Cvičení 8.: Systémy hromadné obsluhy s omezenou kapacitou
1. Systém M/M/1/1
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je 1 linka obsluhy, kapacita systému je 1 (zákazník nemůže
čekat ve frontě a je-li systém obsazený, odchází bez obsloužení).
Stacionární rozložení: 





µ+λ
λ
µ+λ
µ
=a .
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude odmítnut: 1Z aP = .
Střední hodnota počtu přijatých zákazníků za jednotku času: λP = λa0.
Střední hodnota počtu odmítnutých zákazníků za jednotku času: λZ = λa1.
Využití systému: 00 aa
µ
λ
=ρ=κ .
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( )
µ+λ
λ
== 1aNE .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
µ+λ
=
1
WE .
Příklad 1.: Pracovnice v informačním středisku přijme v průměru jedno volání každých 12
minut. Hovor trvá v průměru 6 minut. Za předpokladu, že vstupní proud požadavků je
Poissonův proces a doba trvání hovoru se řídí exponenciálním rozložením, najděte odpovědi
na následující otázky:
a) Jaké procento volání bude odbaveno?
b) Kolik hovorů se uskuteční za 1 h?
c) Jaká je pravděpodobnost odmítnutí?
2. Systém M/M/n/m/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je omezená (je rovna m) a
frontový režim je „první vstupuje, první je obsloužen“.
Označme
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ . Systém se může stabilizovat vždy.
Stacionární rozložení:







+=ρ
=
β
=
m,1,njproa
n!
n
n,1,2,jproa
!j
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde
∑ ∑
−
= =
ρ+
β
= 1n
0j
m
nj
j
nj0
!n
n
!j
1
a .
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude odmítnut: 0
m
n
Z a
!n
n
P ρ= .
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě:
( )




=ρ−
≠ρ
ρ−
ρ−
=
−
1pronma
1pro
1
1
a
P
n
nm
n
Q .
Střední hodnota počtu přijatých zákazníků za jednotku času: ( )ZP P1−λ=λ .
Střední hodnota počtu odmítnutých zákazníků za jednotku času: ZZ Pλ=λ .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( ) ( )∑+=
−=
m
1nj
jQ anjNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ( )ZS P1NE −β= .
Využití systému: ( )ZP1−ρ=κ .
Ostatní charakteristiky dostaneme pomocí Littleova vzorce.
Příklad 2.: V autoservisu jsou 3 mycí rampy a jeden pracovník, jemuž mytí auta trvá
v průměru 12 min. Za 1 h přijedou průměrně 3 auta. Jsou-li však v okamžiku příjezdu auta
všechny rampy obsazeny, auto nečeká a vrací se později.
a) Jaká je pravděpodobnost, že v autoservisu budou 0, 1, 2, 3 auta?
b) Vypočtěte střední hodnotu počtu zákazníků v autoservisu a ve frontě.
c) Vypočtěte střední hodnotu doby čekání ve frontě.
d) Jaká je pravděpodobnost, že bude volná aspoň jedna rampa?
e) Vypočtěte využití systému.
Návod na řešení pomocí MATLABu:
Použijeme funkci odmitani.m
lambda=3;mi=5;n=1;m=3;
[a,PZ,PQ,lambdaP,lambdaZ,kappa,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=odmitani(lambda,mi,n,m)
Příklad 3.: Čerpací stanice má jen jeden stojan určený na čerpání pohonných hmot pro
kamióny. Prostor, na kterém je vybudována čerpací stanice, je velmi malý a pokud jeden
kamión čerpá pohonné hmoty, pro druhý kamión není vyhrazen parkovací prostor, kde by
mohl počkat, až se stojan uvolní. Kamióny přijíždějí k čerpací stanici v poissonovském
vstupním proudu s intenzitou 4 kamióny za 1 h. Doba čerpání pohonných hmot se řídí
exponenciálním rozložením a v průměru trvá 7 min 30 s (tj. 0,125 h). Průměrný zisk
z obsluhy jednoho kamiónu je 81 Kč. Výše zisku je pro majitele čerpací stanice dostatečnou
motivací pro to, aby se pokusil rozšířit parkovací prostor. Na základě jednání s majiteli
pozemku v sousedství čerpací stanice zjistil, že týdenní poplatek za pozemek vyhrazený na
čekání jednoho kamiónu činí 4590 Kč. Čerpací stanice je otevřená 100 h týdně. Zjistěte, zda
je pro majitele čerpací stanice výhodné vybudovat čekací prostor pro kamióny. Pokud ano, tak
pro kolik kamiónů.
3. Uzavřený systém M/M/n/m/FIFO
V systému je m zákazníků, přičemž mohou čekat v omezené frontě délky m – n ≥ 0.
Zákazníci po ukončení obsluhy opouštějí systém, ale později se do něj vracejí s novým
požadavkem. Doba pobytu každého zákazníka mimo systém se řídí rozložením ( )λEx , doba
obsluhy každé linky se řídí rozložením ( )µEx .
Označme
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ .
Stacionární rozložení:
( )






++=ρ
−
=β





=
m,,2n,1njproa
!jm!n
!mn
n,,2,1jproa
j
m
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde ∑=
−=
m
1j
j0 a1a
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě: ( ) ∑
−
=
−=≥=
1n
0j
jQ a1nNPP
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( ) ∑=
=
m
0j
jjaNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ∑∑ =
−
=
+=
m
nj
j
1n
0j
jS anjaNE .
Střední hodnota počtu zákazníků mimo systém: ( ) ( )NEmNE R −= .
Střední hodnota počtu zákazníků přicházejících za jednotku času (intenzita vstupního
proudu): ( )RR NEλ=λ .
Využití systému: ( )RNEρ=κ .
Ostatní charakteristiky dostaneme pomocí Littleova vzorce.
Příklad 4.: Skupinu pěti stejných strojů má na starosti jeden údržbář. Doba bezporuchového
provozu stroje má exponenciální rozložení se střední hodnotou 1/2 směny a doba opravy má
rovněž exponenciální rozložení se střední hodnotou 1/20 směny.
a) Jaká je pravděpodobnost, že všechny stroje pracují?
b) Jaká je pravděpodobnost, že budou současně vyřazeny aspoň dva stroje?
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=2;mi=20;n=1;m=5;
function[a,ENS,ENR,EN,lambdaR,kappa]=uzavreny(lambda,mi,n,m)