Cvičení 7.: Systémy hromadné obsluhy s neomezenou kapacitou
1. Systém M/M/1/oo/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem X, doba obsluhy se řídí
rozložením Ex(|i), v systému je l linka obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový
režim je „první vstupuje, první je obsloužen".
Podíl p =— se nazývá intenzita provozu. Systém se může stabilizovat, pokud p < l.
Stacionární rozložení: a^ =pj
(l -p), j =O,l, ..., tedyN -Ge(l-p).
Charakteristiky stabilizovaného systému: pravděpodobnost, že zákazník najde volnou linku
= 1 , pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě = —, E(N) = ,
, E(NS
) E(W) = - - , E(W0
) = , E(WS
)= ,
v H-A.
2. Systém M/M/1/oo/FIFO s netrpělivými zákazníky
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem X, doba obsluhy se řídí
rozložením EX(JI), v systému je l linka obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový
režim je „první vstupuje, první je obsloužen". Přijde-li zákazník do systému, v němž je již n
zákazníků, pak je ochoten čekat pouze s pravděpodobností b„. Přitom l = bo > b| > ... > 0.
Označme CQ = l , Cj = bib2. ..bj.i, j = 1,2, ...
Stacionární rozložení: 8j=Cj a0 ,j =1,2,..., a0 =
Charakteristiky stabilizovaného systému:
I°J-f—t >\ ,
j=o . ,
Příklad 1.: K ortopedovi přichází v průměru 16 pacientů za 8 hjeho pracovní doby. Pacient
je v průměru ošetřen za 20 min. Předpokládáme, že vstupní proud pacientů je Poissonův
proces a doba ošetření se řídí exponenciálním rozložením. Zjistěte, zda se systém může
stabilizovat. Pokud ano, vypočtěte
a) využití ortopeda, b) pravděpodobnost, že pacient nebude čekat, c) střední hodnotu doby,
kterou pacient stráví v systému, d) střední hodnotu počtu pacientů v systému.
Výsledky: Systém se může stabilizovat.
Ad a) Ortoped je využit na 66,6 %. Ad b) a0
=l - p =0,3.
Ad c) E(W) = l h, E(WQ
) = 40 min, E(WS
) = 20 min
Ad d) E(N) = 2, E(N0
) =11, E(NS
) = |
J J
Příklad 2.: Do holičství přicházejí v průměru 3 zákazníci za l h a ostříhání jednoho
zákazníka trvá v průměru 15 minut. Předpokládáme, že vstupní proud zákazníkůje Poissonův
proces a doba ostříhání se řídí exponenciálním rozložením. Přicházející zákazník je ochoten
čekat s pravděpodobností 0,8jen tehdy, když je v holičství pouze jeden zákazník. Je-li jich
více, odchází bez obsloužení. Zjistěte, zda se provoz v holičství může stabilizovat. Pokud ano,
a) vypočtěte a interpretujte stacionární rozložení, b) Jakáje střední hodnota doby, kterou
zákazník stráví v holičství? c) Jak se změní tato střední hodnota, pokud by zákazník nesměl
odejít bez obsloužení?