Cvičení 3
Přehled vzorců pro exponenciální rozložení
Hustota rozložení Ex(λ): ( ) jinak00,xproex x=>λ=ϕ
λ
Kvantilová funkce: ( ) ( ) ( )0,1,1ln
11
∈αα−
λ
−=αΦ−
( ) ( )hXPtX/htXP:0h,0x >=>+>>∀>∀
Hustota rozložení Er(k,λ): ( ) ( )
( )
jinak00,xproe
!1k
x
x x-
1k
=>λ
−
λ
=ϕ λ
−
Meze 100(1-α)% int. sp. pro E(X):
( )n2
nM2
D
21
2
α−χ
= ,
( )n2
nM2
H
2
2
αχ
=
Meze 100(1-α)% asymptotického int. sp. pro E(X): 2121 u
n
M
MH,u
n
M
MD α−α− +=−=
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude
ukončena do dvou dnů?
V MATLABu: p = expcdf(2,3)
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)
Příklad 3.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h
bez naléhavého příjmu?
Příklad 4.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba bezporuchové
funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je pravděpodobnost, že za dobu t0
> 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Příklad 5.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1).
V MATLABu: K = expinv(0.05,10)
Příklad 6.: Jistý přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Doba čekání na poruchu se řídí
exponenciálním rozložením. Stanovte dobu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat po
dobu delší než t, byla 0,99.
V MATLABu: t=expinv(0.01,2000)
Příklad 7.: Zákazník prochází třemi nezávislými stanicemi obsluhy, přičemž v každé z nich se doba
obsluhy řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 1 minuta. Jaká je pravděpodobnost, že
celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty?
Příklad 8.: V jisté prodejně potravin bylo na základě náhodného výběru 50 zákazníků zjištěno, že
průměrná doba obsluhy u pokladny je 30 s. Předpokládejme, že doba obsluhy je náhodná veličina
s exponenciálním rozložením. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu doby
obsluhy.
Příklad 9.: Pro údaje z příkladu 8 spočtěte meze 95% asymptotického empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu doby obsluhy.
Cvičení 3
Přehled vzorců pro exponenciální rozložení
Hustota rozložení Ex(λ): ( ) jinak00,xproex x=>λ=ϕ
λ
Kvantilová funkce: ( ) ( ) ( )0,1,1ln
11
∈αα−
λ
−=αΦ−
( ) ( )hXPtX/htXP:0h,0x >=>+>>∀>∀
Hustota rozložení Er(k,λ): ( ) ( )
( )
jinak00,xproe
!1k
x
x x-
1k
=>λ
−
λ
=ϕ λ
−
Meze 100(1-α)% int. sp. pro E(X):
( )n2
nM2
D
21
2
α−χ
= ,
( )n2
nM2
H
2
2
αχ
=
Meze 100(1-α)% asymptotického int. sp. pro E(X): 2121 u
n
M
MH,u
n
M
MD α−α− +=−=
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude
ukončena do dvou dnů?
V MATLABu: p = expcdf(2,3)
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)
Příklad 3.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h
bez naléhavého příjmu?
Příklad 4.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba bezporuchové
funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je pravděpodobnost, že za dobu t0
> 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Příklad 5.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1).
V MATLABu: K = expinv(0.05,10)
Příklad 6.: Jistý přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Doba čekání na poruchu se řídí
exponenciálním rozložením. Stanovte dobu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat po
dobu delší než t, byla 0,99.
V MATLABu: t=expinv(0.01,2000)
Příklad 7.: Zákazník prochází třemi nezávislými stanicemi obsluhy, přičemž v každé z nich se doba
obsluhy řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 1 minuta. Jaká je pravděpodobnost, že
celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty?
Příklad 8.: V jisté prodejně potravin bylo na základě náhodného výběru 50 zákazníků zjištěno, že
průměrná doba obsluhy u pokladny je 30 s. Předpokládejme, že doba obsluhy je náhodná veličina
s exponenciálním rozložením. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu doby
obsluhy.
Příklad 9.: Pro údaje z příkladu 8 spočtěte meze 95% asymptotického empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu doby obsluhy.