Cvičení 11
Galtonův – Watsonův proces větvení
Definice: Nechť jedinec tvořící nultou generaci může dát vznik 0, 1, 2, ... jedincům
(potomkům) první generace. Analogicky každý jedinec z první generace může dát vznik 0, 1,
2, ... jedincům druhé generace atd. Přitom předpokládáme, že
a) počet potomků X náhodně zvoleného jedince má pravděpodobnostní funkci
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
, která nezávisí na zvoleném jedinci ani na generaci, do níž
přísluší;
b) jedinci z dané generace dávají vzniknout svým potomkům vzájemně nezávisle.
Označme Xn počet jedinců n-té generace (speciálně je X0 = 1). Za uvedených předpokladů
posloupnost náhodných veličin { }0n Nn;X ∈ tvoří homogenní markovský řetězec s množinou
stavů J = {0, 1, 2, ...}. Tento řetězec se nazývá Galtonův – Watsonův proces větvení.
Vlastnosti:
1. Matice přechodu má tvar














+
=
KKKK
K
K
K
20
2
110
2
0
210
pp2ppp2p
ppp
001
P , tj. { }*i
jij pp:Jj,i =∈∀ .
2. Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Xn+1 platí:



=
=
=+
0npro0
,2,1npro))z(g(g
)z(g
XX
X
n
1n
K
, kde ( )zgX je pravděpodobnostní vytvořující funkce
náhodné veličiny X1.
3. Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Xn platí:
,)X(E n
n µ=
( )





=µσ
≠µ
−µ
−µµσ
=
−
1pron
1pro
1
1
)X(D
2
n1n2
n , kde ( ) ( )1
2
1 XD,XE =σ=µ
4. Pro pravděpodobnost vyhynutí v n-té generaci platí: ( ) )0(gq0XP nXnn ===
5. Pro limitní pravděpodobnost vyhynutí platí:
a) Je-li µ ≤ 1, pak 1qlim n
n
=
∞→
.
b) Je-li µ > 1, pak ξ=
∞→
n
n
qlim , kde ( )1,0∈ξ je nejmenší kladný kořen rovnice z = gX(z).
Příklad: Uvažme G – W proces, v němž 0p,
5
3
p,
5
1
p,
5
1
p k210 ==== , k = 3,4,…
a) Vypočtěte prvky matice přechodu P pro i = 0, 1, 2 a j = 0, 1, 2, 3, 4.
b) Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu jedinců ve 2. generaci.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu jedinců ve 2. generaci vypočtěte
pravděpodobnostní funkci.
d) Najděte střední hodnotu a rozptyl počtu jedinců ve 2. generaci.
e) Vypočtěte limitní pravděpodobnost vyhynutí.
Výsledky:
Ad a)
















=
KKKKKK
K
K
K
25
9
25
6
25
7
25
2
25
1
00
5
3
5
1
5
1
00001
P
Ad b) ( ) 432
X z
125
27
z
125
18
z
125
36
z
125
11
125
33
zg 2
++++=
Ad c) ( )
125
33
0XP 2 == , ( )
125
11
1XP 2 == , ( )
125
36
2XP 2 == , ( )
125
18
3XP 2 == ,
( )
125
27
4XP 2 ==
Ad d) ( ) 96,1
25
49
XE 2 == , ( ) 15,2
625
1344
XD 2 ==
Ad e) Limitní pravděpodobnost vyhynutí je
3
1
.