bi 19 ias Jednoparametrické bifurkace v diskrétním případě Po spojitých bifurkacích podobně analyzujme diskrétní jednoparametrické bifurkace. Znovu půjde o situaci, kdy se chování systému lokálně kvalitativně mění díky nehyperbolicitě pevného bodu. Začneme s bifurkacemi závislými na změně jednoho parametru, která způsobí, že některá z vlastních hodnot přechází přes hranici jednotkového kruhu v Gaussově rovině. Bifurkace typu fold, sedlo-uzel Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + 1) = £ + x(n) - x(n)2, x(n) G R, £ G R. (29) Pevné body splňují f (x, e) := e + x — x2 = x, tj. leží na křivce e = x2. Pro £ < 0 systém (29) nemá žádný pevný bod, pro e = 0 je pevný bod Xo = 0 a pro £ > 0 jsou pevné body dva x = Parametr e = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci typu f old (ohyb). Bod (xq, Sq) = (0,0) je tzv. limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D/(0,0) = 1. r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x{n + 1) = f{x{n),oi), x(n) G R, a G R, (30) kde / je hladká funkce, má pro a = 0 pevný bod x = 0 a A /r(0,0) = 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky /**(0,0) ^0 /«(0,0)/0 podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je (30) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě y{n + 1) = £ + y(n) ±y(n)' BBI q |3j 133 a < O a = 0 a>0 Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě jednu vlastní hodnotu A = 1. EBI Q Q OS Bifurkace typu flip Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + l) = -(l + e)x(n) + x3(n), x(n) G R, £ G R. (31) Pevné body splňují f(x, e) := — (1 + e)x + x = x, tj. leží na křivkách x = 0 a.2 + e = x . Systém (31) má vždy nulový pevný bod, pro e < 0 je tento bod stabilní, pro e > 0 je nestabilní. Systém může mít ještě další dva pevné body x = ±V2 + e. Parametr e = 0 je bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci, mění se stabilita počátku. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D/(0,0) = — 1. Pevné body x — ±V2 + e pro malé e nejsou stabilní, protože D f {x, e) = — 1 — s + 3x2 je pro pevné body v x = ±V2 + s větší než 1. Co se tedy děje s trajektoriemi začínajícími v okolí počátku pro malá kladná e? Podívejme se blíže na cykly délky 2. To jsou pevné body zobrazení f(2\ tj. platí /(2)(X/£) = _(1+£)(_(1 + £)X + J3) + (_(1+£)X + X3)3 = x Tuto rovnici lze upravit na tvar x(x4 -x2 - x2e + 1) (-e - 2 + x2) (-e + x2) = 0. Je zřejmé, že mezi cykly délky 2 budou i pevné body x = 0 a x = ±V2 + e. Navíc jsou tu ale x = ±y/í, které budou v okolí počátku stabilní, protože Df(2\±Vě,e) = 1 — 4č + 4č2 g (0,1) pro £ g (0,1). Vzhledem k vzniku těchto cyklů délky 2 v okolí počátku se tato bifurkace nazývá také bifurkace zdvojení periody. r Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x{n + 1) = f(x{n),oi), x{n) £ R, a £ R, (32) kde / je hladká funkce, má pro oc = 0 pevný bod x = 0 a A = /x(0,0) = — 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky 5 (/xx(0,0)) + ^fxxx(0,0)^0 podmínka nedegenerovanosti, /xa(0,0) ^0 podmínka transverzality. Pak je (32) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě y(n + l) = -(l+£)y(n)±y3(n). bei ej q rag Zdvojování periody a univerzalita Uvažujme logistickou rovnici x{n + 1) = ax{n){\ — x(n)), kde a je kladný parametr. Příklad. Ukažte, že v systému dochází k flip bifurkaci. Najděte kritickou hodnotu parametru a, ve kterém dojde k rozdvojení. Příklad. Proveďte analýzu stability cyklu délky 2. Kdy a jak dojde destabilizaci? Příklad. Prostudujte chování logistické rovnice v XPPAUTu. Spusťte postupně logistic.ode, cobweb.ode a logbif.ode. Otevřte i soubory a prostudujte, jak jsou vytvořeny Hezké applety. Poznámka 24. Zdvojování periody způsobuje vznik cyklů délky 2, 4, 8 atd. pro kritické hodnoty parametru a2l a%, ... Tato tzv. Feigenbaumova kaskáda zdvojování periody je obecný fenomén a číslo n = Um a* ~ a2^ = 4 6692 se nazývá Feigenbaumovo číslo. Nejpřekvapivější je, že tato konstanta je univerzální pro mnoho diferenčních systémů, ve kterých dochází ke kaskádové flip bifurkaci. Příklad. Rickerova rovnice populační dynamiky x(n + l) = ax(n)e~x^n\ BBl Q 19 199 Logistický model růstu populace Pokud y(n) označuje velikost nebo hustotu populace v čase n a r je míra růstu této populace, bude rovnice y(n + l)-y(n) =r(y(n))y(n) popisovat diskrétní dynamiku populace. Míra růstu může záviset na mnoha faktorech. Nejjednodušší model (Malthusův) uvažuje r = const. Nevýhodou takového modeluje ovšem to, že asymptotické chování neodpovídá realitě, populace bud7 vymře nebo populace nekonečně roste. Typické biologické a ekologické modely předpokládají jistou kapacitu prostředí K, kterou nelze dlouhodobě překročit, protože prostředí by populaci neuživilo. Nejjednodušším a často používaným modelem je proto logistický model, kde míra růstu r lineárně klesá s velikostí populace k nule, tj. y(n + 1) - y(n) = r(l - ^^)y(n). (34) Pokud je r ^ 0 (triviální případ), můžeme provést transformaci 1 + t y(n) = —-—Kx(n), kterou zmenšíme počet parametrů a dostáváme logistickou rovnici: x(n + 1) = ax{n){\ — x(n)), kde a = 1 + r. Příklad. Pouvažujte, jak by vypadal model, kde by míra růstu klesala s velikostí populace exponenciálně. Srovnejte s Rickerovou rovnicí. Deterministický chaos Co je to chaos? Slovo chaos se odvozuje z řeckého X^0^ a znamená nepředvídatelnost. Deterministický chaos je neperiodické deterministické chování, které je • velice citlivé na počáteční podmínky, • topologicky transitivní - což znamená, že libovolný interval transformuje na libovolný další interval • má husté periodické trajektorie DETERMINISTICKÝ NEZNAMENÁ PŘEDVÍDATELNÝ!!! Nechť/ : J —^ J je spojité zobrazení na I = (0,1). Uvažujme diskrétní dynamický systém {N, Lfn}, kde n G N. Nechť// K C I jsou uzavřené intervaly v Definice: Řekneme, že / pokrývá K pod /, zapisujeme / —^ K, jestliže existuje uzavřený interval L C J tak, že f (L) = K. K Věta (O pevném bodě): Jestliže / —^ / pod /, pak má / v / pevný bod. Důkaz. Nechť/= {cl, b). Podle definice existuje uzavřený interval L C / takový, že f(L) = /, tedy existuje c, d G L splňující /(c) = a < c a f (d) = b > d. Podle věty o střední hodnotě nabývá spojitá funkce g(x) = f(x) — x nulové hodnoty na L C /. □ Uvědomme si nyní, že pokud Iq —^ I\ —^ • • • —^ In pod /, pak existuje uzavřený interval / C Iq tak, že f^\]) C \ pro všechna k = 0,1,..., n — 1 a f^n\j) = in- Volbou ín = Íq dostáváme s použitím věty o pevném bodě následují tvrzení: Věta: Jestliže Iq —^ I\ —^ • • • —^ In-\ —^ ío P°d // Pak má v Íq pevný bod x, pro který platí (x) £ í; pro i — 0,1,..., n — 1. ■ Věta (Li-Yorke): Uvažujme spojité zobrazení f : I —t I, které má cyklus délky 3. Pak má / také cykly libovolné délky n > 1. Důkaz. Uvažujme cyklus délky 3 {p\, p2, p^\, tj. Vi = /(Pi)/ P3 = /(P2)/ Pi = f(Ps) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že p\ < pi < p$- Označme dva intervaly I\ = (pi, P2) ^ h — (pirPz)- Pak íi pokrývá Í2 a ^2 pokrývá I\ i Í2- Perioda 3 implikuje chaos: i f(P2 API /(P3 / / / / / / / / / / / \ / \ / \ / \ / \ / \ / /\ / \ ' \ r / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / c_ h h 0 Pl P2 P3 Pro libovolné n G N má tedy pevný bod, protože platí l\ —k I2 —^ • • • —k I2 —^ li/ kde I2 je zde obsaženo (n — l)-krát. Tento pevný bod nemůže odpovídat cyklu délky k < n (kromě k = 3, který je předpokládán), protože pokud by platilo p >(x) — x pro k < n, pak x e h fl I2 = {^2}/ c°ž je jediný cyklus, námi předpokládaný délky 3. □ Příklad. Ukažte, že pro a p = 1 + 2 a/2 má logistická rovnice (33) cyklus délky 3, přičemž pro tuto kritickou hodnotu parametru dochází k bifurkaci typu fold, přičemž stabilní a nestabilní 3 cykly vznikají pro a > a p a zaniknou na a = a p. Bifurkační diagram logistického zobrazení: 1 n 0,8 -0,6 - X 0.4 -0.2 -n m '"'Na/ 2 1 j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2ŕ> 2,8 3,0 3,2 3,4 3.6 3.8 r r 4.0 Tent map je příkladem jednoduchého zobrazení (0,1) na (0,1), které vykazuje chaotické chování. v ; ^ 2-2x x G (1,1 Co víc, dynamický systém příslušný logistickému zobrazení na (0,1) je topologicky ekvivalentní systému {N, (0,1), Tn}, a proto vykazuje také chaos. Totéž platí pro jakékoliv jiné zobrazení (0,1) na (0,1), které má jedno maximum. Na jednoduchém stanovém zobrazení si ukážeme proč - základním mechanismem je "stretch and fold", natažení a ohyb. v Číslo x G \0,1) má binární zápis x = 0.oj^oj2^3 ••• = ^ + ^r + |j + ..., kde (jú^ jsou cifry 0 nebo 1. Pokud x G (0, 5), pak T(x) = T(0.o;ia;2a;3 • • •) = O.co2co3 ... Pokud x G (5,1), pak 1 — x G (0, 5) splňuje T(l — x) — T(0.Cú\CÚ2CÚ3 . . . ) = O.co2co3____ Přitom ale protože 1 v _ 1 COQ \ 1__COl i 1__<^2 i ± a — 2 2 "T" 22 22 23 23 r je binární zápis x a 1 — x komplementární (na místě nuly stojí jednička a naopak). Označíme-li komplementy co^ a ČZ^, platí T(x) = TXO.o^o^s ...) = __ x Á[ O.oj2co3 ... X G (j, 1). Trajektorii x, T(x), (x),... stanového zobrazení si proto můžeme představit jako posun (případně komplement posunu) v binárním zápise počáteční hodnoty x. Ještě si uvědomme, že metrika 00 i _^ rf(0.#i#2#3 • • • / O.^i^2^3 • • • ) = -£- fc=l 2 vytváří na (0,1) úplný metrický prostor (je analogická běžné metrice decimální). Dostáváme takto následující vlastnosti. 5BI Cl 19 ias • Citlivost na počáteční podmínky - předpokládejme, že známe počáteční podmínku Xq až do N-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, liší se až od mocniny 2~N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. • Topologická transitivnost (mixování) - uvažujme interval počátečních hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po N iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře na celý (0,1). • Má husté periodické trajektorie - binární zápis každého racionálního čísla je zakončen opakující se skupinou cifer, a proto generuje periodické trajektorie (včetně pevných bodů). Iracionální čísla mají binární zápis, který se neopakuje. Proto jsou periodické trajektorie husté (jsou libovolně blízko jiné dané trajektorii) v množině chaotických trajektorií. Příklad. Ukažte, že h : x >—> sin je homeomorfismus na (0,1) a platí f(h(x)) = /z(T(x)) pro logistické zobrazení/(x) = 4x(l — x). Poznámka 25. Mluvíme o topologicky konjugovaných zobrazeních (T = h~ ofoh) a topologicky ekvivalentní dynamice systémů {N, (0,1),fn} a {N, (0,1), Tn}. BBI EJ Q OS Uvažujme trajektorii x(n) splňující počáteční úlohu x{n + 1) = f(x(n)), xq = x Pro tuto trajektorii definujme číslo 1 n Toto číslo představuje míru separace infinitesimálně blízkých trajektorií od této trajektorie: dn \f{n\x + e)-f^n(x) = eXn, e -> 0 v Definice: Číslo A(x) (pokud limita existuje) označujeme jako Lja-punovův exponent trajektorie. Pokud je x pevným bodem zobrazení /, definujeme A(x) = —oo. Pokud podél trajektorie x(n) dochází ke kontrakci, je A(x) < 0, v případě asymptotické expanze je A(x) > 0. Je-li pro omezenou trajektorii Ljapunovův exponent kladný, je trajektorie nutně chaotická. Příklad. Ukažte, že Ljapunovův exponent stanového zobrazení je ln 2. Příklad. Pro která p jsou trajektorie x(n + l) = Tp(x(n)) chaotické? px x G (0, \ Tp(x) = p(l — x) X G (5,1 5BI Cl 19 ias Ve více dimenzích závisí míra separace blízkých trajektorií na počátečním směru separace, proto se definuje Ljapunovovo spektrum (n hodnot v bazických směrech, řazené dle velikosti) a maximální Ljapunovův exponent. Program Xppaut umí maximální Ljapunovův exponent trajektorie numericky vypočítat. Samozřejmě ale nepočítá limitu, ale pouze přibližnou konečnou sumu. Hodnoty Ljapunovových exponentů jsou invariantní vzhledem k širokému spektru transformací souřadnic (ergodická teorie, Osedelec) a limity existují pro skoro všechna x a na x nezávisí. Pro invertibilní df f : X —>► X, které má invertibilní se Ljapunovovy exponenty OXf nemění. BBI q |3j 133 f Chaotický atraktor v Často rozlišujeme disipativní a konzervativní systémy. • V konzervativních systémech platí nějaký zákon zachování, obecně je zachováván objem fázového prostoru v čase. Systém je uzavřený, trajektorie jsou často cykly. Ideální kyvadlo : • V disipativních systémech se nějaká energie ztrácí, systém je otevřený a objem fázového prostoru v čase se zmenšuje. Takový systém v čase spěje k atraktoru - rovnovážnému bodu, limitnímu cyklu nebo jinému atraktoru. Tlumené kyvadlo : BBI EJ Q OS V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: GTFMJKFSCUUMSHBUPCBUTBRRUXHSXIT F = 1.25 L = 8.B8 BBi q q rag Java applet. V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: LMLMBFUTMIMUIICMCMEFQTGGUMIFAItFnGTDKXFriDV5řFUUUKBQAFUnKGUX. . . F = 1.64 L í B.B4 Java applet. V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: FCWFKUKEIBPGNVPUKUCYU F = 1.57 L = B.13 BBi q q rag Java applet. V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: IJKRADSXGDBHIJTQJJDICEJKVSTXFNU F = 1.52 L í 8.1? Java applet. V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: EQKOCSID"JTPGY F = 1.68 L = B. 34 Java applet. V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: EKFNEIWOTBrai F = 1.49 L = 8.26 Java applet. V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými perturbacemi kontrolního parametru a. Uvažujme zobrazení x(n + l) = f(x(n),a), (35) kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí své "nominálnť'hodnoty uq. Označme x*(fl) nestabilní pevný bod zobrazení (35). V malém okolí Uq můžeme aproximovat x(n + 1) - x*(a0) = Df(x*(flo)/0o)(x(ft) x*(fl0)) + c(u ao)> (36) kde c = |í (x* (flo)/ flo) ]e sloupcový vektor. Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x*(#q) pro BBI q |3j 133 nějaké x (n) platit a — Uq = —k • (x(n) — x*(flg)) (37) Substitucí (37) do (36) dostaneme x(n + 1) - x*(a0) = (Df(x*(fl0)/«o) ck)(x(n) - x*(a0)). Volbou k = (fci,...,km) můžeme dosáhnout stability regulovaného pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby |Df(x*(a0)/#o) — ck| < 1. Řízení chaosu v Henonově zobrazení ] Prostudujte vědecký článek. v Řízení chaosu v logistickém zobrazení Uvažujme logistickou rovnici (33), ve které řídíme chaos neustálými pulzy x{ = kx( po p iteracích. Definujme zobrazení F(x) = kf^\x). Pevný bod x* regulovaného zobrazení F(x) tedy bude splňovat x*) = x* a bude stabilní, pokud kDfW(x*) \ < 1. Označíme-li C?(x) = —r-\—Df^ (x), dostáváme podmínku pro fW(x) oblast kontrolovatelných hodnot: |C^(x)| < 1. Výpočet Cv v Maplu Simulace v Matlabu, spusťte chaoscontrol.m Neimark-Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje limitní cyklus. Uvedeme si pouze normální formu v maticovém tvaru, kde je velmi dobře viditelná souvislost s normální formou spojité Hopfovy bifurkace. íx{n + l)\ _ ((n + 1) = 0. Pro malá oc > 0 má navíc stabilní pevný bod 5BI BI 19 I9S který odpovídá vzdálenosti od počátku. Vzniká tedy stabilní limitní cyklus, přitom rotace v přibližné vzdálenosti po(oc) je přibližně o úhel 0(cc). Neimark-Sackerova bifurkace: Podobně jako ve spojitém případě, i zde dochází bud7 k superkritické bifurkaci (vzniku stabilního limitního cyklu) nebo k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilního limitního cyklu). Větu o ekvivalenci se systémem v normálním tvaru si uvádět nebudeme, jen podotkneme, že k podmínkám nedegenerovanosti a transversality se objevuje ještě další podmínka, která vylučuje tzv. silnou rezonanci. Jako odrazový můstek pro studium N-S bifurkace uveďme stránku Scholarpedia. BBI q |3j 133 Poincarého zobrazení a bifurkace cyklů Uvažujme nyní znovu spojitý m-rozměrný systém (1) x = f(x). Předpokládejme navíc, že systém (1) má periodickou trajektorii L. V nějakém bodě xq € L uvažujme hladkou m — 1-rozměrnou varietu (např. ňadro vinu) L = {g(x) = 0:g:Rm^ R,g(x0) = 0}, která je tzv. transverzální, což znamená, že není v bodě xq tečná L, tedy řeže cyklus L. V angličtině se jí proto říká Poincaré cross-section E. Podmínku transverzality můžeme zapsat pomocí gradientu funkce g (normálového vektoru Z) takto: (V^(x0)/f(xo))/0/ tedy normálový vektor L nesmí být kolmý k trajektorii cyklu L. Je zřejmé, že takovou varietou může být například rovina kolmá k L v xq: g(x) = =0. Na této varietě v okolí xq nyní definujeme zobrazení P : L -» 2, které zobrazuje bod x trajektorie y>řx systému (1) na následující průsečík této trajektorie s varietou L. Poincarého zobrazení: Zobrazení P se nazývá Poincarého zobrazení příslušné cyklu L. Lokálně takto definujeme diskrétní dynamický systém {N, £, Pn} s pevným bodem xq G L. Pokud na m — 1-rozměrné £ zvolíme souřadný systém s počátkem v xq, bude možné v těchto souřadnicích £ = ..., £w_i) zapsat Poincarého zobrazení jako diferenční systém Č(n + l) = P(£(n)) s pevným bodem 0 a maticí linearizovaného systému DP(0). Cyklus L bude stabilní (atrahující), pokud budou vlastní hodnoty DP(0) v absolutní hodnotě menší jedné (a nestabilní v opačném případě). Lze ukázat, že vlastní hodnoty matice linearizovaného systému nezávisí ani na volbě bodu xq, ani na volbě £ a ani na volbě souřadnic. Bifurkace diskrétních systémů tedy mohou nastávat i pro spojité systémy. Bifurkace Poincarého zobrazení typu fold je příčinou vzniku a zániku dvou cyklů (stabilního a nestabilního - Bautinova bifurkace). "Ohyb"cyklu, bifurkace typu fold: BBI Q 19 199 Zdvojení periody Poincarého zobrazení bude znamenat zdvojení limitního cyklu: K takové bifurkaci limitního cyklu může dojít až pro spojité troj dimenzionální systémy (v rovině nemůže dojít k protnutí trajektorie) a následné postupné zdvojování periody vede k existenci chaosu i ve spojitých systémech. BBI Q 13 199 Chaos ve spojitých systémech Chaos ve spojitých autonomních systémech nemůže nastat v případě jedno a dvoudimenzionálního systému. Existují ale velmi jednoduché třírozměrné autonomní systémy, které chaos vykazují. Ještě v počátku 19. století se předpokládalo, že pokud budeme znát mechanismus přírodního zákona, budeme moci předpovídat budoucí chování přírody. Na konci 19. století ale Henri Poincaré předběhl svou dobu a objevil homoklinické trajektorie v dynamickém systému, který je znám jako problém tří těles a byl formulován Isaacem Newtonem v Principiích v druhé polovině 17.století. Jde o systém diferenciálních rovnic popisující gravitační působení tří těles. Původně šlo samozřejmě o Slunce, Zemi a Měsíc. Pokud ale nebudeme trvat na hmotnostech a vzdálenostech, které jsou určeny naší Sluneční soustavou, dostáváme obecný systém, který má překvapivě rozmanité dynamické chování, dokonce i chaotické. Problém tří těles od Miroslava Brože z MFF UK. Scholarpedia. V roce 1927 Van der Pol poukázal na "irregulární šum"v obvodu rádia (RLC obvod). Až kolem roku 1960 se ukázalo, že i v dynamickém systému Van der Polova oscilátoru skutečně vznikají homoklinické trajektorie a chaotické jevy. Mimochodem podobné chování vykazuje také nelineární oscilátor a nelineární kyvadlo. Kyvadla a pružinky jsou vůbec pěkné hračky: Pružina a kyvadlo. Dvojité kyvadlo. Virtuální nelineární laboratoř Ve stejné době se pokoušel meteorolog Edward Norton Lorenz porozumnět chybám, které vznikaly při použití lineárních technik v predikcích počasí. Použil jeden z prvních počítačů pro simulaci atmosférické dynamiky a díky chybě v zaokrouhlení objevil chaos a jeho citlivost na počáteční podmínky. V roce 1963 spolu se Saltzmanem publikovali redukovaný systém popisující atmosféru, systém tří nelineárních diferenciálních rovnic vykazující chaos dnes známý jako model Lorenzova atraktoru. Lorenz dal později přednášce na toto téma slavný název Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? To způsobilo popularitu spojení "efekt motýlích křídel", který popisuje citlivost na počáteční podmínky. BBI q |3j 133 Od té doby je Laplaceův determinismus poražen. Počasí nikdy nebudeme umět předpovídat na rok dopředu. Hra na burze bude také vždy otázka krátkodobých rychlých transakcí. Nedokážeme předpovědět budoucnost, deterministický chaos nás vždy zavede do jiných uliček. Na druhé straně ale spolu s chaotickým atraktorem lidé objevili skrytý řád náhodného. Vznik pravidelná z nepravidelná - např. Turingův mechanismus vzniku vzorů v přírodě. A krásu fraktálu. Turingovy vzory v přírodě. Galerie fraktálu. Fraktály víc matematicky. Mandelbrotova množina a benediktinský mnich. BBI q |3j 133 Model Lorenzova atraktoru V roce 1963 publikoval Lorenz zjednodušený model vycházející z Rayleigho původního problému hydrodynamiky kapaliny o výšce H a rozdílem teplot dolního a horního povrchu AT. Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepla si uvádět nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice), zmíníme se ale o některých aspektech modelu. Další parametry, které v modelu vystupují jsou gravitační zrychlení g, tepelná roztažnost oc, viskozita v a tepelná vodivost kapaliny k. Jak se zvyšuje rozdíl teplot povrchů AT, vedení tepla se stává nestabilní a vzniká cirkulace kapaliny. Můžete ho sledovat v hrnku horké kávy jako tmavé skvrny... Rayleigh ukázal, že tato periodická řešení vznikají, pokud R = g R = 7T4(l+a2)3 v Číslo K se nazývá Rayleigho číslo. Pokud se AT bude dál zvyšovat, Reyleigho proudění se znestabilní a vzniknou aperiodická řešení. BBI q |3j 133 Tato proudění lze napsat pomocí jistých funkcí, která jsou řešením následujícího systému (jsou to pomocné funkce, neodpovídají prostorovým souřadnicím). x = — 1 bude počátek nestabilní a dva další symetrické body budou stabilní pro r > 1 blízká jedné. Fyzikálně odpovídají tato řešení stabilnímu Rayleigho proudění: Charakteristický polynom příslušný těmto symetrickým bodům je A3 + {cr + b + 1)A2 + (r + a)bX + 2crb(r - 1), kde pro r > 1 jsou všechny koeficienty kladné a tudíž má alespoň jeden záporný kořen. Další dva mohou být i komplexní. Dochází u těchto dvou vlastních hodnot k přechodu imaginární osy, tj. k destabilizaci rovnováhy a vzniku limitního cyklu v důsledku Hopfovy bifurkace? Pokusme se najít tuto kritickou hodnotu. Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace leží komplexně sdružená vlastní čísla na imaginární ose, tj. pro charakteristický polynom a jeho vlastní čísla Ai a ±ico platí (A — Ai)(A — za;) (A + ico) = 0, A3 - A:A2 + a;2 A - Xxío2 = 0. Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace tedy platí nutná podmínka (a + b + l)(r + a)b = 2ab(r - 1), tj- cr(cr + fr + 3) Protože r > 1, musí být navíc c > + 1. Příklad. Vhodně zvolte parametry a vykreslete fázové portréty v některém z vhodných softwarů tak, aby byl vidět jev Hopfovy bifurkace. Příklad. V programu Matcont nebo Xppaut se pokuste nakreslit bifurkační diagram pro parametry blízké Hopfově bifurkaci. Všimněte si, že jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci se vznikem nestabilního limitního cyklu. A divné věci začnou se dít... Homoklinická trajektorie sedla BBI Q 19 199 Fázové portréty pro různá r: Bifurkační diagram Lorenzova systému pro Prandtlovo číslo a 10 Stable C* 1.0 0.Í Stable limit cycle 'Chaos' \ Subharmonic bifurcation-windows \ x Intermittencies bistabilities \ \ Linked knots \ \ o = 10 X 10 100 ■ I 1000 □ El 13 B3 Literatura, software a applety • Kontinuační balík Matcont pro Matlab http: / / www.matcont.ugent.be / • Program Xppaut s kontinuačním Auto http://www.math.pitt.edu/ bard/xpp/xpp.html • Applety pro ODR a bifurkace http: / / techmath.uibk.ac.at/numbau/alex/dynamics/bifurcation • Nelineární laboratoř http: / / faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear • Applety pro chaos a fraktály http: / / www.student.math.uwaterloo.ca/~pmat370/JavaLinks.html BBI Q 19 199 Reference [1] Kuznetsov Y.A., Elements of Applied Bifucation Theory, Second Edition, Applied Mathematical Sciences 112, Berlin, Heidelgerg, New York, Springer-Verlag, 1995,1998. [2] Chicone C, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer Verlag, 1998. [3] Edelstein-Keshet L., Mathematical Models In Biology, New York: Mc-Graw Hill Text, 1988. [4] Jackson E. A., Perspectives of nonlinear dynamics, Volume 2, Cambridge University Press, 1990. [5] Seydel R., Practical Bifurcation and Stability Analysis, Third Edition, Springer-Verlag, 2010. [6] Lynch S., Dynamical Systems with Applications using Maple, Second Edition, Birkhäuser Boston, 2010. BBI Q 19 199 [7] Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L., Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos, Elsevier Academic Press, 2004 [8] Alligood, K., Sauer, T., Yorke, J., Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, New York, Springer-Verlag, 1997. [9] Murray, J. D., Mathematical Biology, Berlin, Springer-Verlag, 1993. [10] Fall Ch.P, Marland E. S., Wagner J. M., Tyson J. J., Computational Cell Biology, Springer-Verlag, New York, 2002 [11] Fitzhugh, R., Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, Biophys. J. 1 (1961), 445. [12] Lorenz, E., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sei. 20 (1963), 130. [13] Zeeman, E. C, Catastrophe theory, Scientific American, 234(4) (1980) 65-83. BBI Q 19 199 Použité obrázky: str. 181 varieta je z článku E. C. Zeemana [13] str. 184 - 191 jsou ilustrace z knihy J. D. Murrayho [9] str. 273 - 278 jsou obrázky vytvořené Java appletem na http: / / sprott.physics.wisc.edu/java/attract/attract.htm Kapitola Model Lorenzova atraktoru používá obrázky z knihy E. A. Jacksona [4]. Konec BBI Q 19 199