Cvičení 11
Galtonův – Watsonův proces větvení
Definice: Nechť jedinec tvořící nultou generaci může dát vznik 0, 1, 2, ... jedincům
(potomkům) první generace. Analogicky každý jedinec z první generace může dát vznik 0, 1,
2, ... jedincům druhé generace atd. Přitom předpokládáme, že
a) počet potomků X náhodně zvoleného jedince má pravděpodobnostní funkci
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
, která nezávisí na zvoleném jedinci ani na generaci, do níž
přísluší;
b) jedinci z dané generace dávají vzniknout svým potomkům vzájemně nezávisle.
Označme Xn počet jedinců n-té generace (speciálně je X0 = 1). Za uvedených předpokladů
posloupnost náhodných veličin { }0n Nn;X ∈ tvoří homogenní markovský řetězec s množinou
stavů J = {0, 1, 2, ...}. Tento řetězec se nazývá Galtonův – Watsonův proces větvení.
Vlastnosti:
1. Matice přechodu má tvar














+
=
KKKK
K
K
K
20
2
110
2
0
210
pp2ppp2p
ppp
001
P , tj. { }*i
jij pp:Jj,i =∈∀ .
2. Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Xn+1 platí:



=
=
=+
0npro0
,2,1npro))z(g(g
)z(g
XX
X
n
1n
K
, kde ( )zgX je pravděpodobnostní vytvořující funkce
náhodné veličiny X1.
3. Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Xn platí:
,)X(E n
n µ=
( )





=µσ
≠µ
−µ
−µµσ
=
−
1pron
1pro
1
1
)X(D
2
n1n2
n , kde ( ) ( )1
2
1 XD,XE =σ=µ
4. Pro pravděpodobnost vyhynutí v n-té generaci platí: ( ) )0(gq0XP nXnn ===
5. Pro limitní pravděpodobnost vyhynutí platí:
a) Je-li µ ≤ 1, pak 1qlim n
n
=
∞→
.
b) Je-li µ > 1, pak ξ=
∞→
n
n
qlim , kde ( )1,0∈ξ je nejmenší kladný kořen rovnice z = gX(z).
Příklad: Uvažme G – W proces, v němž 0p,
5
3
p,
5
1
p,
5
1
p k210 ==== , k = 3,4,…
a) Vypočtěte prvky matice přechodu P pro i = 0, 1, 2 a j = 0, 1, 2, 3, 4.
b) Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu jedinců ve 2. generaci.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu jedinců ve 2. generaci vypočtěte
pravděpodobnostní funkci.
d) Najděte střední hodnotu a rozptyl počtu jedinců ve 2. generaci.
e) Vypočtěte limitní pravděpodobnost vyhynutí.
Řešení:
Ad a) { }*i
jij pp:Jj,i =∈∀
Nultý řádek matice přechodu má prvky 1, 0, 0, 0, 0, …
1. řádek matice přechodu má prvky K,0,0,
5
3
,
5
1
,
5
1
Odvodíme prvky 2. řádku matice přechodu:
{ }
25
1
5
1
ppp
2
2
0
*2
020 =





===
{ } { } { }
25
2
5
1
2pp2ppppp,pp,pp,pp
2
1010101010
*2
1021 =





==+=∗==
{ } { } { }
25
7
5
3
5
1
2
5
1
pp2ppppppp,p,pp,p,pp,p,pp
2
20
2
102
2
120210210
*2
21022
=⋅+





=
=+=++=∗==
{ } { } { }
25
6
5
3
5
1
2pp2
0pppppppppp,p,p,pp,p,p,pp,p,p,pp
21
30312213032103210
*2
321023
=⋅==
===+++=∗==
{ } { } { }
25
9
5
3
p0p,0p
pppppppppp,p,p,p,pp,p,p,p,pp,p,p,p,pp
2
2
243
0413
2
231404321043210
*2
4321024
=





=====
=++++=∗==
Matice přechodu má tedy tvar:
















=
KKKKKK
K
K
K
25
9
25
6
25
7
25
2
25
1
00
5
3
5
1
5
1
00001
P
Ad b) Abychom odvodili pravděpodobnostní vytvořující funkci ( )zg 2x , musíme znát ( )zgx .
22
210
0k
k
kX z
5
3
z
5
1
5
1
zpzppzp)z(g ++=++== ∑
∞
=
, tedy
( ) ( )( )
432
2
22
XXX
z
125
27
z
125
18
z
125
36
z
125
11
125
33
z
5
3
z
5
1
5
1
5
3
z
5
3
z
5
1
5
1
5
1
5
1
zggzg 2
++++=
==





+++





+++== K
Ad c) ( ) ( )
125
33
0g0XP 2X2 === ,
( ) ( )
125
11
z
125
27
4z
125
18
3z
125
36
2
125
11
zg
dz
d
1XP
0z
32
0z
X2 2
=+++===
==
,
( ) ( )
125
36
z
125
27
34z
125
18
23
125
36
2
2
1
zg
dz
d
2
1
2XP
0z
2
0z
X2
2
2 2
=





⋅+⋅+===
==
( ) ( )
125
18
z
125
27
34
125
18
23
6
1
zg
dz
d
6
1
3XP
0z0z
X3
3
2 2
=





⋅+⋅===
==
( ) ( )
125
27
125
27
34
24
1
zg
dz
d
24
1
4XP
0z0z
X4
4
2 2
=





⋅===
==
Ad d) ( ) 96,1
25
49
125
245
125
27
4
125
18
3
125
36
2
125
11
1
125
33
0XE 2 ===⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
( ) ( ) ( )[ ] 1504,2
625
1344
...XEXEXD
2
2
2
22 ===−=
Střední hodnotu a rozptyl veličiny X2 můžeme též spočítat pomocí vztahů
,)X(E n
n µ=
( )





=µσ
≠µ
−µ
−µµσ
=
−
1pron
1pro
1
1
)X(D
2
n1n2
n , kde ( ) ( )1
2
1 XD,XE =σ=µ
Nejprve spočteme střední hodnotu µ počtu potomků jedince nulté generace:
( ) 4,1
5
7
5
3
2
5
1
1
5
1
0XE ==⋅+⋅+⋅==µ
A poté rozptyl: ( ) ( ) ( )[ ]
25
16
25
4965
25
49
5
3
4
5
1
XEXEXD
222
=
−
=−+=−==σ .
Nyní dosadíme do vzorce 96,1
25
49
)X(E 2
2 ==µ= a do vzorce
( ) 1504,2
625
1344
1
5
7
1
25
49
5
7
25
16
1
1
)X(D
22
2 ===
−






−⋅
=
−µ
−µµσ
= K
Vidíme, že oběma způsoby výpočtu dospějeme k témuž výsledku.
Ad e)
Protože µ = 1,4 > 1, pak ξ=
∞→
n
n
qlim , kde ( )1,0∈ξ je nejmenší kladný kořen rovnice
( ) 2
X z
5
3
z
5
1
5
1
zgz ++== . 5ešením této kvadratické rovnice zjistíme, že limitní
pravděpodobnost vyhynutí je
3
1
.