Cvičení 1. Úkol 1.: Použijte funkci simulace_DNV.m pro příklad z přednášky (Opakovaně vypisovaných výběrových řízení se účastní vždy 4 firmy, označme je A, B, C, D. Pravděpodobnost, že jejich nabídky budou vybrány, jsou postupně 0,2; 0,3; 0,4 a 0,1.) Pro různá n (např. n = 10, 100, 200, 500, 1000, 2000) simulujte výsledky konkurzů. Pokaždé vytvořte tabulku rozložení četností variant 1, 2, 3, 4 (funkce tabulate) a sledujte, jak s rostoucím n se relativní četnosti přibližují k pravděpodobnostem těchto variant, tj. k číslům 0,2; 0,3; 0,4; 0,1. Nepovinný úkol: Pokuste se výsledky znázornit graficky, tedy prostřednictvím čtyř grafů, kde na vodorovné ose bude n a na svislé ose relativní četnost příslušné varianty. Nepovinný úkol: Hráči šachu, označme je A a B, jsou stejně silní a hrají spolu tři partie. Nerozhodný výsledek partie je vyloučen a výsledky jsou nezávislé. Náhodná veličina X udává počet výher hráče A. Pomocí funkce simulace_DNV simulujte výsledky n-násobného opakování těchto tří partií (např. n = 20, 100, 200, 500). Pokaždé vytvořte tabulku rozložení četností variant 0,1,2,3 a získané relativní četnosti porovnejte s pravděpodobnostmi variant 0,1,2,3. Návod: Vektor rozložení pravděpodobností diskrétní náhodné veličiny X lze získat pomocí funkce binopdf. Úkol 2.: Použijte funkci sim_expon.m pro různé hodnoty parametru lambda (např. lambda = 0,1; 0,5; 1; 2) a pro různá n (např. n = 10, 100, 200, 500, 1000, 2000). Pomocí funkce hist.m vykreslete (aspoň pro některé kombinace parametrů n, lambda) histogramy těchto realizací. Upozornění: V MATLABu lze realizace náhodné veličiny s exponenciálním rozložením generovat též pomocí funkce exprnd. Úkol 3.: Pomocí funkcí clv.m, clv_polynom.m a BM_transformace.m generujte pro různé parametry mi, sigma a různá n realizace normálně rozložené náhodné veličiny. Úkol 4.: Pro parametry mi = 0, sigma = 1, n = 1000 vygenerujte pomocí tří výše uvedených funkcí clv.m, clv_polynom.m a BM_transformace.m realizace normálně rozložené náhodné veličiny. Pokaždé vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku a porovnejte s teoretickými hodnotami 0 a 1. Vypočítejte rovněž minimum a maximum. Nepovinný úkol: Pro realizace získané v úkolu 4 vytvořte graf empirické distribuční funkce a porovnejte ho s grafem distribuční funkce rozložení N(0,1). Odlišnost empirické distribuční funkce od teoretické distribuční funkce posuďte pomocí součtu kvadrátů odchylek příslušných funkčních hodnot. Návod: Hodnoty proměnné realizace setřídíme vzestupně a uložíme do proměnné x: x=sort(realizace); Do proměnné y1 uložíme hodnoty empirické distribuční funkce: y1=[1:n]’/n; Do proměnné y2 uložíme hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1): y2=normcdf(x,0,1); Do jednoho obrázku nakreslíme graf obou funkcí: plot(x,y1,x,y2). Součet kvadrátů odchylek vypočteme takto: (y1-y2)’*(y1-y2) Úkol 5.: Je známo, že příjmy obyvatel lze modelovat pomocí exponenciálního rozložení. Nechť náhodná veličina X udává měsíční příjem náhodně vybraného zaměstnance. Předpokládejme, že X ~ Ex(λ). Podle údajů ČSÚ dosáhla průměrná hrubá mzda v ČR ve 2. čtvrtletí roku 2017 hodnoty 29 346 Kč, mediánová mzda byla 24 896 Kč. a) Pomocí funkce sim_expon nebo exprnd náhodně vygenerujte příjmy n = 1000, 10 000 a 100 000 osob (střední hodnotu volte 29 346) a vytvořte histogram vygenerovaných příjmů. V MATLABu: r = exprnd(29346,n,1); hist(r) b) Pro každou sérii simulací vypočtěte průměrný příjem a vypočtěte medián příjmů. Zjištěné hodnoty porovnejte s teoretickými hodnotami: střední hodnota = 29 346 Kč, medián = 20 341 Kč. Poznámka: Výpočet mediánu: ( ) ( ) 203412ln29346 2ln 5,01ln 1 xe1x5,0 5,0 x 5,0 5,0 =⋅= λ =− λ −=⇒−=Φ= λ− V MATLABu: m = mean(r) x50 = median(r) c) Pro každou sérii simulací zjistěte, kolik procent osob bude mít podprůměrné příjmy. Zjištěnou hodnotu porovnejte s teoretickou hodnotou 63,2 %. Poznámka: Výpočet podílu osob s podprůměrnými příjmy: ∫ λ −λ− =−=λ=      λ < 1 0 1x 6321,0e1dxe 1 XP V MATLABu: pocet=sum(r