Cvičení 10
Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Definice: Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
. Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X je
dána vztahem: ( ) ∑
∞
=
==
0k
k
k
X
X zpzE)z(g , kde 1z ≤ .
Vlastnosti:
a)
0z
)k(
X
k
!k
)z(g
p
=
= pro k = 0, 1, 2, …
b) 1zX )z(g
dz
d
)X(E =
= , [ ]2
1z
X2
2
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D −+=
=
.
c) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, ∑=
=
n
1i
iXY
⇒ )z(g)z(g)z(g n1 XXY ⋅⋅= K .
d) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou pravděpodobnostní funkci ( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ..., n.
Pak transformovaná náhodná veličina ∑=
=
n
1i
iXY má pravděpodobnostní funkci
( ) { }


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kYP
*n
k
.
e) Nechť X1, X2, ... je posloupnost stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných
náhodných veličin, které mají všechny stejnou pravděpodobnostní funkci
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ... Nechť N je celočíselná nezáporná náhodná
veličina nezávislá na X1, X2, ... s pravděpodobnostní funkcí ( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...nproq
nNP n
.
Pak náhodná veličina S = X1 + ... + XN (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin) má
pravděpodobnostní funkci ( )
{ }





=
===
∑
∞
=
jinak0
0,1,2,...kpropq
hkSP 0n
*n
kn
k .
f) Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S = X1 + ... + XN platí:
gS(z) = gN(gX(z)).
g) E(S) = E(N)µ, D(S) = D(N)µ2
+ E(N)σ2
, kde µ = E(Xi), σ2
= D(Xi), i = 1, 2, …
Příklad 1.: Celočíselná nezáporná náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
( ) ( )





=
+==
jinak0
1,2,kpro
1kk
1
kXP
K
. Najděte její pravděpodobnostní vytvořující funkci.
Návod: Použijte rozklad na parciální zlomky a Taylorův rozvoj funkce ( ) ∑
∞
=
−=−
1k
k
k
x
x1ln .
Řešení:
( ) 1k
1
k
1
1kk
1
+
−
+=
+
,
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )z1ln
z
z1
1
1
z
z1ln
z1lnzz1ln
z
1
z1lnz
j
z
z
1
z1ln
j
z
z
1
z1ln
1k
z
z
1
k
z
z
1k
1
k
1
zg
2j
j
2j
j
1k
1k
1k
k
1k
k
X
−
−
+=
=+
−
+−−=+−+−−=







−−−−=
=−−−=
+
−=





+
−
+=
∑
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
Výsledek: ( ) ( )z1ln
z
z1
1zgX −
−
+=
Příklad 2.: Pomocí pravděpodobnostních vytvořujících funkcí najděte střední hodnoty a
rozptyly těchto rozložení: a) ( )ϑA , b) ( )ϑ,nBi , c) ( )ϑGe .
Řešení:
Ad a) gX(z) = 1 - ϑ + zϑ , ϑ== =1zX )z(g
dz
d
)X(E
[ ] ( )ϑ−ϑ=ϑ−ϑ=−+=
=
1)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D 22
1z
X2
2
Ad b) gX(z) = (1 - ϑ + zϑ )n
, ( ) ϑ=ϑϑ+ϑ−==
=
−
=
nz1n)z(g
dz
d
)X(E
1z
1n
1zX
[ ] ( )( )
( ) ( )ϑ−ϑ=ϑ−ϑ+ϑ−=
=ϑ−ϑ+ϑϑ+ϑ−−=−+=
=
−
=
1nnn1nn
nnz11nn)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D
222
22
1z
22n2
1z
X2
2
Ad c) ( )
( )ϑ−−
ϑ
=
1z1
zgX , ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( )
ϑ
ϑ−
=
ϑ
ϑ−ϑ
=
ϑ−−
ϑ−ϑ
==
==
11
1z1
1
zg
dz
d
XE 2
1z
2
1z
X
[ ] ( )
( )[ ]
( )
2
2
2
2
2
1z
3
2
2
1z
X2
2
11112
11
1z1
12
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D
ϑ
ϑ−
=





ϑ
ϑ−
+
ϑ
ϑ−
−
ϑ
ϑ−ϑ
=
=





ϑ
ϑ−
+
ϑ
ϑ−
−
ϑ−−
ϑ−ϑ
=−+=
==
Výsledek: ad a) ( ) ( ) ( )ϑ−ϑ=ϑ= 1XD,XE , ad b) ( ) ( ) ( )ϑ−ϑ=ϑ= 1nXD,nXE , ad c)
( ) ( ) 2
1
XD,
1
XE
ϑ
ϑ−
=
ϑ
ϑ−
=
Příklad 3.: Provedeme tři nezávislé pokusy, v nichž sledujeme nastoupení úspěchu. V prvním
pokusu nastává úspěch s pravděpodobností 0,5, ve druhém 0,2 a ve třetím 0,1. Najděte
pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y, která udává počet úspěchů v těchto
třech pokusech.
a) Vyjádřete pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y.
b) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné
veličiny Y.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte pravděpodobnostní funkci náhodné
veličiny Y.
Řešení:
Ad a) X ~ ( )ϑA ⇒ gX(z) = 1 - ϑ + zϑ , X1 ~ ( )5,0A , X2 ~ ( )2,0A , X3 ~ ( )1,0A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 32
XXXY z01,0z14,0z49,036,0z1,09,0z2,08,0z5,05,0zgzgzgzg 321
+++=+++==
Ad b) 8,003,028,049,0)z(g
dz
d
)X(E 1zX =++== =
[ ] 5,064,08,006,028,0)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D
2
1z
X2
2
=−++=−+=
=
Ad c) ( ) 36,00gp Y0 == , ( ) 49,00'gp Y1 == ,
( )
14,0
2
0''g
p Y
2 == ,
( )
01,0
6
0'''g
p Y
3 ==
Výsledek:
Ad a) ( ) 32
Y z01,0z14,0z49,036,0zg +++=
Ad b) ( ) ( ) 5,0YD,8,0YE ==
Ad c) p0 = 0,36, p1 = 0,49, p2 = 0,14, p3 = 0,01
Příklad 4.: Předpokládejme, že počet vajíček, která snese slepice za sezónu, je náhodná
veličina N ~ Po(λ). Pravděpodobnost, že se z libovolného vajíčka vylíhne kuře, je ϑ . Pomocí
pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte rozložení náhodné veličiny S, která udává
počet kuřat vylíhlých za sezónu z vajíček dané slepice. Pomocí vzorce z bodu (g) vypočtěte
též E(S) a D(S).
Řešení: Xi … počet kuřat vylíhlých z i-tého vajíčka, Xi ~ A(ϑ ), gX(z) = 1 - ϑ + zϑ
N … počet vajíček snesených za sezónu, N ~ Po(λ), gN(z) = eλ(z-1)
S … počet vylíhlých kuřat, S = X1 + ... + XN, gS(z) = gN(gX(z)) = eλ(1- ϑ +z ϑ -1)
= eλ ϑ (z-1)
E(S) = E(N)E(X) = λϑ , D(S) = D(N)[E(X)]2
+E(N)D(X) = λϑ 2
+ λϑ (1 - λϑ ) = λϑ
Výsledek: S ~ Po(λϑ ), E(S) = D(S) = λϑ